L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости"

Транскрипт

1 Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы задания прямой в пространстве Формулы для расстояний: от точки до прямой на плоскости от точки до плоскости в пространстве и от точки до прямой в пространстве Как было показано использование системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством их радиусов-векторов Это в свою очередь позволяет свести исследование свойств линий поверхностей или тел к изучению множеств радиусов-векторов соответствующих точкам образующим исследуемые геометрические объекты Данная тема посвящена методам описания и исследования свойств простейших геометрических объектов прямой и плоскости средствами векторной алгебры При этом будут использоваться стандартные обозначения: координаты по оси абсцисс через координаты по оси ординат через и координаты по оси аппликат через равно как и другие общепринятые формы записи уравнений Прямая на плоскости Пусть дана система координат { O g g } на плоскости и прямая L проходящая через точку r с лежащим на ней ненулевым век- тором a Определение 5 Вектор a называется направляющим вектором прямой L 65

2 Теорема 5 Доказательство Множество радиусов-векторов точек прямой L представимо в виде вещественный параметр r r τ a где τ произвольный Пусть r некоторая точка на прямой L Ненулевой вектор a образует базис на прямой L поэтому лежащий на этой прямой вектор r r (рис 5) может быть для каждого r представлен единственным образом в виде Теорема доказана r τ a r Тогда r r τ a τ ( ) Рис 5 Найдем теперь координатное представление множества радиусоввекторов всех точек прямой L Пусть a g a a тогда справедливы следующие теоремы r g r g и 66

3 Теорема 5 Всякая прямая в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида C > Доказательство Условие коллинеарности ненулевых векторов r r и a в координатной форме имеет вид det a a Откуда a ( ) a ( ) где или же C > a ; a C a a и мы получили что уравнение прямой есть алгебраическое уравнение первой степени Заметим что справедливость неравенства > следует из условия a o a a > Теорема доказана Теорема 5 Доказательство Всякое уравнение вида C > в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой прямой Пусть дано уравнение первой степени Подберем числа и C > так чтобы C 67

4 Вычитая почленно два эти равенства получим ) ( ) Возьмем точку r ( g и вектор a g По теореме 5 имеем что прямая проходящая через точку r в на- правлении вектора a имеет уравнение вида ) ( ) ( Следовательно исходное уравнение есть уравнение прямой Теорема доказана Замечание: из теорем 5 5 следует что каждое линейное уравнение в декартовой системе координат на плоскости задает некоторую конкретную прямую но с другой стороны конкретная прямая на плоскости может быть задана бесчисленным множеством линейных уравнений и естественно возникает вопрос: при каких условиях два разных линейных уравнения задают одну и ту же прямую? Теорема 54 Для того чтобы уравнения C и > C > были уравнениями одной и той же прямой необходимо и достаточно чтобы существовало число λ такое что λ ; λ; C λc 68

5 Доказательство достаточности Пусть коэффициенты уравнений пропорциональны и имеет место равенство C Тогда C C λ λ λ ( C) λ λ то C но поскольку Аналогично из равенства C следует что и C Доказательство необходимости Пусть уравнения C и C суть уравнения одной и той же прямой в некоторой декартовой системе координат Тогда их направляющие векторы коллинеарны (по теореме 5) и существует λ такое что λ ; λ С другой стороны из равносильности уравнений λ λ C и C C λ следует также что и Теорема доказана C Замечание: уравнение прямой не в любой системе координат является алгебраическим уравнением первой степени Например в полярной системе координат оно может иметь вид ρ P sec( ϕ ϕ ) 69

6 Способы задания прямой на плоскости В произвольной декартовой системе координат { O g g } су- ществуют различные формы задания прямой на плоскости Рассмотрим основные из них Уравнение прямой проходящей через две несовпадающие точки r и r Следствие 5 Поскольку направляющий вектор данной прямой a r r то ее уравнение в векторной форме будет иметь вид r r ( ) τ r r или r ( τ) r τr Соответственно в координатах исключив параметр τ получим одну из следующих формул: ; ( )( если если ; ) ; Проверьте самостоятельно что эти три случая могут быть описаны одним условием: det Для того чтобы три точки r r и r лежали на одной прямой необходимо и 7

7 достаточно чтобы их координаты удовлетворяли уравнению det r Векторное уравнение прямой (уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно заданному ненулевому вектору n n n ) Рис 5 Если в качестве направляющего вектора данной прямой взять a r r (где r радиус-вектор некоторой ее точки) (рис 5) то в силу ортогональности векторов n и r r получим или же ( r r ) n ( n r ) d где n r ) d ( 7

8 При обратном переходе от записи уравнения пря- мой в виде ( n r ) d к ( r r ) n в качестве r можно взять (проверьте это самостоятельно!) d r n ( n n) В { O e e } ортонормированной системе координат уравнение ( n r r ) приобретает вид n ( ) n ( ) или n n d где d n n Сравнивая последнюю запись с общим видом уравнения прямой C приходим к заключению что в ортонормированной системе ко- ординат вектор n для которого дет ортогонален этой прямой n g бу- Определение 5 называется нормальным вектором пря- Вектор n мой L Нормальное уравнение прямой Рассмотрим скалярное уравнение прямой в орто- нормированной системе координат { O e e } C > и преобразуем его разделив обе части на Подставляя обозначения 7

9 cosϕ ; sin ϕ ; ρ C получим так называемую нормальную форму записи уравнения cos ϕ sin ϕ ρ Геометрический смысл параметров ρ и ϕ ясен из рис 5 Рис 5 Геометрические свойства линейных неравенств Аналогично тому как линейное уравнение задает на плоскости прямую линейное неравенство C > > определяет часть плоскости (множество точек координаты которых и удовлетворяют данному неравенству) ограниченную прямой C > Покажем справедливость данного утверждения для случая когда прямая P и ) L : ( n r d делит плоскость P на две части обозначаемые P (см рис 54) 7

10 Рис 54 Определение 5 Будем говорить что точка M с радиусом-вектором R принадлежит P (или соответственно P ) если существует λ > (соответственно λ < ) такое что M M λ n где точка M есть ортогональная проекция M на прямую L Тогда справедлива Теорема 55 Для того чтобы M P выполнения неравенства ( n R > d необходимо и достаточно ) 74

11 Доказательство необходимости Пусть M P то есть существует > λ такое что M M λ n R Получим оценку величины ( ) ( n OM ) d и ( n R) ( n OM d λ( n n) > d M в силу положительности λ n Поскольку M L M ) ( n OM ) ( n M M ) то ( полу- Доказательство достаточности Пусть ( n R ) > d и M λ n чаем ( n R) ( n OM M M ) M тогда из n OM ) d ( n OM ) ( n M M ) d λ( n n) > d λ( n n) > А в силу Теорема доказана n o следует что λ > и значит M P Задача 5 Дана система координат { O g g } L с уравнением ( n r r ) прямой от точки радиус-вектор которой на плоскости и прямая Найти расстояние до этой r 75

12 Решение Пусть MK λn тогда r r λn (рис 55) Рис 55 Точка K принадлежит данной прямой поэтому имеет место соотношение ( n r λ n r ) ( n r r ) λ n Откуда Подставив λ в выражение для MK получим MK ( r r n ) n 4 Пусть система координат ортонормированная Для уравнения C > n перпендикулярен прямой Поэтому MK ( Принимая во внимание что точка как было показано вектор ) ( ) r лежит на прямой L и следовательно C окончательный ответ можно записать в виде MK C 76

13 Определение 54 Теорема 56 Доказательство Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых проходящих через некоторую заданную точку именуемую вершиной пучка Пусть точка общая для всех прямых пучка является точкой пересечения непараллельных прямых C и C Тогда ) для любой прямой пучка найдется пара не равных нулю одновременно чисел α и β таких что α( C ) β( C ) есть уравнение данной прямой ) при любых не равных нулю одновременно α и β уравнение α C ) β( C ) есть ( уравнение некоторой прямой данного пучка Возьмем некоторую точку r вершиной пучка и примем в качестве параметров α C не совпадающую с и β ) ( C Заметим при этом что α β > поскольку точка r не принадлежит данным прямым одновременно Кроме того прямая ( ( C )( C C )( C ) ) проходит как через точку r так и через вершину пучка и следовательно принадлежит пучку 77

14 Пусть C и C пара пересекающихся прямых из рассматриваемого пучка тогда очевидно что α C ) β( C ) ( При этом уравнение ( α β ) ( α β ) ( αc βc ) является уравнением прямой поскольку из > и α β > > следует что α β α β > Действительно допустим противное: α β α β C и C (5) Прямые по построению имеют по крайней мер одну общую точку Поэтому они либо совпадают либо пересекаются По теореме 54 они совпадают тогда и только тогда когда существует λ для которого λ и λ А последние два равенства по теореме равносильны условию det В рассматриваемом случае прямые пересекаются поэтому det и в силу теоремы Крамера система линейных уравнений 5 может иметь лишь единственное решение С другой стороны очевидно что эта система имеет тривиальное решение что в совокупности противоречит неравенству α β α β > 78

15 Следовательно Теорема доказана Определение 55 α β α β > Уравнение α C ) β( C ) ( где α β > называется уравнением пучка прямых на плоскости Плоскость в пространстве Пусть даны система координат { O g g g } плоскость S проходящая через точку с радиусом-вектором r и ле- жащими на S неколлинеарными векторами p и q в пространстве и Определение 56 Векторы p и q называются направляющими векторами плоскости S Теорема 57 Доказательство Пусть Множество радиусов-векторов точек плоскости S представимо в виде r r ϕ p θ q где ϕ и θ произвольные вещественные параметры r некоторая точка плоскости S Векторы p q образуют базис на S и лежащий на этой плоскости (рис 56) вектор r r может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов p и q вида: 79

16 r r ϕ p θ q и следовательно уравнение плоскости будет иметь вид r r ϕ p θ q где ϕ ( ) и θ ( ) Теорема доказана Рис 56 Иными словами каждая пара чисел ϕ и θ определяет некоторую точку плоскости S а радиус-вектор каждой ее точки представим как 8 r ϕ p θ q r Найдем теперь координатное представление множества радиусоввекторов всех точек плоскости S Пусть и q g Теорема 58 q q q Доказательство r g p тогда будут справедливы следующие теоремы Всякая плоскость в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида C D C > Условие компланарности векторов r r p и q в координатной форме имеет (согласно теореме 4) вид g p p p

17 det p q p q p q Откуда ( ) ( ) C( ) или окончательно C D где числа и C находятся по теореме и равны соответственно det p q p q ; det p q p q ; C det p q p q а D C и таким образом мы получили что уравнение плоскости есть уравнение первой степени Условие невозможности одновременного равенства нулю чисел и C вытекает из неколлинеарности векторов p и q и следствия 4 Теорема доказана Теорема 59 Доказательство Всякое уравнение вида C D C > в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой плоскости Непосредственной проверкой убеждаемся что уравнение C D C > 8

18 при C может быть записано как D C D C DC C det C C а при C в виде D D det Тогда любой декартовой системе координат в качестве векторов p и q можно брать или p p g g C и и q g C при C q если g C поскольку оба эти уравнения будут определять плоскость проходящую через некоторую заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам Теорема доказана 8

19 Отметим что условие компланарности векторов r r p и q в векторной форме может быть записано при помощи смешанного произведения в виде ( r r p q) что также есть форма уравнения плоскости S полезная при решении задач Задача 5 В системе координат { O g g g } составить уравнение плоскости проходящей через три заданные не лежащие на одной прямой точки: r ; r ; r Решение Из условия задачи следует что неколлинеарные векторы r r и r r параллельны искомой плоскости Кроме того для радиуса-вектора любой принадлежащей этой плоскости точки r вектор r r также будет ей параллелен Из условия компланарности тройки векторов { r r r r и r r } получаем уравнение искомой плоскости которое будет ( иметь вид r r r r r r ) или в координатной форме (согласно 7) det Задача 5 В системе координат { O g g g } составить уравнение плоскости проходящей через заданную точку 8

20 r перпендикулярно ненулевому вектору n n n T n Решение По условию задачи для радиуса-вектора r T любой точки принадлежащей этой плоскости векторы n и r r будут ортогональны те ( n r r ) В ортонормированной системе координат { O e e e } это условие принимает вид n ( ) n ( ) n ( ) или обозначив n; n ; C n и соответственно D n n n получим C D Следствие 5 Определение 57 Определение 58 Если плоскость задана в ортонормированной системе координат { O e e e } уравнением C D где C > то вектор плоскости n C T ортогонален этой Вектор n называется нормальным вектором плоскости ( n r r ) Вектор C называется главным вектором плоскости T C D C > 84

21 В ортонормированной системе координат главный вектор плоскости является и нормальным ее вектором Задача 54 В { O e e e } ортонормированной системе координат найти расстояние от точки M с радиусомвектором r до плоскости ( n r r ) Решение Пусть K есть ортогональная проекция точки M на данную плоскость тогда ρ r λn (рис 57) Точка K принадлежит данной плоскости поэтому ( n λ MK λn и имеет место соотношение ( n r λ n r ) и следовательно r r n тогда для искомого расстояния получим MK ( r r n n ) ) Рассмотрим теперь ортонормированную систему координат Рис 57 85

22 В этом случае вектор n C T будет нормальным вектором плоскости C D Поэтому Точка r ( MK ) ( ) C( ) C принадлежит данной плоскости значит C D а поскольку C > то ответ задачи можно записать в виде MK C C D Теорема 5 Доказательство Пусть C > и C > в этом случае плоскости C D C D будут параллельны тогда и только тогда когда их главные векторы коллинеарны Докажем достаточность Если главные векторы коллинеарны то существует такое число λ что λ ; λ; C λc и система уравнений C D C D 86

23 может быть переписана в виде C D C λd При D λd на этих плоскостях нет общих точек а при D λd все точки общие что и означает параллельность плоскостей Докажем необходимость Пусть плоскости C D и C D параллельны Тогда они должны пересекать одни и те же координатные плоскости по параллельным прямым Пусть для определенности этими координатными плоскостями являются плоскости для которых и Линии пересечения соответствующие первой из координатных плоскостей будут определяться системами уравнений C D и C D Параллельность этих прямых означает существование λ такого что λ C λ ; C Рассматривая случай получаем аналогичную систему соотношений D λ λ и D но из условия и параллельности этой пары прямых вытекает что Теорема доказана 87

24 Следствие 5 Для того чтобы уравнения C D C и > C D C > были уравнениями одной и той же плоскости необходимо и достаточно чтобы существовало число λ такое что λ ; λ; C λc; D λd Определение 59 Определение 5 Пучком плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей проходящих через данную прямую Уравнением пучка плоскостей проходящих через прямую определяемую пересечением пары непараллельных плоскостей и C D C C C > D > называется уравнение вида α( C D ) β( α β > C D ) Определение 5 Связкой плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей проходящих через данную точку 88

25 Определение 5 Если точка P принадлежащая одновременно трем плоскостям C D C C C C C > D > D > единственная то уравнение вида β( γ( > α( C D ) α β γ C C D D и ) ) называется уравнением связки плоскостей проходящих через точку P Для пучка и связки плоскостей в пространстве справедливы теоремы аналогичные теореме 55 для пучка прямых на плоскости Способы задания прямой в пространстве Существуют различные способы задания прямой в пространстве в декартовой системе координат { O g g g } Уравнение прямой в параметрической форме Пусть точка с радиусом-вектором T r лежит на прямой в пространстве имеющей ненулевой направляющий вектор 89

26 a a a a и проходящей через точку r то- гда из коллинеарности векторов a и r r следует что уравнение прямой в пространстве должно иметь вид r r τ a Уравнение прямой в канонической форме Уравнение прямой проходящей через две Если исключить параметр τ из скалярной записи уравнения r r τ a τa τa τa то получается так называемое каноническое уравнение прямой a a a хотя здесь правильнее говорить о системе уравнений Случай a a a рассмотрите самостоятельно Поскольку направляющий вектор данной прямой a коллинеарен вектору r r 9

27 две несовпадающие точки r r и 4 Уравнение прямой в -ой векторной форме то уравнение прямой в векторной форме можно представить в виде или r r r τ( r ) τ r ( τ) r τr τ Соответственно в координатах после исключения параметра τ получаем соотношения если только )( )( ) ( Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и ( n r ) d ( n r ) d где n и n неколлинеарные нормальные векторы этих плоскостей а d и d некоторые числа Или же если известна точка r через которую проходит данная прямая то радиус-вектор любой точки этой прямой удовлетворяет следующей системе уравнений: Или в координатной форме ( n r r ) ( n r r ) C D C D 9

28 5 Уравнение прямой во -ой векторной форме Прямая в пространстве может быть задана при помощи иного условия коллинеарности векторов a и r r или же в виде уравнения [ a r r ] o [ a r ] b где b [ a r ] Наконец в ортонормированной системе координат { O e e e } данное уравнение прямой в пространстве принимает вид det e e e a a a b или a a a a a a b b b Отметим что в последней системе скалярных условий только два уравнения из трех независимые то есть любое из этих уравнений является следствием двух других Действительно умножив первое уравнение на a второе на a и третье на a и сложив затем полученные равенства почленно приходим к тождеству вида поскольку числа a a и a не равны нулю одновременно а b b b a a a a a a 9

29 Рис 58 Наконец расстояние h в пространстве от некоторой точки с радиусом-вектором R до прямой r r τ a можно найти воспользовавшись свойством что S площадь параллелограмма построенного на паре векторов равна длине векторного произведения этих векторов Из рис 58 получаем h S a [ R r a] a 9

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Сборник задач по аналитической геометрии

Сборник задач по аналитической геометрии Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ДВ

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее