Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)"

Транскрипт

1 Лекция Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка вида где x f ( t x u ) 1 j 1 r (3.24) x переменные состояния системы u j управляющие воздействия f известные функции dx dt x. Заданы также интервал управления t = T и начальное состояние системы X ( ) X. Необходимо определить управляющий вектор (t) при котором в определенном смысле достигается наилучший результат например нужно минимизировать функционал вида T j J f( t X U) dt F X ( T ) n. (3.25) Пусть непрерывные функции f f и F непрерывно дифференцируемы по x и u j. Если на управляющие воздействия не накладываются ограничения то такая задача нахождения оптимального управления принадлежит классу вариационного исчисления и относится к задаче Лагранжа. Если на управляющие воздействия u j наложить ограничения 2-х видов: 1. управляющие воздействия могут изменяться в допустимых пределах u j u доп 2. управляющие воздействия могут претерпевать разрывы первого рода то такая задача нахождения оптимального управления может быть решена с использованием принципа максимума Понтрягина. 1

2 В методе Лагранжа для решения оптимизационной задачи вводятся два вида вспомогательных функций: 1. функция Гамильтона определяемая по выражению H 1 f p f (3.26) где f функции в выражении (3.24) f подынтегральная функция в выражении (3.25) 2. p присоединенные функции определяемые в результате решения следующей системы дифференциальных уравнений: или в векторной форме: p dp dh p 1 (3.27) dt dx p df dx где матрица df dx df1 dx1 df1 dx df2 dx1 df2 dx df dx разностью. df dx Из (3.23) следует: dx dt dh x 1 dp. (3.24) Уравнения (3.27) и (3.38) представляют собой каноническую или гамильтонову форму записи уравнений Эйлера-Лагранжа играющих важную роль в классическом вариационном исчислении. В теории классического вариационного исчисления доказывается следующая теорема определяющая необходимые условия оптимальности: при оптимальном управлении системой описываемой (3.24) когда минимизируется функционал (3.25) обращаются в нуль частные dh производные то есть должны выполняться условия: du j dh j 1 r. (3.29) du j 2

3 Для поиска вектора оптимального управления (t) методом Лагранжа необходимо вначале определить присоединенные функции p. Они определяются в результате решения дифференциальных уравнений (3.27). Для этого необходимо знать граничные условия для присоединенных функций p. Эти граничные условия определяются в зависимости от конкретных особенностей задачи оптимального управления. Если требуется минимизировать функционал вида: J 1 c x ( T ) n (3.3) то есть речь идет о минимизации линейной комбинации координат системы в конце процесса управления то граничные условия для присоединенных функций определяются из выражения: p (T) = - c = 1. Если нужно минимизировать нелинейную функцию координат x (T) а именно: J = F(x (T)) = n = 1 где F нелинейная функция дважды дифференцируемая по всем аргументам x тогда граничные условия для присоединенных функций определяются из выражений: df dx p ( T ). t T Если нужно минимизировать функционал вида: J T f( X U t) dt n (3.31) в котором терминальная функция F = то граничные условия для присоединенных функций равны нулю в точке t = T то есть: p (T) = = 1. Условие трансверсальности. Часто в задачах оптимального управления задаются определенные условия для системы в конце процесса управления в точках x (T). Если вместе с основной задачей оптимального 3

4 управления в виде функционала (3.31) должны выполняться условия в конце процесса управления заданные в виде: F j (x (T)) = j = 1 причем функции F j дважды дифференцируемы по всем x тогда граничные значения для присоединенных функций при t = T определяются из условия трансверсальности где p ( T ) j 1 dfj j dx j - неизвестные множители Лагранжа определяемые из граничных условий системы в конце процесса управления. Отличие принципа максимума Понтрягина от метода Лагранжа состоит в том что из-за ограничений на управление и наличия в управляющих функциях разрывов первого рода условия (3.29) в строгом математическом смысле не выполняются. Эти условия в принципе максимума Понтрягина заменяются на другое более общее положение а именно: чтобы управляющий вектор U (t) решил поставленную оптимизационную задачу минимизировать функционал J необходимо существование не равного тождественно нулю вектора присоединенных функций P (t) с соответствующим граничным условием который вместе с вектором управления U (t) на всем интервале управления обеспечивал бы максимум функции Гамильтона то есть: ( t) arg ax t T H. (3.32) Если нужно максимизировать функционал J то указанное относительно H условие максимума заменяется условием минимума H то есть: ( t) arg n H. (3.33) Существенное преимущество принципа максимума по сравнению с классическим вариационным исчислением (метод Лагранжа) состоит в том что он применим для любого множества U. 4

5 Задачи со свободным конечным временем. В ряде задач оптимального управления конечное время t 1 = T не задано тогда говорят о задачах со свободным конечным временем. Частным случаем таких задач является задача на быстродействие когда надо минимизировать функционал t1 J f dt n. t При этом f 1 тогда получим интервал управления. J t 1 t T n т.е. минимизируем Принцип максимума для дискретных систем Постановка задачи. Динамика дискретных систем описывается в пространстве состояний системой из разностных уравнений первого порядка вида: x ( n 1) f ( X ( n) U( n) n) 1 (3.34) где X (n)- вектор переменных состояний разности 1 U (n) - вектор управления размерности 1 r f - известные функции 1. Заданы начальные значения всех переменных состояние системы X ( ) ( x 1() x 2()... x ()) область допустимых значений вектора управления U( n) Uдоп. и интервал управления n = N. Могут быть дополнительно заданы конечные граничные условия системы X (N). Необходимо на интервале управления системой n = N так изменять элементы вектора управления U (n) чтобы обеспечился какой-либо из критериев оптимального управления например минимум интегральной целевой функции вида: J N 1 n f( X ( n) U( n) n) F( X ( N) n (3.35) 5

6 где F терминальный член характеризующий конечное состояние системы. Если конечные граничные условия системы не заданы то есть элементы вектора X (N) неизвестны то граничные условия для присоединенных функций определяются из условия трансверсальности: Решение. F p ( N) x x x ( N ) 1. (3.36) Функция Гамильтона для дискретных систем определяется по выражению: H p f f (3.37) 1 где f известная функция входящая в выражение для целевой функции f известные функции описывающие состояние системы p - присоединенные функции определяемые из разностных уравнений первого порядка следующего вида: p ( n) H x p p( n1) 1. (3.39) Запись p = p(n + 1) означает что в выражении H x все переменные x u j записываются с номером цикла n а переменные p с номером цикла n + 1. Принцип максимума Понтрягина Беллмана для дискретных систем: если вектор U ( n) U оптимален в смысле поставленной оп доп оптимизационной задачи то необходимым условием для этого является существование N векторов P (n) при которых частные производные H u j p p( n1). (3.39) 6

7 Тогда функция Гамильтона H ( n) ax в случае если вектор (n) лежит на границе допустимой области U доп. Иначе говоря оптимальный вектор ( n) arg ax H. (3.4) Выражение (3.42) следует понимать и читать так: оптимальный вектор управления (n) являющийся аргументом функции Гамильтона такой который максимизирует функцию Гамильтона. Если целевая функция J = ax то оптимальный вектор управления должен минимизировать функцию Гамильтона то есть в этом случае: ( n) arg n H. В отличие от сформулированного в п. 3.3 сильного принципа максимума для непрерывных систем принцип максимума Понтрягина Беллмана для дискретных систем называют слабым принципом максимума. Причина состоит в том что принцип максимума для дискретных систем является приближенным. Для дискретных систем доказана следующая теорема: оптимальный вектор управления (n) в дискретных системах обращает в максимум функцию Гамильтона с погрешностью матрицы относительного дискретного времени t то есть: H( ( n)) ax H t где: t t t t - диагональная матрица t Tц / T относительная продолжительность цикла или такта в дискретных системах. Очевидно что чем меньше величина цикла T ц по сравнению с общим интервалом управления T тем меньше эта погрешность. При t дискретные системы превращаются в непрерывные и погрешность принципа максимума для них стремится к нулю. 7


Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА. к.т.н М.А. Раджух

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА. к.т.н М.А. Раджух УДК 69487 ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ктн МА Раджух Белорусский национальный технический университет Минск Беларусь her@malr Создание в середине 5-х годов прошлого столетия математической

Подробнее

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

Теория оптимального управления

Теория оптимального управления Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и внешнеэкономической деятельности предприятия курс лекций по дисциплине Теория оптимального

Подробнее

Лекция 13. Задачи оптимального управления

Лекция 13. Задачи оптимального управления Лекция 13 Задачи оптимального управления 1 мая 014 Содержательная постановка задачи оптимального управления закон движения фазовой точки (самолета или объекта управления) и закон воздействия управления

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ

ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ В П ИВАНОВ Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН СПИИРАН 14-я линия ВО д 39 Санкт-Петербург 199178 УДК

Подробнее

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Тема: Второе определение вариации функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Простейшая задача вариационного исчисления Лектор Пахомова

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами

Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами Московский государственный университет им МВ Ломоносова Физический факультет Афанасьев В Н Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ Учебное пособие

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ НА ГРАНИЦЕ ДОПУСТИМОГО МНОЖЕСТВА УПРАВЛЕНИЙ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ НА ГРАНИЦЕ ДОПУСТИМОГО МНОЖЕСТВА УПРАВЛЕНИЙ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ НА ГРАНИЦЕ ДОПУСТИМОГО МНОЖЕСТВА УПРАВЛЕНИЙ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ В П ИВАНОВ Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН 9978 Санкт-Петербург

Подробнее

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи 6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи B (ξ) min; B i (ξ), i =1,..., m, B i (ξ)=, i =m +1,..., m, (P) ẋ α (t) ϕ(t, x(t)) = t, (1) ξ = (x( ), t, t 1 ), x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) C 1 (, R n ), заданный

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Принцип максимума Понтрягина Задача оптимального управления f(t, x, u): [t 0, t 1 ] R n R r R

Подробнее

Математический анализ Лекция 4.6

Математический анализ Лекция 4.6 Московский Государственный Технический Университет им. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Лекция 4.6 к.ф.-м.н. Семакин А.Н. Математический анализ, Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского Харьковский авиационный институт Ю. Н. Соколов, А. Ю. Соколов, С. Ю. Соколов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Подробнее

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА, КАК СЛЕДСТВИЕ ИЗ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА, КАК СЛЕДСТВИЕ ИЗ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ 172 УДК 62.5 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА, КАК СЛЕДСТВИЕ ИЗ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ А.М. Цирлин Институт программных систем им.а.к. Айламазяна РАН Россия,

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]):

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]): 2 Задача Больца 2.1 Постановка задачи Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([, t 1 ]): B(x( )) = L(t, x(t), ẋ(t)) dt + l(x( ), x(t 1 )) extr. (P )

Подробнее

Глава 4. Задачи оптимального управления

Глава 4. Задачи оптимального управления Глава 4 Задачи оптимального управления В этой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также в частном случае для задачи

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов 2. Д.ф.-м.н., проф.г.ф.кулиев П Р О Г Р А М М А

Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов 2. Д.ф.-м.н., проф.г.ф.кулиев П Р О Г Р А М М А МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУЬЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ» Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов

Подробнее

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 7(3) 3 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3 ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых вектор-функций ( ( ( удовлетворяющих

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

Лекция 6. Задачи линейного быстродействия. Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений

Лекция 6. Задачи линейного быстродействия. Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений Лекция 6. Задачи линейного быстродействия Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Томский государственный университет систем. управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра Системного анализа (СА) Баранник Валентин Григорьевич

Томский государственный университет систем. управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра Системного анализа (СА) Баранник Валентин Григорьевич Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра Системного анализа (СА) Баранник Валентин Григорьевич Истигечева Елена Валентиновна ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

оглавление 222 ОГЛАВЛеНИе

оглавление 222 ОГЛАВЛеНИе оглавление Введение...3 глава. Статические системы...8.. Ошибки моделирования...9.2. Аппроксимация функций...9.3. Адекватность математической модели...7 глава 2. Линейные системы с бесконечным временем...22

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 709 УДК 517.97 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ А.В. Дмитрук ЦЭМИ РАН Россия, 117418, Москва, Нахимовский проспект, 47 E-mail: avdmi@cemi.ri.ru Н.П. Осмоловский

Подробнее

Правительство Российской Федерации

Правительство Российской Федерации Правительство Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики» Кафедра

Подробнее

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф.

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф. I Организационно-методический раздел 1 Цель дисциплины полное овладение аспирантами

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления Лекция Задачи классического вариационного исчисления Постановка задачи J u infsup G u G u & r u U R 3 Γ 4 Граничные условия 4 закрепленные когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [

Подробнее

В процессе освоения дисциплины формируются следующие компетенции:

В процессе освоения дисциплины формируются следующие компетенции: Программа составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (уровень подготовки кадров высшей квалификации) по направлению подготовки 09.06.01 «Информатика

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Оглавление Введение 3 СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 4 Моделирование экономических систем управления 4 Математическая модель управляемых систем 7 3 Допустимые управления 8 4 Линейные системы Формула Коши 9 ОПТИМИЗАЦИЯ

Подробнее

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций 120 ТРУДЫ МФТИ. 2012. Том 4, 4 УДК 519.85 Д. А. Марковцев Московский физико-технический институт (государственный университет) Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования

Подробнее

Метод Крылова и Черноусько.

Метод Крылова и Черноусько. Метод Крылова и Черноусько. Пусть управляемый процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f(t, x, u), t [t 0, T ], x(t 0 ) = x 0, u(t) U, где x R n вектор фазовых координат,

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ЭНЕРГИИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ЭНЕРГИИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ УДК 621.5 А.А. Стенин, В.П. Пасько, А.С. Стенин ОПТИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ЭНЕРГИИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ Аннотация: Рассматриваются задача синтеза замкнутого оптимального по расходу энергии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задачи динамической оптимизации

Задачи динамической оптимизации Задачи динамической оптимизации Кольцов С.Н 214 www.linis.ru Предмет динамической оптимизации Предположим фирме необходимо преобразовать некоторый продукт из начального состояния А в конечное состояние

Подробнее

Лекция 17. Глава 10. CИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 17. Глава 10. CИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 7. Глава. CИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ... Постановка задачи Пусть поведение модели объекта управления описывается стохастическим

Подробнее

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМОЙ ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ КРИТЕРИЯМ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМОЙ ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ КРИТЕРИЯМ 820 УДК 519.2 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМОЙ ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ КРИТЕРИЯМ В.М. Азанов Московский авиационный институт (Научный исследовательский университет) Россия, 125993, Москва,

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

В. Г. Антоник МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В. Г. Антоник МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В. Г. Антоник МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Иркутск 217 1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Интегральная форма Определим класс (множество) допустимых управлений как множество m-мерных вектор-функций

Подробнее

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА Неталиева Ф.С. магистрант

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА Неталиева Ф.С. магистрант ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА Неталиева ФС магистрант Задачи оптимального управления относятся к теории экстремальных задач, то есть задач определения максимальных

Подробнее

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru)

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Содержание 1 Вопросы к экзамену 2 2 Примеры задач 3 2.1 Линейное программирование......................... 3 2.2 Теория двойственности............................

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине «Вариационное исчисление» Тема: Постановка задач классического вариационного исчисления оптимального управления

Курсовая работа по дисциплине «Вариационное исчисление» Тема: Постановка задач классического вариационного исчисления оптимального управления МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Компьютерное проектирование систем оптимального управления

Компьютерное проектирование систем оптимального управления Ю.Н. Соколов, В.М. Илюшко, М.И. Луханин, О.С., Урусский, А.Ю. Шамарин Компьютерное проектирование систем оптимального управления Вариационные методы, принцип максимума, динамическое программирование Под

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. Введение... 6

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. Введение... 6 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.................................................. 3 РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ Введение..................................................... 6 Глава 1 Численные методы решения систем линейных

Подробнее

Стратегия оптимизационного исследования и методы решения задач статической и динамической оптимизации технологических объектов

Стратегия оптимизационного исследования и методы решения задач статической и динамической оптимизации технологических объектов Стратегия оптимизационного исследования и методы решения задач статической и динамической оптимизации технологических объектов Задачи статической оптимизации технологических объектов традиционно формулируются

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс

Нейронные сети. Краткий курс Нейронные сети Краткий курс Лекция 7 Модели на основе теории информации Рассмотрим информационно теоретические модели, которые приводят к самоорганизации В этих моделях синаптические связи многослойной

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Оптимальные системы

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Оптимальные системы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского Харьковский авиационный институт Ю.Н. Соколов КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Подробнее

Об однородных разностных схемах

Об однородных разностных схемах Доклады Академии наук СССР Том 4 958 А Н Тихонов А А Самарский Об однородных разностных схемах В статье [] была поставлена задача об отыскании разностных схем пригодных для единообразного решения дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Л.Э.Эльсгольц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии 8 ЧАСТЬ I 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Введение 9 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15

Подробнее

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где Сер. 10. 013. Вып. 1 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК 539.75 Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти inf

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 10 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА (ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ) СКОБКИ ПУАССОНА КРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 10 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА (ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ) СКОБКИ ПУАССОНА КРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ.

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ. М.С. Никольский ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ. Введение В статье рассматривается упрощенная управляемая модель производства однородного продукта, учитывающая

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Содержание второго тома Токарев В. В. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность

Содержание второго тома Токарев В. В. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность Содержание второго тома Токарев В. В. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность Основные обозначения... 12 Тема 7. Многокритериальная оптимизация... 16 1. Многокритериальность и недоминируемые,

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Продолжим изучать канонические преобразования. Сначала напомним основные

Подробнее

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 93 УДК 5798 К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ АД Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 673, Улан-Удэ, Ключевская ул, В E-ail:

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ На прошлой лекции были рассмотрены основные итерационные методы решения СЛАУ, такие как метод простой итерации в широком и узком смыслах, метод Якоби, метод Зейделя

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В. Н. Малозёмов v.mlozemov@spbu.ru 8 декабря 206 г. Аннотация. Рассматривается простейшая

Подробнее

Учебно-методический комплекс по дисциплине Вариационное исчисление и методы оптимизации. Для студентов 4-го курса.

Учебно-методический комплекс по дисциплине Вариационное исчисление и методы оптимизации. Для студентов 4-го курса. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Содержание. Введение 3

Содержание. Введение 3 Содержание Введение 3 1 Необходимые условия экстремума 5 1.1 Задачи без ограничений.................... 5 1.2 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера..............................

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее