L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости"

Транскрипт

1 Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы задания прямой в пространстве Формулы для расстояний: от точки до прямой на плоскости от точки до плоскости в пространстве и от точки до прямой в пространстве Как было показано использование системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством их радиусов-векторов Это в свою очередь позволяет свести исследование свойств линий поверхностей или тел к изучению множеств радиусов-векторов соответствующих точкам образующим исследуемые геометрические объекты Данная тема посвящена методам описания и исследования свойств простейших геометрических объектов прямой и плоскости средствами векторной алгебры При этом будут использоваться стандартные обозначения: координаты по оси абсцисс через координаты по оси ординат через и координаты по оси аппликат через равно как и другие общепринятые формы записи уравнений Прямая на плоскости Пусть дана система координат { O g g } на плоскости и прямая L проходящая через точку r с лежащим на ней ненулевым век- тором a Определение 5 Вектор a называется направляющим вектором прямой L 65

2 Теорема 5 Доказательство Множество радиусов-векторов точек прямой L представимо в виде вещественный параметр r r τ a где τ произвольный Пусть r некоторая точка на прямой L Ненулевой вектор a образует базис на прямой L поэтому лежащий на этой прямой вектор r r (рис 5) может быть для каждого r представлен единственным образом в виде Теорема доказана r τ a r Тогда r r τ a τ ( ) Рис 5 Найдем теперь координатное представление множества радиусоввекторов всех точек прямой L Пусть a g a a тогда справедливы следующие теоремы r g r g и 66

3 Теорема 5 Всякая прямая в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида C > Доказательство Условие коллинеарности ненулевых векторов r r и a в координатной форме имеет вид det a a Откуда a ( ) a ( ) где или же C > a ; a C a a и мы получили что уравнение прямой есть алгебраическое уравнение первой степени Заметим что справедливость неравенства > следует из условия a o a a > Теорема доказана Теорема 5 Доказательство Всякое уравнение вида C > в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой прямой Пусть дано уравнение первой степени Подберем числа и C > так чтобы C 67

4 Вычитая почленно два эти равенства получим ) ( ) Возьмем точку r ( g и вектор a g По теореме 5 имеем что прямая проходящая через точку r в на- правлении вектора a имеет уравнение вида ) ( ) ( Следовательно исходное уравнение есть уравнение прямой Теорема доказана Замечание: из теорем 5 5 следует что каждое линейное уравнение в декартовой системе координат на плоскости задает некоторую конкретную прямую но с другой стороны конкретная прямая на плоскости может быть задана бесчисленным множеством линейных уравнений и естественно возникает вопрос: при каких условиях два разных линейных уравнения задают одну и ту же прямую? Теорема 54 Для того чтобы уравнения C и > C > были уравнениями одной и той же прямой необходимо и достаточно чтобы существовало число λ такое что λ ; λ; C λc 68

5 Доказательство достаточности Пусть коэффициенты уравнений пропорциональны и имеет место равенство C Тогда C C λ λ λ ( C) λ λ то C но поскольку Аналогично из равенства C следует что и C Доказательство необходимости Пусть уравнения C и C суть уравнения одной и той же прямой в некоторой декартовой системе координат Тогда их направляющие векторы коллинеарны (по теореме 5) и существует λ такое что λ ; λ С другой стороны из равносильности уравнений λ λ C и C C λ следует также что и Теорема доказана C Замечание: уравнение прямой не в любой системе координат является алгебраическим уравнением первой степени Например в полярной системе координат оно может иметь вид ρ P sec( ϕ ϕ ) 69

6 Способы задания прямой на плоскости В произвольной декартовой системе координат { O g g } су- ществуют различные формы задания прямой на плоскости Рассмотрим основные из них Уравнение прямой проходящей через две несовпадающие точки r и r Следствие 5 Поскольку направляющий вектор данной прямой a r r то ее уравнение в векторной форме будет иметь вид r r ( ) τ r r или r ( τ) r τr Соответственно в координатах исключив параметр τ получим одну из следующих формул: ; ( )( если если ; ) ; Проверьте самостоятельно что эти три случая могут быть описаны одним условием: det Для того чтобы три точки r r и r лежали на одной прямой необходимо и 7

7 достаточно чтобы их координаты удовлетворяли уравнению det r Векторное уравнение прямой (уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно заданному ненулевому вектору n n n ) Рис 5 Если в качестве направляющего вектора данной прямой взять a r r (где r радиус-вектор некоторой ее точки) (рис 5) то в силу ортогональности векторов n и r r получим или же ( r r ) n ( n r ) d где n r ) d ( 7

8 При обратном переходе от записи уравнения пря- мой в виде ( n r ) d к ( r r ) n в качестве r можно взять (проверьте это самостоятельно!) d r n ( n n) В { O e e } ортонормированной системе координат уравнение ( n r r ) приобретает вид n ( ) n ( ) или n n d где d n n Сравнивая последнюю запись с общим видом уравнения прямой C приходим к заключению что в ортонормированной системе ко- ординат вектор n для которого дет ортогонален этой прямой n g бу- Определение 5 называется нормальным вектором пря- Вектор n мой L Нормальное уравнение прямой Рассмотрим скалярное уравнение прямой в орто- нормированной системе координат { O e e } C > и преобразуем его разделив обе части на Подставляя обозначения 7

9 cosϕ ; sin ϕ ; ρ C получим так называемую нормальную форму записи уравнения cos ϕ sin ϕ ρ Геометрический смысл параметров ρ и ϕ ясен из рис 5 Рис 5 Геометрические свойства линейных неравенств Аналогично тому как линейное уравнение задает на плоскости прямую линейное неравенство C > > определяет часть плоскости (множество точек координаты которых и удовлетворяют данному неравенству) ограниченную прямой C > Покажем справедливость данного утверждения для случая когда прямая P и ) L : ( n r d делит плоскость P на две части обозначаемые P (см рис 54) 7

10 Рис 54 Определение 5 Будем говорить что точка M с радиусом-вектором R принадлежит P (или соответственно P ) если существует λ > (соответственно λ < ) такое что M M λ n где точка M есть ортогональная проекция M на прямую L Тогда справедлива Теорема 55 Для того чтобы M P выполнения неравенства ( n R > d необходимо и достаточно ) 74

11 Доказательство необходимости Пусть M P то есть существует > λ такое что M M λ n R Получим оценку величины ( ) ( n OM ) d и ( n R) ( n OM d λ( n n) > d M в силу положительности λ n Поскольку M L M ) ( n OM ) ( n M M ) то ( полу- Доказательство достаточности Пусть ( n R ) > d и M λ n чаем ( n R) ( n OM M M ) M тогда из n OM ) d ( n OM ) ( n M M ) d λ( n n) > d λ( n n) > А в силу Теорема доказана n o следует что λ > и значит M P Задача 5 Дана система координат { O g g } L с уравнением ( n r r ) прямой от точки радиус-вектор которой на плоскости и прямая Найти расстояние до этой r 75

12 Решение Пусть MK λn тогда r r λn (рис 55) Рис 55 Точка K принадлежит данной прямой поэтому имеет место соотношение ( n r λ n r ) ( n r r ) λ n Откуда Подставив λ в выражение для MK получим MK ( r r n ) n 4 Пусть система координат ортонормированная Для уравнения C > n перпендикулярен прямой Поэтому MK ( Принимая во внимание что точка как было показано вектор ) ( ) r лежит на прямой L и следовательно C окончательный ответ можно записать в виде MK C 76

13 Определение 54 Теорема 56 Доказательство Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых проходящих через некоторую заданную точку именуемую вершиной пучка Пусть точка общая для всех прямых пучка является точкой пересечения непараллельных прямых C и C Тогда ) для любой прямой пучка найдется пара не равных нулю одновременно чисел α и β таких что α( C ) β( C ) есть уравнение данной прямой ) при любых не равных нулю одновременно α и β уравнение α C ) β( C ) есть ( уравнение некоторой прямой данного пучка Возьмем некоторую точку r вершиной пучка и примем в качестве параметров α C не совпадающую с и β ) ( C Заметим при этом что α β > поскольку точка r не принадлежит данным прямым одновременно Кроме того прямая ( ( C )( C C )( C ) ) проходит как через точку r так и через вершину пучка и следовательно принадлежит пучку 77

14 Пусть C и C пара пересекающихся прямых из рассматриваемого пучка тогда очевидно что α C ) β( C ) ( При этом уравнение ( α β ) ( α β ) ( αc βc ) является уравнением прямой поскольку из > и α β > > следует что α β α β > Действительно допустим противное: α β α β C и C (5) Прямые по построению имеют по крайней мер одну общую точку Поэтому они либо совпадают либо пересекаются По теореме 54 они совпадают тогда и только тогда когда существует λ для которого λ и λ А последние два равенства по теореме равносильны условию det В рассматриваемом случае прямые пересекаются поэтому det и в силу теоремы Крамера система линейных уравнений 5 может иметь лишь единственное решение С другой стороны очевидно что эта система имеет тривиальное решение что в совокупности противоречит неравенству α β α β > 78

15 Следовательно Теорема доказана Определение 55 α β α β > Уравнение α C ) β( C ) ( где α β > называется уравнением пучка прямых на плоскости Плоскость в пространстве Пусть даны система координат { O g g g } плоскость S проходящая через точку с радиусом-вектором r и ле- жащими на S неколлинеарными векторами p и q в пространстве и Определение 56 Векторы p и q называются направляющими векторами плоскости S Теорема 57 Доказательство Пусть Множество радиусов-векторов точек плоскости S представимо в виде r r ϕ p θ q где ϕ и θ произвольные вещественные параметры r некоторая точка плоскости S Векторы p q образуют базис на S и лежащий на этой плоскости (рис 56) вектор r r может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов p и q вида: 79

16 r r ϕ p θ q и следовательно уравнение плоскости будет иметь вид r r ϕ p θ q где ϕ ( ) и θ ( ) Теорема доказана Рис 56 Иными словами каждая пара чисел ϕ и θ определяет некоторую точку плоскости S а радиус-вектор каждой ее точки представим как 8 r ϕ p θ q r Найдем теперь координатное представление множества радиусоввекторов всех точек плоскости S Пусть и q g Теорема 58 q q q Доказательство r g p тогда будут справедливы следующие теоремы Всякая плоскость в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида C D C > Условие компланарности векторов r r p и q в координатной форме имеет (согласно теореме 4) вид g p p p

17 det p q p q p q Откуда ( ) ( ) C( ) или окончательно C D где числа и C находятся по теореме и равны соответственно det p q p q ; det p q p q ; C det p q p q а D C и таким образом мы получили что уравнение плоскости есть уравнение первой степени Условие невозможности одновременного равенства нулю чисел и C вытекает из неколлинеарности векторов p и q и следствия 4 Теорема доказана Теорема 59 Доказательство Всякое уравнение вида C D C > в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой плоскости Непосредственной проверкой убеждаемся что уравнение C D C > 8

18 при C может быть записано как D C D C DC C det C C а при C в виде D D det Тогда любой декартовой системе координат в качестве векторов p и q можно брать или p p g g C и и q g C при C q если g C поскольку оба эти уравнения будут определять плоскость проходящую через некоторую заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам Теорема доказана 8

19 Отметим что условие компланарности векторов r r p и q в векторной форме может быть записано при помощи смешанного произведения в виде ( r r p q) что также есть форма уравнения плоскости S полезная при решении задач Задача 5 В системе координат { O g g g } составить уравнение плоскости проходящей через три заданные не лежащие на одной прямой точки: r ; r ; r Решение Из условия задачи следует что неколлинеарные векторы r r и r r параллельны искомой плоскости Кроме того для радиуса-вектора любой принадлежащей этой плоскости точки r вектор r r также будет ей параллелен Из условия компланарности тройки векторов { r r r r и r r } получаем уравнение искомой плоскости которое будет ( иметь вид r r r r r r ) или в координатной форме (согласно 7) det Задача 5 В системе координат { O g g g } составить уравнение плоскости проходящей через заданную точку 8

20 r перпендикулярно ненулевому вектору n n n T n Решение По условию задачи для радиуса-вектора r T любой точки принадлежащей этой плоскости векторы n и r r будут ортогональны те ( n r r ) В ортонормированной системе координат { O e e e } это условие принимает вид n ( ) n ( ) n ( ) или обозначив n; n ; C n и соответственно D n n n получим C D Следствие 5 Определение 57 Определение 58 Если плоскость задана в ортонормированной системе координат { O e e e } уравнением C D где C > то вектор плоскости n C T ортогонален этой Вектор n называется нормальным вектором плоскости ( n r r ) Вектор C называется главным вектором плоскости T C D C > 84

21 В ортонормированной системе координат главный вектор плоскости является и нормальным ее вектором Задача 54 В { O e e e } ортонормированной системе координат найти расстояние от точки M с радиусомвектором r до плоскости ( n r r ) Решение Пусть K есть ортогональная проекция точки M на данную плоскость тогда ρ r λn (рис 57) Точка K принадлежит данной плоскости поэтому ( n λ MK λn и имеет место соотношение ( n r λ n r ) и следовательно r r n тогда для искомого расстояния получим MK ( r r n n ) ) Рассмотрим теперь ортонормированную систему координат Рис 57 85

22 В этом случае вектор n C T будет нормальным вектором плоскости C D Поэтому Точка r ( MK ) ( ) C( ) C принадлежит данной плоскости значит C D а поскольку C > то ответ задачи можно записать в виде MK C C D Теорема 5 Доказательство Пусть C > и C > в этом случае плоскости C D C D будут параллельны тогда и только тогда когда их главные векторы коллинеарны Докажем достаточность Если главные векторы коллинеарны то существует такое число λ что λ ; λ; C λc и система уравнений C D C D 86

23 может быть переписана в виде C D C λd При D λd на этих плоскостях нет общих точек а при D λd все точки общие что и означает параллельность плоскостей Докажем необходимость Пусть плоскости C D и C D параллельны Тогда они должны пересекать одни и те же координатные плоскости по параллельным прямым Пусть для определенности этими координатными плоскостями являются плоскости для которых и Линии пересечения соответствующие первой из координатных плоскостей будут определяться системами уравнений C D и C D Параллельность этих прямых означает существование λ такого что λ C λ ; C Рассматривая случай получаем аналогичную систему соотношений D λ λ и D но из условия и параллельности этой пары прямых вытекает что Теорема доказана 87

24 Следствие 5 Для того чтобы уравнения C D C и > C D C > были уравнениями одной и той же плоскости необходимо и достаточно чтобы существовало число λ такое что λ ; λ; C λc; D λd Определение 59 Определение 5 Пучком плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей проходящих через данную прямую Уравнением пучка плоскостей проходящих через прямую определяемую пересечением пары непараллельных плоскостей и C D C C C > D > называется уравнение вида α( C D ) β( α β > C D ) Определение 5 Связкой плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей проходящих через данную точку 88

25 Определение 5 Если точка P принадлежащая одновременно трем плоскостям C D C C C C C > D > D > единственная то уравнение вида β( γ( > α( C D ) α β γ C C D D и ) ) называется уравнением связки плоскостей проходящих через точку P Для пучка и связки плоскостей в пространстве справедливы теоремы аналогичные теореме 55 для пучка прямых на плоскости Способы задания прямой в пространстве Существуют различные способы задания прямой в пространстве в декартовой системе координат { O g g g } Уравнение прямой в параметрической форме Пусть точка с радиусом-вектором T r лежит на прямой в пространстве имеющей ненулевой направляющий вектор 89

26 a a a a и проходящей через точку r то- гда из коллинеарности векторов a и r r следует что уравнение прямой в пространстве должно иметь вид r r τ a Уравнение прямой в канонической форме Уравнение прямой проходящей через две Если исключить параметр τ из скалярной записи уравнения r r τ a τa τa τa то получается так называемое каноническое уравнение прямой a a a хотя здесь правильнее говорить о системе уравнений Случай a a a рассмотрите самостоятельно Поскольку направляющий вектор данной прямой a коллинеарен вектору r r 9

27 две несовпадающие точки r r и 4 Уравнение прямой в -ой векторной форме то уравнение прямой в векторной форме можно представить в виде или r r r τ( r ) τ r ( τ) r τr τ Соответственно в координатах после исключения параметра τ получаем соотношения если только )( )( ) ( Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и ( n r ) d ( n r ) d где n и n неколлинеарные нормальные векторы этих плоскостей а d и d некоторые числа Или же если известна точка r через которую проходит данная прямая то радиус-вектор любой точки этой прямой удовлетворяет следующей системе уравнений: Или в координатной форме ( n r r ) ( n r r ) C D C D 9

28 5 Уравнение прямой во -ой векторной форме Прямая в пространстве может быть задана при помощи иного условия коллинеарности векторов a и r r или же в виде уравнения [ a r r ] o [ a r ] b где b [ a r ] Наконец в ортонормированной системе координат { O e e e } данное уравнение прямой в пространстве принимает вид det e e e a a a b или a a a a a a b b b Отметим что в последней системе скалярных условий только два уравнения из трех независимые то есть любое из этих уравнений является следствием двух других Действительно умножив первое уравнение на a второе на a и третье на a и сложив затем полученные равенства почленно приходим к тождеству вида поскольку числа a a и a не равны нулю одновременно а b b b a a a a a a 9

29 Рис 58 Наконец расстояние h в пространстве от некоторой точки с радиусом-вектором R до прямой r r τ a можно найти воспользовавшись свойством что S площадь параллелограмма построенного на паре векторов равна длине векторного произведения этих векторов Из рис 58 получаем h S a [ R r a] a 9


Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе 1 Глава 1 Векторы Аффинная система координат 1 Равенство направленных отрезков Векторы Семейство множеств называется направленным, если в пересечении любых двух его элементов лежит третий (возможно, совпадающий

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее