Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математика (Статистика, корреляция и регрессия)"

Транскрипт

1 Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики К.К.Кислов Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Пособие по выполнению контрольных домашних заданий по математической статистике (часть) для студентов ІІ курса всех специальностей дневного обучения Москва-009

2 ББК 57 П 44 Рецензент: канд. физ.-мат. наук А.А.Савченко. Кислов К.К. К93 Данное пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины Высшая математика по учебному плану для студентов ІІ курса всех специальностей дневного обучения, утверждённому в 008г. В пособии приведено 7 вариантов домашних заданий в виде выборок двумерных случайных величин. Дан пример выполнения домашнего задания. Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры. Протокол от и методического совета протокол 5 от

3 3 Содержание Введение.4. Зависимость случайных величин. Корреляция. Линии регрессии.4. Выборочные уравнения регрессии. Статистическая обработка наблюдений Пример выполнения домашнего задания Выборки из генеральной совокупности (X, Y) Приложение.. 38

4 4 Введение Теория корреляции раздел математической статистики, изучающий стохастическую (вероятностную) зависимость оценки условного математического ожидания одной случайной величины от значения других случайных величин, входящих в систему. Теория корреляции опирается на основные соотношения законов распределения систем случайных величин, в которых рассматривают вопросы зависимости случайных величин друг от друга. Основное применение, которое находит теория корреляции, относится к решению задач обоснованного прогноза, то есть указания пределов, в которых с наперед заданной надежностью будут содержаться исследуемые значения признаков, если другие признаки системы получат определенные значения. В методическом указании приведены 8 выборок объемом 50, извлеченных из генеральных совокупностей, в которых системы случайных величин распределен предположительно по нормальному закону. Целью домашнего задания является определение параметров двумерного распределения выборки, уравнения регрессии Y на X, проверки гипотезы о существовании зависимости между признаками X и Y выборки и проверки гипотезы о нормальном распределении системы (X, Y). Даны рекомендации по выполнению контрольных домашних заданий.. Зависимость случайных величин. Корреляция. Линии регрессии В практике применения теории вероятностей сталкиваются с задачами, в которых результат исследования описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему и обозначаемую (X, Y) в случае двух случайных величин X и Y. Систему случайных величин (X, Y) можно толковать как случайную точку или случайный вектор с координатами X и Y.

5 5 В качестве закона распределения вероятности для непрерывной системы случайных величин выступает плотность распределения. Если обозначить плотность распределения первой случайной величины X, входящей в систему, через f ( ), а второй через f ( ), тогда f, ) f ( ) f ( / ) f ( ) f ( / ), ( где f ( / ) - условная плотность распределения случайной величины X; f ( / ) - условная плотность распределения случайной величины Y; / - переменная величина при фиксированном определенном значении. Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если f ( / ) f ( ). Если же f ( / ) f ( ), тогда Y зависит от X. Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, т.е. f, ) f ( ) f ( ). ( Вероятностная или стохастическая зависимость величин X и Y означает то, что, зная значения случайной величины X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать закон распределения Y, зависящий от значения случайной величины X. Случайные величины X и Y системы (X,Y) характеризуются числовыми характеристиками: математическими ожиданиями M[X] = m и M[Y] = m ; дисперсиями D[X]=M[(X -m ) ], D[Y]=M[(Y - m ) ]; корреляционным моментом («моментом связи») K =M[(X - m )( Y - m ) ]. M[X] и M[Y] геометрически означают координату центра рассеивания системы (X,Y) на плоскости 0. D[X] и D[Y] характеризуют степень рассеивания точки (X,Y) в направлении осей 0 и 0 соответственно.

6 6 Корреляционный момент K характеризует помимо рассеивания величин X и Y еще и связь между ними. Если K 0, то это является признаком наличия зависимости между X и Y. Из K =M[(X-m )(Y-m ) ] видно, что К корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин (X,Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины X и Y. Поэтому для характеристики связи X и Y в чистом виде применяется коэффициент корреляции K r, который является безразмерной величиной и может принимать значения от - до +. Здесь D[] и D[ ] - средние квадратические отклонения величин X и Y. Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Случайные величины, для которых r = 0 называются некоррелированными. Некоррелированность случайных величин (r=0) системы (X,Y) не означает их независимость. Могут быть случаи, когда некоррелированные случайные величины будут зависимыми. Однако коррелируемость X и Y означает их вероятностную зависимость. Из условия зависимости случайных величин X и Y f ( / ) f ( ) следует, что условное математическое ожидание случайной величины Y является функцией значений случайной величины X которая называется регрессией Y на X. M [ Y / ] ( ), График функции M [ Y / ] ( ) называется кривой регрессии Y на X.

7 на Y. 7 Аналогично, M[ X / ] ( ) называется регрессией случайной величины X На практике наиболее часто встречаются системы (X,Y) закон распределения которых является нормальным. Этот закон имеет вид: Q(, ) f (, ) e, r где ( ( m ) ( m )( m ) ( m Q, ) [ r r ) ]; m, m - математические ожидания случайных величин X и Y соответственно;, - средние квадратические отклонения величин X и Y; r - коэффициент корреляции. Путем преобразования нормального закона распределения можно показать, что теоретическая линия регрессии величин Y на X является уравнение прямой, m r M [ X / ] r m, а среднее квадратическое отклонение условного распределения Y / r. Аналогично, регрессия X на Y является прямой M [ X / ] r m r m.. Выборочное уравнение регрессии. Статическая обработка наблюдений Пусть над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: (,,(. )...( n, n ) генеральной совокупности.. Эта совокупность значений называется выборкой из

8 8 Рассмотрим задачу определения одной случайной величины Y по данным значений другой, т.е. задачу оценивания значения ненаблюдаемой случайной величины Y по данному значению. ^ ^ Пусть ( ) (игрек с «крышкой») оценка значения величины при данных. Ошибка этой оценки ^ Y представляет собой случайную величину. Точность оценки ^ целесообразно характеризовать средним квадратом ошибки при данном значении : ^ ( ) M[( ( ) Y ) / ]. Средний квадрат ошибки ^ будет минимальным, если принять за ^ математическое ожидание случайной величины Y при данном : ^ ( ) M[ Y / ]. Зависимость оценки ^ величины Y от в этом случае представляет собой регрессию Y на X. Таким образом, оптимальной оценкой зависимости Y от служит регрессия Y на. Для нормального закона распределения вероятностей системы (X,Y) оптимальным прогнозом величины Y по данным значений будет прогноз по регрессии ^ r u r, где ; ; r r, m ; m - оценки соответствующих параметров распределения. Оценивание по теоретической регрессии возможно только в том случае, когда теоретическая регрессия известна. Если она неизвестна или определяемая ею зависимость слишком сложна для практической реализации, то приходится искать оценку зависимости случайной величины Y от Х в некотором

9 9 ограниченном классе функций ( ) - линейные функции или многочлены второй или более высокой степени. Таким образом, уравнение ^ ( ) в ( ) называется выборочным уравнением регрессии Y на X, где в ( ) A B либо в ( ) A B C и т.д. В основу определения коэффициентов А, В, С и т.д. положен метод наименьших квадратов. «Наилучшая» оценка этих коэффициентов обращает в минимум сумму квадратов уклонений наблюдаемых значений при тех же значениях значений n ^ ( ) n A B, т.е. F( A, B) ( ) ( A B) mn. ^ Минимум функции F(А, В) достигается при решении системы от вычисленных F A 0, F B 0. В результате решения этой системы получим: A r ; B r Уравнение оцениваемой прямой имеет вид: ^ r и называется уравнением линейной регрессии Y на X. Это уравнение совпадает с уравнением регрессии нормального закона распределения вероятностей. По методу наименьших квадратов можно находить оценку параметров линии регрессии при нелинейной регрессии, например, для ^ A Оценки параметров А, В, С находятся из условия минимума функции B r C..

10 Коэффициент 0 n (,, ) ( ) mn F A B C A B C. A r в уравнении линейной регрессии называется выборочным коэффициентом регрессии. Он характеризует угол наклона прямой регрессии. Если A>0, то с увеличением значение также возрастает, в то время как при A<0 с возрастанием убывает. Статистическая обработка наблюдений (данных выборки) сводится к вычислению параметров выборки,,,, r по формулам: n n n n ; ; n ( ) ; n n ( ) ; n r n (. ( n ) )( ) Для облегчения процесса вычисления параметров выборки, интервалы изменения и выборки разбивают на k 5lg n частичных интервалов, составляют корреляционную таблицу и производят вычисления. Такой способ вычисления параметров нецелесообразен, т.к. он вносит дополнительные ошибки вычисления параметров. Например, вычисленное значение коэффициента корреляции r в рассматриваемом далее примере при разбиении на 8 интервалов (объем выборки 50) равно 0,466. Значения коэффициента корреляции, вычисленные без разбиения на интервалы по вышеприведенным формулам, равно 0,548, т.е. ошибка вычисления составила 5%. В работе Р.Шторм «Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества» статистически показано влияние длины

11 частичных интервалов на коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции тем меньше, чем больше длина частичных интервалов, т.е. чем грубее группирование. Для вычисления параметров распределения выборки составляется табл.. Первая строка таблицы это номера элементов выборки, вторая и третья строки содержат варианты признаков X и Y соответственно. Суммируя варианты второй и третьей строки, находят суммы n и. Четвертая строка таблицы содержит элементы и n и вычисляют значения. Пятая -. Шестая и седьмая строки таблицы позволяют вычислить дисперсии и. Восьмая строка таблицы служит для вычисления коэффициента корреляции r. Для облегчения вычисления параметров табл. разбивается на подтаблицы, содержащие по десять вариантов выборки. Для выборки объема 50 таких подтаблиц будет пять. Таблица (подтаблица ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) 7. ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) 8. ( ) * ( ) k k k 0 0 k

12 В табл. введено обозначение: k ( )( ). Доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности при надежности и выборке объема n вычисляются по зависимостям: t t ( ( n n q ) q n n ) m m t ; n t ; n ( q ); ( q n n ); r t ( r) n r r t ( r) n. где t определяется по таблицам распределения Стьюдента табл. Приложения; q n - определяется по таблицам распределения Пирсона табл. 3 Приложения. Для выборки объема n=50 и доверительной вероятности t 0,95 =,0 и 0,95; 50 q = 0,. = 0,95 значения В случае если выборочный коэффициент корреляции r 0 и т.к. выборка отобрана случайно, то возникает необходимость при заданном уровне значимости проверки нулевой гипотезы H : 0 - о равенстве нулю коэффициента 0 r корреляции генеральной совокупности. Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции r значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью ^ r В качестве критерии проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина r. r n T, имеющая распределение Стьюдента с k n степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы H : 0 вычисляется выборочное значение критерия ( r) 0 r

13 3 T в r n ( r) и из таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k n находится критическая точка t кр (, k). Например, кр(0,05;48), 0 Если в кр t при объеме выборки n = 50. T t - нулевая гипотеза отвергается, т.е. выборочный коэффициент корреляции r значимо отличается от нуля, r 0 и X и Y коррелированны. Если T t - коэффициент корреляции генеральной совокупности r 0 в кр и X и Y некоррелированы. Предполагая, что система (X,Y) имеет нормальное распределение, проверим эту гипотезу. В сечениях поверхности нормального распределения плоскостями, параллельными плоскостями 0 получаются эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость 0 имеют вид: ( m ) ( m )( m ) ( m ) r const. Центр эллипса (рис.) находится в точке с координатами ( m, m симметрии эллипса составляют с осью 0 углы, определяемые уравнением: r tg. ), оси Это уравнение имеет два значения углов - и, различающиеся на. Ориентация эллипса относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции r системы (X,Y).

14 4 Y V m U 0 m X Значения угла Рис.. в зависимости от знака r и соотношения величин и представлены в табл.. Таблица. r r 0 sn arctg 0;cos r 0 90 sn arctg 0;cos r 0 r 0 sn arctg 0;cos r 0 90 sn arctg 0;cos r 0 При определении угла следует учитывать нечетность функции arctgz, т.е. arctg ( Z) arctgz. Уравнение эллипса рассеивания принимает простой вид в системе u0v ( U m U U ) ( V m V V ).

15 5 Если координатные оси 0 и 0 повернуть вокруг начала координат на угол,тогда полученные новые координатные оси 0u и 0v будут параллельны главным осям эллипса рассеивания. При этом случайные величины (U,V) оказываются некоррелированными и независимыми, т.е. ( U mu ) ( U mv ) U V ( U, V ) e e f. u v Таким образом, проверка гипотезы о нормальном законе распределения системы (X,Y) сводится к проверке гипотезы о законе распределения независимых случайных величин U и V. В системе u0v координаты случайной точки (X,Y) будут: U X cos Y sn, V X sn Y cos. Параметры распределения системы (U,V) определяются по зависимостям: m m D D u v u v m D D m cos cos sn sn m D m D sn, cos, sn cos r r sn cos, sn cos. Исходя из приведенных зависимостей, проверка гипотезы о нормальном распределении системы (X,Y) проводится по следующей схеме:. Определяют угол из уравнения r tg, где, r, - параметры выборки системы (X,Y).. Вычисляют варианты выборки системы (U,V) (U,V ), (U,V ),,(U n,v n ) по уравнениям : U V cos sn sn, cos. где (, ) - варианты выборки системы (X,Y). 3. Определяют параметры выборки системы (U,V) :

16 6 U cos sn, V sn cos, u cos sn r sn cos, v sn cos r sn cos. 4. Производят для каждого из признаков U и V проверку гипотезы о их нормальном распределении по выборочному критерию Пирсона : ( m mt ) в mt, где 5 lg n - число интервалов признаков U и V; m - число вариант выборки признака в -ом интервале; mt PT n - число теоретических вариант признака в -ом интервале. Здесь n - объем выборки; точки (U,V) в интервал ( U, P T - теоретическая вероятность попадания случайной U ), вычисляемая по формуле: P T Ф U u m u Ф U u. u m 5. По таблице критических точек распределения Пирсона для заданного уровня значимости и числу степеней свободы k=-3 находится критическая точка кр (, k) (табл. 4 Приложения). Если для каждого из признаков U и V выполняются неравенства: в ( u) кр(, k) и ( v) кр(, k) в, тогда нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении признаков U и V и, следовательно, системы (X,Y). Если в ( u) кр(, k) или ( v) (, k ) - гипотеза о нормальном распределении системы (X,Y) отвергается.. Пример выполнения домашнего задания в Дана выборка (табл. 3) системы признаков (X,Y), состоящая из 50 пар вариант (, ). Следует определить параметры выборки,,, r и кр, интервальные оценки параметров при доверительной вероятности 0,95, записать

17 7 выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и X на Y, проверить гипотезу о коррелированности признаков X и Y и гипотезу о нормальном распределении системы (X,Y). Таблица ,600-0,55 5,5 0,53 7,47-0,983 3,78 -,43,88 3,09 5,6 -,84 3,55 0,08 3,647 0,5 3,06 4,475 8,63, ,069 7,50,83 4,734 3,836,807 3,9 7,0 30,794 6,705-0,034 3,839-0,940-4,398 -,96 5,50 0,488-3,345-3,896 8, ,393 5,678 8,45 9,78 3,553 6,70 30,30 6,537 8,58,04-4,780-6,908-7,099 4,808 -,69 -,694-4,70-3,90-4,55, ,677 4,68 8,370 3,07 0,59 4,685 8,984 33,347 5,703 7,94 7,67 0,035 -,934-3,988,400,90 -,378 0,07,66, ,370 8,998 3,470 3,480 34,980 6,665 3,55 4,50 30,886 6,636-8,50 0,559-8,3,46-4,638 3,75 3,7 5,508 6,039 6,65 Составляется таблица расчетов параметров распределения выборки (табл. 4). По второй строке таблицы вычисляется среднее значение, по третьей - и эти значения применяются для заполнения четвертой и пятой строк.

18 Таблица ,600 5,5 7,47 3,78,88 5,6 3,55 3,647 3,06 8,63 66,386-0,55 0,53-0,983 -,43 3,09 -,84 0,08 0,5 4,475,58 -,93-6,40-7,80-0,908,05 6,36-4,595 -,304 4,735 6,47-3,404,843 +0,5 0,356-0,0-0,47 -,9 3,6 -,303 0,539-4,700 4,986 3,09 ( -6.40) 6,50 0,84,05 40,466,4,700,40 38,776,566 3,397 0,58 ( +0,5) 0,7 0,000 0,3 3,690 3,8 5,304 0,9,090 4,860 9,560 80,63 ( -6.40) ( +0,5) -0,983 0,050-0,496 -,9-6,643 3,003,584-9,67-6,97 5,698-65, ,069 7,50,83 4,734 3,836,807 3,9 7,0 30,794 6,765 44,669-0,034 3,839-0,940-4,398 -,96 5,50 0,488-3,345-3,896 8,973-5,78-6,40 9,649-8,99-3,988 -,686 -,584-4,63-3,39 0,78 4,374-9,655 +0,5-9,53 4,350-0,49-3,787 -,405 6,0 0,999 -,834-3,385 9,484 ( -6.40) 93,03 79,549,878,84 6,677,80,499 0,6 9,3 93,9 340,79

19 9 ( +0,5) 90,687 8,9 0,84 5,66,974 36,44 0,998 8,03,458 89,946 73,46 ( -6.40) -95,76-36,84,7 6,553 3,630-7,733-3,390 -,6-4,806-9,568-59,76 ( +0,5) ,393 5,678 8,45 9,78 3,553 6,70 30,30 6,537 8,58,04 5,486-4,880-6,908-7,099 4,808 -,69 -,694-4,70-3,50-4,55,768-9,66-6,40-6,07-3,574,005-6,89 -,867-0,5 3,904 0,7,6-4,36 +0,5-4,69-3,569-6,588 5,39 -,08 -,83,880-3,399-4,04,79 ( -6.40) 36,34,773 4,00 47,50 8,9 0,06 5,4 0,04 4,670 8,68 45,457 ( +0,5) 8,4,738 43,40,89,8 4,765 8,94,553 6,3 5,94 50,3 ( -6.40) ( +0,5) 5,79,755-3,07-35,595 3,488 0,546,43-0,398-8,730-9,837-4, ,677 4,6 8,390 3,07 0,59 4,685 8,984 33,347 5,703 7,94 67,949 40

20 0 7,67 0,035 -,934-3,988,400,90 -,378 0,07,66,3 5,573-6,40-3,743 -,59,970 5,597-5,89 -,735,564 6,97-0,77 0,874 +0,5 8,83 0,546 -,43-3,477,9,43-0,867 0,58,73,64 ( -6.40) 4,00 4,66 3,88 3,36 33,977 3,00 6,574 47,983 0,54 0,764 46,70 ( +0,5) 66,96 0,98 5,87,089 3,65 5,8 0,75 0,338 4,7,696 03,0 ( -6.40) ( +0,5) -30,69 -,79-4,773-9,46 -,39-4,87 -,3 4,03 -,558,435-69, ,370 8,998 3,470 3,480 34,980 6,665 3,55 4,50 30,886 6,636 90,5 50-8,50 0,559-8,3,46-4,638 3,75 3,7 5,508 6,039 6,65 6,94-6,40 3,95,578 6,050 5,060 8,560 0,45 -,895 -,99 4,466 0,6 +0,5-8,009,070-7,6,97 4,7 3,086 3,78 6,09 6,550 7,36 ( -6.40) 5,60 6,646 36,60 5,607 73,74 0,060 8,38 3,683 9,945 0,047 89,847 ( +0,5) 64,44,45 58,080 8,833 7,04 3,586 3,898 36,8 4,90 50,9 306,76 ( -6.40) ( +0,5) -3,635,758-46,07 5,038-35,37 0,903-0,79 -,550 9,5,54-85,99

21 По данным табл. 4 вычисляют: r ( ( ( 30, ,40)( 49 6,40) 0,5) 6,40; 05, , ,5) 50 8,65; ,94; 5, ,39; 494,654 4,574 4,39 4,574; 0,5; 0,5. надежности Доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности при = 0,95 и выборке объема n= 50 вычисляются по зависимостям, приведенным в разделе. По табл. Приложения определяется t 0, 95=,0 и по табл. 3 Приложения определяется q 0, 9550 = 0,. В результате получим: или, 7, 7 5 m. Аналогично, При уровне значимости 4,574 4,574 6,4,0 m 6,4, ,74 m 0,7; 3, 6 5,53; 3,4 5,; 0, 7 r 0,30. = 0,05 и n= 50, проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции r генеральной совокупности нормальной двумерной случайной величины (X,Y). Для этого вычисляются значения критерия r n 0,5 48 T в 4,. ( 0,5) r

22 По табл. Приложения находится критическая точка t кр при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n =48, равная t 0,. Так как T, t, 0, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции r в 4 кр генеральной совокупности отвергается и случайные величины X и Y коррелированны и, следовательно, связаны линейной зависимостью. Прямая регрессии Y на X выражается уравнением кр ^ r r 0,5 4,39 4,574 0,5 0,5 4,39 4,574 6,4 0,48,4. Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид: ^ r r 0,54 6,5. Прямая линия регрессии Y на X свидетельствует о тенденции увеличения ^ с уменьшением значений признака X. Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности системы случайных величин (X,Y).. Определяем угол поворота осей 0 и 0 из уравнения: r 0,5 4,574 4,39 tg 8,88. 0,94 8,657 Так как r, 0, получим (таблица ): sn ( arctg8,88) sn( 4,75 ) 4,75 ; 0,666;cos cos( 4,75 ) 0,746 Система уравнений преобразования координат имеет вид: U 0,746 0,666, V 0,666 0,746.. Определяем параметры выборки системы (U,V):

23 3 U 0,746 6,4 0,666 0,5 0,050; V 0,666 6,4 0,746 0,5 7,9; 0,94 (0,746) 8,65 ( 0,666) 0,5 4,574 4,39 0,666 0,746 9,960; u 0,94 ( 0, 666) 8, 65 (0, 746) 0,5 4,574 4,39 0,666 0,746 9,66; v u 5, 473; 3,0. v 3. Проведем пересчет выборки системы признаков (X,Y) в выборку в системе (U,V) по зависимостям: U 0, 746 0, 666 ; V 0, 666 0, 746. Результаты расчетов представлены в табл. 5. Таблица U 3,979 V 9,380,48 6,074 4,7 0,6 3,3 4,008 4,89 9,365,75 6,605 7,634 0,04 6,794 4,63 0,776,37 8,67 0, U 33,59 V 6,543 0,46 4,53 7,659 4,509,38 3,96 9,058 4,450,603 8,63 6,99 5,700,5 5,66 5,567 7,608 6,59 7, U 8,398 V 0,09 3,758,953 5,934 3,640,504 6,79 8,649 4,403,37 5,44 5,75 6,69,40 4,76 4,335 5,664 5,3 6, U,806 V 0,830 8,073 6,08 3,33 6,74 6,54 8,354 4,48 4,76 7,48 7,063,540 8,8 4,830,68 8,067 8,366 9,606 9, U 8,33 V 3,876,60 9,735 9,640 5,564,845,007 9,05 9,84 7,777 0,3 5,406 8,07 4,608 0,43 9,08 5,08 5,457 5,686

24 4 4. Признаки U и V некоррелированы, поэтому проверяют гипотезу о нормальном распределении каждого признака по выборочному критерию Пирсона: ( m mt ) в mt В табл. 6 и 7 представлены результаты расчета критерия Пирсона. Минимальные и максимальные значения вариант U и V определены из табл.5. Шаги изменения вариант будут: U V 33,59 6,59 8 3,383; 5,08 0,09 8,883. В третью строку табл. 6 и 7 занесены варианты табл. 5 в виде штрихов, значения которых при последовательном переборе вариант этой таблицы попадают в соответствующий интервал. В пятой и шестой строках представлены соответствующие значения U U Z и U. V V Z. V Таблица ( U, U ) 6,59 9,9 9,9 3,95 3,95 6,678 6,678 0,06 0,06 3,444 3,444 6,87 6,87 30,0 штрихи m ,0 33,593 Z - -,85 -,34-0,66 0,00 0,60,38,856 Z -,85 -,34-0,66 0,00 0,60,38,856 + P T -0,5-0,468-0,394-0,3 0,080 0,34 0,39 0,4683 P T -0,468-0,394-0,3 0,080 0,34 0,39 0,4683 0,5000 m T,60 3,83 8,0 5,57 7,6 8,00 3,8,58 0,5 0,08 0,000 0,44,500 0,5 0,7 0,36 в 8 в в,45.

25 ( 5 Таблица V, V ) 0,09,90,90 3,785 3,785 5,668 5,668 7,55 7,55 9,434 9,434,37,37 3,00 штрихи m ,00 5,083 Z - -,74 -, ,07 0,74,3,98 Z -,74 -,07-0,500 0,07 0,74,3,98 + P T -0,5000-0,4567-0,3659-0,95 0,046 0,64 0,4067 0,473 P T -0,4567-0,3659-0,95 0,046 0,64 0,4067 0,473 0,5000 m T,6 4,54 8,7,7 0,99 7, 3,3,34,840 0,064 0,88 0, ,086 0,33 0,088 в 8 в в, По табл. 4 Приложения для уровня значимости, например, = 0,05 и числу степеней свободы k находится критическая точка (0,05,5), кр. Так как в кр, для признаков U и V нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин U и V и, следовательно, системы (U,V). Выводы В результате обработки случайной выборки из генеральной совокупности системы случайных величин (X,Y) получено:. Система случайных величин (X,Y) имеет закон нормального распределения вероятностей.. Случайные величины X и Y коррелированны и зависимы. При уменьшении значений случайной величины X средние значения случайной величины Y увеличиваются. Уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет оценку: ^,4 0, Параметры системы (X,Y) генеральной совокупности имеют оценки:.

26 6 m 6,4; m 0, 5; 4, 574 ; 4, 39 ; r 0, 5. 4.Выборки из генеральной совокупности (X,Y) Выборка , , Выборка , Выборка 3

27 , , Выборка Выборка

28 Выборка Выборка

29 Выборка Выборка Выборка

30 Выборка Выборка

31 Выборка Выборка

32 Выборка ,, Выборка Выборка 7

33 Выборка Выборка

34 Выборка Выборка

35 Выборка Выборка

36 Выборка Выборка

37 Выборка Выборка

38 38 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица

39 39

40 40

41 4

42 4

43 43

44 44

45 45 Таблица

46 46 Таблица 3

47 47 Таблица 4

48 48 Таблица 5


Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe :

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 1 ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 0.30-1.4 0.59-1.79 0.4 0.7 1.73 0.45 0.34-0.09 1.09 -.04

Подробнее

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная корреляция Как показано выше, облако точек можно описать двумя линиями регрессии регрессией X на Y и Y на X. Чем меньше угол между этими прямыми, тем сильнее зависимость

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

7 Корреляционный и регрессионный анализ

7 Корреляционный и регрессионный анализ 7 Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ статистических данных.. Регрессионный анализ статистических данных. Статистические связи между переменными можно изучать методами дисперсионного,

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Исходные данные Задана большая выборка, объем которой п 00..49 3.548 4.409 5.08 0.39.096 5.4 4.586 4.49.678 4.08 3.993 4.3 6.9 -.48 5.8 5.07 3.889.3 5.59 9.377.644

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд.

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд. 11 Тесты по математической статистике Тест 1 P 1 Для любого x имеет место соотношение F x правую часть Заполните Дана выборка ( 3,1,,3,1,4, 5) Составьте вариационный ряд 3 Что оценивают x и выборочная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 2. корреляционный анализ) теоретические материалы для студентов ОФиП

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 2. корреляционный анализ) теоретические материалы для студентов ОФиП МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ИЗМЕРЕНИЙ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ИЗМЕРЕНИЙ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УДК...0 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ИЗМЕРЕНИЙ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Павлюков В.С., Павлюков С.В. Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Россия Основные

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX Задача. Монета бросается до тех пор пока два раза подряд она выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того что опыт окончится до шестого бросания. Решение Событие - опыт закончится до шестого

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Пусть у нас есть серии значений двух параметров. Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Подробнее

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач:

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: Лекция Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: 1. Для решения оптимальных задач необходимо

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

где i = 1,2,,k; y1 xmin Номера интервалов и данные расчета их границ занести в Таблицу 1 (графы 1 и 2).

где i = 1,2,,k; y1 xmin Номера интервалов и данные расчета их границ занести в Таблицу 1 (графы 1 и 2). Методические указания к выполнению задания. Преобразование исходной выборки в группированный статистический ряд выполняется в следующем порядке: а). Определить размах выборки R, где m - максимальный, а

Подробнее

Методические указания для выполнения лабораторной работы 2. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X на основании корреляционной таблицы.

Методические указания для выполнения лабораторной работы 2. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X на основании корреляционной таблицы. Методические указания для выполнения лабораторной работы Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X на основании корреляционной таблицы. Методические указания Регрессией Y на X или условным математическим

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Задачи и проблемы корреляционного анализа

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Задачи и проблемы корреляционного анализа 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 4.. Задачи и проблемы корреляционного анализа Главной задачей корреляционного анализа является оценка взаимосвязи между переменными величинами на основе выборочных данных. Различают

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики В.В. БУРАКОВСКИЙ, Н.М.КУРНОСЕНКО ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

3 Доверительные интервалы

3 Доверительные интервалы 1 АГ Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 3 3 Доверительные интервалы 31 Доверительные интервалы параметров нормальной выборки 311 Математическая модель Нормальная выборка x = (x 1,

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел

Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел Цель работы изучение методов получения на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел и тестов проверки их качества. Теоретические

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

, при уровнях значимости = 0, 05

, при уровнях значимости = 0, 05 Задача скачана с сайта wwwqacademru Задача Имеется информация за лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн руб): Годы 9 9 9 93 94 95 96 97 98 99 X,5,6,3 3,7 4,5 6, 7,3 8,7,,8 Y 8,5,3

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н. Тимошенко, А.Н. Козлов В.В. Трофимов СЕРТИФИКАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ АВИАТОПЛИВООБЕСПЕЧЕНИЯ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ Учебно-методическое

Подробнее

Корреляция. u n. Методические указания

Корреляция. u n. Методические указания Методические указания Корреляция Регрессией Y на X или условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X называется функция вида М (Y/ x)=f(x). Регрессией X на Y

Подробнее

Выполнил студент (ИФО 4-2) Карлова А. О. Руководитель проекта к.т.н., доцент Кирьянова Л. В. Проект защищен с оценкой. Фриштер Л. Ю.

Выполнил студент (ИФО 4-2) Карлова А. О. Руководитель проекта к.т.н., доцент Кирьянова Л. В. Проект защищен с оценкой. Фриштер Л. Ю. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ Измерен характерный размер X деталей, обрабатываемых на некотором станке. Замерено 60 деталей. Данные замеров приведены в таблице. детали Размер детали Размер детали Размер 7,58

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9

ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9 https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfetv ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9 Задача. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 00 участников соревнования было отобрано 00 человек. Их распределение

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного

Подробнее

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование Статистическое моделирование. Общая характеристика метода статистического моделирования На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. очень большими. В результате получаются большие дисперсии. X X b X y

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. очень большими. В результате получаются большие дисперсии. X X b X y МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ Серьезной проблемой при построении моделей множественной регрессии на основе метода наименьших квадратов (МНК) является мультиколлинеарность Мультиколлинеарность

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

6 Линейный регрессионный анализ

6 Линейный регрессионный анализ 1 АГ Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 6 6 Линейный регрессионный анализ 61 Построение регрессионной прямой Пусть экспериментатор, задавая значения неслучайной переменной t, в результате

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................... 3 Глава 1 Выборочный метод математической статистики............. 4 1.1. Понятие выборки. Вариационный ряд................ 10 1.2. Наблюдения.

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 8. Статистическая проверка гипотез Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Статистическая гипотеза 2 Ошибки первого и второго

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Лекция 15. Элементы теории корреляции. 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

Лекция 15. Элементы теории корреляции. 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Лекция 5. Элементы теории корреляции.. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, т.е. изменение одной из них по

Подробнее

Расчетно-графическая работа

Расчетно-графическая работа Расчетно-графическая работа РГР на тему «Статистический анализ экспериментальных данных» Дана выборка объем генеральной совокупности. 1) Построить статистический ряд распределения и многоугольник распределения.

Подробнее

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ Проверить значимость уравнения регрессии значит установить, соответствует ли построенное уравнение регрессии экспериментальным данным и достаточно

Подробнее

2 Распределение вероятностей N (a, σ)

2 Распределение вероятностей N (a, σ) А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 2 2 Распределение вероятностей N (a, σ) 2. Определения и обозначения Согласно определению, непрерывная случайная величина ξ имеет стандартное

Подробнее