Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р."

Транскрипт

1 Тычина К.А. V Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р. Используемые в курсе «Сопротивление материалов» геометрические характеристики поперечных сечений стержней вычисляются по тем же формулам, что и инерциальные параметры тонких пластинок единичной плотности ( 1 кг/м ). Поэтому новых названий им придумывать не стали: центр тяжести; статический момент; момент инерции.

2 П е р е ч е н ь г е о м е т р и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к Пусть на плоскости имеется некоторая геометрическая фигура и некоторая система координат ОXY: Рис. V.1 > d площадь, [ м ] ; S S С центр тяжести фигуры (то же, что и центр тяжести пластинки подобной формы); d статический момент относительно оси Х, [ м ]; d статический момент относительно оси Y, [ м ]; > < = > < = > момент инерции относительно оси Х, [ м ]; d > момент инерции относительно оси Y, [ м ]; d центробежный момент инерции, [ м ]; d > < = Осевые моменты инерции > полярный момент d ( ) d р инерции, [ м ].

3 ормулы для определения координат центра тяжести выведены ещё в курсе теоретической механики: c c S (V.) S (V.) Как уже указывалось в разделе «кручение», моменты инерции - величины аддитивные: а) Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции её частей: i б) Момент инерции фигуры равен моменту инерции её наружного контура, минус моменты инерции фигур-вырезов: Эти же два свойства также присущи статическим моментам.

4 В и д ы к о о р д и н а т н ы х о с е й Координатные оси ОХ и ОY, в которых рассчитываются геометрические характеристики плоских фигур, подразделяются на: 1) Произвольные: не обладают никакими признаками. Таких осей бесконечное количество. ) Центральные: начало координат - в центре тяжести фигуры. Таких осей также бесконечное количество. Признак центральности осей X и Y: S ( см. (V.) ) c S ( см. (V.) ) c ) Главные. Как известно, сумма осевых моментов инерции постоянна: p const Значит, для каждой точки на плоскости имеется такая пара осей X и Y, в которой моменты и плоской фигуры принимают экстремальные значения (один максимальное, другой минимальное). Эти оси и называются главными для соответствующей точки. Главных осей для фигуры существует бесконечное количество, ибо на плоскости бесконечное количество точек. Признак главных осей: min ma ma min это будет доказано позже.

5 ) Главные центральные: главные оси для точки - центра тяжести фигуры. Для фигуры существует единственная пара главных центральных осей. Исключение фигуры с тремя и более осями симметрии (ниже об этом будет подробнее). Признаки: min ma ma min S S Если у фигуры есть ось симметрии, то она - главная центральная.

6 И з м е н е н и е с т а т и ч е с к и х м о м е н т о в п р и п а р а л л е л ь н о м п е р е н о с е о с е й OX OX 1 1 OY OY 1 1 Известны: Найти: S 1, S 1 S, S S d b d d b d S b S d a d d a d S a S S b 1 S S a 1 (V.5) а и b стоят в первой степени. Значит имеют значение их знаки (направление переноса осей)

7 И з м е н е н и е м о м е н т о в и н е р ц и и п р и п а р а л л е л ь н о м п е р е н о с е о с е й OX OX 1 1 OY OY 1 1 C Известны: Найти:, 1, d b d b b d 1 d b 1 d b d b S 1 b ; d a d a a d 1 d a 1 d a d a S 1 a. 1 b S b 1 1 a S a 1 1 (V.5) Знаки при а и b по-прежнему имеют значение.

8 S 1, Если оси X 1 и Y 1 центральные (т. O 1 = т.c ), то статические моменты S 1 равны нулю и: b 1 a 1 теорема Штейнера (V.6) Вот здесь уже знаки при а и b не важны. Из формул (V.6) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси ( a или b ). Удаление рассматриваемой оси от центральной увеличивает момент инерции. Теорема Штейнера для геометрических фигур (тонких пластинок) является аналогом теоремы Гюйгенса для массивных тел в Теоретической механике.

9 И з м е н е н и е м о м е н т о в и н е р ц и и п р и п о в о р о т е о с е й к о о р д и н а т u cos sin v sin cos sin cos u v d d sin sin cos cos d sin d sin cos d cos d sin sin cos cos ; sin v u d cos sin d cos sin cos sin sin ; cos sin sin cos u v d d uv sin cos cos sin cos sin d cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos( ) sin( ) cos sin cos

10 Таким образом: cos sin sin u cos sin sin v (V.7) uv cos sin Найдём экстремум функции u, то есть найдём такой угол, при котором u достигает своего максимума или минимума: cos sin sin u n n 1 f n f f ' du u cos sin cos sin cos d sin cos sin Экстремум: ', : u sin cos sin cos tg const Так как u v P, то v при угле так же примет экстремальное значение: u ma, v min или u min, ma v.

11 Найдем угол, при котором центробежный момент uv обращается в ноль: uv cos sin cos sin tg Это тот же самый угол, при котором моменты инерции принимают экстремальные значения! u и v Значит, для точки О на плоскости существует только одна пара координатных осей, относительно которых моменты инерции фигуры принимают экстремальные значения, а центробежный момент обращается в ноль. Эти оси называются главными. Если в точке плоскости задана некоторая система координат OXY и в ней подсчитаны моменты инерции фигуры,,, то угол между этой системой координат и главными осями вычисляется по формуле: tg (V.8) Какие именно экстремальные значения принимают моменты инерции в главных осях, можно определить, вычислив (V.7): o из (V.8) и подставив его в ma min (V.9)

12 М о м е н т ы и н е р ц и и п р о с т е й ш и х ф и г у р 1) Прямоугольник: h b d d d h b h b h d d b d h b h h b h h b h b 1 h ) Треугольник: ) Круг: Без вывода: 1 b h b h 6 b h 1 p D было выведено ранее; 1 D p p 6

13 ) Круг с вырезом: p D d 1 D было выведено ранее; D d 1 p 1 6 D ) Кольцо: p dcp было выведено ранее; 1 d p 8 cp 5) Полукруг: D 1 D 8 1 D 18 Без вывода: c 1 D D 18,686 D

14 П р и м е ч а н и е: У фигур, имеющих три и более оси симметрии, любая центральная ось является главной центральной, а осевые моменты инерции равны друг другу. X 1 X Квадрат: а С X a X 1 X X X 1 X Оси X 1, X, X и X главные центральные. а

15 Пример вычисления момента инерции составной фигуры: способа: Разбить сложную фигуру на Из момента инерции сплошной простые и суммировать их моменты фигуры вычесть моменты инерции инерции: вырезов: aa 9 a a a 1 1 a a a a a a a a a a 81 a 1 1 a a a a a a a

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Задание: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Определить 1) осевые и центробежные моментов инерции элементов плоского сечения; 2) положение центра тяжести сечения; 3) главные центральные моменты

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ - Российский государственный технологический

Подробнее

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy.

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy. Лекция Прикладная математика Геометрические характеристики плоских сечений. В сопротивлении материалов при изучении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций рассматривается равновесие

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра строительной

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению контрольных заданий по теме «Геометрические характеристики

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» М. Н. Гребенников, Н. И. Пекельный ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Подробнее

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты,

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, Лекция 5. Геометрические характеристики плоских сечений 1.Площадь плоских сечений. 2.Статические моменты сечения. 3.Моменты инерции плоских сечений простой формы. 4.Моменты инерции сечений сложной формы.

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» В. В. Орлов ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ ОПДФ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы Предисловие

Подробнее

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы Двойные интегралы Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Сведите двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами, если: G а) G треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4); б)

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления.

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления. Лекция 14 Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение внутренних усилий, напряжений, положения нейтральной оси при чистом косом изгибе. Деформации при косом изгибе. 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. КОСОЙ

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Рис. 7.1 Пусть система состоит из точек P, ν = 1, 2,, N. Начало отсчёта обозначим как O, радиус-вектор точки P

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Рис. 9.1 Рассмотрим движение точки в центральном поле сил. Точка P массой m движется h] под действием силы вида F = F (R) h], то есть модуль силы

Подробнее

Лабораторная работа 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСЕВОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЗВЕНА

Лабораторная работа 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСЕВОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЗВЕНА Лабораторная работа 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСЕВОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЗВЕНА Цель работы: научиться определять осевой момент инерции звеньев механизмов аналитически и методом физического маятника. Краткие теоретические

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет. Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет. Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики В. А. Калентьев В. М. Калинин Л. Т. Раевская Н. И. Чащин

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1

1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1 ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1 Выберем

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР П. В. Кауров, Э. В. Шемякин, А. А. Боткин ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ Рассмотрим ещё одну важную динамическую величину кинетическую

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru III К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Рис. 1. v y С. y 2. 1,8 см. b 2 C 2

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Рис. 1. v y С. y 2. 1,8 см. b 2 C 2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Для сечения, форма которого выбрана в соответствии с заданным номером схемы (рис. ), а размеры взяты в соответствии с номером числового варианта,

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра» Кафедра прикладной механики РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Подробнее

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» Составители: ст преп НЕ Трубникова, ст преп АЯ Мисурагина, ст преп ТВ Никонова, ст преп НС Статковский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

5. Динамика вращательного движения твердого тела

5. Динамика вращательного движения твердого тела 5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

Подробнее

Тычина К.А. III К р у ч е н и е

Тычина К.А. III К р у ч е н и е www.tychina.ro Тычина К.А. К р у ч е н и е стержня. Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси Кручением называется такой вид нагружения стержня, при котором из всех шести внутренних

Подробнее

Проверка теоремы Штейнера

Проверка теоремы Штейнера Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет 9 Проверка теоремы Штейнера Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ОБ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСИ.

ЛЕКЦИЯ 8 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ОБ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСИ. ЛЕКЦИЯ 8 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ОБ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСИ. КАЧЕНИЕ 1. Момент инерции тела. Вращение тел вокруг оси. Рассмотрим твердое

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Отчет 2806-1807-97294-0815 Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Данный документ составлен на основе отчета о проведенном пользователем admin расчете по определению

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 МОМЕНТ СИЛЫ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛ СИСТЕМЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ. ЦЕНТР МАСС

ЛЕКЦИЯ 6 МОМЕНТ СИЛЫ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛ СИСТЕМЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ. ЦЕНТР МАСС ЛЕКЦИЯ 6 МОМЕНТ СИЛЫ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛ СИСТЕМЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ. ЦЕНТР МАСС 1. Главный вектор системы сил Рис. 6.1 Предположим, что имеется система материальных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Центр масс плоских фигур в точках золотого сечения

Центр масс плоских фигур в точках золотого сечения Центр масс плоских фигур в точках золотого сечения СЛ Василенко В работах [1 ] на частных примерах описан любопытный результат по размещению центра тяжести плоской фигуры и предприняты попытки по определению

Подробнее

двойного интеграла. 1 Криволинейные координаты Волченко Ю.М. Содержание лекции f (P ) ds (1)

двойного интеграла. 1 Криволинейные координаты Волченко Ю.М. Содержание лекции f (P ) ds (1) Двойной интеграл II Волченко Ю.М. Содержание лекции Двойной интеграл в криволинейных координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: 3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета.

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета. b Методические рекомендации к практической подготовке по дисциплине "Сопротивление материалов" для студентов-заочников специальности -70 0 0 "Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов" Отмена

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

понятие момента импульса L. Пусть материальная точка A, движущаяся по окружности радиуса r, обладает импульсом

понятие момента импульса L. Пусть материальная точка A, движущаяся по окружности радиуса r, обладает импульсом Лекция 11 Момент импульса Закон сохранения момента импульса твердого тела, примеры его проявления Вычисление моментов инерции тел Теорема Штейнера Кинетическая энергия вращающегося твердого тела Л-1: 65-69;

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Черногоров ЕП ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций ЧЕЛЯБИНСК 00 Геометрия масс ЦЕНТР МАСС СТАТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие Задача 1 Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Дано: (шифр 312312) схема 2; l=0,5м; b=15см; h=14см; R p =80МПа; R c =120МПа;

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 46. Приложения кратных интегралов.

ЛЕКЦИЯ N 46. Приложения кратных интегралов. ЛЕКЦИЯ N 6 Приложения кратных интегралов Задача о вычислении массы тонкой пластинки Статистические моменты; центр тяжести плоской фигуры 3Момент инерции 3 Площадь поверхности 3 5Применение тройного интеграла

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра теоретической механики 5(07) П858 Ю.Г. Прядко, В.Г. Караваев

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8.

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8. ЗДЧ.. Определить положение центра тяжести сечения.. Найти осевые (экваториальные и центробежные моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести ( c и c.. Определить направление

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

НАХОЖДЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Департамент образования города Москвы ГОУ СПО Технический пожарно-спасательный колледж 57 НАХОЖДЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Техническая

Подробнее

Тема 1.4. Динамика вращательного движения

Тема 1.4. Динамика вращательного движения Тема 1.4. Динамика вращательного движения План 1. Момент импульса частицы. Момент силы 3. Уравнение моментов 4. Собственный момент импульса 5. Динамика твердого тела 6. Момент инерции 7. Кинетическая энергия

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения

Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения Пример 1. Определить координаты центра тяжести и осевые моменты инерции

Подробнее

Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела

Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела П.5.1.Кинематика твердого тела. П.5.1.1. Твердое тело как система материальных точек. Степени свободы. Изучение движения твердого тела проводится в предположении,

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Кубанский государственный технологический университет Кафедра сопротивления материалов и строительной механики ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Методические

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее