МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению «Геодезия» и «Фотограмметрия и дистанционное зондирование»

2 Составитель ОВИсакова Редактор ГАСуворченкова Расчётные задания и методические рекомендации для студентов по самостоятельному изучению раздела высшей математики «Аналитическая геометрия» М: Изд МИИГАиК, Данные методические указания к решению задач по аналитической геометрии и расчётные индивидуальные задания написаны в соответствии с утверждённой программой курса «Высшая математика», рекомендованы кафедрой высшей математики, утверждены к изданию редакционноиздательской комиссией геодезического факультета В методических указаниях содержаться вариантов индивидуальных расчётных заданий Приводятся необходимые теоретические сведения, проводится разбор решения типовых заданий, что позволяет студентам самостоятельно работать над практическим материалом курса «Аналитическая геометрия» Рецензенты: доцент кафедры высшей математики АОТимохина, ГСУВПО МГУПП доцент кафедры высшей математики ЛАСайкова, МосГУГиК Московский Государственный Университет геодезии и картографии,

3 РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» I Решить задачи по теме «Прямая на плоскости»: Написать уравнение прямой, проходящей через точки А и B Через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ Найти расстояние от точки К, -8) до прямой АВ Даны вершины треугольника А, B, С Найти: а) длины сторон; б) уравнения сторон; в) уравнение высоты BD; г) уравнение медианы AF; д) длину медианы AF; е) уравнение биссектрисы CE; ж) площадь треугольника ABC; з) угол С 5 Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р, ) и через точку пересечения прямых АВ и ВС 6 Найти ординату точки М, лежащей на прямой, проходящей через точки А и B, если абсцисса точки М: х= Написать уравнение прямой, проходящую через точку пересечения прямых АВ и и параллельной прямой Для выполнения расчётной работы из таблицы надо выбрать точки в соответствии с номером своего варианта варианта А B C -, ), ) -, ) -, ), -) -,-), ) -, -) -, ) -, ) -,-) -, ) 5,-), -) -, ) 6, ),-),-), ), ),-) 8 -, ),-) -, ) 9, ) -, ) -, ) -, ), ),-), -), ) -, ), ) -, 5),-),-), ) -, ), ), 5), ) 5,-), 5),-) 6 -, ), ), ) -, ),-),-)

4 8 5,-),-), ) 9,-), ), ), ),-) -, ), 5) -, ), ), 5) -, ),-), ), ),-) -, 5),-) -, ) 5, ) -, ) -, ) 6, ), ),-) -, ) -, ) 5,-) 8,-), ), ) 9, ), ) 5,-), -),-) 5,-) II Решить задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве»: Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D, параллельно плоскости ABC Найти угол между плоскостями ABC и BDF При каком значении параметра угол между плоскостями х 8 и BDF будет равен 6 5 Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B 6 Найти проекцию точки Е на плоскость ABC Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей ABC и BDF 8 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой, полученной в задаче 9 Найти расстояние от точки А до прямой, проходящей через точки B и D Найти расстояние от точки А до плоскости BDF При каком α прямая DЕ параллельна плоскости Найти угол между прямой AB и плоскостью BDF Найти угол между прямыми AB и BD Найти при каких α и β прямая перпендикулярна плоскости ABC 5 Найти проекцию точки Е на прямую BD 6 Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые AB и СD Найти расстояние между прямыми AB и DЕ

5 5 Для выполнения расчётной работы из таблицы надо выбрать точки в соответствии с номером своего варианта варианта А B C D E -,, ),, ),, ), -, ),, ),, -), -, -),, ), -, ) -,, ),, -), 5, -) -,, ) -,, -) -,, ),, ), 5, ),, ), -, -),, ) 5,, ) -, -, ),, ), 5, ) -,, ) 6 -,, ) -,, ),, ) -,, ), -, ), -, ),, ) -,, ),, ), -, ) 8 -,, -),, -) -,, ), -, -),, ) 9, -, ) -,, ) -,, -), -, ) -,, ), -, -) -,, ) -,, ), -5, ),, ) -,, ),, ) -,, ) -,, ),, ),, ) -,, ),, -), -, ),, -) -,, ),, ) -,, ) -, -, ),, ) -,, -),, ) -,, ),, ),, -) 5 -,, ) -,, ) -,, ),, ), -, ) 6,, -),, ),, -), -, ) -,, ) -,, ),, ) -,, ),, ), -, -) 8,, ) -,, ),, ), -, ), -, ) 9 -,, -) -,, ) -,, ), -, -),, ), -, ), -5, ) -, -, ), -, -),, -),, -),, ) -,, -),, -),, ),, -),, ),, ), -, ) -,, ) -,, ) -,, ) -,, ),, ) -,, ) -,, -),, ),, ),, ), -, -) 5 -,, ),, ) -,, ) -, -, ), -, ) 6 -, -, ) -, -, ) -, -, ),, -),, -),, -) 5,, ) -,, ),, ),, ) 8 -,, ),, ),, ),, ) -,, ) 9 -,, ) -,, ),, ), -, ),, ),, -),, ) -,, ) -,, ) -,, ) III Решить задачи по теме «Кривые второго порядка»: Привести уравнение, выбранное из таблицы в соответствии с номером своего варианта, к каноническому виду, определить все характеристики кривой и построить её график

6 варианта Уравнение кривой варианта Уравнение кривой х х х х РАЗБОР ТИПОВЫХ ЗАДАЧ Прямая на плоскости Задача Найти уравнение прямой, проходящей через точки A ; ) и B 5;) Решение Уравнение прямой, проходящей через точки M ; ) и M ; ) : Тогда уравнение прямой АВ: 5 Ответ:

7 Задача Даны вершины треугольника ABC : A ; ), B; 6), C; ) Написать уравнение высоты BD Решение Высота BD прямая, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АС Уравнение прямой АС: 6 Уравнение прямой, проходящей через точку M ; ) перпендикулярно прямой k b : ) k Тогда уравнение высоты BD: 6 ) => 6 6 <=> Ответ: Задача Найти расстояние между параллельными прямыми : 6 и : 6 5 Решение Две прямые A B C и A B C параллельны, если их векторы нормалей N A ; B ) и N A ; B ) коллинеарны, те A A B B если это отношение ещё равно C, то прямые совпадают) C, тк Легко подобрать точку, лежащую, например, на : Пусть 6 M ; )

8 8 Расстояние от точки M ; ) до прямой A B C формуле d A B C M ) A B вычисляется по 6 5 В задаче d M) - расстояние от точки M до прямой Оно совпадает с расстоянием между и Ответ: d Задача Найти проекцию М точки P 8;) на прямую, проходящую через точки A ; ) и B 5;) Решение Проекция М точки Р на прямую АВ является точкой пересечения перпендикулярной к АВ прямой РМ с прямой АВ Уравнение АВ: 5 8 Прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через Р, имеет вид: 8) 8 56 Найдем точку М пересечения прямых АВ и РМ, то есть решим систему: Умножим первое уравнение на, второе на и сложим: => 5 Координаты точки M ; 5)

9 9 Ответ: M ; 5) Задача 5 Написать уравнение биссектрисы угла А в треугольнике АВС, вершины которого А; ), В-; ) и С; ) Решение Уравнение АВ: 6 х ) у ) Уравнение АС: х ) 8 у ) Биссектриса это есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла Поэтому приравниваем расстояния от точки М х, у) до прямых АВ и АС х у 9 6 х у 9 6 Учитывая, что отклонения точек В и С от биссектрисы должны быть разных знаков, получим у х 5 5 х 6х у х у х Ответ: х = Задача 6 Через точку А;-) провести прямую, параллельную прямой, проходящей через точки В;-) и С-; ) Решение Уравнение ВС: х ) 6 у )

10 У параллельной прямой коэффициенты при х и у должны быть такие же, а свободный член неизвестен, те Подставим координаты точки А;-): Тогда искомая прямая имеет вид Ответ: х +у + = D ) D D Прямая и плоскость в пространстве Задача Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M ; ; ), M ;; ), M ; ;) Решение Возьмём точку M ; ; ) Векторы М М, М М и М М компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно М М, М М, М М ), М М М М М М ; ; ; ; ; ; => <=> ) ) х у Ответ: х у Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р; -; ) перпендикулярно вектору AB, если A ; ;), B ; ;)

11 Решение Вектор AB, перпендикулярный исходной плоскости, берем в качестве вектора нормали AB ; ; N Тогда уравнение плоскости с заданным вектором нормали N A; B; C), проходящей через точку M ; ; ) : A ) B ) C ) Искомая плоскость: ) ) ) Ответ: = Задача Пересекает ли плоскость 5 5 отрезок АВ, концы которого A ; ; ) и B 5; ; 6)? Решение Если плоскость пересекает отрезок, то отклонения точек концов отрезка должны быть разных знаков; если не пересекает, то знаки отклонений должны быть одинаковые От общего уравнения перейдем к нормальному уравнению плоскости: 5 5 N 5; ; N Для получения нормального уравнения обе части общего уравнения умножаем на нормирующий множитель, причем N 8 sgn sgn C, те на 8

12 5 8 A) B) ) Ответ: плоскость пересекает отрезок АВ Задача Найти объем пирамиды и площади треугольников, отсекаемых плоскостью 6 от координатных осей Решение От общего уравнения плоскости 6 перейдем к уравнению плоскости в отрезках: Тогда V пир = 8 6 квед) 6 o o o 8 6 ; 8 6; 6 Ответ: V пир = ; ; 6; o o o Задача 5 Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки M ;; ) и M ; ; 5) Решение

13 Если плоскость параллельна какой-либо прямой, то она параллельна направляющему вектору этой прямой Направляющий вектор оси ОХ это i ; ; ) Вектор M M ; ; ) Таким образом, можно взять точку M ; ; ) и вектор M M или M M ) соответственно Тогда векторы i, M M и M M компланарны и Ответ: π: у + = Задача 6 Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости 5 и проходящей через точку ; ; ) P Решение Две плоскости A B C D и A B C D параллельны, если векторы N и N - коллинеарны, те D ещё =, то плоскости совпадают) D Тогда уравнение искомой плоскости : D Для определения D подставим в уравнение координаты точки A A B C если B C P ) ) D 8 D D Следовательно, Ответ: : Задача Найти расстояние между параллельными плоскостями : и :

14 Решение Подберём произвольным образом точку, принадлежащую плоскости Пусть M; ;), то есть если подставить ее координаты в : Формула расстояния от точки M ; ; ) до плоскости A B C D : d M ) M ) A B C D A B C Тогда расстояние от M до : d M ) ) ) 6 6 Ответ: d 6 Задача 8 Найти угол между двумя плоскостями : 5 5 и : Решение Векторы нормалей N 5; ; и ; ; N Угол между плоскостями понимается как острый угол, тогда: cos N N 6 arccos 95 N N Ответ: arccos 95

15 5 Задача 9 Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки ) ; ; M и ) 5 ; ; M Решение Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки: В нашем случае: 8 5 Параметрические уравнения: 8 8 Ответ: 8, 8 Задача Написать канонические и параметрические уравнения прямой: 5 Решение Направляющий вектор искомой прямой N N k j i k j i 8 5

16 6 Точка на прямой выбирается произвольным образом Пусть, например,, тогда Сложив уравнения, получим 8 Получим точку ; -; ) Тогда канонические уравнения 8 Параметрические уравнения Ответ:, Задача Найти угол между прямыми 5 : и : Решение Запишем общие уравнения прямых в виде: 5 : и : j i k j i k j i k j i Угол между прямыми это острый угол между их направляющими векторами

17 cos ) ) 9 Ответ: arccos Задача Через точку P ; ; ) провести прямую, параллельную прямой Решение У параллельных прямых направляющие векторы коллинеарны Тогда ;; ) направляющий вектор искомой прямой Ответ: Канонические уравнения искомой прямой: Задача Найти угол между прямой : 6 : 5 и плоскостью Решение Острый угол φ между прямой и плоскостью это дополнительный угол к углу между направляющим вектором прямой и вектором нормали N, то есть Тогда sin cos ) cos sin cos N N Замечание: модуль в формуле позволяет определить как острый угол Найдем направляющий вектор прямой

18 i j k N N i j k Вектор нормали плоскости N 6; ; ) Тогда 8 sin Ответ: arcsin Задача Провести прямую через точку A ; ; ) перпендикулярно плоскости Решение У перпендикулярной прямой направляющий вектор N ; ;) равен вектору нормали плоскости Тогда канонические уравнения прямой AM : Ответ: Задача 5 Найти проекцию точки A ; ;) на плоскость : Решение канонические уравнения прямой AM : Проекцией точки А на плоскость будет точка пересечения прямой AM с плоскостью, AM У перпендикулярной прямой направляющий вектор равен вектору нормали N плоскости N ; ; ) Тогда

19 9 ) или в параметрическом виде: Подставим,, в уравнение плоскости и найдём значение, общее для прямой и плоскости ) ) Подставим найденное в параметрические уравнения и найдем точку 5 пересечения прямой AM с плоскостью : { Ответ: М5;-; ) M 5; ; ) Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ;; ) и перпендикулярной прямой Решение Вектор нормали искомой плоскости равен направляющему вектору прямой, то есть N ; ; ) Тогда уравнение искомой плоскости: A ) B ) C ), те ) ) ) Ответ: : Задача Найти расстояние от точки B ; ; ) до прямой

20 : Решение Прямая и точка А лежат в одной плоскости На прямой заданы ее направляющий вектор ; ; ) и точка A ; ; ) Можно найти вектор AB ; 5; ) Тогда расстояние от точки В до прямой является высотой треугольника, те d AB AB i j k 5 i j k 6 Тогда d Ответ: d 95 Задача 8 Найти расстояние между параллельными прямыми : 5 и : Решение Направляющие векторы прямых и : ;; ; ; прямые параллельны или совпадают

21 Точки на прямых A ; ; 5), A ; ; ) так как A 5 ), то и параллельны Параллельные прямые лежат в одной плоскости Тогда расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую, например, из точки A ; ; 5), те d Тогда A A ; ; ) A A i j k A A i 5 j 9k d Ответ: d 6 Задача 9 Найти расстояние между скрещивающимися прямыми : 5 и : Решение На каждой прямой уравнения задают направляющие векторы ; ; ); ; ; ) и точки A ;; 5), A ; ;) Если прямые скрещиваются, то векторы A A,, не лежат в одной плоскости и тогда их смешанное произведение не равно нулю Если прямые пересекаются, то смешанное произведение равно нулю Найдём A A ; ; 6), тогда

22 ,, A A ) Следовательно, прямые скрещиваются Расстояние между прямыми высота параллелепипеда, построенного на, A A, векторах, те d,, A A ) i j k i j k Итак, d Ответ: d 5 Кривые второго порядка Задача Привести уравнение к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет и построить кривую Решение Выделим полные квадраты относительно х и у: ) 5 ) ) 9 ) ) ) 9 ) ) ) Это эллипс; центр эллипса ;-), полуоси a, b 5

23 Параметры эллипса: фокус: с a b 9 5 c Эксцентриситет: Фокусы F ; ), 5; ) a F Задача Привести уравнение 5 8 к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и построить кривую Решение Выделим полный квадрат относительно х и у: х ) 5 ) ) ) 6 9 9) 5 у ) ) ) 5 8) ) Это гипербола с центром -;), a, b 5 Фокусы: с b a 5 F ;), F 6;)

24 c Эксцентриситет: a Задача Привести уравнение к каноническому виду, найти характеристики и построить кривую Решение Выделяем полный квадрат только относительно у: ) ) ) 6 9 9) 8 ) Это парабола с вершиной в точке -; ) Параметр, p 6 Задача Привести уравнение 6 к каноническому виду, изобразить кривую Решение

25 5 Выделим полный квадрат относительно х и у: 6 8 ) ) 9 ) ) 9) 9 6 ) Окружность радиуса с центром в точке ) ;

26 6 Литература Письменный ДТ Конспект лекций по высшей математике часть М: Айрис пресс, Клетеник ДВ Сборник задач по аналитической геометрии Учебное пособие для ВТУЗ-ов СПб: Профессия, Данко ПЕ, Попов ФГ, Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах В -х чч М: Высшая школа, 986 Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов М: Наука, 98 Содержание Расчётные задания Разбор типовых задач Литература Составитель ОВИсакова Редактор ГАСуворченкова


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ «КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» КУРСА «МАТЕМАТИКА»

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» составление различных уравнений

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве 3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С.А. Зотова В. Б. Светличная Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Волгоград МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее