ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»"

Транскрипт

1 СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ» ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы по дисциплине «Математика» Составители: ГНЗубкова НСГаврюшкина г Старый Оскол г

2 СОДЕРЖАНИЕ Правила выполнения и оформления контрольной работыошибка! Закладка не определена Основные теоретические сведения и примеры решения задач ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы Операции над матрицами Определители Обратная матрица 9 Системы линейных алгебраических уравнений ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Векторы Линейные операции над ними Координаты вектора Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов АЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Прямая на плоскости Кривые второго порядка АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 8 Плоскость в пространстве 8 Прямая в пространстве Задания для контрольной работы Рекомендуемая литература

3 Основные теоретические сведения и примеры решения задач ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы Операции над матрицами Матрицей размера m n («m на n») называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов и имеющая вид: m n n В сокращенной записи: ( ) m n ij m mn Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй номер столбца, в которых расположен этот элемент Например, элемент (читается «три пять») расположен в третьей строке и пятом столбце Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов соответственно равны и равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц Нулевой (обозначается O) называется матрица, все элементы которой равны нулю Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n : n n n Элементы,,, nn квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы n, n,,, n побочную диагональ Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю Единичной (обозначается E) называется диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице Например,, 7 B, E соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка Суммой матриц и B одинаковых размеров (обозначается B ) называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и B Например,, B, B 7 B Аналогично определяется разность матриц и B, обозначаемая Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число Например, 8,

4 Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй При этом произведением матрицы размера m k на матрицу B размера k n называется матрица C размера m n ( B c которой (стоящий на пере- C ), каждый элемент ij сечении i-й строки и j-го столбца матрицы С) вычисляется как сумма произведений элементов i-той строки матрицы и j-го столбца матрицы B: k cij i b j ib j ikbkj isbsj ; i,,, m, j,,, n s Пример Найти произведения матриц B и B (если они существуют):, B Решение Матрица имеет размер, матрица B Произведение B существует, т к число столбцов матрицы равно числу строк матрицы B Найдем размер матрицыпроизведения: B C Вычислим элементы матрицы-произведения C, умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы B следующим образом: C ( ) ( ) ( ) ( ) Произведение B не существует, т к число столбцов матрицы B не равно числу строк матрицы T Транспонированной к матрице называется матрица, полученная из заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером Например, T, Определители Определителем квадратной матрицы n-го порядка n ( ij ) (или просто определителем n-го порядка) называется число, обозначаемое (или ) и определяемое по следующим формулам: ) при n ; ) при n ; n, det ) при n

5 Последнюю формулу легко запомнить, пользуясь правилом треугольников: Пример Вычислить определитель матрицы Решение ( ) ( ) ( ) ( ) Минором M ij элемента ij ij n-го порядка называется определитель матрицы (n )-го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (т е строки и столбца, содержащих элемент ij ) Алгебраическим дополнением ij элемента ij называется его минор, взятый со i j знаком ( ) : Например, в матрице ( ) M M квадратной матрицы ( ) i j ( ) ij ij M 7 M, Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n ) равен сумме произведений элементов любой ее строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, то есть: n i i i i in in ik ik, () k n j j j j nj nj kjkj () k Формулы () и () называются соответственно разложением определителя по i-й строке (i,,, n) и разложением определителя по j-му столбцу (j,,, n)

6 7 Пример Вычислить определитель матрицы Решение Разложим определитель по первой строке: ( ) ( ) ( ) ( ) 7

7 Свойства определителей: ) T ) Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя ) При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный ) Определитель матрицы равен нулю, если она содержит: а) строку (столбец), состоящую из нулей; б) две одинаковые строки (столбца); в) две пропорциональные строки (столбца) ) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число Вычисление определителя можно упростить, если, используя свойство, преобразовать матрицу так, чтобы получить в ней строку (или столбец), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю, а затем разложить определитель по этой строке (столбцу) Пример Вычислить определитель четвертого порядка Решение Получим нули в первом столбце на выделенных местах Для этого вторую строку оставим без изменения, а к первой, третьей и четвёртой строкам прибавим вторую строку, умноженную соответственно на,, Результаты выполненных действий запишем на место первой, третьей и четвёртой строк соответственно Полученный определитель разложим по первому столбцу: 8 9 ( ) Вынесем за знак определителя множитель у элементов третьей строки: Прибавим к первой строке третью, а затем разложим полученный определитель по первой строке: ( ) 8

8 ( ( ) ) Обратная матрица Матрица называется обратной для квадратной матрицы, если E Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы Такая матрица имеет единственную обратную: где n ij алгебраическое дополнение элемента Пример Для матрицы Решение ) Вычисляем : ij n n n nn данной матрицы ( ) найти обратную ( ) ( ) 8, () n ij,, значит существует ) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы :,,,,,, 7,, ) Вычисляем обратную матрицу по формуле (): Элементами первой, второй и третьей строк матрицы в правой части формулы являются алгебраические дополнения элементов первого, второго и третьего столбцов матрицы соответственно! 9

9 ) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: E : 7 8 E Системы линейных алгебраических уравнений Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:,,,, m n mn m m n n n n b b b () где j неизвестные (j,,, n), R ij коэффициенты при неизвестных (i,,, m, j,,, n), R b i свободные члены (i,,, m) Решением системы () называется совокупность n чисел ( ),,, n, при подстановке которых вместо неизвестных в уравнения все уравнения системы обращаются в тождества Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения Рассмотрим систему, у которой число неизвестных совпадает с числом уравнений:,,, n n nn n n n n n n b b b ()

10 где В матричной форме система () имеет вид X B, n n n nn, X n, b b B b n n называются соответственно (основной) матрицей системы, матрицей-столбцом неизвестных, матрицей-столбцом свободных членов Если, то система () имеет единственное решение, которое может быть найдено: ) матричным способом, то есть по формуле где ) по формулам Крамера, j X B ; () j j, ( j,, n), (7) определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов Пример Решить систему уравнений,, а) матричным способом; б) по формулам Крамера Решение а) Записываем систему в матричной форме: пусть, Вычисляем определитель : X, B, тогда X B ( ), следовательно, система имеет единственное решение Находим обратную матрицу :,,,,,,

11 ,,, Находим решение системы по формуле (): X Таким образом, X От такой записи решения можно перейти к более привычной форме записи:,, б) Вычисляем определитель (см пункт а)):, следовательно, система имеет единственное решение Вычисляем определители, и матриц, полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:,, По формулам Крамера (7) находим решение данной системы:,, Любую систему уравнений вида () можно решать методом Гаусса Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что посредством элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида (прямой ход), из которой последовательно определяются значения неизвестных, начиная с последнего (по номеру) неизвестного (обратный ход) Элементарными преобразованиями системы являются: ) перестановка уравнений; ) умножение уравнения на число λ ;

12 ) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число Пример 7 Решить методом Гаусса систему уравнений,, Решение Для вычислений удобнее, чтобы Поэтому поменяем местами первое и третье уравнения Исключим неизвестную из второго и третьего уравнений Для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на, а к третьему первое, умноженное на,, ;,, ;,, Исключим неизвестную из третьего уравнения Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на Система приведена к треугольному виду (последнее уравнение содержит одно неизвестное),, ;,, Поднимаясь снизу вверх по системе, последовательно находим значения, и :,, ;,, ;,, Часто элементарные преобразования выполняются не с самой системой, а с матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (с расширенной матрицей системы), при этом элементарные преобразования над уравнениями системы легко превращаются в элементарные преобразования над строками матрицы Преобразования расширенной матрицы данной системы к ступенчатому виду (нули под главной диагональю) показаны ниже (через ( ) m i S i,,, обозначена i-я строка матрицы) ( ) ( ) ~ ~ S S S S S S

13 ~ S S Последней матрице соответствует система: ~, ; ( ),,, Рис ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Векторы Линейные операции над ними Координаты вектора Вектором называется направленный отрезок Если начало вектора находится в точке, а конец в точке B, то вектор обозначается B или (рис ) Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора B называется длина отрезка B Длина нулевого вектора равна нулю Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице: e Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначаются b Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости) Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны: b B b, b Суммой двух векторов и b называется третий вектор c b, который находится по правилу треугольника или параллелограмма (рис ) Разностью векторов и b Рис называется вектор c b, для которого c b λ вектора на число α называется такой вектор b, длина кото- α, причем векторы и b сонаправлены при α > и противоположно на- < Произведением рого равна правлены при α :

14 α b ) b α ; ) b при α > и при α < b Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке Если e, e, e базис в пространстве, то любой вектор пространства можно разложить единственным образом по базисным векторам, т е представить в виде α e αe αe Числа α, α, α называются координатами вектора в базисе e, e, e Проекцией вектора на ось l (ось направленная прямая) называется число, обозначаемое пр l и Рис равное cosϕ с осью l, ϕ [, π ] (рис ) π пр l B, если ϕ <, π пр l B, если < ϕ π, где ϕ угол, образованный вектором Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oz Орты (единичные векторы) i, j, k соответствующих координатных осей O, O, Oz образуют ортонормированный базис (базис, векторы которого единичны и взаимно перпендикулярны) Любой вектор пространства можно разложить по базису i, j, k : i j zk, () где пðo, прo, z прoz, т е координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси Для вектора с координатами,, z часто используют обозначение (,, z ) Длина вектора (,, z ) вычисляется по формуле Пусть (,, z ), b ( b, b, bz ) ) ± b ( ± b, ± b, z ± bz ) ) α ( α, α, α ) ) b ) b z (), тогда z b, b z bz, b z b bz

15 Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ, которые он образует с координатными осями O, O, Oz соответственно Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора : cos α, cos β, cos γ z () Чтобы найти координаты вектора B по известным координатам точки (,, z ), которая является началом вектора, и точки B ( B, B, zb ), являющейся концом вектора, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала, те B ( B, B, zb z) () Пример Даны точки (,, ) и (,, ) B Найти координаты вектора B, длину отрезка B, направляющие косинусы вектора B Решение Найдем координаты вектора по формулам (): B,,,, или B i j k ( ( ) ) ( ) Длину вектора B найдем по формуле (): B B Направляющие косинусы вектора B найдем по формулам (): cos α, cos β, cos γ Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Скалярным произведением векторов и b называется число, обозначаемое равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: b b, b,, b b, b, b b и cos () Если известны координаты векторов: ( ), ( ) В формуле () произведение Учитывая этот факт, можно записать: Откуда следует: z z, то b b b zbz () b cos, b есть проекция вектора b на вектор b пр b b b пр (7) Для двух ненулевых векторов (,, ), b ( b, b, b ) z условие перпендикулярности имеет вид: b b или b b b z z z

16 b : С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами и cos b b b z z ϕ (8) b z b b bz Пример Даны вершины треугольника: (,, ), B (,, ), C (,, ) Найдите BC Решение b Угол BC равен углу между векторами B и BC Согласно формуле (8) B BC cos BC B BC Поскольку по формуле () B (,, ), (,, ) BC ( ) ( ) ( ) 9 B ( ), ( ) ( ) 8 BC, по формуле () B, по формуле () 9 cos BC, BC, то o BC Пример Известны координаты точек (,, ), В(, 7, ), С(,, ), D(,, ) Найти проекцию вектора C на направление BD Решение BD, Находим координаты векторов C и BD : (, 7, ) (,, ) C Проекцию находим, применяя формулу (7): C BD ( ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( ) пр BD C BD ( ) ( 7) ( ) Векторным произведением вектора на вектор b называется вектор удовлетворяющий условиям: Рис, c b, ) c b b sinϕ, где ϕ, b ; ) c, c b ; ) вектор c направлен так, что из конца вектора c кратчайший поворот от вектора (первого множителя) к вектору b (второму множителю) виден в направлении против часовой стрелки, т е векторы, b, c образуют правую тройку векторов Начала векторов предполагаются совмещенными (рис ) Если известны координаты векторов:,, b b, b, b, то координаты ( ), ( ) z z 7

17 их векторного произведения вычисляются по формуле: 8 i j k z z b z ; b bz b bz b b b z ; (9) b b Условие коллинеарности двух ненулевых векторов и b имеет вид: b b Площадь параллелограмма, построенного на векторах (,, z ) ( b, b b ) b, z, вычисляется по формуле а площадь треугольника C S b и пар, () S b () Пример Вершины треугольника расположены в точках (,, ), (,,) (,, ) Найдите площадь треугольника B, Решение Площадь треугольника BC можно находить, подставляя в формулу () координаты любых двух векторов, исходящих из одной вершины, например, B и C Согласно формуле () S BC B C Находим координаты векторов B и C :,, C,, Вычисляем векторное произведение B ( ), ( ) B C по формуле (9): i j k B C i j k i j 8k, т е B C (,, 8) Тогда S BC ( ) 8 9 (кв ед) Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов, b, c называ- b c и равное скалярному произведению векторов b и c, b c b,, b b, b, b, ется число, обозначаемое т е ( ) c Если известны координаты векторов: ( z ), ( z ) ( c, c c ) c, z, то

18 c c c z b c b b b () Условие компланарности трех ненулевых векторов, b, c имеет вид:, b, c компланарны bc или b b b Объем параллелепипеда, построенного на векторах (,, z ) ( b, b b ), c ( c, c, c ), вычисляется по формуле: V b c b,, а объем пирамиды V z b c пир z c z z c пар c z z z, Пример Вершинами треугольной пирамиды служат точки (,,) B (,, ), C (,, 7), D (,, ) Найдите объем пирамиды, Решение Находим координаты векторов, совпадающих с ребрами пирамиды, исходящих из какой-либо ее вершины, например : B (,, ), C (,, ), (,, ) D Вычисляем смешанное произведение этих векторов по формуле (): BC D 8 8 (При вычислении определителя воспользовались разложением его по второй строке) Vпир BC D, пир 8 8 V (куб ед) Пример Известны координаты точек (,, ), В(, 7, ), С(,, ), D(,, ) Проверить компланарность векторов B, C, BC Решение Находим координаты векторов B, C и BC :,,,, B ( ), C ( ), (,, ) BC Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю BCBC 9 9 Следовательно, векторы компланарны 9

19 АЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками (, ) и ( B B ) B ( ) ( ) B, можно найти по формуле B B () Координаты точки C ( C, C ), делящей отрезок B в данном отношении определяются по формулам λb λ C, Если точка C делит отрезок B пополам, то B C, λb λ C CB λ, C () B C () Прямую на плоскости можно задать разными способами В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнений ) Уравнение прямой, которая образует с положительным направлением оси O угол α и пересекает ось O в точке (, b) (рис ), имеет вид: k b () и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом ( k tgα угловой коэффициент прямой) Величина k характеризует направление прямой Если, то угол Рис k, то прямая параллельна оси О Если k > наклона прямой к оси О будет острым, при < k тупым Прямая, перпендикулярная к оси О, не имеет углового коэффициента ) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M (, ) в данном направлении, которое определяется угловым коэффициентом k, имеет вид: k( ) () Если k произвольное число, то уравнение () определяет пучок прямых, проходящих через точку M (, ), кроме прямой, параллельной оси O ) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M (, ) перпендикулярно данному вектору n (, B), имеет вид: ( ) B( ) () где вектор n (, B) называется нормальным вектором прямой Если в уравнении () раскрыть скобки и ввести обозначение C B, то получится общее уравнение прямой: B C B (7) ( )

20 M параллельно данному векто- ) Прямая, проходящая через данную точку (, ) ру s ( m, n) (вектор s называется направляющим вектором прямой), может быть задана каноническим уравнением: или параметрическими уравнениями: M mt, nt, m n < t < (8) ) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (, ) ( ), имеет вид:, Угловой коэффициент этой прямой определяется формулой k ( ) ) Уравнение прямой, которая пересекает ось O в точке (, ) (, b), имеет вид: b M и (9) (), ось O в точке и называется уравнением прямой в отрезках (на осях O и O прямая отсекает отрезки и b соответственно) Пусть две прямые l и l заданы уравнениями k b и k b или B C и B C Острый угол ϕ между прямыми l и l находится по формуле: tg k k ϕ или kk cos Условие параллельности прямых l и l : B B ϕ () B B k k или Условие перпендикулярности прямых l и l : k B () BB () k Точка пересечения прямых l и l находится из решения системы: B или

21 k k b, b, или B C, B C M, до прямой, заданной уравнением, вычисляется по формуле: Расстояние d от точки ( ) B C d B () B C Пример Даны вершины треугольника: (, ), B(, ), С(, 7) Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы M; г) уравнение одной из биссектрис; д) угол BC; е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; ж) расстояние от точки С до прямой АВ; з) координаты центра описанной окружности Решение Сначала построим этот треугольник в декартовой системе координат, для того, чтобы в дальнейшем изображать все найденные линии (рис ) Рис а) Так как известны координаты двух точек: А и В прямой, то воспользуемся уравнением (9), подставляя в него вместо чисел и координаты точки А, а вместо чисел и координаты точки В:

22 , откуда ( ) 7( ), 7, 7 7 б) Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону Так как прямые АВ и СН перпендикулярны, то по условию () k 7 7 k CH B Кроме k CH известны координаты точки C: С(, 7) Воспользуемся уравнением прямой (): 7 7 ( ) или 7 в) Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей ей стороны Поэтому координаты точки М найдем по формулам (): M: B C B C 7 M, M По известным координатам точек М и А по формуле (9) составим уравнение медианы или 9 9 г) Биссектрисой внутреннего угла треугольника называется отрезок прямой, который делит этот угол пополам Чтобы найти биссектрису какого-нибудь угла, найдем длины всех сторон треугольника, используя формулу (): Отношение BC C B 8, BC, C BK K не содержит корней, следовательно, найдем уравнение биссектрисы СК Координаты точки К найдем по формулам (), в которых λ Но эти длины не известны Воспользовавшись свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника (она делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам), заменим это отношение уже известным, следовательно: λ Тогда BK BC K C B λ 9 K, B λ K λ λ 7 Уравнение биссектрисы СК находим по формуле (9), используя точки C(, 7) и K(, 9/7):

23 откуда уравнение биссектрисы СК д) Для нахождения угла BC по формуле () в качестве k надо взять угловой коэффициент прямой АВ, он нам уже известен, k B k угловой коэффициент прямой BC, его найдем по формуле (): 7, 7 C B k kbc C B По формуле () tg BC,, следовательно BC е) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны (условие параллельности ()) Следовательно, ( ), откуда k Координаты точки С: (, 7) Воспользуемся уравнением (): ж) Расстояние от точки С(, 7) до прямой АВ вычисляем по формуле () 7 7 ( 7) d CH з) Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника Достаточно найти уравнения двух серединных перпендикуляров Один из них проходит через точку M (, ), т к она делит ВС пополам Так как k BC, то угловой коэффициент искомого перпендикуляра ML можно найти из условия перпендикулярности: по формуле (): k ML Уравнение ML найдем, откуда 7 Координаты точки N, которая делит АВ пополам, находим по формулам (): Так как B B N, N 7, то PN 7 7, откуда 7 k B k Уравнение PN найдем по формуле ():

24 Координаты центра описанной окружности найдем, решив систему уравнений: 7, 7, 7, 7, 7 7,,, 8 D Итак, координаты центра окружности: ( ) Кривые второго порядка 7, 8 Кривой второго порядка называется линия, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением второй степени вида B C D E F, () где, B, C, D, E, F заданные действительные числа ( B C ) В частности, такими линиями являются эллипс (если А и С одинакового знака, те C > ), окружность (если C ), гипербола (если А и С разного знака, те C < ) и парабола (если, C или, C ) Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F и F, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают ), причем эта величина больше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают c ) Если за ось O принять прямую Рис эллипса ( > b), точки ( ), ( ) F F, а за ось O перпендикуляр к оси O, проходящий через середину отрезка F F (рис ), то уравнение эллипса примет вид: ( b c ) b () Это уравнение эллипса называется каноническим Величины и b называются соответственно большой и малой полуосями вершинами эл-,,, B (, b), B (, b) c липса Координаты фокусов: F ( ), F ( ) Число ε ( ) c, c, ε называется эксцентриситетом эллипса, он является «мерой сжатия» эллипса к оси O Начало координат является центром симметрии эллипса (называется центром эллипса) При < b уравнение () также задает эллипс, но у такого эллипса фокусы расположены на оси O, параметр b задает большую полуось, а малую полуось При b эллипс представляет собой окружность радиуса с центром в начале координат Уравнение этой окружности (7)

25 Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек F и F, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают ), причем эта величина меньше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают c ) Вид кривой показан на рис Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: ( b c ) (8) b гиперболы Прямые b ± Величины и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, вершинами ги- точки (, ) и (, ) перболы Координаты фокусов: ( c, ) F ( ) (, ) c, c ε ( > ) F, O центр гиперболы Число ε называется эксцентриситетом, к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности, являются асимптотами гиперболы Уравнение b или b также определяет гиперболу, но у нее фокусы расположены на оси O, параметр b есть действительная полуось, а мнимая Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой Если за ось O выбрать прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно директрисе, а за ось O прямую, проходящую через середину перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису (рис ), то уравнение параболы примет вид: Рис относительно оси O Рис p, (9) p > где p расстояние от фокуса до директрисы ( ) Это уравнение параболы называется каноническим, точка O, вершиной параболы Координаты фокуса: ( ) p F,, уравнение директрисы: p Ось O ось симметрии параболы Парабола не имеет асимптот Уравнение задает параболу, симметричную p

26 Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением (), то видно, что в них Рис B D E Если в уравнении () D E, то центр эллипса или гиперболы, или или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в точке O (, ) Строить кривую в этом случае удобно, перенеся начало координат в эту точку, т е сделав замену X, Y Тогда в новой системе координат с началом в точке O и с осями O X и O Y уравнение кривой будет иметь канонический вид Уравнение эллипса с центром в точке O (, ): Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (, ) ( ) ( ) R Уравнение гиперболы с центром в точке O (, ): ( ) ( ) ( ) ( ) b () O (рис ) имеет вид: () b, Уравнение параболы с вершиной в точке O ( ): ( ) p( ) () () Пример Привести уравнение кривой второго порядка 9 9 к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее Решение Так как, C 9, C >, то заданное уравнение определяет эллипс Приводить к каноническому виду будем выделением полных квадратов с использованием формул ± b b ( ± b) Группируем члены, содержащие одинаковую переменную, вынося коэффициенты при и за скобки: ( 8) 9( ) 9, выделяем в скобках полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа: ( 8 ) 9( 9 9) 9, (( ) ) 9(( ) 9) 9, ( ) 9( ) 8 9, 7

27 делим обе части уравнения на : 8 ( ) 9( ), Получили уравнение эллипса с центром ( ) и малой полуосью b b Эксцентриситет ε c ( ) ( ) 9 O,, большой полуосью ( ), Для вычисления координат вершин и фокусов удобно пользоваться новой системой координат, начало которой находится в точке O, а оси O X и O Y параллельны соответственно осям O и O и имеют те же направления Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т е ( ) X, Y X, Y или В новой системе координат координаты ( Y ) (, ) (, ), (, ) (, ) B (, b) B (, ), (, b) (, ) X, вершин и фокусов будут следующими:, B, B Рис 7 F ( c, ) F (, ), F ( c, ) F (, ) Переходя к старым координатам (, ), получим: (, ) ( 7, ), (, ) (, ), B (,), B (, ), F (, ), F ( c, ) F (, ) По этим данным построим эллипс (см рис 7) АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Плоскость в пространстве Существуют различные способы задания плоскости в пространстве и соответствующие им виды уравнений плоскости ) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M (,, z ) перпендикулярно данному вектору n (, B, C), имеет вид: ( ) B( ) C( z z ), () где вектор n (, B, C) называется нормальным вектором плоскости Если в уравнении () раскрыть скобки и ввести обозначение D B Cz, то получится общее уравнение плоскости: B Cz D ()

28 ) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (,, z ) M (, z ), M (, z ), не лежащие на одной прямой, имеет вид:,, z z z z z z ) Уравнение плоскости, которая пересекает ось O в точке (,, ) (, b, ), ось Oz в точке (,, c), имеет вид: b z c M, (), ось O в точке и называется уравнением плоскости в отрезках (на осях O, O, Oz плоскость отсекает отрезки, b, c соответственно) Уравнения (), () могут быть приведены к виду () Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M (,, ), M (,, ), (,, ) M Решение Подставляем координаты данных точек в формулу (): z Раскрываем определитель разложением по третьей строке: ( ( ) ( z ) ) ( ( ) ( ) ), ( z ) ( ), 9 8z 9 и α имеет вид: Рис () Пусть плоскости α и α заданы уравнениями B Cz D и B Cz D Угол ϕ между плоскостями α и α (рис ) находится как угол между их нормальными векторами n ( ; B; C ) и n ( ; B; C ) по формуле cos n n ϕ () n n Условие перпендикулярности плоскостей n n или B B C C Условие параллельности плоскостей α и () α имеет вид: α 9

29 Расстояние d от точки ( ) вычисляется по формуле B C n n или M, z до плоскости B Cz D, d B (7) B C (8) B Cz C Прямая в пространстве D В зависимости от способа задания прямой в пространстве рассматривают различные ее уравнения ) Уравнения прямой, проходящей через данную точку M (,, z ) параллельно данному вектору s ( m, n, p), имеют вид: z z (9) Вектор s ( m, n, p) m называется направляющим вектором прямой, а уравнения (9) каноническими уравнениями прямой Если приравнять отношения (9) параметру t R, а затем выразить,, z через t, то получатся параметрические уравнения прямой: M n z z mt, nt, ) Уравнения прямой, проходящей через две данные точки (,, z ) (, z ), имеют вид:, pt p () M и ) Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями B Cz D и B Cz D, поэтому система уравнений B B C C z D z z z z z D, ; () задает прямую, а ее уравнения называются общими уравнениями прямой Направляющий вектор такой прямой находится по формуле s n n, где n и n нормальные векторы плоскостей Пусть даны две прямые l и l с направляющими векторами s ( m, n, p ) и s ( m, n, p ) ()

30 За угол ϕ между прямыми l и l принимают угол между их направляющими векторами cos s s m m n n ϕ s s m n p m n p Условие перпендикулярности двух прямых l и m m nn p p m n p p l : условие параллельности: m n p Угол между прямой (9) и плоскостью () определяется формулой sin n s n s p ϕ () B m Bn Cp C Пример Даны вершины пирамиды А(, 7, 8); В(,, ); С(,, 9); D(, 8, 9) (рис ) Составить: а) уравнение ребра АВ; б) уравнение грани BC; в) уравнение высоты DE; г) уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно ребру АВ; д) уравнение плоскости, проходящей через точку D перепендикулярно ребру B Вычислить: е) длину ребра ВС, ж) угол между ребром CD и плоскостью BC; з) угол между координатной плоскостью O и плоскостью BC Решение Рис а) Т к известны координаты точек А и В, то воспользуемся уравнением (): 7 z 8 7 8, или m 7 n p z 8 8 б) Т к известны координаты трех точек плоскости, то воспользуемся уравнением (): z z 8 8 Раскрыв определитель, получим 7 9z 97 уравнение грани BC в) Высота DE перпендикулярна плоскости BC,, а

31 Так как в качестве вектора s можно взять любой вектор, па- s s по формуле (9) уравнение высоты DE запишется в виде: Направляющий вектор s ( m, n, p) плоскости n (, 7, 9) раллельный DE, то в качестве этого вектора берем вектор n, те (, 7, 9) По известной точке D(l, 8, 9) и направляющему вектору (, 7, 9) этой прямой параллелен нормальному вектору 8 7,, 8 г) Направляющий вектор ( ) z 9 9 s прямой АВ будет являться направляющим вектором искомой прямой в силу их параллельности, искомое уравнение будет иметь вид: 8 z 9 8 s,, 8 д) Ребро АВ имеет направляющий вектор ( ) Вектор s перпендикулярен искомой плоскости, значит параллелен n, B, C Следовательно, в качестве нор- нормальному вектору искомой плоскости ( ) мального вектора n можно взять вектор s, те n (,, 8) плоскости (), имеем ( ) ( 8) 8( z 9) 8z 9 или е) Для нахождения длины ребра ВС воспользуемся формулой BC ( ) ( ) ( ) C B C B zc zb BC Используя уравнение ( ) ( ) ( 9 ) ж) Для нахождения синуса угла между ребром CD и плоскостью основания BC воспользуемся формулой () s CD направляющий вектор ребра CD, nbc scd sin ϕ n s BC scd ( D C, D C, zd zc ), CD (,, ) (, 7, 9) n BC s ( 7) ( 9) CD s, n, 8 BC CD s ( ) 7, CD n ( 7) ( 9), BC sinϕ,, rcsin, 7 8, ϕ з) Вычислим косинус угла между координатной плоскостью O и плоскостью основания BC пирамиды,

32 Воспользуемся формулой (): nbc no cos ϕ n n BC O n O,, нормальный n (, 7, 9) нормальный вектор грани BC, ( ) BC вектор плоскости O n BC no, ( 7) ( 9) n, BC n O, 9 cosϕ,7, π rccos, 7 ϕ

33 Задания для контрольной работы Элементы линейной алгебры Задача Даны матрицы, B, C и число α Вычислите: а) B; б) B ; в) T B C α, B, C, α, B, C, α, B, C, α 8, B, C, α, B, C, α, B, C, α 7, B, C, α

34 8, B, C, α 9,, C, α, B, C, α, 7 8 B, C, α, B, C, α 8, B, C, α 7, B, C, α, B, C, α

35 , 7 B, C, α 7, B, C, α 8, B, C, α 9, B, C, α, B, C, α Задача Вычислите определитель

36 Задача Решите систему линейных уравнений двумя способами: а) матричным способом; б) по формулам Крамера Выполните проверку,, 8, 8,

37 8 9, 8, 9 9 7, 7 8, 9 8,, 7 7,, 7, 8, 8 9, 9, 9,,,,,,,, 8,, 9, 8,,,,, 7,, 8,,

38 9 9,, 9,, Задача Решите систему линейных уравнений, применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса) 8,,,,,,, 7,,,,,, 7, 7,,,, 7,,, 8 8, 9, 7, 9 8 8,,,, 7,,

39 ,,,,,,,, 9, 7,,,,,,,,, 7 7 8,, 9, 8 9,,, 9,,, 9, 9, 9, Элементы векторной алгебры Задача Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D Вычислите: а) площадь грани BC ; б) объем пирамиды BCD ; в) проекцию вектора C на направление BD ; г) угол BC д) Проверьте, что векторы B, C, BC компланарны А(, -, -); В(,, ); С(, -, -); D(-, -, ) А(,, ); В(, 9, ); С(,, ); D(7,, 9)

40 А(,, ); В(-, 8, ); С(, 8, 9); D(7,, ) А(, 8, ); В(,, ); С(, 7, ); D(,, 9) А(7,, ); В(, 7, 7); С(,, ); D(,, 7) А(,, ); В(-,, ); С(-,, ); D(,, -) 7 А(,, ); В(, 8, ); С(, 9, 9); D(,, 8) 8 А(9,, ); В(-, 7, ); С(, 7, 8); D(, 9, 7) 9 А(, 7, ); В(,, ); С(,, ); D(, 9, 8) А(,, ); В(,, ); С(,, ); D(,, ) А(,, ); В(-,, ); С(-,, ); D(-,, -) А(,, ); В(, 7, ); С(, 8, 8); D(,, 7) А(8,, ); В(-,, ); С(,, 7); D(, 8, ) А(-,, ); В(,, ); С(,, ); D(, 8, 7) А(,, ); В(,, ); С(,, -); D(,, ) А(, -, ); В(-,, -); С(-, -, ); D(-,, -) 7 А(,, ); В(,, ); С(-, 7, 7); D(,, ) 8 А(7,, ); В(-,, ); С(,, ); D(, 7, ) 9 А(-,, -); В(, -, ); С(,, ); D(, 7, ) А(, -, -); В(,, ); С(,, ); D(-,, ) Аналитическая геометрия на плоскости Задача Дан треугольник с вершинами, В, С Найдите: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы M; г) уравнение одной из биссектрис; д) угол BC ; е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; ж) расстояние от точки С до прямой АВ; з) координаты центра описанной окружности А(, -); В(, -); С(-, -9) А(9, -9); В(, ); С(-, -) А(9, -); В(7, ); С(-, -)

41 А(7, -8); В(, ); С(-, -) А(, -7); В(-, -); С(, ) А(, -); В(, ); С(-, -) 7 А(, -); В(, ); С(, -) 8 А(, -); В(, -); С(-7, -) 9 А(8, -7); В(, ); С(-, -) А(, -9); В(-, -); С(, ) А(, -); В(-, ); С(-7, -) А(, -); В(8, ); С(, -7) А(, -); В(, -); С(-, -) А(9, -9); В(, ); С(-, -) А(9, -); В(-, -); С(, ) А(8, -); В(-, ); С(-, -8) 7 А(, ); В(, ); С(, -8) 8 А(, -9); В(, -); С(-, -) 9 А(, -); В(, ); С(-7, -) А(, -); В(, -8); С(, ) Кривые второго порядка Задача 7 Приведите уравнение кривой к каноническому виду Укажите координаты центра (для эллипса и гиперболы), вершин и фокусов; составьте уравнение директрисы (для параболы), уравнения асимптот (для гиперболы); найдите эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) Постройте кривую

42 Аналитическая геометрия в пространстве Задача 8 Вершины треугольной пирамиды находятся в точках, B, C и D Составьте: а) уравнение ребра B; б) уравнение грани BC; в) уравнение высоты DE; г) уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно ребру B; д) уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру B Вычислите: е) длину ребра BC; ж) угол между ребром CD и плоскостью BC; з) угол между координатной плоскостью O и плоскостью BC А(, -, -); В(,, ); С(, -, -); D(-, -, ) А(,, ); В(, 9, ); С(,, ); D(7,, 9) А(,, ); В(-, 8, ); С(, 8, 9); D(7,, ) А(, 8, ); В(,, ); С(, 7, ); D(,, 9) А(7,, ); В(, 7, 7); С(,, ); D(,, 7) А(,, ); В(-,, ); С(-,, ); D(,, -) 7 А(,, ); В(, 8, ); С(, 9, 9); D(,, 8) 8 А(9,, ); В(-, 7, ); С(, 7, 8); D(, 9, 7) 9 А(, 7, ); В(,, ); С(,, ); D(, 9, 8) А(,, ); В(,, ); С(,, ); D(,, ) А(,, ); В(-,, ); С(-,, ); D(-,, -) А(,, ); В(, 7, ); С(, 8, 8); D(,, 7) А(8,, ); В(-,, ); С(,, 7); D(, 8, ) А(-,, ); В(,, ); С(,, ); D(, 8, 7) А(,, ); В(,, ); С(,, -); D(,, )

43 А(, -, ); В(-,, -); С(-, -, ); D(-,, -) 7 А(,, ); В(,, ); С(-, 7, 7); D(,, ) 8 А(7,, ); В(-,, ); С(,, ); D(, 7, ) 9 А(-,, -); В(, -, ); С(,, ); D(, 7, ) А(, -, -); В(,, ); С(,, ); D(-,, )

44 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Шипачев, ВС Высшая математика: учеб для вузов / В С Шипачев Москва : Высшая школа, Бугров, Я С Высшая математика: учеб для вузов Т : Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я С Бугров, С М Никольский Москва : Дрофа, Ефимов, Н В Краткий курс аналитической геометрии / Н В Ефимов Москва : ФИЗМАТЛИТ, Ильин, В А Линейная алгебра / В А Ильин, Э Г Позняк Москва : ФИЗМАТЛИТ, Гусак, А А Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справ пособие к решению задач / А А Гусак Минск : ТетраСистемс, Шипачев, ВС Задачник по высшей математике: учеб пособие для вузов / В С Шипачев Москва : Высшая школа, 7 Данко, ПЕ Высшая математика в упражнениях и задачах / ПЕ Данко, АГ Попов, ТЯ Кожевникова Ч Москва : ОНИКС век,

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Математика Часть I Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Санкт-Петербург ББК я М Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Определители и системы линейных уравнений Матрицы. Основные определения. Определение. Матрицей размера m где m- число строк - число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики Е.Р. Газизов, С.Е. Газизова, А.Р. Газизов Линейная алгебра Методические указания Казань 6

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее