~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область"

Транскрипт

1 ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений, D соответствует одно вполне определѐнное значение z V D область определения функций, D R (двумерное пространство), z D V 3 V - область значения функций, V R (трѐхмерное пространство). Область определения Определение: Если точка лежит на границе области, точка называется граничной, если внутри внутренней. Определение: Область определения, состоящая только из внутренних точек, называется открытой, из внутренних и граничных точек замкнутой. Пример 1 z 1 z круг D - замкнутая область Пример z Ln 1) ) D открытая область.

2 ~ ~ пособы задания функций. 1. Аналитический: а) явный z f,, например: z 1 б) неявный F,, z, например: z 1. Графический, например: однополостной гиперболоид z 3. Табличный 1 1 z 11 z 1 z n1 z z n z 1 n z 1m m z z nm

3 ~ 3 ~ Геометрический смысл функции двух переменных. Каждой точки в области D соответствует точка в пространстве, множество этих точек в пространстве образуют поверхность. z ) P(, z ) V z ) M(, ) D Вывод: Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, проекция которой на плоскость o является областью D. Определение функции многих переменных. U f,, z... tназывается функция многих переменных, если каждой совокупностью значений,, z... t D соответствует одно и вполне определенное значение U V. DR n, V R n 1

4 ~ 4 ~ Предел функции двух переменных. Определение: Окрестностью точки M, называется круг (если точка внутри) или часть круга (если точка граничная) бесконечно малого радикса. M, D M, Определение: Число A называется пределом функции z f, если O M такая, что, O M выполняется неравенство f, A Обозначение предела для функции двух переменных: lim, Пример: lim 3 1 f A Обозначение предела для функции многих переменных: lim,,,... z... t z t f z t A

5 ~ 5 ~ Непрерывная функция двух переменных и еѐ свойства. Точка и линия разрыва. Определение: Функция z f, непрерывна в точке M, D, если она определена, O M и в самой точке M выполняется следующее неравенство: lim f, f, z войства непрерывных функций. 1. умма и произведение непрерывных функций являются непрерывной функцией.. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией, если функция знаменателя не равна нулю. 3. ложная функция, составленная из непрерывных функций, является непрерывной функцией. 4. Если в точке M, принимает не нулевое значение, то O M такая, что, O M функция имеет тот же знак, что и в точке M 5. В замкнутой области непрерывная функция всегда имеет минимальные и максимальные значения. 6. замкнутую область можно разбить на такие части каждой из которых приращение функций будет. 7. Если замкнутая область стремится в точку, то приращение функций стремится к нулю. Точка разрыва. Определение: Точка M называется точкой разрыва, если в этой точке не выполняется условие непрерывности т.е. lim f, f, Линия разрыва. Определение: Геометрическое место точки разрыва называется линией разрыва.

6 ~ 6 ~ Полное и частные приращения функций. M M D M M 1 M, ; M, ; M, ; M, На рисунке обозначены точки: 1 и D - область определения функции. Для функции двух переменных z f, при переходе из точки M, в точку M вычислим еѐ приращение: z f, f, 1, Определение: Полным приращением функции называется такое приращение, при котором одновременно изменяются все еѐ переменные (1). f, f, f, f, 3 Определение: Частным приращением функции называется такое еѐ приращение, при котором изменяется только одна из всех переменных, формула (), (3) Замечание: Количество частных приращений определяется числом аргументов. Замечание: В общем случае z равенство возможно только в случае, если функция представляет собой плоскость. Определение непрерывной функции через полное приращение. lim f, f, lim f, lim f, lim f, lim f, lim f, f, lim

7 ~ 7 ~ Определение: Функция называется непрерывной в точке, если предел еѐ полного приращения в этой точке равен нулю при устремлении к нулю приращения всех еѐ аргументов. Частные производные, их геометрический смысл. Определение: Частной производной называется предел отношения соответствующего частного приращению функции к приращению соответствующего аргумента при устремлении к нулю приращения соответствующего аргумента. Обозначение частных производных. f, f, z ' f', lim f f z ' f ', lim,, Замечание: Количество частных производных определяется количеством аргументов функций. Пример: z dz lim 3 3 d z dz lim 3 3 d Правило: Частные производные можно искать как производные функции одного переменного, считая другие переменные в этот момент константами. dz dz 3 ; 3 d d Частные производные второго порядка. Замечание: Частных производных -го порядка для функции двух переменных четыре. Замечание: Количество частных производных n -ого порядка для функции n относительно k переменных определяется по формуле: k.

8 ~ 8 ~ Обозначение частных производных второго порядка. Замечание: d z d z f ', f ', f ', f ', lim ; lim d dd d z d z f ', f ', f ', f ', lim ; lim d dd d z d z, - смешанные производные. dd dd Пример: z ;(1) 5 ;() Дифференцируя (1) и () по и, получаем от каждой производной 1 порядка по две производных второго порядка: z z 1 6 ; 6 ; z z ; 6 ; 3 Вывод: Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования и смешанные производные равны между собой.

9 ~ 9 ~ Геометрический смысл частных производных. z P (,,z ) L L T T P P M (, ) X Через прямую MP проводим плоскости: P oz; P oz Во всех точках плоскости P, а P В сечениях поверхности плоскостями получаются линии, Уравнения этих линий: :,, ", L f L f. Эти уравнения описываются функциями, только одного переменного. Для функции одного переменного производная численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведѐнной в данной точке.,, tg f ', ; tg f ', tg ; tg Частные производные численно равны тангенсам угла наклона касательных, проведѐнных к соответствующим сечениям поверхности в заданной точке. L L

10 ~ 1 ~ Условие дифференцируемости функции двух переменных и полный дифференциал. Выпишем полное приращение функции: f, f,,,,, 1 z 1 f f f f 1 Для вычисления частных приращений 1, используем теорему Лагранжа: f b f a f ' b a ; a, b Для 1: a ; b ; b a ;, ;,, f ' 1 Для a b b a,, f ' 3 : ; ; ;, ; Вычислим от каждой из частных производных входящие в (3), () пределы:,,,, lim 4 lim 5 Используем шестое свойство бесконечно малых:,,,, 1 б. м. 6 б. м. 7 Подставляем (6) в (), (7) в (3) и полученные 1, z в приращение (1): 1 8

11 ~ 11 ~ Формула (8) определяет условие дифференцируемости функции двух переменных. равним первое и третье слагаемое в формуле (8) с, второе и четвѐртое с. lim одного порядка малости с 1 lim lim 1 1 бм более низкого порядка малости по сравнению с 1. Значит первые два слагаемые являются главной частью суммы б.м.. Определение: Полным дифференциалом называется главная часть полного приращения функции и обозначается как : dz d d

12 ~ 1 ~ Дифференциалы высших порядков Определение: Полным дифференциалом второго порядка называется полный дифференциал, вычисленный от полного дифференциала первого порядка при условии, что d, d постоянны. Определение: Полным дифференциалом n-ого порядка называется полный дифференциал, вычисленный от полного дифференциала n-1 порядка при условии, что d, d постоянны. d (z)= d(dz) (1), d n (z)= d (dz n-1 ), где полный дифференциал первого порядка dz = d + d (). Предположим, что функция f(,) имеет непрерывные частные производные, тогда подставив () в (1) получим: d (z)= d(dz) = d d + d. Обозначим круглую скобку, т.е. дифференциал () за z 1, тогда для неѐ полный дифференциал первого порядка можно вычислить по той же формуле (): 1 1 d (z)= dz 1 = d + d (3). Подставляем z 1 т.е. дифференциал () в (3): d (z)= d + d d + d + d d = z z z z z z z = = + + (4). Выражения для полных дифференциалов первого () и второго (4) порядков можно записать в символическом виде: 1 dz = d + d z; d (z) = d + d z; Если возвестить в квадрат, получим формулу (4). Отсюда можно записать символическую формулу полного дифференциала n-ого порядка: n d (z)= d + d z; Если возвестить в куб, получим формулу полного дифференциала 3-ого порядка: (5) 3 z 3 z 3 z z d 3 (z) = (5) 3 3

13 ~ 13 ~ Частные производные и полный дифференциал сложной функции двух переменных Дано: функции z является сложной функцией двух переменных: z = f(u,v), где u,v в свою очередь функции двух независимых переменных,: u = u(,); v = v(,). Функции z,u,v непрерывные функции и имеют непрерывные частные производные. Найти: Дадим переменной приращение, не меняя. Тогда функции u,v,z получат частные приращения u, v, z. Но для функции z изменятся сразу два аргумента: u,v, значит для функции z можно использовать формулу полного приращения функции: f(u,v) f(u,v) z = u + v + 1 u + v, где 1, бесконечно малые функции. u v Разделим обе части на и вычислим предел от левой и правой частей при При этом учитываем, что предел суммы, произведения равен сумме, произведению пределов, а частные производные от не зависят и их можно выносить за знак предела. z f(u,v) u f(u,v) v u v Lim = Lim + Lim + Lim 1 Lim + Lim Lim u v Но, по определению, предел отношения соответствующего приращения функции к приращению соответствующего аргумента есть частная производная, а предел бесконечно малых равен нулю, тогда: f(u,v) u f(u,v) v = + (6) u v Аналогично, давая приращение второй переменной, можно получить частную производную по второму направлению: f(u,v) u f(u,v) v = + (7) u v Замечание: Частные производные сложной функции двух переменных можно считать по правилам дифференцирования сложной функции одного переменного, а формулами (6),(7) пользоваться только в тех случаях, когда функции очень громоздкая и, разбиение еѐ на части с помощью функций u,v, даст упрощение расчетов.

14 ~ 14 ~ Полный дифференциал сложной функции двух переменных Вычислим полный дифференциал первого порядка dz = d + d (). Подставим в () частные производные (6),(7) f(u,v) u f(u,v) v f(u,v) u f(u,v) v dz = + d + + d u v u v Раскроем скобки приведем подобные члены, подчеркнутые одной и двумя линями: f(u,v) u u f(u,v) v v dz = d + d + d + d u v Каждая скобка по своей структуре совпадает с выражением полного дифференциала первого порядка (), значит: dz = du + dv Вывод: выражение полного дифференциала первого порядка не зависит от того является ли входящие в него переменные зависимыми (т.е. функциями) или независимыми переменными.

15 ~ 15 ~ Производные от неявной функции двух переменных Теорема: Если для неявной функции F(,) = функция F(,) и еѐ частные производные являются непрерывными функциями, то производная от неявной функции одного переменного вычисляется по формуле : F/ = F/ Доказательство Для функции F(,) = (8) дадим переменной приращение, тогда в силу того, что она является функцией от х, также получит приращение. ледовательно (8) будет иметь вид: F(+,+) = (9) Разность (9)-(8), равная нулю, будет являться полным приращением функции двух переменных, значит: F(,) F(u,v) F = =, где 1, бесконечно малые функции. v Разделим обе части на и выделим /: F/ + 1 = - F/ + Вычислим предел от левой и правой частей при При этом учитываем, что предел суммы, частного равен сумме, частному пределов, а частные производные от не зависят и являются константами. Lim F/ + Lim 1 Lim = - Lim F/ + Lim Но, по определению, предел отношения приращения функции к приращению аргумента есть производная, а предел бесконечно малых равен нулю, тогда: F/ = - (1), ч.т.д. F/ Рассмотрим теперь неявную функция двух переменных в виде: F(,,z) =. Когда мы ищем частную производную по, то считается постоянной, значит можно использовать формулу (1), заменяя в ней функцию на функцию z, а аргумент не изменяя. Тогда F/ = - F/ Когда мы ищем частную производную по, то считается постоянной, значит можно использовать формулу (1), заменяя в ней функцию на функцию z, а аргумент на аргумент. Тогда F/ = - F/

16 ~ 16 ~ Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточные условия. Определение: Функция z = f(,) имеет максимум в т. M (, ), если неравенство f(, ) > f(,) Определение: Функция z = f(,) имеет минимум в т. M (, ), если неравенство,o ( M ) выполняется,o ( M ) выполняется f(, ) < f(,) Необходимое условие Если функция z = f(,) имеет экстремум (максимум или минимум) в т. M (, ), то каждая частная производная первого порядка от этой функции или обращается в ноль, или не существует (равна ) в т. M (, ). Условные обозначения: f(, ) f(, ) f(, ) A = ; B = ; C =. Достаточные условия Если функция z = f(,) в некоторой области, содержащей т. M (, ), имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то в т. M (, ): 1. функция достигает своего максимума при выполнении условий: AB C > и A < ;. функция достигает своего минимума при выполнении условий: AB C > и A > ; 3. функция не имеет экстремума при выполнении условия: AB C < ; 4. функция требует дополнительных исследований с привлечением частных производных более высокого порядка при выполнении условия: AB C =.

17 ~ 17 ~ Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ищутся среди следующих точек: 1. Критические точки на экстремум из равенства нулю или бесконечности каждой частной производной первого порядка.. Угловые точки области, если таковые имеются. 3. Точки локального экстремума, которые получаются, если подставить уравнение границ области в исходную функцию z = f(,), получить при этом функцию одного переменного, и из равенства нулю или бесконечности каждой производной первого порядка найти эти точки. реди указанных точек выбираются те, для которых функция z = f(,), имеет наибольшее и наименьшее значения. Пример: z = , [,4]; [,4] M (,4) M 5 (,4) M 3 (4,4) Таблица значений функции M 6 (,4) Точки: M (1,1) M 1 (,) M (,4) M 3 (4,4) M 4 (4,) M 5 (,4) M 6 (4,) M (1,1) Значения z = -6 z 1 = -5 z = 59 z 3 = 75 z 4 = 59 z 5 = 43 z 6 = 43 M 1 (,) M 4 (4,) X 1. = 3-3 = ; = 3-3 = ; 1 =, 1 =; 1 = +--5= -5; =, = = = -6;. M (,4) = +64-=59; M 3 (4,4) 3 = =75; M 4 (4,) 4 = 64+- = M 1 M : = = = 3-5; z = 3 =; = ; M 1 (,) 1 = +--5= -5; M M 3 : = 4 = = ; z = 3-1 =; = ; M 5 (,4) 5 = = 43; (х=- не входит в заданную область!) M 3 M 4 : ч = 4 = = ; z = 3-1 =; = ; M 6 (4,) 5 = = 43; (=- не входит в заданную область!) M 1 M 4 : = = = 3-5; z = 3 =; = ; M 1 (,) 1 = +--5= -5; Наибольшее значения функции z 3 = 75 в т. M 3 (4,4). Наименьшее значения функции z = -6 в т. M (1,1)

18 ~ 18 ~ Условный экстремум функции двух переменных, необходимые и достаточное условия Определение: Экстремум функции z = f(,) двух переменных,, которые связаны между собой некоторым условием: (,) = a (a-const), называется условным экстремумом. Необходимые условия При наличии условия: (,) = a из двух переменных, независимой будет, а функцией от. Тогда и функция z = f(,) и функция (,) будут сложными и частные производные от них необходимо искать как от сложных функций. f(,()) f(,()) f f = + = + (11) Аналогично находится производная от левой и правой частей условия: (,) = a + = (1) В точках экстремума частные производные 1 порядка равны нулю, значит f f + = (13) Умножим (1) на неизвестный параметр и сложим полученное уравнение с (13) f f = f f = (14) Подберем так, чтобы для, вторая скобка (14) обратилась в ноль. Тогда и первая скобка тоже обратится в ноль. Отсюда получим два уравнения относительно трех неизвестных,,. Присоединяя к ним условие (,) = a, получим три следующих необходимых условия существования условного экстремума относительно трех неизвестных,, : f f + = ; + = ; (,) = a (15) Из условий (15) находятся координаты критический точек на условный экстремум M (, )

19 ~ 19 ~ Достаточное условие Если определитель >, то в т. M (, ) функция имеет условный минимум; Если определитель <, то в т. M (, ) функция имеет условный максимум; Если определитель =, то в т. M (, ) требуется дополнительное исследование с привлечением производных более высокого порядка. (M ) (M ) = - (M ) F(M ) F(M ) ; F (,) = f(,) + (,) функция Лагранжа. (M ) F(M ) F(M ) Пример: z = +; +=1. Решение: f(,) = +; (,) =+; = -.5. оставляем систему (15) f f = +; = ; = ; =1 ++= F(M ) F(M ) F(M ) + = Отсюда M (,5; ); = -1. F= +.5 (+).. = ; = ; = 1. + =1 1 = - 1 = -; <, то в т. M (.5; ) функция имеет условный максимум z =.5 +.5* =.5; 1 1

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

Теория функций нескольких переменных (аргументов)

Теория функций нескольких переменных (аргументов) Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл 6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Дифференцирование функций нескольких переменных (теория к задачам) 015 1 6. Частные производные и дифференциал функции Частная производная функции u f(,,, ) нескольких

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Тема: Дифференцирование функций комплексного

Тема: Дифференцирование функций комплексного Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 5. Дифференцирование функции комплексного переменного

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций СЮ Галкина ОЕ Галкин

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Теоретические основы ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Пусть материальная точка (некоторое тело)

Подробнее

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b 41 3. Производная Рассмотрим функцию y=f(, непрерывную в некоторой окрестности точки. Пусть, приращение аргумента в точке. Обозначим через,y или,f Y y=f( f(+, f( M N = +, Рис. 1 приращение функции, равное

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции.

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции. ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно

Подробнее