Н. И. КОКОВИН, Т. М. КОНДРАТЬЕВА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ (ЭПЮРОВ) ЗА I СЕМЕСТР

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Н. И. КОКОВИН, Т. М. КОНДРАТЬЕВА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ (ЭПЮРОВ) ЗА I СЕМЕСТР"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики Н. И. КОКОВИН, Т. М. КОНДРАТЬЕВА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ (ЭПЮРОВ) ЗА I СЕМЕСТР Москва 2013

2 УДК 515 Коковин Н. И., Кондратьева Т. М. Начертательная геометрия. Методические указания по выполнению домашних заданий (эпюров) за I семестр. - М.: МГСУ, с. Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по начертательной геометрии подготовлены в соответствии с учебной программой для строительных специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов 1 курса. В работе изложены содержание и требования к выполнению домашних индивидуальных заданий по начертательной геометрии (эпюров 1, 2, 3), рассмотрены теоретические вопросы и решения типовых задач. В подготовке сборника активное участие принимали студенты МГСУ Зонтов Р. А. и Попов А. В. 2

3 Оглавление Введение... 5 Часть I... 5 Методические указания по выполнению эпюра Содержание задания... 5 Оформление эпюра... 5 Построение проекций заданных точек на ортогональном чертеже... 5 Задача 1. Построение следов плоскости P... 6 Построение следов плоскости BCD, расположенной в I четверти... 6 (для вечернего и заочного отделений)... 6 Построение следов плоскости и определение видимости треугольника... 7 (для дневного отделения)... 7 Определение видимости треугольника... 7 Задача 2. Определение расстояния от точки A до плоскости P... 7 Проведение через точку A перпендикуляра к плоскости P(BCD)... 8 Определение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью P(BCD) точки K... 8 Определение длины перпендикуляра (натуральной величины AK) Задача 3. Проведение плоскости Q, параллельной плоскости P Построение точки, отстоящей от плоскости P(BCD) на 30 мм Построение плоскости Q, параллельной заданной плоскости P и проходящей через заданную точку Задача 4. Проведение через точку плоскости R, перпендикулярной произвольной стороне треугольника BCD Построение плоскости, проходящей через произвольно взятую точку E и перпендикулярной любой стороне треугольника BCD Определение точки пересечения построенной плоскости со стороной CD Задача 5. Определение угла наклона плоскости P к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций Определение углов наклона плоскости с использованием следов плоскости Определение углов наклона плоскости без использования следов плоскости Часть II Методические указания по выполнению эпюра Содержание задания Оформление эпюра Глава I. Сечение поверхности плоскостью Глава II. Пересечение поверхности с плоскостью частного положения Пересечение пирамиды с проецирующей плоскостью Пересечение конуса с проецирующей плоскостью Пересечение цилиндра вращения с проецирующей плоскостью Пересечение сферы с проецирующей плоскостью Пересечение конуса с проецирующей плоскостью Глава III. Проекции геометрических тел с вырезами Построение проекций пирамиды с вырезом

4 2. Построение проекций конуса с вырезом Построение проекций сферы с вырезом Глава IV. Определение натуральной величины сечения Способ совмещения Способ замены плоскостей проекций Часть III Методические указания по выполнению эпюра Содержание задания Оформление эпюра Глава I. Теоретические основы построения линии пересечения поверхностей Взаимное пересечение многогранников Взаимное пересечение поверхностей Глава II. Типы вариантов заданий на пересечение поверхностей Глава III. Построение развёрток Развертка призмы Развертка пирамиды Развёртка прямого кругового цилиндра Развёртка прямого кругового конуса Развёртка сферы Развёртка поверхности вращения Развёртка наклонного кругового цилиндра Развёртка поверхности тора Приложение Примеры заполнения основной надписи Примеры выполнения эпюров Варианты заданий

5 Введение Настоящее пособие имеет целью облегчить и сделать более продуктивной самостоятельную работу студентов по выполнению домашних заданий (эпюров 1, 2, 3) по темам «Точка, прямая, плоскость», «Способы преобразования проекций», «Поверхности». В пособии подробно изложен порядок решения типовых задач, даны необходимые методические указания по их графическому оформлению и приведены теоретические положения, на основе которых проводится решение. В пособии приведены варианты индивидуальных заданий. Перед выполнением эпюров следует для более полного освоения теоретического материала, помимо изучения пособия, повторить соответствующий раздел по одному из рекомендованных учебников по начертательной геометрии. Глубокое освоение теории в процессе подготовки к выполнению эпюров, качественное и осмысленное их решение являются залогом успеха на экзамене, так как каждая из трех задач, включенных в экзаменационный билет, соответствует тематике соответствующего эпюра. Часть I Методические указания по выполнению эпюра 1 Содержание задания Даны точка А и плоскость P, определяемая тремя точками B, C и D. Требуется на ортогональном чертеже решить следующие задачи: 1. Построить следы плоскости P, заданной треугольником BCD, и заштриховать его видимую часть. 2. Определить расстояние от точки A до плоскости P( BCD). 3. Построить плоскость, параллельную плоскости BCD и отстоящую от нее на три масштабные единицы (для дневного отделения). Построить плоскость, параллельную плоскости BCD и проходящую через т. A (для вечернего и заочного отделений). 4. Через произвольно взятую точку E провести плоскость R, перпендикулярную любой стороне треугольника BCD, и определить точку пересечения этой стороны с плоскостью R. 5. Определить угол наклона плоскости BCD к горизонтальной плоскости проекций. Оформление эпюра Эпюр выполняется на одном листе формата А3 (297x420) тушью. Видимая часть треугольника выделяется штриховкой или отмывкой. Координаты точек для индивидуального задания берут из таблицы по указанию преподавателя. Образец выполнения задания приведен на приложении. Построение проекций заданных точек на ортогональном чертеже Выполнение работы начинается с построения проекций точек A, B, C и D по их координатам. Задаемся следующими положительными направлениями осей проекций (рис. 1.1): ось X налево, ось Y вниз, ось Z вверх. Для построения проекций какой-либо точки достаточно отложить от начала координат по оси X величину координаты X и через полученную точку провести прямую, пер- 5

6 пендикулярную оси X. Если на этой прямой от оси X отложить величину координаты Y заданной точки, мы получим на эпюре её горизонтальную проекцию. Для получения фронтальной проекции точки достаточно на этой прямой отложить величину координаты точки Z. При откладывании координат необходимо учитывать их знак (рис. 1.1). Так, например, точка C имеет отрицательную координату Y, поэтому ее величина отложена вверх от оси X. Соединяя одноименные проекции точек В, С, D прямыми линиями, получим горизонтальную bcd и фронтальную b c d проекции треугольника BCD, который определяет заданную плоскость Р. Задача 1. Построение следов плоскости P 6 Рис. 1.1 Как известно, любая прямая, принадлежащая плоскости, пересечет плоскость проекций в точке, лежащей на линии пересечения данной плоскости с плоскостью проекций, т.е. на следе плоскости (рис. 1.2). Таким образом, построение следов плоскости сводится к отысканию точек встречи двух произвольных прямых, лежащих в заданной плоскости, с плоскостями проекций, т. е. к построению следов этих прямых. Соединив эти следы попарно между собой прямыми линиями, получим искомые следы заданной плоскости. Проверкой правильности построения будет пересечение обоих следов в точке, лежащей на оси X (точка схода следов). Как известно, для нахождения горизонтального следа прямой нужно из точки пересечения фронтальной проекции этой прямой с осью X восстановить к оси перпендикуляр до встречи с горизонтальной проекцией прямой (рис. 1.2). Точка встречи будет являться горизонтальным следом данной прямой и его горизонтальной Рис. 1.2 проекцией. Для нахождения фронтального следа прямой следует из точки пересечения ее горизонтальной проекции с осью X восстановить перпендикуляр к оси до встречи с фронтальной проекцией прямой. Точка встречи будет фронтальным следом прямой и его фронтальной проекцией. Построение следов плоскости BCD, расположенной в I четверти (для вечернего и заочного отделений) Для построения горизонтального следа P H плоскости P рассмотренным выше способом построены точки M 1 и M 2 (горизонтальные следы прямых BC и CD). Фронтальный след P V найдем с помощью точки N 1 (фронтального следа прямой CD) и точки схода следов P X. (рис. 1.3)

7 Рис. 1.3 Рис. 1.4 Построение следов плоскости и определение видимости треугольника (для дневного отделения) На рис. 1.4 в качестве упомянутых выше прямых взяты BC и DC. Точка пересечения горизонтальной проекции прямой DC с осью X (точка n 2 ) является горизонтальной проекцией фронтального следа этой прямой. Фронтальный след и его фронтальная проекция (точка n 2 ) находятся на пересечении перпендикуляра, восстановленного к оси X из точки n 2, с фронтальной проекцией прямой DC. Аналогично найдем проекции фронтального следа BC прямой (точки n 1 и n 1 ). Прямая линия, соединяющая точки n 1 и n 2 фронтальные следы прямых BC и DC, является искомым фронтальным следом P V плоскости, заданной точками B, C и D. Точка пересечения этой прямой с осью X является точкой схода следов P X,через которую должен проходить горизонтальный след P H. Для проведения этого следа достаточно найти горизонтальный след любой прямой, расположенной в плоскости BCD. На рис. 1.4 найден горизонтальный след прямой BD. Точка пересечения фронтальной проекции этой прямой с осью X (точка m 1 ) является фронтальной проекцией горизонтального следа прямой BD. Перпендикуляр к оси X, восстановленный из этой точки пересечет горизонтальную проекцию прямой BD в точке m 1, являющейся горизонтальным следом этой прямой и его горизонтальной проекцией. Достаточно соединить точку с построенной ранее точкой P X прямой линией, чтобы получить искомый горизонтальный след P H плоскости BCD. Определение видимости треугольника Построенные следы отсекают на проекциях треугольника BCD те его части, которые выходят за пределы первого угла пространства, поэтому на рис. 1.4 видимой является часть треугольника, примыкающая к вершинам B и D, расположенным в I четверти. Ее проекции условно заштрихованы. Часть треугольника с вершиной C находится во II четверти. Ее проекции изображены линией невидимого контура. Задача 2. Определение расстояния от точки A до плоскости P Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Таким образом, поставленная задача сводится к проведению через точку A прямой, перпендикулярной к плоскости P, нахождению точки встречи этой прямой с плоскостью и определению истинной величины отрезка прямой, заключенного между точкой A и точкой встречи. 7

8 Проведение через точку A перпендикуляра к плоскости P(BCD) Как известно, если прямая перпендикулярна какой-либо плоскости, то ее проекции перпендикулярны одноименным следам этой плоскости или соответствующим проекциям линий уровня этой плоскости. 1. Проведение перпендикуляра к плоскости с использованием следов плоскости Как видно на рис. 1.5 горизонтальная проекция перпендикуляра (ГПП) опущенного из точки A на плоскость P, перпендикулярна ее горизонтальному следу P H, а фронтальная проекция перпендикуляра (ФПП) соответственно перпендикулярна P V. 2. Проведение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником BCD, без использования следов плоскости. Для решения задачи (рис. 1.6) в плоскости BCD строим горизонталь (d1,d 1 ) и фронталь (b2,b 2 ). Затем проекции перпендикуляра проводят через точки (a ) и (a) под прямым углом к фронтальной проекции фронтали (ФПФ) и горизонтальной проекции горизонтали (ГПГ) соответственно. Вторым этапом определения искомого расстояния будет отыскание точки встречи перпендикуляра с плоскостью BCD. Определение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью P(BCD) точки K Эта задача решается по следующему плану: 1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную (проще всего проецирующую) плоскость. 2. Построить проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. 3. Отметить точку пересечения одноименных проекций линии пересечения и перпендикуляра, являющуюся проекцией искомой точки встречи. Построить вторую проекцию этой точки. Рис. 1.5 Рис Определение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью P с использованием следов плоскости. Рассмотрим решение этой задачи для нашего случая (рис. 1.7). Перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость P, заключен нами в горизонтально-проецирующую плоскость S (горизонтальный след S H этой плоскости проходит по горизонтальной проекции перпендикуляра). Точки пересечения одноименных следов плоскостей P и S (точки M 3 и N 3 ) определяют линию пересечения этих плоскостей. Построив проекции этих точек и соединив между собой их одноименные проекции, получаем проекции линии пересечения заданной плоскости P и вспомогательной плоскости S (прямые m 3 n 3 и m 3 n 3 ). Точка пересечения фронтальных проекций перпендикуляра и линии пересечения (точка k ) является фронтальной проекцией основания перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость BCD. 8

9 Рис. 1.7 Горизонтальная проекция точки K найдется в проекционной связи на горизонтальной проекции перпендикуляра. 2. Определение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью BCD без использования следов плоскости Следуя плану решения задачи, через перпендикуляр проводим проецирующую плоскость S (рис. 1.8); S H и S V ее горизонтальный и фронтальный следы соответственно. Для большей наглядности пояснения приведены для случая, когда BCD целиком находится в видимой части пространства. Затем определяем горизонтальную проекцию (m 3 n 3 ) линии пересечения плоскостей BCD и S. Ее фронтальную проекцию (m 3 n 3 ) находим из условия принадлежности точек M 3 и N 3 сторонам треугольника BD и BC соответственно. На пересечении m n с фронтальной проекцией перпендикуляра определяем фронтальную проекцию (k ) искомой точки K. Горизонтальная проекция (k) определяется по линии связи на горизонтальной проекции перпендикуляра. Рис

10 Рис. 1.9 Определение длины перпендикуляра (натуральной величины AK) Определение истинной величины отрезка AK проводим способом прямоугольного треугольника. Одним из катетов такого треугольника является проекция отрезка, а вторым - разность координат концевых точек отрезка, снятая со второй плоскости проекций (рис. 1.9). Гипотенуза этого треугольника является искомой истинной величиной отрезка. На рис. 1.9 дана схема, поясняющая этот способ определения. В треугольнике угол KFA при вершине F прямой, а катет KF равен по длине фронтальной проекции отрезка AK. Второй катет этого треугольника - AF равен разности координат Y концевых точек отрезка AK. Таким образом, и на эпюре, как и в аксонометрии, следует под прямым углом к фронтальной проекции отрезка AK отложить разность координат Y точек K и A ( Y), получая тем самым катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является искомая истинная величина расстояния от точки A до плоскости BCD (см. рис. 1.9 отрезок k A 1 ). Задача 3. Проведение плоскости Q, параллельной плоскости P и отстоящей от нее на 30 мм Эта задача сводится к построению точки, отстоящей от плоскости P на 30 мм, и проведению через нее плоскости, параллельной заданной плоскости. Построение точки, отстоящей от плоскости P(BCD) на 30 мм Построим нужную нам точку на перпендикуляре, опущенном из точки A на плоскость P (рис.1.10). На эпюре уже определена истинная величина этого перпендикуляра (см. рис. 1.9 отрезок k A 1 ). Отложив на этой истинной величине от точки k заданные 30 мм, получаем точку T 1, а опустив из этой точки перпендикуляр на фронтальную проекцию отрезка a k, получаем точку t фронтальную проекцию точки, отстоящей от плоскости P на 30 мм. Горизонтальная проекция точки t найдется в проекционной связи на горизонтальной проекции перпендикуляра ak. 10

11 Построение плоскости Q, параллельной заданной плоскости P и проходящей через заданную точку Для проведения через точку плоскости, параллельной заданной плоскости, следует провести через точку прямую, параллельную этой плоскости, построить следы прямой и через них провести следы искомой плоскости, параллельно следам заданной плоскости. Проще всего провести через точку T фронталь или горизонталь, так как нам известно направление их проекций. На примере решения (рис. 1.10) через точку T проведена горизонталь, фронтальная проекция которой проходит через фронтальную проекцию точки t и параллельна оси X (ФПГ), а горизонтальная проекция проходит через горизонтальную проекцию точки t, параллельно горизонтальному следу плоскости P (ГПГ). Рис Находим фронтальный след этой горизонтали (точка n 4 ) и проводим через него фронтальный след искомой плоскости Q, параллельно фронтальному следу плоскости P. Точка пересечения построенного следа с осью X является точкой схода следов, через которую проводим горизонтальный след искомой плоскости, параллельно горизонтальному следу плоскости P или, что одно и тоже, параллельно горизонтальной проекции проведенной горизонтали (ГПГ). Построенная плоскость Q удовлетворяет поставленному условию, так как она параллельна заданной плоскости P (одноименные следы параллельны) и проходит через точку T, отстоящую от плоскости P на 30 мм (так как содержит в себе прямую, проходящую через точку T). Задача 4. Проведение через точку плоскости R, перпендикулярной произвольной стороне треугольника BCD Как известно, если плоскость перпендикулярна какой-либо прямой, то следы плоскости будут перпендикулярны одноименным проекциям этой прямой. Построение плоскости, проходящей через произвольно взятую точку E и перпендикулярной любой стороне треугольника BCD На чертеже (рис. 1.11) следы искомой плоскости должны быть перпендикулярны одноименным проекциям выбранной нами стороны треугольника BCD, например стороны CD. Через точку E мы можем провести главную прямую искомой плоскости, например горизонталь. Нам известны направления ее проекций: горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) должна быть перпендикулярна одноименной проекции прямой СD (cd), а фронтальная (ФПГ) параллельна оси X. 11

12 Рис Найдя фронтальный след (рис. 1.11) проведенной горизонтали (точка n 5 ) мы получаем точку, через которую должен проходить фронтальный след искомой плоскости R, перпендикулярно фронтальной проекции прямой СD (R V ). Продолжим этот след до пересечения с осью X. Получаем точку схода следов R X, через которую, перпендикулярно горизонтальной проекции прямой СD, проводим горизонтальный след плоскости R H. Определение точки пересечения построенной плоскости со стороной CD Определение точки пересечения стороны СD с построенной плоскостью R производится по этапам: 1. Через прямую CD проводится вспомогательная проецирующая плоскость (T H). Ее горизонтальный след T H совпадает с горизонтальной проекцией прямой (cd), а фронтальный T V перпендикулярен оси OX. 2. Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости T с ранее построенной плоскостью R - прямая (m 6 n 6, m 6 n 6 ). 3. Точку пересечения стороны CD с построенной плоскостью определяют ее проекции (k 1, k 1 ). Задача 5. Определение угла наклона плоскости P к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций Угол наклона плоскости P к горизонтальной плоскости проекций H (угол α), получаем между линией наибольшего ската ЛНС плоскости P и ее горизонтальной проекцией. Линия наибольшего ската плоскости перпендикулярна горизонтальному следу плоскости P H, а также горизонталям этой плоскости (рис.1.12). 12

13 Рис Рис Рис Определение углов наклона плоскости с использованием следов плоскости Горизонтальная проекция mn линии наибольшего ската перпендикулярна горизонтальному следу плоскости P H ; фронтальная проекция m n построена как проекция линии, принадлежащей плоскости (рис. 1.13). Искомый угол определим с помощью прямоугольного треугольника, построенного на горизонтальной проекции линии наибольшего ската (ЛНС) плоскости. Аналогично проводятся построения для определения угла β (рис. 1.14). 2. Определение углов наклона плоскости без использования следов плоскости Для определения угла α проводим в плоскости горизонталь (d1, d 1 ). Горизонтальная проекция линии наибольшего ската плоскости P перпендикулярна к горизонтальной 13

14 Рис Рис проекции горизонтали (ГПГ) (рис. 1.15). Остальные построения аналогичны предыдущему решению. Построения для определения угла β наклона плоскости BCD к фронтальной плоскости проекций V приведены на рис *** 14

15 Часть II Методические указания по выполнению эпюра 2 Содержание задания Построить три проекции заданных геометрических форм; Преобразованием проекций определить натуральную величину сечения геометрических форм плоскостью, указанной преподавателем. Оформление эпюра Эпюр выполняется на листе формата А3 тушью или в карандаше. Индивидуальные задания берутся из таблицы по указанию преподавателя. Основная надпись и оформление эпюра выполняется в соответствии с приложением. Глава I. Сечение поверхности плоскостью Варианты заданий представляют собой сочетание наиболее часто встречаемых геометрических тел: призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, шара и проходящих через них секущих плоскостей. В результате пересечения поверхности плоскостью получается плоская фигура (сечение), форма которой зависит от вида поверхности и положения секущей плоскости. Так, при пересечении многогранника с плоскостью получается многоугольник, вершинами которого будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (рис. 2.1). В зависимости от расположения секущих плоскостей относительно оси цилиндра на рис. 2.2 показаны полученные сечения окружность, прямоугольник, эллипс. На рис. 2.3 приведены различные сечения прямого кругового конуса в зависимости от расположения секущих плоскостей: 1. если секущая плоскость расположена по отношению к оси конуса под углом 90, то в сечении получается окружность; Рис. 2.1 Рис

16 Рис если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечение треугольник; 3. если секущая плоскость имеет угол наклона α меньший, чем угол β наклона образующей конуса к горизонтальной плоскости (секущая плоскость пересекает все образующие), то в сечении получается эллипс; 4. если α = β (секущая плоскость параллельна одной образующей конуса), то сечение парабола; 5. если α > β 90 (секущая плоскость параллельна двум образующим), то сечение гипербола. Глава II. Пересечение поверхности с плоскостью частного положения 1. Пересечение пирамиды с проецирующей плоскостью Если секущая плоскость частного положения, то построение линии пересечения ее с поверхностью значительно упрощается, так как одна проекция этой линии становится известной (она совпадает со следом секущей плоскости см. рис. 2.4). Задача сводится к определению недостающих проекций точек линии пересечения, которые находятся в этом случае как точки, лежащие на данной поверхности. На рис. 2.5 для определения горизонтальных и профильных проекций сечения пирамиды отмечены точки пересечения фронтальных проекций ребер с фронтальным следом секущей плоскости. Горизонтальные и профильные проекции этих точек найдены на соответствующих проекциях ребер при помощи линий связи и соединены в определенном порядке. 16 Рис. 2,4

17 Рис Пересечение конуса с проецирующей плоскостью На рис. 2.6 секущая плоскость Р пересекает боковую поверхность конуса по эллипсу (α<β), фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным следом (Р V ) плоскости. Горизонтальную проекцию эллипса строим по точкам: задаем фронтальные проекции ряда его точек и находим их горизонтальные проекции. Сначала строим габаритные точки, т. е. точки, лежащие на большой и малой осях эллипса. На фронтальной проекции точки с и d лежат на крайних образующих, горизонтальные проекции которых совпадают с центровой линией, параллельной оси Ох. Опустив из точек с, d линии проецирующей связи до пересечения с центровой линией на горизонтальной проекции, получим точки с и d. Для построения горизонтальной проекции малой оси АВ на фронтальной проекции через середину большой оси c d эллипса проводим горизонтальную плоскость Q, которая рассечет конус по окружности. На горизонтальной плоскости проекций на пересечении линий проецирующей связи точек c и d с окружностью получаем точки а и b. Промежуточные точки можно строить аналогично точкам с и d, а можно использовать образующие конуса, как это и сделано на рисунке. Через горизонтальные проекции точек проводим по лекалу плавную кривую эллипс. Рис

18 3. Пересечение цилиндра вращения с проецирующей плоскостью Рис. 2.7 Рис. 2.8 Рис На рис. 2.7 секущая плоскость P фронтальнопроецирующая. Фронтальная проекция сечения цилиндра изобразится прямой линией, совпадающей с фронтальным следом P V. Горизонтальная проекция сечения круг, совпадающий с горизонтальной проекцией основания цилиндра. Строим только профильную проекцию сечения (см. рисунок). 4. Пересечение сферы с проецирующей плоскостью На рис. 2.8 даны две проекции сферы и фронтально проецирующей плоскости P. Плоскость P пересекает сферу по кругу. Фронтальная проекция круга будет прямой линией, совпадающей с фронтальным следом P V плоскости P. Горизонтальная проекция сечения будет в виде эллипса, так как круг наклонен к плоскости H. Чтобы получить отдельные точки сечения, пересечем шар несколькими горизонтальными плоскостями (плоскости S 1, S 2, S 3 ). Эти плоскости пересекут сферу по окружности, каждая из которых пересекается с плоскостью в двух точках, так например плоскость S 1 в точках III и IV. Соединяя горизонтальные проекции точек плавной линией, получим горизонтальную проекцию сечения эллипс. 5. Пересечение конуса с проецирующей плоскостью На рис. 2.9 показано построение сечения конуса горизонтально проецирующей плоскостью S. Искомое сечение гипербола.

19 Глава III. Проекции геометрических тел с вырезами 1. Построение проекций пирамиды с вырезом Рис Рис Рассмотрим построение проекций пирамиды с вырезом при помощи вспомогательных секущих плоскостей, параллельных плоскостям проекций. На рис показано построение выреза в треугольной пирамиде. В этом случае удобно применять горизонтальные секущие плоскости Р и Q. В результате пересечения пирамиды этими плоскостями получаются два треугольника, подобные основанию. Пересечение рёбер пирамиды с этими треугольниками дает точки I, III, V, VI. Соединяя проекции этих точек, с точками 2,7 и 4,8 получаем горизонтальную проекцию выреза на поверхности пирамиды. На рис показано построение линий пересечения треугольной пирамиды с гранями отверстия в виде треугольной призмы (три фронтально проецирующие плоскости). В данном случае удобно использовать прямые, проходящие через вершину пирамиды (SM и SN). Проводим их фронтальные проекции через фронтальные проекции ребер призмы (1 1 и 2 2 ). Строим горизонтальные проекции этих образующих и находим на них проекции точек входа и выхода ребер призмы. Проекции точек III, III и IV отмечаем на профильном виде (3, 3, 4 ) и переносим их на вид сверху. Все полученные точки на проекциях соединяем с учетом их видимости.

20 2. Построение проекций конуса с вырезом На рис изображен конус с вырезом, полученным от двух проецирующих секущих плоскостей Р и Q. Плоскость Р горизонтальная, расположена параллельно основанию конуса, пересекая который она даст в сечении окружность радиуса R. Плоскость Q проецирующая, имеет угол наклона меньший, чем угол наклона образующей к горизонтальной плоскости проекций. Прямая АВ является линией пересечения этих плоскостей. В сечении получают неполный эллипс. Рис Построение проекций сферы с вырезом На рис показано построение проекций шара (сферы) с вырезом, полученным от проецирующих секущих плоскостей P и Q. Для построения наклонного сечения плоскостью Q определяем характерные точки, расположенные на очерковых окружностях. Точка I (1 ) наивысшая точка сечения. На виде сверху её проекция 1 находится на осевой линии. Точки А и В (а, b) лежат на очерковой окружности шара. На фронтальном виде их проекции а, b расположены на осевой линии шара. Для определения большой оси эллипса, в который проецируется окружность сечения плоскостью Q на горизонтальную плоскость проекций, на фронтальном виде из центра О опускают к следу Q V перпендикуляр О большая ось эллипса. Для нахождения промежуточных точек используют вспомогательные горизонтальные секущие плоскости, которые рассекают шар по окружностям. Эти окружности на главном (фронтальном) виде проецируются в виде прямых линий, а на виде сверху в натуральную величину. Имея фронтальные проекции 2 2 точек, определяют их горизонтальные проекции на соответствующих проекциях окружностей вида сверху. 20

21 Рис На рис даны проекции полушара с выемкой, форма которой задана на вертикальной проекции. Горизонтальные проекции е и f точек E и F построены по их фронтальным проекциям. Для получения горизонтальных проекций точек A, B, C и D нижнего основания выемки проводим через эти точки горизонтальную плоскость P, которая рассекает поверхность полушара по окружности M (m, m). На горизонтальную проекцию этой окружности переносим искомые точки. Полученные на горизонтальной проекции точки выемки соединяем между собою, как указано на рисунке. Профильную проекцию полушара с выемкой получим на основании фронтальной и горизонтальной проекций. При этом следует иметь в виду, что линия AEB (aeb, а е b ) и симметричная ей линия CFD (cfd, с f b ) представляют собою дуги окружности, и при построении этих точек на боковом виде целесообразно на горизонтальной плоскости провести профильную секущую плоскость (Q H ), проходящую через указанные точки A, E, B. Плоскость рассечет полушар по кругу N (n,n,n ), на котором и будут получены искомые точки A, E, B. Аналогично строятся и боковые проекции точек C, F, Рис D. 21

22 Глава IV. Определение натуральной величины сечения 1. Способ совмещения Рис Рис На рис и рис призма пересечена проецирующей плоскостью Р, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекции V. Истинная величина сечения получена путем вращения секущей плоскости Р и расположенной в ней фигуры сечения вокруг горизонтального следа Р H до совпадения с горизонтальной плоскостью проекций. Этот прием носит название способа совмещения. Для определения натуральной величины сечения пирамиды (рис. 2.17) необходимо повернуть секущую плоскость Р с изображенным на ней сечением вокруг горизонтального следа Р H до совмещения ее с горизонтальной плоскостью проекций H. При этом совмещении точки сечения I, II, III, IV, лежащие на плоскости Р, опишут в пространстве дуги окружностей, параллельные плоскости проекций V. Проекции этих дуг на фронтальную плоскость проекций V изобразятся в виде дуг окружностей того же радиуса, а на горизонтальной плоскости проекций Н они спроецируются прямыми, параллельными оси ОХ. Рис

23 Пересечение горизонтальных проекций дуг с перпендикулярами, проведенными из точек пересечения фронтальных проекций дуг с осью ОХ, дадут точки I, II, III, IV. Соединив эти точки прямыми, получим на горизонтальной плоскости проекций Н, истинную величину сечения. На рис изображен круговой цилиндр и фронтально проецирующая плоскость P наклоненная к плоскости Н. Плоскость P пересекает боковую поверхность по эллипсу. Для построения истинной величины сечения на боковой поверхности цилиндра нанесены восемь образующих и на них отмечены восемь точек, принадлежащих эллипсу сечения. Вращая плоскость Р вместе с сечением вокруг следа P H до совмещения с плоскостью Н, получим истинную величину сечения. Построение совмещенно- Рис го положения отдельных точек эллипса указано на рис стрелками. Аналогично проведено построение натуральной величины (эллипс) сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью P, показанное на рис На рис при определении натуральной величины сечения пирамиды горизонтально проецирующей плоскостью, вращение производится относительно фронтального следа. При пересечении сферы плоскостью в сечении получается окружность. В зависимости от расположения секущей плоскости относительно плоскостей H и V окружность может проецироваться в натуральную величину, в виде эллипса или в виде отрезка прямой. На рис даны две проекции сферы и фронтально проецирующая плоскость Р, наклоненная к плоскости H под углом α. Рис Рис

24 Рис Для построения истинной величины сечения достаточно построить совмещенное с плоскостью Н положение центра окружности сечения (точку К) и из нее радиусом r провести окружность, эта окружность истинная величина сечения. 2. Способ замены плоскостей проекций На рис способом замены плоскостей проекций построена натуральная величина сечения треугольной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью Р. Для этого параллельно фронтальной проекции сечения на произвольном расстоянии от нее проведена новая ось Ох 1, являющаяся линией пересечения плоскости V с новой плоскостью проекций H 1, расположенной параллельно по отношению к сечению. Для построения проекций точек 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, определяющих натуральную величину сечения, от новой оси Ох 1 откладываем расстояния у 1, у 2, у 3, у 4, равные расстояниям от проекций 1, 2, 3, 4 до оси Ох. Рис *** 24

25 Часть III Методические указания по выполнению эпюра 3 Содержание задания 1. Определить линию взаимного пересечения заданных поверхностей. 2. Построить развёртку одной из поверхностей и нанести на неё линию пересечения. Номер варианта эпюра студенту указывает преподаватель. Работа выполняется на двух листах формата А3. Рекомендуется сначала выполнить эпюр на миллиметровой бумаге, и только после проверки решения вычертить его начисто на ватмане тушью. Это позволит правильно скомпоновать решение эпюра на заданном формате. При выполнении эпюра 3 не обойтись без использования пройденного ранее материала. Поэтому перед выполнением задания необходимо повторить следующие разделы курса: Построение сечений поверхностей плоскостью; Нахождение точек встречи прямой линии с поверхностью; Построение линии пересечения двух поверхностей. Оформление эпюра На первом листе должны быть вычерчены проекции заданных поверхностей и построена линия их пересечения. На втором листе строится развёртка одной из поверхностей и на неё наносится линия пересечения поверхностей. На эпюре должны быть нанесены главные точки линии пересечения (высшая и низшая точки, точки, лежащие на очерках пересекающихся поверхностей). Часть промежуточных точек, необходимых для уверенного проведения линии пересечения в карандаше, может быть опущена при обводке эпюра тушью. Это облегчит обводку и позволит избежать загромождения эпюра излишними линиями построения. После обводки эпюра тушью желательно окрасить проекции пересекающихся поверхностей. Проще всего окраску произвести цветными карандашами. Для этого следует наскоблить лезвием цветной графит и при помощи ваты окрасить поверхности. Окраска должна быть очень легкой. В нижнем правом углу листа размещается основная надпись. Перед выполнением эпюра рекомендуется просмотреть все приведённые в пособии примеры построения линий пересечения и развёрток, вне зависимости от того, какие поверхности представлены в индивидуальном задании. Глава I. Теоретические основы построения линии пересечения поверхностей 1. Взаимное пересечение многогранников Два многогранника пересекаются по одной или двум замкнутым ломаным линиям. Для построения линии пересечения многогранников рекомендуется следующий порядок решения: Исключаем из рассмотрения те ребра каждого многогранника, которые заведомо не пересекают грани другого многогранника; Определяем точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго многогранника; 25

26 Рис. 3.1 Определяем точки пересечения рёбер второго многогранника с гранями первого многогранника; Соединяем попарно те точки, которые лежат на одной и той же грани; Определяем видимость полученной линии. На рис. 3.1 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей правильной треугольной пирамиды, стоящей на плоскости проекций H, и прямой треугольной призмы, основание которой расположено в плоскости проекций W. Профильная проекция показывает, что поверхность призмы полностью пересекает поверхность пирамиды, и, следовательно, имеем две ломаные линии пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры треугольники. Профильные проекции линии пересечения совпадают с профильной проекцией призмы треугольником Для построения двух других проекций линии пересечения необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек I и II пересечения верхнего ребра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересекает поверхность пирамиды по треугольнику ABC, подобному основанию. Его фронтальная проекция a b c лежит на следе (Q V ), а горизонтальная abc определяется посредством линии связи. Отметив горизонтальные проекции 1 и 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные проекции 1 и 2. Аналогично при помощи плоскости Q 1 находим проекции точек пересечения III VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. Заметим, что в плоскости Q 1 лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как решение задачи на пересечение двух плоскостей граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, получаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. Рассмотрим две проецирующие поверхности призм, каждая из которых соответственно перпендикулярна только одной плоскости проекций H, V, или W (рис. 3.2). Линия пересечения определена на двух плоскостях проекций. Требуется построить третью проекцию линии пересечения заданных поверхностей. Линии пересечения двух призм, боковые грани которых проецирующие плоскости, строятся наиболее просто. На рис. 3.2 показано построение проекций линии взаимного пересечения прямой четырёхугольной призмы, стоящей на горизонтальной плоскости 26

27 Рис. 3.2 проекций Н, и прямой треугольной призмы, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости проекций W. Рассматривая горизонтальную и профильную проекции, устанавливаем, что в данном примере имеет место частичное пересечение призм и, следовательно, получается одна замкнутая пространственная ломаная линия пересечения их поверхностей. Переднее ребро треугольной призмы и заднее ребро четырёхугольной призмы в пересечении не участвуют. Горизонтальная проекция линии пересечения располагается на сторонах четырёхугольника, в который проецируется на плоскость Н вертикальная призма, а профильная проекция на сторонах треугольника, в который проецируется на плоскость W горизонтальная призма. Остаётся построить фронтальную проекцию линии пересечения, для чего достаточно найти фронтальные проекции точек пересечения ребёр одной призмы с гранями другой. Фронтальные проекции 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 точек пересечения ребёр вертикальной призмы находим по профильным проекциям 1, 2, 6 этих точек при помощи линий связи. Фронтальные проекции 7 и 9, 8 и 10 точек пересечения ребёр горизонтальной призмы с гранями вертикальной находим по их горизонтальным проекциям также при помощи линий связи. Соединив последовательно найденные точки прямыми с учётом их видимости, определяем фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей заданных призм. Наглядное изображение пересекающихся призм показано на том же рисунке (рис. 3.2). 2. Взаимное пересечение поверхностей 1. Использование проецирующих свойств поверхностей при построении их линии пересечения Рассмотрим задачи, в которых одна из поверхностей является проецирующей по отношению к какой-либо из плоскостей проекций (например, прямая призма или цилиндр), а другая поверхность не обладает указанным свойством (например, конус или пирамида). В этом случае линия пересечения поверхностей на одной из плоскостей проекций определяется без построений. Остаётся только построить вторую проекцию линии пересечения заданных поверхностей. 27

28 Рис. 3.3 На рис. 3.3 дан прямой круговой конус и фронтально проецирующая поверхность призмы. Линия пересечения определена на плоскости V, на которую она спроецировалась в виде двух прямых, совпадающих с очерком призмы. Требуется построить горизонтальную проекцию линии пересечения заданных поверхностей, которая будет состоять из двух кривых линий: дуги окружности от нижней горизонтальной грани призмы и части параболы от наклонной левой грани призмы. Обе кривые строятся из условия принадлежности их конической поверхности. На рисунке показано построение точек 3 и 4, принадлежащих параболе. 2. Способ вспомогательных секущих плоскостей Как известно, все задачи на построение линии пересечения двух поверхностей решаются по следующему плану: Выявляют те точки линии пересечения, которые ясны сразу и не требуют какихлибо вспомогательных построений; Находят главные (опорные) точки линии пересечения, т. е. те точки, которые лежат на очерках пересекающихся поверхностей, а также высшую и низшую точки этой линии; Находят промежуточные, дополнительные точки линии пересечения поверхностей; Определяют видимость построенной линии пересечения. В общем случае для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей можно использовать способ вспомогательных секущих плоскостей. Для этого рассекают заданные поверхности вспомогательными плоскостями, выбирая их так, чтобы получаемые сечения были наиболее простыми (прямые линии или окружности). На рис. 3.4 заданные коническая и сферическая поверхности пересекаются по пространственной кривой, которая строится по общим точкам. Для того чтобы построить две общие точки, например точки К 1 и К 2, необходимо: Рассечь обе поверхности плоскостью (плоскость Р); Построить сечение вспомогательной плоскости с одной из заданных поверхностей (окружность радиуса R1); 28

29 Рис. 3.4 Рис. 3.5 Построить сечение вспомогательной плоскости с другой поверхностью (окружность радиуса R2); Отметить точки пересечения полученных сечений (точки К 1 и К 2 ). Остальные точки пространственной кривой строят аналогично. В данном примере в качестве вспомогательной секущей плоскости выбрана горизонтальная плоскость Р, так как она пересекает обе поверхности по окружностям, которые легко построить на чертеже. Эти точки принадлежат искомой линии пересечения, так как каждая из линий сечения лежит на поверхности одной из заданных поверхностей, а точка пересечения этих линий лежит сразу на обеих поверхностях. Указанные построения повторяют столько раз, сколько потребуется для получения необходимого количества точек. Этот способ можно использовать для построения линии пересечения поверхности кругового конуса или пирамиды с такой поверхностью вращения, ось которой перпендикулярна плоскости основания кругового конуса или основанию пирамиды. Линия пересечения не определена ни на одной плоскости проекций, но поверхности имеют простые сечения, лежащие в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций. На рис. 3.5 заданы прямой круговой конус и сфера. Для решения задачи применены секущие горизонтальные плоскости, одна из которых проведена через экватор сферы для определения характерных точек на линии пересечения заданных поверхностей. Далее рассмотрим практические примеры. 3. Характерные практические примеры взаимного пересечения поверхностей Задача 1. Пересечение круговых цилиндра и конуса. Заданы поверхности круговых цилиндра и конуса. Требуется построить линию их взаимного пересечения (рис. 3.6). 29

30 Рис. 3.6 Как видно из чертежа, основания обеих поверхностей лежат в плоскости Н, и поэтому точки пересечения окружностей оснований принадлежат искомой линии пересечения (точки 1 и 2). Определим видимость этих точек на эпюре. Как известно, точка, принадлежащая линии пересечения, видима в том случае, когда она лежит на видимых частях обеих пересекающихся поверхностей. На горизонтальной плоскости проекций обе точки видимы, а на фронтальной плоскости проекций точка 1 видима, а точка 2 невидима, так как она лежит на задней, невидимой половине поверхности цилиндра (горизонтальная проекция точки 2 расположена выше горизонтального диаметра окружности его основания). Обозначения проекций невидимых точек будем заключать в скобки. При проведении проекций линии пересечения это позволит сразу установить их видимость. Найдём точки линии пересечения, расположенные на очерках заданных поверхностей. Очерковые образующие (правая и левая) конической поверхности проецируются на плоскость Н прямыми линиями, совпадающими с горизонтальным диаметром окружности основания конуса. Точки пересечения этого диаметра с окружностью основания цилиндра, в которую проецируется вся поверхность этого цилиндра (точки 3 и 4), являются горизонтальными проекциями точек встречи очерковых образующих конуса с поверхностью цилиндра. Фронтальные проекции 3 и 4 найдутся в проекционной связи на фронтальных проекциях этих образующих. Поскольку рассматриваемые точки расположены на задней половине поверхности цилиндра, на фронтальной плоскости проекций они будут невидимы. Рассмотрим очерковые образующие цилиндра. 30

31 Как видно из чертежа, правая образующая цилиндра не пересекает поверхность конуса, так как точка, в которую она проецируется на плоскость Н, лежит вне окружности основания конуса. Для нахождения точки встречи левой образующей цилиндра с поверхностью конуса необходимо заключить образующую во вспомогательную плоскость, построить проекции сечения конуса этой плоскостью и зафиксировать точку пересечения одноимённых проекций этого сечения и образующей. Эта точка и будет проекцией искомой точки встречи. Заключаем левую образующую цилиндра в горизонтально проецирующую плоскость Р, проходящую через ось конуса. Эта плоскость рассекает поверхность конуса по образующей AS. Фронтальная проекция этой образующей прямая a s пересечёт одноимённую проекцию левой образующей цилиндра в точке 5, являющейся фронтальной проекцией искомой точки встречи. Найденная точка 5 важна тем, что является границей видимости линии пересечения на фронтальной плоскости проекций. Участок этой линии, заключенный между видимыми точками 1 и 5, видим, а за проекцией 5 линия пересечения переходит на заднюю, невидимую половину поверхности цилиндра и становится невидимой. Плоскость Р мы провели через ось конуса потому, что эта плоскость даёт наиболее простое сечение конуса (он рассекается по образующим). Любая другая плоскость, заключающая в себе левую образующую цилиндра, рассекла бы конус по гиперболе, построение которой затруднило бы решение. Для нахождения наивысшей точки линии пересечения проведём горизонтально проецирующую плоскость К, проходящую через оси заданных конуса и цилиндра. Эта плоскость пересекает конус по образующей BS, горизонтальная проекция которой пересечёт очерк поверхности цилиндра в точке 6. Проекция 6 найдётся в проекционной связи на фронтальной проекции образующей BS. Проекция 6 и будет наивысшей точкой линии пересечения. Теперь, после нахождения главных точек линии пересечения, можно найти несколько промежуточных точек. Может оказаться, что характер линии пересечения, расположенной между уже построенными точками, недостаточно ясен. На этих участках и следует проводить вспомогательные секущие плоскости, выбирая их так, чтобы заданные поверхности рассекались ими по наиболее простым сечениям. Для заданных поверхностей такими плоскостями будут плоскости горизонтальные, так как они рассекут обе поверхности по окружностям. Для уточнения линии пересечения на участке между точками 3 и 5, а также точками 4 и 6 проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Е на этом уровне. Эта плоскость пересечет конус по окружности указанного радиуса R, а цилиндр по окружности, совпадающей с горизонтальной проекцией этой поверхности. Строим горизонтальные проекции этих сечений и фиксируем точки их пересечения точки 7 и 8. Фронтальные проекции этих точек найдутся на фронтальном следе вспомогательной плоскости Е. Рассекая заданные поверхности другими горизонтальными плоскостями, мы можем получить неограниченное число промежуточных точек искомой линии пересечения, однако уже построенных точек достаточно для её уверенного проведения. Построенные точки в правильной последовательности соединяем между собой плавной кривой, с учётом видимости. Невидимые точки 2, 4, 8, 6, 3 и 7 соединяются штриховой линией невидимого контура, которая продолжается до видимой точки 5. В точке 5, как уже упоминалось, линия пересечения становится видимой, и поэтому участок её между точками 5 и 1 обводится линией видимого контура. Задача 2. Пересечение полусферы и поверхности вращения Ввиду того, что основания обеих поверхностей (рис. 3.7) лежат в одной плоскости плоскости Н, - точки пересечения окружностей этих оснований (точки 1 и 2) принадлежат искомой линии пересечения. 31

32 Рис

33 На горизонтальной плоскости проекций обе эти точки видимы, а во фронтальной плоскости точка 1 видима, а точка 2, которая расположена на задней невидимой части обеих поверхностей, невидима. Фронтальную проекцию точки 2, вследствие этого, заключим в скобки. Для нахождения точки линии пересечения, лежащей на правой очерковой образующей поверхности вращения, рассекаем обе заданные поверхности фронтальной плоскостью Р. Горизонтальный след этой плоскости пройдёт по горизонтальному диаметру окружности основания поверхности вращения. Плоскость Р рассечёт эту поверхность по очерковым образующим, а полусферу по полуокружности указанного радиуса R. Точка пересечения полуокружности и правой очерковой образующей (точка 3 ) является фронтальной проекцией точки, в которой эта образующая встречается с поверхностью полусферы. Эта точка будет являться границей видимости линии пересечения. Видимую часть фронтальной проекции правой очерковой образующей поверхности вращения на участке от верхнего торца этой поверхности до точки 3 обводим контурной линией. В этой точке фронтальная проекция искомой линии пересечения коснётся очерка поверхности вращения и снова отойдёт от него. Для построения точки линии пересечения, принадлежащей очерковой полуокружности полусферы, нужно было бы построить сечение поверхности вращения фронтальной плоскостью, проходящей через ось полусферы. Это, конечно, возможно, но кропотливо. К нахождению этой точки вернёмся позднее. Найдём наивысшую точку линии пересечения. Эта точка найдётся в пересечении контуров сечений, полученных от рассечения заданных поверхностей вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью М, проходящей через оси этих поверхностей. Построение проекций этих сечений можно значительно упростить, если повернуть полусферу вокруг оси поверхности вращения так, чтобы оси обеих поверхностей расположить в одной фронтальной плоскости. При этом плоскость М превратится во фронтальную плоскость Р, которая рассечёт поверхность вращения по очерковым образующим, а полусферу по полуокружности. Центр окружности основания полусферы точку О повернём до совмещения с горизонтальным следом плоскости Р в точке О 1. Фронтальная проекция точки О 1 найдётся на оси Х. Опишем из этой точки полуокружность, радиус которой будет равняться радиусу полусферы, и отметим точку пересечения этой полуокружности с правой очерковой образующей поверхности вращения точку 4 1. Горизонтальная проекция этой точки будет находиться на горизонтальном следе плоскости Р. Точка 4 1 и будет наивысшей точкой линии пересечения, но не для заданного, а для нового положения поверхностей. Вернём полусферу в первоначальное положение. При этом точка 4 1 повернётся вокруг оси поверхности вращения до горизонтального следа плоскости М (точка 4), а фронтальная проекция этой точки найдётся на фронтальном следе горизонтальной плоскости Е, в которой происходит пространственное перемещение точки (4,4 ). Точка 4 и есть наивысшая точка линии пересечения для заданного положения поверхностей. Для получения промежуточных точек искомой линии пересечения следует рассекать заданные поверхности вспомогательными плоскостями. В нашем случае выгоднее всего брать горизонтальные плоскости, так как обе поверхности будут пересекаться такими плоскостями по окружностям. Так, например, вспомогательная горизонтальная плоскость В рассечёт поверхность вращения по окружности радиуса R 1, а полусферу по окружности радиуса R 2. Точки пересечения этих окружностей точки 5 и 6 являются горизонтальными проекциями точек, лежащих на линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек найдутся на фронтальном следе плоскости В. 33

34 При помощи вспомогательных плоскостей А и С совершенно аналогично найдены точки 7, 8, 9 и 10. Одноимённые проекции построенных точек соединяем плавной кривой (с учётом видимости) и получаем проекции искомой линии пересечения. На горизонтальной плоскости проекций точки 6, 9, 4, 3, 10 и 5 невидимы, так как закрыты верхним торцом поверхности вращения. На фронтальной плоскости проекций невидимый участок линии пересечения проходит через точки 2, 7, 6, 9, 4 и 3. Как уже упоминалось, у точки 3 линия пересечения переходит на переднюю, видимую, половину поверхности вращения и становится видимой вплоть до точки 1. Вернёмся к вопросу о точке линии пересечения, лежащей на очерке полусферы. Если, как в рассматриваемой задаче, непосредственное нахождение очерковой точки вызывает некоторые трудности, можно сначала построить проекции линии пересечения, а затем найти очерковую точку. Так, в нашей задаче горизонтальная проекция искомой очерковой точки найдётся в пересечении горизонтальной проекции линии пересечения с горизонтальным диаметром окружности, в которую проецируется заданная полусфера (очерковая полуокружность полусферы проецируется в указанный горизонтальный диаметр). В нашем случае эта точка обозначена цифрой 11. Поэтому фронтальная проекция линии пересечения обязана коснуться очерковой полуокружности полусферы в точке 11, как это и показано на нашем эпюре. *** В рассматриваемых задачах применялись вспомогательные секущие плоскости, перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций. Однако возможны случаи, когда для построения линии пересечения выгодно применять вспомогательные секущие плоскости общего положения или даже секущие кривые поверхности цилиндры или сферы. Глава II. Типы вариантов заданий на пересечение поверхностей Тип 1. Даны две гранные поверхности, одна из которых перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.8). Рис. 3.8 В указанных вариантах пересекаются гранные поверхности, линия пересечения которых представляет собой пространственную ломаную линию с точками излома на рёбрах призм. 34

35 Линия пересечения гранных поверхностей может быть построена: По точкам пересечения рёбер одной поверхности с гранями другой; Как линия пересечения граней одной поверхности с гранями другой. Так, например, рассматривая трёхгранную призму на чертеже (рис. 3.9), замечаем, что из трёх её рёбер только одно ребро ВС участвует в пересечении. Точки пересечения ребра ВС (точки 3 и 4) определяют без вспомогательных построений непосредственно по точкам пересечения его горизонтальной проекции с горизонтальной проекцией шестигранной призмы. Рис. 3.9 Далее, рассматривая грани шестигранной призмы как горизонтально проецирующие плоскости, строим их пересечение с гранями трёхгранной призмы как линии пересечения плоскостей. Так, например, построена линия пересечения грани EFKL с гранью ABCD (линия MN). Пересечение остальных граней выполняется аналогично (на эпюре не показано). На рис представлен пример неполного пересечения поверхностей, так как у каждой из призм не все рёбра участвуют в пересечении. В результате получается одна замкнутая ломаная линия. Рассмотрим решение данного примера. Поверхность шестигранной призмы проецирующая на плоскость Н, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком шестигранной призмы, и задача решается только на фронтальной проекции. Левая передняя грань шестигранной призмы представляет собой горизонтальнопроецирующую плоскость (плоскость Q). В сечении плоскости Q с трёхгранной призмой получается четырёхугольник, показанный штрихпунктирной линией. Построив аналогично пересечение правой передней грани шестигранной призмы, нужно добавить к полученным точкам ещё две точки пересечения ребра DD 1 (точки E и E 1 ) и затем последовательно с учётом видимости соединить их. 35

36 Рис Соединение точек не вызывает затруднений, если использовать способ сетки, где вертикальные линии сетки соответствуют например, рёбрам наклонной призмы, а горизонтальные рёбрам шестигранной призмы, причём первое ребро изображается дважды. Первым ребром обычно выбирается то ребро, которое не участвует в пересечении (например такие рёбра как ВВ 1 и III). Далее все рёбра обозначают последовательно, читая их на горизонтальной проекции в одном направлении по часовой стрелке или против неё. Затем отмечают на сетке все полученные точки в соответствии с их принадлежностью грани или ребру. Например, точка Е принадлежит ребру DD 1 и находится в грани II-III. Отметив на сетке все точки, соединяют их между собой так, чтобы соединяющая линия не пересекала линий сетки. Пользуясь сеткой, в той же последовательности соединяют точки на фронтальной проекции с учётом видимости граней. Звено ломанной считается видимым, если обе грани, которым оно принадлежит, видимы. Если же хотя бы одна из граней невидима, звено ломанной будет также невидимым. На рис дан пример пересечения двух гранных поверхностей (пирамиды и призмы), одна из которых (призма) является проецирующей на плоскость Н. Поверхность пирамиды пересекается с горизонтально проецирующей поверхностью призмы. В пересечении заданных поверхностей получается пространственная ломаная, звенья которой представляют собой линии пересечения граней двух многогранников. В данном варианте не все рёбра многогранников участвуют в пересечении, поэтому искомая линия пересечения поверхностей представляет одну замкнутую пространственную ломаную. Поверхность призмы - проецирующая на Н, поэтому горизонтальные проекции 1, 2, 3, 4 точек пересечения двух рёбер пирамиды, участвующих в пересечении, с гранями призмы определяем без вспомогательных построений, проецируем их на фронтальные проекции соответствующих рёбер пирамиды. Получаем, таким образом, четыре точки искомой ломаной. 36

37 Рис Рис Далее проводим горизонтально проецирующие плоскости Q и R через вершину пирамиды S и через те рёбра призмы, которые участвуют в пересечении. Каждое из двух рёбер призмы пересекается с пирамидой в двух точках (5,5), (6,6) и (7,7), (8,8). Таким образом, получим ещё четыре точки искомой ломаной. Остаётся соединить полученные точки с учётом видимости. Соединять можно лишь те точки, которые одновременно принадлежат одним и тем же граням данных многогранников. Звено ломаной будет видимым, если обе грани, которым оно принадлежит, видимые. Тип 2. На рис дано изображение схематизированного здания с пристройкой, стены и скаты крыши которого пересекаются по пространственной ломаной линии. Видимая часть этой ломаной показана на фронтальной проекции. Звенья ломаной представляют собой линии пересечения различных плоскостей Плоскости T и S перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций и поэтому линия их пересечения MN также перпендикулярна плоскости Н (m n OX), затем по линии NF пересекаются плоскости Т и Р. Точка F найдена как точка пересечения ребра СС 1, с плоскостью Р. Далее пересекаются плоскости P и R по линии KF. Точка К найдена как точка пересечения ребра ВВ 1 с плоскостью Р. И, наконец, найдена точка Е точка пересечения конька крыши пристройки с плоскостью Q. Задача завершается построением правой половины ломаной, которая на фронтальной проекции будет невидимой. Тип 3. Даны: поверхность прямого кругового цилиндра, перпендикулярная горизонтальной плоскости, и поверхность призмы (рис 3.13, 3.14). В указанных на рис вариантах поверхность цилиндра является проецирующей на плоскость Н, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком цилиндра, и задача решается только на фронтальной плоскости проекций. 37

38 Рис В вариантах, указанных на рис. 3.14, необходимо построить дополнительно профильную проекцию заданных поверхностей. Рис В примере на рис поверхность цилиндра пересекается с двумя гранями призмы, одна из которых (АВВ 1 А 1 ) пересекает поверхность цилиндра по образующим, а другая (ВВ 1 С 1 С) пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, построение которого выполняется в следующем порядке: 1. Через ось цилиндра проводим вспомогательную секущую плоскость Q параллельно плоскости V. Эта плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, которые на фронтальной проекции являются очерковыми, а грань ВВ 1 С 1 С по фронтали EF. Построив фронтальную проекцию фронтали e f, отмечаем в пересечении её с очерковыми образующими точки 1 и 2, которые определяют границу видимости эллипса. 2. Через ось цилиндра проводим плоскость R перпендикулярно к грани ВВ 1 С 1 С (R H cc 1 ). Плоскость R пересекает грань по линии наибольшего ската MN. В точке пересечения линии MN с поверхностью цилиндра отмечаем точку 3, которая является низшей точкой эллипса. 3. Отмечаем на горизонтальной проекции точки 4 и 5 (точки пересечении ребра ВВ 1 с поверхностью цилиндра) и проецируем их на фронтальную проекцию ребра. 4. Промежуточные точки могут быть построены при помощи горизонтальнопроецирующих плоскостей, которые в данном примере целесообразно проводить параллельно рёбрам призмы. Например, проведём горизонтально-проецирующую плоскость Р (Р H bb 1 ). Плоскость Р пересекает грань ВВ 1 С 1 С по линии KL (kl,k l ). Отметив на плоскости Н точки 6 и 7, находим на линии k l их фронтальные проекции точки 6 и 7. 38

39 Рис Построение большой 8 9 и малой осей эллипса может быть выполнено на основании родственного соответствия приёмом, описанным в учебнике «Курс начертательной геометрии», авторы В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Оргиевский. М. 2007г. Тип 4. Даны: поверхность пирамиды и поверхность прямого кругового цилиндра, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.16). В данном варианте имеет место случай полного пересечения поверхности пирамиды с горизонтально проецирующей поверхностью цилиндра. Грани поверхности пирамиды пересекают поверхность цилиндра по кривым, которые представляют собой части эллипсов. Рассмотрим построение линии пересечения цилиндра с гранями АВТ и BCT на аксонометрическом чертеже (рис справа). Построения выполняются в такой последовательности: 1. Находят точки пересечения рёбер АТ, ВТ и CT (точки I, II и III) без вспомогательных построений непосредственно по точкам пересечения проекций рёбер с проекцией цилиндра на плоскости Н; 2. Строят промежуточные точки. Для этого рассекают обе поверхности вспомогательной горизонтально проецирующей плоскостью Р, которую целесообразно провести через вершину пирамиды Т. В сечении плоскости Р с пирамидой получается треугольник EFT, а в сечении с боковой поверхностью цилиндра две образующие KL и MN. В точках пересечения треугольника с образующей KL получаются две 39

40 Рис общие точки (точки IV и V), одна из которых (точка IV) принадлежит грани АВТ, другая (точка V) принадлежит грани АСТ. Пересечение остальных граней с поверхностью цилиндра строят аналогично. Спроецировав все найденные точки на плоскость V, соединяют их плавной кривой с учётом видимости. В данном примере на фронтальной проекции видимыми будут кривые, лежащие на видимых гранях ABT и BCT, так как они лежат на видимой части поверхности цилиндра, а кривая, принадлежащая невидимой грани ACT, невидима. Тип 5. Даны: поверхность прямого кругового цилиндра, расположенного горизонтально, и поверхность призмы или цилиндра, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.17). Рис

41 В данных вариантах одна из поверхностей цилиндрическая, с горизонтально расположенной осью. На горизонтальной проекции показана полуокружность, которая заменяет профильную проекцию и используется для построения линии пересечения. В примере на рис поверхность трёхгранной призмы проецирующая по отношению к плоскости Н, поэтому горизонтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с очерком призмы, и задача решается только на фронтальной проекции. В сечении цилиндрической поверхности с гранями призмы получаются эллипсы, построение которых надо начать с характерных точек. Отмечаем на горизонтальной плоскости проекций характерные точки 1, 2 и 3 и проецируем их на соответствующие образующие на плоскость V. Отрезок 2 3 определяет малую Рис ось эллипса. Рассмотрим построения точек 4 и 5, аналогично которым построены все остальные точки эллипса. Через ребро призмы проведена вспомогательная плоскость Р параллельно образующим цилиндра и плоскости V (P H OX). В пересечении следа P H с полуокружностью отмечаем расстояние h 1 ; откладываем этот отрезок на фронтальной проекции вверх и вниз от горизонтальной оси поверхности цилиндра, затем проводим фронтальные проекции образующих до пересечения с фронтальной проекцией ребра в точках 5 и 4. Построив аналогично промежуточные точки, соединяем их последовательно с учётом видимости. Видимыми считаются те точки, которые лежат одновременно на видимой части цилиндрической поверхности и на видимой грани призмы. Например, участки кривой от точки 7 до 2 и от точки 3 до 6, хотя и расположены на видимых образующих цилиндрической поверхности, но становятся невидимыми, так как принадлежат невидимой задней грани призмы. Тип 6. Даны: поверхность сферы и поверхность призмы, перпендикулярная одной из плоскостей проекций (рис. 3.19). Задача в рассматриваемых вариантах решается на одной проекции. Принцип построения линии пересечения поверхностей рассмотрим на примере сферы и призмы (рис. 3.20). Поверхность призмы является проецирующей на плоскость V, поэтому фронтальная проекция линии пересечения сферы и призмы совпадает с фронтальным очерком призмы. В том случае, когда поверхность призмы является проецирую- Рис

42 Рис Рис щей на плоскость Н, линия пересечения совпадает с очерком призмы на горизонтальной проекции. В пересечении сферы с гранями призмы получаются окружности. Если грань призмы не параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется в виде эллипса, который строится по точкам. Принцип построения точек, принадлежащих сфере, показан на примере построения точек пересечения со сферой верхнего ребра призмы (точки E и F). Для этого через верхнее ребро призмы проведёна плоскость Р, которая параллельна плоскости Н (P V OX). В сечении сферы с плоскостью Р получается окружность радиуса R 1, которая проецируется на плоскость Н без искажения, и в точках пересечения с горизонтальной проекцией ребра определяются точки e и f. Очерковые точки 5 и 6, а также точка 2 найдены без вспомогательных построений. Далее, опустив на фронтальной проекции из центра сферы перпендикуляр на проекцию грани, отмечаем точки 3 и 4 и находим их горизонтальные проекции при помощи плоскости Q. Отрезок 3-4 определяет большую ось эллипса и равен по длине натуральной величине диаметра окружности сечения, т. е. отрезку 1-2. Тип 7. Даны поверхность тора и поверхность призмы, расположенная перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.21). Построение линии пересечения поверхностей тора и призмы выполняется только на фронтальной проекции, поскольку поверхность призмы является проецирующей на плоскость Н, и горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком призмы. В сечении поверхности тора с левой и правой гранями призмы получаются плоские кривые, которые строятся по точкам. Тип 8. Даны: поверхность сферы и поверхность цилиндра, проецирующая по отношению к плоскости проекций (рис. 3.22). На рис поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией цилиндра на плоскость H. 42 Рис. 3.22

43 Рис Рис Рис Для построения фронтальной проекции линии пересечения, используем вспомогательные плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций V (R и Q на рисунке). Они пересекут сферу по окружности, а цилиндр по образующим. Так найдены точки A,B,C и D. Опорными точками являются точки 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 принадлежащие горизонтальному очерку цилиндра, а также точки 6, 7. Точки 2, 3, 4 и 5 границы видимости линии пересечения поверхностей. Точки 6 и 7 высшая и низшая точки линии пересечения. Тип 9. Даны: поверхность прямого кругового конуса и призматическая поверхность (рис. 3.24, 3.25). Если коническая поверхность пересекается с гранной поверхностью, то в сечении получаются кривые второго порядка. Рассмотрим построение линии пересечения конической поверхности с гранью ВВ 1 С 1 С (рис. 3.26). Прежде чем строить искомую кривую, нужно определить её характер. Для этого через ось конуса перпендикулярно грани ВВ 1 С 1 С проведена плоскость R, которая пересекает грань по линии наибольшего ската линии DN. Далее, вращением вокруг оси конуса линия DN повёрнута в положение, параллельное плоскости V. На рис (справа) видим, что угол α угол наклона линии DN, т.е. угол наклона грани ВВ 1 С 1 С к оси конуса меньше, чем угол β угол наклона образующей конуса к его оси. Следовательно, грань ВВ 1 С 1 С пересекает поверхность конуса по эллипсу. Действительно, если продолжить на рис плоскость грани, то видно, что она пересекает все образующие конуса. Если, то в сечении получается парабола, если же, то в сечении гипербола. Построение эллипса следует начать с характерных или опорных точек. Такими точками являются низшая и высшая точки, а также точки, лежащие на очерковых образующих. В данном примере точки 1 и 2 являются низшими. Высшая точка 3 найдена в результате пересечения линии DN и образующей SM, которая получается в сечении плоскости R и поверхности конуса. Очерковые точки 4 и 5 43

44 Рис построены при помощи плоскости Q, проведённой через ось конуса параллельно плоскости V. Плоскость Q пересекает грань ВВ 1 С 1 С по линии KL, в пересечении которой с очерковыми образующими конуса получаются очерковые точки 4 и 5. Промежуточные точки строятся при помощи вспомогательных плоскостей, параллельных плоскости Н. Рассечем поверхности плоскостью Р в произвольном месте. В сечении конуса с плоскостью Р получается окружность, в сечении с гранью ВВ 1 С 1 С горизонталь EF. Пересечение окружности и горизонтали EF на горизонтальной проекции определяет точки 6 и 7. Рассмотрим пересечение грани ABB 1 A 1. Грань ABB 1 A 1 параллельна оси конуса, т.е. ее угол наклона к оси конуса равен нулю, поэтому в сечении ее с конической поверхностью получается гипербола. Низшими точками гиперболы являются точки 8 и 9. Высшая точка 10 получена при помощи плоскости R, которая перпендикулярна грани ABB 1 A 1. Промежуточные точки 11 и 12 построены при помощи плоскости Р. Для решения задач, указанных на рис. 3.25, целесообразно построить третью, профильную проекцию заданных поверхностей. Тип 10. Даны: поверхность прямого кругового конуса, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции и поверхность прямого кругового цилиндра, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции (рис. 3.27). Линией пересечения поверхностей является пространственная кривая, которая на фронтальную плоскость проекций проецируется в дугу окружности, совпадающую с проекцией цилиндра на плоскость V. Для построения горизонтальных проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, используем горизонтальные плоскости (плоскости P и Q на рисунке). Они пересекают конус по окружностям, а цилиндр по образующим. Так точки 5 и 6 найдены, как точки пересечения очерковой образующей и окружности радиуса R P. Построенные точки соединяем последовательно с учетом видимости. 44

45 Рис Рис Тип 11. Даны: поверхность вращения с вертикальной осью вращения и поверхность призмы или цилиндра, расположенная горизонтально (рис. 3.28). В варианте, представленном на левом рисунке, пересекаются поверхность с вертикальной осью вращения и цилиндрическая поверхность с горизонтальной осью вращения, переходящая в горизонтально-проецирующие плоскости. Искомая линия пересечения (пространственная кривая) переходит в плоские Рис кривые. На рис пересекаются поверхность с вертикальной осью вращения и гранная поверхность, следовательно, искомая линия пересечения представляет собой звенья плоских кривых. Решение задачи для указанных вариантов идентично. Для построения точек искомых кривых используются горизонтальные плоскости, которые пересекают заданную поверхность с вертикальной осью вращения по окружностям. На чертеже показаны некоторые точки искомой кривой, которые строятся аналогично точке Е. Плоскость Т (Т V OX) пересекает заданную поверхность вращения по окружности радиусом R 1, а переднюю наклонную грань по горизонтали (h,h). Точка пересечения горизонтали и окружности радиуса R 1 (точка Е) является общей для заданных поверхностей. Аналогично найдены точки излома B и D при помощи плоскостей Q и U. Для построения точки С сначала на горизонтальной проекции проводим окружность произвольного радиуса между точками a и b, отмечаем точку с, в которой окружность пересекает след плоскости Р (Р Н ). Затем находим на фронтальной проекции след плоскости S (S V ), в которой расположена эта окружность, и отмечаем точку с на следе S V. Решение задачи заканчивается построением линии пересечения невидимых граней. 45

46 Тип 12. Даны: Поверхность тора и поверхность прямого кругового цилиндра, перпендикулярная плоскости проекций (рис. 3.30). Задача решается только на одной плоскости проекций, так как на другую линия пересечения проецируется в окружность, совпадающую с проекцией цилиндра. Отмечая опорные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 на горизонтальной проекции цилиндра, определяем их фронтальные проекции, исходя из принадлежности точек поверхности тора. Затем соединяем полученные точки последовательно, с учетом видимости. Рис Глава III. Построение развёрток Развёртка поверхности представляет собой плоскую фигуру, которая получается совмещением всех точек поверхности с плоскостью без складок и разрывов. Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развёртке. Длина линий на развёртке равна длине линий на поверхности, площадь развёртки поверхности равна площади самой поверхности. Поэтому основой для построения развёрток является натуральная величина элементов, образующих поверхность. Развёрткой поверхности многогранника называется фигура, полученная в результате совмещения всех его граней с плоскостью. Построение развёртки поверхности многогранника сводится к построению на чертеже многоугольников, конгруэнтных его граням. 1. Развертка призмы Боковые грани прямой призмы разворачиваются в общий прямоугольник, длина которого равна периметру основания (в данном примере треугольника), а высота высоте призмы (рис. 3.31). Развёртку боковой поверхности дополняем фигурами верхнего и нижнего основания (треугольниками). Линии сгиба на развёртке показываем тонкими штрихпунктирными линиями с двумя точками. 46

47 Рис Посторенние проекций точек и линий, лежащих на поверхности призмы Допустим, что задана фронтальная проекция (m n ) отрезка MN (рис. 3.31), лежащего на левой передней грани. Построение остальных двух проекций этого отрезка сводится к построению недостающих проекций двух его конечных точек М и N. В рассматриваемом примере целесообразнее построить сначала горизонтальные проекции m и n, а затем профильные проекции m и n этих точек. Точка М лежит на левой грани, а точка N на переднем ребре. Горизонтальную проекцию m находим на горизонтальной проекции грани левой стороне треугольника, проводя линию связи из фронтальной проекции m. Профильную проекцию m находим известным построением третьей проекции точки по двум данным. Горизонтальная проекция n точки N находятся без дополнительных построений, так как она располагается в вершине треугольника, в которую проецируется переднее ребро призмы. Профильную проекцию n находим на профильной проекции ребра, проводя линию связи из фронтальной проекции n перпендикулярно к оси OZ. Для построения на развёртке отрезка MN (рис справа), принадлежащего поверхности призмы, переносим на нее конечные точки. Точку N0 строим на развёртке по высоте ZN её расположения на ребре, проходящем через вершину В основания призмы. Точку M0 строим по её удалению l от бокового ребра AA1 и высоте ZM. Высоты ZN и ZM измеряем на фронтальной проекции призмы, а расстояние l на горизонтальной. 2. Развертка пирамиды Развёртка пирамиды относится к точным развёрткам и представляет собой плоскую фигуру, полученную совмещением всех её граней с плоскостью. Боковыми гранями пирамиды являются треугольники, для построения которых на развёртке необходимо знать натуральную величину рёбер пирамиды. На рис натуральные величины всех рёбер найдены способом вращения. Отложив на произвольной прямой натуральную величину ребра SB (S b 1 ), отмечаем точки S 0 и B 0. Затем пристраиваем к стороне S 0 B 0 всю грань. Для этого из точки B 0 делаем засечку радиусом bc, из точки S 0 делаем засечку радиусом S C 1, равным величине ребра SC. Пересечение засечек определяет точку C 0. Аналогично пристраиваются последовательно все остальные грани и основание. На развёртке требуется построить линию пересечения пирамиды с другой заданной поверхностью, и поэтому возникает задача переноса точек, принадлежащих поверхности 47

48 Рис пирамиды. Покажем, как перенести точку K на развёртку. Для этого через точку K проводим вспомогательную линию ST, строим ее натуральную величину (s t 1 ) и определяем на ней положение точки K (K 1 ). Далее на развёртке, на стороне основания B 0 C 0 откладываем отрезок B 0 T 0, равный отрезку bt и, отметив точку T 0, соединяем её с точкой S 0. Затем откладываем на прямой S 0 T 0 отрезок S K 1 и отмечаем точку K 0. На рис показано также построение на развёртке точки F 0, принадлежащей ребру AS (S 0 F 0 =s f 1 ). 3. Развёртка прямого кругового цилиндра Для построения развёртки боковой поверхности заданного прямого кругового цилиндра разделим окружность его основания на произвольное число равных частей, например на 12 (рис. 3.33). По чертежу видно, что построенная линия пересечения симметрична относительно горизонтально-проецирующей плоскости, проходящей через центры окружностей оснований заданных поверхностей. Поэтому для получения симметричной развёртки деления указанной окружности начнём с точки пересечения её с прямой линией, соединяющей центры 0 1 и 0 2 точки 1. Точки деления обозначим цифрами от 1 до 12. Разрежем боковую поверхность цилиндра по образующей, проходящей через точку 1, и развернём её. Эта поверхность развернётся в прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина развёрнутой окружности основания цилиндра. Для упрощения построений развёртку цилиндра удобно строить на одном уровне с его фронтальной проекцией. На прямой линии, являющейся продолжением фронтальной проекции оснований цилиндра, 12 раз отложим отрезок 1 2 хорду, стягивающую дугу, равную по длине 1/12 длины окружности этого основания. Получающаяся при этом погрешность (откладывается не длина дуги, а хорда, стягивающая ее) при делении окружности на 12 равных частей практического значения не имеет. В случае необходимости эту погрешность можно уменьшить, для чего достаточно окружность разделить на большее число частей. Восстановив по концам отложенной прямой перпендикуляры, высота которых равна высоте цилиндра и соединив их вершины, получаем прямоугольник, являющийся развёрткой боковой поверхности этого цилиндра. Нанесём на развёртку точки построенной линии пересечения. 48

49 49 Рис. 3.33

50 Как видно из чертежа, точка А лежит на окружности основания цилиндра между точками 10 и 11. Поэтому на развёртке точка А найдётся на прямой, в которую развёрнута окружность основания цилиндра, между точками 10 и 11, причём на том же расстоянии от точки 10, на котором горизонтальная проекция точки А находится от горизонтальной проекции точки 10. Точно так же строится на развёртке и точка В, расположенная между точками 3 и 4. Рассмотрим построение на развёртке какой-либо точки линии пересечения, не лежащей на основании развёртываемой поверхности, например, точки С. Горизонтальная проекция этой точки расположена между точками 9 и 10. Откладываем на развёртке от точки 9 в сторону точки 10 расстояние, на которое удалена горизонтальная проекция точки С от одноименной проекции точки 9, и из полученной точка восставляем перпендикуляр, длина которого равна удалению фронтальной проекции точки С от основания цилиндра. Вершина перпендикуляра является точкой С линии пересечения, нанесённой на развёртку. Если, как на рассматриваемом эпюре (рис. 3.33), развёртка строится в проекционной связи, то для получения точек линии пересечения на развёртке достаточно провести прямые, проходящие через фронтальные проекции этих точек и параллельные оси Х. Эти прямые, пересекаясь с соответствующими перпендикулярами, и дадут на развёртке искомые точки линии пересечения. Остальные точки этой линии найдутся на развёртке цилиндра совершенно аналогично построению точки С. Соединив построенные точки плавной кривой, получаем линию пересечения заданных поверхностей, нанесенную на развёртку цилиндра. 4. Развёртка прямого кругового конуса Рассмотрим построение развёртки конуса (рис. 3.33). Разделим окружность его основания также на 12 равных частей. И в этом случае для получения симметричной развёртки разрежем боковую поверхность конуса по образующей S 13. Затем из произвольной точки точки S проводим дугу окружности, радиус которой равен натуральной длине образующей конуса, и 12 раз откладываем на этой дуге отрезок 13 14, являющийся хордой 1/12 длины окружности основания конуса. Соединив концевые точки проведенной дуги прямыми линиями с точкой S, получаем развёртку боковой поверхности конуса. Нанесем на развёртку точки линии пересечения. Точки A и B наносятся совершенно аналогично построению их на развёртке цилиндра. Так, точка A найдется между точкам 23 и 24 на том же расстоянии от этих точек, на котором горизонтальная проекция точки A находится от одноименных проекций точек 23 и 24. Наивысшая точка линии пересечения точка Н найдется на образующей S 19, так как горизонтальная проекция точки Н лежит на одноименной проекции этой образующей. Для нахождения точки Н на развёртке достаточно отложить на образующей S 19 этой развёртки истинное удаление точки Н от вершины конуса S в пространстве. Это удаление равно отрезку R 1, отмеченному на фронтальной проекции заданной конической поверхности. Из вершины S радиусом R 1 засекаем образующую S 19 и получаем точку Н на развёртке конуса. На образующих S 22 и S 16 соответственно находим точки Е и F засекая эти образующие на развёртке радиусом R 2, снятым с фронтальной плоскости проекций. Для нахождения на развёртке точки G через горизонтальную проекцию этой точки проводим образующую S 25, строим точку 25 на развёртке (между точками 21 и 22) и, со- 50

51 единив ее с точкой S, засекаем эту образующую радиусом R 3, снятым с фронтальной плоскости проекций. Совершенно аналогично строится любая другая точка линии пересечения. Соединив построенные точки плавной кривой, получаем линию пересечения заданных поверхностей, нанесенную на развёртку конуса. Те части развёрток заданных поверхностей, которые не участвуют в пересечении, обводятся линией видимого контура и закрашиваются. Остальные части развёрток обводятся тонкой линией и оставляются незакрашенными. 5. Развёртка сферы На рис представлены полусфера и поверхность вращения, построение линии пересечения которых было рассмотрено нами на рис. 7. Построим приближенные развёртки этих поверхностей (точно они развернуты быть не могут). Разделим поверхность сферы на 12 равных частей, для чего окружность ее экватора делим на это число частей и точки деления соединяем с центром. Получившиеся секторы являются горизонтальными проекциями равных частей полусферы, развернув которые мы получим 12 лепестков, составляющих полную развёртку этой поверхности. Для построения развёртки лепестка полусферы разделим правую половину полуокружности фронтальной проекции полусферы на произвольное число равных частей, например на шесть, построим горизонтальные проекции точек деления и обозначим их цифрами от 0 до 6. Через горизонтальные проекции построенных точек в пределах отмеченного на чертеже сектора проведем дуги окружности из центра, расположенного в точке 6. Проведем на свободном поле чертежа вертикальную осевую линию и шесть раз отложим на ней длину хорды, стягивающей дугу, заключенную между точками деления очерковой образующей полусферы. От каждой из отмеченных точек, вправо и влево от оси, отложим половины дуг, заключенных между точками 0 0, 1 1 и т. д., на горизонтальной проекции рассматриваемого лепестка. Отрезок 0 0 на развёртке является развернутой длиной 1/12 части длины экватора полусферы, а отрезок 3 3 развернутой длиной 1/12 параллели этой полусферы, проходящей через точку 3. Соединив построенные точки плавной кривой, получаем лепесток, являющийся приближенной развёрткой 1/12 части поверхности полусферы. Для получения полной развёртки необходимо построить 12 точно таких же лепестков. На нашем чертеже их показано только три. По заданию нам необходимо нанести на развёртку линию пересечения. Покажем её построение на примере одного из лепестков развёртки полусферы, в пределах которого линия пересечения имеет наиболее сложную конфигурацию. Возьмем лепесток, примыкающий к нижней половине вертикального диаметра окружности основания полусферы. Будем строить на развёртке не те точки, которые были найдены нами в процессе построения линии пересечения (см. рис. 3.7), а точки линии пересечения, лежащие на границах и оси рассматриваемого лепестка, т. е. точки A, B, C, D и E на рис Кроме того, для уточнения линии пересечения построим точки F и G, в которых происходит изменение направления линии пересечения относительно оси лепестка. Для выявления горизонтальных проекций этих точек F и G, из центра окружности горизонтальной проекции полусферы проведем касательные к одноименной проекции участка линии пересечения, лежащего в пределах рассматриваемого лепестка. Проводим через точку А параллель полусферы и видим, что эта параллель почти совпадает с точкой 5, поэтому точка А найдется на развёртке на левой границе лепестка на уровне параллели, проходящей через точку 5. Следует заметить, что точка А, лежащая на границе лепестка, в процессе деления поверхности па лепестки как бы разрежется на две половины, и её вторая половина найдется на правой границе соседнего лепестка. 51

52 Рис

53 Для нахождения на развёртке точки E также проводим через нее параллель и фиксируем точку пересечения этой параллели с правой очерковой дугой окружности полусферы точку 7. Замеряем расстояние между точками 0 и 7 на фронтальной проекции полусферы и откладываем это расстояние на развёртке от линии вверх по оси лепестка. Проводим через полученную точку развёртку параллели (прямую линию, параллельную развёртке экватора) и в пересечении этой прямой с правой границей лепестка получаем точку Е. Построение на развёртке точек B и C, расположенных на оси лепестка, ничем не отличается от построения точки Е. Для построения точки G также проводим через нее параллель. Эта параллель пересекает очерковую образующую полусферы в точке 8, которая размещается между точками 1 и 2. Откладываем от параллели 2 вниз расстояние, на котором точка 8 находится от точки 2 и проводим через полученную точку параллель 8, на этой параллели, слева от оси лепестка, находим точку G. Удаление точки G от оси равно расстоянию от горизонтальной проекции этой точки до одноименной проекции оси лепестка. Следует внимательно следить за тем, с какой стороны оси расположена рассматриваемая точка. Построенные на развёртке точки обводятся плавной кривой, являющейся линией пересечения, нанесённой на развёртку лепестка поверхности. 6. Развёртка поверхности вращения Построение развёртки поверхности вращения и нанесение на развёртку линии пересечения практически не отличается от построений, выполненных нами для полусферы (рис. 3.34). Делим окружность основания поверхности вращения на 12 равных частей. Левую очерковую образующую поверхности на 6 частей. На свободном поле чертежа проводим вертикальную осевую линию и шесть раз откладываем на ней хорду дуги От намеченных точек вправо и влево откладываем половины параллелей (проведенных через точки деления и заключенных в пределах одного лепестка). Соединив концы отложенных отрезков плавными кривыми, получаем развёртку 1/12 части поверхности вращения. Наиболее узкое место лепестка является развёрткой 1/12 части горла заданной поверхности, нижний обрез лепестка части окружности нижнего основания, а верхний обрез верхнего основания. Остальные 11 лепестков развёртки поверхности вращения будут полным повторением построенного. Рассмотрим средний лепесток левой задней четверти поверхности вращения, в пределах которого наметим пять точек линии пересечения. Точки I и K возьмем на левой границе лепестка, точки L и М на его оси, а точка N будет крайней правой точкой линии пересечения. Проводим через все эти точки параллели поверхности вращения и построим, их на развёртке точно так же, как это было сделано нами на развёртке полусферы. Соединив построенные точки I, L, N, М и K плавной кривой, получаем участок линии пересечения, нанесенный на развёртку 1/12 части поверхности вращения. На границе смежного лепестка на том же уровне найдутся вторые половины точек I и K. Те части лепестков, которые не участвуют в пересечении, обводятся линией видимого контура. 7. Развёртка наклонного кругового цилиндра Построим развёртку поверхности наклонного кругового цилиндра из задачи, решенной на рис. 3.35, Рассечем цилиндр фронтально-проектирующей плоскостью P, перпендикулярной его оси и построим полуокружность, заключенную между очерковыми образующими цилиндра (рис. 3.35). 53

54 Рис Рис

55 Разделим эту полуокружность на шесть равных частей и построим фронтальные проекции точек деления на фронтальной проекции верхнего основания цилиндра (точки 1 7 ). Горизонтальные проекции этих точек найдутся в проекционной связи на одноименной проекции верхнего основания цилиндра. Через проекции точек деления проведем проекции образующих цилиндра параллельно одноименным проекциям оси цилиндра, Для построения развёртки цилиндра проводим горизонтальную прямую и откладываем на ней шесть раз длину хорды, стягивающей 1/6 часть полуокружности нормального сечения цилиндра плоскостью Р. Если от построенных на развёртке точек деления восставить к прямой перпендикуляры, отложить на них удаление фронтальных проекций точек 1 7 от фронтального следа плоскости Р и соединить полученные точки плавной кривой, то мы получим развёртку полуэллипса верхнего торца заданного цилиндра. Откладываем вниз от построенных на развёртке точек 1 7 длину, образующей цилиндра, соединяем концы образующих плавной кривой и получаем развёртку его боковой поверхности. Взятые нами образующие цилиндра пересекают построенную ранее линию пересечения в точках A, В, С, D, Е, F, G, H, I, К и L. Нахождение этих точек на развёртке не представляет никакого труда, поскольку образующие цилиндра на фронтальную плоскость проекций проектируются в натуральную величину. Поэтому достаточно от точки 1 на развёртке отложить вниз по образующей расстояние, на котором находится фронтальная проекция точки А от одноименной проекции точки 1, чтобы получить на развёртке точку А. Совершенно аналогично на соответствующих образующих находятся остальные точки линии пересечения. Построенные точки соединяются между собой плавными кривыми (следить за правильной последовательностью соединения!), которые являются линией пересечения, нанесенной на развёртку. 8. Развёртка поверхности тора Для построения развёртки поверхности тора разделим дугу окружности горизонтальной проекции полуэкватора этой поверхности на шесть равных частей и соединим точке деления с центром (рис. 3.35, 3.36). Помимо этого, разделим окружность меридионального сечения тора на 12 равных частей (точки 8 19 ) и построим горизонтальные проекции точек деления. Через эти точки проведем параллели поверхности тора и мысленно разрежем примыкающий к горизонтальному диаметру слева лепесток по параллели, проходящей через точку 8 (параллель горла поверхности), и развернем его. Длина лепестка должна быть равна развернутой длине окружности меридионального сечения тора, а ширина будет изменяться в пределах от длины дуги горла поверхности до длины дуги экватора ее, отсекаемых границами рассматриваемого лепестка 1/12 поверхности тора. В соответствии с этим проведем ось лепестка (на нашем чертеже горизонтальная прямая 8 8) и 12 раз отложим на ней длину дуги 1/12 длины окружности меридионального сечения тора. В каждой точке деления вверх и вниз от оси отложим половину дуги горизонтальной проекции соответствующей параллели (отсекаемую границами развёртываемого лепестка) и соединим полученные точки плавными кривыми. Мы получили приближенную развёртку лепестка 1/12 часта поверхности тора. Рассмотрим теперь порядок нанесения па развёртку точек, принадлежащих линии пересечения. И в этом случае будем строить точки, лежащие на границах и осях лепестков. Рассмотрим лепесток, примыкающий справа к профильному меридиональному сечению поверхности. 55

56 На правой границе этого лепестка лежат точки М и N, на левой границе точки O и R, а на оси точки B и S. Проводим через эти точки параллели поверхности тора и строим эти параллели на развёртке. Так, например, фронтальная проекция параллели, проходящей через точку O, касается окружности меридионального сечения тора в точке 20, лежащей между точками 8 и 9. На развёртке точка 20 также найдется между точками 8 и 9, на том же расстоянии от них, на котором точка 20 находится от точек 8 и 9. На этом уровне на границе лепестка и найдется на развёртке точка О. Вторая половина этой точки будет лежать на этом же уровне на смежной границе соседнего лепестка. Параллель, на которой лежит точка B, касается окружности меридионального сечения тора в точке, практически совпадающей с точкой 9 со стороны точки 8. Находим точку B на развёртке на оси лепестка рядом с точкой 9. Остальные точки линии пересечения находятся на развёртке совершенно аналогично. *** 56

57 Приложение Примеры заполнения основной надписи 57

58 Примеры выполнения эпюров Пример выполнения эпюра 1 58

59 59 Пример выполнения эпюра 2

60 Пример выполнения эпюра 3 (взаимное пересечение поверхностей) Пример выполнения эпюра 3 (развертка) 60

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Учебное пособие ISBN

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Учебное пособие ISBN ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Т.М. Кондратьева ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие ISBN 978-5-7264-1108-8 НИУ МГСУ, 2015 Оформление. ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2015 Москва 2015 УДК 514.18 ББК 22.151.3 К64 Р е ц е н з е н т ы

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Подробнее

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Методическое пособие для студентов (курсантов) первого курса

Подробнее

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения . ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения.. Плоскости касательные к поверхности.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения

Подробнее

Кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью Пересечение поверхности плоскостью При пересечении любой поверхности плоскостью получается некоторая плоская фигура, которая называется сечением. Плоскости, с помощью которых получается сечение, называются

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Преподаватель Студент Группа

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Преподаватель Студент Группа КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Преподаватель Студент Группа 1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия это один из разделов геометрии, изучающий методы изображения

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПРОЕКЦИИ

Подробнее

Развертки поверхностей

Развертки поверхностей Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Поверхности вращения образуются вращением линии l вокруг прямой i оси вращения. Они могут быть линейчатыми и нелинейчатыми (криволинейными). Определитель

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Л.В. Пивкина НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК ЗАДАЧ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Подробнее

B' 2 C' 2 2' 2 3' 2 1' 2 C' 1 2' 1

B' 2 C' 2 2' 2 3' 2 1' 2 C' 1 2' 1 7. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 7. Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей способом нормального сечения. 7.. Построение развертки наклонных

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Проектирование и эксплуатация автомобилей» Ж. А. Пьянкова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение. Переход

Подробнее

УДК :55(057) Д 82 Думицкая, Н. Г. Комплект заданий по начертательной геометрии [Текст]: метод. указания /Н.Г. Думицкая, О.Н. Попков. - Ухта: УГТ

УДК :55(057) Д 82 Думицкая, Н. Г. Комплект заданий по начертательной геометрии [Текст]: метод. указания /Н.Г. Думицкая, О.Н. Попков. - Ухта: УГТ Федеральное агентство по образованию Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКТ ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания Ухта 2006 УДК 514.18:55(057) Д 82 Думицкая, Н.

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. ФГБОУ ВПО «Псковский государственный университет» Инженерная графика. Методические указания и контрольные задания

Министерство образования и науки РФ. ФГБОУ ВПО «Псковский государственный университет» Инженерная графика. Методические указания и контрольные задания Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Псковский государственный университет» Шагиева Т.А. Инженерная графика Методические указания и контрольные задания для студентов ЭлМФ заочной формы обучения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.М. КОНДРАТЬЕВА, В.И. ТЕЛЬНОЙ, Т.В. МИТИНА ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Учебное пособие для

Подробнее

Методические указания по выполнению контрольно-графического задания

Методические указания по выполнению контрольно-графического задания Методические указания по выполнению контрольно-графического задания Студенты в первом семестре, кроме решения задач в рабочей тетради, должны выполнить контрольно-графическое задание, состоящее из семи

Подробнее

Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Руководство для решения задач по начертательной геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Е. М. Кирин, М. Н. Краснов Руководство

Подробнее

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ В предыдущих лекциях рассматривались чертежи простейших геометрических фигур (точек, прямых, плоскостей) и произвольных кривых линий и поверхностей,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 7. МНОГОГРАННИКИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ.

ЛЕКЦИЯ 7 7. МНОГОГРАННИКИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ. ЛЕКЦИЯ 7 7. МНОГОГРАННИКИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ. Гранные поверхности это поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии. Часть этих поверхностей

Подробнее

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Коническая поверхность направляющей линии прямым кру- говым конусом Построение конуса в прямоуголь- ной изометрии

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Коническая поверхность направляющей линии прямым кру- говым конусом Построение конуса в прямоуголь- ной изометрии Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Конус тело вращения. Прямой круговой конус относится к одному из видов тел вращения. Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Способ вспомогательных секущих плоскостей

ЛЕКЦИЯ 14. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Способ вспомогательных секущих плоскостей ЛЕКЦИЯ 4. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 4.. Способ вспомогательных секущих плоскостей Линия пересечения двух поверхностей есть линия, принадлежащая обеим поверхностям. Следовательно, для построения

Подробнее

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ Кафедра графики Л.В. Туркина Начертательная геометрия Примеры решения задач Часть 2 Екатеринбург

Подробнее

Инженерная графика. Лекция 5

Инженерная графика. Лекция 5 Инженерная графика Кривальцевич Татьяна Владимировна Лекция 5 «Пересечение геометрических тел плоскостями. Построение разверток» Омск-2010 Пересечение поверхностей плоскостью Инженерная графика Кривальцевич

Подробнее

Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ)

Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ) Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ) Две поверхности пересекаются по линии, которая одновременно принадлежит каждой из них. В зависимости от вида и взаимного

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ 3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Хабаровск 2005 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 4 «Тихоокеанский государственный

Подробнее

ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению эпюра 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению эпюра 2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению эпюра 2 Тольятти 2004 Методические указания

Подробнее

Г.И. Куничан, Л.И. Идт, Т.Н. Смирнова САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАЗДЕЛА «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Г.И. Куничан, Л.И. Идт, Т.Н. Смирнова САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАЗДЕЛА «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Алтайский государственный технический

Подробнее

2. Установить соответствие А(0, 28, 55) В(30, 0, 0) С(0, 0, 85) D(0, 45, 0) E(20, 0, 0) F(10, 0, 75) M(70, 25, 85) N(44, 27, 0)

2. Установить соответствие А(0, 28, 55) В(30, 0, 0) С(0, 0, 85) D(0, 45, 0) E(20, 0, 0) F(10, 0, 75) M(70, 25, 85) N(44, 27, 0) НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 5 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Плоскость проекций П 1 называется 1 горизонтальная плоскость проекций 2 фронтальная плоскость

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВО «Кубанский государственный аграрный университет имени И. Т. Трубилина» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА 1:2 R 2 В А Рабочая тетрадь

Подробнее

Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель

Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель Поверхность, образованная прямолинейной образующей l, движущейся параллельно заданному направлению s и пересекающей направляющую m, называется

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 2

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Автоматизация

Подробнее

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 7.1. Метод замены плоскостей проекций 7.2. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций 7.1. Метод замены плоскостей проекций При решении

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задания контрольной работы 1. по дисциплине «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задания контрольной работы 1. по дисциплине «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» Контрольная работа 1 по дисциплине «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» Телефон кафедры: 47-00-37 (спрашивать кафедру «Инженерная графика») Кабинет графики: ауд. 4-508 Кафедра: ауд.

Подробнее

1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от

1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 10 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от 1 плоскости плоскостей П 1 2 плоскости плоскостей П

Подробнее

Н.В. Макарова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Курс лекций

Н.В. Макарова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Курс лекций ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.В. Макарова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Курс лекций Красноярск

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра начертательной геометрии и графики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра начертательной геометрии и графики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания и контрольные задания

Подробнее

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания к выполнению эпюра 3 по дисциплине «Начертательная

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Построение проекций взаимно- пересекающихся геометрических тел - Техническое черчение

Построение проекций взаимно- пересекающихся геометрических тел - Техническое черчение Построение трёх проекций с разрезами пирамиды с прямоугольным основанием и пересекающей её призмы с треугольным основанием (фиг. 173). В данном положений призма пересечёт переднюю и заднюю грани пирамиды

Подробнее

9. МНОГОГРАННИКИ Способы задания многогранников и построение их проекций

9. МНОГОГРАННИКИ Способы задания многогранников и построение их проекций 9. МНОГОГРАННИКИ 9.. Способы задания многогранников и построение их проекций 9.. Пересечение плоскости и прямой с многогранниками 9.3. Взаимное пересечение многогранников 9.. Способы задания многогранников

Подробнее

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ПЛОСКОСТЬ Взаимное положение прямых

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ПЛОСКОСТЬ Взаимное положение прямых 3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫ. ПЛОСКОСТЬ 3.. Взаимное положение прямых 3.2. Проекции плоских углов 3.3. Изображение плоскости на чертеже 3.4. Прямая и точка в плоскости 3.5. Главные линии плоскости 3.6.

Подробнее

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения)

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» Рабочая тетрадь для решения задач

Подробнее

Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников;

Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников; Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников; пересечение многогранника с поверхностью вращения; пересечение

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля Иваново 29 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

Подробнее

ДВОЙНОЕ ПРОНИЦАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ДВОЙНОЕ ПРОНИЦАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра начертательной геометрии,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Начертательная геометрия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Начертательная геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование и управление в технических системах» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

1. Метод проекций. Проекции точки.

1. Метод проекций. Проекции точки. Теоретические разделы начертательной геометрии (краткое изложение). Метод проекций. Проекции точки. Метод проекций Пространство Способ отображения пространства Геометрические образы: Требования к чертежу

Подробнее

Рабочая тетрадь по начертательной геометрии

Рабочая тетрадь по начертательной геометрии ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Рабочая тетрадь по начертательной геометрии (для

Подробнее

Инженерная графика. Задания

Инженерная графика. Задания Инженерная графика Кривальцевич Татьяна Владимировна Задания К лекции «Пересечение геометрических тел плоскостями. Построение разверток» Омск-2010 Требования к выполнению заданий: 1. Задание выполнить

Подробнее

В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ

В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. Назовите основные методы проецирования геометрических форм. Приведите схему аппарата проецирования. 2. Какие виды параллельных проекций Вы знаете? Приведите схему аппарата проецирования.

Подробнее

Начертательная геометрия Методические указания к практическим занятиям для студентов заочного обучения

Начертательная геометрия Методические указания к практическим занятиям для студентов заочного обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Начертательная геометрия Методические указания к практическим

Подробнее

Настоящее пособие поможет студентам факультета технологии и предпринимательства, изучающим большой объём общетехнических дисциплин, овладеть

Настоящее пособие поможет студентам факультета технологии и предпринимательства, изучающим большой объём общетехнических дисциплин, овладеть СОДЕРЖАНИЕ Введение... 2 1. Методы проецирования. Координатная система... 4 1.1. Центральное проецирование... 4 1.2. Параллельное проецирование... 5 1.3. Ортогональное проецирование точки в системе двух

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЭПЮР 2

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЭПЮР 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Расчетно-графическая и контрольная работы

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Расчетно-графическая и контрольная работы Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Т. И. Кириллова Л. Ю. Стриганова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Расчетно-графическая

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Брянский государственный технический университет Утверждаю Ректор университета О.Н. Федонин 2014 г. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА

Подробнее

Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях. Методические указания по выполнению контрольных заданий.

Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях. Методические указания по выполнению контрольных заданий. Министерство путей сообщения Российской Федерации Департамент кадров и учебных заведений САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Инженерной графики Построение линии пересечения двух

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. М. Кирин МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) З. И. Полякова, Н. А. Сторчак, Н. А. Мишустин, В. Е. Костин,

Подробнее

Лекция 8. Определение натуральных величин 1. Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций 2. Определение натуральной величины

Лекция 8. Определение натуральных величин 1. Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций 2. Определение натуральной величины Annotation Данное учебное пособие представляет собой курс лекций и предназначено для студентов, сдающих экзамен по специальности «Начертательная геометрия». Подготовлено с учетом требований Министерства

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 1 ТОЧКА. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 1 ТОЧКА. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ 0 Л.Д. Письменко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ Ульяновск 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ

Подробнее

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 7 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1.Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Подробнее

2 УДК Д 82 Думицкая Н.Г. Сечение геометрических тел плоскостями и развёртки их поверхностей: Метод/ указания / Н.Г. Думицкая, Ю.А. Мучулаев.- У

2 УДК Д 82 Думицкая Н.Г. Сечение геометрических тел плоскостями и развёртки их поверхностей: Метод/ указания / Н.Г. Думицкая, Ю.А. Мучулаев.- У МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ И РАЗВЁРТКИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические указания по начертательной

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ ПОСТРОЕНИЕ ИСХОДНОГО ЧЕРТЕЖА... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ ПОСТРОЕНИЕ ИСХОДНОГО ЧЕРТЕЖА... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ... 5 2. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ... 5 3. ПОСТРОЕНИЕ ИСХОДНОГО ЧЕРТЕЖА... 5 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЭПЮРА 2... 7 4. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮ.

Подробнее

СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения Кафедра «Инженерная графика» СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

«Инженерная графика»

«Инженерная графика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Инженерная геометрия и компьютерная графика» Учебно-методическое пособие по дисциплине

Подробнее

Методические указания по теме «Взаимное пересечение тел» для студентов всех специальностей

Методические указания по теме «Взаимное пересечение тел» для студентов всех специальностей Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет»

Подробнее

И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭКЗАМЕН В КАРМАНЕ

И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭКЗАМЕН В КАРМАНЕ И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭКЗАМЕН В КАРМАНЕ Публикуется с разрешения правообладателя Литературного агентства «Научная книга» Лекция 1. Сведения о проекциях 1. Понятие проекций

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Проектирование и эксплуатация автомобилей» Е. П. Тюфтин С. Г. Вяткина Е. Ю. Черкасова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

Подробнее

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 4 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь для

Подробнее

Пересечение геометрических тел плоскостями

Пересечение геометрических тел плоскостями МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова Кафедра

Подробнее

ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи

Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи 2868 Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи Методические указания для студентов всех специальностей Иваново 2009 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения Т. А. Лексаченко НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания по решению задач с условиями

Подробнее

8. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

8. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 8. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 8.1. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций 8.2. Вращение вокруг следа плоскости 8.3. Решение метрических задач методами преобразования чертежа

Подробнее

Начертательная геометрия Плоскости

Начертательная геометрия Плоскости ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики Начертательная геометрия Плоскости Методические указания и задания для

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ... 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ... 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ... 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ СПОСОБОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ... 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля. Составители: Н.Ю. Смирнов, Е.В. Миронов.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля. Составители: Н.Ю. Смирнов, Е.В. Миронов. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по начертательной

Подробнее

A 1. В Рис. 14 б. Рис. 14 а. t O B. Рис. 15. Лекция 10 Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции

A 1. В Рис. 14 б. Рис. 14 а. t O B. Рис. 15. Лекция 10 Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции Лекция Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции План лекции. Изображение призмы и пирамиды в параллельной проекции. 2. Изображение цилиндра, конуса, шара в параллельной проекции.

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВО «Красноярский государственный аграрный университет» Н.Г. Полюшкин НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к практическим занятиям Электронное

Подробнее

Центральные вопросы темы: сущность методов центрального, параллельного и прямоугольного проецирований и их свойства; обратимость чертежа.

Центральные вопросы темы: сущность методов центрального, параллельного и прямоугольного проецирований и их свойства; обратимость чертежа. Вопросы к блоку 1 спец. 230101 Введение. Предмет начертательной геометрии. Метод проецирования. Комплексный чертеж Монжа. Центральное (коническое) проецирование. Параллельное (Цилиндрическое) проецирование.

Подробнее

2. Установить соответствие А(0, 80, 0) В(55, 45, 20) С(0, 0, 50) D(45, 0, 65) E(0, 35, 20) F(45, 45, 0) M(0, 15, 0) N(55, 0, 0)

2. Установить соответствие А(0, 80, 0) В(55, 45, 20) С(0, 0, 50) D(45, 0, 65) E(0, 35, 20) F(45, 45, 0) M(0, 15, 0) N(55, 0, 0) НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 2 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Плоскость проекций П 2 называется 1 горизонтальная плоскость проекций 2 фронтальная плоскость

Подробнее

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

Т.М. Кондратьева, Т.В. Митина, М.В. Царева ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА В ДВУХ ЧАСТЯХ ЧАСТЬ 1 ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРТЕЖА

Т.М. Кондратьева, Т.В. Митина, М.В. Царева ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА В ДВУХ ЧАСТЯХ ЧАСТЬ 1 ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРТЕЖА КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА Т.М. Кондратьева, Т.В. Митина, М.В. Царева ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА В ДВУХ ЧАСТЯХ ЧАСТЬ 1 ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРТЕЖА Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Подробнее

Кафедра: «Инженерная графика и САПР» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМ. Часть 1. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Кафедра: «Инженерная графика и САПР» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМ. Часть 1. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО-НАУЧНО- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

П О С Т Р О Е Н И Е Л И Н И И П Е Р Е С Е Ч Е Н И Я П О В Е Р Х Н О С Т Е Й

П О С Т Р О Е Н И Е Л И Н И И П Е Р Е С Е Ч Е Н И Я П О В Е Р Х Н О С Т Е Й Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет» П О С Т Р О Е Н И Е Л И Н И И

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Восточно-Сибирский государственный технологический университет. Инженерная графика

Федеральное агентство по образованию. Восточно-Сибирский государственный технологический университет. Инженерная графика Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет Инженерная графика Методические указания с вариантами заданий для студентов технологических специальностей

Подробнее

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т Калашникова (ФГБОУ ВПО

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет О. Н. ЛЕОНОВА, Е. А. СОЛОДУХИН НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Красноярский государственный аграрный университет НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций Для студентов факультета пищевой и перерабатывающей промышленности

Подробнее