Задачи с параметром в ЕГЭ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задачи с параметром в ЕГЭ"

Транскрипт

1 Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05

2 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова; Ульяновск: с. Данные методические рекомендации являются продолжением работы [9] авторов. Рассмотрены различные типы задач с параметром, соответствующие курсу математики средней школы, и методы их решения. В частности, среди них задачи С5 (0 в 05 г.) подготовительных, репетиционных и реальных вариантов контрольных измерительных материалов ЕГЭ 00г. - 05г. Набор задач для самостоятельного решения достаточно разнообразен как по уровню сложности, так и по охвату тем, и может быть использован для реализации спецкурса, составления вариантов контрольных работ и пробных экзаменов. Рекомендации помогут учителям математики подготовить учащихся к ЕГЭ. Некоторые материалы данных рекомендаций могут быть использованы в девятых и десятых классах. Предназначены для учителей математики и учащихся. Рецензент: Мухаметзянова Ф.С., Заслуженный учитель школы России. Штраус Л.А., Баринова И.В., 05.

3 Введение Умение решать задачи с параметром во многом является залогом достижения высокого результата на ЕГЭ. Сами учащиеся довольно успешно пытаются овладеть этим умением: результаты ЕГЭ показывают, что коэффициент решаемости задачи С5 (0) в несколько раз выше, чем для задач С4 (8) и С6 (), да и в баллах задача С5 оценивается выше, чем объективно более тяжёлая С4. Тем самым организаторы ЕГЭ стимулируют изучение школьниками разделов программы, связанных с вузовским курсом, таких, как применение производной к исследованию функций и построению графиков. Можно знать геометрические теоремы и приёмы решения задач, освоить большой объём упражнений и всё же не решить задачу по планиметрии, поскольку необходимые ходы подчас нелегко заметить. В этом смысле задачи с параметром представляют собой более благодарный материал. К специфике решения таких задач, заключающейся в основном в учёте всех возможных ситуаций и исследовании изменения характера решений в зависимости от параметра, можно подготовиться. Методы их решения в основном алгоритмичны и знание нескольких способов, наличие аналитической и графической культуры с высокой долей вероятности приведут к успеху. Изменилось отношение учителей к задачам с параметром. Если раньше такие задачи в основном содержались в вариантах вступительных экзаменов в вузы с повышенными требованиями к знаниям абитуриентов по математике и по этой причине учителя дистанцировались от них, то теперь они стали неотъемлемой частью вариантов ЕГЭ. Это обязывает вникать в соответствующую тематику, совершенствовать свои знания и методику изучения темы. Данное пособие поможет в этом учителям, а также учащимся, которые могут пользоваться пособием самостоятельно. В основу работы положены как уже используемые авторами в течение многих лет классические материалы и задачи так и задачи ЕГЭ последних лет, включая 05 год. Используя имеющийся положительный опыт изложения материала авторы старались максимально охватить как методы решения, так и типы задач и вместе с тем стремились к лаконичности, ибо имеющиеся пособия (например,) чрезмерно объёмны. Следует помнить о том, что в вариантах есть и другие задачи, и что у учащихся есть экзамены по другим предметам. Набор задач для самостоятельного решения достаточно широк как по уровню сложности, так и по охвату тем и может быть использован как для реализации спецкурса с развитием и закреплением необходимых навыков, так и для составления вариантов контрольных работ и пробных экзаменов. Следует отметить, что дополнительное изучение данной темы способствует формированию 3

4 математического стиля мышления, развитию творческих способностей, метапредметных умений, а также положительно отражается на общем результате экзамена, поскольку автоматически повышается уровень логической и графической культуры учащихся, совершенствуются знания по началам анализа, тригонометрии, методам решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Содержание Введение.3. Простейшие задачи: линейные уравнения, системы,..5 неравенства, иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов.. Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства параболы.9 3. Замена переменной. 4. Графический метод Преобразование графиков функций; движение графика.4 по траектории. 4.. Решение в системе координат (х,а);метод областей 4.. Окружности Использование функции 3 5. Оценка значений выражений 3 6. Принцип симметрии Введение вспомогательной функции Применение производной Задачи для самостоятельного решения 4 0. Литература.54 4

5 . Простейшие задачи: линейные уравнения, системы, неравенства, иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов. Решим несколько задач, требующих только внимания, «деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом» и никаких специальных знаний. Вместе с тем, они иллюстрируют специфику задач с параметром. Пример. Решить уравнение Решение. Найдём корни квадратного трёхчлена в левой части уравнения и запишем его в виде. При уравнение принимает вид Любое действительное значение х удовлетворяет уравнению. При а= получаем, уравнение решений не имеет. При при, при решений нет, при Пример. При каких значениях а для всех х, принадлежащих промежутку выполняется неравенство Решение. Рассмотрим функцию. Она является линейной относительно х. Требуемое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда значения функции неотрицательны на концах промежутка, причём, не равны нулю одновременно: или то есть или Объединяем множества и получаем ответ. или. Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. Решение. Мы ищем решение уравнения () при условии Возможны следующие случаи:. Уравнение () линейное,. Уравнение () квадратное, его дискриминант равен нулю: 3. Уравнение () квадратное, один из корней равен : 5

6 0; Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система не имеет решений. Решение. Выразив y из первого уравнения системы и подставив во второе, получим систему, равносильную исходной: После преобразований второе уравнение принимает вид Каждому x, удовлетворяющему этому уравнению, отвечает единственное значение y, которое находим из первого уравнения. Получаем: если то и система имеет единственное решение; если a=7, то, то - нет решений. - бесчисленное множество решений; если -6. Пример 5. Для любых значений а решить неравенство Решение. Если, то исходное неравенство равносильно неравенствам При неравенство выполняется для, поскольку При и неравенство принимает вид при при при, Пример 6. Для любых значений а решить уравнение Решение. Преобразуем уравнение, учитывая условия 6

7 Находим отсюда х при условии при ; при остальных значениях решений нет. Пример 7. При каких значениях а неравенство выполняется при любых значениях х? Решение. Рассматриваемое неравенство равносильно двойному неравенству. Отсюда получаем, что неравенства значениях х. Заметив, что квадратный трёхчлен должны выполняться при любых положителен при всех х (его дискриминант отрицателен), получаем, что при всех х должны быть справедливы неравенства. Это выполняется, если дискриминанты квадратных трёхчленов отрицательны: Метод интервалов в задачах с параметром требует особенно внимательного применения, поскольку расположение корней исследуемых выражений может значительно меняться в зависимости от параметра и требуется исследовать каждую из возможных ситуаций. Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство отрезку выполняется для всех х из отрезка Решение. По условию корень знаменателя. Возможны следующие случаи: 7 не принадлежит.. Обозначим - корень числителя. Тогда ( промежуток неположительности рассматриваемого выражения должен «накрывать» отрезок, см. рис. ; во всех остальных случаях, то есть при положительно )., или значение исходного выражения в точке + x Рис. + 3 x x

8 Решаем систему. Аналогично предыдущему получаем, что и приходим к системе Отсюда Пример 9. При каких значениях а ровно одно решение неравенства удовлетворяет неравенству? Решение. Условия задачи означают, что система данных неравенств имеет единственное решение. Квадратный трёхчлен имеет корни и, совпадающие при Возможны следующие случаи:. Первое неравенство имеет единственное решение, которое удовлетворяет второму неравенству. а = 0. Решением первого неравенства является отрезок, все точки которого удовлетворяют второму неравенству, которое выполняется для всех х. 3. Корни квадратного трёхчлена совпадают: а = - 4. Решением первого неравенства является отрезок удовлетворяют второму неравенству, все точки которого, которое выполняется для всех х. 4. Дискриминанты обоих квадратных трёхчленов положительны. Условиям задачи может удовлетворять только такая ситуация, когда трёхчлены имеют общий корень, поскольку в противном случае решением соответствующей системы неравенств является отрезок или объединение двух отрезков (рис. соответствует одному из таких случаев) или решений нет. Рис. x Если -а+=0, то а=. Система принимает вид и имеет единственное решение x=0. Если -а+=4+ a, то. Система принимает вид 8

9 и имеет единственное решение x=0. Если, то. Система принимает вид и имеет единственное решение x=0. Если, то. Система принимает вид и имеет решение Замечание. Задачу можно решить в системе координат (х,а) методом областей. Далее в связи с методом интервалов см. пример 40.. Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства параболы. Расположение корней квадратного трёхчлена относительно нескольких точек можно определить с помощью нахождения значений трёхчлена в этих точках, дискриминанта, абсциссы вершины параболы. При этом удаётся избежать решения громоздких уравнений и неравенств, зачастую иррациональных. Типовые ситуации хорошо известны и подробно описаны в различных пособиях. В этом пункте мы ограничимся двумя примерами, другие нам встретятся ниже как вспомогательные. Обозначим Для того, чтобы корни трёхчлена а 0, f ( ) 0. х х х Рис. 3 располагались по разные стороны от данной точки α, необходимо и достаточно, чтобы старший коэффициент а и имели разные знаки (см. рис. 3): Пример 0. При каких а один корень уравнения больше, а другой меньше? + () 9

10 Решение. В нашем случае неравенство () принимает вид Отсюда Условия того, что корни квадратного трёхчлена располагаются справа от точки α, задаются системой + х х0 х х х х х 0 х Рис. 4 Далее типовые ситуации рассматривается в примерах 3, 4, 6. При квадратичная функция убывает (возрастает) при, возрастает (убывает) при и принимает наименьшее (наибольшее) значение в точке. Пример. Найдите все значения а, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечётное число общих точек с графиком функции Решение. Если, то и графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вверх. Обозначим - абсциссу вершины параболы. Если, то ветвями вниз.обозначим. Парабола направлена Таким образом, функция имеет вид Возможны следующие случаи (в соответствии с принадлежностью точек промежуткам и соответственно):. (рис.5) ;. (рис.6) ;3. (рис. 7) ; 4. (рис. 8). 0

11 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 В каждом из первых трёх случаев функция имеет по две точке экстремума и горизонтальная прямая (иначе, перпендикулярная оси ординат) проведённая через точку графика над точкой экстремума, имеет с ним две общие точки. В последнем случае функция является убывающей и любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет одну общую точек с графиком. Пример. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке принимается хотя бы на одном из концов этого отрезка. Решение. Если, то и графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вниз Абсцисса вершины равна -5. Если, то, графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вниз. Абсцисса вершины равна 4. Возможны следующие случаи:

12 Рис. 9 Рис. 0 отрезке Рис.. Тогда на отрезке функция возрастает (рис. 9), на убывает, в точке 4 она принимает наибольшее значение, а наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов.. Тогда на отрезке функция возрастает (рис.0), на отрезке убывает, в точке -5 она принимает наибольшее значение, а наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов. 3.. В точке а функция имеет минимум (рис.). Требуемые условия выполняются, если значение функции хотя бы на одном из концов отрезка не больше, чем в точке а: Отсюда с учётом условия Объединяем результаты и получаем ответ. Замечание. Вместо решения последней системы можно было потребовать, чтобы точка а была от -5 не дальше, чем -9, или от 4 не дальше, чем Замена переменной. Замена переменной является распространённым приёмом при решении уравнений и неравенств, в частности, уравнений и неравенств с параметром.

13 Наиболее простой является ситуация, когда неважно, сколько решений исходной задачи даёт значение новой переменной (примеры 3, 5, 7). Большего внимания требуют задачи, где необходимо учитывать соотношение количества решений старой и новой задач. Это связано с монотонностью функции, используемой для замены переменной (примеры 4, 6,, ). Пример 3. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения Решение. Обозначим Если, то и условия задачи означают, что на промежутке уравнение не имеет решений. Преобразуем уравнение:. Возможны случаи:. следовательно, удовлетворяет условиям задачи.., уравнение квадратное, его дискриминант положителен, корни имеют разные знаки: Обозначим Требуется, чтобы выполняется, если и (см. рис. ). Это условие Рис. Получаем систему и решаем её: Объединяем результаты и получаем ответ. Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно различных решения? Решение. Обозначим Исходное уравнение принимает вид Поскольку показательная функция является строго монотонной и принимает только положительные значения, то требуется найти а, при которых 3 (3)

14 4 уравнение (3) имеет два различных положительных решения Искомые значения а задаются системой (см. рис. 4) Получаем Рассмотрим пример гораздо сложнее предыдущих. Он содержит полезный приём решения уравнений степени выше второй. Пример 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение x x a a sin sin имеет решение. Решение. Приведём один из аналитических способов решения. Уравнение a a с условием равносильно уравнению a a с условием 0 и уравнению a a с условиями. 0, a Преобразуем и решим последнее уравнение:.,, 4 4 0; 4 a a a D a a Если a, то a и решений нет. В случае a условие a выполнено и система 0 0, a имеет решение, если 0 4, 4 a a, откуда 0 4 a. 0 4 a. Замечание. Ответ о разрешимости системы 0 0, a можно было получить с помощью её графической интерпретации. Такие вопросы обсуждаются в следующем разделе. 4. Графический метод.

15 Чаще всего графический метод в задачах с параметром применяется по следующей схеме: исходное уравнение приводится к виду, где не зависит от а, а конструкция функций зависящих от а, удобна для исследования и характер их изменения в зависимости от а легко прослеживается. Перед решением таких задач следует повторить тему «Преобразование графиков функций», вспомнить, как из графика получаются графики Выделение следующего пункта весьма условно, поскольку преобразование графиков встречается в большинстве из рассматриваемых здесь примеров. 4. Преобразование графиков функций; движение графика по траектории. Пример 6. При каких значениях а уравнение имеет единственное решение? Решение. Первый способ. Нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 3). Пусть l- прямая семейства, проходящая через точку (-;0). Условиям задачи отвечают прямые семейства, проходящие ниже l, или касательная m. Находим значение а для прямой l: Следовательно, нас устраивают значения Рис. 3 Теперь найдём значение а, соответствующее касанию. Возведём исходное уравнение почленно в квадрат: (4) 5

16 Уравнение (4) равносильно (дуга нарисована пунктиром). Поэтому мы нашли a, при которoм будет касательной к параболе и в данном случае к её верхней дуге. Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с помощью производной (см. (9)): Отсюда Второй способ. Обозначим Тогда. Исходное уравнение принимает вид Поскольку каждому соответствует единственное х, то требуется найти а, при которых последнее уравнение имеет единственное неотрицательное решение. Из рис.4 получаем: или, откуда или уравнение Третий способ решения можно получить, используя приёмы раздела : равносильно системе -а 0 - Рис. 4 Поэтому требуется найти значения а, при которых уравнение системы имеет на промежутке решение. Пример 7. При каких а все числа x отрезка неравенству 3 ровно одно удовлетворяют Решение. Обозначим Тогда и исходное неравенство принимает вид 6

17 (5) Если, то Таким образом, исходная задача равносильна следующей: при каких а все числа отрезка удовлетворяют неравенству (5)? Если, то на отрезке и неравенство не выполняется. Пусть теперь Сделаем рисунок (рис. 5). Над отрезком парабола должна лежать выше прямой. Находим а, при котором происходит касание: уравнение имеет единственный корень, следовательно, дискриминант равен нулю: Проверяем правильность рисунка, то есть то, что y Рис. 5 точка касания расположена над отрезком выше прямой при Парабола лежит Пример 8. Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке более двух корней. Решение. Нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 6). y y 3 n m l 3 x х

18 Рис. 6 Рис. 7 График получается из гиперболы отражением относительно оси Ох её части, расположенной ниже оси. Прямая проходит через точку Нам понадобятся следующие положения этой прямой: l). прямая проходит через точку m). прямая касается ветви гиперболы. В нашем случае и касание равносильно тому, что уравнение имеет единственное решение (рис. 7). Последнее уравнение равносильно уравнению Из условия единственности получаем n). условиям задачи отвечает положение прямой, промежуточное между l и m. В этом случае уравнение имеет три решения и Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с помощью производной (см. (9)): Отсюда Пример 9. При каких значениях а уравнение имеет решение? Решение. Запишем уравнение в виде y f (6) 6 g 0 8 а х

19 Рис. 8 и нарисуем графики функций (рис. 8) в обеих частях (6). Функция чётная. Поскольку то график лежит не ниже графика 6 (последний нарисован пунктиром) и у них одна общая точка (0;6). График - угол, причём, его стороны более пологие, чем у угла 6 (меньшему положительному угловому коэффициенту отвечает меньший угол наклона). Из рис. 8 получаем, что у уравнения (6) есть решение тогда и только тогда, когда низшая точка графика выполнено условие. Если то. Если, то Решений нет. (0;6) лежит не выше графика, то есть когда Решаем это неравенство. Пример 0. Определите все значения параметра а, для которых уравнение имеет два решения. Решение. Первый способ (вторым способом задача решена в разделе «Решение в системе координат (х,а)»). Запишем уравнение в виде и нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 9). Графиком выражения в левой части является парабола, график представляет собой угол, вершина которого скользит по прямой. При у параболы и угла две точки пересечения: при y g 0 х сторона f Рис. 9 вершина угла находится внутри параболы, при правая угла не пересекается с параболой, левая сторона 9

20 пересекается в двух точках. При для параболы. Это видно из уравнения правая сторона является касательной при Найдём а, при котором левая сторона угла касается параболы: Таким образом, при и уравнение имеет 3 решения, при 4 решения, при и решения. Пример. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственное решение. Решение. Запишем уравнение в виде По условию или. Заметим, что х =- не является корнем уравнения, следовательно, или. Разделим уравнение почленно на. При и мы получаем. (7) При и мы получаем. (8) Рассмотрим функцию и её график (рис. 0). Она убывает на каждом из промежутков и и отображает их на промежутки и соответственно. При этом каждому значению у соответствует только одно значение х. Обозначим и 0 Эта функция отображает промежутки на себя и в силу её возрастания каждому значению соответствует одно значение у и, следовательно, одно значение х. Введём функцию С учётом взаимно-однозначного соответствия между и x, а также равенств (7) и (8) исходная задача сводится к следующей: при каких значениях а уравнение имеет единственное решение? Нарисуем график (рис.). Горизонтальная

21 прямая должна пересекать график только в одной точке. Отсюда, то есть или. или Y x 3a 0 Рис. 0 Рис. Пример (ЕГЭ 05). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (9): в системе координат XoY должна найтись единственная точка (x;y), координаты которой удовлетворяют (9). В первом уравнении преобразуем выражение в скобках: = Тогда уравнение принимает вид: (9) Следовательно, оно задаёт совокупность двух лучей и отрезка, ограниченных выделенным углом (рис. ).

22 Рис. Рис.3 Второе уравнение задаёт прямую l, параллельную биссектрисе совпадающую с ней при а=0. Эта прямая имеет с указанной совокупностью одну общую точку в следующих случаях (рис. 3):. l проходит через точку (0;), то есть значение функции в точке 0 равно : =0+а, а=.. l проходит не выше точки (-4;-), то есть значение в точке -4 не больше -: 4+а -, а l проходит не ниже точки (3;5): -3+а 5, а 8. или 4.. Решение в системе координат (х,а). Если уравнение имеет вид а = f(x) или уравнение F (x,a) = 0 можно разрешить относительно а, т.е. привести к виду а = f(x), то для ответа на вопрос о числе решений уравнения и их правильного отбора целесообразно построить график функции а = f(x) в системе координат (х,а). Например, уравнение имеет два решения при а=0 и Это следует из того, что горизонтальные прямые а=0 и графиком (рис.4). имеют две общие точки с Пример 0. Определите все значения параметра а, для которых уравнение имеет два решения. Решение. Второй способ. Нарисуем график уравнения в системе координат (х, а). Возможны случаи:

23 . Отсюда, следовательно, мы должны нарисовать часть полученной параболы в полуплоскости (ниже биссектрисы х = а, рис. 5).. Отсюда Рисуем часть параболы в полуплоскости Горизонталь и объединяем обе кривые. имеет с полученным графиком две общие точки при или (при и три общие точки, при - четыре). а а=х Рис. 4 Рис. 5 Пример 3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке ( единственный корень. Решение. Первый способ. Обозначим вид Уравнение принимает 3 (0) Из монотонности функции на промежутке ( следует, что требуется найти а, при которых уравнение (0) имеет единственное решение на промежутке Построим график уравнения в системе координат (,а) (рис. 6). Для этого раскроем модуль и рассмотрим два случая.

24 а a а - Рис. 6 расположенной не выше параболы Это означает, что в области, вертикальных лучей (это значение постороннее). отрезка прямой ломаная, состоящая из трёх звеньев. Условие график состоит из В области выше параболы график состоит из Таким образом, графиком уравнения является означает, что мы должны взять часть ломаной в закрашенной полосе. Горизонтальная прямая пересекает это множество в одной точке при Замечание. Разумеется, эту задачу можно решить аналитически. Второй способ дословно совпадает с первым до. Далее решаем уравнение (0). Возможны следующие случаи: или. Условиям задачи удовлетворяет Подставляем в неравенство системы и получаем. Подставляем в неравенство системы 4

25 и получаем Кроме того, условие даёт Отсюда Таким образом, уравнение имеет корень при и корень при Следовательно, оно имеет один корень при или Метод областей Метод областей является обобщением метода интервалов на случай плоскости. Пусть, например, требуется решить неравенство Уравнение каждой из которых выражение области, в которых задаёт границу, которая разбивает ОДЗ на области, в сохраняет знак + или -. Выбираем имеет знак + (как это сделать, показано в следующих примерах). Их объединение является решением неравенства. Если требуется, в ответе переходим к аналитической записи решения. Пример 4. Построить на плоскости множество точек (х;у), координаты которых удовлетворяют условию x y 0. x 3x x и x. Решение. Находим ОДЗ: 3x 0 x Таким образом, из координатной плоскости исключаются вертикальные прямые и. Уравнение f(x,y)= 0 задаёт прямые () y x, за исключением их точек пересечения с указанными вертикальными прямыми. Получаем соответствующие области ( рис. 7). Найдём знаки левой части выражения () в областях. В области I возьмём точку (0;0): 0. Следовательно, в этой области выражение f(x,y) имеет знак +. В области II 3 возьмём точку (;): 0. В этой области выражение имеет знак -. Продолжив этот процесс и выделяя штриховкой области со знаком +, получаем 5

26 Рис. 7 Рис. 8 требуемое множество (рис. 8). Точки, лежащие на прямых, выделенных пунктиром, в искомое множество не входят. Пример 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений на интервале (;). Решение. Преобразуем исходное неравенство. Оно равносильно неравенству и системам или () Нарисуем на плоскости хоа множества, задаваемые неравенствами системы (), и пересечём их. Первое из них равносильно совокупности 6

27 Система задаёт множество точек, лежащих не ниже параболы и ниже прямой, а система - множество точек, лежащих не выше параболы и выше прямой (рис. 9). Учитывая условие <х<, получаем закрашенную область. Часть границы, отмеченная пунктиром, в искомое множество не входит. Знаки выражений в областях можно было получить, подставляя в них координаты соответствующих точек (пример 4). Аналогично получаем область, задаваемую вторым неравенством системы () (рис. 30). Пересекаем полученные области и получаем область, задаваемую исходным неравенством с условием <х< (рис. 3). Горизонтальная прямая не пересекает область при или 8 а а х x + Рис. 9 Рис. 30 а x Рис. 3 7

28 Пример 6. При каких значениях параметра а множеством решений неравенства является промежуток (концы промежутка могут ему не принадлежать)? Решение. Сделаем замену переменной. Обозначим a x. Исходное неравенство принимает вид log a. Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств 0, a,, 0 a т.е. 0, a, a Введём координатную плоскость Oa и изобразим на ней г.м.т., задаваемое совокупностью (3) (рис. 3).,. (3) Рис. 3 Проводя на рисунке горизонтальные прямые, т.е. задавая постоянные значения а, получаем, что для прямых при значениях 8 0 a их пересечением с выделенным множеством является промежуток. Его проекция на ось О также промежуток, являющийся решением неравенства. 0 a Окружности. Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид Если требуется убедиться в том, что некоторое выражение задаёт окружность, его надо преобразовать, используя приём выделения полных квадратов. Например, уравнение задаёт

29 окружность, поскольку его можно записать в виде Уравнение задаёт полуокружность с центром (;0) радиуса, расположенную выше оси Ох, поскольку его можно записать в виде Именно так надо было записать выражение в задаче С5 ЕГЭ 03 (пример 9.4.5). Пример 7.. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 3; 33). Указание. Использовать геометрическую интерпретацию системы (рис. Пример 8. Найдите все а, при каждом из которых уравнение Решение. Уравнение равносильно системе имеет единственное решение. Приведём уравнение системы к виду и нарисуем графики функций в обеих его частях ( рис. 34). (4) y Рис. 33 Рис. 34 Это соответственно полуокружность единичного радиуса с центром (4;0) и прямая, проходящая через точку (0;-7). По условиям задачи из полуокружности следует исключить точки (3;0), (4;), (5;0). Находим а, при которых прямая проходит через эти точки, подставляя их координаты в уравнение : 9

30 Найдём также значение а, соответствующее касанию. Возведём уравнение (4) почленно в квадрат, приведём подобные слагаемые и найдём дискриминант полученного квадратного уравнения. Положению касания соответствует значение D=0 (последнее уравнение равносильно то есть даёт точки пересечения прямой и всей окружности; общая точка одна в случае касания). Находим или Искомое а должно быть больше, следовательно,. Условиям задачи отвечают положения прямой, проходящей между точками (3;0) и (5;0), включая (3;0) и не включая (4;), (5;0). Следовательно, Пример 9 (ЕГЭ 05). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений (5) имеет ровно три решения. Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (5). Найдём геометрическое место точек F, задаваемое первым уравнением системы.. Если, то есть точка находится вне единичного круга или на его границе, то Получаем дугу окружности единичного радиуса с центром (;-) (рис. 35).. Если, то есть точка находится внутри круга, то и мы получаем дугу окружности радиуса 5 с центром (-;). Итак, первое уравнение задаёт совокупность F двух дуг окружностей. 30

31 Рис. 35 Рис. 36 Уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом, равным а, и проходящую через точку (;0) (рис. 36). При а=0 система имеет единственное решение, поскольку ось абсцисс является касательной к окружности с центром (;-). При а <0 прямая (на рис. соответствующее положение имеет При а >0 выделим ) и F имеют две общие точки, система имеет два решения. касательную к большей окружности в точке (;0). Пусть - её угловой коэффициент. Рассмотрим также прямую с угловым коэффициентом, проходящую через точки (;0) и (-;0). Условиям задачи отвечают значения а такие, что Находим проведём прямую через точки (-;) и (;0). Тогда (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания). Угловой коэффициент прямой Поскольку, то. равен (;). Пример 30. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система различных решения, удовлетворяющих условию имеет ровно два Решение. Преобразуем уравнения системы, выделяя полные квадраты: Первое уравнение системы при задаёт точку. Следовательно, этот случай не удовлетворяет условиям задачи. При это уравнение задаёт окружность радиуса с центром в точке (;-) (рис. 37). y 3 O 4

32 Рис. 37 Второе уравнение задаёт окружность радиуса 3 с центром, следовательно, эта точка лежит на прямой получаем одной окружности с центром О. Точки окружностей с центрами О и. Из условия Это означает, что решения равноудалены от начала координат, то есть лежат на лежат на пересечении и поэтому симметричны относительно прямой проходящей через. Но точки также должны быть симметричны относительно прямой В силу единственности такой прямой (это серединный перпендикуляр к ) три точки лежат на прямой Находим Отсюда Теперь находим b из двух крайних положений (они отмечены пунктиром, нас устраивает промежуточное положение) окружности с центром Для её радиуса получаем неравенство 4.4. Использование функции Рассмотрим график этой функции. При графиком является угол с вершиной в точке Тогда. Пусть теперь и График изображён на рис. 38. Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 3

33 выполняется ровно для двух различных значений х. Решение. Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю и запишем неравенство в виде (6) y y f (a-) g 0 x x x Рис. 38 Рис. 39 Графиком функции в левой части неравенства является ломаная из трёх звеньев (см. рис. 38). Здесь поскольку без ограничения общности можно считать, что Заметим, что точка середина отрезка Графиком функции в правой части (4) является угол с вершиной (;) (рис. 39). Если вершина (;) лежит не ниже прямой то неравенство имеет бесчисленное множество решений. Нас устраивает такое расположение, когда вершина лежит ниже горизонтальной прямой, стороны угла проходят через точки и угловой коэффициент правой стороны угла меньше углового коэффициента правого звена ломаной. Первое из этих условий является следствием второго, а второе и третье дают: 0 4-a a x Функция рассматривается и в следующем разделе ( пример 34). 5. Оценка значений выражений. Приведём типичные правила для оценки значений выражений.. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое слагаемое. 33

34 . Пусть мы решаем уравнение и известно, что при всех рассматриваемых, где M некоторая постоянная (то есть М есть наибольшее возможное значение функции и наименьшее возможное значение ). Тогда уравнение равносильно системе Заметим, что эти правила эквивалентны и следует выбирать формулировку, которая удобна для данной задачи. В ряде случаев при решении задач удаётся использовать неравенство (оно равносильно (7) (8) связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое неотрицательных чисел, а также неравенство (9) (оно равносильно равенство достигается при ). Задачи на оценку значений выражений часто отличаются визуально: компоненты исследуемых выражений выглядят неоднородно, они получаются с использованием нескольких различных элементарных функций (примеры 3, 33, А5., Б70, Б78, Б79). Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение Решение. Обозначим через выражение в левой части уравнения и пребразуем его:. Обозначим Тогда и из (9) получаем, равенство достигается при Обозначим Из (8) следует Таким образом, наименьшее возможное значение функции равно наибольшему значению функции. Из (7) получаем при при остальных значениях решений нет. 34

35 Замечание. Набольшее и наименьшее значения функций можно было найти с помощью производной и мы рекомендуем это сделать в качестве упражнения. Пример 33. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение его в виде имеет ровно два корня. Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат и запишем Поскольку сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое слагаемое, уравнение равносильно системе Из второго уравнения системы получаем Нарисуем графики (рис. 40). Графики должны иметь ровно две общие точки и при этом Это произойдёт, если или В последнем случае условию отвечает только, так как при -8; 4. y -a x -9 Рис. 40 Пример 34. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение? Решение. Заметим, что наименьшее значение функции при всех равно. Аналогично, при всех (см. рис. 38) и достигается 35

36 и при Поэтому первое уравнение системы обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда каждое из двух рассмотренных выражений равно, и имеет решение На координатной плоскости это множество представляет собой квадрат, диагональ которого скользит по прямой (рис. 4). Рис. 4 Условия задачи означают, что квадрат и угол имеют одну общую точку. Это происходит в следующих случаях:. Правый верхний угол квадрата (его уравнение ) лежит на левой стороне угла:. Левый верхний угол квадрата (его уравнение ) лежит на правой стороне угла: 6. Принцип симметрии. Здесь мы рассмотрим задачи, в условиях которых в том или ином виде используется симметрия: чётные функции, симметричные системы, симметрия решений относительно прямой, плоскости и т.д. К ним, в частности, относится задача С5 демонстрационного варианта ЕГЭ 0 (А6.) и задача С5 одной из волн ЕГЭ 03 (Б03). Пример 35. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. Решение. Обозначим Функция является чётной как сумма чётных функций, 36 Пусть х является решением уравнения Тогда и х является решением: Из

37 условия единственности получаем, что Подставляем х=0 в исходное уравнение и находим значение а: Проверим, будет ли уравнение иметь единственное решение х=0 при найденном значении a. Запишем уравнение в виде. Очевидно, наименьшее значение выражения в левой части уравнения равно : достигается оно при х=0. Поскольку а функция возрастает на отрезке равно, то наибольшее значение выражения в правой части уравнения Таким образом, наименьшее значение одного выражения равно наибольшему значению другого и решением может быть только такое х, при котором эти значения достигаются, то есть х=0. Пример 36. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений (0) имеет единственное решение, и укажите решение системы для каждого из найденных значений а. Решение. Преобразуем второе уравнение системы: Теперь заметим, что если решение системы, то и - решение, и из единственности получаем, что. Положим в первом уравнении Отсюда Из третьего уравнения по условиям задачи При получаем: этих значениях первое уравнение является тождеством относительно z, а второе и третье принимают вид Выражения в левых частях уравнений являются чётными относительно z, следовательно, из условия единственности решения получаем Выясним, будет ли (0;0;0) единственным решением при следует Отсюда Последние неравенства задают на плоскости (рис. 4) y 37 Из (0) при

38 Рис. 4 множества с единственной общей точкой (0;0). Следовательно, единственные возможные значения неизвестных х и у равны 0. Из второго уравнения системы z=0. a=, x=0, y=0, z=0. Пусть 7. Введение вспомогательной функции. В общем случае оно не равносильно уравнению - функции и мы рассматриваем уравнение Например, уравнение не равносильно уравнению () () (в действительности оно равносильно ) и если мы в качестве решения уравнения возьмём, то потеряем бесчисленное множество решений. Но если функция f(y) строго монотонна при рассматриваемых значениях y, то () и () равносильны. Пример 37. Решить уравнение Решение. Заметим, что оба слагаемых в левой части уравнения «устроены» однотипно и введём функцию Исходное уравнение можно записать в виде (3) Исследуем функцию. Она нечётная: 38

39 При возрастает, поскольку является произведением возрастающих положительных функций и Из нечётности следует, что она возрастает на всей действительной оси. Также с помощью нечётности функции преобразуем (3): Значения строго монотонной функции равны тогда и только тогда, когда равны значения аргумента. Поэтому последнее уравнение равносильно уравнению откуда Пример 38. При каких значениях а уравнение имеет ровно два корня? Решение. Используя свойства логарифма, перейдём к уравнению, равносильному исходному: Введём функцию Последнее уравнение запишется в виде (4) Исследуем функцию. Она убывает как сумма двух убывающих функций. Следовательно, при уравнение равносильно уравнению. Поэтому (4) равносильно уравнению (5) с условиями (последнее условие лишнее, оно выполняется автоматически) или уравнению Сделаем рисунок (рис. 43). Горизонтальная прямая пересекает график параболы в двух точках при то есть при или. 8 0 a 4 Рис

40 Замечание. На заключительной стадии решения можно обойтись без рисунка. Вместо (5) рассмотрим уравнение с условием Оно должно иметь два корня:. Находим а, при котором х=0 является корнем: а=0. Следовательно, условиям задачи отвечают все найденные значения а, кроме 0: Далее вспомогательная функция рассматривается в примере 4 (задача С5 ЕГЭ 009), где для её исследования применяется производная. Применение производной. Задачи с параметром, для решения которых используется производная, формально можно отнести к соответствующему типу задач дифференциального исчисления. Однако, ситуация в этих задачах является динамической (меняются промежутки монотонности функций, точки экстремума, кривые в зависимости от параметра меняют конфигурацию) и важно не упустить из вида ни одну из возникающих стандартных ситуаций. В ряде случаев ключевую роль здесь играет момент касания кривых (примеры 6,8, 40, 4). Пример 39. Для каждого положительного значения а найти наибольшее значение функции y = 3 (x - a)3 + (x - a) на отрезке х 0. Решение. Найдем производную: y'(x) = (x - a) + (x - a) = (x - (a - ))(x - a). Стационарными точками являются х = а - и х = а. Рассмотрим следующие случаи:. 0 < a <. На данный отрезок попадает одна критическая точка а -. Поскольку при x a y 0, при a x 0 y 0, наибольшее значение функции на отрезке равно y(a - ) = 4 3. y' a- 0 a x. а. На всем промежутке [-;0) у' > 0, функция на отрезке возрастает и её наибольшее значение равно y(0) = a -. у' a- x 40

41 4 при 0< a <, a - a 3 при a. 3 3 Пример 40. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно различных решения. Решение. ОДЗ: уравнение, равносильное ему:. Выразим а из исходного уравнения и получим Это уравнение задаёт а как функцию a(x) переменной х. Построим её график. Поскольку функция чётная, достаточно исследовать её при x>0. Введём вспомогательную функцию (6) и исследуем её. Находим производную, критическую точку, знаки производной и характер монотонности на получившихся промежутках, характер точки экстремума: точка максимума, g Строим график g(x), затем отражаем симметрично относительно оси Ох его часть, расположенную ниже оси и к полученной кривой добавляем симметричную ей относительно оси Оу (рис.44). Мы получили график функции (6). Горизонтальные прямые a=0 и пересекают график в двух точках. g 0 + x e a e 0 x 4

42 Рис. 44 Замечание. Для решения можно было использовать графический метод в традиционной форме: нарисовать графики функций в левой и правой частях уравнения; с помощью производной найти значение а, при котором происходит касание (рис. 45). Рис. 45 Пример 4. Решить уравнение Решение. Запишем уравнение в виде (7) и рассмотрим функцию записать в виде Тогда уравнение (7) можно Исследуем функцию 4 (8). Она чётная, поскольку является разностью чётных функций Далее, При следовательно, Таким образом, при При на промежутке возрастает, а на промежутке убывает ( рис. 46). Из чётности и монотонности функции на соответствующих промежутках следует, что каждое своё значение (за исключением ) принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках и условие равносильно условию, и

43 следовательно, уравнение (8) равносильно совокупности Отсюда или Решая эти уравнения, получаем Рис. 46 Условия касания кривых y = f(x) и y = g(x) в точке с абсциссой х можно записать в виде системы f x gx, (9) f x gx, поскольку у них общая касательная: совпадают значения в точке х и угловые коэффициенты касательных, то есть производные. Пример 4. Какое наименьшее число решений может быть у первого уравнения системы коэффициенты а и b которой выбираются так, что уравнение имеет не менее трёх решений, а система - ровно одно? Решение. Исходную систему можно записать в виде (30) Первое уравнение этой системы задаёт общие точки синусоиды y = sinx и прямой y = ax+b. Согласно (9) вместе эти уравнения (то есть система) задают точки, в которых прямая является касательной к синусоиде. Таким образом, из условий задачи вытекает, что у синусоиды и прямой должно быть 43

44 не менее трёх общих точек, но только в одной из них происходит касание. Рассматривая различные случаи взаимного расположения синусоиды и касательной (рис. 47), убеждаемся в том, что условиям задачи отвечает положение прямой 3 (у прямой лишь две общие точки с кривой, у прямой три таких точки, но в двух из них происходит касание), у которой четыре общие точки с кривой, и лишь в одной из них происходит касание. 4. Рис Задачи для самостоятельного решения. Группа А ( первая цифра совпадает с номером темы из содержания)... Найти все пары, при каждой из которых система уравнений.. При каких а система имеет бесконечно много решений. (-;6), (6;-). имеет единственное решение?.3. При каких значениях параметра а решения неравенства образуют на числовой оси промежуток длины?.4. При каких значениях а система имеет единственное решение?.5. При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения является наибольшей? Чему равна эта сумма?.. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется при любых.. При каких значениях а существует единственный корень уравнения, удовлетворяющий условию < x <3? 44

45 .3. При каких а уравнение имеет ровно два корня?.4. При каких значениях а уравнение имеет корни и все они лежат на отрезке?.5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство не имеет ни одного решения х, удовлетворяющего условию.6. Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения удовлетворяет неравенству х < Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство справедливо для всех действительных x..8. Найдите все значения а, при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума. ;.9. Найдите все значения а, при каждом из которых функция имеет хотя бы одну точку максимума. ;.0. Для каждого значения найдите уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих ровно две общие точки с графиком функции 3.. При каких значениях а все числа из отрезка - удовлетворяют неравенству 3.. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня, удовлетворяющих неравенству 3.4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение При каких значениях a уравнение имеет ровно три корня, расположенных на отрезке?. 4.. Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет более двух корней. 4.. Найдите все значения параметра a, при которых при любых значениях параметра b уравнение имеет хотя бы одно решение. 45

46 4.3. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два различных решения? 4.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке более двух корней Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке ровно два корня При каких значениях параметра а из условия следует? 4.9. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения 4.0. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно три различных корня. 0; Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения. ; 4.. Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств и являются решениями неравенства 4.3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. 0; Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 3; 4.6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 46

47 имеет ровно три различных корня Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 5.. Решить систему имеет хотя бы одно решение. 5.3.Найдите все значения а и b, при которых система имеет единственное решение. 6.. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. 4; Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 7.. Решить уравнение имеет единственное решение Найдите все значения а, при каждом из которых число решений уравнения не превосходит числа решений уравнения 7.3. Найдите все значения a, при каждом из которых любое решение уравнения принадлежит отрезку [;3]. [-8,5;-3,5]. 8.. При каких значениях параметра a уравнение имеет решения? 8.. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции на множестве, заданном неравенством, не меньше, чем При каких значениях а уравнение 6 0; e. 6 6 x ax e имеет единственное решение? Группа Б.. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку.. При каждом значении а найдите все решения неравенства при а<0 решений нет; при а=0 х>0; при а>0 47

48 3. При каких значениях параметра а неравенство имеет не более одного решения? 4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет решений. 5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет по крайней мере один корень и все его корни являются целыми числами. 6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение а) единственное решение; б) ровно два различных решения. имеет 7. Для каких а уравнение имеет решение? 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 4 различных решения. 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 0. Решить систему для всех значений параметра а. при a=0; при.. Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет решения.. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? При каких (остальных) значениях а все решения этого уравнения принадлежат отрезку 3. При каких а неравенство выполняется при всех? 4. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции на множестве не меньше При каких а уравнение имеет ровно три корня? -8; При каких а уравнение имеет ровно три корня? 0;-; 7. Для каждого значения параметра а решить неравенство 48

49 при решений нет. 8. Найдите наименьшее значение выражения среди всех тех a и b, для которых уравнение имеет ровно три различных корня. Укажите, при каких a и b достигается это наименьшее значение. 9. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции меньше. 0. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение, и укажите решение системы для каждого из найденных значений а. нет.. Найдите наибольшее а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение. решений. При каких а множество значений функции содержит промежуток? Ответ : При каких а множество значений функции содержит отрезок?. 4. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет не более решения. 5. Найдите все пары значений параметров, при каждой из которых уравнение или p любое действительное число. имеет единственное решение. 6. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет более трёх решений. (0;). 7. Найдите все действительные значения параметров p и q, при которых система уравнений имеет два решения и, удовлетворяющие условию 8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 9. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два корня. -3; 9. 49

50 имеет единственное решение. 30. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. 3. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше. 3. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции меньше. 33. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции меньше Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке принимается хотя бы на одном из концов этого отрезка. 35. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет решения. уравнений 36. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 37. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 0;4; Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. 39. Пример. При каких значениях параметра a система уравнений имеет единственное решение? 0; ± Найдите все значения а, при каждом из которых система 50

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Критерии проверки и оценка решений заданий 18 (20 в 2015 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017

Критерии проверки и оценка решений заданий 18 (20 в 2015 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017 Критерии проверки и оценка решений заданий 8 (0 в 05 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 0 Как это обычно бывает, задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ Домашнее задание по задачам С5 к лекции по подготовке к ЕГЭ Задача 1 При каких р данная система имеет решения? Задача При каждом а решите систему уравнений: Задача 3 При каких значениях параметра а прямая

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a)

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a) 4.6. Постройте график функции: ) = []; ) = { }. 4.7. Постройте график функции: ) = ; ) = {}. Упражнения для повторения 4.8. Решите уравнение 3 = 3. 4.9. Постройте график уравнения + =. + 4.. Упростите

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

Из графика видно, что более ( трех пересечений горизонтальных линий с графиком будет при a 0, 1 )

Из графика видно, что более ( трех пересечений горизонтальных линий с графиком будет при a 0, 1 ) Пример 5. Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x 6 + (a x ) 3 + x x + a = 0 (1) имеет более трех различных решений. Судя по виду уравнения, надо проявлять наблюдательность и искать

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Инвариантность и задачи с параметрами

Инвариантность и задачи с параметрами Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

Подробнее

Тема 10 «Графики элементарных функций».

Тема 10 «Графики элементарных функций». Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R. ) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Решение задач с параметрами

Решение задач с параметрами Тема самообразования учителя математики и информатики Методика подготовки старшеклассников к ЕГЭ. Решение задач с параметрами В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x Тема: Исследование функций Обор корней показательных уравнений Подготовка к ЕГЭ (задание ; ; 8) Производная Формулы дифференцирования: 0 Const k m k n n n sin cos cos sin cos sin tg ctg ln Правила дифференцирования:

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

ID_4970 1/7 neznaika.pro

ID_4970 1/7 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3 Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена УВК школа-лицей 2 Уравнение с модулем Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена Армянск 2012 с Глава I Тема: Решение уравнений, содержащие модуль Цель работы: показать

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Использование

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ для поступления на обучение

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Условный экстремум В предыдущем листке «Область значений функции» мы, в частности, выяснили, как в некоторых случаях найти наибольшее и наименьшее значение

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ID_6684 1/8 neznaika.pro

ID_6684 1/8 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ «Математика» Москва 2009 2 Составители: Фисенко С.И., Клевцов В.В.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Методы решения задач с параметром

Методы решения задач с параметром Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов»

Подробнее

g( x) = ax будет пересекать ту часть графика

g( x) = ax будет пересекать ту часть графика ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ И МОДУЛЕМ П Ф Севрюков, г Ставрополь Ранее (см «Математика Всё для учителя!», ) мы рассмотрели решение некоторы задач с параметром На ЕГЭ и вступительны экзамена в вузы школьникам (абитуриентам)

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее