Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница"

Транскрипт

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница г

2 Оглавление Глава Множества и операции над ними Понятие множества Числовые множества Числовые промежутки 6 Абсолютная величина действительного числа 6 5 Задачи для самостоятельного решения 8 Глава Функции 8 Понятие функции 8 Свойства функций Основные элементарные функции Классификация функций 5 Задачи для самостоятельного решения 5 Глава Числовые последовательности Основные понятия Действия над числовыми последовательностями Число e Задачи для самостоятельного решения 7 Глава Предел функции 5 Предел функции в точке 5 Односторонние пределы 7 Предел функции на бесконечности 7 Бесконечно малые и бесконечно большие функции 8 5 Основные теоремы о пределах 6 Замечательные пределы 7 Применение бесконечно малых функций при вычислении пределов 8 Задачи для самостоятельного решения 6 Глава 5 Непрерывность функции 5 5 Непрерывность функции в точке 5 5 Непрерывность функции на промежутке 5 5 Точки разрыва и их классификация 56 5 Задачи для самостоятельного решения 58 Глава 6 Производная функции 6 6 Понятие производной 6 6 Геометрический смысл производной 6 6 Физический смысл производной 6 6 Экономический смысл производной 6 65 Правила дифференцирования Логарифмическое дифференцирование 7 67 Производные высших порядков 7 68 Дифференцирование неявно заданных функций 7 69 Дифференцирование функций заданных параметрически 7 6 Применение производной при решении экономических задач 7 6 Дифференциал функции 76

3 Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики, не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность (набор, собрание, семейство, ) некоторых объектов, объединенных по какому-то признаку Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества Примеры множеств: множество натуральных чисел; множество студентов первого курса экономического факультета БГУ; множество предприятий тракторной промышленности Республики Беларусь Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита (А, В, С, ), а их элементы строчными (а, в, с, ) Если элемент принадлежит множеству A, то пишут A Если же элемент b не принадлежит множеству B, то пишут b B Множества задают различными способами Можно перечислить элементы множества Например, запись А 9; 7; 9 означает, что множество А состоит из трех элементов: -9, 7, 9 Если же принадлежность элементов множеству определяется по некоторому условию, то применяется формула вида В условие, которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию Например, множество решений неравенства 5 6 можно определить следующим образом: C 5 6 Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, его обозначают символом Ø Например, множество действительных корней квадратного уравнения 6 является пустым

4 Пусть A и B два множества Если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B, то множество A называется подмножеством B, и это записывается так: A B Например, множество нечетных чисел,, 5, является подмножеством натуральных чисел,,, Если и B A, то множества A и B называются равными, и записывают A B Объединением двух множеств A и B называется множество С A B, каждый элемент которого принадлежит множеству A, или множеству B, или им обоим Следовательно, A B Aили B Пересечением двух множеств A и B называется множество С A B, каждый элемент которого принадлежит и множеству A и множеству B Значит, A B A и B Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, которые не принадлежат множеству B, и обозначается А \ В Поэтому A \ B A и B Пример Даны два множества A,,, B,, 5 Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В Решение Объединение множеств А и В: А B,,,, 5, пересечение: А B, разность: А \ В, Числовые множества Множества, которые состоят из чисел, называются числовыми Из курса школьной математики известны следующие числовые множества: натуральные числа N,,, ; целые числа Z,,,,,,,, ;

5 p рациональные числа Q р, q Z, q ; q действительные числа R Любое рациональное число представляется или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью Например:,5,,() Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными Например, число нельзя представить в виде дроби p, p, q Z Иррациональными числами являются:,75, q,59, e,788 Множество R содержит рациональные и иррациональные числа Действительных чисел недостаточно для решения некоторых задач Например, решая квадратное уравнение ах вх с, можно вычислить действительные корни только в случае, когда дискриминант уравнения D b c Если же D, то уравнение можно решить, применяя комплексные числа Множество комплексных чисел определяется следующим образом: С bi R, b R, i Число i называется комплексной единицей; очевидно, что i, i i, i Число а называется вещественной частью комплексного числа, а b мнимой Два комплексных числа bi и c di равны тогда и только тогда, когда c и b d Комплексное число biназывается сопряженным к комплексному числу bi Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел выполняется по правилам: ( bi) ( c di) ( b) ( c d) i, ( bi) ( c di) ( b) ( c d) i, ( bi)( c di) ( c bd) ( d bc) i, c bi di c c bd d d c bc i d Между числовыми множествами существует соотношение: N Z Q R C

6 Числовые промежутки Действительные числа изображаются на числовой прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба Каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, т е между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие Поэтому иногда вместо «число х» говорят «точка х» Действительные числа упорядочены по величине, это значит, что для любых двух действительных чисел а и в справедливо только одно из соотношений: < b, = b, > b Пусть заданы два действительных числа и b, причем b Можно определить следующие множества: Замкнутый промежуток или отрезок: [ ; b] { b} Открытый промежуток или интервал: ( ; b) { b} Полуоткрытые промежутки или полуинтервалы: ( ; b] { b}, [ ; b) { b} Бесконечные промежутки: ( ; ) R, ( ; ) { }, [ ; ) { }, ( ; b ) { b}, ( ; b ] { b} В дальнейшем все указанные множества будем называть промежутками Абсолютная величина действительного числа Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа называется само число, если число неотрицательно, и противоположное число, если отрицательно:, если,, если Из определения модуля числа следует, что х

7 Пример Вычислить Решение Если, то и Если, то и Значит,, если если, Абсолютная величина разности двух чисел означает расстояние между точками и числовой прямой как для случая, так и для случая, Пусть, тогда множество точек, таких, что, назы-, получим вается -окрестностью точки Решая неравенство, или, Следовательно, -окрестностью точки является интервал ( ; ) (см рисунок),

8 5 Задачи для самостоятельного решения В задачах - выполнить действия над комплексными числами i 7 5i 6i i i 6i 5 6i i i 6 i i 6i 8 i i 7 6i 5 i i 6 i i i Глава Функции Понятие функции Понятие функции является основным для всей математики и математического анализа При изучении природных явлений и экономических процессов выявляются совокупности взаимосвязанных величин Рассмотрим пример из практики Фирма продает в течение недели некоторый товар по денежных единиц (д ед) за штуку Данные о продаже товаров представлены в следующей таблице Таблица День недели 5 Количество проданного товара (штук в день) 6 9 Доход (д ед в день) 6 9 Если дневной объем продаж товара, доход от продажи товара, то зависимость между и можно выразить формулой: Определение функции Рассмотрим два числовых множества X и Y Если каждому элементу множества X X ставится в соответствие единственный элемент множества, то говорят, что на Y Y множестве X f задана функция со значениями во множестве Y Переменная называется независимой переменной или аргументом, а переменная - зависимой

9 Множество X называется областью определения функции f и обозначается D ( f ), множество всех Y областью значений функции и обозначается E ( f ) В рассмотренном выше примере задана функция с областью определения и областью значений функции:, D ( f ),,, 6, 9, E ( f ),,, 6, 9 При задании функции указывают правило, по которому определяется, каким образом для каждого значения аргумента находится соответствующее значение функции Основными способами задания функции являются: аналитический, табличный и графический Аналитический способ Этот способ наиболее часто встречается в практике Функция f задается одной или несколькими формулами Формула, задающая функцию, определяет действия, которые необходимо в определенной последовательности выполнить над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции Например,, если, ;, если Область определения функции может быть указана явно: 7, D () [ ;) Если же область определения функции не указана, то она определяется как множество значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл Например, функция определена при всех вещественных значений аргумента, а для функции областью определения является интервал [ ; ) Табличный способ Функция f задается таблицей, которая содержит значения аргумента и соответствующие значения функции: Графический способ Функция задается графиком множеством точек ; координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют функциональной зависимости, f Пример

10 Найти область определения функции f 5 6 Решение Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому необходимо решить неравенство 5 6 Сначала найдем корни квадратного уравнения 5 6 По теореме Виета нетрудно получить, что, Следовательно, областью определения является множество ; ; Пример Найти область определения функции f rcsi Решение Так как функция rcsi определена для [ ; ], то для нахождения f rcsi области определения функции необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство Решим это неравенство:,,, Значит, областью определения функции f rcsi является мно- жество ;,,,, Свойства функций Четность и нечетность Функция f называется четной, если область определения функции симметрична относительно, и для любых из области определения выполняется равенство f f Например, функции, si четные График четной функции симметричен относительно оси ординат Функция f называется нечетной, если область определения функции симметрична относительно, и для любых из области определения выполняет-

11 ся равенство f f Например, функции si, не- четные График нечетной функции симметричен относительно начала координат Функцию, не являющуюся четной или нечетной, называют функцией общего вида Например, функции вида Монотонность,, - функции общего Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на промежутке ; b, если для любых ; b таких, что имеет место неравенство f f f f Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными Например, функция возрастает на всей числовой прямой Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке ; b, если для любых ; b таких, что имеет место неравенство f f f f Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными Например, функция убывает на множестве ( ;) (; ) Ограниченность Функция называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число M, что f M для любого X В противном случае функция называется неограниченной Например, функция cos ограничена для всех действительных, так как cos для любого R Периодичность Функция f называется периодичной с периодом T, если для любых из области определения функции f T f Например, функция tg имеет период T, так как для любых справедливо равенство tg tg Если T период функции, то числа T, T, T, также являются периодами этой же функции 5 Обратная функция

12 Рассмотрим функцию, заданную формулой f Каждому X по определенному закону ставится в соответствие единственное значение Y С другой стороны каждому Y будет соответствовать одно или несколько значений X Если каждому Y по некоторому закону ставится в соответствие только одно значение X, то получаем функцию g, которая задана на множестве Y со значениями в множестве X Функция g называется обратной по отношению к функции f и этот факт записывается следующим образом: g( ) f ( ) Функции f и g называются взаимно-обратными Традиционно аргумент функции обозначают переменной х, а значение функции - Поэтому обратную функцию обозначают так: g Например, взаимно-обратными функциями являются следующие функции:, и log Для взаимно-обратных функций выполняются тождества: g f, X, Пример f g, Для функции, [;] построить обратную функцию Решение Функция возрастает на промежутке [;], значит, для любых имеем f ( ) f ( ) Следовательно, на данном промежутке функция имеет обратную функцию Разрешим уравнение относительно : Перепишем полученную формулу в обычном виде, обозначив аргумент переменной, а функцию В итоге получим обратную функцию для функции, [;] Отметим, что функция, [ ; ], где, не имеет обратной, так как для этой функции одному значению соответствует два значения 6 Сложная функция Пусть функция f u определена на множестве D ( f ) U, а функция u g на множестве D ( g) X, причем для любого X соответствующее значение u g( ) U Тогда каждому X можно поставить в соответствие единственное значение, такое f u и u g, а функция f g называется функцией от функции или сложной функцией Y

13 Например, из функций u и u можно получить сложную функцию аргумента Основные элементарные функции Основными элементарными функциями являются следующие функции ) Степенные функции, R, N, ; ;, N, N,, R, если k, ;, если k ) Показательная функция,,, R ) Логарифмическая функция log,,, ; ) Тригонометрические функции si, R, cos, R, tg, ;, Z ctg, ;, Z 5) Обратные тригонометрические функции rcsi, ;, ; rccos, ;, ; rctg, R, ; rcctg, R, ;

14 Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложных функций Например, функция log si cos является элементарной функцией Классификация функций Классификация функций производится в зависимости от типа операций, которые необходимо выполнить над значением аргумента, чтобы получить значение функции Если над значением аргумента и некоторыми постоянными выполняется конечное число действий сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень, то такая функция называется алгебраическим многочленом или целой рациональной функцией Ее вид: P, где, целое, i числа (коэффициенты многочлена) Если, то P многочлен степени Рациональной функцией называется функция вида R P m Qm bm bm, где P и Q m многочлены степени и m соответственно Примером рациональной функции является функция R Если над аргументом кроме перечисленных операций производится операция извлечения корня и полученный результат не является рациональной функцией, то такая функция называется иррациональной Например, функция 7 f 5 является иррациональной функцией Функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной Простейшие трансцендентные функции: тригонометрические si, cos, tg, ctg ; обратные тригонометрические rcsi, rccos, rctg, rcctg ; показательная,, ; логарифмическая log,,

15 Тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, показательная функция и логарифмическая называются также основными элементарными функциями Функция, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и образования сложных функций, называется элементарной функцией Функция называется явной, если она задана уравнением вида f, правая часть которой не содержит В таких случаях говорят: функция задана явно Функция называется неявной, если она задана уравнением вида F, Например, уравнение окружности, записанное в виде r определяет как неявную функцию аргумента Переход от явного задания функции к неявному осуществляется просто: для этого достаточно уравнение f переписать в виде f Сложнее выполнить переход от неявного задания к явному, в этом случае необходимо разрешить уравнение F, относительно, а это не всегда возможно 5 Задачи для самостоятельного решения В задачах - найти область определения функции l l 5 6 ( ) 5 log

16 9 rcsi - rccos В задачах - найти множество значений функции si 6 si cos log 9

17 В задачах - определить, функция является четной, нечетной или общего вида 6 si si 5 l cos 6 7 e e 8 log 9 l( В задачах - найти сложную функцию, область еѐ определения и вычислить значение функции Найти f ( g( )), если f (g()) f ( ), g ( ), вычислить Найти f ( g( )), если f ( ), g( ), вычислить f (g()) Найти f ( g( )), если f (g()) f ( ), g ( ), вычислить Найти f ( g( )) и g ( f ( )), если f ( ), f (g( )) и g ( f ()) g ( ), вычислить 5 Найти f ( g( )), если 6 Найти f ( f ( )), если 7 Найти f ( f ( )), если ( ), g ) log f (, вычислить f (g()) f ( ), вычислить f ( f ()) f ( ), вычислить f ( f ())

18 8 Найти f ( g( )), если f (g()) f ( ), g ( ), вычислить 9 Найти f ( g( f ( ) g( ) )), если,, вычислить f (g()) Найти f ( f ( )), если f ( ) l, вычислить f ( g( e )) Решение задачи Область определения функции l находится следующим образом: логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому, корень квадратный можно извлекать только из неотрицательных значений, отсюда Следовательно, необходимо решить систему неравенств:, Решением первого неравенства является интервал ( ; ), а второго - [ ;] Значит, область определения исходной функции множество ( ; ] Ответ ( ; ] Решение задачи Для определения области значений функции выделим полный квадрат относительно : Так как принимает все значения от до, то искомая область значений функции интервал [ ; ) Ответ [; ) Решение задачи

19 Область определения функции 6 - вся числовая ось и, следовательно, симметрична относительно точки Далее, так как ( ) 6 6, то функция четная Ответ Четная Решение задачи Найдем f ( g( )) 8 Область определения этой функции множество ( ; 8) ( 8; ) Вычислим f (g()) 9 Ответ f ( g( )), ( ; 8) ( 8; ), 8 f (g()) 9

20 Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию f, N, R, заданную на множестве N натуральных чисел, называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности, а число - его номером Элементы числовой последовательности обозначают:,, а всю числовую последовательность -,,,, или Если задана формула общего элемента числовой последовательности, то по его номеру можно вычислить любой элемент последовательности Например, равенство ( )( ) задает числовую последовательность,,, 5 ( )( ) Числовую последовательность иногда задают при помощи рекуррентного соотношения В этом случае -й элемент последовательности определяется равенством через предыдущие элементы Например, формула общего элемента арифметической прогрессии d,,, задает числовую последовательность,,, Пусть дана числовая последовательность,,,,, Очевидно, что элементы этой последовательности с неограниченным увеличением приближаются к значению Говорят, что числовая последовательность сходится к числу Уточним значение слов «последовательность сходится» Число а называется пределом числовой последовательности, если для любого найдется такой номер N N, что для всех N выполняется неравенство: Этот факт записывается следующим образом:

21 Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; последовательность, не имеющая предел, называется расходящейся Докажем, что, используя определение предела числовой последовательности Возьмем произвольное, относительно, получим Решая неравенство или Так как число не всегда натуральное, то положим N, где целая часть х Пусть теперь N и для всех справедливо неравенство Поясним определение предела числовой последовательности Если -й элемент последовательности удовлетворяет неравенству, то это означает, что принадлежит промежутку ; ( -окрестности точки а) Если же неравенство выполняется для всех N, то это означает, что промежутку ; принадлежит бесконечное число членов последовательности Вне этого промежутка находится конечное число членов этой последовательности Чем меньше, тем больше N ( ), но всегда в - окрестности точки а находится бесконечное число элементов последовательности, а вне еѐ может быть лишь конечное их число Следовательно, определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так: число а называется пределом числовой последовательности, если для любой -окрестности найдется такой номер N, что все элементы с номерами N принадлежат -окрестности точки Числовая последовательность называется постоянной, если все элементы равны одному и тому же числу Предел постоянной последовательности равен этому числу

22 Числовая последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число, что для всех Числовая последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число B, что для всех Последовательность, ограниченная снизу и сверху, называется просто ограниченной, если найдется такое положительное число A, что для всех натуральных выполняется неравенство Например, последовательность ограничена сверху числом, а снизу ; si неограниченная последовательность Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для всех элементов выполняется строгое неравенство ( ) Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех элементов выполняется строгое неравенство ( ) Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными Действия над числовыми последовательностями Суммой, разностью, произведением и частным двух числовых последовательностей и называются последовательности, элементы которых равны суммам, разностям, произведениям и частным соответствующих элементам исходных последовательностей,,, /, Пример Пусть заданы две последовательности и Тогда сумма, разность, произведение и частное этих последовательностей соответственно равны:,,9,,,,8,,,,,,

23 / :,8, 7, Основные теоремы Теорема Сходящаяся последовательность имеет единственный предел Теорема Сходящаяся последовательность ограничена Обратное утверждение неверно Ограниченная последовательность может быть расходящейся Например, ограниченная последовательность ( ) не имеет предела Теорема Монотонная ограниченная последовательность сходится Теорема Если и, то b, b,, b b то Теорема 5 Если b и, начиная с некоторого номера b, Теорема 6 Если и сходящиеся последовательности и, начиная с некоторого номера, справедливо неравенство их пределы удовлетворяют неравенству Теорема 7 Если для трѐх последовательностей,, z, тогда и, начиная с некоторого номера справедливо неравенство, а последовательности и z сходятся к одному числу ( и ), то и последовательность сходится к этому же числу z ( ) 6 Пример Вычислить 5 7 Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем, поделив числитель и знаменатель на старшую степень, те на : z

24 6 6 ( ) ( ) Затем, последовательно применяя свойства пределов последовательностей, получим 6 6 ( ) ( ) Число e Рассмотрим задачу о начислении процентов Пусть первоначальный вклад в банк составляет A денежных единиц Банк выплачивает ежегодно p% годовых Необходимо найти величину вклада S t через t лет Если применяется схема простых процентов, то вклад ежегодно p увеличивается на величину A и через t лет, будет равным pt S t A При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов Она состоит в p том, что если за -й год сумма A возрастает в раз и становится равной S p p A, то за второй год сумма S A возрас- тает в S A p p раз, значит, S A p Далее, нетрудно получить Теперь можно получить общую формулу для вычисле-

25 ния величины вклада за t лет при расчете по схеме сложных процентов: S t p A В финансовых расчетах применяются схемы, когда начисление сложных процентов производится несколько раз в году При этом устанавливается годовая ставка p и количество начислений за год Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка t составляет часть года (квартал, месяц, неделя, день) Тогда при годовой ставке p процент начисления p за -ю часть года составит % и размер вклада за t лет составит p St A В финансовом анализе часто встречается понятие «непрерывно начисляемый процент» Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, необходимо в последней формуле неограниченно увеличивать и вычислить: t t S t t p p A A t Из этого равенства можно выделить последовательность вычислим еѐ предел, Докажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная Применив формулу бинома Ньютона b b b b, запишем формулу общего элемента последовательности ( )!!! Так как

26 ,!!! то следующий элемент последовательности!!! Теперь, учитывая, что все слагаемые в формулах, положительны и неравенства,, можно сделать вывод, что, следовательно, последовательность возрастающая Далее, очевидно, что, значит, последовательность ограничена снизу Для оценки последовательности сверху учтем, что!,,, То, что при значения! растут быстрее, чем, покажем при помощи таблицы:! Следовательно, для справедливо неравенство!!! Значит, для всех членов последовательности доказаны неравенства

27 Последовательность возрастает и ограниченна, а поэтому сходится Еѐ пределом является иррациональное число e, , служащее основанием натуральных логарифмов Таким образом, e Полученную формулу можно применять для вычисления пределов вида b, где, b при Пример Вычислить Решение При вычислении данного предела применим формулу e Для этого выражение, находящееся под знаком предела преобразуем: Далее получим ( ) e e Задачи для самостоятельного решения В задачах - записать первые три или следующие три элемента последовательности

28 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ,,, В задачах - записать формулу общего элемента последовательности,,,,,,,, 8 9 7,,,,,,, 5 9,, 8,9, 79, 6, 8,,,6,8 7,,,, 8,,,, 9,, В задачах - определить, является ли последовательность ограниченной, монотонной, строго монотонной?

29 ( ) ( ) l( ) 8 9 si cos В задачах - доказать равенство по определению предела последовательности Указать, начиная с какого номера, все элементы последовательности находятся в - окрестности точки,,;,,,;, ( ),,;,,,;, 5,,;, 6,,;, 7,,;, 8,,;, 9,,;,,,;, В задачах -5 вычислить предел последовательности при помощи теорем суммы, разности, произведения и частного пределов последовательностей

30 ( ) 9 5,,;, В задачах 5-6 вычислить предел последовательности, предварительно преобразовав формулу общего элемента последовательности 5 ( 5 ) 5 ( )( ) 5 5 ( 5 ) 55 5 ( ) 6 56 ( ) ( ) В задачах 6-7 вычислить предел последовательности l( ) l 66 l( ) l( )

31 ( )!! ( )! ( )! ( ( )! )! 69 si! 7 cos!

32 Решение задачи Необходимо записать первые три элемента последовательности Для этого последовательно подставим значения,, в формулу общего элемента и найдем, 7, Решение задачи Необходимо записать общую формулу элемента последовательности,,,, 8 Знаменатель каждого элемента последовательности содержит степень числа, поэтому Решение задачи,,, Необходимо определить свойства последовательности Исследуем сначала последовательность на монотонность Для этого рассмотрим разность ( )( Полученная дробь положительна при любых натуральных, значит,,,, Следовательно, последовательность строго монотонная, возрастающая Формулу элемента последовательности преобразуем следующим образом: )

33 Так как дробь при всех натуральных может принимать значения от до, то, значит, последовательность ограничена Решение задачи [ ;),,, Необходимо доказать равенство по определению предела последовательности Пусть, найдем номер N ( ) такой, что для N( ) выполняется неравенство Решая это неравенство, получаем:, ( ), ( ), Отсюда N ( ) и, следовательно, равенство доказано Если,, то N ( ), значит, для все элементы последовательности принадлежат интервалу (,;,6 ), а при, N ( ) и все элементы последовательности с номерами принадлежат интервалу (,9;,5) Решение задачи Вычислить Данный предел находим по аналогии с решением примера : Решение задачи 5 Вычислить ( ) При вычислении этого предела нельзя применять теорему о пределе суммы последовательностей, так как в этом случае количество слагаемых под знаком предела зависит от, а данная теорема применима только для конечного числа слагаемых Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, разложив каждую дробь на простейшие дроби и приведя подобные:

34 ) ( Теперь вычисление предела выполняется обычным образом: ) ( Решение задачи 6 Вычислить Так как,, то применим формулу e : e

35 Глава Предел функции Предел функции в точке Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки Рассмотрим два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке Дадим сначала определение «на языке последовательностей» Определение Пусть - последовательность точек из окрестности точки, сходящаяся к точке Тогда значения функции f в точках образуют последовательность значений функции f Число b называется пределом функции f в точке, если для любой последовательности допустимых значений аргумента, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функции f сходится к b Для обозначения предела функции f в точке = записывают Пример Вычислить Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к, те Тогда в соответствии со свойствами пределов последовательностей Пример Доказать, что f ( ) b, используя первое определение предела функции si не существует Функция f si определена на всей числовой оси за исключением точки Возьмем сходящуюся к нулю последовательность Тогда и f ( ) si si, N Значит, для этой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к нулю: si

36 Рассмотрим теперь другую последовательность, также сходящуюся к нулю, так как Вычислим значения: f ( ) si si si si si Следовательно, в этом случае Таким образом, для первой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к, а для si другой к Значит, не существует Дадим, теперь второе определение предела функции на «языке» Определение Число b называется пределом функции в точке =, если для любого найдется такое ( ), что для всех, удовлетворяющих условию Геометрический смысл предела функции, выполняется неравенство f b f b состоит в следующем: для любой ε-окрестности точки b найдется такая δ-окрестность точки, что для всех из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежит ε-окрестности точки b Пример Доказать, что ( ) 5 Возьмем произвольное По этому необходимо найти такое ( ), ( ), чтобы из условия следовало неравенство 5 Отсюда следует, что и Значит, можно взять ( ) Получили, что для всех, удовлетворяющих неравенству 5, выполняется неравенство Это и доказывает существование предела

37 Односторонние пределы В определении предела функции f b считается, что стремится к любым способом: либо, либо, либо колеблется около точки Иногда способ приближения к влияет на значения предела функции Поэтому вводится понятие односторонних пределов функции Определение Число b называется пределом функции f слева в точке, если для любой сходящейся к последовательности, элементы которой меньше, соответствующая последовательность f сходится к b Левосторонний предел записывается следующим образом: Определение f b Число b называется пределом функции, элементы ко- f сходится если для любой сходящейся к последовательности торой больше, соответствующая последовательность к b Предел справа записывается так: f b f справа в точке, Пределы b и b называется односторонними пределами Если существуют оба односторонних предела b и b, равных между собой, то существует предел b f и b b Если односторонние пределы различны или хотя бы b один из них не существует, то не существует и f Пример,, Вычислить односторонние пределы функции в точке, Вычисляя левосторонний предел функции в точке, следует учесть, для функция определяется формулой, значит, f ( ) ( ) Аналогично для правостороннего предела получаем f ( ) Предел функции на бесконечности f Пусть функция определена на промежутке ;

38 Число называется пределом функции f() при, если для любой последовательности, такой что f ( ), последовательность дится к Это определение записывают так: схо- f Аналогично определяется f Геометрический смысл предела функции на бесконечности состоит в следующем: неограниченное увеличение (уменьшение) аргумента х приводит к тому, f что значения функции приближается как угодно близко к числу а Пример 5 Вычислить пределы функции rctg при и Так как при значения функции rctg неограниченно приближаются к rctg, то rctg Подобным образом вычисляется и Бесконечно малые и бесконечно большие функции Функция f называется бесконечно малой функцией в точке, если f еѐ предел равен нулю: Это определение можно сформулировать на «языке последовательностей» и на «языке ε δ» Определение бесконечно малой функции аналогичным образом формулируется для случаев,,,, : всегда должно быть f Бесконечно малые функции называются бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми и обозначают буквами греческого алфавита: ( ), ( ), Примеры бесконечно малых функций Функция - бесконечно малая при и при Функция si - бесконечно малая при k, k Z Теорема Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при Теорема Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при есть бесконечно малая функция при Из теоремы можно сделать выводы Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая Так как любая бесконечно малая функция ограничена, то произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая

39 если Теорема Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую предел, не равный нулю, есть функция бесконечно малая Функция f называется бесконечно большой функцией при, f или f Теорема Если функция α(х) бесконечно малая функция при, то функция есть бесконечно большая функция и, если функция f () бесконечно большая функция, то f бесконечно малая функция Примеры бесконечно больших функций Функция - бесконечно большая при, так как, и при потому что Фун кция tg - бесконечно большая при k, si tg k Z Это следует из того, что cos функция cos - бесконечно малая и в указанных точках Пример 6 Доказать, что функция f cos бесконечно малая функция в точке Функция функций Так как, то функция g ( ) f g ( ) cos и h равна произведению cos бесконечно малая функция при Функция

40 h cos, ограничена Следовательно, по теореме f () cos бесконечно малая функция при и Теорема 5 Если функция f () имеет предел b при, то еѐ можно представить в виде: f ( ) ( ) b, где, () бесконечно малая функция при Верно и обратное утверждение: если функцию f () можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой функции () при, то число b является пределом функции f (), т е f b 5 Основные теоремы о пределах В этом параграфе приведем теоремы, позволяющие вычислять пределы функций, не применяя определения предела Данные теоремы справедливы для случаев, когда, где - конечное число, и Пусть функции f () и g () имеют пределы: f b g c и Теорема 6 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: f g Доказательство Пусть f b и g c По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции можно записать f b g c и Далее, f g b c Здесь бесконечно малая функция, как сумма бесконечно малых функций По обратной теореме о связи функции, предела и бесконечно малой функции можно записать следовательно, f f f g b c, g Для случая разности теорема доказывается аналогично Данная теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного количества функций f g g

41 Из теоремы 6 следует единственность предела функции Действительно, пусть f b, f c и b c По теореме о сумме пределов имеем: f f f f b c Значит, b c Теорема 7 Из теоремы 7 вытекает равенство: c f ( ) Теорема 8 f g f g f g c f ( ) f g Пример 6 9 Вычислить при различных значениях 5 6,,, Решение ) Применим теоремы о действиях над пределами функций: 9 9 ( 9) ( 5) ) При числитель равен -5, а знаменатель -, следовательно, в этой точке под знаком предела имеем частное ограниченной функции на бесконечно малую функцию или произведение ограниченной функции на бесконечно большую Поэтому ( )( ) ) При числитель и знаменатель равны нулю В этом случае говорят, что под знаком предела неопределенность вида Устраним еѐ, раз- ложив числитель и знаменатель на множители и сократив общий множитель : 9 ( )( ) 5 6 ( )( ) 6

42 Теперь при знаменатель не равен нулю, поэтому можно применить теорему о пределе частного функций: 6 ) При числитель и знаменатель бесконечно большие функции, ( 9), ( 5 6) так как В этом случае имеем под знаком предела неопределенность вида Устранить такую неопределенность можно, разделив числитель и знаменатель на старшую степень, те на : Далее применим теоремы о действиях над пределами функций и учтем, что и : Теорема Пусть функции f ( ), g( ), h( ) определены в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки, и удовлетворяют неравенствам f g h Если f b, h b, то g b Данная теорема признак существования предела Если функция g () заключена между двумя функциями f () и h(), сходящимися к одному и тому же пределу, то и она имеет тот же предел 6 Замечательные пределы Первый замечательный предел si

43 e Второй замечательный предел или t Следствия из замечательных пределов: si l( ) e,, Пример 7 tg Вычислить t t e si tg Так как cos tg si si cos Пример 8 и cos cos, то si cos Вычислить При вычислении данного предела воспользуемся вторым замечательным пределом: e 7 Применение бесконечно малых функций при вычислении пределов Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция А частное двух бесконечно малых функций может быть или бесконечно малой функцией, или конечным числом, или бесконечно большой функцией, или вообще не стремиться ни к какому пределу Две бесконечно малые функции сравнивают, вычисляя предел их отношения Бесконечно малые функции () и () при называются бесконечно ( ) ( ) малыми одного порядка, если b ( ) или причем b Если ( ) b же b, то бесконечно малые функции () и () называются эквивалентными бесконечно малыми функциями при Эквивалентность двух бесконечно малых функций () и () обозначается символом ~ Пример 9 Функции ( ) si( ) и при Действительно, ( ) - бесконечно малые одного порядка si( ), и

44 si( ) si( ) Пример Функции ( ) и ( ) - эквивалентные бесконечно малые при Действительно, ( ) Поэтому ~ при Бесконечно малая функция () называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой функцией () при, если ( ) ( ) ( ) Если ( ) не существует, то функции () и () называются несравнимыми бесконечно малыми Пример Функции ( ) и ( ) si( ) - бесконечно малые при Действительно, ( ) ( ) si( ) и Вычислим теперь предел отношения этих функций при : ( ) ( ) si( ) si( ) si( ) Значит, функция ( ) - бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с функцией ( ) si( ) при Пример ( ) si Функции () и - бесконечно малые при si Действительно, и Предел отношения этих : si si функций при не существует: Значит, ( ) si функции () и несравнимые бесконечно малые

45 При вычислении пределов можно использовать следующие эквивалентности при : si ~, cos ~, tg ~, rcsi ~, rctg ~, l( ) ~, e ~, ~ Теорема Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой Пусть () и () - бесконечно малые функции при и () ~ (), () ~ () Тогда справедливы следующие равенства: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Пример si Вычислить si 7 Так как si ( ) ~ () при () (эту эквивалентность несложно доказать, докажите), то si 6 6 si Теорема Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них Пусть () ~ () при Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Теорема Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка Пример

46 Вычислить 5 Так как tg ~ и tg 5 ~ 5 при то tg Задачи для самостоятельного решения В задачах исследовать существование предела, применяя определение предела функции на языке последовательностей si В задачах доказать равенства, применяя определение предела функции на языке ( ) ( ) 8 ( ) ( ) В задачах вычислить пределы, применяя свойства пределов

47 9 В задачах вычислить пределы, применяя первый замечательный предел si si si cos6 cos cos 7 cos si( ) si( ) si si tg 9 si В задачах 5 вычислить пределы, применяя второй замечательный предел l( ) 7 (l( ) l ) 8 l( 5 7) l( 8) 9 5 В задачах 5 6 вычислить пределы, применяя эквивалентные бесконечно малые функции l( si ) cos6 5 5 si e rctg rcsi si tg rcsi l( ) tg si e 57 si cos 58 si tg si 59 6 cos si

48 В задачах 6 7 вычислить пределы, применяя замену переменной ( ) 6 6 tg(cos ) l cos si 6 6 si 7 ( ) 65 tg si tg 67 ( ) 66 si cos cos 68 tg 69 ( ) tg 7 tg 6 В задачах 7 8 вычислить пределы ( ) 7 7 ( ) ( )( )( )( 75 5 ( ) )( 78 5) ( ) ( ) 76 5 ( ) 8 5 Решение задачи 6 Исследовать существование предела, применяя определение предела функции на языке последовательностей Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к, те Этой последовательности соответствует последовательность значений функции f ( ) Поэтому Далее, используя свойства пределов, получим Следовательно, Решение задачи

49 Необходимо доказать равенство ( ), применяя определение предела функции на языке Возьмем произвольное и найдем такое ( ), чтобы из условия ( ) следовало неравенство ( ) Решим последнее неравенство Для этого упростим его левую часть: ( ) или Из последнего неравенства следует, что если взять ( ), то из неравенства вытекает неравенство ( ) А это означает, что на основании второго определения предела ( ) Решение задачи Необходимо вычислить предел, применяя свойства пределов Так как ( ), то применим теорему о свойствах пределов: ( ( ) ) 5 Следовательно, 5 Решение задачи si Необходимо вычислить предел, применяя первый замечательный предел si Покажем сначала, что Действительно, si si si si Теперь, выделив под знаком предела выражение, несложно завершить вычисление: si si Следовательно, 9 Решение задачи si 9 () si 9 9

50 Необходимо вычислить предел предел, применяя второй замечательный При вычислении пределов вида можно применять, если ( ) и b( ) поэтому: b( ) ( ) второй замечательный предел В этом случае, e e Значит, e Решение задачи 5 l( si ) Необходимо вычислить предел, применяя эквивалентные бесконечно малые функции si Учитывая эквивалентности: si ( ) ~ () и l( ( )) ~ () при (), получим l( si ) si si si l( si ) Следовательно, si Решение задачи 6 ( ) Необходимо вычислить предел, применяя замену переменной tg(cos ) Сделаем замену переменной t Тогда t и t при ( ) t t t Отсюда tg(cos ) t tg(cos( t ) ) t tg(cost ) t cos t

51 t t t t t t ( ) Следовательно, tg(cos ) Решение задачи 7 Необходимо вычислить предел 8 8 Так как и, то при 8 имеем неопределен- ность Устраним еѐ, умножив дробь числителю и знаменателю: 8 на множители, сопряженные ( 8) 8 Теперь 8 8 Глава 5 Непрерывность функции 6 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно, графиком непрерывной функции является сплошная, нигде не прерывающаяся линия Дадим определение непрерывности функции в точке Определение Функция f называется непрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, те f ( ) f ( ) Из этого определения следует, что функция непрерывна в точке, если выполнены следующие условия: функция определена в точке и в некоторой еѐ окрестности; функция имеет предел в точке ; этот предел равен значению функции в точке

52 Пример Функция f ( ) непрерывна в точке, так как выполнены все ус- ловия непрерывности: f ( ) f () Пример Функция,, f ( ) не является непрерывной в точке, так, как f ( ), а f (), Пример Функция f ( ),, не является непрерывной в точке,, так как предел функции в этой точке не существует (левосторонний и правосторонний пределы не равны: f ( ), а f ( ) ) Пример Функция f ( ) не является непрерывной в точке, так как в этой точке не определена Сформулируем второе определение непрерывности функции в точке, основанное на понятии приращении аргумента и функции Определение Пусть функция f определена в точке и в некоторой еѐ окрестности Разность называется приращением аргумента, а разность f ( ) f ( ) f ( ) - соответствующим приращением функции Функция f называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, те f ( ) Пример 5 Исследовать на непрерывность функцию si в произвольной точке Задав приращение аргумента, найдем соответствующее приращение функции: si( ) si cos si cos si Отсюда cos si Значит, по второму определению непрерывности функции функция si непрерывна в произвольной точке

53 Теорема Если функции f () и g () непрерывны в точке, то функции f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( )/ g( ), g( ) также непрерывны в точке Доказательство Докажем теорему для f ( ) g( ) Так как функции f () и g () непрерывны в точке, то из определения непрерывности функции следуют равенства: f ( ) f ( ) и g( ) g( ) Отсюда, используя свойства пределов, получим ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Следовательно, по первому определению непрерывности функции сумма функций f ( ) g( ) непрерывна в точке Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых Остальные случаи теоремы можно доказать аналогично Теорема Если функция f (u) непрерывна в точке u g(), а функция u g() непрерывна в точке, то сложная функция f ( u( )) непрерывна в точке Доказать теорему можно на основе второго определения непрерывности функции Из непрерывности функции u g() следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение u А в силу непрерывности функции g(u) бесконечно малому приращению аргумента u соответствует бесконечно малое приращение Из теоремы следует равенство: f ( g( )) f ( g( )) Это значит, что для непрерывной функции можно переставлять символы предела и функции Пример 6 Вычислить si si e e e e e si 5 Непрерывность функции на промежутке Функция называется непрерывной на интервале ( ; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала

54 Если функция определена в точке и при этом f ( ) f ( ), то функция f () в точке непрерывна справа Аналогично, если функция определена в точке b и f ( ) b f ( b), то функция f () в точке b непрерывна слева Функция называется непрерывной на отрезке [ ; b], если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа, в точке b - непрерывна слева) Наименьшим значением функции f () на отрезке [ ; b] называется такое еѐ значение m f ( ), что f ( ) f ( ) для всех [ ; b] Наибольшим значением функции f () на отрезке [ ; b] называется такое еѐ значение M f ( ), что f ( ) f ( ) для всех [ ; b] Теорема Если функция f () непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ; b], то обратная ей функция f ( ) непрерывна и строго монотонна на соответствующем отрезке [ c ; d] Из теорем, и следует важное следствие: любая элементарная функция непрерывна на своей области определения P Рациональная функция R непрерывна на всей числовой прямой Q за исключением тех точек, в которых знаменатель Пример 7 m Q m обращается в ноль Функция si непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ; ] Обратная ей функция rcsi непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ; ] Теорема (Вейерштрасса) Если функция f () непрерывна на отрезке [ ; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений Из этой теоремы вытекает следствие: если функция непрерывна на отрезке [ ; b], то она ограничена на этом отрезке Y M=f( ) O m=f( ) b X

55 Теорема 5 (Больцано - Коши) Если функция f () непрерывна на отрезке [ ; b] и принимает на его концах неравные значения f ( ) A и f ( b) B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B Теорема очевидна из следующего рисунка Для числа C [ A; B] найдется точка c внутри отрезка [ ; b] такая, что f ( c) C Y C=f(c) B=f(b) A=f() O c b X Теорему 5 можно применять при решении уравнений f () Если функция f () непрерывна на отрезке [ ; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [ ; b] найдется хотя бы одна точка c, в которой f () обращается в ноль, те f (c) Y O с b X Утверждение о существовании корня уравнения f () находит применение в математической модели рынка Рассмотрим рынок одного товара Основными категориями рынка являются спрос и предложение Эти категории зависят от многих факторов, но главный из них цена товара Пусть g g(p) - функция

56 спроса, s s(p) - функция предложения, где p - цена товара Предположим, что функции g( p) и s ( p) непрерывны для положительных значений p Тогда есть возможность решить задачу об отыскании такой цены p, при которой спрос равен предложению, те g ( p) s( p) Так как функции g( p) и s ( p) непрерывны, то существует решение p этого уравнения Цена p называется равновесной 5 Точки разрыва и их классификация Точки, в которых нарушается непрерывность функции f называются точками разрыва Если точка - точка разрыва, то в этой точке не выполняется, по крайней мере, одно условие непрерывности функции: функция f определена в окрестности точки, но не определена в самой точке функция f определена в точке и еѐ окрестности, но не существует предел функции в этой точке функция f определена в точке и еѐ окрестности, существует предел функции в этой точке, но он не равен значению функции в точке Определение Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f ( ) b f ( ) b и Если b b, то точка называется точкой устранимого разрыва Если b b, то точка называется точкой конечного скачка Величину b называют скачком функции b Определение Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности Пример 7 Исследовать на непрерывность функцию si,, f ( ),

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее