Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»"

Транскрипт

1 типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; ).. По определению, функция является решением данного дифференциального уравнения на промежутке ( ; ), если подстановка этой функции в уравнение обращает его в верное тождество по на этом промежутке. Разделим уравнение на чтобы получить уравнение, содержащее производную : ( ) 0. d d d d Найдем производные данных функций ( e ) e Подставим d, e ( ) e ( ) e ( и e ( ) e в уравнение: и ( ) e e ( ) e ( )( e ) 0 ( ) Получено тождество для всех ( ; ). Это означает, что ( ) e решение дифференциального уравнения на промежутке ( ; ). Подставим теперь и в данное уравнение: e ( ) e ( ) 0 e ( ) 0 e 0. Это равенство не выполняется ни для каких ( ; ), т. е. функция e не является решением данного уравнения. Задание Для каждого из дифференциальных уравнений аг найдите общее решение (или общий интеграл). Там, где это указано, решите задачу Коши. а) sin cos ; б) ( ) d d, () ; в) tg cos 0; г) (ln 5 sin 5) d ). : cos5 d 0, ; (0) e.

2 . Уравнение sin cos является линейным уравнением первого порядка. Его можно решать различными методами: методом вариации произвольной постоянной, методом Бернулли, методом интегрирующего множителя. Выберем, например, последний метод. Интегрирующий множитель для p( ) d линейного уравнения p( ) q( ) имеет вид r ( ) e. В нашем d d случае p ( ), поэтому r( ) e e e. этого уравнения являются одно- Умножим уравнение на эту функцию: e e e sin cos. d Левую часть уравнения запишем в виде: ( e ), а правую часть d в виде e sin. Тогда уравнение принимает вид: d ( e ) e sin или d ( e ) e sin d. d Интегрируя обе части, получаем e e sin d. Интеграл справа вычисляется по частям: e e sin d ( sin cos) C. 5 e Тогда e (sin cos ) C, откуда окончательно получаем 0 (sin cos ) Ce общее решение уравнения. 0. Решим задачу Коши: ( ) d d, (). Поскольку коэффициенты ( ) и родными функциями первого порядка, то данное уравнение является однородным уравнением. Такие уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными, если заменить неизвестную функцию новой неизвестной функцией u u() по формуле u, тогда d ud du. Выполним замену неизвестной функции на новую неизвестную функцию u : ( u) d ( ud du) ( u u) d du d du 0, 0, 0, 0, d du u ln lnc u lnc lnc. Решим задачу Коши: ( ). lnc lnc lne C e.

3 Таким образом, lne искомое частное решение.. Решим уравнение tg cos 0. Это уравнение является уравнением Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли. Заменим неизвестную функцию произведением двух новых неизвестных функций и u v, тогда uv uv. Подставив и в исходное уравнение, получим: u() v() : uv uv uv tg u v cos 0 u v u( v v tg ) u v cos. () Выберем функцию v v tg 0 Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: dv dv tg d tg d. v v В качестве функции v возьмем одно из решений этого уравнения. lnv lncos v. cos Возьмем v( ). Подставив найденную функцию v в уравнение (), cos получим v такой, чтобы. du u u cos или u u, т. е. u cos cos d du d ( C) u. u u C Поскольку u v, то общее решение уравнения имеет вид. ( C) cos 4. Решим задачу Коши (ln 5 sin 5) d cos5 d 0, (0) e. Обозначим P(, ) ln 5 sin5, Q(, ) cos5. P Q Вычислим и. P Q 0 sin5, 0 sin5. P Q Поскольку в области 0,, то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Это означает, что в указанной

4 u(, ), области существует такая функция полный дифференциал которой совпадает с левой частью данного уравнения: du P(, ) d Q(, ) d. В соответствии с условием задачи du 0 u(, ) C общий интеграл данного уравнения. u Найдем функцию u (, ) по ее частной производной P(, ) : u (, ) P(, ) d C( ). В нашем случае u (, ) (ln 5 sin 5) d C( ) ln cos5 C( ). () u Чтобы найти C (), воспользуемся равенством Q(, ), используя представ- u cos5. ление функции u в виде (): u ( ln cos5 С другой стороны, можно найти u, C( )) В итоге получим систему, из которой находим (), u u cos5 C( ), cos5 C( ) 0 C( ) C. cos5 C( ). cos5 C( ) т. е. C а затем С () : cos5 Подставим C () в равенство (): u(, ) ln cos5 C. Теперь находим общий интеграл данного уравнения, имеющий вид u(, ) C : ~ ln cos5 C C ln cos5 C, ~ где C C C произвольная постоянная. Решим задачу Коши: ( 0) e. ~ ~ 0 lne e cos0 C C e. Таким образом, ln cos5 e искомый частный интеграл. Задание Приведите данное уравнение либо к однородному, либо к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подходящей замены неизвестной 4

5 функции (и, возможно, независимой переменной). Получившееся уравнение интегрировать не нужно. а) ; б). 4 a b c Для уравнений вида подходящая замена неизвестной a b c функции зависит от главного определителя системы a b c 0, Если a b c 0. a b определитель 0, то после замены неизвестной функции a b на новую неизвестную функцию по формуле u( ) a b, уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Если определитель a b 0, то система имеет единственное решение тогда сов- a b u() (, ), местная замена неизвестной функции и независимой переменной по формулам, приводит данное уравнение к однородному.. Рассмотрим уравнение. 4 Вычислим 0. 4 Поскольку 0, уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u( ). Выразим u u. Подставив в уравнение, получим u u du 5u 5 u u уравнение с u u d u разделяющимися переменными.. Рассмотрим уравнение. Вычислим 0. 5

6 0, Поскольку нужно определить и позволяющие сделать совместную замену неизвестной функции и независимой переменной, в результате чего уравнение превратится в однородное., 0, Для нахождения и решим систему 0.,, Таким образом, искомая замена независимой переменной ( на и функции на, в результате которой уравнение приводится к однородному. Очевидно, что d d, d d. Выполнив замену переменных, получим уравнение d d. () d d Поскольку ( ) и ( ) однородные функции первого порядка, уравнение () является однородным. Такое уравнение соответствует условию задачи. ) ( ( ), ( )) Задание 4 Для данного уравнения ( sin ) d sind 0 найдите интегрирующий множитель, с помощью которого приведите уравнение к уравнению в полных дифференциалах. Обозначим P(, ) sin, Q(, ) sin. Найдем P Q P Q sin cos и sin. Поскольку и при этом функция P Q sin зависит только от одной переменной, то для Q sin данного уравнения существует интегрирующий множитель d ln ( ) e e. После умножения исходного уравнения на 6

7 это: должно получиться уравнение в полных дифференциалах. Проверим sin sin d d ( sin ) sin 0 d d sin sin P Пусть P (, ), Q (, ). Вычислим и P sin sin cos sin. Q sin sin. P Q Так как, то интегрирующий множитель ()найден верно и полученное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. z и пре- Задание 5 Найдите общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения 5 0. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию и допускает понижение порядка с помощью введения новой функции z z() по формуле z. В результате получаем уравнение первого порядка z z 5 0, которое является линейным. Разделим все члены последнего уравнения на коэффициент при образуем уравнение к каноническому виду z p( ) z q( ) : z 5 z. Для полученного уравнения находим интегрирующий множитель p( ) d e. В нашем случае p( ), поэтому интегрирующий множитель d ln имеет вид e e. Умножаем обе части уравнения на : 7 5 z. Q. 0. 7

8 0 0, Раскрывая с разными знаками для и в обоих случаях получаем уравнение z z 5. Поскольку левая часть уравнения представляет собой производную произведения z z ( z), то последнее уравнение принимает вид: ( z ) 5. Интегрируя полученное уравнение, находим его общее решение: C ( z) d ( 5) d z 5 C z 5. Возвращаясь к функции по формуле z, получаем еще одно дифференциальное уравнение первого порядка: C C 5 или 5 d d. Интегрируя обе части уравнения, получаем 5 C ln C. 4 Следовательно, 5 C ln C общее решение искомого 4 дифференциального уравнения. Задание 6 Решите задачу Коши ( ) 0, (0) (0). Данное уравнение не содержит явно независимую переменную и допускает понижение порядка с помощью введения новой функции z z() по формуле z. Тогда z и уравнение принимает вид dz d z z z 0. Полученное уравнение является уравнением Бернулли. Для искомого решения z 0, 0. Делением всех членов уравнения на коэффициент при z преобразуем уравнение к каноническому виду: z z. z Общее решение будем искать в виде z u( ) v( ), тогда z uv uv. Подставляя эти выражения вместо z и z в последнее уравнение, получим uv v u v uv или u v uv. uv uv 8

9 v v() возьмем одно из решений уравнения В качестве функции v v 0. После разделения переменных приходим к уравнению dv d, v интегрируя которое, получим: ln v ln ln C или v C. В силу начального условия заключаем, что ( 0) 0 v C. Выберем одну из таких функций, полагая, например, v. C. Тогда Находим теперь функцию u u() из уравнения u, откуда u u. u После разделения переменных приходим к уравнению udu d, интегрируя которое, получим u C или u C. Значит, z C или z C. Учитывая начальные условия ( 0), (0), что (в силу замены z ) соответствует условию z ( ) 0, для нахождения константы C выбираем функцию z C. Тогда C C. Следовательно, z. Возвращаясь к функции по формуле z, приходим к дифференциальному уравнению. Разделяя в нем переменные, получим уравнение d d, 9

10 интегрируя которое, находим: d d ( ) arcsin( ) C. В силу начального условия определяем значение произвольной постоянной C : arcsin0 0 C C 0. Значит, решением искомой задачи Коши является функция, заданная уравнением arcsin( ). ( 0) A. Находим коор- Задание 7 Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M 0(; ) и удовлетворяющей условию: произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью абсцисс равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания. Пусть произвольная точка данной кривой, тогда уравнение нормали, проведенной к этой кривой в точке Y ( X ), где X, Y текущие координаты точек нормали. Точку пересечения нормали с осью абсцисс обозначим динаты точки 0 ( X ) X. Значит, A(, 0). M(, ) A : M, имеет вид Рис. 0

11 Учитывая, что OM, получаем дифференциальное уравнение искомой кривой: ( ) ( ) или. Так как функции и ( ) являются однородными функциями второго порядка, то последнее уравнение представляет собой однородное уравнение. Будем использовать подстановку где ная функция. Тогда u u. В результате подстановки указанных выражений вместо и, последнее уравнение принимает вид u( u u) u или uu u. Для искомого решения так как кривая проходит через точку M 0(;). После разделения переменных приходим к уравнению udu d, u интегрируя которое, получим: 0, u, ln( u ) ln ln C или u C. Значит, u u() новая неизвест- u C и, следовательно, учитывая, что u, получим C. В соответствии с начальным условием ( ) 0 находим значение произвольной постоянной C C, C подставляя, в функцию C : 5 C Итак, 5 искомая интегральная кривая. Задание 8 Исследуйте линейную зависимость данной системы функций на указанном промежутке: ) sin, cos, sin, ( ; ); ), ln( ), ln( ), (; ); 5.

12 ) e sin, e cos, ( ; ).. Покажем, что существуют числа,,, не равные нулю одновременно, для которых в интервале справедливо тождество sin cos sin 0. (4) Полагая в равенстве (4) последовательно 0,,, получаем 6 однородную систему трех уравнений относительно неизвестных, : 0, 0, 0, ( ) 0, ( ),, , 0, 0 C, C, C,,, ( ), 0 где C. Таким образом, однородная система имеет бесконечное множество решений. Возьмем, например, С. Тогда для набора чисел,, выполняется тождество sin cos sin 0, ( ; ). Это означает, что система функций линейно зависима на.. Покажем, что система функций, ln( ), ln( ), (, ) линейно независима на промежутке ( ; ). Составим равенство ln( ) ln( ) 0 (5)

13 и покажем, что оно выполняется для ( ; ) только при 0. Продифференцируем равенство (5) по переменной 0. (6) Поскольку функции и линейно независимы на промежутке так как ( k, где для всех ( ; ) тогда и только тогда, когда 0. Подставив эти значения в равенство (5), получим Таким образом, 0, что означает линейную независимость данной системы функций на промежутке. Определим, при каких значениях выполняется тождество ( ; ) 0. : k ), то равенство (6) выполняется ( ; ). и e sin e cos 0, ( ; ). e 0 Разделим обе его части на для любого, получим sin cos 0,. Пусть 0, тогда 0 и, значит, sin 0,. Так как функция sin не равна тождественно нулю, получим, что 0. Значит, тождество e sin e cos 0 имеет место в интервале только при 0. Следовательно, данная система функций линейно независима на. Задание 9 Найдите линейное однородное дифференциальное уравнение (наиболее низкого порядка) с постоянными коэффициентами, имеющее данные частные решения ( ) e, ( ) sin. Так как линейное однородное дифференциальное уравнение ЛОДУ (наиболее низкого порядка) с постоянными коэффициентами имеет частное решение ( ) e, то число является корнем характеристического уравнения кратностью k. Учитывая, что функция ( ) sin представляет собой частное решение искомого уравнения, заключаем, что комплексное число i является простым корнем характеристического уравнения, и, значит, сопряженное ему комплексное число i также является простым корнем характеристического уравнения.

14 Следовательно характеристическое уравнение, составленное для искомого ЛОДУ, имеет вид ( ) ( i )( i) 0 ( 9 7 7)( 4) Зная характеристическое уравнение, составляем искомое дифференциальное уравнение v v Задание 0 Найдите частное решение линейного однородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: 9 0, (0) (0) 0, (0). Для данного уравнения составляем характеристическое уравнение 9 0. Находим его корни: 9 0 ( )( 4 ) 0, i, i. Фундаментальную систему решений образуют функции e, e cos, e sin. Следовательно, общее решение искомого уравнения будет иметь вид Ce Ce cos Ce sin. Для нахождения частного решения подставляем начальные условия ( 0) (0) 0, (0) в выражения для,, : Ce Ce cos Ce sin, Ce C(e cos e sin) C(e sin e cos), Ce C( 5e cos e sin) C( 5e sin e cos). В результате подстановки начальных условий получаем линейную неоднородную систему относительно постоянных C, C, C : C C 0, C C C 0, C, C, C C 5C C Следовательно, искомое частное решение определяется формулой e e (cos sin )

15 Задание Не находя коэффициентов, определите вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 4 4e ( )cos sh ( )sin. Попытаемся представить правую часть данного уравнения в виде суммы функций специального вида e ( Pn ( )cos Qm ( )sin ), где многочлены с действительными коэффициентами, степеней m соответственно. Для этого понизим степень cos ( cos), запишем по определению sh ( e e ), после чего правая часть примет вид f ( ) 4e ( )cos sh ( )sin e ( )( cos) ( e e )( )sin e ( ) P n () и n и, Q m () f (), f () e ( ( )cos ( )sin ) e ( )sin f( ) f( ) f( ), где f ( ) e ( ), f ( ) e (( ) cos ( ) sin ), f ( ) e ( ) sin. В соответствии с принципом суперпозиции решений частное решение данного уравнения является суммой частных решений уравнений 4 f ( ), i,,. i i Для нахождения составим характеристическое уравнение и определим его корни: 4 0 i, i. Определим теперь вид частного решения уравнения с правой частью f ( ) : 4 e ( ). Так как коэффициент в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид ( A B) e. Для правой части f( ) e (( ) cos ( ) sin) коэффициент в показателе экспоненты, а коэффициент аргумента тригонометрических функций sin и cos равен. Поскольку число 5

16 i i является простым комплексным корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид e (( C D E)cos ( F G H)sin). f( ) e (( ) sin 0 cos Для правой части ) аналогично находим:,, i i. Поскольку последнее число не является корнем характеристического уравнения, частное решение вид: e (( M N L)cos ( K P Q)sin ). имеет Так как искомое частное решение равно сумме, окончательно получаем ( A B) e e (( C D E)cos ( F G H)sin) вид где e (( M N L)cos ( K P Q)sin). Задание Найдите общее решение линейного неоднородного уравнения 4 e (cos sin ). cos Известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения имеет 0 0, общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а частное решение линейного неоднородного уравнения. Заметим, что в нашем случае правая часть уравнения f ( ) e (cos sin ) cos состоит из двух слагаемых f( ), f( ) e (cos sin), второе из которых является функцией специального вида, а первое нет. Обсудим cos вначале метод решения данного уравнения. Рассмотрим два вспомогательных уравнения: 4 и cos 4 e (cos sin). Методом вариации произвольных постоянных найдем общее решение первого уравнения 4, которое запишем в виде cos 0, 6

17 где 0 общее решение соответствующего линейного однородного уравнения 4 0, а частное решение линейного неоднородного уравнения 4. cos Затем методом подбора найдем частное решение второго уравнения 4 e (cos sin), правая часть которого является функцией специального вида. В силу принципа суперпозиции решений частное решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид, а значит, искомое общее решение 0. Приступим теперь к решению данного уравнения. Для соответствующего линейного однородного уравнения 4 0 составим характеристическое уравнение 4 0, которое имеет простые комплексно-сопряженные корни i, i. Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения определяется формулой 0 C cos C sin. Общее решение линейного неоднородного уравнения 4 cos будем искать в виде C( )cos C( )sin, где функции C ( ), C ( ) удовлетворяют системе уравнений C ( ) cos C ( )sin 0, C ( ) cos C ( )sin. cos Для решения полученной системы применим формулы Крамера. Находим cos sin cos sin (cos sin ), sin cos 0 sin sin, cos cos cos cos 0 cos sin cos cos. Определяем функции C ), C ( ) по следующим формулам: ( 7

18 0 C ( ), C ( ). sin Для нашего случая C ( ), C. cos Интегрируя последние уравнения, находим C ( ), C( ). sin С ( ) d d C( ) ln cos C, cos C ( ) d d C( ) C. Подставляя найденные функции C ( ), C( ), получаем общее решение линейного неоднородного уравнения : cos C ln cos cos ( C )sin. В выражении справа отделяем общее решение однородного уравнения от частного решения неоднородного уравнения: 0 C cos C sin ln cos sin, где 0 C cos C sin общее решение соответствующего однородного уравнения; ln cos cos sin частное решение неоднородного уравнения. Теперь осталось найти уравнения 4 e (cos sin). частное решение линейного неоднородного Так как правая часть уравнения имеет вид f ( ) e (cos sin), причем коэффициент в показателе экспоненты, а коэффициент аргумента тригонометрической функции, получаем число i i, которое не является корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение будем искать в виде e ( Acos Bsin ). ) e ( Acos Bsin) e ( Asin Bcos ) 4e ( Acos Bsin) 4e ( Asin Bcos Находим производные первого и второго порядков функции : ( ( e ( 4Acos 4Bsin). Чтобы найти коэффициенты A и B, подставим выражения для, ( ),( ) в уравнение 4 e (cos sin) : ), ) 8

19 e e 4e ( Acos Bsin) 4e ( 4Acos 4Bsin) e (cos sin) e ( Asin Bcos) ( Acos Bsin) cos( 8B A) e sin(8a B) e (cos sin). После деления обеих частей полученного равенства на e ( e 0 для любого ) приравняем коэффициенты при и в левой и правой частях равенства: A 8B, 8A B. 7 9 м этой системы являются числа A, B Следовательно, частное решение уравнения 4 e (cos sin) найдено: 7 9 e cos sin cos sin Как было указано выше, решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид ln cos cos sin 7 9 e cos sin, а его общее решение определяется формулой C cos C sin ln cos cos sin 7 9 e cos sin Задание Решите линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений d cost, dt d sint cost. dt Приведем данную систему к линейному неоднородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Для этого дифференцируем 9

20 первое уравнение по t и подставляем выражение для из второго уравнения системы: tt t t sin t, tt t sin t cost sin t t sin t cost tt t sint cost. Выражаем из первого уравнения системы: t cost. Подставляя выражение для в последнее уравнение, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: tt t t cost sint cost tt sint. (7) Составляем соответствующее линейное однородное уравнение и находим его общее решение: tt 0. Характеристическое уравнение имеет вид 0, его корнями являются комплексно-сопряженные числа i, i. Значит, общее решение однородного уравнения определяется по формуле 0 C cost C sint. Так как правая часть неоднородного уравнения имеет вид ot f ( t) e (0 cost sint), причем коэффициент в показателе экспоненты 0, а коэффициент аргумента тригонометрической функции, получим число i i, которое является простым корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение неоднородного уравнения имеет вид * t( Acost Bsint). Находим производные первого и второго порядков функции ( * ) Acost Bsint t( Asint Bcost). ( * ) Acost Bsint At cost Bt sint. Для нахождения коэффициентов и подставляем выражения для * * ( ),( ) в неоднородное уравнение (7): Asint Bcost At cost Bt sint At cost Bt sint sint Asint Bcost sint. Приравнивая коэффициенты при cos t и sin t в обеих частях равенства, получим систему: A, B 0, решением которой являются числа A, B 0. A B t * : 0

21 Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид * t cost. Общее решение этого уравнения определяется по формуле C cost C sint t cost. Подставляя найденные значения для ( t ) C sint C cost cost t sint в равенство t cost, находим вторую искомую функцию: C sint C cost cost t sint C cost C sint t cost cost C(sin t cost) C(cost sint) t sint t cost. Таким образом, общее решение искомой системы найдено: C cost C sin t t cost, C(sin t cost) C(cos t sin t) t sin t t cost. и


РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики А В Михеев СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» ТА ШАЛЫГИНА НН БЕЛОВ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее