0.5 setgray0 0.5 setgray1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "0.5 setgray0 0.5 setgray1"

Транскрипт

1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1

2 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3. Система координат прямоугольная. Рис. 1. К задаче 1. Решение. Будем искать уравнение прямой в следующем виде: y = kx + b. Тогда точки пересечения с осями координат имеют следующий вид: A = ( b/k,0), B = (0,b). Площадь искомого треугольника равна 3 = S = 1 b 2 2 k k = b2 6. С другой стороны, имеем по условию 3 = 4k + b 4 6 b2 b 3 = 0 b 1 = 3, b 2 = 3 2. Тогда имеем k 1 = 3 2, b 2 = 3 8.

3 Получаем два уравнения Консультация 6. Прямая на плоскости 3 2y +3x 6 = 0 и 8y +3x +12 = 0. ЗАДАЧА 2. Даны уравнения двух сторон треугольника 2x y = 0 и 5x y = 0 и уравнение 3x y = 0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка (3, 9), и найти координаты его вершин. Система координат аффинная. Рис. 2. К задаче 2. Решение. Пусть A = (0,0) это вершина треугольника ABC, образованная пересечением прямых 2x y =0 и 5x y = 0. Пусть B = = (x B,y B ) и C = (x C,y C ) это две другие вершины треугольника, а Q = (x Q,y Q ) это точка пересечение медианы 3x y = 0 со стороной BC. В силу условий задачи имеем x Q = x B + x C, y Q = y B + y C, 2 2 2x B y B = 0, 5x C y C = 0, 3(x B + x C ) (y B + y C ) = 0. Решая последнюю систему трёх уравнений относительно четырёх неизвестных, получим следующие выражения: Искомое уравнение прямой x B = 2x C, y B = 4x C, y C = 5x C. x x B x C x B = y y B y C y B M(3,9) 3 2x C x C 2x C = 9 4x C 5x C 4x C x C = 2.

4 4 Консультация 6. Прямая на плоскости Поэтому имеем x C = 2, y C = 10, x B = 4, y B = 8, x + y 12 = 0. ЗАДАЧА 3. Даны уравнения l 1 : 3x 2y +1 =0, l 2 : x y +1 =0 двух сторон треугольника и уравнение 2x y 1 =0 медианы, выходящей из вершины, не лежащей на первой стороне. Составить уравнение третьей стороны треугольника. Система координат аффинная. Рис. 3. К задаче 3. Решение. Пусть A = (x A,y A ) вершина треугольника ABC, образованная пересечением прямых в условии задачи. Имеем 3x A 2y A +1 = 0, 2x A 2y A +2 = 0 x A = 1, y A = 2. Пусть C = (x C,y C ) это вершина треугольника ABC, из которой опущена медиана CQ. Поэтому имеем 2x C y C 1 = 0, x C y C +1 = 0 x C = 2, y C = 3. Пусть B = (x B,y B ). Тогда имеем x Q = 1 2 (x A + x B ) = 1 2 (1 + x B), y Q = 1 2 (y A + y B ) = 1 2 (2 + y B), 2x Q y Q 1 = 0, 3x B 2y B +1 = 0 2x B y B 2 = 0, 3x B 2y B +1 = 0 x B = 5, y B = 8. Таким образом, искомая прямая определяется как прямая, проходящая через точки C и B : x x B = y y B x 5 x C x B y C y B 3 = y 8 5x 3y 1 = 0. 5

5 Консультация 6. Прямая на плоскости 5 ЗАДАЧА 4. Даны две смежные стороны параллелограмма A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 и точка пересечения его диагоналей M 0 = (x 0,y 0 ). Написать уравнения двух других его сторон. Решение. Пусть Рис. 4. К задаче 4. l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогда уравнения двух других сторон следующие: l 3 : A 1 x + B 1 y + C 3 = 0, l 4 : A 2 x + B 2 y + C 4 = 0. Заметим, что тогда прямые l 5 и l 6, которые соединяют середины противоположных сторон параллелограмма, имеют следующий вид: l 5 : A 1 x + B 1 y (C 1 + C 3 ) =0, l 6 : A 2 x + B 2 y (C 2 + C 4 ) =0 проходят через точку M 0 (x 0,y 0 ) Действительно, точки от прямых l 1 и l 3 равноудалены от прямой l 5. Проведём перпендикуляр к прямым l 1 и l 3 и пусть M 1 (x 1,y 1 ) l 1, M 3 (x 2,y 2 ) l 3 это точки пересечения перпендикуляра. Тогда d(m 1,l 5 ) = d(m 3,l 5 ) A 1x 1 + B 1 y 1 + C 5 = A 1x 3 + B 1 y 3 + C 5 A 1 x 1 + B 1 y 1 + C 5 = A 1 x 3 + B 1 y 3 + C 5 A 1 x 1 + B 1 y 1 + C 5 = A 1 x 3 B 1 y 3 C 5,

6 6 Консультация 6. Прямая на плоскости поскольку точки M 1 и M 3 по разные стороны от прямой l 5. Осталось воспользоваться равенствами и получить равенство C 1 = A 1 x 1 B 1 y 1, C 3 = A 1 x 3 B 1 y 3 C 5 = C 1 + C 3. 2 Аналогичным образом доказывается, что для прямой l 6, заданной уравнением A 2 x + B 2 y + C 6 = 0 имеет место следующее равенство: Поэтому имеем C 6 = C 2 + C 4. 2 C 3 = 2A 1 x 0 2B 1 y 0 C 1, C 4 = 2A 2 x 0 2B 2 y 0 C 2. ЗАДАЧА 5. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые A 1 x + B 1 y + C 1 =0, A 2 x + B 2 y + C 2 =0, A 3 x + + B 3 + C 3 = 0 образовывали треугольник. Решение. Очевидно, что необходимо, чтобы эти прямые попарно пересекались, но не совпадали. Это значит, что любые два уравнения из трёх имели единственное решение. Таким образом, δ 1 = 1 B 1 0, δ A 2 B 2 = 2 1 B 1 0, δ = 3 2 B 2 0. Однако, нам нужно исключить случай, когда все три прямые пересекаются в единственной точке. Для этого необходимо потребовать, чтобы система трёх уравнений не имела решение, т.е. = A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 C 3 0. Действительно, в этом случае расширенная матрицы системы имеет ранг, равный трём, в то время как ранг основной матрицы системы равен двум. Согласно теореме Кронеккера Капелли решений у этой системы трёх уравнений нет. ЗАДАЧА 6. Пусть заданы две различные прямые на плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, которые пересекаются в точке M 0 (x 0,y 0 ). Доказать, что уравнение произвольной прямой, проходящей через точку M 0 (x 0,y 0 ) имеет следующий вид: α(a 1 x + B 1 y + C 1 ) + β(a 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0, α 2 + β 2 > 0. (0.1)

7 Консультация 6. Прямая на плоскости 7 Решение. Прежде всего докажем, что уравнение (0.1) действительно описывает прямую. Предположим, что αa 1 + βa 2 = 0, αb 1 + βb 2 = 0. Поскольку прямые различны, то 1 A 2 0 α = β = 0, B 1 B 2 но это противоречит тому, что по условию α 2 + β 2 > 0. Значит, (0.1) это уравнение прямой. Теперь докажем, что произвольная прямая l 3 : A 3 x + B 3 y + C 3 = 0, проходящая через точку M 0 (x 0,y 0 ) имеет вид (0.1). Пусть M 1 (x 1,y 1 ) это точка прямой l 3, отличная от точки M 0 (x 0,y 0 ). Тогда рассмотрим уравнение (0.1) с параметрами α = A 2 x 1 + B 2 y 1 + C 2, β = A 1 x 1 B 1 y 1 C 1, которые одновременно в ноль не обращается, поскольку точка M 1 (x 1,y 1 ) не может лежать одновременно на двух различных заданных нам ранее прямых, и получим уравнение прямой (A 2 x 1 + B 2 y 1 + C 2 )(A 1 x + B 1 y + C 1 ) (A 1 x 1 + B 1 y 1 + C 1 )(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0. Это уравнение прямой, проходящей через две различные точки M 0 (x 0,y 0 ) и M 1 (x 1,y 1 ), и значит совпадает с прямой l 3. ЗАДАЧА 7. Стороны треугольника заданы уравнениями l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, l 3 : A 3 x + B 3 y + C 3 = 0. Написать уравнение медианы, проведённой из точки пересечения первой и второй сторон. Рис. 5. К задаче 7. Решение. Искомое уравнение имеет следующий вид: α (A 1 x + B 1 y + C 1 ) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0.

8 8 Консультация 6. Прямая на плоскости Пусть B = (x B,y B ) и C = (x C,y C ). Тогда имеем A 1 x B + B 1 y B + C 1 = 0 и A 3 x B + B 3 y B + C 3 = 0; A 2 x C + B 2 y C + C 2 = 0 и A 3 x C + B 3 y C + C 3 = 0. Отсюда получаем следующие равенства: C 2 B 2 C 3 B 3 2 C 2 A 3 C 3 x C = 2 B 2, y C = 2 B 2, C 1 B 1 C 3 B 3 1 C 1 A 3 C 3 x B = 1 B 1, y B = 1 B 1. При этом основание медианы M = (x M,y M ) и имеют место следующие равенства: x M = x B + x C, y M = y B + y C. 2 2 Справедливо следующее равенство: α (A 1 x C + A 1 x B + B 1 y C + B 1 y B +2C 1 )+ + β (A 2 x C + A 2 x B + B 2 y C + B 2 y B +2C 2 ) = 0. Отсюда сразу же получаем равенство α (A 1 x C + B 1 y C + C 1 ) + β (A 2 x B + B 2 y B + C 2 ) = 0. (0.2) После подстановки в это равенство равенств для x B, y B, x C и y C получим равенство следующего вида: где α β 2 B 2 D B 1 D 2 = 0, (0.3) C D 1 = A 2 B 2 A 1 B 2 C 2 A C 3 B 1 + C 2 B 2 3 A 3 C 1 = 3 = A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 C 3 0, D 2 = A 2 C 1 B 1 C 3 B 3 B 2 A 1 C 1 A 3 C 3 + C 2 A 1 B 1 =

9 Консультация 6. Прямая на плоскости 9 A 1 B 1 C 1 = A 2 B 2 C 2 C 0. 3 В результате приходим к одному из решений α = 2 B 2, β = 1 B 1. Итак, уравнение медианы следующее: 2 B 2 (A A 3 B 1 x + B 1 y + C 1 ) B 1 (A A 3 B 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0. 3 ЗАДАЧА 8. Стороны треугольника заданы уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки пересечения первых двух сторон на третью его сторону. Система координат декартова прямоугольная. Рис. 6. К задаче 8. Решение. Итак, искомое уравнение имеет следующий вид: (αa 1 + βa 2 )x + (αb 1 + βb 2 )y + αc 1 + βc 2 = 0. Направляющий вектор этой прямой имеет следующий вид: a = { αb 1 βb 2,αA 1 + βa 2 }. Направляющий вектор третьей стороны b = { B 3,A 3 }. Векторы a и b являются ортогональными. Поэтому получим равенство α (A 1 A 3 + B 1 B 3 ) + β (A 2 A 3 + B 2 B 3 ) = 0. В качестве одного из решений возьмём α = A 2 A 3 + B 2 B 3, β = A 1 A 3 B 1 B 3.

10 10 Консультация 6. Прямая на плоскости Итак, искомое уравнение имеет следующий вид: (A 2 A 3 + B 2 B 3 )(A 1 x + B 1 y + C 1 ) = (A 1 A 3 + B 1 B 3 )(A 2 x + B 2 y + C 2 ). ЗАДАЧА 9. Стороны треугольника заданы уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0. Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника, образованного первой и второй прямыми. Рис. 7. К задаче 9. Решение. Пусть указанная в условии задачи вершина A = = (x 0,y 0 ). Векторы a 1 = { B 1,A 1 } и a 2 = { B 2,A 2 } это направляющие векторы первой и второй прямых. Тогда мы можем записать уравнения первой и второй прямых в следующих параметрических формах: l 1 : x = x 0 B 1 t и y = y 0 + A 1 t, l 2 : x = x 0 B 2 τ и y = y 0 + A 2 τ. Найдём значения параметров t 0 и τ 0, соответствующих точкам пересечения прямых l 1 и l 2 с третьей прямой l 3. Справедливы следующие равенства: A 3 (x 0 B 1 t 0 ) + (B 3 y 0 + A 1 t 0 ) + C 3 = 0, A 3 (x 0 B 2 τ 0 ) + (B 3 y 0 + A 2 τ 0 ) + C 3 = 0, t 0 = A 3x 0 + B 3 y 0 + C 3 1 A 3 B 1 B 3 A, τ 0 = 3 x 0 + B 3 y 0 + C 3 2 A 3. B 2 B 3 Пусть B = (x B,y B ) и C = (x C,y C ). Теперь находим длины векторов AB и AC: AB = (x B x 0 ) 2 + (y B y 0 ) 2, AC = (x C x 0 ) 2 + (y C y 0 ) 2,

11 где Консультация 6. Прямая на плоскости 11 x B = x 0 B 1 t 0, y B = y 0 + A 1 t 0, x C = x 0 B 2 τ 0, y C = y 0 + A 2 τ 0. Итак, имеем AB = AC = A B2 2 Введём параметр λ : λ = AB AC = A B2 2 A 3 x 0 + B 3 y 0 + C 3 1 A 3, B 1 B 3 A 3 x 0 + B 3 y 0 + C 3 2 A 3. B 2 B 3 2 A 3 B 2 B 3 1 A 3. B 1 B 3 Пусть Q это точка пересечения биссектрисы с третьей стороной треугольника. Согласно результату задачи 3 консультации 1 имеем x Q = x B + λx C 1 + λ, y Q = y B + λy C 1 + λ, где Q = (x Q,y Q ) основание биссектрисы. Уравнение искомой биссектрисы имеет следующий вид: α (A 1 x + B 1 y + C 1 ) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0. Точка Q по определению лежит на биссектрисе. Поэтому имеет место следующее равенство: α (A 1 x B + λa 1 x C + B 1 y B + λb 1 y C + (1 + λ)c 1 )+ + β (A 2 x B + λa 2 x C + B 2 y B + λb 2 y C + (1 + λ)c 2 ) = 0. Заметим, что A 1 x B + B 1 y B + C 1 = 0 и A 2 x C + B 2 y C + C 2 = 0. Поэтому имеет место следующее равенство: λα (A 1 x C + B 1 y C + C 1 ) + β (A 2 x B + B 2 y B + C 2 ) = 0. Далее рассуждая точно также как и при решении задачи 7 (сравни с формулами (0.2) и (0.3)), мы приходим к равенствам λα β A B 2 = 1 B 1 + B2 1 A 2 2 sign 2 B 2 α = + B2 2 sign 1 B 1 β.

12 12 Консультация 6. Прямая на плоскости sing 2 B 2 α =, β = sing 1 B 1. A B2 2 Таким образом, искомое уравнение имеет следующий вид: sing 2 B 2 sing 1 B 1 (A 1 x + B 1 y + C 1 ) + (A 2 x + B 2 y + C 2 ) =0. A B2 2 З А Д АЧ А 10. Написать уравнения прямых, проходящих соответственно через точки B = (15,10) и C = (10,5), зная, что прямая x + + 2y = 0 делит пополам углы, образуемые искомыми прямыми. Рис. 8. К задаче 10. Решение. Сначала решим задачу в общем виде о нахождении точки M 2 = (x 2,y 2 ) симметричной точке M 1 = (x 1,y 1 ) относительно прямой Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Общее решение следующее: x 2 = x 1 2 Ax 1 + By 1 + C A 2 + B 2 A, y 2 = y 1 2 Ax 1 + By 1 + C B. A 2 + B 2 Найдём точку B 1 = (x B1,y B1 ) симметричную точке B = (15,10) относительно биссектрисы x + 2y = 0. Согласно полученным формулам имеем x B1 = 1, y B1 = 18.

13 Консультация 6. Прямая на плоскости 13 Найдём теперь уравнение одной из прямых (B 1 C) : x x B1 = y y B 1 x 1 x C x B1 y C y B = y x 9y 185 = Найдём теперь точку C 1 = (x C1,y C1 ) симметричную точке C = (10,5) относительно биссектрисы x + 2y = 0. Согласно общим формулам имеем x C1 = 2, y C1 = 11. Находим уравнение второй прямой. (C 1 B) : x x C1 x B x C1 = y y C 1 y B y C1 x = y x 13y 185 = ЗАДАЧА 11. Доказать: если три прямые, образующие треугольник, занумерованы числами 1, 2, 3, то три угла ϕ 12, ϕ 23, ϕ 31 угол от первой прямой до второй, угол от второй прямой до третьей и угол от третьей прямой до первой являются одновременно либо внутренними углами треугольника, либо внешними его углами. Решение. Пусть фиксирована некоторая прямоугольная декартова система координат {O, i, j} и определены соответствующие ось абсцисс Ox и ось ординат Oy. Рис. 9. К задаче 11. Рассмотрим сначала случай, когда углы отсчитываются от оси абсцисс Ox в направлении против часовой стрелки. Пусть ϕ j это угол между осью абсцисс и j ой прямой. Тогда соответствующие углы ϕ 12, ϕ 23 и ϕ 31 отсчитываются против часовой стрелки от первой прямой до второй, от второй прямой до третьей и от третьей до первой. На рисунке изображены два возможных случая: первый случай, когда переход осуществляется против часовой стрелки и второй случай, когда переход осуществляется по часо-

14 14 Консультация 6. Прямая на плоскости вой стрелке. В любом случае углы ϕ 12, ϕ 23, ϕ 31 либо внутренние либо внешние для треугольника. Аналогичным образом рассматривается случай когда отсчет осуществляется от оси абсцисс Ox по часовой стрелке. ЗАДАЧА 12. Найти угол ϕ 12 между прямыми l 1 и l 2, заданные уравнениями y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2. Рис. 10. К задаче 12. Решение. Действительно, искомый угол ϕ 12 равен ϕ 12 = ϕ 2 ϕ 1, где углы ϕ 1 и ϕ 2 это углы между осью абсцисс и соответствующим прямыми, отсчитываемые в одном направлении от оси абсцисс. Тогда имеем tanϕ 12 = tan(ϕ 2 ϕ 1 ) = sin ϕ 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 + sin ϕ 2 sin ϕ 1 = поскольку k = tanϕ 1, k 2 = tanϕ 2. = tan ϕ 2 tanϕ tanϕ 1 tan ϕ 2 = k 2 k k 1 k 2, ЗАДАЧА 13. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями 3x y +6 = 0, x y +4 = 0, x +2y = 0. Решение. Пусть первая прямая l 1 это 3x y +6 = 0, вторая прямая l 2 это x y +4 = 0, третья l 3 это x +2y = 0. Соответ-

15 ствующие угловые коэффиценты Консультация 6. Прямая на плоскости 15 k 1 = 3, k 2 = 1, k 3 = 1 2. Согласно общей формуле задачи 12 имеем tan ϕ 12 = k 2 k k 1 k 2 = 1 2, tan ϕ 23 = k 3 k k 3 k 2 = 3, tanϕ 31 = k 1 k k 1 k 3 = 7. Все тангенсы углов отрицательные это означает, что они все тупые, а это означает, что они внешние. Таким образом, внутренние углы равны соответственно ( ) 1 arctan, arctan(3), arctan(7). 2 З А Д АЧ А 14. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2x 5y +1 = 0, а боковой стороной прямая 12x y 23 = 0. Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит через точку Q(3, 1). Рис. 11. К задаче 14. Решение. Пусть l 1 : 2x 5y +1 = 0, l 2 : 12x y 23 = 0, l 3 : y = k 3 x + b 3. Тогда k 1 = 2 5, k 2 = 12. Имеем Но тогда tan ϕ = k 2 k k 2 k 1 = 2. 2 = tanϕ = k 1 k k 1 k 3 k 3 = 8 9.

16 16 Консультация 6. Прямая на плоскости С учётом условия, что Q = (3,1) l 3 приходим к уравнению 9y +8x 33 = 0. З А Д АЧ А 15. Концы основания равнобедренного треугольника находятся в точках A = ( 3,4), B = (6, 2); тангенс угла при основании равен 3/2. Найти координаты вершины C, зная, что начало координат и точка C лежат по разные стороны от прямой (AB). Рис. 12. К задаче 15. Решение. Сначала найдём уравнение прямой (AB). Действительно, x x A (AB) : = y y A 2x +3y 6 = 0. x B x A y B y A Угловой коэффициент равен k 1 = 2/3. Пусть уравнение стороны (AC) имеет следующий вид: Возможны два случая. Либо либо (AC) : y = k 2 x + b. k 2 k k 1 k 2 = 3 2 k 2 = 5 12 ; k 1 k k 1 k 2 = 3 2 k 2 =. Поэтому уравнение стороны (AC) либо y = 5 x + b либо x + b = Поскольку точка A = ( 3, 4) принадлежит обеим прямым, то y = 5 12 x либо x +3 = 0.

17 Консультация 6. Прямая на плоскости 17 Найдём теперь уравнение высоты треугольника, опущенную из точки C на основание AB. Очевидно, что (H) : 3x +2y + c 1 = 0. Пусть Q = (x Q,y Q ) это основание высоты. Тогда поскольку треугольник равнобедренный с основанием AB, то x Q = 1 2 (x A + x B ) = 3 2, y Q = 1 2 (y A + y B ) = 1 Очевидно, что Q (H), поэтому находим (H) : 3x +2y = 0. Пересечение прямых (AC) и (H) даёт искомые координаты точки C: ( C = 6, 31 ) ( либо C = 3, 23 ). 4 4 ( Под условие задачи подходит только точка C = 6, 31 ). 4 ЗАДАЧА 16. Найти общие касательные к двум окружностям, центры которых находятся в точках O 1 (1,1) и O 2 (2,3), а радиусы соответственно равны 2 и 4. Рис. 13. К задаче 16. Решение. Пусть уравнение касательной следующее: y = kx + b. Из условия задачи следует, что точка O 1 (1,1) отстоит от касательной на расстоянии 2, а точка O 2 (2,3) отстоит от касательной на расстоянии 4. Тогда имеем два равенства 2 = 1 k b, 4 = 1 + k 2 3 2k b. 1 + k 2

18 18 Консультация 6. Прямая на плоскости Отсюда получаем следствие Первый случай. Следовательно, 2 = 3 2k b = 2 1 k b. (3 2k b) = 2(1 k b) b = 1. 2 k 1 + k 2 4(1 + k2 ) = (2 k) 2 3k 2 +4k =0 k =0 и k = 4 3. Получаем в первом случае две касательные: Второй случай. y +1 = 0, 4x +3y +3 = k b = 2(b + k 1) b = 5 4k. 3 Следовательно, 4k 5 1 k =, 1 + k k 2 = k 2 35k 2 +4k +32 = 0. Вещественных корней у последнего квадратного уравнения нет. ЗАДАЧА 17. Даны две пересекающиеся прямые l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 и точка M 0 (x 0,y 0 ), не принадлежащая ни одной из этих прямых. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит данная точка. Рис. 14. К задаче 17.

19 Консультация 6. Прямая на плоскости 19 Р е ш е н и е. Биссектриса определяется как геометрическое место точек равноудаленных от двух заданных прямых. Рассмотрим два равенства d 1 (x 0,y 0 ) = A 1x 0 + B 1 y 0 + C 1, d 2 (x 0,y 0 ) = A 2x 0 + B 2 y 0 + C 2. A B2 2 Это ориентированное расстояние от точки M 0 = (x 0,y 0 ) до двух прямых. Причём знак ориентированного расстояния от произвольной точки M = (x,y) до тех же прямых сохраняется внутри угла, если точка M(x,y) лежит в том же угле, что и точка M 0 = (x 0,y 0 ). Существуют две биссектрисы, уравнения которых следующие: d 1 (x,y) = d 2 (x,y) и d 1 (x,y) = d 2 (x,y), в зависимости от знаков ориентированных расстояний. Итак, результат следующий: sing(a 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 ) (A 1 x + B 1 y + C 1 ) = = sing(a 2x 0 + B 2 y 0 + C 2 ) (A 2 x + B 2 y + C 2 ) A B2 2 для биссектрисы того угла, в котором лежит точка M 0 (x 0,y 0 ). Действительно, если точка M(x,y) лежит в том же угле, что и точка M 0 (x 0,y 0 ) то тогда знаки следующих пар выражений одинаковые: A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 и A 1 x + B 1 y + C 1, A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 и A 2 x + B 2 y + C 2, поскольку точки M 0 (x 0,y 0 ) и M(x,y) лежат по одну сторону от обеих частей. Следовательно, sing(a 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 ) sing(a 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 ) A B2 2 (A 1 x + B 1 y + C 1 ) = A 1x + B 1 y + C 1, (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = A 2x + B 2 y + C 2. A B2 2 Поскольку для точек биссектрисы выполнено равенство A 1 x + B 1 y + C 1 = A 2x + B 2 y + C 2. A B2 2 С другой стороны, для точек биссектрисы смежного угла точка M(x, y) и точка M 0 (x 0,y 0 ) лежат по одну сторону от одной из прямых и по

20 20 Консультация 6. Прямая на плоскости разные стороны от другой прямой и поэтому биссектриса смежного угла имеет следующий вид: sing(a 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 ) (A 1 x + B 1 y + C 1 ) = = sing(a 2x 0 + B 2 y 0 + C 2 ) (A 2 x + B 2 y + C 2 ) A B2 2 З А Д АЧ А 18. Написать уравнения сторон прямоугольника, зная уравнения его диагоналей l 1 : 7x y +4 = 0 и l 2 : x + y 2 = 0 и внутреннюю точку A = (3,5) одной из его сторон. Рис. 15. К задаче 18. Решение. Согласно результату задачи 17 биссектриса того угла, в котором лежит точка A(3, 5), имеет следующий вид: 1 (7x y +4) = 1 (x + y 2), 50 2 т. е. уравнение биссектрисы этого угла следующее: x 3y +7 = 0. Тогда уравнение взаимной биссектрисы имеет следующий вид: 1 (7x y +4) = 1 (x + y 2) x +2y 3 = 0 3x + y 3 2 = 0.

21 Консультация 6. Прямая на плоскости 21 Ищем уравнение стороны прямоугольника параллельной данной биссектрисе в следующем виде: l 3 : 3x + y + c 1 = 0. Из условия, что A = (3,5) l 3 приходим к искомому уравнению 3x + y 14 = 0. Параллельную сторону l 5 прямоугольника ищем в виде: 3x + y + c 2 = 0 c 2 14 = c 2 = 11, где мы воспользовались рассуждениями при решении задачи 4. Итак, параллельная сторона имеет следующий вид: 3x + y +11 = 0. Уравнение других двух параллельных сторон прямоугольника ищем в следующем виде: l 4 : x 3y + c 3 = 0. Найдем одну из вершин прямоугольника: B(x B,y B ) = l 2 l 3 : Поэтому имеем x B + y B 2 =0 и 3x B + y B 14 =0 B = (6, 4). x 3y 18 = 0. Далее ищем точку пересечения C = (x C,y C ) = l 1 l 3 : 7x C y C +4 = 0, 3x C + y C 14 = 0 C = (1,11). Уравнение стороны l 6 ищем в следующем виде: x 3y + c 4 = 0 C(1,11) l 6 : c 4 = 32. Итак, уравнение стороны l 6 имеет вид x 3y +32 = 0.

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Координатная плоскость

Координатная плоскость Координатная плоскость 1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 2. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9). 3. Найдите площадь

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Все прототипы заданий В3

Все прототипы заданий В3 1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса.

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Центр Образования 1434 г.москвы, Физико-математический класс Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Учитель математики Друца Алексей Валерьевич

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B5 ( 27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 ( 27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 ( 27547) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник Задание 3 Планиметрия: длин и площадей Треугольник 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. 2. В треугольнике ABC AC = BC, угол C

Подробнее

2. Вписанные и описанные четырехугольники

2. Вписанные и описанные четырехугольники 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II).. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

, а это и есть радиус окружности.

, а это и есть радиус окружности. B3 Найдите радиус окруж ности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно ( 2; 2), (6; 2), (6; 4), ( 2; 4) Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Методическое пособие по математике для учащихся НПО

Методическое пособие по математике для учащихся НПО ФГОУ СПО ЛТК Методическое пособие по математике для учащися НПО. 011 г. Решение линейны уравнений Правило 1: Слагаемые с собираем в левой части уравнения, а числа в правой. Через знак равенства «=», слагаемые

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 4.1. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4.1.1. Задача Менелая. Задача о пересечении медиан треугольника. Изучение геометрических задач на вычисление мы начнем с задачи

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство.

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство. 1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Многоугольники: вычисление длин и углов

Многоугольники: вычисление длин и углов Многоугольники: вычисление длин и углов 1. 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла. Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда, принимая во внимание,

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач по планиметрии (В5 и В8) Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 Необходимо знать все фигуры планиметрии. А также следующие

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач.

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач. Теорема косинусов. Теорема косинусов. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а противолежащие им углы, и (рис. 1), то выполняются следующие равенства: a b b c c a bccos ca cos c a

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

Разбор задач по теме: «Плоская система координат».

Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Задача 1 Даны две вершины треугольника М 1 (-10;2) и М2 (6;4); его высоты пересекаются в точке Н (5;2). Определить координаты третьей вершины М3. Разметим

Подробнее