Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математика (Статистика, корреляция и регрессия)"

Транскрипт

1 Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики К.К.Кислов Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Пособие по выполнению контрольных домашних заданий по математической статистике (часть) для студентов ІІ курса всех специальностей дневного обучения Москва-009

2 ББК 57 П 44 Рецензент: канд. физ.-мат. наук А.А.Савченко. Кислов К.К. К93 Данное пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины Высшая математика по учебному плану для студентов ІІ курса всех специальностей дневного обучения, утверждённому в 008г. В пособии приведено 7 вариантов домашних заданий в виде выборок двумерных случайных величин. Дан пример выполнения домашнего задания. Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры. Протокол от и методического совета протокол 5 от

3 3 Содержание Введение.4. Зависимость случайных величин. Корреляция. Линии регрессии.4. Выборочные уравнения регрессии. Статистическая обработка наблюдений Пример выполнения домашнего задания Выборки из генеральной совокупности (X, Y) Приложение.. 38

4 4 Введение Теория корреляции раздел математической статистики, изучающий стохастическую (вероятностную) зависимость оценки условного математического ожидания одной случайной величины от значения других случайных величин, входящих в систему. Теория корреляции опирается на основные соотношения законов распределения систем случайных величин, в которых рассматривают вопросы зависимости случайных величин друг от друга. Основное применение, которое находит теория корреляции, относится к решению задач обоснованного прогноза, то есть указания пределов, в которых с наперед заданной надежностью будут содержаться исследуемые значения признаков, если другие признаки системы получат определенные значения. В методическом указании приведены 8 выборок объемом 50, извлеченных из генеральных совокупностей, в которых системы случайных величин распределен предположительно по нормальному закону. Целью домашнего задания является определение параметров двумерного распределения выборки, уравнения регрессии Y на X, проверки гипотезы о существовании зависимости между признаками X и Y выборки и проверки гипотезы о нормальном распределении системы (X, Y). Даны рекомендации по выполнению контрольных домашних заданий.. Зависимость случайных величин. Корреляция. Линии регрессии В практике применения теории вероятностей сталкиваются с задачами, в которых результат исследования описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему и обозначаемую (X, Y) в случае двух случайных величин X и Y. Систему случайных величин (X, Y) можно толковать как случайную точку или случайный вектор с координатами X и Y.

5 5 В качестве закона распределения вероятности для непрерывной системы случайных величин выступает плотность распределения. Если обозначить плотность распределения первой случайной величины X, входящей в систему, через f ( ), а второй через f ( ), тогда f, ) f ( ) f ( / ) f ( ) f ( / ), ( где f ( / ) - условная плотность распределения случайной величины X; f ( / ) - условная плотность распределения случайной величины Y; / - переменная величина при фиксированном определенном значении. Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если f ( / ) f ( ). Если же f ( / ) f ( ), тогда Y зависит от X. Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, т.е. f, ) f ( ) f ( ). ( Вероятностная или стохастическая зависимость величин X и Y означает то, что, зная значения случайной величины X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать закон распределения Y, зависящий от значения случайной величины X. Случайные величины X и Y системы (X,Y) характеризуются числовыми характеристиками: математическими ожиданиями M[X] = m и M[Y] = m ; дисперсиями D[X]=M[(X -m ) ], D[Y]=M[(Y - m ) ]; корреляционным моментом («моментом связи») K =M[(X - m )( Y - m ) ]. M[X] и M[Y] геометрически означают координату центра рассеивания системы (X,Y) на плоскости 0. D[X] и D[Y] характеризуют степень рассеивания точки (X,Y) в направлении осей 0 и 0 соответственно.

6 6 Корреляционный момент K характеризует помимо рассеивания величин X и Y еще и связь между ними. Если K 0, то это является признаком наличия зависимости между X и Y. Из K =M[(X-m )(Y-m ) ] видно, что К корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин (X,Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины X и Y. Поэтому для характеристики связи X и Y в чистом виде применяется коэффициент корреляции K r, который является безразмерной величиной и может принимать значения от - до +. Здесь D[] и D[ ] - средние квадратические отклонения величин X и Y. Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Случайные величины, для которых r = 0 называются некоррелированными. Некоррелированность случайных величин (r=0) системы (X,Y) не означает их независимость. Могут быть случаи, когда некоррелированные случайные величины будут зависимыми. Однако коррелируемость X и Y означает их вероятностную зависимость. Из условия зависимости случайных величин X и Y f ( / ) f ( ) следует, что условное математическое ожидание случайной величины Y является функцией значений случайной величины X которая называется регрессией Y на X. M [ Y / ] ( ), График функции M [ Y / ] ( ) называется кривой регрессии Y на X.

7 на Y. 7 Аналогично, M[ X / ] ( ) называется регрессией случайной величины X На практике наиболее часто встречаются системы (X,Y) закон распределения которых является нормальным. Этот закон имеет вид: Q(, ) f (, ) e, r где ( ( m ) ( m )( m ) ( m Q, ) [ r r ) ]; m, m - математические ожидания случайных величин X и Y соответственно;, - средние квадратические отклонения величин X и Y; r - коэффициент корреляции. Путем преобразования нормального закона распределения можно показать, что теоретическая линия регрессии величин Y на X является уравнение прямой, m r M [ X / ] r m, а среднее квадратическое отклонение условного распределения Y / r. Аналогично, регрессия X на Y является прямой M [ X / ] r m r m.. Выборочное уравнение регрессии. Статическая обработка наблюдений Пусть над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: (,,(. )...( n, n ) генеральной совокупности.. Эта совокупность значений называется выборкой из

8 8 Рассмотрим задачу определения одной случайной величины Y по данным значений другой, т.е. задачу оценивания значения ненаблюдаемой случайной величины Y по данному значению. ^ ^ Пусть ( ) (игрек с «крышкой») оценка значения величины при данных. Ошибка этой оценки ^ Y представляет собой случайную величину. Точность оценки ^ целесообразно характеризовать средним квадратом ошибки при данном значении : ^ ( ) M[( ( ) Y ) / ]. Средний квадрат ошибки ^ будет минимальным, если принять за ^ математическое ожидание случайной величины Y при данном : ^ ( ) M[ Y / ]. Зависимость оценки ^ величины Y от в этом случае представляет собой регрессию Y на X. Таким образом, оптимальной оценкой зависимости Y от служит регрессия Y на. Для нормального закона распределения вероятностей системы (X,Y) оптимальным прогнозом величины Y по данным значений будет прогноз по регрессии ^ r u r, где ; ; r r, m ; m - оценки соответствующих параметров распределения. Оценивание по теоретической регрессии возможно только в том случае, когда теоретическая регрессия известна. Если она неизвестна или определяемая ею зависимость слишком сложна для практической реализации, то приходится искать оценку зависимости случайной величины Y от Х в некотором

9 9 ограниченном классе функций ( ) - линейные функции или многочлены второй или более высокой степени. Таким образом, уравнение ^ ( ) в ( ) называется выборочным уравнением регрессии Y на X, где в ( ) A B либо в ( ) A B C и т.д. В основу определения коэффициентов А, В, С и т.д. положен метод наименьших квадратов. «Наилучшая» оценка этих коэффициентов обращает в минимум сумму квадратов уклонений наблюдаемых значений при тех же значениях значений n ^ ( ) n A B, т.е. F( A, B) ( ) ( A B) mn. ^ Минимум функции F(А, В) достигается при решении системы от вычисленных F A 0, F B 0. В результате решения этой системы получим: A r ; B r Уравнение оцениваемой прямой имеет вид: ^ r и называется уравнением линейной регрессии Y на X. Это уравнение совпадает с уравнением регрессии нормального закона распределения вероятностей. По методу наименьших квадратов можно находить оценку параметров линии регрессии при нелинейной регрессии, например, для ^ A Оценки параметров А, В, С находятся из условия минимума функции B r C..

10 Коэффициент 0 n (,, ) ( ) mn F A B C A B C. A r в уравнении линейной регрессии называется выборочным коэффициентом регрессии. Он характеризует угол наклона прямой регрессии. Если A>0, то с увеличением значение также возрастает, в то время как при A<0 с возрастанием убывает. Статистическая обработка наблюдений (данных выборки) сводится к вычислению параметров выборки,,,, r по формулам: n n n n ; ; n ( ) ; n n ( ) ; n r n (. ( n ) )( ) Для облегчения процесса вычисления параметров выборки, интервалы изменения и выборки разбивают на k 5lg n частичных интервалов, составляют корреляционную таблицу и производят вычисления. Такой способ вычисления параметров нецелесообразен, т.к. он вносит дополнительные ошибки вычисления параметров. Например, вычисленное значение коэффициента корреляции r в рассматриваемом далее примере при разбиении на 8 интервалов (объем выборки 50) равно 0,466. Значения коэффициента корреляции, вычисленные без разбиения на интервалы по вышеприведенным формулам, равно 0,548, т.е. ошибка вычисления составила 5%. В работе Р.Шторм «Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества» статистически показано влияние длины

11 частичных интервалов на коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции тем меньше, чем больше длина частичных интервалов, т.е. чем грубее группирование. Для вычисления параметров распределения выборки составляется табл.. Первая строка таблицы это номера элементов выборки, вторая и третья строки содержат варианты признаков X и Y соответственно. Суммируя варианты второй и третьей строки, находят суммы n и. Четвертая строка таблицы содержит элементы и n и вычисляют значения. Пятая -. Шестая и седьмая строки таблицы позволяют вычислить дисперсии и. Восьмая строка таблицы служит для вычисления коэффициента корреляции r. Для облегчения вычисления параметров табл. разбивается на подтаблицы, содержащие по десять вариантов выборки. Для выборки объема 50 таких подтаблиц будет пять. Таблица (подтаблица ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) 7. ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) 8. ( ) * ( ) k k k 0 0 k

12 В табл. введено обозначение: k ( )( ). Доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности при надежности и выборке объема n вычисляются по зависимостям: t t ( ( n n q ) q n n ) m m t ; n t ; n ( q ); ( q n n ); r t ( r) n r r t ( r) n. где t определяется по таблицам распределения Стьюдента табл. Приложения; q n - определяется по таблицам распределения Пирсона табл. 3 Приложения. Для выборки объема n=50 и доверительной вероятности t 0,95 =,0 и 0,95; 50 q = 0,. = 0,95 значения В случае если выборочный коэффициент корреляции r 0 и т.к. выборка отобрана случайно, то возникает необходимость при заданном уровне значимости проверки нулевой гипотезы H : 0 - о равенстве нулю коэффициента 0 r корреляции генеральной совокупности. Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции r значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью ^ r В качестве критерии проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина r. r n T, имеющая распределение Стьюдента с k n степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы H : 0 вычисляется выборочное значение критерия ( r) 0 r

13 3 T в r n ( r) и из таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k n находится критическая точка t кр (, k). Например, кр(0,05;48), 0 Если в кр t при объеме выборки n = 50. T t - нулевая гипотеза отвергается, т.е. выборочный коэффициент корреляции r значимо отличается от нуля, r 0 и X и Y коррелированны. Если T t - коэффициент корреляции генеральной совокупности r 0 в кр и X и Y некоррелированы. Предполагая, что система (X,Y) имеет нормальное распределение, проверим эту гипотезу. В сечениях поверхности нормального распределения плоскостями, параллельными плоскостями 0 получаются эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость 0 имеют вид: ( m ) ( m )( m ) ( m ) r const. Центр эллипса (рис.) находится в точке с координатами ( m, m симметрии эллипса составляют с осью 0 углы, определяемые уравнением: r tg. ), оси Это уравнение имеет два значения углов - и, различающиеся на. Ориентация эллипса относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции r системы (X,Y).

14 4 Y V m U 0 m X Значения угла Рис.. в зависимости от знака r и соотношения величин и представлены в табл.. Таблица. r r 0 sn arctg 0;cos r 0 90 sn arctg 0;cos r 0 r 0 sn arctg 0;cos r 0 90 sn arctg 0;cos r 0 При определении угла следует учитывать нечетность функции arctgz, т.е. arctg ( Z) arctgz. Уравнение эллипса рассеивания принимает простой вид в системе u0v ( U m U U ) ( V m V V ).

15 5 Если координатные оси 0 и 0 повернуть вокруг начала координат на угол,тогда полученные новые координатные оси 0u и 0v будут параллельны главным осям эллипса рассеивания. При этом случайные величины (U,V) оказываются некоррелированными и независимыми, т.е. ( U mu ) ( U mv ) U V ( U, V ) e e f. u v Таким образом, проверка гипотезы о нормальном законе распределения системы (X,Y) сводится к проверке гипотезы о законе распределения независимых случайных величин U и V. В системе u0v координаты случайной точки (X,Y) будут: U X cos Y sn, V X sn Y cos. Параметры распределения системы (U,V) определяются по зависимостям: m m D D u v u v m D D m cos cos sn sn m D m D sn, cos, sn cos r r sn cos, sn cos. Исходя из приведенных зависимостей, проверка гипотезы о нормальном распределении системы (X,Y) проводится по следующей схеме:. Определяют угол из уравнения r tg, где, r, - параметры выборки системы (X,Y).. Вычисляют варианты выборки системы (U,V) (U,V ), (U,V ),,(U n,v n ) по уравнениям : U V cos sn sn, cos. где (, ) - варианты выборки системы (X,Y). 3. Определяют параметры выборки системы (U,V) :

16 6 U cos sn, V sn cos, u cos sn r sn cos, v sn cos r sn cos. 4. Производят для каждого из признаков U и V проверку гипотезы о их нормальном распределении по выборочному критерию Пирсона : ( m mt ) в mt, где 5 lg n - число интервалов признаков U и V; m - число вариант выборки признака в -ом интервале; mt PT n - число теоретических вариант признака в -ом интервале. Здесь n - объем выборки; точки (U,V) в интервал ( U, P T - теоретическая вероятность попадания случайной U ), вычисляемая по формуле: P T Ф U u m u Ф U u. u m 5. По таблице критических точек распределения Пирсона для заданного уровня значимости и числу степеней свободы k=-3 находится критическая точка кр (, k) (табл. 4 Приложения). Если для каждого из признаков U и V выполняются неравенства: в ( u) кр(, k) и ( v) кр(, k) в, тогда нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении признаков U и V и, следовательно, системы (X,Y). Если в ( u) кр(, k) или ( v) (, k ) - гипотеза о нормальном распределении системы (X,Y) отвергается.. Пример выполнения домашнего задания в Дана выборка (табл. 3) системы признаков (X,Y), состоящая из 50 пар вариант (, ). Следует определить параметры выборки,,, r и кр, интервальные оценки параметров при доверительной вероятности 0,95, записать

17 7 выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и X на Y, проверить гипотезу о коррелированности признаков X и Y и гипотезу о нормальном распределении системы (X,Y). Таблица ,600-0,55 5,5 0,53 7,47-0,983 3,78 -,43,88 3,09 5,6 -,84 3,55 0,08 3,647 0,5 3,06 4,475 8,63, ,069 7,50,83 4,734 3,836,807 3,9 7,0 30,794 6,705-0,034 3,839-0,940-4,398 -,96 5,50 0,488-3,345-3,896 8, ,393 5,678 8,45 9,78 3,553 6,70 30,30 6,537 8,58,04-4,780-6,908-7,099 4,808 -,69 -,694-4,70-3,90-4,55, ,677 4,68 8,370 3,07 0,59 4,685 8,984 33,347 5,703 7,94 7,67 0,035 -,934-3,988,400,90 -,378 0,07,66, ,370 8,998 3,470 3,480 34,980 6,665 3,55 4,50 30,886 6,636-8,50 0,559-8,3,46-4,638 3,75 3,7 5,508 6,039 6,65 Составляется таблица расчетов параметров распределения выборки (табл. 4). По второй строке таблицы вычисляется среднее значение, по третьей - и эти значения применяются для заполнения четвертой и пятой строк.

18 Таблица ,600 5,5 7,47 3,78,88 5,6 3,55 3,647 3,06 8,63 66,386-0,55 0,53-0,983 -,43 3,09 -,84 0,08 0,5 4,475,58 -,93-6,40-7,80-0,908,05 6,36-4,595 -,304 4,735 6,47-3,404,843 +0,5 0,356-0,0-0,47 -,9 3,6 -,303 0,539-4,700 4,986 3,09 ( -6.40) 6,50 0,84,05 40,466,4,700,40 38,776,566 3,397 0,58 ( +0,5) 0,7 0,000 0,3 3,690 3,8 5,304 0,9,090 4,860 9,560 80,63 ( -6.40) ( +0,5) -0,983 0,050-0,496 -,9-6,643 3,003,584-9,67-6,97 5,698-65, ,069 7,50,83 4,734 3,836,807 3,9 7,0 30,794 6,765 44,669-0,034 3,839-0,940-4,398 -,96 5,50 0,488-3,345-3,896 8,973-5,78-6,40 9,649-8,99-3,988 -,686 -,584-4,63-3,39 0,78 4,374-9,655 +0,5-9,53 4,350-0,49-3,787 -,405 6,0 0,999 -,834-3,385 9,484 ( -6.40) 93,03 79,549,878,84 6,677,80,499 0,6 9,3 93,9 340,79

19 9 ( +0,5) 90,687 8,9 0,84 5,66,974 36,44 0,998 8,03,458 89,946 73,46 ( -6.40) -95,76-36,84,7 6,553 3,630-7,733-3,390 -,6-4,806-9,568-59,76 ( +0,5) ,393 5,678 8,45 9,78 3,553 6,70 30,30 6,537 8,58,04 5,486-4,880-6,908-7,099 4,808 -,69 -,694-4,70-3,50-4,55,768-9,66-6,40-6,07-3,574,005-6,89 -,867-0,5 3,904 0,7,6-4,36 +0,5-4,69-3,569-6,588 5,39 -,08 -,83,880-3,399-4,04,79 ( -6.40) 36,34,773 4,00 47,50 8,9 0,06 5,4 0,04 4,670 8,68 45,457 ( +0,5) 8,4,738 43,40,89,8 4,765 8,94,553 6,3 5,94 50,3 ( -6.40) ( +0,5) 5,79,755-3,07-35,595 3,488 0,546,43-0,398-8,730-9,837-4, ,677 4,6 8,390 3,07 0,59 4,685 8,984 33,347 5,703 7,94 67,949 40

20 0 7,67 0,035 -,934-3,988,400,90 -,378 0,07,66,3 5,573-6,40-3,743 -,59,970 5,597-5,89 -,735,564 6,97-0,77 0,874 +0,5 8,83 0,546 -,43-3,477,9,43-0,867 0,58,73,64 ( -6.40) 4,00 4,66 3,88 3,36 33,977 3,00 6,574 47,983 0,54 0,764 46,70 ( +0,5) 66,96 0,98 5,87,089 3,65 5,8 0,75 0,338 4,7,696 03,0 ( -6.40) ( +0,5) -30,69 -,79-4,773-9,46 -,39-4,87 -,3 4,03 -,558,435-69, ,370 8,998 3,470 3,480 34,980 6,665 3,55 4,50 30,886 6,636 90,5 50-8,50 0,559-8,3,46-4,638 3,75 3,7 5,508 6,039 6,65 6,94-6,40 3,95,578 6,050 5,060 8,560 0,45 -,895 -,99 4,466 0,6 +0,5-8,009,070-7,6,97 4,7 3,086 3,78 6,09 6,550 7,36 ( -6.40) 5,60 6,646 36,60 5,607 73,74 0,060 8,38 3,683 9,945 0,047 89,847 ( +0,5) 64,44,45 58,080 8,833 7,04 3,586 3,898 36,8 4,90 50,9 306,76 ( -6.40) ( +0,5) -3,635,758-46,07 5,038-35,37 0,903-0,79 -,550 9,5,54-85,99

21 По данным табл. 4 вычисляют: r ( ( ( 30, ,40)( 49 6,40) 0,5) 6,40; 05, , ,5) 50 8,65; ,94; 5, ,39; 494,654 4,574 4,39 4,574; 0,5; 0,5. надежности Доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности при = 0,95 и выборке объема n= 50 вычисляются по зависимостям, приведенным в разделе. По табл. Приложения определяется t 0, 95=,0 и по табл. 3 Приложения определяется q 0, 9550 = 0,. В результате получим: или, 7, 7 5 m. Аналогично, При уровне значимости 4,574 4,574 6,4,0 m 6,4, ,74 m 0,7; 3, 6 5,53; 3,4 5,; 0, 7 r 0,30. = 0,05 и n= 50, проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции r генеральной совокупности нормальной двумерной случайной величины (X,Y). Для этого вычисляются значения критерия r n 0,5 48 T в 4,. ( 0,5) r

22 По табл. Приложения находится критическая точка t кр при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n =48, равная t 0,. Так как T, t, 0, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции r в 4 кр генеральной совокупности отвергается и случайные величины X и Y коррелированны и, следовательно, связаны линейной зависимостью. Прямая регрессии Y на X выражается уравнением кр ^ r r 0,5 4,39 4,574 0,5 0,5 4,39 4,574 6,4 0,48,4. Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид: ^ r r 0,54 6,5. Прямая линия регрессии Y на X свидетельствует о тенденции увеличения ^ с уменьшением значений признака X. Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности системы случайных величин (X,Y).. Определяем угол поворота осей 0 и 0 из уравнения: r 0,5 4,574 4,39 tg 8,88. 0,94 8,657 Так как r, 0, получим (таблица ): sn ( arctg8,88) sn( 4,75 ) 4,75 ; 0,666;cos cos( 4,75 ) 0,746 Система уравнений преобразования координат имеет вид: U 0,746 0,666, V 0,666 0,746.. Определяем параметры выборки системы (U,V):

23 3 U 0,746 6,4 0,666 0,5 0,050; V 0,666 6,4 0,746 0,5 7,9; 0,94 (0,746) 8,65 ( 0,666) 0,5 4,574 4,39 0,666 0,746 9,960; u 0,94 ( 0, 666) 8, 65 (0, 746) 0,5 4,574 4,39 0,666 0,746 9,66; v u 5, 473; 3,0. v 3. Проведем пересчет выборки системы признаков (X,Y) в выборку в системе (U,V) по зависимостям: U 0, 746 0, 666 ; V 0, 666 0, 746. Результаты расчетов представлены в табл. 5. Таблица U 3,979 V 9,380,48 6,074 4,7 0,6 3,3 4,008 4,89 9,365,75 6,605 7,634 0,04 6,794 4,63 0,776,37 8,67 0, U 33,59 V 6,543 0,46 4,53 7,659 4,509,38 3,96 9,058 4,450,603 8,63 6,99 5,700,5 5,66 5,567 7,608 6,59 7, U 8,398 V 0,09 3,758,953 5,934 3,640,504 6,79 8,649 4,403,37 5,44 5,75 6,69,40 4,76 4,335 5,664 5,3 6, U,806 V 0,830 8,073 6,08 3,33 6,74 6,54 8,354 4,48 4,76 7,48 7,063,540 8,8 4,830,68 8,067 8,366 9,606 9, U 8,33 V 3,876,60 9,735 9,640 5,564,845,007 9,05 9,84 7,777 0,3 5,406 8,07 4,608 0,43 9,08 5,08 5,457 5,686

24 4 4. Признаки U и V некоррелированы, поэтому проверяют гипотезу о нормальном распределении каждого признака по выборочному критерию Пирсона: ( m mt ) в mt В табл. 6 и 7 представлены результаты расчета критерия Пирсона. Минимальные и максимальные значения вариант U и V определены из табл.5. Шаги изменения вариант будут: U V 33,59 6,59 8 3,383; 5,08 0,09 8,883. В третью строку табл. 6 и 7 занесены варианты табл. 5 в виде штрихов, значения которых при последовательном переборе вариант этой таблицы попадают в соответствующий интервал. В пятой и шестой строках представлены соответствующие значения U U Z и U. V V Z. V Таблица ( U, U ) 6,59 9,9 9,9 3,95 3,95 6,678 6,678 0,06 0,06 3,444 3,444 6,87 6,87 30,0 штрихи m ,0 33,593 Z - -,85 -,34-0,66 0,00 0,60,38,856 Z -,85 -,34-0,66 0,00 0,60,38,856 + P T -0,5-0,468-0,394-0,3 0,080 0,34 0,39 0,4683 P T -0,468-0,394-0,3 0,080 0,34 0,39 0,4683 0,5000 m T,60 3,83 8,0 5,57 7,6 8,00 3,8,58 0,5 0,08 0,000 0,44,500 0,5 0,7 0,36 в 8 в в,45.

25 ( 5 Таблица V, V ) 0,09,90,90 3,785 3,785 5,668 5,668 7,55 7,55 9,434 9,434,37,37 3,00 штрихи m ,00 5,083 Z - -,74 -, ,07 0,74,3,98 Z -,74 -,07-0,500 0,07 0,74,3,98 + P T -0,5000-0,4567-0,3659-0,95 0,046 0,64 0,4067 0,473 P T -0,4567-0,3659-0,95 0,046 0,64 0,4067 0,473 0,5000 m T,6 4,54 8,7,7 0,99 7, 3,3,34,840 0,064 0,88 0, ,086 0,33 0,088 в 8 в в, По табл. 4 Приложения для уровня значимости, например, = 0,05 и числу степеней свободы k находится критическая точка (0,05,5), кр. Так как в кр, для признаков U и V нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин U и V и, следовательно, системы (U,V). Выводы В результате обработки случайной выборки из генеральной совокупности системы случайных величин (X,Y) получено:. Система случайных величин (X,Y) имеет закон нормального распределения вероятностей.. Случайные величины X и Y коррелированны и зависимы. При уменьшении значений случайной величины X средние значения случайной величины Y увеличиваются. Уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет оценку: ^,4 0, Параметры системы (X,Y) генеральной совокупности имеют оценки:.

26 6 m 6,4; m 0, 5; 4, 574 ; 4, 39 ; r 0, 5. 4.Выборки из генеральной совокупности (X,Y) Выборка , , Выборка , Выборка 3

27 , , Выборка Выборка

28 Выборка Выборка

29 Выборка Выборка Выборка

30 Выборка Выборка

31 Выборка Выборка

32 Выборка ,, Выборка Выборка 7

33 Выборка Выборка

34 Выборка Выборка

35 Выборка Выборка

36 Выборка Выборка

37 Выборка Выборка

38 38 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица

39 39

40 40

41 4

42 4

43 43

44 44

45 45 Таблица

46 46 Таблица 3

47 47 Таблица 4

48 48 Таблица 5

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

7 Корреляционный и регрессионный анализ

7 Корреляционный и регрессионный анализ 7 Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ статистических данных.. Регрессионный анализ статистических данных. Статистические связи между переменными можно изучать методами дисперсионного,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная корреляция Как показано выше, облако точек можно описать двумя линиями регрессии регрессией X на Y и Y на X. Чем меньше угол между этими прямыми, тем сильнее зависимость

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

j n n ij Р i вероятность попадания объекта в i-строку, Р j вероятность попадания объекта в j-столбец,

j n n ij Р i вероятность попадания объекта в i-строку, Р j вероятность попадания объекта в j-столбец, 3 Методы статистической обработки данных 3. Анализ таблиц сопряженности. Для исследования взаимосвязи пары качественных признаков между собой применяется анализ таблиц сопряженности. Таблица сопряженности

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения 1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Подробнее

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА Тестовые задания по математике для студентов курсов СГГА Пояснение к выполнению тестового задания. Прочитайте внимательно текст задания.. Если в ответах указан символ «Ο» то нужно выбрать единственный

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа Корреляционный анализ Оглавление Понятие корреляционного и регрессионного анализа... 3 Парный корреляционный анализ. Коэффициент корреляции... 4 Задание

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Дисциплина «Методы и статистика исследований» 1. Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели.

Дисциплина «Методы и статистика исследований» 1. Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели. НОВЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Т.РЫСКУЛОВА Научно-педагогическая Магистратура 1курс кафедры Специальности : «6М090200-Таможенное дело», «6М051000-Государственное и местное управление», «6М020200-Международные

Подробнее

Эконометрика. Модель линейной регрессии. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет

Эконометрика. Модель линейной регрессии. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет Эконометрика Модель линейной регрессии Шишкин Владимир Андреевич Пермский государственный национальный исследовательский университет Вероятностью P(A) события A называется численная мера степени объективной

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 :

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 : Семинары по эконометрике 0 год Преподаватель: Вакуленко ЕС Семинар 3 Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Контрольная работа по дисциплине Эконометрика

Контрольная работа по дисциплине Эконометрика Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный технический университет Кафедра прикладной математики Контрольная работа по дисциплине Эконометрика Выполнил: Студент группы

Подробнее

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения 1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

Системы случайных величин

Системы случайных величин Corght ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет Системы случайных величин Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Математика для экономистов

Математика для экономистов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» УГТУ Математика для экономистов

Подробнее

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Подробнее

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования В.И. Гнатюк, 4 Глава 4 Параграф 4 4.4. Оценка адекватности моделирования Оценка адекватности динамической адаптивной модели электропотребления техноценоза [9,] включает две основные процедуры. Первая заключается

Подробнее

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9 Математика. Задание 1. По координатам вершин пирамиды A 1 A A 3 A 4 найти: 1. Длины рјбер A 1 A и A 1 A 3 ;. Угол между рјбрами A 1 A и A 1 A 3 ; 3. площадь грани A 1 A A 3 ; 4. объјм пирамиды; 5. уравнения

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

1. Краткие теоретические сведения

1. Краткие теоретические сведения . Краткие теоретические сведения.. Основные распределения, используемые в математической статистике Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция

Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция Иткин В.Ю. Модели ARMAX Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция 4.1. Пример временного ряда Рассмотрим пример: серия измерений давления газа на выходе из абсорбера на УКПГ. На первый взгляд,

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа 55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Н.О.Фастовец, М.А.Попов Математическая статистика примеры, задачи и типовые задания учебное пособие для нефтегазового образования Москва - - Введение Основное содержание математической статистики составляют

Подробнее