ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Волгоград

3 УДК 8) М 8 Рецензенты: члены совета Камышинского филиала НАЧОУ ВПО СГА; преподаватель высшей категории ГБОУ СПО «Камышинский технический колледж» А В Бабичева Морозова, Е В БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ: учеб пособие В -х ч / Е В Морозова, С В Мягкова Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, ISBN ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТ- РИЯ: учеб пособие / Е В Морозова, С В Мягкова 9 с ISBN Посвящено подготовке к промежуточной и итоговой аттестации в форме тестирования студентов направлений «Информатика и вычислительная техника», «Программная инженерия» по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», 8 «Экономика» по дисциплине «Линейная алгебра» Может быть использовано для самостоятельной подготовки студентов других направлений ВПО и специальностей СПО к практическим занятиям и итоговой аттестации по дисциплинам математического цикла, включающим данные разделы Ил Библиогр: назв Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Учебное издание Елена Васильевна Морозова, Светлана Васильевна Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В -Х ЧАСТЯХ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Редактор Попова Л В Компьютерная верстка Сарафановой Н М Темплан г, поз К Подписано в печать г Формат 8 / Бумага листовая Печать офсетная Усл печ л, Уч-изд л, Тираж экз Заказ Волгоградский государственный технический университет, г Волгоград, пр Ленина, 8, корп Отпечатано в КТИ 8, г Камышин, ул Ленина, ISBN ч) ISBN Волгоградский государственный технический университет,

4 Введение Обучение многогранный, развивающийся процесс Контроль знаний одна из его сторон, где компьютерные технологии продвинулись максимально далеко Среди них тестирование занимает ведущую роль, потеснив традиционные формы контроля устные и письменные экзамены, зачеты и коллоквиумы Таким образом, тестирование является одной из форм контроля знаний обучающихся студентов), который осуществляет преподаватель после изучения ими всей программы учебной дисциплины или части ее Тестовые задания должны охватывать все программные вопросы учебной дисциплины по темам и разделам Содержательно они ориентируются на контроль знания определений основных явлений; законов и процессов; понятий, терминологии и формул; фактического материала изучаемой дисциплины Учебное пособие разработано на основе тестовых заданий интернет-тренажеров сайта i-emru Предлагаемое учебное пособие посвящено подготовке к промежуточной и итоговой аттестации в форме Интернет-тестирования студентов направлений «Информатика и вычислительная техника», «Программная инженерия» по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», для студентов направления 8 «Экономика» по дисциплине «Линейная алгебра» Оно также может быть использовано для самостоятельной подготовки студентов других направлений ВПО и специальностей СПО к практическим занятиям и итоговой аттестации по дисциплинам математического цикла, включающим данные разделы

5 Раздел Матрицы и определители Определители Задание Определитель равен а) ; б) ; в) ; г) Общий множитель строки столбца) можно вынести за знак определителя, следовательно, Ответ: а) Задание Определитель, если значение равно а) ; б) ; в) ; г) Определитель второго порядка вычисляется по формуле: Тогда ) По условию задачи определитель должен быть меньше нуля, то есть Из предложенных ответов условию задачи удовлетворяет число < Ответ: а) Задание Определитель равен

6 а) 9; б) 9; в) 8; г) 89 Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: 9 Ответ: а) 9 Задание Определитель равен а) ; б) ; в) ; г) Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: ) ) ) ) ) ) Ответ: а) Задание Разложение определителя по строке может иметь вид а) ; б) ;

7 в) ; г) Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: Ответ: а) Задание Определитель не равный нулю может иметь вид а) ; б) ; в) ; г) Вычислим каждый из определителей, например, разложением по первой строке: а) 8 ) б) ) ) в) ) 8 =

8 г) ) Ответ: а) Задание Определитель равный нулю может иметь вид а) 9 ; б) 9 ; в) ; г) Вычислим каждый из определителей, например, разложением по последнему столбцу: ) ; ) 9 9 б) ; ) 9) в) ; ) г) ) ) Ответ: а) 9

9 Задание 8 Корень уравнения х х равен а) ; б) ; в) ; г) 9 Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: По условию задачи определитель должен равняться, то есть + = Следовательно, = Ответ: а) Задание 9 Корень уравнения равен а) ; б) ; в) ; г) Определитель второго порядка вычисляется по формуле: Тогда ) ) По условию задачи определитель должен равняться есть Следовательно, Ответ: а), то 8

10 Операции над матрицами Задание Даны матрицы, B 8 Тогда матрица C = B равна 9 а) ; б) 8 в) ; г) Найдем матрицу С: 9 C B 8 Ответ: а) Задание Даны матрицы ; и B Тогда матрица C B имеет вид а) ; б) ; 8 9 9

11 8 в) ; г) Произведением B матрицы размера m n на матрицу B размера n l называется матрица C размера m l, элемент которой c ij равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы B Тогда ) C B ) ) ) 8 Ответ: а) 8 Задание Даны матрицы и B Тогда матрица C B имеет вид а) ; б) 9 ; в) ; г) 9 Произведением B матрицы А размером m n на матрицу В размером n l называется матрица С размером m l, элемент которой c ij равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В То есть C B 9

12 Ответ: 9 Задание Даны матрицы, B Тогда матрица B C равна а) ; б) ; в) 8 9 ; г) Матрица C находится следующим образом: 8 8 B C Ответ: а) Задание Дана матрица Если B T, то матрица B равна а) ; б) ; в) ; г) 8 8 При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга В данном случае:

13 T T B Ответ: а) Задание Дана матрица Если B T = E, где E единичная матрица того же размера, что и матрица, то матрица B равна а) ; б) ; в) ; г) При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга В данном случае:, T B E T B 8 T B Следовательно, B

14 Ответ: а) Задание Даны матрицы: а 8 8,, C 8 Если матрица C T B E, где E единичная матрица того же размера, что и матрицы, B и C, то значение равно а) ; б) 9; в) 9; г) При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга, при транспонировании матрицы соответствующие столбцы матрицы меняются местами со строками с сохранением порядка элементов Тогда c b e Ответ: а) Задание 8 Даны матрицы ) и B Тогда матрица C B имеет вид а) 8); б) ; в) ; г) 8 8) 8 8 Произведением B матрицы размера m n на матрицу B размера n l называется матрица C размера m l, элемент которой c ij равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы B

15 Тогда: 8 8 ) 9 ) ) ) 8 9 B C Ответ: а) 8) Задание 9 Умножение матрицы на матрицу B возможно, если эти матрицы имеют вид а), B ; б), B ; в), B ; г), B Произведением B матрицы размера n m на матрицу B размера l n называется матрица C размера l m, элемент которой ij c равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы B Тогда 9 8 B C Ответ: а), B

16 Задание Дана матрица Тогда матрица T C равна а) ; б) ; в) ; г) При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга, при транспонировании матрицы соответствующие столбцы матрицы меняются местами со строками с сохранением порядка элементов Тогда T T C Ответ: а) Задание Даны матрицы и B Если C = + B, то след матрицы C равен а) ; б) 8; в) ; г)

17 Матрица C находится следующим образом: B С След матрицы равен сумме элементов главной диагонали: tr Ответ: а) Задание Даны матрицы y и B Если, E B T где E единичная матрица того же размера, что и матрицы и B, то сумма + y равна а) ; б) ; в) ; г) Найдем матрицу следующим образом: T T B E B E ) ) ) ) T T Тогда сумма y Ответ: а) Задание Дана матрица

18 Если, T B то матрица B равна а) ; б) ; в) ; г) 8 8 При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга В данном случае: T T B Ответ: а) Задание Дана матрица Если матрица C = + B является диагональной, то матрица B может иметь вид а) ; б) ;

19 в) ; г) При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга Так как матрица C является диагональной, то она должна иметь вид: c C c Тогда: B c C c c Например, B Ответ: а) c c c c c Задание Матрицы, B, C имеют одинаковую размерность Если E единичная матрица того же размера, что и матрицы, B, C, и матрица С = А + В Е, тогда верно равенство а) B = C + E; б) = C B + E; 8 8 c 8 c

20 в) E = C B; г) C E = + B Если выразить матрицу B, то получим равенство: B = C + E Ответ: а) B = C + E Задание Дана матрица Если А В = Е, где E единичная матрица того же размера, что и матрица, то матрица B равна B а) ; б) 9 ; в) Матрица В находится следующим образом: E Ответ: а) Задание Даны матрицы 8 и ; г) B Если С = А В, то элемент матрицы C равен ) ; б) ; в) ; г) При вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц вычитаются друг из друга Тогда c а b Ответ: )

21 Задание 8 Даны матрицы и B T Если матрица C B является вырожденной, то значение равно а) ; б) ; в) ; г) При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга, при транспонировании матрицы соответствующие столбцы матрицы меняются местами со строками с сохранением порядка элементов Тогда C B T ) Так как определитель вырожденной матрицы равен нулю, то вычислим: C ) ) T ) ) ) ) Тогда и, следовательно Ответ: а)

22 Ранг матрицы Задание Ранг матрицы 8 равен а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры второго порядка, например M 8 8 8, то ранг матрицы равен двум Ответ: а) Задание Ранг матрицы равен а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Вычислим миноры первого, второго и третьего порядков M ; M ; M ) ) ) ) Тогда ранг матрицы А будет равен двум, так как наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю, равен двум Ответ: а) )

23 Задание Матрица, ранг которой равен единице, может иметь вид а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Вычислим ранг каждой матрицы а) Так как существует ненулевой минор первого порядка, например M, а минор второго порядка M б), то ранг матрицы равен единице Так как существует ненулевой минор второго порядка M, то ранг матрицы равен двум в) Так как существует ненулевой минор второго порядка M, то ранг матрицы равен двум г) Так как существует ненулевой минор второго по- рядка M, то ранг матрицы равен двум Ответ: а) Задание Ранг матрицы равно равен двум, если значение

24 а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Ранг матрицы будет равен двум, если минор второго порядка не равен нулю Вычислим M ) ) Следовательно,, Ответ: а) Задание Ранг матрицы равен двум, если значе- ние равно а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры второго порядка, например: M 8, то ранг матрицы А будет равен двум, если минор третьего порядка равен нулю Вычислим M ) Следовательно,, или Ответ: а) Задание Ранг матрицы 9 равен а) ; б) ; в) ; г) )

25 Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры третьего порядка, например: M, то ранг матрицы равен трем Ответ: а) Задание Ранг матрицы равен а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры третьего порядка, например, M ) ) )) то ранг матрицы равен трем Ответ: а) Задание 8 Дана матрица равен а) ; б) ; в) ; г) не определен Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Проверим существование обратной матрицы А, для чего вычислим определитель матрицы разложением по третьему столбцу): )) 9 Тогда ранг матрицы B 9,

26 , ) ) следовательно обратная матрица существует Тогда матрица E B единичная матрица размерности Следовательно, существует ненулевой минор третьего порядка:, M то есть ранг матрицы равен трем Ответ: а) Задание 9 Ранг матрицы равен двум Тогда значение равно а) i; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры второго порядка, например:, M то ранг матрицы будет равен двум, если минор третьего порядка равен нулю Вычислим :, ) ) ) ) i M Ответ: а) i

27 Задание Ранг матрицы равен двум, если значение не равно а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Следовательно, если минор второго порядка не равен нулю, то ранг будет равен двум Вычислим: M ) То есть или Ответ: а) Задание Ранг матрицы равен единице Тогда матрица может иметь вид а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю а) Матрица имеет ненулевой минор первого по- рядка, M, а все миноры более высокого порядка рав- ны нулю Следовательно, ее ранг будет равен единице б) Матрица имеет ненулевой минор третьего порядка, M

28 Следовательно, ее ранг будет равен трем в) Матрица имеет ненулевой минор второго по- рядка, например, M, а минор третьего порядка M, так как первая и третья строки одинаковы Следовательно, ее ранг будет равен двум г) Матрица имеет ненулевой минор второго порядка, например, M, а минор третьего по- рядка M, так как третья строка состоит из нулевых элементов Следовательно, ее ранг будет равен двум Ответ: а) Задание Если минор второго порядка некоторой матрицы M и все миноры более вы- сокого порядка этой матрицы равны нулю, то ранг равен а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Следовательно, ранг равен двум

29 Ответ: а) Задание Ранг матрицы при равен а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю В данном случае существуют ненулевые миноры первого порядка: M, так как, а все миноры более высокого порядка равны нулю Следовательно, ранг равен одному Ответ: а) Задание Ранг матрицы равен двум, если значение равно а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Так как существуют ненулевые миноры второго порядка, например: M 8, то ранг матрицы будет равен двум, если минор третьего порядка равен нулю Вы- числим M ) Следовательно, или Ответ: а) 8 )

30 Задание Ранг матрицы 9 равен двум, если значение равно а) ; б) ; в) ; г) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю Ранг матрицы А будет равен двум, если минор второго порядка не равен нулю Вычислим: M 9 9) ) 9) Следовательно,, Ответ: а) Задание cos sin Ранг матрицы sin cos равен а) ; б) ; в) ; г) Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю В данном случае существует ненулевой минор третьего порядка: M cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin ) sin cos Следовательно, ранг равен трем Ответ: а) Обратная матрица Задание Для матрицы обратная матрица равна 9 sin )

31 а) ; б) ; в) ; г) Обратная матрица имеет вид:, вычислим:, ), ) ), ) ), ) ), ) ), ) ), ) )

32 ) ), ) ), ) ) Получается, что обратная матрица равна Ответ: а) Задание Для матрицы существует обратная, если ее определитель а) ; б) ; в) = ; г) Для матрицы существует обратная, если определитель матрицы не равен нулю Ответ: а) То есть или Задание cos Для матрицы А не существует обратной, если равно sin а) ; б) ; в) ; г) Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть

33 cos sin cos sin sin, тогда обратной матрицы не существует при k, k Ответ: а) Z Задание Для матрицы не существует обратной, если зна- чение равно а) ; б) ; в) ; г) Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть существует обратная, если равно, или Ответ: а) Задание Для матрицы а) ; б) i ; в) ; г) i Матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю, то есть ),

34 тогда обратная матрица существует при ; i; i, например, при Ответ: а) Задание Для матрицы i i i не существует обратной, если равно а) = i ; б) = i + ; в) = i ; г) = i + Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть i i i i) i) i i ) i, тогда обратной матрицы не существует при = i Ответ: а) = i Задание Для матрицы не существует обратной, если значение равно а) ; б) ; в) ; г) Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть ) ) ) х) х х ) ) или )) ))

35 Ответ: а) Задание 8 Обратной для матрицы является матрица а) ; б) ; в) ; г) Для обратных матриц справедливо свойство E Проверим выполнение этого свойства: а) А А ) ) ) ) ) ) ) ) ) является единичной матрицей, следовательно, матрица является обратной матрицей для исходной матрицы; б) А А

36 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) не является единичной матрицей, следовательно, матрица не может быть обратной матрицей для исходной матрицы; в) А А ) ) ) не является единичной матрицей, следовательно, матрица не может быть обратной матрицей для исходной матрицы; г) А А ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

37 не является единичной матрицей, следовательно, матрица не может быть обратной матрицей для исходной матрицы Ответ: а) Задание 9 Для матрицы существует обратная, если она равна а) ; б) ; в) ; г) 9 8 Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю, тогда 8 ) 9 Ответ: а) Задание Для матрицы существует обратная, если она равна а) ; б) ;

38 в) ; г) Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю, тогда Ответ: а) ) Задание Обратная матрица существует для матрицы ) а) cos sin ; б) sin cos tg ; ctg sin sin cos sin в) ; г) cos cos cos Матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю Тогда а) cos sin cos cos sin ) sin sin cos следовательно, обратная матрица существует; cos sin,

39 tg б) tg ctg, ctg следовательно, обратная матрица не существует; в) sin sin sin sin cos sin cos следовательно, обратная матрица не существует; cos sin г) cos sin cos ) sin cos cos следовательно, обратная матрица не существует sin,, Ответ: а) cos sin sin cos Задание Обратная матрица существует при х для матрицы а) ; б) ; в) ; г) Матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю Тогда а) 8

40 ) ) ), при, следовательно, обратная матрица существует; б), так как первая и третья строки пропор- циональны, следовательно, обратная матрица не существует; в), так как все строки одинаковые, следо- вательно, обратная матрица не существует; г), так как первая и вторая строки пропор- циональны, следовательно, обратная матрица не существует Ответ: а) Системы линейных уравнений Задание Базисное решение системы y z 8, может иметь вид y z а) ; ; ); б) ; ; ); в) ; ; ); г) ; ; ) По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: ~ ~ 9 Следовательно, система может быть записана в виде: y z 8, 8 y z, z, y z y z 9 y z

41 где z свободная переменная, а и y базисные Общее решение будет иметь вид: z; z; z) Базисным решением называется всякое решение системы, в котором свободные переменные имеют нулевые значения Значит, ответом является ; ; ) Ответ: а) ; ; ) Задание Единственное решение имеет однородная система линейных уравнений y z, y z, а) y z, б) y z, в) y y y y z 9z z z,,,, Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если ее определитель не равен нулю y z, а) из системы y z, получим: y z г) y y y y z z z z ), следовательно, система имеет единственное решение; y z, б) из системы y z, y z ) получим:,,,,

42 так как последние две строки пропорциональны; y 9z, в) из системы y z, получим:, так как последние два столбца пропорциональны; г) из системы, так как первый и третий столбцы пропор- циональны Ответ: а) 9 y z y y y z z z,, получим: y y y z z z,, Задание Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений заключается а) в последовательном исключении переменных; б) в последовательном исключении свободных членов; в) в нахождении обратной матрицы; г) в вычислении вспомогательных определителей системы Метод Гаусса представляет систематизированную схему последовательного исключения переменных Ответ: а) в последовательном исключении переменных Задание Система y y z 9z, будет

43 а) совместной и неопределенной; б) несовместной и неопределенной; в) совместной и определенной; г) несовместной и определенной По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к треугольной форме Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: 9 ~ 9 Получили единственное решение Ответ: а) имеет единственное решение ~ Значит, ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и система будет совместной Так как количество переменных больше ранга матрицы, система имеет бесконечное число решений, а значит, является неопределенной Ответ: а) совместной и неопределенной Задание y, Система линейных уравнений y y 9, а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет два решения; г) имеет бесконечное множество решений По методу Гаусса приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме, а именно: ~ 8 ~ ~ ~ 9 Следовательно, y y,, y, y, y,

44 Задание Даны матрицы 8 9 и B Тогда решением уравнения А Х = В является матрица X, равная а) ; б) 8 9 ; в) ; г) 9 9 При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга Из матричного уравнения А Х = В получаем: 8 9 X B 8 ) Ответ: а) 8 9) 9 Задание Для невырожденной квадратной матрицы решение системы X B в матричной форме имеет вид а) X B ; б) X B ; в) X B ; г) X B Для невырожденной квадратной матрицы решение системы X B в матричной форме имеет вид: X B Ответ: а) X B Задание 8 Если, B, то решение матричного уравнения X Bимеет вид 8 9

45 а) ; б) ; в) ; г) Решение матричного уравнения имеет вид: X где обратная матрица B, Вычислим последовательно: ; ) ; ) ; ) ; ) Тогда Следовательно, Ответ: а) X B Задание 9 9 Даны матрицы и B Тогда решение матричного уравнения X B имеет вид а) ; б) ; в) ; X г) Решение матричного уравнения имеет вид: B, где обратная матрица Вычислим последовательно: 9 9 ) ) 9 8,

46 ) ), ), ) ), ) 9 9 Тогда 9 9 Следовательно, X B 9 Ответ: а) Задание Матричным методом может быть решена система линейных уравнений 9y, 9y, а) б) y, y, 9y z, z, в) г) y z, z Систему линейных алгебраических уравнений можно решить матричным методом, если ее определитель не равен нулю 9y, а) из системы получим: y 9 ) система может быть решена матричным методом 9y, б) из системы получим: y 9 ) 9 система не может быть решена матричным методом 9) Следовательно, Следовательно,

47 в) система 9y y z z, не может быть решена матричным методом, так как количество переменных превышает число уравнений z, г) из системы получим: z 9 9 ) Следовательно, система не может быть решена матричным методом 9y, Ответ: а) y ) 8 8 Задание Матричным методом не может быть решена система линейных уравнений z, z, а) б) z, z, y, z y, в) г) y, z y Систему линейных алгебраических уравнений можно решить матричным методом, если ее определитель не равен нулю z, а) из системы получим: z ) ) система не может быть решена матричным методом z, б) из системы получим: z, следовательно, 8

48 следовательно, система может быть решена матричным методом y, в) из системы получим: y 8, следовательно, система может быть решена матричным методом z y, г) из системы получим: z y ) ) следовательно, система может быть решена матричным методом z, Ответ: а) z Задание Фундаментальное решение может быть вычислено для системы вида y, y z, а) б) y z ; y z ; в) y y, ; г) Фундаментальное решение может быть вычислено для однородной системы линейных алгебраических уравнений Однородной системой линейных алгебраических уравнений называется система, все свободные члены которой равны нулю В нашем случае это система y, y z Ответ: а) y y, z y y z,,

49 8 Задание Решение системы линейных уравнений, y y методом Крамера может иметь вид а) ; y ; б) ; y ; в) ; y ; г) ; y Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой находится по формулам Крамера:,,,, n n где ),,, n j j определитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов То есть ; y Ответ: а) ; y

50 Задание Решение системы линейных уравнений Крамера может иметь вид а) в) ; y ; б) ; y ; г) 9 y y методом ; y ; ; y Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой, находится по формулам Краме- n ра,,,, где j,,, n) опре- n делитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов, то есть ; y Ответ: а) ; y Задание Методом Крамера можно решить систему линейных уравнений y, y, а) б) y ; y ; j

51 y, y, в) г) y ; y Систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Крамера, если ее определитель не равен нулю y, а) из системы y получим, следовательно, система не может быть решена методом Крамера; y, б) из системы y получим ) ), следовательно, система не может быть решена методом Крамера; y, в) из системы y получим ) ), следовательно, система не может быть решена методом Крамера; y, г) из системы y получим ), следовательно, система может быть решена методом Крамера; y, Ответ: г) y Задание Методом Крамера не может быть решена система линейных уравнений

52 а) y y y,, б) y y в) г) Систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Крамера, если ее определитель не равен нулю y, а) из системы получим: y, y y y следовательно, система не может быть решена методом Крамера; y, б) из системы получим: y ),, следовательно, система может быть решена методом Крамера; y, в) из системы получим: y ) следовательно, система может быть решена методом Крамера; y, г) из системы получим: y ) следовательно, система может быть решена методом Крамера y, Ответ: а) y,,,

53 Задание Методом Крамера не может быть решена система линейных уравнений y, y, а) б) y ; y ; y, y, в) г) y ; y Систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Крамера, если ее определитель не равен нулю y, а) из системы получим: y, следовательно, система не может быть решена методом Крамера; y, б) из системы получим: y 8, следовательно, система может быть решена методом Крамера; y, в) из системы получим: y, следовательно, система может быть решена методом Крамера; y, г) из системы получим: y, следовательно, система может быть решена методом Крамера

54 Ответ: а) Задание 8 y y Дана система уравнений, y Тогда вспомогательный определитель для переменной y, при применении метода Крамера, равен а) ; б) ; в) 8; г) Для решения системы линейных уравнений y z, y y z z y y z z z, применяется метод Крамера Тогда вспомогательный определитель равен: 8) Ответ: а) Задание 9 Даны матрицы 9) ) и 8,, для переменной y B 8 Тогда решением уравнения + X = B является матрица X, равная а) ; б) ; в) ; г) 8 9 8

55 При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга Из матричного уравнения 8 9 ) ) 8 ) 9 8 B X Следовательно, X Ответ: а) Задание Однородная система,, z y z z y имеет только одно нулевое решение, если принимает значения не равные а) ; б) ; в) ; г) Система линейных однородных уравнений,, z c y b z c y b z c y b имеет только одно нулевое решение, если определитель матрицы системы не равен нулю: c b c b c b

56 Тогда: ) ) ) 8 Значит, если, то у данной системы будет единственное нулевое решение Ответ: а) Задание Даны матрицы и В Тогда решение матричного уравнения X B имеет вид а) ; б) ; 8 в) ; г) 8 Решение матричного уравнения имеет вид: X B, где обратная матрица Вычислим последовательно: ) ) ) ) ) ) ),,, ) Тогда ) )), ))

57 X Следовательно: B Ответ: а) Задание Система y y y 8 z z z,, 8 совместна, если 8 не равно а) ; б) ; в) ; г) Система линейных уравнений совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы Расширенная матрица системы имеет вид Вычислим, например, минор третьего порядка этой матрицы не содержащий элемент : M 8 ) ) ) Ранг расширенной матрицы равен трем Тогда ранг матрицы системы должен быть равен трем определитель матрицы системы не равен нулю) Из этого условия находим : 8) ) Значит Ответ: а) ) 8

58 Квадратичные формы Задание Матрица квадратичной формы f, ) имеет вид а) ; б) ; в), ; г) Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали Слагаемые из формы можно представить в виде: ), i j i j ij ji i j Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i- столбцу матрицы в силу того, что, поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т е, записываются на главной диагонали Для данной фор- i i i мы элементы матрицы,,, Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей Ответ: а) Задание Положительно определенная квадратичная форма может иметь вид а) ; б) ; ij i i j j ji j в) ; г) Квадратичная форма L называется положительно отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных,,, n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, L,,, i j i

59 n ) > L < ) Для матрицы характеристическое уравнение E имеет положительные корни ; Следовательно, на основании критерия квадратичная форма f, ) положительно определенная Ответ: а) f, ) Задание Матрице f, ) равная соответствует квадратичная форма а) ; б) ; в) ; г) Слагаемые из формы можно представить в виде: ), i j i j ij ji i j Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что, поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т е, записываются на главной диагонали Для данной формы i i i элементы матрицы,,, Следовательно, заданная квадратичная форма имеет вид: f, ) Ответ: а) ij i i j j ji j j i i 8

60 Задание Матрице соответствует квадратичная форма f,,,), равная а) ; б) ; в) ; г) Слагаемые из формы можно представить в виде: i j ij ji ) i j ij i j ji j i, i j Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что, поэтому на каждой из i j двух позиций ij и ji матрицы записывается по Соответственно, коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть i i i, записываются на главной диагонали Для данной формы элементы матрицы равны:,,,,,,,, ; Следовательно, данная квадратичная форма имеет вид: f,, ) Ответ: а) Задание Канонический вид квадратичной формы: f,, х) может иметь вид а) y y y ; б) y y y ; в) y y y ; г) y y y Приведем квадратичную форму к каноническому виду: f,, х) 9 ) ) 9 j i

61 Введем замену y ; y и y Получим канонический вид: f y, y, y) y y y Ответ: а) y y y Задание Матрица квадратичной формы f, ) имеет вид 8 8 а) ; б) ; в) ; г) 8 8 Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали Слагаемые из формы можно представить в виде: ), i j i j ij ji i j Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i- столбцу матрицы в силу того, что, поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т е i i i, записываются на главной диагонали Для данной формы элементы матрицы, а 8, Следовательно, заданная квадратичная форма описывается 8 матрицей 8 Ответ: а) 8 8 ij i i j j j ji i j i Задание Матрица квадратичной формы f,, х) имеет вид

62 а) ; б) ; в) ; г) Слагаемые из формы можно представить в виде: ) i i j ij ji i j ij, j Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что i j i j j i ji j i, поэтому на каждой из i i i двух позиций ij и ji матрицы записывается по Соответственно, коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть, записываются на главной диагонали Для данной формы элементы матрицы равны:,,,,, Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей Ответ: а)

63 Раздел Элементы векторной алгебры Линейные операции над векторами Задание Даны три вектора: ; ; ), b ; ; ) и c ; ; ) Тогда вектор b c при, равном а) ; б) ; в) ; г) Для того чтобы умножить вектор на число, надо умножить на это число его координаты, а для того чтобы сложить или вычесть векторы, надо сложить или вычесть их соответствующие координаты Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты В нашем случае b c ; ; ; ) ; ; ) Следовательно, Ответ: а) Задание Даны три вектора: ; ; ), b ; ;) и c ; ;) Тогда b c при равном а) ; б) ; в) ; г) Для того чтобы умножить вектор на число, надо умножить на это число его координаты, а для того чтобы сложить или вычесть векторы, надо сложить или вычесть их соответствующие координаты Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты В нашем случае b ; ; ) ; ; ) ; ; ; ) ; ; ) ) ; Тогда b c при ; ; ) ; ; ), то есть при Ответ: а) Задание Даны два вектора ; ; ) и b ;; ) Тогда вектор b будет коллинеарен вектору а) ; ; ); б) ; ; ); в) ; ; ); г) ; ; ) ; )

64 Для того чтобы умножить вектор на число, надо умножить на это число его координаты, а для того чтобы сложить или вычесть векторы, надо сложить или вычесть их соответствующие координаты В нашем случае b ; ;) ;; ) ; ; ) ; ; ) Два вектора c и d будут коллинеарными, если c d Так как b ; ; ), то он коллинеарен вектору ; ; ) Ответ: а) ; ; ) Задание Векторы, b, c и d изображены на рисунке c d b Тогда вектор b d будет равен а) ; б) c ; в) c ; г) По правилу треугольника b d Следовательно, b d) Ответ: а) Задание Векторы, b, c и d изображены выше на рисунке Тогда вектор с будет равен а) b ; б) d ; в) c ; г) По правилу параллелограмма b c Следовательно, c b Ответ: а) b

65 Задание Дан параллелограмм BCD Векторы B ; ; ), D ; ; ) Тогда вектор C BD имеет координаты а) ; ; ); б) ; ; 8); в) ; ; ); г) ; ; ) По «правилу параллелограмма» C B ВС B D, BD D B Следовательно, C BD D ; ; ) Ответ: а) ; ; ) Задание Дан параллелограмм BCD Векторы B ; ; ), D ; ; ) Тогда вектор C BD имеет координаты а) 8; ; ); б) ; 8; ); в) ; ; 8); г) ; ; ) По «правилу параллелограмма» C B ВС B D, BD D B Следовательно, C BD В ; ; ) 8; ;) Ответ: а) 8; ; ) Задание 8 Даны три точки: = ; ; ), B = ; ; ) и C = ; y; z) Тогда B C, если точка С имеет координаты а) ; 9; ); б) ; ; ); в) ; ; ); г) ; ; ) Для того чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала B = ; ); )=; ; ), C = ; y + ; z ) Для того чтобы умножить вектор на число, надо умножить на это число его координаты, а для того чтобы сложить или вычесть векторы, надо сложить или вычесть их соответствующие координаты Тогда B C = ; ; ) + ; y + ; z ) = ; y + 9; z + ) Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты Следовательно, B C при =, y = 9, z =, то есть C = ; 9; ) Ответ: а) ; 9; )

66 Скалярное произведение векторов Задание В ортонормированном базисе заданы векторы ; ; ; ) и b ; ; ; ) Тогда их скалярное произведение будет равно а) ; б) ; в) ; г) Скалярное произведение векторов ; ; ; и b b ; b ; b ; b заданных своими координатами, равно b b b b b В нашем случае b ) ) Ответ: а) Задание В ортонормированном базисе заданы векторы ; ; k; и b ; ; ; Тогда их скалярное произведение будет равно при k, равном а) ; б) ; в) ; г) Скалярное произведение векторов ; ; ; и b b ; b; b; b можно определить как b b b b b В нашем случае b k, то есть k и k Ответ: а) Задание Даны векторы ; ; ), b ; ;) Тогда скалярное произведение векторов ) и b) будет равно а) ; б) ; в) ; г)

67 Скалярное произведение векторов ; ; и b b ; b ; b b b, заданных своими координатами, равно: b b В нашем случае b ) ) Тогда ) b) b) ) Ответ: а) Задание Угол между векторами ; ; ) и b ;; ), заданными в ортонормированном базисе, равен а) ; б) ; в) ; г) Косинус угла между векторами ; ; и b b ; b ; b, заданными своими координатами, находится по формуле: cos b b b b где b b b b В нашем случае b ) ), то есть cos и, следовательно, угол, Ответ: а) Задание Даны два вектора p q и b p q где p, q, Тогда скалярное произве- угол между векторами p и q равен дение векторов и b будет равно а) ; б) ; в) ; г)

68 Скалярное произведение векторов и b равно: b p q) p q) p p p q q p q q p p q cos q Ответ: а) Задание Дан вектор p q, где p, q, угол между векторами p и q равен Тогда модуль вектора будет равен а) ; б) ; в) ; г) Так как, ), то 9, ) Ответ: а) p q) p p p cos q Задание Даны точки ; ; ), B; ; ), C; ; ) и D ; ;) b Тогда векторы B и CD будут перпендикулярны при, равном а) ; б) ; в) ; г) Векторы B и CD будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю Скалярное произведение векторов B ; ; ) и CD b ; b ; ), заданных своими координатами, равно: B CD b b b В нашем случае B ; ; ); CD ; ; ) и B CD ) ) )

69 Откуда Ответ: а) Задание 8 Даны точки ; ; ), B ; ; ), C ; ; ) и D ; ; ) Скалярное произведение векторов B и CD будет равно при, равном а) ; б) ; в) ; г) Скалярное произведение векторов B ; ; ) и CD 8 b ; b; b ), заданных своими координатами, равно: B CD b b b В нашем случае B ; ; ), CD ; ; ) и B CD ) ) Тогда и Ответ: а) Векторное произведение векторов Задание ) Векторное произведение векторов и b равно ; ; Тогда вектор c b будет иметь координаты а) 8 ;; ; б) 8 ; ; ; в) ; ; ; г) ;; По свойствам векторного произведения векторов: b b В нашем случае: c b b Ответ: а) 8 ;; ) ; ; ) Задание Векторное произведение векторов 8;; ) i j k и

70 b i j k равно а) i j k ; б) i j k ; в) i j k ; г) г) i j k Векторное произведение двух векторов ; ; и, заданных своими координатами, находится по фор- b b ; b; b муле:, b b i j k b b b b В нашем случае:, b i j k i j k i j k Ответ: а) i j k Задание Даны два вектора ; ; ) и b ; ; ) Тогда модуль векторного произведения векторов и b равен а) ; б) ; в) ; г) Векторное произведение двух векторов ; ; и b b ; b; b, заданных своими координатами, находится по формуле:, b i j k i i j k b b b b b b b b b В нашем случае: b b j b b k 9

71 i j k, b i j k i j Следовательно, модуль векторного произведения векторов а и b равен, b ) ) Ответ: а) Задание Векторное произведение векторов p q и b p q равно а) p q ; б) 8 p q ; в) p q ; г) p q Вычислим: b p q)p q) p p p q q p 8q q Так как p p, q q, q p p q, то b p q Ответ: а) p q Задание Векторное произведение векторов ;; ) и b ; ; ) равно ; ; ) при, равном а) ; б) ; в) ; г) Векторное произведение двух векторов ; ; и b b ; b; b формуле :, b i k, заданных своими координатами, находится по i j k b b b b b b b b b j k

72 i В нашем случае, b ) i ) j k Следовательно, Ответ: а) Задание Площадь треугольника, построенного на векторах и b i k, равна j а) ; б) ; в) ; г) Площадь S треугольника, построенного на векторах и b, равна модуля векторного произведения этих векторов, то есть S, b В нашем случае: i j k, b i j k i k Следовательно, площадь треугольника равна: S, b ) k i j k Ответ: а) Смешанное произведение векторов Задание Смешанное произведение cb векторов ; ; ), b ; ; ) и c ; ; ) равно а) 8; б) 8; в) ; г)

73 Смешанное произведение векторов ; ; ), c b c c ; c ; ) и b b ; b ; ), заданных своими координатами, находится по формуле cb c c c В нашем случае cb 8 Ответ: а) 8 Задание Даны векторы ; ; ), b ; ; m), и c ; ;) Смешанное произведение cb Тогда значение m равно а) ; б) ; в) ; г) Смешанное произведение векторов ; ; ), b b b c b c c ; c ; ) и b b ; b ; ), заданных своими координатами, находится по формуле cb c c c В нашем случае cb m Вычислив определитель, получим уравнение m Решая уравнение, получим m Ответ: а) Задание Векторы ; ;, b ; ; и c ; ; компланарны, если параметр равен а) ; б) ; в) ; г) b b b

74 Векторы, b и c компланарны, если их смешанное произведение равно Смешанное произведение векторов: ; ;, b b ; b; b и c c ; c; c находится по формуле: c bc b b b c c В нашем случае bc,, заданных своими координатами, то есть векторы, b и c компланарны при Ответ: а) Задание Объем параллелепипеда, построенного на векторах: ; ; ), b ; ;), c ; ;) равен а) ; б) ; в) 8; г) Объем параллелепипеда, построенного на векторах, b, c, равен модулю смешанного произведения этих векторов Вычислим смешанное произведение векторов: ; ;, b b ; b ; b и c c ; c c;, заданных своими координатами, по формуле: V bc, где bc b b b c c c В нашем случае bc, то есть V Ответ: а)

75 Задание Значение выражения b) b) равно а) bc ; б) bc ; в) ; г) По свойствам смешанного произведения: b) c b) c b) b c b) cb bcb cb bc Ответ: а) bc Задание Точки ; ; ), B; ; ), C; ; ) и D; ; ) лежат в одной плоскости, если параметр α равен а) ; б) ; в) ; г) Точки ; ; ), B; ; ), C; ; ) и D; ; ) лежат в одной плоскости, если векторы B, C и D компланарны, то есть если их смешанное произведение равно Смешанное произведение векторов ; ; и b b ; b ; b и c c; c; c, заданных своими координатами, находится по формуле: bc b c b c b c В нашем случае B ; ; ) ; ; ), b C ; ; ) ; ; 8), c D ; ; ) ; ; ) и B C D 8 8 то есть точки, B, C и D лежат в одной плоскости при Ответ: а) Задание Объем пирамиды с вершинами в точках ; ; ), B ; ; ), C; ; ) и D ;; ) равен ) 8 8,

76 а) ; б) ; в) ; г) Объем пирамиды, построенной на векторах, b и c равен модуля смешанного произведения этих векторов Смешанное произведение векторов ; ;, b b ; b; b и c c ; c; c, заданных своими координатами, находится по формуле: bc b c b c b c В нашем случае B ; ); )) ; ; ), C D ; ; ); ); )) )) ;; ), ; ;) Тогда B C D, то есть V = Ответ: а)

77 Раздел Аналитическая геометрия на плоскости Прямоугольные координаты на плоскости Задание Даны три последовательные вершины параллелограмма ; ), B ; ) и C ; ) Тогда координаты четвертой вершины D ; y) равны а) ; ; б) ; ; в) ; ; г) ; Найдем координаты точки O ; y ) пересечения диагоналей параллелограмма, как координаты середины отрезка C :, y Тогда координаты точки D ; y) находятся как: y ; То есть точка D ; y) имеет координаты ; Ответ: а) ; Задание Даны точки А ; ) и B ; ) Тогда координаты точки C; y), симметричной точке B относительно точки, равны а) ; ); б) ; ); в) ; ); г) ; ) Воспользуемся формулой деления отрезка пополам Координаты точки M, y), делящей отрезок между точками M, y ) и M,y ) пополам, находятся по формулам y, y y Тогда координаты точки C ; y) находятся как ; y ), то есть точка C; y) имеет координаты ; ) Ответ: а) ; )

78 Задание Даны точки ; ), и B ; ) Тогда координаты точки C ; y), делящей отрезок B в отношении :, равны а) 8 ; ; б) ; ; в) Координаты точки ; y), ; ; г) ; C делящей отрезок B в отношении λ, находятся по формулам y ; y y Тогда ) 8 ; y, то есть точка C ; y) имеет координаты 8 ; Ответ: а) 8 ; Задание Точка M; y) лежит на биссектрисе первого координатного угла и удалена от точки ; ) на единиц Тогда координаты точки M равны а) ; ); б) ; ); в) ; ); г) ; ) Так как точка M; y) лежит на биссектрисе первого координатного угла, то ее координаты M; y) Так как точка M; y) удалена от точки ; ) на единиц, то ) )), или =, то есть = Тогда координаты точки M равны ; ) Ответ: а) ; ) Задание Расстояние между точками ; ) и B ; m) равно при m, y равном а) ; б) ; в) ; г) Расстояние между двумя точками M,y ) и M,y ) находится по формуле: М М ) y )

79 Тогда расстояние между точками и B можно найти как B )) m ) m m Из условия B получаем, m m, то есть m m или m m Следовательно, m Ответ: а) Задание Даны вершины треугольника ; ); B ; ); C ; ) Тогда точка пересечения медиан треугольника BC имеет координаты а), ; б) ; ); в) ; ); г), Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении :, считая от вершин Найдем, например, координаты точки пересечения медианы M со стороной BC Точка M является серединой отрезка BC Координаты середины отрезка определяются по формулам: y M ; y y M Подставляя в эти формулы координаты точек B ; ) и C ; ), получим координаты точки М: M ; y M Координаты точки пересечения медиан O, y), делящей отрезок M в отношении λ, найдем по формулам: ; y y y Тогда ; y, то есть точка пересечения медиан O, y), имеет координаты, Ответ: а), 8

80 Задание Точки ; ); B; ) и С; ) лежат на одной прямой Тогда точка B делит отрезок C в отношении а) : ; б) : ; в) : ; г) : Делением отрезка АВ в заданном отношении λ называется поиск такой точки М на отрезке АВ, которая удовлетворяет соотношению Тогда искомый параметр λ будет равен: АМ МВ АМ ) )) 8 МВ ) ) Ответ: а) Задание 8 Даны две противоположные вершины квадрата А ; ) и В; ) Тогда площадь квадрата равна а),; б) ; в),; г), Площадь квадрата находится по формуле: S d, где d длина диагонали квадрата Найдем диагональ квадрата B как расстояние между двумя точками M, y ) и M, y ) по формуле: M M ) y y) d АВ )) ) Тогда площадь соответствующего квадрата будет равна: S, Ответ: а), Полярные координаты Задание В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А ; и В 8; 9 Тогда площадь этого тре-

81 угольника равна а) ; б) ; в) 8 ; г) Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле S, где сторона треугольника Точки А ; и В 8; в полярной системе координат лежат на одной прямой, и длина отрезка B равна + 8 = Тогда S Ответ: а) Задание Одна из вершин треугольника находится в полюсе О, две другие имеют координаты А ; и В 8; 9 Тогда площадь треугольника OB равна а) ; б) ; в) ; г) Площадь треугольника можно вычислить по формуле: S O OB sin где φ угол между сторонами O и OB Тогда S 9 8 sin Ответ: а) Задание Полярные координаты точки, симметричной точке М 9; относительно полюса, равны а) 9 ; ; б) 9 ; ; в) 9 ; ; г) 9 ; Полярные координаты r; φ) точки М, симметричной точке 8

82 М 9; относительно полюса, отличаются полярным углом и записываются в виде r; φ + π) или М 9;, так как Ответ: а) 9 ; Задание Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок длины Тогда уравнение этой прямой в полярных координатах имеет вид ) r ; б) r ; в) r ; г) r cos cos sin Рассмотрим прямоугольный треугольник OM, где O полюс, точка пересечения искомой прямой с полярной осью, M r; φ) произвольная точка прямой Тогда r cos, или r cos Ответ: а) r cos В 9; Задание В полярной системе координат даны две точки а) А ; и Тогда полярные координаты середины отрезка B равны ; ; б) ; ; в) ; ; г) ; Точки и B в полярной системе координат лежат на одной прямой Длина отрезка B равна Середина отрезка лежит на луче и удалена от полюса на единицы Следовательно, 8

83 полярные координаты середины отрезка B равны ; Ответ: а) ; Задание Дана окружность в полярных координатах с центром в полюсе и радиусом а Тогда уравнение этой окружности имеет вид ) r а ; б) r ; в) r ; г) r Запишем уравнение этой окружности в соответствующих прямоугольных координатах: y Перейдем от прямоуголь- ных координат к полярным по формулам: r cos, y r sin Тогда уравнение окружности примет вид: r cos ) r sin ), r cos r sin или r а Ответ: а) r а Задание Кривая в полярной системе координат задана уравнением r cos Тогда ее уравнение в прямоугольной системе координат имеет вид ) ) y ; б) ) y ; в) y ) ; г) y Перейдем в уравнении кривой к декартовым координатам Используем формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми r cos, системами координат r y, y r sin Получим cos r y Тогда y или y y 8

84 Выделим в этом уравнении полный квадрат относительно : ) y Тогда ) y А это уравнение окружности с центром в точке ; ) и радиусом Ответ: а) ) y Прямая на плоскости Задание Даны точки А ; ) и В ; ) Тогда уравнение прямой, проходящей через точку С ; ) и середину отрезка B, имеет вид а) y ; б) y ; в) y ; г) y 8 Решение: Координаты середины отрезка B равны:, y Прямая, проходящая через две данные точки М, ) и М, ), задается уравнением вида: y y y y y y Тогда y y Ответ: а) y ) ) или y Задание Прямая линия проходит через точки M ; ) и M ; ) Тогда она пересекает ось Oy в точке а) ; ; б) 8 ; ; в) ; 8 ; г) ; Прямая, проходящая через две данные точки М, y) и y y М, y), задается уравнением вида y y 8

85 y Тогда, или 8 y Точка, лежащая на оси Oy, имеет координаты M ; y) Тогда 8 y и y Ответ: а) ; Задание Прямые y и y а) параллельны; б) пересекаются под острым углом; в) перпендикулярны; г) совпадают Воспользуемся формулой cos BB B B для вычисления угла между двумя прямыми: B y и B y C 8 C ) ) Тогда cos Следовательно, угол ) ) между прямыми равен, то есть прямые либо параллельны, либо совпадают Прямые B y и B y совпадают при условии C B B C C C В нашем случае, то есть прямые не совпадают, следовательно, параллельны Ответ: а) параллельны Задание Прямая отсекает на оси O отрезок и имеет угловой коэффициент k Тогда ее уравнение имеет вид а) y ; б) y ; в) y ; г) y

86 y k Уравнение прямой, проходящей через точку ; ) вым коэффициентом k, имеет вид y y ) Искомая прямая проходит через точку ; ) Тогда уравнение прямой запишется в виде y ), или y, то есть y Ответ: а) y Задание Острый угол между прямыми y + = и + y = равен а) ; б) ; в) ; г) Воспользуемся формулой cos BB B B для вычисления угла φ между двумя прямыми: B y и B y Тогда C cos ) ) C Следовательно, острый угол между прямыми равен Ответ: а) Задание Площадь треугольника, отсекаемого прямой + y = от координатного угла, равна а) ; б) 8; в) ; г) Приведем уравнение прямой + y = к уравнению y прямой «в отрезках»: + y = или Уравнение прямой «в отрезках», отсекающей на координатных осях O и Oy от- 8


Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет. Факультет информационных технологий

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет. Факультет информационных технологий Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет Факультет информационных технологий кафедра высшей математики "УТВЕРЖДАЮ" Декан ФЭУ Рычка И.А. " " 007г. РАБОЧАЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее