ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Н.П. ПУЧКОВ, В.В. СКОМОРОХОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Н.П. ПУЧКОВ, В.В. СКОМОРОХОВ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» НП ПУЧКОВ, ВВ СКОМОРОХОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рекомендовано Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

2 УДК (78) ББК Вя7- П99 Рецензенты: Доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «ТГУ им ГР Державина» ЕС Жуковский Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «ТГТУ» АД Нахман П99 Пучков, НП Высшая математика : практикум / НП Пучков, ВВ Скоморохов Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 8 с экз ISBN Представлены краткий информационный материал рекомендательного характера, типовые задачи с иллюстрациями и решениями, что позволит студентам самостоятельно подготовиться к выполнению контрольных работ и тестированию Предназначен для студентов инженерно-технических специальностей УДК (78) ББК Вя7- ISBN Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»),

3 ВВЕДЕНИЕ Переход с г высшего профессионального образования России на уровневую систему предполагает использование компетентностного подхода в процессе обучения студентов, когда системно формируются знание, умение, навыки (ЗУН) обучающихся, а также их личностные качества, позволяющие компетентно использовать ЗУН в производственной деятельности, быть конкурентоспособным специалистом Большую роль в процессе формирования профессиональных компетенций играют математические компетенции и, в частности, технологии их формирования у первокурсников Несмотря на то, что первокурсники в условиях лимитированного времени вынуждены изучать достаточно объёмный новый теоретический материал по математике, должны одновременно быть созданы необходимые условия для решения практических задач, в процессе чего наиболее продуктивно развиваются умения, формируются навыки и также такие личностные качества, как целеустремленность, ответственность, работоспособность, самостоятельность и тп Учебными программами предусмотрен периодический контроль усвоения математических знаний, формирования необходимых умений и навыков в виде тематических контрольных работ Их проведению должно предшествовать, наряду с практическими занятиями, самостоятельная работа студентов, включающая элементы изучения и закрепления теоретического материала, самопроверки и самоконтроля При написании данного пособия мы стремились обозначить конечную цель как выполнения контрольной работы по данному разделу курса высшей математики, а всё остальное как методику подготовки к её выполнению, включая: ) необходимый теоретический материал, изложенный как справочный материал; ) необходимые умения, как инструмент решения математических задач; ) необходимый объём заданий для самостоятельного выполнения, обеспечивающий, на наш взгляд, формирование соответствующих навыков; ) образцы выполнения типовых заданий; ) условия для самоконтроля ответы к заданиям для самостоятельного решения; ) тайм-контроль указание времени, достаточного для решения задачи (чтобы своевременно выполнить контрольную работу) Наша методика строится таким образом, чтобы ответить на вопрос: как студент, получивший примерный вариант предстоящей проверочной контрольной работы, должен продумать, организовать свою самоподготовку, чтобы успешно справиться с выполнением заданий? В своём представлении технологии самоподготовки мы ориентируемся на студентов с уровнем первичных знаний «ниже среднего»; более подготовленные студенты могут использовать другие, наиболее оптимальные по содержанию промежуточные выкладки

4 Тема ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (типовые задания) Даны матрицы: 7 8 9, 7 7 9, 7 7 D B A Найти матрицу 9 D AB F Вычислить определитель четвёртого порядка, используя метод его разложения по элементам «опорной» строки (или столбца) и представлении его, таким образом, как алгебраической суммы определителей третьего порядка Рекомендуется предварительно в «опорной» строке (столбце) путём преобразований, использующих свойства определителей, получить максимальное количество нулей Решить систему уравнений,, а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным способом Чтобы выполнить первое задание, необходимо знать правила: ) умножение матрицы на число (в данном случае на ( 9 )); ) сложение матриц (возможно при их одинаковой размерности); ) умножение матриц (возможно при условии, что число столбцов матрицы, стоящей первым сомножителем, равно числу строк матрицы, стоящей вторым сомножителем) С учётом того, что последовательность арифметических действий над матрицами та же, что над числами, последовательно находим:

5 ) промежуточную матрицу C AB; ) матрицу C ( 9) ; D C C ) матрицу F Перемножим матрицы A и B Результирующая будет C размера, состоящая из элементов c C c c По правилу умножения матриц имеем: c c c c c c -я строка -й столбец c A B ( ) 7 ( ) ; ( 7) 9 -я строка -й столбец c A B 9 7 ( ) 7; ( 7) 7 -я строка -й столбец 7 c A B ; аналогично находим, что ( 7) c ( ) ( ) ( ) ; c 7 ( ) ( ) ( ) 8; c 9 ( ) ( ) ; c 7 9 ( ) ( ) 7; c 7 ( ) 7 ; c 7 7 ( ) Таким образом, получаем C Далее, умножим матрицу D на число 9: 9 9D

6 В результате имеем AB 9D ( ) ( 8) ( 7) ( ) 9 ( 7) Чтобы выполнить второе задание, необходимо знать: ) свойства определителей, позволяющие осуществлять преобразования, не изменяющие величины определителя; ) правило разложения определителя по элементам строки (столбца) и сведения, таким образом, процесса вычисления определителя высокого порядка к нахождению алгебраической суммы определителей более низкого порядка; при этом надо знать понятие алгебраического дополнения к данному элементу матрицы; ) правило вычисления определителя третьего порядка Нам дан определитель четвертого порядка Его вычисление можно свести к нахождению алгебраической суммы произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на соответствующие им алгебраические дополнения (имеются в виду алгебраические дополнения элементов матрицы, которой соответствует данный определитель) Очевидно, что наличие в выбранной строке определителя нулей упрощает процесс его вычисления, так как делает ненужным нахождение соответствующего алгебраического дополнения (его произведение на ноль даёт ноль) Преобразуем исходный определитель таким образом, чтобы четвертый столбец содержал элементы:,,, В качестве «опорного» для преобразования выберем элемент, стоящий в первой строке и четвёртом столбце Ход преобразований: умножаем первую строку последовательно на ( ), ( ), () и складываем соответственно со второй, третьей и четвёртой строками: первая строка; первая строка умножается на ( ); 8 7 вторая строка; «новая» вторая строка; первая строка умножается на ( );

7 7 третья строка; «новая» третья строка; первая строка умножается на (); четвёртая строка; «новая» четвёртая строка В результате получим определитель, в котором все элементы четвёртого столбца, кроме первого, равны нулю: Разложив этот определитель по элементам четвёртого столбца, получим ( ) ( ) (вынесем из первой строки общий множитель () из второй () из третьей ()) ( ) 9 При вычислении определителя третьего порядка мы использовали известное правило (Саррюса) В то же время, используя тот же приём «обнуления» некоторых элементов строки (столбца), можно свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителя второго порядка: ( ) ( ) ( ) ( ) В кружке обозначаем «опорный, ненулевой элемент» 7

8 Здесь мы первую строку умножили последовательно на, затем на ( ) и сложили соответственно сначала со второй, затем с третьей строкой; после получения двух нулей в первом столбце мы разложили определитель по его элементам; в полученном определителе второго порядка общий множитель ( ) вынесли из первого столбца В принципе и в определителе второго порядка можно «обнулять» элементы Так, ( ) ( ) Таким образом, используя метод «обнуления» некоторых элементов строки (столбца), можно в конечном итоге свести вычисление определителя любого порядка к вычислению определителя второго порядка Студенту предоставляется право выбора: довести процесс вычисления определителя до вычисления определителя третьего порядка (используя метод «обнуления» элементов) и применить затем правило Саррюса или продолжить процесс обнуления элементов вплоть до определителя второго порядка Последняя схема имеет практическое применение при решении систем линейных уравнений (метод Гаусса) Рассмотрим её (схему) на примере выполнения третьего задания: решить систему уравнений,, а) Методом Гаусса Составим расширенную матрицу и проведём необходимые элементарные преобразования строк: складываем первую строку со второй, предварительно умножив её на, и с третьей, умножив её на 8

9 9 7 / / / / (умножим -ю и -ю строки на ) 7 (умножив -ю строку на /7 прибавляем к -й) 7 / 7 /7 7 (мы умножили на 7 последнюю строку и разделили на ) Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной:, 7, Из неё, «двигаясь снизу вверх», последовательно находим,, б) По формулам Крамера, где,,, / находим ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( / Последовательно заменяя в первый, второй и третий столбцы столбцом из правых частей уравнений, находим,,,

10 тогда,, в) Для нахождения решения системы матричным способом запишем систему уравнений в матричной форме AX B, где A, X, B A мат- Решение матричного уравнения имеет вид X A B, где рица, обратная матрице A, существует, если A / и имеет вид A A A A A A A A A A A Найдём A Имеем det A / Вычислим алгебраические дополнения: A ( ) ( ) ; A (( ) ( ) ( ) ( )) ; A A ( ) ( ) ; ; A A ; A ; ; A Таким образом, ; A A, 7 7

11 откуда решение системы 7 X Следовательно,,, ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Вариант Даны матрицы:,, 8 B A C Найти матрицу C AB F 7 Вычислить определитель четвёртого порядка, используя метод его разложения по элементам «опорной» строки (или столбца) и представлении его, таким образом, как алгебраической суммы определителей третьего порядка Рекомендуется предварительно в «опорной» строке (столбце) путём преобразований, использующих свойства определителей, получить максимальное количество нулей 8 8 Решить систему уравнений 7,, а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным способом

12 Вариант Даны матрицы:, 7, 9 B A C Найти матрицу C AB F Вычислить определитель четвёртого порядка, используя метод его разложения по элементам «опорной» строки (или столбца) и представлении его, таким образом, как алгебраической суммы определителей третьего порядка Рекомендуется предварительно в «опорной» строке (столбце) путем преобразований, использующих свойства определителей, получить максимальное количество нулей Решить систему уравнений,, а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным способом Вариант Даны матрицы:, , B A C Найти матрицу C AB F Вычислить определитель четвёртого порядка, используя метод его разложения по элементам «опорной» строки (или столбца) и представлении его, таким образом, как алгебраической суммы определителей третьего порядка Рекомендуется предварительно в «опорной» строке (столбце)

13 путём преобразований, использующих свойства определителей, получить максимальное количество нулей Решить систему уравнений а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным способом 7 8,, Тема ВЕКТОРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ При изучении этой темы спектр типовых заданий более широкий (по сравнению с темой «Линейная алгебра»), поэтому варианты контрольной работы имеют различные наборы задач, и мы их приводим в конце изложения темы как задания для тестового контроля Чтобы успешно подготовиться к такой контрольной работе, необходимо самостоятельно прорешать каждый тип из перечисленных далее задач, сгруппированных по шести разделам Раздел ВЕКТОРЫ Условие освоения этого раздела предполагает, что студент должен знать: ) понятие вектора, способ его задания, правила осуществления линейных операций над векторами; ) понятие базиса векторов, способа представления любого вектора в базисе; ) понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, а также их свойства; уметь: ) определять взаимное расположение векторов (находить угол между векторами, находить неизвестный вектор, знать условия, связывающие его взаимным расположением с другими векторами, находить разложение вектора по базису); ) находить площадь геометрических фигур, построенных на векторах; ) находить объёмы геометрических фигур, построенных на векторах

14 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Если точки A, B, C заданы своими координатами (,, z) : A (,, z), B (,, z), C (,, z), то векторы AB, AC, BC заданы координатами: AB (,, z z); AC (,, z z); BC (,, z z) Если векторы a r, b r заданы своими координатами в виде r r a ( a, a, a ), b ( b, b, b ), то z z r их сумма a b r ( a b, a b, a b ); z z произведение вектора a r на число λ, b r на число κ r r λa ( λa, λa, λaz ), κb ( κb, κb, κbz ); скалярное произведение векторов a r и b r r r ( a, b) ab ab azbz; длина вектора a r длина вектора b r r r r r a ( a, a), a a a a r r r r b ( b, b), b b b b угол ϕ между векторами a r, b r r r ( a, b) r r r r ϕ arccos r r ; a b ( a, b) ; a b векторное произведение векторов a r и b r r r r i j k r r r r r r r [ a, b] a a az ; a b [ a, b] ; b b b z z z ; ;

15 площадь треугольника, построенного на векторах a r и b r : r r S [ a, b] Если, кроме векторов a r и b r дан вектор c r ( c, c, c ), то z a r, b r, c r образуют базис, если b b b /, a a a z z а вектор c c cz r r r r d d a d b d c разложение вектора d r ( d, d, ) в этом базисе d смешанное произведение векторов a r, b r, c r (результат скалярного произведения вектора c r r на векторное произведение [ a, b r ] ) C (, a r r r ( a, b, c) b c r r r r r r a, b, c компланарны ( a, b, c) ; r r r r r r a, b, c правая тройка ( a, b, c) > ; r r r r r r a, b, c левая тройка ( a, b, c) < ; объём треугольной пирамиды, построенной на векторах a r, b r и c r V пир a b c a b c r r r ( a, b, c) ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ (С РЕШЕНИЯМИ) ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Найти угол между векторами AB и AC, где A (,, ), B (, 7, ),, ) ( AB, AC) Решение Так как ϕ arccos AB AC z z z, Находим: AB (,, ), AC (,, ) ( AB, AC) ( ) ;

16 AB ( ) () ( ) ; AC () () () Следовательно, arccos arccos ϕ, Найти вектор c r, зная, что он перпендикулярен векторам a r (,, ) и b r r (,, ) и удовлетворяет условию ( c, d r ) 9, если вектор d r (,, ) Решение Пусть c r (,, z), тогда из условия задачи можно записать: r r ( c, a), z ; r r ( c, b), z ; r ( c, d r ) 9, 9 Объединяем полученные уравнения в систему с неизвестными,, z Её решение:, 9, z 9 Таким образом c r (, 9, 9) Найти площадь ABC, если известны координаты его вершин: A (,, ), B (, 7, ), C (,, ) Решение Известно, что S [ AB, AC] Находим AB (, 7, ) (,, ); AC (,, ) (,, ); r r r i j k r r [ AB, AC] i j r k r r i k (,, ) Окончательно имеем S () () ( )

17 Показать, что векторы a r (,, ), b r (,, ), c r (,, ) образуют базис Разложить вектор d r (,, ) по этому базису Решение Если определитель составленный из координат векторов a r, b r, c r, не равен, то векторы a r, b r, c r образуют базис Имеем / Таким образом, тройка a r, b r, c r базис Обозначим координаты вектора d r в базисе a r, b r, c r через,, z Тогда r r r r d a b zc (,, ) (,, ) ( z, z, z) ( z, z, z), с другой стороны d r (,, ), поэтому (,, ) ( z, z, z), а это возможно только в случае равенства соответствующих координат: z, z, z Решая эту систему, находим, что,, z Итак, d r (,, ) Выяснить, какой является тройка векторов a r, b r, c r (правой или левой), если a r (,, ), b r (,, ), c r (,, ) Решение Вычисляем r r r ( a, b, c) >, те тройка векторов a r, b r, c r правая 7

18 Найти объём пирамиды ABCD, если известны координаты ее вершин: A (, 7, ), B (, 8, ), C (, 8, ), D (, 7, ) Решение Найдем векторы AB, AC и AD, совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А: их смешанное произведение: AB (,, ); AC (,, ); AD (,, ); ( AB, AC, AD), Так как объём пирамиды равен ( AB, AC, AD), то V Раздел ПРЯМАЯ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ Усвоение этого раздела предполагает, что студент должен знать: ) различные способы задания уравнения прямой на плоскости: общее, каноническое, параметрические; ) понятия направляющего и нормального векторов прямой; уметь: ) осуществлять переход от одного уравнения прямой к другому; ) определять (по уравнению) взаимное расположение прямых на плоскости (угол между прямыми; условия параллельности, перпендикулярности); ) решать треугольники: находить неизвестные элементы треугольника по известным данным, включая и расстояния 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Направляющим для данной прямой l называется вектор a r ( a, a ), параллельный этой прямой Очевидно, что таких векторов бесконечно много; они характеризуются тем, что их соответствующие координаты пропорциональны: если br ( b, b ) также направляющий для прямой l,

19 то tb, a a tb, t const Направляющий вектор может быть задан и парой точек, принадлежащих самой прямой Нормальным для данной прямой l называется вектор n r ( A, B), r перпендикулярный этой прямой: n l Очевидно, что таких векторов бесконечно много и они обладают таким же свойством, которое выше указано для направляющих векторов Если M, ) точка, принадлежащая прямой l, a r ( a, a ) ( её направляющий вектор, то каноническое уравнение прямой l, a a at, at, где < t < параметрические уравнения прямой l Если N r ( A, B) нормальный вектор прямой l, то A B C общее уравнение прямой l на координатной плоскости; постоянная C определяется как C A B, где (, ) координаты точки, принадлежащие прямой l Общее уравнение прямой равносильно уравнению r A( ) B( ) Очевидно, что вектор n ( B, A) будет направляющим для данной прямой, так как n N (их скалярное произведение r r r r ( n, N) BA AB ) Расстояние от точки (на плоскости) до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую; в частности, если M, ), а прямая A B C, то расстояние ( A B C ρ A B ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ (С РЕШЕНИЯМИ) ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Во всех рассматриваемых ниже задачах предполагается делать чертёж Это, на наш взгляд, повышает уровень наглядности задачи, формирует умение геометрических построений, даёт возможность осуществлять «геометрическую проверку» решения 7 В треугольнике ABC найти уравнение медианы, проведённой из вершины A, если A (, ), B (7, ), C (, ) Сделать чертёж 9

20 Решение По условию M M, ) середина отрезка BC, поэтому M M ( M 7 ( ) B C ; ( ) B C, а M, Тогда AM,, направляющий вектор медианы AM, а её уравнение ( ) или 8 В треугольнике ABC найти уравнение высоты, проведённой из вершины A, если A ( 7, ), B (, ), C (, ) Сделать чертёж

21 Решение AH высота ABC : AH BC, вектор BC (, 7) нормальный для высоты AH Учитывая, что AH содержит точку A (7, ), уравнение AH ( ( 7)) 7( ( )), 7( ( )), 9 В треугольнике ABC найти уравнение биссектрисы, проведённой из вершины A, если A (, 7), B (, 7), C (7, ) Сделать чертёж Решение Биссектриса AS проходит через точку A (, 7) и делит CAB пополам Очевидно, что вектор a r, направляющий для биссектрисы r r r AS : a e e, где AB e r, AB AB (, ), AC e r единичные вектора Имеем AC AB ; AC (, ), AC ( ) () ; r a r r (, ) ( e e (, ),, ),

22 Тогда уравнение прямой, проходящей через точку A и имеющей направляющий вектор a r : ( ) ( 7), 7 Точка A (, ) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой Вычислить площадь этого квадрата Решение Точка A (, ) не принадлежит данной прямой, так как () () / Расстояние от точки A до данной прямой ρ ( ) ( ) 7 является длиной стороны искомого квадрата, а его площадь S ρ Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой, проходящей через точки A и C, если A (, 7), B (, ), C (, ) Сделать чертёж

23 Решение Искомая прямая проходит через точку B и имеет направляющий вектор AC (, ),, ( ) ( ),, Раздел ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Усвоение материала этого раздела предполагает, что студент должен знать: ) различные способы задания (уравнения) плоскости в пространстве (общее, с заданным нормальным вектором и «опорной» точкой, проходящей через три заданные точки); ) определение нормального вектора плоскости, угла между плоскостями; уметь: ) осуществлять переход от одного уравнения плоскости к другому (так как при решении различных задач более удобным бывает использование уравнения определённого вида); ) определять взаимное расположение плоскостей в пространстве (угол между плоскостями, условия параллельности, перпендикулярности, находить линию пересечения плоскостей); ) находить уравнение плоскостей, используя условия их взаимного расположения с заданными (своими уравнениями) плоскостями ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Нормальным к данной плоскости P называется вектор N r ( A, B, C), r если N P Если M (,, z) точка, принадлежащая плоскости P, а N r ( A, B, C) eё нормальный вектор, то A ) B( ) C( z ) уравнение этой плоскости; ( z A B Cz D называют общим уравнением плоскости в пространстве; очевидно, что D ( A B Cz)

24 Если M (,, z), M (,, z), M (,, z) принадлежат плоскости P Уравнение этой плоскости z z z z z z, то оно выражает условие компланарности трёх векторов Последнее уравнение имеет место и в том случае, когда M (,, z) точка плоскости P, а векторы a r ( a, a, az ) и b r ( b, b, b ) параллельны плоскости P : a r P, b r P, но a r не z параллелен b r : a b a b z z a b z z

25 Если плоскости P и P заданы общими уравнениями P : A B Cz D, P : A B Cz D, то N r ( A, B, C), N r ( A, B, ) соответственно, их нормальные вектора C Двугранный угол, образованный пересечением плоскостей P и P, равен углу между их нормальными векторами N r и N r : r r ( N, N ) r r r r ϕ arccos r r ; P P N N; P P N N N N Если ϕ, то плоскости пересекаются по прямой, которая определяется уравнениями A B Cz D, A B Cz D и называется общими уравнениями прямой в пространстве ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ ОБОЗНАЧЕННЫХ ВЫШЕ УМЕНИЙ Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A (,, ) и имеет нормальный вектор n r (,, ) Решение ( ) ( ( )) ( z ),, 9 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A (,, ) параллельно плоскости 7 z Решение Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости N r (, 7, ) ; следовательно, уравнение искомой плоскости примет вид или ( ) 7( ) ( z ), 7 z

26 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (7,, ) перпендикулярно плоскостям z 7 и z Решение Очевидно, что нормальные вектора данных плоскостей N r (,, ), N r (,, ) параллельны искомой плоскости, поэтому справедливо условие ( 7) z, являющееся, по сути, уравнением искомой плоскости Раскрывая определитель по первой строке, имеем 7 z ( 7) ( z ) ( 7) 9 ( z ) 9 z, 9 z Уравнение искомой плоскости 9 z Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (,, ) и B (,, ) перпендикулярно плоскости z Решение Векторы AB (,, ) и N r (,, ) нормальный для заданной плоскости параллельны для искомой плоскости, проходящей через точку A (,, ), поэтому или ( ) ( ) z z ( ), Определить двугранный угол, образованный пересечением плоскостей z и z

27 Решение N r (,, ), N r r r ( N, N) (,, ), ϕ arccos r r N N N r, N r ) ( ) ( ) ; ( r r N ( ) ( ) () 8, N ( ) () () cosϕ ; 8 8 ϕ arccos, Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (7,, 7), B (7,, 7), C (7,, 9) Решение AB (,, ); AC (,, ); 8 7 z ( 7),, 7 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (,, ) и B (,, ) параллельно вектору d r (,, ) Решение AB (,, ); ( ) ( ) z ( ) ; z ( ) ( ) ( z ), z 7

28 Раздел ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Усвоение материала этого раздела предполагает, что студент должен знать: Различные способы задания (уравнения) прямой в пространстве (канонические, общие, параметрические); уметь: ) осуществлять переход от одного уравнения прямой к другому; ) определять взаимное расположение прямых в пространстве; ) находить уравнения прямых, используя условия их взаимного расположения с заданными прямыми ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Если M (,, z) точка, принадлежащая прямой l, a r ( a, a, az ) её направляющий вектор, то z z a a a at, at, z azt z, z канонические уравнения прямой l ; < t < параметрические уравнения; A B Cz D, общие уравнения прямой (как линия пересечения плоскостей P : A B Cz D и P : A B Cz D ) A B Cz D Вектор a r [ N r, N r ] направляющий вектор прямой l, где N r ( A, B, ), N r ( A, B, ) C C Взаимное расположение прямых определяется взаимным расположением их направляющих векторов 8

29 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ 9 Найти направляющий вектор прямой 7 z, 7z Решение r r N ( 7,, ); N (,, 7); r r r i j k r r r r r r l [ N, N] 7 8i j k (8, 7, ) Найти угол между прямыми, заданными параметрическими уравнениями: 7t, t, z, t, t 7, z t Решение Направляющие векторы этих прямых: r r r r ( l, l) l (7,, ); l (,, ); ϕ arccos r r ; l l r r l, l ) 7( ) () ( ), ( r r l (7) () () 8, l ( ) () ( ) ; cosϕ, 8 ϕ arccos,8 8 Составить общие уравнения прямой, проходящей через точки A (,, ) и B (,, ) Результатом пересечения каких плоскостей является прямая, проходящая через точки A и B и направляющим вектором AB 9

30 Решение, z, AB (; ; ), z ( ), z, ( ), ( z ), 7, z Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку C (,, ) параллельно прямой Решение r l z, 7 z r r N (,, ), N ( 7,, ), r r r i j k r r [ N, N ] (, 9, ); 7 Доказать, что две прямые ( ) ( ) z (), 9 z 9 t, z, и t, 7z z t перпендикулярны Решение Данные прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие вектора Направляющий вектор первой прямой опреде-

31 лим как результат векторного произведения нормальных векторов для плоскостей, образующих в пересечении данную прямую Имеем r r N (,, ), N (,, 7); направляющий вектор первой прямой r r r i j k r r r n [ N, N] (,, ) 7 Направляющий вектор второй прямой n r (,, ) Находим скалярное произведение этих векторов: r r ( l, l) ( ) ( )( ) ( )(), так как ( l r, l r r r ), то l l Доказать, что две прямые параллельны z 7, z и, t, z t Решение Данные прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие вектора Направляющий вектор первой прямой определим как результат векторного произведения нормальных векторов для плоскостей, образующих в пересечении данную прямую Имеем r r N (,, ), N (,, ); направляющий вектор первой прямой r r r i j k r r r n [ N, N] (,, ) Направляющий вектор второй прямой n r (,, ) Их связь можно представить как r r n n, r r те n n

32 Раздел ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Усвоение материала этого раздела предполагает, что студент должен знать: определение угла между прямой и плоскостью, условие взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве; уметь: ) находить угол между прямой и плоскостью; ) находить уравнения прямой (плоскости), используя условия их взаимного расположения с заданными плоскостями (прямыми) ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Углом прямой l с плоскостью P называется наименьший угол, образованный этой прямой с её проекцией на плоскость P то Если z z r l :, a ( a, a, az ), a a a P : A B Cz D, N r ( A, B, C), r r ( N, a) ψ arcsin r r N a r r r r l P a N; l P a N z

33 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Определить угол между плоскостью P : z и прямой l : t, t, z t 7 r r ( N, n) Решение Пусть это угол ψ, тогда ψ arcsin r r, где N r нор- N n мальный вектор плоскости P, а n r направляющий вектор прямой l r r r N (,, ), n (,, ), ( N, n r ) ( ), r N r () () (), n ( ) () () r r ( N, n) ψ arcsin r r arcsin, N n 9 ; Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (,, ) перпендикулярно прямой Решение t, t, z 7t n r (,, 7), ( ) 7( z ), 7z 7, 7z 9 7 Составить уравнения прямой, проходящей через точку A (, 7, ) перпендикулярно к плоскости z Решение t, t 7, z t

34 8 Найти точку В, симметричную точке B относительно плоскости В Решение t, t, z 7t Подставляя эти выражения для, и z в уравнение плоскости 7 найдём t, откуда 7 ( t ) ( t ) 7(7t ), 9t 9t 9 9t 7, 7t 7, P P 7 89/7; 7 7 8/7; 7 7 z P 7 /7 7 Координаты симметричной точки найдутся из формул P B Таким образом, B * ; P B B * ; z P z P B; * P B; z * B z z B * B * B B P B B B B, z * /7; * 9/7; z * /7 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (,, ) перпендикулярно прямой Решение 7 z, 7 z 7 7 z ( ), z те

35 Раздел ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Усвоение материала этого раздела предполагает, что студент должен знать: ) общее уравнение кривых второго порядка на плоскости и канонические уравнения трех линий второго порядка на плоскости: эллипса, гиперболы и параболы; ) основные параметры, характеризующие эти линии, методы их определения на основе известного канонического уравнения; ) геометрические свойства этих линий, включая их изображение на плоскости; уметь: преобразовывать общее уравнение линии второго порядка (на плоскости) в каноническое, используя правила выделения полного квадрата и переноса начала координат ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Приведение общего уравнения кривой II-го порядка к каноническому виду Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости (O) имеет вид: A B C D E F, где A, B, C, D, E, F некоторые числа, A B C / Общее уравнение можно упростить, если выбрать другую систему координат ( O ) путем операций поворота координатных осей на определенный угол (при этом коэффициент B становится равным нулю) и параллельного переноса координатных осей (начала координат), в результате чего исчезают члены уравнения, содержащие и в первой степени Алгебраически перенос начала координат сопряжен с операцией выделения полного квадрата в квадратном трехчлене p q Ставится задача найти такие d и f, чтобы p q ( d) f d d f Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, находим, что p d, тогда d p/,

36 / тогда, p q d q f f d q Таким образом, / /) ( p q p q p Квадратный трёхчлен a c a b a c b a a b c a b a a b a c a b a Если обозначить a b (что равносильно переносу начала координат на величину a b ) и, a b c c то c a c b a ) ( более простое выражение Если в общем уравнении, B, AC то его левую часть можно преобразовать следующим образом: F E C D A F E D C A F C E C A D A F C E C E C A D A D A C E A D F C E C A D A Если принять, A D C E (те перенести начало координат в точку C E A D, и обозначить C E A D F F ), то исходное уравнение запишется в виде ) ( ) ( F C A

37 Если A и C имеют одинаковые знаки AC >, то этот же знак F имеет и F Обозначим F a >, b >, a и b некоторые числа, A C ( ) ( ) тогда уравнение запишется в виде каноническое уравнение эллипса одного из трех видов кривой второго порядка a b Если A и C имеют различные знаки, например A >, C <, то F обозначая F ( ) ( ) a >, b <, получим каноническое уравнение гиперболы A C a b Если в общем уравнении A и B, то E E C D E F C D F C C E D E F C C C CD D E D E F Обозначая, p, получим C C CD D ( ) p уравнение параболы Аналогично, если B и C, то можно получить ( ) p также уравнение параболы Исследование свойств линий второго порядка по их каноническому уравнению Эллипс имеет каноническое уравнение a b где a b> При a b эллипс есть окружность Число a называется большой полуосью, число b малой полуосью Точка O (, ), называется центром, точки ( ± a, ) и (, ± b) вершинами Точки F (, ) и, c F ( c, ), где c a b, c называются фокусами Число ε называется эксцентриситетом (очевидно, что ε < ), при ε / a прямые 7

38 ± a называются директрисами Фокус (c, ) и директриса ε называются правыми, а фокус ( c, ) и директриса a ε a левыми ε Фокус и директриса называются одноименными, если они оба правые или оба левые 8 Гипербола имеет каноническое уравнение a b где a >, b > Число a, называется действительной полуосью, число b мнимой полуосью Точка O (, ) называется центром, точки ( ± a, ) и c (, ± b) вершинами Точки F (, ) и F (, ), где c a b, назы- c ваются фокусами Число ε называется эксцентриситетом (очевидно, a что ε > ) Прямые ± a называются директрисами Фокус (c, ) и ε a директриса называются правыми, а фокус ( c, ) и директриса ε a левыми Фокус и директриса называются одноименными, если ε, c

39 они оба правые или оба левые Прямые b ± являются асимпто- a тами гиперболы Парабола имеет каноническое уравнение p, где p > Число p называют параметром параболы Вершиной параболы является начало координат, фокусом точка F ( p/, ) Директрисой параболы является прямая p/ Эксцентриситет параболы равен 9

40 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): 9 9 Путём преобразования (выделение полного квадрата, переноса начала координат) привести это уравнение к каноническому виду; определить тип, основные числовые характеристики; сделать схематический чертёж Решение Перепишем уравнение так: ( 8) 9( ) 9 Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим ( 8 ) 9( 9) 89, или после преобразований ( ) ( ) 9 Перенесём начало координат в точку O (, ) полагая,, будем иметь 9 Это есть уравнение эллипса Центр его лежит в точке (, ), а полуоси равны a и b

41 Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): 9 Решение Перепишем уравнение так: ( 8) 9( ) Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим ( или после преобразований 8 ) 9( 9) 8, ( ) ( ) 9 Перенесём начало координат в точку O (, ), полагая,, будем иметь 9 Это уравнение гиперболы с центром в точке (, ) Действительная полуось её равна a, а мнимая равна b

42 Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): 9 Решение Перепишем уравнение так: или после преобразований 8, ( ) ( ) Вершина параболы находится в точке O (, ), параметр p, а ветвь параболы направлена в положительную сторону оси O Перенесём начало координат в точку O (, ), полагая,, будем иметь

43 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Тема: Векторы Найти косинус угла между векторами AB и AB, где A (,, ), B (,, ), C (, 7, ) Найти вектор c r, зная, что он перпендикулярен векторам a r (,, ) и b r r (,, ) и удовлетворяет условию ( c, d r ), если вектор d r (,, ) Найти площадь ABC, если известны координаты его вершин: A (,, ), B (,, ), C (,, ) Показать, что векторы a r (,, ), b r (,, ), c r (,, ) образуют базис Разложить вектор d r (,, ) по этому базису Выяснить, какой является тройка векторов a r, b r, c r (правой или левой), если a r (,, ), b r (,, ), c r (,, ) Найти объём пирамиды ABCD, если известны координаты её вершин: A (,, 7), B (,, 8), C (,, 8), D (,, 7) Тема: Прямая на плоскости 7 В треугольнике ABC найти уравнение медианы, проведённой из вершины A, если A (, ), B (, ), C (, ) Сделать чертёж 8 В треугольнике ABC найти уравнение высоты, проведённой из вершины A, если A (7, ), B (, 7), C (, ) Сделать чертёж 9 В треугольнике ABC найти уравнение биссектрисы, проведённой из вершины A, если A (, ), B (, 7), C (, ) Сделать чертёж Точка A (, ) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой Вычислить площадь этого квадрата Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой, проходящей через точки A и C, если A (, ), B (, ), C (, )

44 Тема: Плоскость в пространстве Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A (,, ) и имеет нормальный вектор n r (,, ) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A (,, ) параллельно плоскости z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (,, ) перпендикулярно плоскостям 7 7z и z Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (,, ) и B (,, ) перпендикулярно плоскости z Определить двугранный угол, образованный пересечением плоскостей z и z 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (,, ), B (,, ), C (,, 8) 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (, 7, ) и B (, 8, ) параллельно вектору d r (,, ) Тема: Прямая в пространстве 9 Найти направляющий вектор прямой 7 z, z Найти угол между прямыми, заданными параметрическими уравнениями:, t, z t, t, t, z t Составить общие уравнения прямой, проходящей через точки A (,, ) и B (,, ) Результатом пересечения каких плоскостей является прямая, проходящая через точки A и B и направляющим вектором AB Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку C (,, ) параллельно прямой: 7 z, z 7

45 Доказать, что две прямые z, 7z перпендикулярны Доказать, что две прямые параллельны z, z и и t, t, z t 7t, t, z 9t Тема: Прямая и плоскость в пространстве Определить угол между плоскостью Р: z и прямой l t 7, t, z t Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (, 7, ) перпендикулярно прямой t, 7t, z 7 Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(,, 7) перпендикулярно к плоскости z 8 Найти точку В, симметричную точке В(,, 7) относительно плоскости 7 z 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (,, ) перпендикулярно прямой z, z Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок):

46 9 ) 8 ; ) ; ) ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Длина вектора a r (, λ, ) в евклидовом пространстве R равна, если λ имеет значение Укажите не менее двух вариантов ответа ) ; ) ; ) ; ) Укажите соответствие между парами векторов a r и b r и значениями m, при которых они коллинеарны r r r r r r r r ) a i j k, b i j mk ; ) m ; r r r r ) a i k, b (,, m) ; ) a r r ) m ; (,, ), b (, m, ) ; ) m ; ) m ; ) m r r r r r r r r r Даны векторы a i k k и b i k, тогда a b равно r r r r r r ) i j k; ) i j k; r r r r r r ) i j k; ) i j k Если система векторов a r (, ) и b r ( α, ) образует базис на плоскости, то ) α ; ) α > ; ) α / ; ) α любое действительное число Векторы a r (,, ) и b r ( α, α, ) перпендикулярны при α, равном ) ; ) ; ) ; )

47 r r r r r Скалярное произведение векторов a b и b a b, где r r r r a b и a b равно ) ; ) ; ) ; ) 7 Если векторы a r (,, ) и b r r (,, ), то ( a, b r ) равно ) ; ) ; ) ; ) 8 Если векторы a r и b r r r, a b, то Укажите не менее двух вариантов ответа r ) [ a, b r r ] ; ) ( a, b r ) ; r ) ( a, b r r r ) ; ) a b 9 Векторное произведение векторов a r r r r b и a b равно r ) ; ) [ b, a r ]; r r r r r r r r r r ) [ a, a] [ b, b] ; ) [ a, a] [ a, b] [ b, b] Если a r, b r угол между равен o, то Укажите не менее двух вариантов ответа r ) [ a, b r r ] ; ) ( a, b r ) ; r ) ( a, b r r ) ; ) [ a, b r ] Если векторы a r (,, ), b r (,, ), c r (,, ), r r r ( a, b, c) равно то ) ; ) ; ) ; ) Если векторы a r (,, ), b r (,, ) и c r (,, ), параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен ) ; ) 8 ; ) ; ) то объём Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле ) S [ AB, AC] ; ) S ( AB, AC) ; ) S ( AB, AC) ; ) S [ AB, AC] 7

48 Косинус угла A в треугольнике ABC вычисляется по формуле ( AB, AC) [ AB, AC] ) cos A ; ) cos A ; AB AC AB AC ( AB, AC, CB) ( AB, AC) ) cos A ; ) cos A CB AC Проекция вектора AВ на вектор AC вычисляется по формуле ( AC, AB) ) пр AB ; AC AC AB ( AB, AC) ) пр AB ; AC AB [ AB, AC] ( AB, AC) ) пр AB ; ) пр AB AC AC AC AC Площадь параллелограмма, построенного на векторах a r и b r, может быть вычислена по формуле r r r r ) S [ a, b] ; ) S ( a, b) ; r r r r ) S ( a, b) ; ) S [ a, b] 8 7 Объём тетраэдра ABCD может быть вычислен по формуле ( AB, AC, AD) ) V ( AB, AC, AD) ; ) V ; AB AC AD ) V ( AB, AC, AD) ; ) V ( AB, AC, AD) 8 Векторы AB и CD ортогональны тогда и только тогда, когда ) ( AB, CD) ; ) AB CD; ) r [ AB, CD] ; ) ( AB, CD) / 9 Векторы ABи коллинеарны тогда и только тогда, когда ) ( AB, CD) ; ) AB > CD; ) r [ AB, CD] ; ) [ AB, CD] /

49 Нормальный вектор плоскости z имеет координаты ) (,, ) ; ) (,,, ) ; ) (,, ) ; ) Установите соотношение между уравнением прямой и её угловым коэффициентом: k и b : ) ; ) ; ) ) ; ) не существует; ) ; ) ; ) Графику функции k b соответствуют следующие значения ) k >, b > ; ) k >, b < ; ) k <, b < ; ) k <, b > Если плоскость A B z проходит через точку M (,, ), то разность коэффициентов A и B равна ) ; ) ; ) ; ) Радиус окружности, заданной уравнением, равен ) ; ) ; ) ; ) Расстояние между фокусами эллипса равно Ответом на задание должно быть целое число или конечная десятичная дробь Ответ: 9

50 Уравнение на плоскости определяет ) эллипс; ) гиперболу; ) параболу; ) пару прямых 7 Если малая полуось эллипса равна, а расстояние между его фокусами равно 9, то каноническое уравнение эллипса имеет вид ) ; ) ; ) ; ) Определить полуоси a и b эллипса ) a, b ; ) a, b ; ) a, b ; ) a, b 9 Вершина параболы находится в точке A : ) A (, ) ; ) A (, ) ; ) A (, ) ; ) A (, ) Уравнения асимптот у гиперболы имеют вид ) ± ; ) ± ; ) ± ; ) ± Определить направляющий вектор прямой, заданной пересечением двух плоскостей z, z ) (,, ) ; ) (,, ) ; ) (,, ) ; ) (,, )

51 Установить, какая из приведённых точек лежит на прямой z : ) (,, ) ; ) (,, ) ; ) (,, ) ; ) (,, ) Найдите расстояние от точки A (,, ) до плоскости z : ) ; ) ; ) ; ) Уравнением плоскости, проходящей через точку M (,, ) и имеющей нормальный вектор N r (,, ), является ) z ; ) z ; ) z ; ) z Укажите, какая из приведённых плоскостей является перпендикулярной данной : ) z 7 ; ) z ; ) ; ) z 7 Укажите, какая из приведённых плоскостей является параллельной данной z : ) z ; ) z ; ) z ; ) z 7 Найти расстояние от точки O (, ) до прямой : ) ; ) ; ) ; ) 8 Укажите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A (, ), на прямую : ) ; ) ; ) ; ) z

52 9 Уравнением прямой, параллельной прямой, является ) ; ) ; ) ; ) Ответы на тестовые задания: и,, 7 8 и 9 и 7 8 9,, Тема ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (типовые задания) Контрольная работа состоит из трёх заданий на нахождение пределов и шести на нахождение производных Выполнение заданий из раздела «Пределы» требует знаний правил раскрытия неопределённостей вида,,, а также первого заме- чательного предела sin lim Теоретические знания, необходимые для выполнения заданий, носят достаточно прикладной (к каждому типу задач) характер, поэтому рассмотрим примеры решения типовых для данной контрольной работы задач Найти lim При и числитель ( ), и знаменатель ( ) также стремятся к Поэтому имеет место неопределённость типа Чтобы её раскрыть, преобразуем (под знаком предела) числитель и знаменатель следующим образом:

53 Решение lim lim lim lim Найти lim Решение Раскрываем неопределённость следующим образом: lim lim lim lim lim Найти lim Решение lim lim lim lim lim lim

54 Найти lim Решение Здесь имеет место неопределённость типа ) ( Для её раскрытия умножим и разделим исходное выражение на : lim lim lim lim Найти 9 lim Решение Здесь имеет место неопределённость вида ; так как обращает в ноль как числитель, так и знаменатель и таким образом трёхчлены, стоящие в числителе и знаменателе делятся на ) ( Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: ) ( ) ( lim ) ( ) )( ( lim 9 lim Найти 8 lim Решение Здесь также неопределённость Переведём иррациональность из числителя в знаменатель

55 lim lim ( ) 8 lim 8 8 ( )( ) lim ( ) 8 8 ( ) 8 8 lim ( ) 8 lim 7 Найти sin( ) lim 8 Решение Так как / под знаком предела, то sin(( )) sin(( )) sin(( )) lim lim lim ( )( ) ( ) ( ) Здесь мы использовали первый замечательный предел: sin(( )) lim ( ) Для выполнения заданий по разделу «Производные» необходимо знать: Правила дифференцирования: Если u () и v () функции, имеющие производные, c некоторая постоянная, то ) ( u ( ) ± v( )) u ( ) ± v ( ) ; ) ( c u( )) cu ( ) ; ) ( u ( ) v( )) u ( ) v( ) u( ) v ( ) ; u ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) ) v( ) v ( ) Если u () и v () функции, имеющие производные u v и v, то производная сложной функции u v ( )) u v v (

56 Если для функции u () существует обратная (u), то ( u) u ( ) Формулы дифференцирования: n n ) ( u ) nu ; ) ( u ) ; u ) u ; u u ) ( a ) a ln a ; u u u ) ( e ) e ; ) a u ( log ) ; u ln a 7) ( lnu) ; u 8) ( sin u) cosu ; 9) ( cosu) sin u ; ) (tgu) ; cos u ) (ctgu) ; sin u ) (arcsinu) ; u ) (arccosu) ; u ) (arctgu) ; u ) (arcctgu) u

57 Выработать навыки нахождения производных можно прорешав достаточное количество задач Продемонстрируем это на следующих, типовых для контрольной работы, примерах Найти производную функции, если tg(7 ) lg( ) Решение tg' (7 ) lg( ) tg(7 )lg' ( ) (7 ) lg( ) tg(7 ) ( ) cos (7 ) ( ) ln 7 lg( ) tg(7 ) cos (7 ) ( Найти производную функции, если Решение ctg( ) ctg' arcsin sin sin ( ) ln сtg( ) ctg arcsin ctg' ( ) arcsin ctg( ) arcsin' ) arcsin ( ) arcsin ctg( ) sin ( ) arcsin sin arcsin ctg( ) sin ( ) arcsin Найти производную функции, если arccos ( 7 ) Решение (arccos ( 7 )) arccos ( 7 ) arccos' ( 7 ) arccos ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) arccos ( 7 ) 7 ( 7 ) 7

58 8 Найти производную функции, если Решение ( e lnsin (7) 7 7 (7 7 )lnsin( 7) e ) (7 7 )(lnsin( 7)) ) e (7 7 )lnsin (7) 7 7 (sin( 7)) (7 7 )lnsin (7) e, ((7 7 ) lnsin( 7) ( 7) lnsin( 7) (7 7 ) sin ( 7) sin( 7) ' e (7 7 )lnsin( 7) ( 7) lnsin( 7) (7 7 ) cos( 7) ( 7) sin( 7) e (7 7 )lnsin( 7) ( 7) lnsin( 7) (7 7 ) cos( 7) sin( 7) 7 7 (sin( 7)) (( 7) lnsin( 7) (7 7 )( 7) ) Найти производную функции, если arcctg(arcctg ln ) Решение ; (arcctg ln ) (arcctg ln ) (arcctg ln ) (arcctg ln ) (arcctg' ln arcctg ln' ) ln arcctg

59 ln arcctg (arcctg ln ) Найти производную функции, если Решение t ; t ; t t t ; t ln t t ln t t t 7 t, t t 8 logt ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Вариант Найти пределы: ) lim 7 7 ; 7 9 ) lim ; ) lim ; Найти (), если: ) sin( ) ln(8 7) ; 9

60 sin( ) ) sin ; ln ) sin ( 8) ; 7 ) (sin( )) ; ) lg(8 e ); ) t 9 sin t, t 7t 7 lnt Вариант Найти пределы: ) lim 9 9 ; ) lim ; arcsin( 9) ) lim Найти (), если: ) cos( ) ; cos( ) ) cos ; 7 ) cos ( ) ; ) (cos( )) ; 7 ) arcctg(ln sin ) ; ) 8t cost, t 7t 8 t

61 Вариант Найти пределы: ) lim ; ) lim ; 7 ) lim 7 Найти (), если: ) tg(7 ) lg( ) ; tg (7 ) ) tg ; lg 7 ) tg ( ) ; ) (tg ( )) ; ) log8(cos ctg ) ; ) t tg t, t t t Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Раздел ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебный материал этой темы условно можно разделить на два раздела: частные производные и дифференциал функции двух переменных это вводный математический аппарат и экстремумы функции двух переменных математический аппарат для решения прикладных задач Условие освоения первого раздела предполагает, что студент должен знать: ) понятие частных производных, правила их нахождения;

62 ) понятия производной функции по заданному направлению и градиента функции, формулы их нахождения; ) формулы для нахождения касательной плоскости и нормали к поверхности; ) формулы для нахождения дифференциалов первого и второго порядка функции двух переменных; уметь: ) находить частные производные (в общем то любого порядка) функции двух переменных, градиент и производную по заданному направлению; ) находить дифференциал функции двух переменных; ) находить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности, в заданной точке ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ Частные производные первого порядка f Частная производная функции двух переменных z f (, ) по переменной, вычисляется по правилу дифференцирования функции z как функции только одной переменной ; переменная при этом (только в процессе дифференцирования) имеет статус (считается) постоянной (числа) f Вторая частная производная находится при аналогичном пред- положении: переменная; постоянная Градиент функции Градиентом функции двух переменных z f (, ) в точке A, ) ( называется вектор, координаты которого равны частным производным функции в этой точке: grad ( ) f f A A, f В направлении градиента функция имеет наибольший рост Касательная плоскость к поверхности Если поверхность в трёхмерном пространстве задана уравнением z f (, ), A

63 то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке A,, ), где z f (, ), имеет вид z z f f ( ) ( ) A A ( z Нормаль к поверхности Нормалью к поверхности в трёхмерном пространстве называется прямая линия, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания Если поверхность в трёхмерном пространстве задана уравнением z f (, ), то уравнение нормали к поверхности в точке A,, ), где z f (, ) имеет вид f A f A z z ( z Производная по направлению, заданному вектором f Производной r от функции двух переменных z f (, ) в точке a A, ) по направлению, заданному вектором ar ( a, a ), называется ( число, которое находится по формуле f f r r a a A f a A a Производная функции по направлению, заданному вектором a r, равна скалярному произведению градиента этой функции на единичный вектор, задающий направление a r : r f a r gradz, r a a Первый дифференциал функции Первый дифференциал функции двух переменных z f (, ) в точке A, ) определяется по формуле (

64 d f d f dz A A A () и является в рассматриваемой точке A функцией двух переменных, d d Частные производные высших порядков Частные производные функции двух переменных ), ( f z второго порядка определяются по формулам: ; f f f ; f f ; f f f f f Отметим, что имеет место теорема: если смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования f f Второй дифференциал функции Второй дифференциал функции двух переменных ), ( f z в точке ), ( A определяется по формуле, ) ( d f dd f d f dz d z d A A A A () так же, как и первый дифференциал, является в рассматриваемой точке A функцией двух переменных, d d ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ Найти частные производные функции 7 z

65 Решение Функция z функция двух независимых переменных х и у При нахождении частной производной функции z по независимой переменной х (переменная у, как и любая только от неё функция ϕ () рассматривается как постоянное число, поэтому ϕ ( ) ; ( ϕ ( ) f ( )) ϕ( ) f ( ) Тогда z ( 7) ( ) ( ( ) Аналогично: z ( 7) ( ( ) ) ( 9 ) () (7) ) () (7) Найти частные производные и дифференциал функции в точке M (, ) z Решение Вначале находим частные производные в точке M (, ) : z (,) z (,) ( ) 7; ( ) Согласно формуле (), получаем, что дифференциал функции в точке M (, ) равен Найти d z функции dz (, ) 7d d z в точке M (, ) Решение Воспользуемся формулой (), для чего определим все частные производные, входящие в неё

66 Вначале найдём частные производные первого порядка: ; ) ( ) ( z ) ( ) ( z Продифференцировав их ещё раз, находим частные производные второго порядка: ; ) ( z z ; ) ( ) ( z z ) ( ) ( z z Вычисляем значения частных производных в точке : ) (, M ( ) ; ) ( M z ( ) ; ) ( M z ( ) ) ( M z Следовательно, ) ( d dd d M z d Дана функция z и точка (, ) M Найти: ) ; ) ( grad M z ) производную этой функции в точке M по направлению вектора, OM где точка ) (, O начало координат

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений: Примеры к выполнению контрольной работы Линейная алгебра Задача Найти значения неизвестных,, z из системы уравнений: (a b ) (b a) bz ( a b)(a c ) (c ) (c ) c z a b c ( a c) c z a c а) по формулам Крамера

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0.

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0. Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M( ; ; ) до плоскости, проходящей через точки A( ; ; 0), B( ; ;

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА»

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА» Оценочные материалы Контроль качества освоения дополнительной общеобразовательной программы включает в себя: текущий контроль и промежуточную аттестацию Для оценивания результатов обучения используется

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика». «Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (I семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВП Дюков ЮГ Костына ДА Крымских ГП Мартынов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Новосибирск УДК 96 С

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее