ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга, ДонНТУ, 04. Задание. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ, C.) представить в виде 0d 3d 3 d 5 d. : Дано уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: все перенесѐм влево, а вправо. Со знаками дифференциала (d, d) можно обращаться как с множителями d d d d d d d d (3 3 ) (0 5 ) d d (3 3) d (0 5 ) d d d После разделения проинтегрируем обе части d d d( 4) d( ) * * ln 4 C ln C 0 6 Сделаем замену * * * C C C lnc ln 4 ln C ln 0 6 При решении уравнений такого вида константу сразу можно записывать в виде ln C если имеются логарифмы. 6ln C ( 4) 0ln 3ln C ( 4) 5ln ln C ( 4) ln( ) 3 5 Так как выражение 4 и всегда положительны, то под модулем можно оставить только константу., Выполним потенцирование обеих частей

2 3 ln C( 4) 5 ln( ) 3 5 e e C ( 4) ( ) Приведѐм к требуемому виду: Ответ: ( ) ( 4) 5 3 C. ( ) ( 4) 5 3 Задание. Найти общий интеграл дифференциального уравнения : В данном уравнении невозможно сделать разделение переменных. Это однородное уравнение, что можно выяснить, проверив выполнение следующего условия: f (,, ) f (,, ). Делаем замену: t, где t некая функция от х, тогда ( t) t t t t Подставим. t 5( t) t t 6t Заменим t на dt d и упростим dt t 5t t d 6t dt t d 6t Таким образом, мы получили уравнение с разделяющимися переменными. t 6t d dt d 6t dt t Интегрируем. 6t d 6t d dt dt dt t t t dt d dt 6 t t arctg t 3ln t ln C Произведѐм обратную замену: C t t arctg 3ln ln C Упростим выражение, приведѐм к виду общего интеграла

3 arctg ln ln C Ответ: 3 arctg ln ln C 3 Задание 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.. 4 Это уравнение, которое сводится к однородному. Проблему создают константы в числителе и знаменателе. Необходимо выполнить преобразования, чтоб от них избавиться. Сделаем замену a, где a и b коэффициенты, которые необходимо найти b b ( a) b 4 Необходимо подобрать такие a и b, чтоб уравнение стало однородным. Для этого необходимо решить систему линейных уравнений, составленную из числителя и знаменателя следующим образом: b 0 b b a b 4 0 a 4 0 a 3 ' ' ( 3) 4 Мы получили однородное ДУ. Делаем замену t, t t. t t t t Разделим переменные dt t dt t t( t) t t t d t d t d t dt t d dt t( t ) Функцию интеграла левой части разложим на элементарные дроби методом неопределѐнных коэффициентов. Имеем t A B t A( t ) Bt t ( A B) t A t( t ) t t A B B A A

4 d ( ) dt d t dt d t t t t ln t ln t ln ln C t C t ln ln ln ln t t ln ln C C t t Делаем обратную замену: t t C C C Делаем вторую обратную замену: ( ) ( ) C C 3 ( ) Ответ: C. 3 Задание 4. Найти решение задачи Коши.,. Чтоб найти решение задачи Коши, сначала необходимо найти общее решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. В общем случае оно имеет вид: p( ) q( ). Способ. Делаем замену: u v, тогда uv u v Стоит помнить, что, u, v это функции от, т.е.: (), u(), v(). Подставляем и выносим за скобки v. uv uv u v u u v u v

5 u То, что в скобках полагаем равным нулю: u 0, тогда основное выражение примет вид: 0 v u v. Таким образом, мы получили два уравнения, из которых составляем систему и решаем. Это уравнения с разделяющимися переменными. u u 0 u v Решаем первое уравнение. u du u du d du d u 0 0 ln u ln u d u u На данном этапе константу С мы не приписываем. Полученную функцию u нужно подставить во второе уравнение, однако она может принимать два значение. Нам нужно взять какую-либо функцию, обращающую в ноль указанную выше скобку. Поэтому можно взять любой знак. Возьмѐм, например со знаком «+». Если мы возьмѐм функцию с другим знаком, то в итоге всѐ равно получим тождественный ответ. d 3 v dv dv d v C v C 3 Во втором уравнении добавляем константу. Когда мы наши функции u и v, можем найти и искомую функцию. u v C C Мы нашли общее уравнение, теперь найдѐм решение задачи Коши, что также называется частным решением. Для полученного частного решения необходимо найти константу С, при заданных начальных условиях. По заданию это означает, что при = должен быть =. C () C C C 0 Подставляем значение константы и получаем ответ. Ответ:. Проверка Сначала проверим выполнение начальных условий () - верно Теперь проверим исходное уравнение. Подставим значения функции в исходное уравнение. Сначала нужно найти производную.

6 Тождество верно. найдено правильно. Способ. Метод интегрирующего множителя Уравнение, прежде всего, должно быть приведено к общему виду: p( ) q( ), Введѐм некую функцию, которая называется интегрирующий множитель. p( ) d ( ) e. Умножим обе части уравнения на эту функцию: p( ) d p( ) d p( ) d e p( ) e q( ) e () Можно заметить, что левая часть это производная произведения, т.е. p( ) d p( ) d e p( ) e Приравниваем производную произведения к правой части уравнения (). q( ) () После интегрирования обеих частей, получим искомую функцию. Применим метод интегрирующего множителя к нашему уравнению. В данном случае p ( ), тогда. p( ) d d d ln ln ( ) e e e e e Интегрирующий множитель может принимать два значения: ( ), а для дальнейшего решения нам нужно выбрать только одно. Далее, мы воспользуемся формулой (). Из неѐ следует, что знак интегрирующего множителя не влияет на решение, т.к. его мы можем вынести за скобки и сократить. Возьмем, например интегрирующий множитель со знаком «+». Составляем уравнение по формуле (). 3 Интегрируем обе части уравнения.

7 d d d C 3 3 C C Получаем C, что совпадает с предыдущим ответом. Ответ:. Задание 5. Решить задачу Коши. d sin cos d 0, 0. Для этого уравнения будем искать решение в виде функции (). Разделим обе части на d: d sin cos 0 d sin cos 0 Приведѐм к общему виду: p( ) q( ) sin cos Решим методом замены uv, uv uv uv uv uv sin cos sin cos u u v uv u u0 uv sin cos du du du u u 0 u d d ln u u e d u u u e uv sin cos e v sin cos v cos sin e Находим интеграл cos sin v e d e cos ( ) C Нахождение интеграла здесь не расписано подробно т.к. это тема прошлого семестра. Получаем искомую функцию uv e e cos ( ) C cos ( ) Ce Найдем решение задачи Коши

8 По заданию, начальные условия 0 0 cos (0) Ce, откуда C. Ответ: cos ( ) e, следовательно Задание 6. Найти решение задачи Коши.,. Это уравнение Бернулли, которое в общем случае имеет вид: p( ) q( ) n Характерным отличием такого уравнения является наличие n. Находим общее решение. Разделим почленно уравнение на n, в данном случае это : Далее, необходимо заменить второе слагаемое, в котором присутствует только новой переменной. Замена: z, тогда z После подстановки получим обычное линейное уравнение z z Решим методом замены: z u v, тогда z uv u v ( uv uv) uv uv uv uv ( u u) v uv u u 0 uv Решаем первое уравнение du du d du d u u 0 u ln u ln u u d u u Возьмѐм u, чтоб знаки минус сократились в последующем. Решаем второе уравнение d ( ) v v v v ln C Находим функцию z. z uv ln C Делаем обратную замену общее решение z ln C Находим частное решение для.

9 () C ln C Подставляем константу Ответ: ln Проверка Проверяем начальные условия () ln - верно Проверяем уравнение ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Решено верно. Задание 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. d d d d 0. Это уравнение в полных дифференциалах. уравнения будем искать в виде F(,, C). Приведѐм уравнение к общему виду полного дифференциала: F F df(, ) d d. Приведѐм подобные для дифференциалов. d d d d d d 0 d d 0 d d 0 Если последнее выражение является полным дифференциалом, то выражения в скобках частные производные искомой функции.

10 Обозначим выражения в скобках функциями P и Q. P, Q Если функции P и Q - это частные производные, то их смешанные производные должны быть равны. ( ) P F, P F ( ) Q F, Q F ( ) ( ) Последние выражения тождественны, значит заданное уравнение, действительно, в полных дифференциалах. Проинтегрируем функцию P по. F d d arctan ( ) (3) Функция ( ) играет роль константы при дифференцировании по. Чтоб получить решение уравнения мы должны найти эту функцию. Продифференцируем полученную функцию по, сравним с функцией Q и найдѐм ( ). F ( ) Q Получаем, что ( ). ( ) d C Здесь мы записали C со знаком «минус» это было сделано для удобства, чтоб при переносе константы вправо знак «минус» сокращался. Подставляем в (3) F(,, C) arctan C Ответ: arctan C Проверка Для проверки необходимо находим частные производные, составить полный дифференциал и сравнить с заданным уравнением. F arctan C F arctan C

11 df d d Полный дифференциал соответствует заданному уравнению. Решено верно. Задание 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку M., M (, ).. Метод позволяет построить интегральную кривую, не решая уравнения аналитически. Он основан на том, что интегральная кривая, или их семейство, строится с помощью касательных к этим кривым, построенным специальным образом на координатной плоскости. Суть метода заключается в следующем.. Приводим заданное уравнение к виду f (, ), т.е. разрешаем его относительно производной. (). Проводим линии уровня функции f (, ), т.е. семейство кривых f (, ) k для различных значений k. Каждую такую кривую она называется изоклиной, интегральная кривая пересекает под углом, тангенс которого равен k, т.е. tg k. Таким образом, заменив в последнем уравнении ' на константу k получим уравнение изоклин k k. Изменяя теперь значения k, следует построить семейство таких линий - изоклин, (ед. изоклина), в данном случае они являются прямыми. Особенностью этих линий является то, что касательные к интегральным кривым, проходящие через точки, расположенные на одной изоклине, будет иметь одинаковый угловой коэффициент. 3. Из правой части уравнения () получаем: f (, ) Численное значение функция f в произвольной точке ( 0, 0 ) равно угловому коэффициенту касательной в этой точке, проведенной к интегральной кривой. Определим угловые коэффициенты и, для начала, построим отрезки касательных к

12 интегральным кривым, например, для значения = Продолжая, далее, аналогичным образом, проводим определенное количество таких отрезков достаточное для качественного представления расположения касательных. В результате этой процедуры формируется поле направлений. 5. Проводя, теперь, линию по направляющим отрезкам и проходящую, через заданную точку начальных условий, мы и получаем искомую интегральную кривую. Вполне очевидно, что, чем гуще будет множество изоклин, тем более точной окажется и построенная, таким образом, интегральная кривая. Ответ: Некоторые дополнительные возможности Методом изоклин можно также находить точки экстремумов и точки перегиба интегральных кривых. Вернее сказать не точки, а линии, на которых располагаются эти особые точки.

13 . Экстремумы находятся в местах, где значение производной равно нулю. Рассмотрим на предыдущем примере. В уравнении () заменим 0 и получим функцию: 0 График этой функции и будет линией, на которой лежат точки экстремума всего семейства интегральных кривых.. Точки перегиба. Для примера возьмѐм уравнение. Продифференцируем обе части уравнения: Производная у' нам известна из исходного уравнения, подставим в полученное: Точки перегиба, как известно, расположены в местах, где вторая производная равна нулю. Заменим у'' = 0. 0 Мы получили уравнение кривой, на которой расположены точки перегиба всех интегральных кривых заданного уравнения. Данным способом нельзя определить точное местоположение особой точки для частного случая, а лишь предположительное место в виде линии (? не уверен). Задание 9. Найти линию, проходящую через точку M 0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор MN с концом на оси O имеет проекцию на ось O, равную a. M 0,, a. я немного перефразировал Рассмотрим рисунок ниже.

14 Пусть точка М(х, у) произвольная точка искомой линии l, а у(х) уравнение линии. В условии описано поведение касательной p, уравнение которой имеет вид: Y ( X ). По условию, также n a. Рассмотрим треугольник MNK. Из тригонометрических свойств следует, что NK KM tg. Так как NK n a, KM, tg примет вид, то предыдущее выражение NK n tg n a KM Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение a, где a, а точка M0 (, ) выступает в качестве начальных условий (). Решим задачу Коши:, (). d d d ln C d Находим константу ln C C Ответ: уравнение кривой имеет вид ln.. Пусть т. (, ) M произвольная точка искомой кривой, а ( ) ее уравнение. Тогда, уравнение касательной к этой кривой в точке M, имеет вид ( )( ), а точка N(0, ( ) ) является ее точкой пересечения с осью OY. Отсюда вектор MN (, ( ) ). Далее, проекция этого вектора на ось OY, направляющий вектор которой есть j (0,), равна прoy MN MN j a. Т.е. ( ). Это и есть дифференциальное уравнение, описывающее кривые, обладающие указанным свойством. Нам же необходимо найти кривую, проходящую через заданную точку, т.е. решить задачу Коши

15 ( ), (). Это уравнение с разделяющимися переменными. Вначале находим его общее решение, а затем из начальных условий определяем значение постоянной C. Задание 0. Найти общее решение дифференциального уравнения. 3 ( ). Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение степени. В уравнении есть первая и вторая производные, но нет функции в явном виде. Поэтому необходимо сделать замену: ' = t, '' = t'. 3 ( ) t t Мы получили линейное неоднородное уравнение первого порядка. Приведѐм его к общему виду p( ) q( ) и решим. 3 t t Делаем замену: t uv, t uv uv 3 uv uv uv 3 u v uv v v v 0 ) 3 uv ) ) Решаем первое уравнение v v 0 dv v dv d d v dv d( ) ln v ln ln ln v v v v ) Решаем второе уравнение u u d 3 C Делаем обратную замену C 3 C t uv ; tdt dt C dt 3 dt C dt

16 C dt 3 dt C dt 3 dt C dt ( )( ) 3 dt C dt 3 dt C dt 3 3 d 3 d ( ) ( ) dt C dt arctg Carctg C Обозначим (3+С) = С. Тогда 3 Ответ: 3 C arctg( ) C. Задание. Найти решение задачи Коши. 3 0, (), () Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение степени, т.к. в нем есть функция и еѐ производная второго порядка, а производная первого порядка отсутствует. Для его решения необходимо сделать следующую замену. dp d dp dp p( ), тогда p( ) p d d d d Решим уравнение в два этапа Подставив в исходное, получим первое уравнение: dp 3 ) p 0 уравнение с разделяющимися переменными, решением d которого есть p(). d d p pdp pdp C 3 3 p C Найдѐм значение константы, подставив значение начальных условий. (), () p C ( ) C ( ) 0 C C В полученном выражении делаем обратную замену p. p ) решив второе уравнение, найдѐм искомую функцию (). d d d ( ) d d C d ( C) ( C) Найдѐм константу, подставив начальные условия

17 ( C) ( C) C C Ответ: ( 0,5). Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид ОН ОО, где обозначено ОН - общее решение неоднородного уравнения ОО - общее решение однородного уравнения - частное решение неоднородного уравнения. такого уравнение выполняется в два этапа ) Рассматриваем однородное уравнение. Для его получения необходимо заменить нулѐм правую часть исходного уравнения Составим характеристическое уравнение. Заменим производные порядка переменными в соответствующей степени. Получаем кубическое уравнение ( 5 6) D ( 5) ,3,, 3 3 Тогда общее решение однородного уравнения ОО Ce Ce C3e Ce Ce C3e C Ce C3e Желательно найти таблицу по которой подбирается решение. Таблицы нет. Согласно теории решения линейных дифф. уравнений с постоянными коэффициентами, после определения корней характеристического уравнения строится соответствующая фундаментальная система решений, линейная комбинация которых, с произвольными постоянными коэффициентами, и является общим решением однородного уравнения. Тогда нужно сделать ссылку на эти правила или описать их здесь. В книге Краснова, Киселѐва, Макаренко с.9 есть таблица, можно здесь сделать нечто подобное или хотя бы описать некоторые частные случаи. ) Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Первоначально, по виду правой части

18 исходного уравнения и значениям корней характеристического уравнения устанавливаем вид. В данном случае это: 3 ( A B C) A B C Найдѐм теперь производные этой функции: 3A B C 6A B 6A и подставим их в левую часть исходного уравнения A 5(6A B) 6(3A B C) 6 5 Находим значения констант, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. 6A 30A 0B 8A B 6C A ( B 30 A) (6A 0B 6 C) A 6 A / 3 A / 3 B 30A B 0 B 6A 0B 6C 5 0B 6C 5 8 6C 5 C / 3 Таким образом, получаем 3 Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения будет следующим: 3 3 ОН ОО C Ce C3e Ответ: C Ce C3e. 3 Проверка Найдѐм производные полученного решения и подставим в исходное уравнение Ce 3C3e 3 4C e 9C e C e 7C e 3 3 8Ce 7C3e 5(4C e 9C 3e ) (Ce 3C3e ) 6 5 8C e 7C e 0C e 45C e

19 C e 8C e Выражения тождественны, решение верно. Выполнять подобную поверку путѐм подстановки ОН бывает затруднительно. Иногда целесообразно выполнять проверку ОО и по отдельности. Это будет показано в следующем примере. Правила составления общего решения однородного уравнения Решая характеристическое уравнение 3 a b c 0 мы получаем корни этого уравнения,, 3, количество которых равно степени полинома. Могут получаться различные ситуации, в зависимости от которых ОО будет составляться различным образом. Далее описаны основные из низ. а) все решения характеристического уравнения действительны и различны,, 3 3 ОО Ce Ce C3e б) среди корней есть кратные действительные 3 ОО Ce Ce C3 e в) есть комплексные корни (комплексно сопряжѐнные) i, ОО e Ccos Csin Есть ещѐ один случай, но я решил не усложнять, в книге Краснова, Киселѐва, Макаренко это хорошо описано. Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения e Имеем: ОН ОО ) Находим общее решение однородного уравнения ( 6) D 4 ( 6) 5 5,3, 3, ОО Ce Ce C3e C Ce C3e ) Рассмотрим неоднородное уравнение. Его частное решение будем искать в виде:

20 ( ) A B e ( A B) e Находим производные ( A B) e ( A B) e (A A B B) e (4A A B) e (A A B B) e (4A 8A 4B A 4 B) e (8A 8A 4 B) e (4A 8A 4B A 4 B) e (8A 4A 6B A B) e Подставляем их в исходное уравнение e (8A 4A 6B A B) e (4A 8A 4B A 4 B) e... 6(A A B B) e 0 4 e Применяем метод неопределѐнных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при экспонентах, сокращая на и приводя подобные, имеем (4A A 8B 6A 6 B) (A 4A B A B)... 3(A A B B) 0 7 4A A 8B 6A 6B A 4A B A B... 6A 6A 6B 3B 0 7 0A 4B 7A 5B 0 7 (0 A 4 B) 7A 5B 0 7 Приравнивая, теперь, коэффициенты при одинаковых степенях 0 A 4B 0 A 7A 5B 7 B 0 Таким образом e и 3 C C e C e e ОН ОО 3 3 C Ce C3e e Ответ: Проверка.. Проверяем общее решение однородного уравнения OO OO 6 OO 0 Находим производные 3 3 C e C e ОО C e 4C e ОО ОО 7C e 8C e Подставляем C e 8C e 9C e 4C e 6( 3C e C e ) C e 9C e 8C e 8C e 4C e C e 0 0 0

21 Выражения тождественные, решение верно.. Проверяем частное решение неоднородного уравнения 6 0 4e Находим производные e e e 8e 4 e e 4e 8 e Подставляем e 4e 8 e e 8e 4 e 6(e e ) (0 4)e 4e 0 e (0 4)e Выражения тождественны. Т.к. ОО и верны, то можно утверждать, что и ОН, также верно по свойству суммы производных: f g ( f g) Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения. 4 4 e sin 6 Ищем решение в виде: ОН ОО ) Решаем общее однородное уравнение: D ( 4) , Если характеристическое уравнение имеет два кратных корня, то общее решение имеет вид: OO Ce Ce. ) Находим частное решение неоднородного уравнения Его будем искать в виде: e ( Acos6 Bsin6 ). Тогда e (Acos6 Bsin6 6Asin6 6Bcos6 ) e ( 3Acos6 3Bsin6 4Asin6 4Bcos6 ) Подставляем полученные выражения в исходное уравнение e ( 3A cos6 3B sin 6 4Asin 6 4B cos6 ) 4 e (Acos6 B sin 6 6Asin 6 6B cos6 ) 4 e ( Acos6 B sin 6 ) e sin 6 Применяем метод неопределѐнных коэффициентов (вначале, приравнивая коэффициенты при экспонентах, затем при косинусах и синусах).

22 3A cos6 3B sin 6 4Asin 6 4B cos6 8Acos6 8B sin 6 4Asin 6 4B cos6 4Acos6 4B sin 6 sin 6 36Acos6 36Bsin6 sin6 36A 0 A 0 36B B / 36 Таким образом, e (0cos6 / 36sin6 ) e sin6 36 Тогда Ответ: Ce Ce e sin 6 36 Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения e 00cos0 Составляем характеристическое уравнение и решая его ( 0)( 0) 0 получим 0, 0, 3 0 Таким образом, решение общего однородного уравнения 0 0 OO C Ce C3e Частное решение ищем в виде суммы 0 Для 0e 0 ищем решение ae Для 00cos0 ищем bcos0 csin0 Тогда частное решение неоднородного уравнения 0 ae bcos0 csin0 Находим производные 0 0 ae 0ae 0bsin0 0c cos ae 00ae 00bcos0 00csin ae 000ae 000b sin0 000c cos0 Подставляем производные в левую часть исходного уравнения ae 000ae 000b sin0 000c cos ( 0 0 sin0 0 cos0 ) 0e 00cos0 ae ae b c sin0 000 cos0 ae ae b c ae 000ae 000b sin0 000c cos0 0e 00cos ae 000bsin0 000ccos0 0e 00cos0 00a0 a/0 000b 0 b 0 000c 00 c / 0 0 e sin0 0 0

23 0 0 0 Ответ: C Ce C3e 0. e 0.05sin0 Задача 6. Найти решение задачи Коши / cos, 0, 0 0. Общее однородное решение 0 i Корни уравнения комплексные i, значит, решение имеет вид ОО e ( Ccos Csin ) т.к. 0,, то ОО Ccos Csin Частное неоднородное решение найдѐм методом вариации произвольных постоянных. Согласно ему, частное решение неоднородного уравнения ищется в виде C ( ) C( ), где C( ), C( ) - неизвестные функции, а ( ) cos, ( ) sin - фундаментальная система решений. C C ( ), C C ( ). cos ; sin ; sin, cos f cos C ( ) C ( ) Составим систему уравнений для нахождения C( ), C( ). Имеем C C 0 C cos C sin 0. C C f C ( sin ) C cos / cos Решим ее по правилу Крамера. Находим определитель. W cos cos sin ( sin ) cos sin Тогда sin 0 f cos sin sin C C d ln cos W cos cos

24 cos f 0 C cos C d W Здесь константы не учитываются, т.к. мы находим частное решение. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид ln cos cos sin и, складывая его с общим решением однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения C cos C sin ln cos cos sin ОН ОО ln cos C cos C sin Используя теперь начальные условия, найдем значения постоянных. Имеем ln cos C sin C cos sin cos ln cos Csin sin Ccos cos ln cos C sin C cos C C 0 ln cos0 cos0 0 sin 0 C 0 0 ln cos0 C sin 0 0 C cos0 0 C 0 Подставляем значения констант ln cos cos sin Ответ: Проверка. Выполним проверку полученного решения.. Проверим начальные условия (0), (0) 0. (0) ln cos0 cos0 0sin 0 ln cos sin cos (0) ln cos0 sin 0 0cos0 0 Условия выполняются.. Проверим решение, подставив его в уравнение. Найдѐм вторую производную. sin ln cos cos cos sin cos Подставим в уравнение. / cos sin ln cos cos cos sin ln cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos cos

25 Выражения тождественны. верно.


Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГ ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (направление «Прикладная математика

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy.

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что Задание Найти неопределённые интегралы Образец выполнения контрольной работы ln ( 8 ) + d 8 d Решение Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что ln( 8 ) 8 C 8 = 8 + (модуль под знаком

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее