Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:"

Транскрипт

1 Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 A,B,C, A a 2, B b 2, C c 2. a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: A 1 + A 2,B,C A 1,B,C + A 2,B,C αa,b,c α A,B,C, и аналогично для всех остальных столбцов; (2) кососимметричность: определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, A,A,C 0 и аналогично для других столбцов; (3) нормировка: Отметим свойство кососимметричность-2: при перестановке любых двух столбцов det-3 меняет знак. A + B, A + B, C A, A + B, C + B, A + B, C }{{} 0 откуда A,A,C + A,B,C + B,A,C + B,B,C, }{{}}{{} 0 0 A,B,C B,A,C. Из кососимметричности и линейности получается также следующее свойство: det-3 не изменится, если к любому его столбцу прибавить произвольную ЛК остальных столбцов. A + βb + γc, B, C A, B, C + β B, B, C +γ C, B, C. }{{}}{{} 0 0 1

2 Формулы Крамера. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: a 1 x + b 1 y + c 1 z p 1, a 2 x + b 2 y + c 2 z p 2, a 3 x + b 3 y + c 3 z p 3. Таблицы коэффициентов a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3, a 1 b 1 c 1 p 1 a 2 b 2 c 2 p 2 a 3 b 3 c 3 p 3 называются основной и расширенной матрицами системы соответственно. Введя столбцы A a 1 a 2, B b 1 b 2, C c 1 c 2, P p 1 p 2, a 3 b 3 c 3 p 3 систему можно записать в виде Ax + By + Cz P. Пусть (x, y, z) решение системы. Это означает, что столбец P является ЛК столбцов A,B,C с коэффициентами x,y,z: P Ax + By + Cz. Рассмотрим det-3 P, B, C : P,B,C Ax + By + Cz, B, C }{{} откуда, при условии A,B,C 0, получаем Аналогично получаются формулы для y, z: P Ax,B,C + By,B,C + Cz,B,C x A,B,C + y B,B,C +z C,B,C, }{{}}{{} 0 0 x P,B,C A,B,C deta x deta. y A,P,C A,B,C deta y deta, z A,B,P A,B,C deta z deta, где определители deta x, deta y, deta z получены из определителя deta заменой соответствующего столбца на столбец правых частей системы. Формулы Крамера дают решение в случае, когда определитель A, B, C основной матрицы системы отличен от нуля, и при этом доказывают единственность этого решения. Если же A,B,C 0, то формулы Крамера неприменимы; в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь более одного решения.

3 1.3. Разложение det-3 по первому столбцу. Рассмотрим столбцы I 1 0, I 2 1, I Очевидно, любой столбец из трех элементов можно представить в виде ЛК этих трех столбцов: A a 1 a 2 a 1 I 1 + a 2 I 2 + a 3 I 3. 3 Преобразуем det-3: a 3 A, B, C a 1 I 1 + a 2 I 2 + a 3 I 3, B, C a 1 I 1, B, C + a 2 I 2, B, C + a 3 I 3, B, C. Подчеркнутые det-3 называются алгебраическими дополнениями (АД) элементов a 1,a 2,a 3 ; обозначим их A 1,A 2,A 3. Очевидно, эти АД не зависят от элементов a 1,a 2,a 3. Вычислим АД элемента a 1 : A 1 I 1,B,C I 1,b 1 I 1 + b 2 I 2 + b 3 I 3,C b 1 I 1,I 1,C +b }{{} 2 I 1,I 2,C + b 3 I 1,I 3,C 0 b 2 I 1,I 2,c 1 I 1 + c 2 I 2 + c 3 I 3 + b 3 I 1,I 3,c 1 I 1 + c 2 I 2 + c 3 I 3 b 2 c 3 I 1,I 2,I 3 + b 3 c 2 I 1,I 3,I b 2 c 2 b 2 c b 3 c b 2 c 3 b 3 c 2 b c 3. }{{}}{{} 1 1 Отметим, что АД элемента a 1 равно det-2, который получается, если из исходного det-3 вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент a 1. Аналогичное вычисление АД элементов a 2 и a 3 дает: A 2 b 3 c 1 b 1 c 3 b 3 c 3 b 1 c 1 A 3 b 1 c 2 b 2 c 1 b 1 c 1 b 2 c 2 b 1 c 1 b 3 c 3 Обратите внимание на знак A 2. Итак, получена формула разложения det-3 по элементам первого столбца: a 1 b 1 c 1 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 1 b a 3 b 3 c 3 3 c 3 a b 1 c 1 2 b 3 c 3 + a b 1 c 1 3 b 2 c 2..,

4 4 Det-2, фигурирующие в этой формуле, называются минорами этих элементов. Они представляют собой det-2, получающиеся из исходного det-3 вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоят элементы a 1, a 2, a 3 соответственно. Аналогичные формулы могут быть получены и для разложения det-3 по элементам второго и третьего столбцов: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 b 1 a 2 c 2 a 3 c 3 c 1 a 2 b 2 a 3 b 3 + b 2 c 2 a 1 c 1 a 3 c 3 a 1 b 1 a 3 b 3 b 3 + c 3 a 1 c 1 a 2 c 2 a 1 b 1 a 2 b 2 Анализ этих формул позволяет сделать следующий вывод: АД элемента равно минору этого элемента, взятому со знаком «+» или согласно следующей схеме: Итак, det-3 равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 1 A 1 + a 2 A 2 + a 3 A 3. a 3 b 3 c 3 Рассмотрим сумму произведений элементов второго столбца на алгебраические дополнения элементов первого столбца: b 1 b 1 c 1 b 1 A 1 + b 2 A 2 + b 3 A 3 b 2 b 2 c 2 0. b 3 b 3 c 3 Аналогично и для других столбцов. Итак, сумма произведений элементов некоторого столбца на алгебраические дополнения другого столбца равна нулю Полное разложение det-3. Вычисляя АД, входящие в разложение det-3 по элементам какой-либо строки, получаем следующую формулу: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1. a 3 b 3 c 3 Мнемонические правила для запоминания:,.

5 5 Сгруппируем иначе слагаемые в полном разложении det-3: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1 a 3 b 3 c 3 a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) b 1 (a 2 c 3 a 3 c 2 ) + c 1 (a 2 b 3 a 3 b 3 ) b 2 b 3 a 1 c 2 c 3 b a 2 a 3 1 c 2 c 3 + c a 2 a a 1 a 2 a b 2 b 3 b 1 b 2 b 3. c 1 c 2 c 3 Это означает, что строки и столбцы det-3 равноправны: любое утверждение, сформулированное для столбцов, имеет аналог, справедливый для строк. В частности, можно производить разложение det-3 не только по элементам столбцов, но и по элементам строк Примеры. Пример Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на 4, после чего разложим получившийся det-3 по элементам первого столбца: Пример. Решить систему уравнений x + 2y + 3z 14, 2x + 4y z 7, 4x + 5y + z ( 13) Воспользуемся формулами Крамера, для чего вычислим нужные det-3: deta (см. пример выше).

6 6 deta x для вычисления этого det-3 прибавим к первой строке утроенную вторую строку, а к третьей строке прибавим вторую строку, после чего разложим полученный det-3 по третьему столбцу: deta x ; ( 1) При вычислении deta y и deta z будем из второй строки вычитать удвоенную первую строку, а к третьей строке прибавлять первую строку, умноженную на 4, как это делалось при вычислении det A; после этого каждый из полученных det-3 разложим по элементам первого столбца: Решение системы: deta y deta z , 273. x deta x deta , y deta y deta , z deta z deta Критерий равенства нулю det-3. Теорема. Det-3 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы. 1. Пусть det-3 равен нулю. Рассмотрим систему линейных уравнений a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 0, a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 0, a 3 x 1 + b 3 x 2 + c 3 x 3 0. Формулы Крамера к ней неприменимы, но она имеет очевидное решение x 1 x 2 x 3 0. Поэтому решение системы не единственно, и она имеет какое-либо другое решение, в котором хотя бы одна из неизвестных отлична от нуля. Компоненты этого решения и являются коэффициентами нетривиальной линейной комбинации столбцов, равной нулевому столбцу. 2. Пусть столбцы ЛЗ; тогда один из них можно представить в виде ЛК остальных, например, C αa + βb. Тогда A,B,C A,B,C αa βb A,B,O 0.

7 7 2. МАТРИЦЫ 2.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: (1) верхний индекс номер строки, нижний индекс номер столбца: a 1 1 a 1 2 a 1 n a A 2 1 a 2 2 a 2 n ; a m 1 a m 2 a m n (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n a A 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Сокращенные обозначения: a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n (ai j) m n, a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (a ij) mn. a m1 a m2 a mn Множество всех матриц размера m n, элементы которых принадлежат множеству X, обозначается X m n. Для нас наиболее интересен случай, когда X некоторое числовое поле K (K Q, R или C). Специальные виды матриц: нулевая матрица: все элементы равны нулю; обозначение O; квадратная матрица: количество строк равно количеству столбцов); порядок квадратной матрицы это количество ее строк (столбцов); диагональная матрица: квадратная матрица, у которой a i j 0 для всех i j, a a a diag(a 1 1,...,a n n); a n 1 n a n n

8 8 верхнетреугольная (правая треугольная) матрица: квадратная матрица, у которой a i j 0 для всех i > j, ; нижнетреугольная (левая треугольная) матрица: квадратная матрица, у которой a i j 0 для всех i < j, Матрицы A и B называются равными, A B, если (1) их размеры равны: A (a i j) m n, B (b i j) m n ; (2) элементы, стоящие на соответственных местах, равны между собой: a i j b i j i 1,...,m, j 1,...,n Линейные операции и их свойства. Сумма матриц A (a i j) m n и B (b i j) m n одинакового размера m n: C A + B c i j a i j + b i j i 1,...,m, j 1,...,n. Произведение матрицы A (a i j) m n на число α: D αa d i j αa i j i 1,...,m, j 1,...,n. Теорема. Операции над матрицами обладают следующими свойствами. (1) коммутативность сложения: A,B K m n A + B B + A; (2) ассоциативность сложения: A,B,C K m n (A + B) + C A + (B + C); (3) свойство нулевой матрицы: A K m n A + O A, где O K m n ; (4) существование противоположной матрицы: A K m n A K m n : A + A O;

9 9 (5) свойство единицы: A K m n 1 A A; (6) ассоциативность умножения на число: α,β K, A K m n : α(βa) (αβ)a; (7) дистрибутивность-1: α K, A,B K m n α(a + B) αa + αb; (8) дистрибутивность-2: α,β K, A K m n (α + β)a αa + βa Умножение матриц. Произведение матриц A K m s и B K s матрица C AB K m n, элементы которой вычисляются по формуле s c i j a i kb k j. k1 Перемножить матрицы можно лишь в том случае, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Пример. произведение не существует; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1 2 ( ) ;

10 10 здесь ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ; AB BA. ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) Здесь AB BA. Единичная матрица диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1. Элементы единичной матрицы обозначаются 1, если i j, δj i 0, если i j; δ i j называется символом Кронекера. Обозначения: I, E; если нужно указать размер I n, E n. Теорема. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами: (1) ассоциативность умножения: A K m s, B K s p, C K p n A(BC) (AB)C; (2) дистрибутивность-1: A K m s, B,C K s n A(B + C) AB + AC; (3) дистрибутивность-2: A,B K m s, C K s n (A + B)C AC + BC; (4) свойство единичной матрицы: A K m n I m A AI n A. Докажем соотношение Пусть Рассмотрим произведение Далее, x i l s j1 D {}}{{}}{ A( B C ) ( A B )C. }{{}}{{} X Y A (a i j) m s, B (b j k )s p, C (c k l ) p n. D BC (d j l )s n, d j l a i j d j l s j1 F X AD (x i l) m n, a i j ( p k1 b j k ck l ) p k1 b j k ck l. s j1 p k1 a i j b j k ck l.

11 11 Произведения в правой части равенства: F AB (f i k) m p, f i k s j1 a i j b j k, y i l p k1 f i k c k l k1 Y FC (y i l) m n, ( p s ) a i j b j k c k l j1 p k1 s j1 a i j b j k ck l. Ясно, что x i l yi l, так как выражения этих величин отличаются лишь порядком суммирования Структура произведения матриц. Рассмотрим матрицы A (a j l )m p K m p, B (b l k) p n K p n, Наша задача описать структуру столбцов матрицы C AB. Представим матрицу A в виде совокупности столбцов A [A 1 A 2... A p ], где a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 a 1 p a 2 p A 1., A 2.,..., A p.. a m 1 a m 2 Произведением матриц A K m p и B K p n является матрица C K m n, элементы которой вычисляются по формуле c j k p l1 a j l b l k, j 1,...,m, k 1,...,n. Представим матрицу C в виде совокупности столбцов: Обсудим строение k-го столбца: p c 1 a ḳ 1 l b l k l1 C k.. p c m k l1 C [C 1 C 2... C n ]. a m l b l k a p 1 l. b l k Таким образом, доказаны следующие утверждения. l1 a m l a m p p A l b l k A B k. (1) k-й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам k-го столбца матрицы B. (2) k-й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k-й столбец матрицы B. l1

12 Транспонирование. Дана матрица A (a i j) m n K m n. Матрица B (b j i )n m K n m, b j i ai j, называется транспонированной для A. Обозначения: B A T A tr tr A. Пример. ( ) T Теорема. Операция транспонирования обладает следующими свойствами: 1. (A + B) T A T + B T ; 2. (αa) T α A T ; 3. (A T ) T A; 4. (AB) T B T A T. Докажите самостоятельно. Матрица A называется симметричной, если A A T. Матрица A называется кососимметричной, если A A T. Пример , Множества всех симметричных и кососимметричных матриц порядка n обозначаются SK n n, AK n n. Теорема. Любую квадратную матрицу A можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц: A 1 2 (A + AT ) + 1 }{{} 2 (A AT ). }{{} симм. кососимм. Отметим, что такое представление единственно Определитель произведения матриц. В этом разделе матрицы A, B имеют следующую структуру: ( ) a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 2 a A или a 2 1 a 2 a 2 1 a 2 2 a a 3 1 a 3 2 a 3 3 Теорема..

13 13 Если A, B матрицы второго или третьего порядка, то det(a B) deta detb. 1. Доказательство для det-2. det(ab) det[ab 1,AB 2 ] det [ A ( b 1 1I 1 + b 2 1I 2 ), A ( b 1 2 I 1 + b 2 2I 2 )] b 1 1 det [ AI 1, A ( b 1 2I 1 + b 2 2I 2 )] + b 2 1 det [ AI 2, A ( b 1 2I 1 + b 2 2I 2 )] b 1 1b 1 2 det [AI 1,AI 1 ] +b 1 }{{} 1b 2 2 det [AI 1,AI 2 ] + }{{} 0 det A +b 2 1b 1 2 det [AI 2,AI 1 ] +b 2 }{{} 1b 2 2 det [AI 2,AI 2 ] }{{} det A 0 deta ( b 1 1b 2 2 b 2 1b 1 2) deta detb. 2. Доказательство для det-3. Прежде всего запишем формулу полного разложения det-3: b 1 1 b 1 2 b 1 3 b 2 1 b 2 2 b 2 3 b 1 1 b 2 2 b b 2 1 b 3 2 b b 3 1 b 1 2 b 2 3 b 1 1 b 3 2 b 2 3 b 2 1 b 1 2 b 3 3 b 3 1 b 2 2 b 1 3. b 3 1 b 3 2 b 3 3 Структура этой формулы такова: в каждом слагаемом нижние индексы следуют в естественном порядке 1, 2, 3, а верхние образуют некоторую перестановку чисел 1, 2, 3; всего слагаемых 6, по числу возможных перестановок из 3 элементов, 3! 6. Слагаемое входит в формулу со знаком «+», если последовательность верхних индексов в нем получена из последовательности 1, 2, 3 четным числом перестановок соседних элементов, и со знаком в противном случае: 123 ւ ց ց ւ 321 Для определителя произведения матриц имеем: det(ab) det [AB 1, AB 2, AB 3 ] ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) det A b i 1I i, A b j 2I j, A b k 3I k i1 j1 k1 }{{}}{{}}{{} B 1 B 2 B 3

14 14 [ ( 3 3 ) ( 3 )] b i 1 det AI i, A b j 2I j, A b k 3I k i1 3 i1 3 3 j1 k1 3 i1 3 3 j1 k1 j1 k1 b i 1 b j 2 b k 3 det [AI i, AI j, AI k ] b i 1 b j 2 b k 3 det [A i, A j, A k ]. В этой сумме слагаемых, но большинство из них равно нулю, так как содержат в качестве множителя det-3 вида det[a i,a j,a k ] с одинаковыми столбцами. Далее, если все столбцы A i,a j,a k различны, то det[a i,a j,a k ] ± det A, где знак «+» или зависит от того, четным или нечетным числом перестановок столбцов получен det[a i,a j,a k ] из det[a 1,A 2,A 3 ] deta. Поэтому, продолжая выкладку, получаем ( ) det(ab) deta b 1 1b 2 2b b 2 1b 3 2b b 3 1b 1 2b 2 3 b 1 1b 3 2b 2 3 b 2 1b 1 2b 3 3 b 3 1b 2 2b 1 3 deta detb Обратная матрица. Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц. Дана матрица A K n n. Матрица A 1 K n n называется обратной к матрице A, если A 1 A AA 1 I. Матрица A в этом случае называется обратимой. Уже на примере матрицы 1 1 ясно, что обратная матрица существует не для любой матрицы: матрица (0) необратима. Теорема. Если для матрицы A существует обратная A 1, то она единственна. Предположим, что матрица A имеет две различные обратные матрицы B и C, т.е. Имеем: AB BA I, AC CA I. B BI B(AC) (BA)C IC C, т.е. B C. Теорема. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда deta 0, что эквивалентно условию линейной независимости столбцов (строк) матрицы A. Замечание. Сейчас нас интересует вопрос о существовании обратных матриц для матриц порядка 2 и 3. Всюду далее в доказательстве считаем, что n 3. На самом деле теорема вместе с доказательством справедлива для матрицы A любого порядка. 1. Предположим, что существует A 1. Имеем A 1 A I det(a 1 A) deti deta 1 deta 1 deta 0.

15 2. Пусть det A 0. Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A: A 1 1 A A 1 n A B 2 1 A A 2 n (Ak j) n n; A n 1 A n 2... A n n она называется присоединенной к матрице A. Вычислим произведение C A B T : n c i j a i ka j k deta 0, i j, 0, i j. k1 Таким образом, матрица 1 deta BT является обратной для A. Эта формула позволяет вычислить обратную матрицу A 1. Пример. Пусть ( ) a b A. c d Алгебраические дополнения элементов присоединенная матрица так что обратная матрица равна АД(a) d, АД(b) c, АД(c) b, АД(d) a, B ( A 1 1 deta BT d c b a ) ( 1 ad bc, d b c a ) ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Задача 1. Доказать, что k-й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам k-го столбца матрицы B. Задача 2. Доказать, что k-я строка матрицы AB равна линейной комбинации строк матрицы B с коэффициентами, равными элементам k-й строки матрицы A. Задача 3. Доказать, что k-й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k-й столбец матрицы B. Задача 4. Доказать, что k-я строка матрицы AB равна произведению k-й строки матрицы A на матрицу B. Задача 5. Доказать соотношение (AB) T B T A T. Задача 6. Матрица A такова, что A 2 + A + E 0. Доказать, что матрица A обратима и выразить A 1 через A.

16 16 Задача 7. Пусть A m 0. Доказать, что (E A) 1 E + A + + A m 1. Задача 8. Пусть f(t) многочлен. Доказать, что f(s 1 AS) S 1 f(a)s. Задача 9. Доказать, что если A невырожденная симметрическая матрица, то A 1 также симметрическая матрица. Задача 10. Доказать, что если A невырожденная кососимметрическая матрица, то A 1 также кососимметрическая матрица. Задача 11. Пусть A, B симметрические матрицы. Доказать, что AB является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB BA. Задача 12. Пусть A, B кососимметрические матрицы. Доказать, что AB является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB BA. Задача 13. Пусть A, B кососимметрические матрицы. Доказать, что AB является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB BA.


a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы Лекция 1 МАТРИЦЫ 1 Матрицы На этой лекции мы введём основное для всего курса аналитической геометрии понятие матрицы Необходимость введения понятия матрицы обусловлена, например, компактностью записи линейных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. МАТРИЦЫ Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают большими буквами

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определитель второго порядка Рассмотрим следующую систему двух уравнений относительно неизвестных x и y: { a x+b y = c, ( a 2 x+b 2 y = c 2 Методом исключения переменных построим

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ 0 План лекции ЛЕКЦИЯ МАТРИЦЫ Матрицы и способы их задания Определение матрицы; 2 Запись через столбцы A k и строки A j ; 3 Специальные матрицы 3 Нулевая; 32 Квадратная; 33 Диагональная

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители.

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Литература: 1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Издание 2-е дополненное. М.: Изд-во

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К БИОЛОГИИ Ю. Н. СУДАРЕВ, Т. В. ПЕРШИКОВА, Т. В. РАДОСЛАВОВА ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Допущено Научно-методическим советом

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами. ЛЕКЦИЯ Понятие о матрице и ее свойства Действия над матрицами Понятие матрицы Матрицей порядка (размерности ) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую столбцов: ( ) i строк

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее