Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)"

Транскрипт

1 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная. F (, y, y ) = 0, (1.1) Уравнение, разрешенное относительно производной: y = f(, y), (1.2) Частное решение дифференциального уравнения на интервале (a, b) любая функция y = ϕ(), дифференцируемая на интервале (a, b) и обращающая уравнение (1.1) (или (1.2)) в тождество: или F (, ϕ(), ϕ ()) 0 ϕ () f(, ϕ()). Частный интеграл частное решение, записанное в неявном виде Φ(, y) = 0. Интегральная кривая график частного решения (частного интеграла). Общее решение дифференциального уравнения семейство функций y = ϕ(, C) такое, что при любом фиксированном значении параметра C функция y = ϕ(, C) является частным решением данного уравнения, и наоборот, любое частное решение может быть представлено в виде y = ϕ(, C) при некотором значении параметра C. Общий интеграл общее решение, записанное в неявном виде: Начальное условие: где 0, y 0 некоторые числа. Φ(, y, C) = 0. y( 0 ) = y 0 или пишут y =0 = y 0, (1.3) Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение дифференциального уравнения y = f(, y), удовлетворяющее начальному условию y( 0 ) = y 0. Геометрически это означает, что на плоскости задается точка M 0 ( 0, y 0 ), через которую должна проходить интегральная кривая.

2 2 Теорема 1.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть функция f(, y) и ее частная производная f y(, y) непрерывны в прямоугольнике ( 0 a, 0 + a) (y 0 b, y 0 + b). Тогда найдется такое 0 < δ a, что на интервале ( 0 δ, 0 + δ) существует единственное решение задачи Коши y = f(, y), y( 0 ) = y 0. (1.4) Геометрически это означает, что через точку ( 0, y 0 ) проходит единственная интегральная кривая. Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, не на всем интервале ( 0 a, 0 + a), а только в некоторой окрестности точки Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение вида y = f()g(y) (1.5) называется уравнением с разделяющимися переменными. Алгоритм решения: 1) Так как y = dy, то преобразуем уравнение следующим образом: d dy d = f()g(y) d dy = f()g(y)d, g(y) dy = f()d. g(y) (1.6) Отметим, что в этом и заключается прием разделения переменных: с одной стороны выражения содержат только переменную, а с другой только y. Уравнение (1.6) называют уравнением с разделенными переменными. Интегрируя обе части уравнения (1.6), приходим к соотношению dy g(y) f() d = C, (1.7) где интегралы это некоторые фиксированные первообразные, а C произвольная константа. Равенство (1.7) определяет общее решение (интеграл) уравнения (1.5) как неявную функцию y переменного (или функцию переменного y). 2) В результате деления уравнения (1.5) на g(y) мы могли потерять какие-то из его решений. Но, если g(ŷ) = 0 для некоторого ŷ, то функция y() = ŷ, очевидно, является решением уравнения (1.5).

3 3 3) Итак, dy g(y) все возможные решения уравнения (1.5). f() d = C, y = ŷ При решении задач часто используется следующий вид дифференциального уравнения первого порядка: P (, y)d + Q(, y)dy = 0. (1.8) Уравнение (1.8) является уравнением с разделяющимися переменными, если P (, y) = p 1 ()p 2 (y), а Q(, y) = q 1 ()q 2 (y), то есть его можно записать в виде p 1 ()p 2 (y)d + q 1 ()q 2 (y)dy = 0. (1.9) В этом случае алгоритм решения таков: 1) Добьемся того, чтобы первое слагаемое в левой части уравнения содержало только переменную, а второе только переменную y и проинтегрируем полученное равенство. Имеем p 1 ()p 2 (y)d + q 1 ()q 2 (y)dy = 0 p 2 (y)q 1 () p 1 () q 1 () d + q 2(y) dy = 0, (1.10) p 2 (y) p1 () q 1 () d + q2 (y) dy = C, p 2 (y) где интегралы это некоторые фиксированные первообразные, а C произвольная константа. 2) Переход к уравнению от уравнения (1.9) к уравнению (1.10) возможен лишь тогда, когда p 2 (y)q 1 () 0. Значит, в результате деления мы могли потерять какие-то из решений уравнения (1.9). Пусть =, где q 1 ( ) = 0, тогда d = 0. Подставляя эту функцию в уравнение (1.9), получим p 1 ( )p 2 (y) q 2 (y)dy 0, т. е. = есть решение уравнения (1.9). Аналогично можно показать, что функция y = ŷ, где p 2 (ŷ) = 0 также является решением уравнения (1.9). 3) Итак, p1 () q 1 () d + q2 (y) dy = C, =, y = ŷ p 2 (y) все возможные решения уравнения (1.9). Пример 1.1. Найти общее решение уравнения d + ydy = 0. (1.11) 2 1

4 4 Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части равенства: 2 1 d + ydy = C, y2 d = C. Далее, 2 1 d = t = 2 1 dt = ( 2 1) d = 2d d = dt = 2 Итак, y2 2 = C общий интеграл уравнения (1.11). Ответ: y2 2 = C. Пример 1.2. Решить задачу Коши dt 2 t = t + C = C. dy = tg d, y(0) = 1. (1.12) y Решение: 1) Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его: dy y = tg d, ln y = tg d. Вычислим интеграл в правой части: tg d = sin cos d = t = cos dt = (cos ) d = sin d sin d = dt dt = = ln t + C = ln cos + C. t Итак, получаем Это общий интеграл уравнения (1.12). ln y = ln cos + C ln y cos = C.

5 5 2) Для нахождения решения задачи Коши, подставим в полученное соотношение начальное условие = 0, y = 1 : ln 1 cos 0 = C ln 1 = C C = 0 y cos = ±1. Но знак не подходит, так как 1 cos 0 = 1 и, следовательно, искомое решение задачи Коши (1.12). Ответ: y = 1 cos. y = 1 cos Пример 1.3. Найти общее решение уравнения y arctg 2 y = (1 + y 2 ). (1.13) Решение: 1) Это уравнение с разделяющимися переменными. Так как y = dy d, то dy d arctg2 y = (1 + y 2 ) d arctg 2 ydy = (1 + y 2 )d, (1 + y 2 ) arctg 2 y dy = d, 1 + y2 arctg 2 y 1 + y dy = d, 2 arctg 2 y 2 dy = 1 + y2 2 + C. Далее, arctg 2 y 1 + y dy = t = arctg y 2 dt = (arctg y) dy = dy 1 + y 2 = Итак, получаем общий интеграл уравнения (1.13) arctg 3 y 3 = C. t 2 dt = t3 3 + C = arctg3 y + C. 3 Ответ: arctg3 y 3 = C.

6 6 Пример 1.4. Найти общее решение уравнения (y 2 + y 2 )d + ( 2 2 y)dy = 0. (1.14) Решение: 1) Вынося за скобки общие множители, преобразуем уравнение к виду y 2 ( + 1)d 2 (y 1)dy = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: Поскольку y 2 ( + 1)d 2 (y 1)dy = 0 2 y d y 1 dy = 0, 2 y y 1 d dy = C. 2 y d = 2 d + d = ln C, y d = y 2 y dy y d = ln y y + C, то общий интеграл уравнения (1.14) имеет вид ln 1 ln y 1 y = C ln y + y = C. y 2) Далее, в процессе преобразований мы делили на 2 y 2. Значит, возможна потеря решений, удовлетворяющих условию [ = 0, 2 y 2 = 0 y = 0. Проверим, подставив эти функции в уравнение (1.14): = 0 d = 0 (0 y 2 + y 2 ) 0 + (0 0 y)dy = 0 = 0 решение уравнения, y = 0 dy = 0 ( 0 + 0)d + ( 2 2 0) 0 = 0 y = 0 решение уравнения. Итак, все решения уравнения (1.14) можно записать в виде ln y + y = C, = 0, y = 0. y Ответ: ln y + y = C, = 0, y = 0. y

7 7 Пример 1.5. Решить задачу Коши: y = 2 y ln, y(e) = 1. (1.15) Решение: 1) Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dy d = 2 y ln dy = 2 y ln d dy 2 = ln d y 1 dy = ln d 2 y y = ln d. d 2 y Вычислим интеграл в правой части: udv = uv vdu ln d = u = ln, du = (ln ) d = 1 d = ln dv = d, v = d = Итак, d = ln + C. общий интеграл уравнения (1.15). y = ln + C 2) Найдем значение константы C, для чего подставим в общий интеграл начальное условие = e, y = 1: 1 = e ln e e + C C = 1. Значит, решение задачи Коши (1.15). Ответ: y = ( ln + 1) 2. y = ln + 1, y = ( ln + 1) 2 Задачи для самостоятельного решения cos 2 dy = e y d y + y = 0

8 y(1 + 2 )y = 1, y(0) = (2y 1)y + 4y 2 = 0, y( 1) = y = y (1 + y 2 )d = ydy, y(2) = tg yd dy = y 2 + y = y e arctg y = (1 + y 2 ), y(0) = dy + arcsin2 d = 0 y y + yy (1 + ) = ye +y y = y + y ln y = d 6ydy = 3 2 ydy 2y 2 d y y = 0 Ответы к задачам для самостоятельного решения e y + tg = C, = π/2 + πk, k Z ln y = 1/ + C, y = y 2 = 2 arctg ln y2 = y y arctg y = 2 + C y = ( 2 2)/ ln sin y + arcsin = C, y = πk, k Z = ± y = C e arctg y = 2 / y arcsin 3 + C, = ± ln (y + 1)( + 1) = + y + C, y = e y (y 1) + e = C y = e C/

9 (y 2 + 3) 3 = C( 2 + 2) arctg y = C 1.2. Уравнение с однородной правой частью Дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде ( y ) y = f (1.16) называется уравнением с однородной правой частью (или однородным уравнением). Алгоритм решения: 1) Будем искать решение уравнения в виде где z() неизвестная функция. Тогда y() = z(), (1.17) y = z + z = z + z. (1.18) Подставляя (1.17) и (1.18) в уравнение (1.16), после простых преобразований получим z + z = f(z), z = f(z) z. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dz = f(z) z, d d dz = (f(z) z)d, (f(z) z) dz f(z) z = d. Проинтегрировав полученое равенство, имеем dz ln = C, f(z) z где общий интеграл уравнения (1.16). z = y 2) При разделении переменных мы делили на выражение f(z) z. Это могло привести к потере некоторых решений. Действительно, если ẑ таково, что f( ẑ) ẑ = 0, то функция y = ẑ решение уравнения (1.16), так как ( y ) y = ẑ = f( ẑ) = f.

10 10 3) Итак, dz f(z) z ln = C, где z = y ; y = ẑ все возможные решения уравнения (1.16). Пример 1.6. Решить уравнение y = e y/ + y. (1.19) Решение: Это уравнение с однородной правой частью. Сделаем замену y = z, y = z + z. Получим z + z = e z + z, z = e z уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dz d = ez, dz = e z d, dz e = d z, dz d e = z, dz = ln + C. ez d e z Вычислим интеграл в левой части: dz e = e z dz = t = z z dt = ( z) dz = dz = Итак, общий интеграл уравнения (1.19). Ответ: e y/ + ln = C 1. e z = ln + C, e y/ + ln = C 1 e t dt = e t + C = e z + C.

11 11 Пример 1.7. Решить задачу Коши ( y = y 1 + ln y ), y(1) = e. (1.20) Решение: 1) Приведем уравнение к виду (1.16): ( y = y 1 + ln y ), y = y ( 1 + ln y ). Сделав замену y = z, y = z + z, получим z + z = z(1 + ln z), z = z ln z уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: Далее, Итак, dz z ln z = dz = z ln z, d dz = z ln zd, dz z ln z = d, dz d z ln z =, dz = ln + C. z ln z d z ln z t = ln z dt = (ln z) dz = dz z dt = = ln t + C = ln ln z + C. t ln ln z = ln + C. Для удобства потенцирования полученного равенства представим константу C в виде C = ln C 1, C 1 0. Тогда ln ln z = ln + ln C 1 = ln C 1, ln z = C 1, z = e C 1. Сделав обратную подстановку z = y, получим y = e C 1, C 1 0

12 12 общий интеграл уравнения (1.20). 2) Подставив в полученное соотношение начальное условие = 1, y = e, найдем значение константы C 1 : e = 1 e C 1 C 1 = 1, откуда искомое решение задачи Коши. Ответ: y = e. Пусть дано уравнение y = e P (, y)d + Q(, y)dy = 0, (1.21) в котором функции P (, y) и Q(, y) являются однородными функциями одного порядка, то есть P (t, ty) = t k P (, y), Q(t, ty) = t k Q(, y) для любых, y из области определения этих функций, любого t 0 и некоторого натурального k. Легко проверить, что уравнение (1.21) является уравнением с однородной правой частью. Данное уравнение не обязательно приводить к виду (1.16), можно сразу пользоваться подстановкой y = z, dy = dz + zd. Пример 1.8. Решить уравнение ( y)yd 2 dy = 0. (1.22) Решение: 1) Функции P (, y) = ( y)y = y y 2 и Q(, y) = 2 являются однородными функциями второго порядка. Действительно, P (t, ty) = (t)(ty) (ty) 2 = t 2 (y y 2 ) = t 2 P (, y), Значит, имеем однородное уравнение. Q(t, ty) = (t) 2 = t 2 2 = t 2 Q(, y). 2) Сделаем замену y = z, dy = dz + zd и после преобразование получим ( 2 z 2 z 2 )d 2 (dz + zd) = 0, 2 (z z 2 )d 2 (dz + zd) = 0, 2 (z z 2 )d (dz + zd) = 0, zd z 2 d dz zd = 0, z 2 d + dz = 0

13 13 уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: После обратной замены z = y имеем общий интеграл уравнения (1.22). z 2 d + dz = 0, d + dz z = 0, 2 d dz + z = C, 2 ln 1 z = C. ln y = C z 2 3) Далее, в процессе преобразований мы делили на z 2, поэтому возможна потеря решений = 0 и z = 0 y = 0. Подставим эти функции в уравнение (1.22), получим = 0 d = 0 (0 y y 2 ) 0 0 dy = 0 = 0 верно = 0 решение, y = 0 dy = 0 ( 0 0)d 2 0 = 0 верно y = 0 решение. Итак, все решения уравнения (1.22) могут быть записаны следующим образом: Ответ: ln y ln y = C, = 0, y = 0. Пример 1.9. Решить уравнение = C, = 0, y = 0. Решение: 1) Разделим обе части уравнения на, получим y = 3y3 + 2y 2. (1.23) 2y y = 3y3 + 2y 2 2y Числитель P (, y) = 3y 3 + 2y 2 и знаменатель Q(, y) = 2y дроби в правой части уравнения являются однородными функциями третьего порядка: P (t, ty) = 3(ty) 3 + 2(ty)(t) 2 = t 3 (3y 3 + 2y 2 ) = t 3 P (, y), Q(t, ty) = 2(ty) 2 (t) + (t) 3 = t 3 (2y ) = t 3 Q(, y).

14 14 Значит, имеем однородное уравнение. 2) Сделаем замену y = z, y = z + z и после преобразования получим z + z = 3(z)3 + 2(z) 2 = 3 (3z 3 + 2z) 2(z) (2z 2 + 1) = 3z3 + 2z 2z 2 + 1, z = 3z3 + 2z 2z z = 3z3 + 2z 2z 3 z = z3 + z 2z z уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dz d = z3 + z 2z 2 + 1, dz = z3 + z 2z d, 2z z 3 + z dz = d, 2z d z 3 + z dz =, 2z dz = ln + C. z 3 + z d z3 + z 2z Вычислим интеграл в левой части: 2z z 2 z 3 + z dz = + (z 2 + 1) z 2 dz = z(z 2 + 1) z(z 2 + 1) dz + z z(z 2 + 1) dz z 2 = z(z 2 + 1) dz + z z(z 2 + 1) dz = z 1 z dz + z dz t = z = dt = (z 2 + 1) dz = 2zdz zdz = dt = 1 dt 2 t + ln z = 1 ln t + ln z + C 2 2 Итак, = 1 2 ln(z2 + 1) + ln z + C. 1 2 ln(z2 + 1) + ln z = ln + C, ln z ln z = ln + C. Представим константу C в виде C 1 = ln C 1, C 1 0 и потенцируем полученное равенство: ln z ln z = ln + ln C 1, ( ln z ) z = ln C 1, z z = C 1.

15 15 Сделав обратную замену z = y, после преобразования получим общий интеграл уравнения (1.23). y y = C 1, 2 y y = C 1 3, C 1 0 (1.24) 3) В процессе преобразований мы делили на и на z3 + z, поэтому необходимо 2z проверить возможную потерю решений: = 0 d = 0 не входит в область определения уравнения (1.23), так как y = dy d d 0. z 3 + z 2z = 0 z3 + z = z(z 2 + 1) = 0 z = 0 y = z = 0 y = 0 Подставив в уравнение (1.23), получим 0 = тождественное равенство, значит, функция y = 0 является решением данного уравнения. Легко убедиться, что решение y = 0 входит в семейство функций (1.24) при C 1 = 0. Таким образом, все решения уравнения (1.23) можно записать в виде Ответ: y y = C 1 3. y y = C 1 3. Задачи для самостоятельного решения y = y2 + y y = y + tg y y = y, y(1) = y cos y = y cos y 1, y(1) = π ( 2 + y 2 )d ydy = (y y) arctg y =, y(1) = (y 2 2y)d 2 dy = 0

16 y y = yy, y(3) = y = 2 + y 2 + y y = y 2 + 4y (y 2 2y)d + 2 dy = y = 2 + y y 2 2 2y y = 3y3 + 10y 2 2y Ответы к задачам для самостоятельного решения arctg y sin y = ln + C y = (1 ln ) sin y = C, y = πk, k Z = ln y 2 = 2 2 (ln + C), = y arctg y = ln(2 + y 2 ) y 3 = C 3, = 0, y = 0 y y = ln y y 2 + y = C C = y + y + 2, y = y = C, y = 0 y ln y2 + 2 = arctg y + C y y = C 3, y = 0

17 Линейное уравнение Дифференциальное уравнение вида y + P ()y = Q() (1.25) называется линейным уравнением. Если Q() 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, в противном случае линейным неоднородным уравнением. Теорема 1.2. Если функции P () и Q() непрерывны на интервале (a, b), то для любых 0 (a, b) и y 0 существует единственное решение уравнения (1.25), удовлетворяющее начальному условию y( 0 ) = y Линейное однородное уравнение Рассмотрим линейное однородное уравнение y + P ()y = 0. (1.26) Это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, dy = P ()y, d dy = P ()yd, d y dy = P ()d. y Интегрируя последнее равенство, получим dy y = P ()d, ln y = P ()d + C. Представим константу C в виде C = ln C 1, C 1 0 и потенцируем полученное равенство: ln y = P ()d + ln C 1, y = C 1 e P ()d, C 1 0. (1.27) Далее, при делении на y мы потеряли y = 0 очевидное решение уравнения (1.26). Это решение войдет в семейство (1.27), если снять ограничение C 1 0. Таким образом, получаем y = C 1 e P ()d (1.28) общее решение линейного однородного уравнения (1.26).

18 Линейное неоднородное уравнение I. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y + P ()y = Q(). (1.29) Будем искать его решение в виде y = C()y 1 (), (1.30) где y 1 () = e P ()d некоторое решение линейного однородного уравнения (1.26), а C() неизвестная функция. Подставляя (1.30) в уравнение (1.29), после преобразований получим (C()y 1 ) + P ()C()y 1 = Q(), (C ()y 1 + y 1C()) + P ()C()y 1 = Q(), C ()y 1 + C() (y 1 + P ()y 1 ) = Q(). (1.31) Далее, поскольку y 1 решение линейного однородного уравнения (1.26), то y 1 + P ()y 1 0, и, значит, уравнение (1.31) принимает вид C ()y 1 = Q(). Это уравнение с разделяющимися переменными относительно C(). Решим его: dc() = P ()y, d d dc()y 1 = Q()d, y 1 dc() = Q()d. y 1 Проинтегрировав полученное равенство, имеем Q()d dc() =, y 1 Q()d C() = + C 1, y 1 где C 1 произвольная постоянная. Подставляя функцию C() в соотношение (1.30), получаем ( ) Q()d y = + C 1 y 1, y 1 ( ) Q()d y = e + C P ()d 1 e P ()d, y = e P ()d Q()e P ()d d + C 1 e P ()d общее решение линейного неоднородного уравнения (1.29).

19 19 Пример Решить уравнение Решение: 1) Найдем решение линейного однородного уравнения y y =. (1.32) y y = 0. (1.33) Это уравнение с разделяющимися переменными: dy d y = 0, dy y d = 0, dy y d = 0, dy d y = C. d Представив константу C в виде C = ln C 1, получим общее решение уравнения (1.33). ln y ln = ln C 1, ln y = ln C 1, y = C 1 2) Общее решение неоднородного уравнения (1.32) будем искать в виде y = C(), (1.34) где C() некоторая неизвестная функция. Подставив это выражение в уравнение (1.32), после преобразований получим (C()) C() =, (C() + C ()) C() =, C () = уравнение с разделяющимися переменными относительно функции C(). Решим его: dc() =, d d dc() = d, d dc() = = d, d dc() =, C() = 2 + C 1,

20 20 где C 1 произвольная постоянная. 3) Подставляя функцию C() в формулу (1.34), имеем общее решение уравнения (1.32). Ответ: y = 2 + C 1. Пример Решить задачу Коши y = ( 2 + C 1 ) = 2 + C1 y y ctg = 2 sin, Решение: 1) Решим линейное однородное уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными: ( π ) y = π (1.35) y y ctg = 0. (1.36) dy y ctg = 0, d dy y ctg d = 0, d y dy ctg d = 0, y dy y = ctg d, ln y = ctg d. Далее, cos ctg d = sin d = t = sin dt = (sin ) d = cos d dt cos d = dt = = ln t +C = ln sin +C. t Снова записав произвольную константу в виде C = ln C 1, получаем ln y = ln sin + ln C 1 = ln C 1 sin, y = C 1 sin общее решение уравнения (1.36). 2) Общее решение неоднородного уравнения (1.35) будем искать в виде y = C() sin, (1.37)

21 21 где C() некоторая неизвестная функция. Для того, чтобы найти C(), подставим (1.37) в исходное уравнение (1.35). После преобразований будем получим (C() sin ) C() sin ctg = 2 sin, (C () sin + C() cos ) C() cos = 2 sin, C () sin = 2 sin уравнение с разделяющимися переменными относительно функции C(). Решим его: dc() sin = 2 sin, sin d dc() = 2, d d dc() = 2d, dc() = 2 d, C() = 2 + C 1. 3) Подставляя функцию C() в (1.37), получаем общее решение уравнения (1.35). y = ( 2 + C 1 ) sin 4) Теперь найдем значение константы C 1, подставив в общее решение начальное условие = π 2, y = π2 4 : Таким образом, ( π 2 ( π ) ) 2 4 = + C1 sin π 2 2 π2 4 = π2 4 + C 1 C 1 = 0. y = 2 sin искомое частное решение уравнения (1.35). Ответ: y = 2 sin. II. Метод Бернулли Рассмотрим еще один способ решения линейных неоднородных уравнений метод Бернулли. 1) Будем искать решение уравнения (1.29) в виде y() = u()v(), (1.38)

22 22 где u() и v() неизвестные функции, тогда y = u v + v u. (1.39) Подставим (1.38), (1.39) в уравнение (1.29) и после преобразования получим (u v + v u) + P ()uv = Q(), u v + u (v + P ()v) = Q(). (1.40) 2) Одна из функций, например v(), может быть выбрана произвольно. Потребуем, чтобы v + P ()v = 0. Это линейное однородное уравнение относительно функции v(). Его общее решение записывается по формуле (1.28): v = Ce P ()d. Нам подойдет любое частное решение v() 0. Пусть C = 1, тогда v = e P ()d. 3) Подставим v() в уравнение (1.40), получим u e P ()d = Q() уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(). Найдем его решение: du P ()d = Q(), d Итак, имеем d e du = Q()d, du = Q()d e = P ()d Q()e P ()d d, du = Q()e P ()d d. u = где C произвольная постоянная. Q()e P ()d d + C, e P ()d 4) Подставляя найденные функции v() и u() в формулу (1.38), получаем ( ) y = Q()e P ()d d + C e P ()d, y = e P ()d Q()e P ()d d + C 1 e P ()d общее решение уравнения (1.29).

23 23 Пример Решить уравнение y + 2y = 2 2 e 2. (1.41) Решение: 1) Пусть y = uv, y = u v + v u. Подставив в уравнение (1.41), получим (u v + v u) + 2uv = 2 2 e 2, u v + u(v + 2v) = 2 2 e 2. (1.42) 2) Пусть v() любое ненулевое частное решение линейного однородного уравнения v + 2v = 0. (1.43) Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dv + 2v = 0, d dv + 2vd = 0, dv + 2d = 0, v dv v = 2 d, ln v + 2 = C. d v Нам подойдет любое нетривиальное решение уравнения (1.43), поэтому константу C можно выбрать произвольно. Пусть C = 0, тогда искомое решение. ln v = 2, v = e 2 3) Подставляя выражение для v() в уравнение (1.42), получим u e 2 = 2 2 e 2 уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(). Найдем его решение: du d e 2 = 2 2 e 2, e 2 du d = 22, d du = 2 2 d, du = 2 2 d, u = C,

24 24 где C произвольная постоянная. 4) Сделав обратную замену y = uv, получаем ( ) 2 3 y = 3 + C общее решение уравнения (1.41). ( ) 2 3 Ответ: y = 3 + C e 2. Пример Решить задачу Коши e 2 y y = ln, y(1) = 1. (1.44) Решение: 1) Пусть y = uv, y = u v + v u. Подставляя в уравнение (1.44), получим 2) Потребуем (u v + v u) uv = ln, ( u v + u v v ) = ln. (1.45) v v = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его любое ненулевое частное решение: dv d v = 0, d Пусть C = 0, тогда искомое решение. dv v d = 0, dv v d = 0, dv d v = C, ln v ln = C. ln v = ln, v = v

25 25 3) Подставив функцию v() в уравнение (1.45), получим u = ln уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(). Решим его: du d = ln, d du = ln d, du = ln d, 2 ln du = d, 2 ln u = d. 2 Вычислим интеграл в правой части: udv = uv vdu ln d = u = ln, du = (ln ) 2 d = 1 d = ln d dv = d d, v = 2 = 1 = ln C. 2 Таким образом, u = ln C, где C произвольная постоянная. 4) Сделав обратную замену y = uv, получим ( ln y = + 1 ) + C = ln C общее решение уравнения (1.44). 5) Найдем значение константы C, подставив в общее решение начальное условие = 1, y = 1: 1 = ln C 1 = 1 + C C = 0. Итак, искомое решение задачи Коши. y = ln + 1 Ответ: y = ln + 1. Задачи для самостоятельного решения y y = 3

26 y + y = y e 2 + 2ye 2 = sin y + ( + 1)y = 3 2 e ( + 1)dy (2y + ( + 1) 4 )d = y y + 2 = 2 + 2, y( 1) = y y + 1 = e ( + 1), y(0) = y y = 1, y(1) = y cos 2 + y = tg y + y cos = 1 sin 2, y(0) = dy = ( y)d Ответы к задачам для самостоятельного решения y = C y = C y = ( cos + sin + C)e ( y = 2 + C ) e ( ) 2 y = C ( + 1) 2, = ( ) 2 y = ( + 2) y = (e 2)( + 1) y = y = tg 1 + Ce tg y = sin 1 + e sin y = Ce 2 4

27 Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть приведено к виду где число m не обязательно целое. y + P ()y = Q()y m, (1.46) В частных случаях, когда m = 0 уравнение (1.46) является линейным неоднородным, а при m = 1 линейным однородным. Так же, как линейное, уравнение Бернулли можно проинтегрировать методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли Метод вариации произвольной постоянной Алгоритм метода вариации произвольной постоянной решения уравнения (1.46) практически полностью совпадает с соответствующим алгоритмом решения линейного неоднородного уравнения. Рассмотрим его на примерах. Пример Решить уравнение dy = ( 5 y 2 2y)d. (1.47) Решение: Преобразуем уравнение (1.47): разделим обе части на d и перенесем 2y в правую часть. Получим dy d + 2y = 5 y 2 (1.48) уравнение Бернулли. Будем решать его методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала найдем решение линейного однородного уравнения dy + 2y = 0. d Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его: dy + 2y = 0, d dy = 2yd, dy y = 2 d, dy d y = 2, ln y = 2 ln + ln C = ln C, 2 d y y = C 2

28 28 общее решение линейного однородного уравнения. 2) Решение уравнения (1.48) будем искать в виде y = C() 2, (1.49) где C() некоторая неизвестная функция. Подставим выражение для y в уравнение (1.48) и после преобразования получим ( ) C() + 2C() ( ) 2 C() = 5, C () 2 2C() + 2C() = C 2 (), 4 2 C () 2C() + 2C() = C 2 (), 2 2 C () = C 2 () C () = 2 C 2 () уравнение с разделяющимися переменными относительно C(). Найдем его решение: dc() = 2 C 2 (), d d dc() = 2 C 2 ()d, dc() C 2 () = 2 d, dc() C 2 () = 2 d, 1 C() = 3 + C 1, 3 C() = C 1 Подставляя найденную C() в (1.49), получим общее решение уравнения (1.48). 3 y = 5 + C 1 2 C 2 () 3) В процессе преобразований нам пришлось делить уравнения на и на C(). Значит, могли быть потеряны решения и = 0 C() = 0 y = C() 2 = 0.

29 29 Непосредственной подстановкой в уравнение (1.47) убеждаемся, что эти функции являются его решениями. 3 Ответ: y =, = 0, y = C 1 2 Пример Решить задачу Коши ( dy + y y3 ) d = 0, 2 y(1) = 3/2. (1.50) Решение: Сначала преобразуем данное уравнение: разделим обе части на d и перенесем слагаемое y3 в правую часть. Получим 2 dy d + y = y3 2 (1.51) уравнение Бернулли. Будем решать его методом вариации произвольной постоянной. 1) Найдем решение линейного однородного уравнения dy d + y = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его: dy d + y = 0, dy = yd, dy y = d, dy d y =, ln y = ln + ln C = ln C, y = C общее решение линейного однородного уравнения. 2) Решение уравнения (1.51) будем искать в виде d y y = C(), (1.52)

30 30 где C() некоторая неизвестная функция. Подставим выражение для y в уравнение (1.51) и после преобразования получим ( ) C() + C() ( ) 3 C() = 2, C () C() + C() C 3 () =, C () C() + C() = C 3 () 2 2, C () = C 3 () 2 2 уравнение с разделяющимися переменными относительно C(). Найдем его решение: dc() = C 3 () d 2 2, d dc() = C 3 () 2 2 d, C 3 () 2 2dC() C 3 () = d 2, dc() 2 C 3 () = d 2. Вычислим интеграл в правой части: Отсюда получаем d 2 = 5/2 d = 2 3/2 + C = C. 1 C 2 () = C 1 C 2 () = C , C 2 3 () = C Возведем равенство (1.52) в квадрат и подставим найденную C(), получим y 2 = C 2 (), 2 y 2 3 = 2 (C 1 + 2), y 2 = общий интеграл уравнения (1.51). 3 C

31 31 3) Подставим в общий интеграл начальное условие y(1) = 3/2 и найдем значение константы C 1 : Таким образом, 3 2 = 3 C 1 + 2, C 1 = 0. y 2 = = 4, y = ± 4 9 4, y = искомое частное решение (знак перед корнем выбран, так как y(1) = 3/2 < 0). 9 Ответ: y = Метод Бернулли Алгоритм метода Бернулли решения уравнения (1.46) также практически полностью совпадает с соответствующим алгоритмом решения линейного неоднородного уравнения. Рассмотрим его на примерах. Пример Решить уравнение y = y(y 3 cos + tg ). (1.53) Решение: Сначала преобразуем данное уравнение: раскроем в правой части скобки и перенесем слагаемое y tg в левую часть равенства. Получим уравнение Бернулли. Будем решать уравнение (1.54) методом Бернулли. 1) Пусть y y tg = y 4 cos (1.54) y = uv, y = u v + v u.

32 32 Подставляя данные соотношения в уравнение (1.54), получаем (u v + v u) uv tg = (uv) 4 cos, u v + u(v v tg ) = u 4 v 4 cos. (1.55) 2) Выберем функцию v() как любое нетривиальное решение уравнения v v tg = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: Вычислим интеграл в правой части: Итак, tg d = dv = v tg, d dv = v tg d, dv = tg d, v dv v = tg d. d v t = cos sin cos d = dt = (cos ) d = sin d sin d = dt dt = = ln t + C = ln cos + C. t ln v = ln cos + C. Нам подойдет любое частное решение v() 0, поэтому константу C можно выбрать произвольно. Пусть C = 0, тогда искомое решение. ln v = ln cos = ln 1 cos, v = 1 cos 3) Подставим полученную функцию v() в уравнение (1.55): ( ) u 4 1 cos = u4 cos, cos u = u4 cos 2

33 33 уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(). Решим его: где C 1 произвольная постоянная. du d = u4 cos 2, u4 du = cos 2 d, du u = d 4 cos 2, du u = d 4 cos 2, 1 3u = tg + C 1, 3 u 3 1 = 3(tg + C 1 ), 4) Сделав обратную замену, получаем общий интеграл уравнения (1.54). d u4 y = uv, y 3 = u 3 v 3 1 = 3(tg + C 1 ) cos 3 5) В процессе преобразований нам пришлось делить уравнение на u 4. Значит, могло быть потеряно решение u = 0 y = uv = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (1.53) убеждаемся, что функция y = 0 является его решением. Ответ: y 3 = u 3 v 3 1 = 3(tg + C 1 ) cos 3, y = 0. Пример Решить задачу Коши y + y = 2y 2 ln, y(1) = 1 2. (1.56) Решение: Это уравнение Бернулли. Будем решать его методом Бернулли. 1) Пусть y = uv, y = u v + v u. Подставляя данные соотношения в уравнение (1.56), получаем (u v + v u) + uv = 2(uv) 2 ln, u v + u(v + v) = 2u 2 v 2 ln. (1.57)

34 34 2) Выберем функцию v() как любое нетривиальное решение уравнения v + v = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его: Пусть C = 0, тогда dv d = v, dv = vd, dv v = d, dv d v =, ln v = ln + C. d v ln v = ln = ln 1, v = 1. 3) Подставим полученную функцию v() в уравнение (1.57): u 1 = 2u2 ( 1 ) 2 ln, u = 2u2 ln уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(). Решим его: du d = 2u2 ln, d 2 du = 2u2 ln d, u 2 2 du u = 2 ln d, 2 2 du ln u = 2 2 d. 2 1 ln u = 2 d. Вычислим интеграл в правой части: udv = uv vdu ln 2 d = u = ln, du = (ln ) 2 d = 1 d dv = d d, v = 2 = ( = 2 ln ) d + = 2 ln 2 2 +C.

35 35 Таким образом, 1 u = 2 ln ln C + C =, u = 2 ln C, где C произвольная постоянная. 4) Сделав обратную замену, получаем общее решение уравнения (1.56). y = uv = 2 ln C 1, 1 y = 2 ln C 5) Найдем значение константы C, подставив в общее решение начальное условие y(1) = 1 2 : Значит, 1 2 = 1 2 ln C, C = 0. y = 1 2 ln + 2 искомое частное решение уравнения (1.56). Ответ: y = 1 2 ln + 2. Задачи для самостоятельного решения y y = y 3 e y + y = 2 y y y tg = y 2 cos y + y = y y + 2y = 2 y cos y = 3y 4 y y y = y 2 (ln + 2) ln, y(1) = (y + y) = (1 + )e y 2, y(0) = 2

36 36 Ответы к задачам для самостоятельного решения y 2 = e2 2 + C, y = y 3 1 = 3 3 (ln + C), y = y = y = y = 1 ( + C) cos, y = 0 1 (ln + C), y = 0 ( tg + ln cos + C)2, y = y = C, y = y = y = 2e ln Уравнение в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение первого порядка вида P (, y)d + Q(, y)dy = 0 (1.58) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(, y), то есть P (, y) = U, Q(, y) = U y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы P y = Q. (1.59) Если уравнение (1.58) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде du(, y) = 0. Общий интеграл этого уравнения: U(, y) = C,

37 37 где C произвольная постоянная. Функцию U(, y) ищем из системы: U = P (, y) U = Q(, y), y решение которой рассмотрим на примерах. Пример Решить уравнение Решение: 1) Проверим условие (1.59): (1.60) (3 2 y + 2y + 3)d + ( y 2 )dy = 0. (1.61) P (, y) = 3 2 y + 2y + 3, Q(, y) = y 2, P y = Q = следовательно, уравнение (1.61) есть уравнение в полных дифференциалах. 2) Функцию U(, y) найдем из системы (1.60): U = P (, y) = 32 y + 2y + 3 U y = Q(, y) = y 2. Проинтегрируем первое равенство по при фиксированном y. Заметим, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от y: U(, y) = (3 2 y + 2y + 3)d = 3y 2 d + (2y + 3) d = 3 y + 2y C(y). Теперь подставим выражение для U(, y) во второе равенство, получим U y = (3 y + 2y C(y)) = dc(y) = y 2, y dy dc(y) = 3y 2 dy уравнение с разделяющимися переменными относительно C(y). Решим его: dc(y) = 3y 2 dy, dc(y) = 3 y 2 dy, C(y) = y 3 + C 1.

38 38 Итак, U(, y) = 3 y + 2y y 3 + C 1. Заметим, что искомая функция U(, y) определена с точностью до произвольной константы. Для записи общего интеграла U(, y) = C уравнения (1.58), достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства, откуда 3 y + 2y y 3 = C общий интеграл уравнения (1.61). Ответ: 3 y + 2y y 3 = C. Пример Решить уравнение ( ) ( ) sin 2 + d + y sin2 dy = 0. (1.62) y y 2 Решение: 1) Так же, как в предыдущем примере, проверим условие (1.59): sin 2 P (, y) = +, y P 2 = sin, y y 2 Q(, y) = y sin2, y 2 Q sin cos sin 2 = 2 =, y 2 y 2 P y = Q, следовательно, уравнение (1.62) есть уравнение в полных дифференциалах. 2) Функцию U(, y) найдем из системы (1.60): U sin 2 = P (, y) = + y U y = Q(, y) = y sin2. y 2 Заметим, что в системе (1.60) переменные и y равноправны, поэтому можно вначале проинтегрировать второе равенство по y при фиксированном, произвольная постоянная в этом случае может зависеть от : ( ) U(, y) = y sin2 dy dy = ydy sin 2 y 2 y = y sin2 + C(). y

39 39 Теперь подставим выражение для U(, y) в первое равенство и найдем C(): U = ( ) y sin2 sin 2 + C() = +, y y 2 sin cos + dc() sin 2 = + dc() sin 2 = +, y d y d y dc() = d уравнение с разделяющимися переменными относительно функции C(). Решим его: Итак, откуда dc() = d, dc() = d, C() = C 1. U(, y) = y2 2 + sin2 y y 2 общий интеграл уравнения (1.62). Ответ: y2 2 + sin2 y 2 + sin2 y = C. Задачи для самостоятельного решения (12 + 5y 9)d + (5 + 2y 4)dy = ( ) (ln y 2)d + y 2y dy = e y + ( 3 e y 1)y = 0, y(0) = yd + ( 2 y 2 )dy = (1 + 2 y)d 2 y = (2 3 y 2 )d + (2y 3 2 y)dy = e y d + (1 e y )dy = e y d + (cos y + e y )dy = = C (sin 2 2 cos( + y))d 2 cos( + y)dy = C 1,

40 ( ) y 2 + y + 2 e d y dy = 0 2 Ответы к задачам для самостоятельного решения y + y 2 9 4y = C ln y 2 y 2 = C e y y + 1 = y y3 3 = C (2 y) 3/ y 2 + y 4 = C e y + y = C sin y + e y = C = C cos sin( + y) = C e + arctg y = C


, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко 3-... 2012 УДК 517.9 ББК 22.161.1 C23 Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко C23 Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Университет Российской академии образования Новомосковский филиал В. А. Матвеев, В. М. Ульянов Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

В. А. Зайцев, С. Н. Попова, Е. Л. Тонков. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1

В. А. Зайцев, С. Н. Попова, Е. Л. Тонков. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 В. А. Зайцев, С. Н. Попова, Е. Л. Тонков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 Ижевск 2010 Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» В. А. Зайцев,

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее