49. Цилиндрические и конические поверхности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "49. Цилиндрические и конические поверхности"

Транскрипт

1 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные точки линии l и коллинеарными вектору a, называется цилиндрической. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности, а упомянутые выше прямые ее образующими. Пример цилиндрической поверхности изображен на рис. 1. Покажем, как можно написать уравнение цилиндрической поверхности, если даны уравнения направляющей l и координаты вектора a. Пусть линия l задана координатными уравнениями, т.е. в виде пересечения двух поверхностей (см. начало 9): { x 2 + y 2 + z 2 = 4, (1) x y + z = 1. Первая поверхность является сферой радиуса 2 с центром в начале координат, вторая плоскостью. Обозначим сферу через S, а плоскость через µ. Используя формулу (12) из 8, легко сосчитать, что расстояние от центра сферы S до плоскости µ равно 1 3. В частности, оно меньше радиуса сферы. Следовательно, линия l является окружностью. Пусть a = (1, 2, 2). Цилиндрическую поверхность с направляющей l и образующими, коллинеарными a, обозначим через σ. a l Рис. 1 Пусть M(x 0, y 0, z 0 ) произвольная точка, принадлежащая σ. По определению цилиндрической поверхности через каждую ее точку проходит об-

2 разующая. Обозначим образующую поверхности σ, проходящую через точку M, через m. Итак, m прямая, проходящая через точку M, коллинеарная вектору a и пересекающая кривую l (направляющую поверхности σ) в некоторой точке. Параметрические уравнения прямой m имеют вид x = x 0 + t, y = y 0 + 2t, z = z 0 + 2t. Найдем точку M пересечения m и плоскости µ: (x 0 + t) (y 0 + 2t) + (z 0 + 2t) 1 = 0, откуда t = x 0 + y 0 z Следовательно, точка M имеет координаты: x = x 0 + t = y 0 z 0 + 1, y = y 0 + 2t = 2x 0 + 3y 0 2z 0 + 2, z = z 0 + 2t = 2x 0 + 2y 0 z Но эта же точка M принадлежит и сфере S и потому удовлетворяет ее уравнению. Имеем (y 0 z 0 + 1) 2 + ( 2x 0 + 3y 0 2z 0 + 2) 2 + ( 2x 0 + 2y 0 z 0 + 2) 2 = 4. Итак, координаты любой точки цилиндрической поверхности σ удовлетворяют уравнению (y z + 1) 2 + ( 2x + 3y 2z + 2) 2 + ( 2x + 2y z + 2) 2 = 4. (2) Нетрудно понять, что если точка M не принадлежит σ, то точка пересечения m и µ не лежит на сфере S и потому ее координаты не удовлетворяют уравнению (2). Это означает, что (2) уравнение поверхности σ. Если раскрыть скобки и привести подобные, то уравнение примет вид 8x y 2 + 6z 2 20xy + 12xz 18yz 16x + 22y 14z + 5 = 0. Пусть σ цилиндрическая поверхность с направляющей l, образующие которой параллельны вектору a, а µ плоскость, неколлинеарная a и пересекающая σ по некоторой кривой s. Очевидно, что σ совпадает с цилиндрической поверхностью, направляющей которой является s, а образующие параллельны a (рис. 2). Линия s, очевидно, является плоской. Таким образом, любая цилиндрическая поверхность имеет направляющую, являющуюся плоской линией. Пусть теперь σ цилиндрическая поверхность, а l плоская линия, являющаяся направляющей σ. Подобрав соответствующим образом систему

3 координат, мы можем добиться того, чтобы эта линия лежала в плоскости Oxy. Тогда l задается координатными уравнениями вида { F(x, y) = 0, z = 0. (3) Ясно, что в плоскостной системе координат уравнение линии l имеет вид F(x, y) = 0. Рассмотрим случай, когда образующие поверхности σ коллинеарны вектору a = (0, 0, 1) (т.е. оси Oz). Пусть M σ. Обозначим координаты точки M через (x 0, y 0, z 0 ). Существует точка M l такая, что прямая MM коллинеарна a. Ясно, что точка M имеет координаты (x 0, y 0, 0). Поскольку M l, получаем, что F(x 0, y 0 ) = 0. Итак, координаты любой точки, лежащей на поверхности σ, удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0. Пусть теперь точка M с координатами (x 0, y 0, z 0 ) не лежит на σ. Проведем через M прямую, коллинеарную a, и обозначим через M точку пересечения этой прямой с плоскостью Oxy. Ясно, что точка M имеет координаты (x 0, y 0, 0). Поскольку M / σ, то M / l. Следовательно, F(x 0, y 0 ) 0. Таким образом, точка пространства принадлежит σ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0. Мы доказали следующее утверждение. Лемма. Если направляющая цилиндрической поверхности задана координатными уравнениями (3), а образующие этой поверхности коллинеарны вектору a = (0, 0, 1), то эта поверхность задается в пространстве уравнением F(x, y) = 0. µ l s Рис. 2

4 Приведем несколько примеров цилиндрических поверхностей. Определение. Эллиптическим цилиндром называется множество всех точек пространства, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению вида x 2 где a, b > 0 и a b. Это уравнение называется каноническим уравнением эллиптического цилиндра. В силу леммы эллиптический цилиндр является цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит эллипс, задаваемый уравнениями x 2 a 2 + y2 z = 0, а образующие коллинеарны вектору a = (0, 0, 1), т.е. оси Oz (рис. 3). z x y Рис. 3 Определение. Гиперболическим цилиндром называется множество всех точек пространства, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению вида x 2 a 2 y2 где a, b > 0. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболического цилиндра. В силу леммы гиперболический цилиндр является цилиндрической поверхностью. В качестве ее направляющей можно взять гиперболу, задаваемую уравнениями x 2 a 2 y2 z = 0,

5 а ее образующие коллинеарны вектору a = (0, 0, 1), т.е. оси Oz (рис. 4). z x O y Рис. 4 z y x Рис. 5 Определение. Параболическим цилиндром называется множество всех точек пространства, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению вида y 2 = 2px, где p > 0. Это уравнение называется каноническим уравнением параболического цилиндра. В силу леммы пaрaболический цилиндр является цилиндрической поверхностью. В качестве ее направляющей можно взять пaрaболу, задаваемую уравнениями { y 2 = 2px, z = 0, а ее образующие коллинеарны вектору a = (0, 0, 1), т.е. оси Oz (рис. 5).

6 2. Конические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и точка P. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через точку P и всевозможные точки линии l, называется конической. Линия l называется направляющей конической поверхности, упомянутые выше прямые ее образующими, а точка P ее вершиной. Пример конической поверхности изображен на рис. 6. l P Рис. 6 Как и в случае цилиндрической поверхности, покажем, как написать уравнение конической поверхности. Пусть направляющей служит окружность (1), а вершина P совпадает с началом координат. Пусть M(x 0, y 0, z 0 ) произвольная точка на соответствующей конической поверхности. Рассмотрим прямую m, проходящую через точки P и M. Напишем параметрические уравнения этой прямой, взяв точку P(0, 0, 0) в качестве начальной и вектор PM = (x 0, y 0, z 0 ) в качестве направляющего. Получим уравнения x = x 0 t, y = y 0 t, (4) z = z 0 t. Найдем точку пересечения m и плоскости µ. Для этого подставим в уравнение этой плоскости x 0 t вместо x, y 0 t вместо y и z 0 t вместо z. Получим 1 x 0 t y 0 t + z 0 t 1 = 0, откуда t =. Это означает, что точка M x 0 y 0 + z 0 пересечения прямой m и плоскости µ имеет координаты ( ) x 0 y 0 z 0,,. x 0 y 0 + z 0 x 0 y 0 + z 0 x 0 y 0 + z 0 Поскольку точка M лежит и на сфере S, ее координаты должны удовлетворять уравнению сферы. Имеем x 2 0 (x 0 y 0 + z 0 ) 2 + y 2 0 (x 0 y 0 + z 0 ) 2 + z 2 0 (x 0 y 0 + z 0 ) 2 = 1.

7 В силу сказанного выше этому равенству удовлетворяют координаты всех точек нашей поверхности, кроме вершины P. Очевидно, что уравнению x 2 + y 2 + z 2 = (x y + z) 2 (5) удовлетворяют координаты уже всех точек поверхности, включая P. Легко понять, что и обратно, если (x 0, y 0, z 0 ) решение уравнения (5), то точка M(x 0, y 0, z 0 ) лежит на нашей поверхности. Следовательно, (5) искомое уравнение этой поверхности. Если в правой части этого уравнения раскрыть скобки и привести подобные, получим более простое уравнение xy xz + yz = 0, равносильное (5). Приведем важный для дальнейшего пример конической поверхности. Определение. Конусом называется множество всех точек пространства, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению вида x 2 b 2 z2 = 0, (6) c2 где a, b, c > 0. Это уравнение называется каноническим уравнением конуса. Убедимся в том, что конус является конической поверхностью. Пусть l линия, задаваемая координатными уравнениями x 2 z = c, где c 0. Пусть σ коническая поверхность с вершиной в начале координат и направляющей (7). Как и ранее, вершину будем обозначать буквой P. Ясно, что координаты вершины поверхности σ удовлетворяют уравнению (6). Если M(x 0, y 0, z 0 ) точка этой конической поверхности, отличная от вершины, то образующая P M имеет уравнения (4). Легко понять, что точка пересечения образующей P M и плоскости z = c имеет координаты ( cx0 z 0, cy 0 z 0, c ). Подставив их в уравнение x2 (7) = 1, получим равенство b2 c 2 x 2 0 z 2 0 a2 + c2 y 2 0 z 2 0 b2 = 1, откуда x b 2 = z2 0 c 2. (8) Таким образом, координаты точки M удовлетворяют уравнению (6). Мы показали, что если точка принадлежит σ, то ее координаты удовлетворяют (6). Проверим обратное утверждение. Пусть M(x 0, y 0, z 0 ) точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6). Тогда выполнено равенство

8 (8). Если z 0 = 0, то x2 0 b 2 = 0, откуда x 0 = y 0 = 0. Но тогда M начало( координат, и потому M σ. Пусть теперь z 0 0. Рассмотрим точку M x0 c, y ) 0c, c. Точка M принадлежит направляющей (7). В самом z 0 z 0 деле, ее третья координата равна c, а из равенства (8) вытекает, что x 2 0c 2 z0 2 + y2 0c 2 ( ) x 2 a2 z0 2 = 0 b2 0 b 2 c2 z0 2 = ( ) x b 2 1 x b 2 = 1. Поэтому осталось проверить, что точка M принадлежит прямой OM. В самом деле, эта прямая имеет уравнения x = x 0c z 0 t, y = y 0c t, z 0 z = ct. Подставляя в эти уравнения z 0 c вместо t, имеем x = x 0, y = y 0 и z = z 0. Следовательно, M OM. Таким образом, если координаты точки M удовлетворяют уравнению (6), то M σ. Объединяя это с доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что конус совпадает с конической поверхностью σ. z O y x Рис. 7 Изображение конуса см. на рис. 7.

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ 2000 г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность 2 + y2 2 z2 3 = 1 по линии, центр которой находится в точке (4, 4, 3). 2. Выписать уравнение плоскости,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Исследование уравнений поверхностей второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М.

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - - Нижегородский Государственный Университет им Н И Лобачевского Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики http://vmucozet/ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автор: профессор В Н Шевченко (Copght

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые и поверхности второго порядка Глава 16 Кривые и поверхности второго порядка 16.1. Эллипс, гипербола и парабола Основные кривые второго порядка это эллипс, гипербола и парабола. Характеристики этих кривых собраны в таблице 16.1. Эти

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Центр поверхности второго порядка

Центр поверхности второго порядка Центр поверхности второго порядка Напомним определение Определение Точка M 0 называется центром симметрии множества точек {M} (например, поверхности), если вместе с каждой точкой M, множеству {M} принадлежит

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ)

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) 1 Исследовать и построить кривые: а) = y= 1+ 1+ б) sin+ cos cos = y= в) sin sin 9 + = y= 1 Прямая OL вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω Точка М движется по

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы Площадь поверхности 1. Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0 (x 0, y 0, z 0 ): а) x = a cos v sin u, y = b sin v sin u, z = c cos u, М 0 (a/, b/, с/ ); б) x = r, y= r sin

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

ВАРИАНТ 1. Решить следующие задачи и сделать поясняющие рисунки. f(x, y)dy + f(x, y)dy. Задача 1. Изменить порядок интегрирования: dy f(x, y)dx.

ВАРИАНТ 1. Решить следующие задачи и сделать поясняющие рисунки. f(x, y)dy + f(x, y)dy. Задача 1. Изменить порядок интегрирования: dy f(x, y)dx. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КУРС, 3 СЕМЕСТР (БМТ) (все задачи оцениваются в 1 балл) ВАРИАНТ 1. 1 x x/ f(x, y)dy + 1 /x x/ Задача. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее