Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие Минск БНТУ 7

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие к решению задач для студентов механико-технологического факультета Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области металлургического оборудования и технологий Минск БНТУ 7

3 УДК 57(758) ББК 6я7 П85 П85 Под редакцией М А Князева Р е ц е н з е н т ы : Д Г Медведев, Ю А Курочкин Прусова, И В Высшая математика Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление : учебно-методическое пособие к решению задач для студентов механико-технологического факультета / И В Прусова, Н А Кондратьева, Н К Прихач; под ред М А Князева Минск : БНТУ, 7 5 с ISBN Издание содержит теоретические сведения, подробные решения типовых примеров и задач, задания для самостоятельной работы по разделам «Ряды», «Теория функций комплексного переменного», «Операционное исчисление» ISBN УДК 57(758) ББК 6я7 Прусова И В, Кондратьева Н А, Прихач Н К, 7 Белорусский национальный технический университет, 7

4 РЯДЫ Числовые ряды и их сумма Основные свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости Примеры числовых рядов Пусть задана бесконечная последовательность ( ) действительных чисел Тогда следующее выражение = u = u () называется числовым рядом Элементы числовой последовательности ( u ) называются = членами числового ряда (), а число u общим (-м) членом числового ряда () Сумма S первых членов числового ряда () называется -й частичной суммой числового ряда Если из числового ряда () отбросить первые членов, то k= + k m останется числовой ряд u = u + + u u + +, который называется -м остатком числового ряда () Числовой ряд по определению сходится (называется сходящимся), если сходится последовательность его частичных сумм, в противном случае числовой ряд расходится Если числовой ряд () сходится, то его суммой S называется предел его частичных сумм и обозначается S = lim S Замечание В общем случае члены числового ряда могут начинаться с произвольного целого номера Тогда будем иметь числовой ряд u здесь ( ) =, u = последовательность действительных или комплексных чисел Замечание Если из числового ряда удалить конечное число членов, то сходимость числового ряда не изменится

5 Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда) Если числовой ряд () сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть lim u = Следствие (достаточный признак расходимости числового ряда) Если общий член числового ряда () не сходится к нулю, то есть lim u, то числовой ряд () расходится Примером расходящегося числового ряда, который удовлетворяет необходимому признаку сходимости, является гармонический ряд = Бесконечной геометрической прогрессией называется числовой ряд вида = bq = b + bq + bq + + bq +, () в котором числа b и q не равны нулю: число b называется первым членом бесконечной геометрической прогрессии, а число q знаменателем бесконечной геометрической прогрессии -я частичная сумма S бесконечной геометрической прогрессии равна S b = ( q ) q Так как последовательность ( ) S = схо- b дится тогда и только тогда, когда q <, и при этом lim S =, q то бесконечная геометрическая прогрессия () сходится в том и только в том случае, когда q <, и при этом bq = b = q

6 Примеры Задан общий член числового ряда u = Написать числовой ряд в развернутом виде! + Решение Придавая последовательно значения,,, и т д 7 8 номеру, получим: u =, u =, u =, u = и т д Поэтому развернутый вид числового ряда записывается следующим 7 5 образом: Написать числовой ряд ! + si si si si в свернутом виде Решение Заданный числовой ряд можно переписать в виде si si si si Видно, что общий член числовой последовательности,, 8, 6, числовой последовательности имеет вид ( ) имеет вид v = Числовую последовательность, 5,, 9, можно переписать в виде, 6,,, или в виде,,, 5, поэтому общий член данной w = +! Значит, общий член исходного числового ряда задается формулой 5

7 u 6 = ( ) si, а сам числовой ряд записывается в (свернутом) ви- +! де следующим образом: si! = + ( ) Выяснить, сходится или расходится числовой ряд а если сходится, то найти его сумму Решение Запишем числовой ряд в развернутом виде: , = 5 Видно, что числовой ряд является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом равным 5 и знаменателем тоже равным 5 Тогда его частичная сумма равна 5 5 S = = 5 5 сходится, и его сумма рав- Так как S, то числовой ряд на = = 5 = 5 Установить, сходится или расходится числовой ряд а если сходится, то найти его сумму Решение Запишем числовой ряд в развернутом виде: =,

8 Числовой ряд является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом равным и знаменателем тоже равным Тогда его частичная сумма равна S = = Так как S 7, то есть числовая последовательность ( ) тоже расходится = S = расходится, то числовой ряд 5 Выяснить, сходится или расходится числовой ряд 5, а если он сходится, то найти его сумму = Решение Так как числовые ряды = 6 и = 7 являются бесконечными геометрическими прогрессиями со знаменателями по модулю меньше, то данные числовые ряды 5 6 и = сходятся, а их суммы соответственно равны = = 7 5 = и = = 7 9 (пример ; следует обратить внимание, что нумерация номеров в бесконечных суммах начинается не с, а с ) 7

9 Тогда исходный числовой ряд сходится и имеем = = 6 = = = = 6 Выяснить, сходится или расходится числовой ряд, ( ) = + а если он сходится, то найти его сумму Решение Частичная сумма данного числового ряда имеет вид S = Запишем данную сумму в развернутом виде k k + k= ( ) и преобразуем ее: S = k k + = k= ( ) = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( + ) ( + ) = = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = =

10 = + + = Отсюда видно, что S = + + = + + Таким образом, числовой ряд сходится, а его сумма равна = = ( + ) ( ) = + 7 Установить, сходится или расходится числовой ряд + 5 = 6 + Решение Общий член числового ряда имеет вид + 5 u = Так как lim = lim = =, то согласно достаточному признаку расходимости числового ряда + 5 числовой ряд расходится 6 + = 9

11 Задачи для самостоятельного решения Заданы общие члены u числовых рядов Написать числовые ряды в развернутом виде ) u = + l ) u = ) u = +! ( ) + = ) u ( ) 5) u 6) u 7) u Написать числовые ряды в свернутом виде π π π π cos cos cos cos 8) ) ) ) π = si +π + ( ) =! ( )( + ) = 7 ) ) ) ) Установить, сходятся или расходятся числовые ряды, а если они сходятся, то найти их сумму 6) 7) 8) = = + 5 = 9) ( ) ) ) = 5 = = ) ) ) ( ) = + = ( )( + 5) = ( + )( + 7)

12 5) = ( + )( + 5) 6) = ) ( )( ) 7) 8) = = Установить, сходятся или расходятся числовые ряды + 5 = + + ) ( ) = ) ) Ответы ) l l l l ) ) ! ( ) ) ( ) + = = π 5) u = si +π ( ) 6) ! 8 5 ( )( + ) 7) π cos 8) 9) ) = = = +

13 )! = ) = ) ( ) = ) ( ) = 5) = ( ) ( ) 6 8 6) Сходится, 7) Сходится, 8 8) Сходится, 6 9) Расходится ) Расходится ) Расходится ) Сходится, ) Сходится, 7 6 ) Сходится, 7 6 5) Сходится, 7 6) Сходится, 8 7) Расходится 8) Сходится, 9) Расходится ) Расходится ) Расходится ) Расходится Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Сходимость или расходимость числовых рядов устанавливается с помощью признаков сходимости числовых рядов Числовой ряд = u называется знакопостоянным, если, начиная с некоторого номера, все его члены являются числами одного знака Знакопостоянный числовой ряд = u называется знакоположительным, если, начиная с некоторого номера, все его члены являются положительными числами Знакопостоянный числовой ряд = u называется знакоотрицательным, если, начиная с некоторого номера, все его члены являются отрицательными числами Так как при умножении знакоотрицательного числового ряда на получается знакоположительный числовой ряд, то исследование ( ) на сходимость знакоотрицательных числовых рядов сводится к исследованию на сходимость знакоположительных числовых рядов

14 Теорема (признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных числовых ряда u и = v = Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство u v, то из сходимости чис- = u, = лового ряда v следует сходимость числового ряда а значит из расходимости числового ряда числового ряда v = u следует расходимость = = v, = Теорема (предельный признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных числовых ряда u и и пусть существует v конечный или бесконечный предел lim то числовые ряды u и = одновременно расходятся = Следствие Если числовые ряды u = A Если < A <, v либо одновременно сходятся, либо u и = v знакоположительные и последовательности ( u ) и ( ) = числовые ряды u и = = v = = эквивалентные, то v либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся (напомним, что эквивалентными последовательностями ( u ) и ( ) = v = u для которых выполняется равенство lim = ) называются последовательности, v

15 Теорема (признак Даламбера) Пусть числовой ряд u = знакоположительный Если существует конечный или бесконечный u+ предел lim = l, то числовой ряд сходится при l < и расходится при l > u Замечание Если в признаке Даламбера l =, то числовой ряд может как сходиться, так и расходиться = Теорема (радикальный признак Коши) Пусть числовой ряд u знакоположительный Если существует конечный или бесконечный предел lim u = l, то числовой ряд сходится при l < и расходится при l > Замечание Если в радикальном признаке Коши l =, то, как и в признаке Даламбера, числовой ряд может как сходиться, так и расходиться Теорема (интегральный признак Коши) Если члены знакоположительного числового ряда u могут быть представлены как = числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей f x так, что на промежутке [, ) функции ( ) u то числовой ряд = f ( ), u = f ( ),, u f ( ) u = =,, и несобственный интеграл ( ) одновременно сходятся, либо одновременно расходятся f x dx либо

16 Числовой ряд, () p = где p > и p, называется обобщенным гармоническим рядом По интегральному признаку Коши обобщенный гармонический ряд сходится при p > и расходится при p Числовой ряд () расходится и при p, согласно достаточному признаку расходимости числового ряда Примеры Исследовать сходимость числовых рядов: а) ; б) 5 = ; в) 7 = = 9 Решение Данные числовые ряды являются обобщенными гармоническими Так как в а) p = 5 >, то числовой ряд сходит- 5 = ся; так как в б) p =, то числовой ряд расходится; так 7 7 = 9 как в в) p = >, то числовой ряд сходится = 9 Исследовать сходимость числовых рядов: а) ; б) 5 = + ; в) 6 = = 7 Решение Исследование сходимости числовых рядов u, = 5

17 p в которых общий член является частным двух иррациональных выражений, осуществляется с использованием предельного признака сравнения с числовым рядом вида, предварительно представив числитель и знаменатель u в виде произведения двух p = множителей: первый имеет вид, а второй стремится к конечному числу не равному а) Общий член числового ряда имеет вид u = = Преобразуем его: u = = Рассмотрим числовой ряд v =, который является обобщенным гармоническим = = рядом с p = > Значит, он сходится Используя предельный признак сравнения, имеем lim = lim = (, ), поэтому u v 5 + и числовой ряд сходится = + 5 б) Общий член числового ряда имеет вид u 6 = = Преобразуем его: u = = Рассмотрим числовой / ряд v =, который является обобщенным гармоническим 5/6 = = 5 рядом с p = Значит, он расходится Используя предельный 6 6

18 по- u lim lim,, v этому и числовой ряд расходится 5 признак сравнения, имеем = = ( ) вид u = + в) Общий член числового ряда u = 7 = Преобразуем его: имеет / / = = = / / / / / = = 7/ 7/ / 7/ / 7/ = = 7/ / 5/ =

19 Рассмотрим числовой ряд v =, который расходится, так = = как является гармоническим рядом Используя предельный признак сравнения, имеем u lim = lim = (, ), v поэтому и числовой ряд расходится = 7 Исследовать сходимость числовых рядов: а) si ; б) 5 = arctg Решение Для решения данных примеров применим предельный признак сравнения числовых рядов а) Так как, то si ~, а значит, и si ~ = = v Так как числовой ряд 6 v = является обобщенным гармоническим рядом 5 = = 6 6 с p = >, то он сходится Значит, по следствию из предельного признака сравнения числовых рядов сходится и числовой ряд si 5 5 = =

20 б) Так как, то arctg ~, а значит, и arctg ~ = = v Так как числовой ряд v = является обобщенным гармоническим рядом = = с p =, то он расходится Значит, по следствию из предельного признака сравнения числовых рядов расходится и числовой ряд arctg = Исследовать сходимость числовых рядов: а) ; б) = 5 + ( cos ) = si Решение Для решения данных примеров применим признак сравнения числовых рядов а) Так как cos, то cos +, значит, 5 5 ( cos + ), поэтому = v 5 5 cos + ( ) Так как числовой ряд v = является обобщенным гармоническим рядом с p =, то он расходится Значит, по при- 5 = = 5 знаку сравнения числовых рядов числовой ряд = 5 cos + тоже расходится ( ) 9

21 si + 5 6, поэтому б) Так как si, то si + 5 6, значит, si = v 8 Так как числовой ряд 8 6 v = = 6 8 = = = 8 сходится (числовой ряд является 8 = 8 обобщенным гармоническим рядом с p = > ), то по признаку срав- нения числовых рядов числовой ряд = 5 Исследовать сходимость числовых рядов: а) + ; б)! = si + 5 тоже сходится Решение Для решения данных примеров применим признак Даламбера а) Так как u =, то u + =, значит,! +! + ( ) (! ) ( ) = ( ) + = = = + +! + u+ + lim lim lim u = lim = <, + +, поэтому числовой ряд + сходится! =

22 б) Так как u + + = +, то + u + =, значит, ( + ) + + ( )( ) (( ) )( ) ( ) = = = u u lim lim lim lim = = lim = >, поэтому числовой ряд = + расходится + 6 Исследовать сходимость числового ряда = + ( ) Решение Применим радикальный признак сходимости Коши числовых рядов Так как u =, то + поэтому числовой ряд ( ) lim u = lim = <, + сходится = + ( ) 7 Исследовать сходимость числовых рядов: а) ; б) l = l =

23 Решение Для решения данных примеров применим интегральный признак сходимости Коши числовых рядов а) Функция f ( x) = является непрерывной и монотонно x l x убывающей на промежутке [, ) Так как dx= lim dx= x x x l x l B B d l x t = l x, = lim = = B l x x = t = l, x = B t = l B lb lb lb dt lim lim d lim t t t B l t B l B l = = = = = lim ( l B) ( l ) =, B то и числовой ряд тоже расходится = l б) Функция f ( x) = является непрерывной и монотонно x l x, Так как убывающей на промежутке [ ) B d l x dx= lim dx= lim = x l x x l x l x B B lb lb lim d lim t t t B l B l B B lb t = l x, dt = lim x t l, x B t l B = = = = = = B l t = = =

24 = lim ( l B) ( l ) = lim B B =, l B l l то и числовой ряд ) ) ) тоже сходится l = Задачи для самостоятельного решения Установить сходятся или расходятся следующие числовые ряды + = = + + = ) = ) 5 = 6) = 7) = 8) = + 9) + + ) = = ) = + + ( )( ) + ) = + 5 ) = + ) = ) = 6) si = 7) tg = 8) arcsi 5 = 9) arctg = 5 ) + l + = 6

25 ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) + l + = + 6 l + 5 = + l + = + l + l = = l l = = cos + = si + = 5 si 5 + = ( ) cos + + = l = l l = 5 ) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) 5) 6) 7) 5 = =! = + 5! = = +! = ( )! +! ( ) = ( ) = + = + 5 = + =! = ( ) 5 = ( + ) ( ) 6 ( ) = 7 ( 5 )

26 8) 9) 5) 5) 5) 5) = = ( ) ( ) l ( ) = + = = = ) = + 55) arcsi = ) Расходится ) Расходится ) Расходится ) Расходится 5) Сходится 6) Расходится 7) Сходится 8) Сходится 9) Расходится ) Сходится ) Сходится ) Расходится ) Расходится ) Расходится 5) Сходится 6) Расходится 7) Расходится 8) Сходится 9) Сходится ) Расходится ) Сходится ) Расходится 56) = 57) 58) 59) 6) 6) 6) 6) Ответы = = + = 5 + = = 7 = 5 6 = ( ) ( ) + 5 ) Расходится ) Сходится 5) Расходится 6) Расходится 7) Расходится 8) Расходится 9) Сходится ) Сходится ) Расходится ) Расходится ) Сходится ) Расходится 5) Сходится 6) Расходится 7) Сходится 8) Сходится 9) Расходится ) Сходится ) Сходится ) Сходится ) Расходится ) Сходится 5

27 5) Сходится 6) Сходится 7) Сходится 8) Расходится 9) Сходится 6 5) Сходится 5) Расходится 5) Расходится 5) Сходится 5) Расходится 55) Сходится 56) Сходится 57) Сходится 58) Расходится 59) Сходится 6) Сходится 6) Расходится 6) Сходится 6) Расходится 5 Знакопеременные и знакочередующиеся ряды Абсолютная и условная сходимость Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость Числовой ряд u называется знакопеременным, если он содержит = как бесконечное число положительных, так и бесконечное число отрицательных членов Теорема Пусть задан знакопеременный числовой ряд u = Тогда, если сходится числовой ряд, составленный из модулей членов данного числового ряда, то есть сходится числовой ряд то сходится и сам знакопеременный числовой ряд В данном случае знакопеременный числовой ряд u = = u, = u называется абсолютно сходящимся Знакопеременный числовой ряд u = называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд, составленный из модулей данного числового ряда сходится числовой ряд u = u, = то есть

28 Значит, из абсолютной сходимости числового ряда следует его сходимость Если же знакопеременный числовой ряд абсолютно не сходится, то он может как сходиться, так и расходиться Знакопеременный числовой ряд = u называется условно сходящимся, если он сходится, но числовой ряд, составленный из его модулей, расходится, то есть расходится числовой ряд u = Исследовать сходимость знакопеременного числового ряда определить, сходится он абсолютно, условно или расходится Для проверки абсолютной сходимости числового ряда = u можно использовать признак сходимости Даламбера и радикальный признак сходимости Коши Только в этих случаях при вычислении пределов вместо общего члена u числового ряда надо брать его абсолютное значение u По признаку Даламбера вычисляется предел u+ lim = l: если l <, то числовой ряд абсолютно сходится; если u l >, то числовой ряд расходится; если l =, то числовой ряд может как абсолютно сходиться, так и условно сходиться и расходиться По радикальному признаку Коши вычисляется предел lim u = l: если l <, то числовой ряд абсолютно сходится; если l >, то числовой ряд расходится; если l =, то числовой ряд может как абсолютно сходиться, так и условно сходиться и расходиться Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов В частных случаях, когда знакопеременный числовой ряд является знакочередующимся, в большинстве задач удается установить и его условную сходимость Знакопеременный числовой ряд называется знакочередующимся, если его соседние члены (начиная с некоторого номера) имеют противоположные знаки В частности, знакочередующийся числовой ряд может иметь один из следующих видов: 7

29 или 8 = ( ) ( ) u = u u + u u + + u + () = где ( ) u = ( ) ( ) u = u + u u + u + u +, (5) числовая последовательность положительных чисел Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Теорема (признак Лейбница) Если общий член знакочередующегося ряда () (или (5)) стремится к нулю и последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает (с некоторого номера), то есть u u u u, то знакочередующийся ряд () (или (5)) сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенству < S < u (или u < S < ) Числовые ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются числовыми рядами лейбницевского типа (или рядами Лейбница) Чтобы приближенно вычислить сумму сходящегося знакочередующегося ряда с заданной абсолютной погрешностью ε, надо заменить его сумму S такой его частичной суммой S ( S S ), чтобы u + ε Примеры Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится, + = Решение Данный числовой ряд является знакочередующимся + u = Так как условно сходится или расходится) ( ) Его общий член задается формулой ( )

30 + + lim u = lim = lim =, то числовой ряд расходится (согласно достаточному признаку расходимости числового ряда) Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится, cos условно сходится или расходится) = + cos Решение Данный числовой ряд u = является знакопеременным Исследуем его на абсолютную сходимость = = + cos u = Так как = = + то из сходимости числового ряда u v = следует сходи- + мость числового ряда cos = = v, + + = = = u (по признаку сравнения числовых рядов) Применим предельный признак сравнения числовых рядов к рядам v = и w = Так как = = v w + lim = lim = lim = lim =, + + ( ) 9

31 и числовой ряд сходится (он является обобщенным гармоническим рядом с w = Значит, сходится и ряд cos u = + = = p = > ), то сходится и числовой ряд u = v =, а поэтому абсолютно сходится ряд Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится, + + условно сходится или расходится) ( ) = ( ) = = Решение Данный числовой ряд ( ) u = ( ) + ( + ) является знакочередующимся Так как при u и монотонно убывает, то по признаку Лейбница он сходится Исследуем его + на абсолютную сходимость u = Используя предельный признак сравнения числовых рядов, сравним его с рядом = = ( + ) v = Так как = = ( + ) u lim = lim = v ( + ) + = lim = lim + =, + + ( )

32 и числовой ряд v = расходится (он является гармоническим рядом), то расходится и числовой ряд + ( ) условно сходится = ( + ) u =, значит, числовой ряд Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится, ( ) условно сходится или расходится) = Решение Данный числовой ряд является знакочередующимся Так как числовой ряд ( ) = сходится (либо по признаку = = Даламбера, либо по радикальному признаку Коши, либо данный числовой ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем по модулю меньшим ), следует абсолютная сходимость числового ряда ( ) = 5 Вычислить сумму числового ряда ( ) с абсо-! лютной погрешностью ε= = ( + ) Решение Данный числовой ряд u = ( ) явля- = = ( +! ) ется числовым рядом лейбницевского типа, значит, он сходится и обладает суммой S Так как u = >ε, u = >ε, u, >ε, u,667 >ε, u5, 67 >ε, u6,89 >ε, u7,5 >ε и u8,6 ε,

33 то S S7 с абсолютной погрешностью ε=, где S7 = u+ u + u + u + u5 + u6 + u7,86,86 В итоге получено, что S,86 с абсолютной погрешностью ε= 6 Задачи для самостоятельного решения Исследовать сходимость числовых рядов (абсолютно сходятся, условно сходятся или расходятся) ) ) ) = ( ) ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( )! si ) = 5 + arctg( + ) 5) = + 6) ( ) 5 + = + + 7) ( ) = 8) ( ) = ) ( ) = 6 + ) ) ) = ( ) 5 = ( ) l = ( ) + + ) ( ) ) 5) = = ( ) = ( ) ) ( ) 7) 8) = ( ) = l ( ) l =

34 9) ( ) l l 5 = 6 ) ( ) =!! ) ( ) = ) ( ) = ( ) 5! ) ( ) = ( )! +! ) ( ) = 5) ( ) = ( )! ) ( ) ( ) = + 7) ( ) = 8) ( ) = ( + )( ) + 5 Вычислить сумму числовых рядов с абсолютной погрешностью ε= + + = 9) ( ) ) = ( ) ) ( ) = ) = ( )! ) ( ) Ответы = + + ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится 5) Абсолютно сходится 6) Расходится 7) Условно сходится 8) Условно сходится 9) Абсолютно сходится ) Условно сходится ) Условно сходится ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится 5) Абсолютно сходится 6) Расходится 7) Условно сходится 8) Условно сходится 9) Абсолютно сходится ) Условно сходится ) Абсолютно сходится ) Абсолютно сходится ) Расходится ) Абсолютно сходится 5) Расходится 6) Сходится 7) Расходится 8) Сходится 9),8 ), ),9 ),6 ),

35 7 Функциональные и степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Применение степенных рядов к приближенным вычислениям Функциональные ряды Пусть задана последовательность функций действительного аргумента u x называется функциональным рядом, а x Выражение вида u (6) u x общим (п-м) членом функционального ряда Если в функциональный ряд (6) вместо x подставить некоторое значение x, которое входит в область определения каждой функции u x, начиная с некоторого номера, то получится числовой ряд Функциональный ряд k k x u называется п-м остатком функционального ряда (6) Замечание Так же как и для числовых рядов нумерация членов функционального ряда может начинаться не с, а с любого целого числа Значение x переменной x, при подстановке которой в функциональный ряд получается сходящийся числовой ряд, называется точкой сходимости функционального ряда, в противном случае точка x называется точкой расходимости функционального ряда Множество точек, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда Признак Вейерштрасса Если члены функционального ряда (6), начиная с некоторого номера, удовлетворяют в каждой точке x некоторого множества M действительных чисел неравенству u x c и числовой ряд ck k сходится, то в каждой точке x множества M сходится и функциональный ряд (6)

36 Степенные ряды Функциональный ряд a x x a a x x a x x a x x (7) называется степенным рядом Здесь a и x являются действительными числами Числа a также называются коэффициентами степенного ряда Ясно, что степенной ряд сходится при x x Точка x x называется центром сходимости степенного ряда Теорема (Абеля) Если степенной ряд сходится при таком x x *, что * * x x x x * x x, то он сходится и при всех таких x, что Следствие Если степенной ряд расходится при таком x x *, что x x, то он расходится и при всех таких x, что * x x x x Область сходимости степенного ряда может быть одного из трех следующих видов ) Областью сходимости степенного ряда является только ее центр сходимости, то есть точка x ) Областью сходимости степенного ряда является интервал x R, x R, R, который называется интервалом сходимости степенного ряда, концы которого могут как входить в область сходимости, так и не входить Значит, степенной ряд заведомо расходится вне отрезка x R, x R В данном случае число R называется радиусом сходимости степенного ряда ) Областью сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел, В случае ) считается R, в случае ) R 5

37 Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять либо по формуле Даламбера, либо по радикальной формуле Коши По формуле Даламбера 6 По радикальной формуле Коши a R lim (8) a R lim (9) a Замечание Если степенной ряд содержит бесконечное число коэффициентов равных нулю и бесконечное число коэффициентов не равных нулю, то область сходимости степенного ряда определяется без нахождения его радиуса сходимости, а используя известные признаки сходимости и расходимости числовых рядов (см пример 8) Основные свойства степенных рядов ) Сумма S x степенного ряда (7) является непрерывной функцией в интервале сходимости x R, x R ) При умножении почленно степенного ряда (7) на число, отличное от, его область сходимости не изменится ) При сложении, вычитании и умножении степенных рядов a x x и b x x с радиусами сходимости соответственно равными R и R получаются степенные ряды, радиусы сходимости R которых равны меньшему из радиусов сходимости R mi R, R первоначальных степенных рядов, то есть ) Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать: то есть для степенного ряда S x a a x x a x x a x x a x x ()

38 при x x R, x R выполняется равенство S x a a x x a x x x x 5) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри его интервала сходимости: то есть для степенного ряда () при x R a b x R выполняется равенство b b b b S x d x a d x a x x d x a x x d x a a a a b b d a a a x x x a x x d x Разложение функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена) Пусть функция f x определена в некоторой окрестности x, x точки x (здесь ), в каждой точке которой она имеет производную любого порядка Поставим в соответствие функции f x степенной ряд Степенной ряд правой части формулы () называется рядом Тейлора функции f x в окрестности точки x, и говорят, что функция f x разложена в ряд Тейлора в окрестности точки x либо разложена по степеням x x Если функция x разложена в ряд Тейлора в окрестности точки ( f x f x f x ~ x x f x x x!! () f x f x x x x x!! f f x x ), то получается ряд Маклорена функции 7

39 f f f f f x ~ x f x x x!!!! Теорема Для того чтобы ряд Тейлора () функции f x сходился к функции * f x * f x x x! * в этой точке остаток * чтобы lim R x f x в точке x x *, то есть, необходимо и достаточно, чтобы R x стремился к нулю при, то есть Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа здесь c x, x, если x x, f c R x c x! и c x x,, (), если x x, и для различных x и значение c может меняться, то есть значение c зависит от значений x и Теорема Если модули всех производных функции f x ограничены в некоторой окрестности точки x одним и тем же числом M, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора () функ- f x сходится к функции f f x ции f x x x! x, то есть имеет место равенство Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена 8 ) x x x e x!!, x, ;

40 5 x x x si x x! 5!! ) x x x, x, ; ) cos x, x!!! ) x x x, ;! x!,,, если ; x,, если ;,, если ; 5) x x x x, x, ; 6) x x x x, x, ; x x x 7) l x x, x, ; 5 x x x 8) arctg x x 5, x, ; 5 7 x x 5 x 9) arcsi x x x 6, x, ; 5 x x x ) sh x x! 5!! ) ch x x x x, x, x!!!,, ; 9

41 Некоторые приложения степенных рядов Степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена) могут применяться: ) для приближенного вычисления значений функций; ) приближенного вычисления определенных интегралов; ) приближенного решения дифференциальных уравнений Приближенное вычисление значений функций Пусть требуется вычислить значение функции f x при x x с абсолютной * погрешностью Если функция f x представлена степенным рядом f x a a x x a x x a x x в некотором промежутке M и * * то точное значение f x x M, равно сумме этого степенного ряда при x x *, то есть * * * * f x a a x x a x x a x x, * а приближенное значение частичной сумме * * * * * a x x a x x f x S x a a x x S x, то есть () Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна * * * модулю остатка числового ряда, то есть f x Sx R x Таким образом, приближение () будет верно с абсолютной погрешностью, когда будет подобран такой номер, что * R x

42 Для числовых рядов, которые являются рядами лейбницевского типа, верно * * * * * R x u x u x u x u x k В остальных случаях (числовой ряд знакопостоянный или знакопеременный) поступают следующим образом: составляют ряд из модулей членов данного числового ряда и для него стараются подобрать числовой ряд с бо льшими членами (обычно это сходящийся ряд бесконечной геометрической прогрессии), который легко бы * суммировался И в качестве оценки сверху R x берут соответствующую величину остатка нового числового ряда Приближенное вычисление определенных интегралов Пусть требуется вычислить определенный интеграл f xdx с абсолютной погрешностью b Если подынтегральную функцию f x можно разложить в ряд по степеням x x и интервал сходимости степенного ряда x R, x R включает в себя отрезок a, b ( x R a b x R ), то для приближенного вычисления заданного определенного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования степенных рядов Абсолютную погрешность вычислений определяют так же, как и при приближенном вычислении значений функций Приближенное решение дифференциальных уравнений Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Здесь неизвестной функцией является функция y yx Также считается, что для дифференциальных уравнений с начальными условиями выполняются достаточные условия существования и единственности задачи Коши в некоторой окрестности точки x, в которой и задаются начальные условия a

43 Способ последовательного дифференцирования Пусть требуется решить дифференциальное уравнение с начальными условиями y x y yx y, y f x, y, y, y,, y (), y x y,, y x y (5) Решение дифференциального уравнения ищем в виде ряда Тейлора: y x y x y x y x x x x x!! x x x x!! k! k! y x y x y x y x k x x x x (6) Первые коэффициентов ряда Тейлора находятся, используя начальные условия (5) дифференциального уравнения Следующие коэффициенты путем последовательного дифференцирования дифференциального уравнения () и вычисления полученных производных при x x Найденные значения производных подставляются в ряд Тейлора (6), который представляет искомое частное решение дифференциального уравнения () при начальных условиях (5) для тех значений x, при которых он сходится Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения Способ неопределенных коэффициентов Этот способ приближенного решения дифференциальных уравнений наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений Пусть требуется решить дифференциальное уравнение y p x y p x y p x y p x y f x (7)

44 с начальными условиями y x y yx y,, y x y,, y x y (8) При этом коэффициенты pi x и свободный член f x разлагаются в ряды Тейлора по степеням x x и все эти ряды сходятся к своим функциям в некотором интервале x R, x R Искомое решение y y x дифференциального уравнения (7) (8) ищем в виде степенного ряда y x c c x x c x x c x x k k c x x c x x c x x (9) с неопределенными коэффициентами c Используя начальное условие yx i y дифференциального уравнения, имеем c y Дифференцируя степенной ряд (9) раз и используя начальные условия (8) дифференциального уравнения (7), находятся коэффициенты c, c,, c Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем степенной ряд (9) раз и подставляем выражения для функции y и ее производных в уравнение (7), заменяя в нем p x и f x их разложениями в ряд Тейлора по степеням x x В результате получаем тождество Приравнивая коэффициенты при соответствующих показателях независимой переменной x, получаем систему линейных алгебраических уравнений Решая данную систему, находим остальные коэффициенты степенного ряда (9) Построенный степенной ряд сходится в том же интервале x R, x R и служит решением дифференциального уравнения (7) (8) i

45 Примеры Найти область сходимости функционального ряда x x 9 и его сумму Решение Данный функциональный ряд является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом равным b x x 9 x и знаменателем тоже равным q Ряд бесконечной геометриче- x 9 ской прогрессии сходится тогда и только тогда, когда q x x 9 Решив данное неравенство, получим x, область сходимости функционального ряда Сумма функционального ряда равна b S x q 5 Найти область сходимости функционального ряда si x Решение Применим признак Вейерштрасса При любом действи- тельном значении x верно неравенство si x, значит, при любом действительном значении x верно и неравенство si x u x c Так как числовой ряд c

46 сходится, то функциональный ряд действительном значении x ( x, ) si x сходится при любом Найти область сходимости функционального ряда x 5 x Решение Пусть x Числовой ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с p 5 К 5 рядам и x 5 x применяется предельный признак срав- 5 нения рядов Значит, при любом x функциональный ряд x 5 сходится x При x функциональный ряд превращается в числовой ряд, который является обобщенным гармоническим рядом с p, а поэтому он расходится Значит, областью сходимостью функционального ряда x 5 является множество x,, x Найти область сходимости степенного ряда x 7 Решение Точка x является центром сходимости степенного 5

47 ряда Коэффициентами степенного ряда являются числа a Радиус сходимости степенного ряда вычислим 7 по формуле Даламбера: a 7 R lim lim a 7 7 lim 7 Поэтому x R, x R 7, 7 интервал сходимости степенного ряда Проверим сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости При x 7 x является числовым 7 рядом лейбницевского типа, значит, он сходится При x 7 x является числовым рядом, 7 который эквивалентен гармоническому ряду, значит, он расходится Таким образом, областью сходимости степенного ряда является полусегмент 7, 7 5 Найти область сходимости степенного ряда x 6

48 Решение Точка x является центром сходимости степенного ряда Коэффициентами степенного ряда являются числа a Радиус сходимости степенного ряда вычислим по радикальной формуле Коши: R lim lim lim a lim e Поэтому x R, x R e, e интервал сходимости степенного ряда Проверим сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости x При x e имеем e Проверим выполняемость необходимого условия сходимости числового ряда: l e lim e lim e l l e l lim e lim e 7

49 8 l l lim e lim e e Здесь и числитель, и знаменатель показателя числа e стремятся к нулю, поэтому для вычисления данного предела использовалось два раза правило Лопиталя, предварительно заменив натуральную переменную на действительную переменную x Ряд расходится согласно достаточному признаку расходимости числового ряда При x e имеем x e Для данного числового ряда согласно достаточному признаку расходимости числового ряда исходный числовой ряд тоже расходится так, как его общий член вообще не имеет предела Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал e, e 6 Найти область сходимости степенного ряда x! Решение Точка x является центром сходимости степенного ряда Коэффициентами степенного ряда являются числа a Радиус сходимости степенного ряда вычислим по! формуле Даламбера: a! R lim lim lim a! Так как R, то областью сходимостью степенного ряда является множество всех действительных чисел: x,

50 7 Найти область сходимости степенного ряда! x Решение Точка x является центром сходимости степенного! ряда Коэффициентами степенного ряда являются числа a Радиус сходимости степенного ряда вычислим по формуле Даламбера: a! R lim lim a! lim Так как R, то области сходимостью степенного ряда является только ее центр сходимости : x x 8 Найти область сходимости степенного ряда x5 Решение В этом степенном ряду бесконечное число коэффициентов равных нулю и бесконечное число коэффициентов не равных нулю Применим признак Даламбера Общий член ряда равен l x x x5 u u 5 x x lim lim u x x5 9

51 5 При, x5 x5 lim l x то есть при 5, 5 сходится При lx степенной ряд расходится При x, степенной ряд l x имеем x 5 или x 5 При x 5 числовой ряд x5 u x расходится согласно достаточному признаку расходимости числового ряда (общий член ряда стремится к бесконечности) При x 5 числовой ряд x5 u x тоже расходится согласно достаточному признаку расходимости числового ряда (общий член ряда стремится к плюс бесконечности) Значит, областью сходимости данного степенного ряда является интервал 5, 5 9 Разложить в ряд Тейлора функцию x f x в окрестности точки x Решение Найдем сначала общий вид ее -й производной и значение ее в точке x Так как f x, то f x l, x x

52 x x f l и т д Поэтому для любого натурального числа верно, что x f x l Можно доказать методом математической индукции Отсюда, f x f l По формуле () разложение функции x в окрестности точки x имеет вид l l f x ~ x x!! l l x x!! f x в ряд Тейлора Найдем область сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенного ряда найдем по формуле Даламбера: a l! R lim lim lim a! l l Так как R, то областью сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел: x, По формуле () для любого действительного числа x имеем c L l l R x c M,!! здесь c x, x, если x x, и c x, x, L max x, x и M max x, x, то функция f если x x, x раскладывается в ряд Тейлора для любого действительного числа x, то есть для любого x, верно 5

53 5 l l f x x x!! l l x x!! Разложить в ряд Маклорена функцию y l x Решение Так как то, подставив x x x l x x, x,, x вместо x в разложение функции, получим 6 x x x y l x x В последнем разложении x,, значит, x, образом, и 6 x x x y l x x Таким при, x Разложить в ряд Маклорена функцию y xshx ch x Решение Так как 5 x x x sh x x! 5!! ch x x x x, x,, x!!!,,

54 то, подставив x вместо x в разложения функций, получим и и 5 8x x x sh x x! 5!! ch x x 6x x, x,, x!!! Из предпоследнего разложения имеем, 6 8x x x x xsh x x! 5!!! Значит, x, 6 6x 6x x x xsh x x! 5!!! ch x x,, x 8x x, x,!!! y xshx chx 6 8 x x x!!!!! x,,,, 5

55 5 Вычислить приближенно при помощи степенного ряда cos с абсолютной погрешностью Решение Воспользуемся формулой разложения элементарных функций в ряд Маклорена: Так как x x x cos x 6, x!!! радиан, значит, 9, cos cos 9! 9! 9!9 Полученный числовой ряд является числовым рядом лейбницевского типа Так как u, u 9,8978, 9 u 7,6, то u 6,68, u,699, 6 u 8, и cos cos u u u u6 u8,7665,766 9 Вычислить приближенно при помощи степенного ряда с абсолютной погрешностью Решение Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Отсюда x x x e x!! 6, x e /!!, e /

56 -ый способ Остаток после -го члена предыдущего числового ряда имеет вид!!! R Так как!, то 9 R Так как R 5, и R 7 6,6, то / e S,57!!! с абсолютной погрешностью -ой способ Воспользуемся формулой остатка ряда Тейлора в c e x форме Лагранжа R c, здесь c,! f x, e Оценим сверху величину остатка R Так как 6 / / e c e, то 55

57 56 R! Так как R 5 8, и R 7,7, то / e S,57!!! 6 с абсолютной погрешностью Вычислить приближенно при помощи степенного ряда / t dt с абсолютной погрешностью Решение Воспользуемся формулой разложения элементарных функций в ряд Маклорена Имеем Отсюда 8 x x x x!! x,,! x x x x!! x 6 9 x, x!,

58 По основному свойству (5) степенных рядов имеем x dx dx dx x d x! / / / / x 6 / 9 x dx! / x dx! / / x x x / / x 7! 7! Получаем числовой ряд / x! x dx 7! 7!! / 57

59 Данный числовой ряд является знакочередующимся, начиная с номера Так как 7 9 u 6,6 и u,, то / x x u u u d,555,555 5 Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения условиями y и y y y x y с начальными Решение Применим способ последовательного дифференцирования Решение дифференциального уравнения ищем в виде y y y x y x x!! y x x y!! Продифференцируем два раза дифференциальное уравнение: y y x y, y y y xy x y ; y y y xy x y, () y y y y yy y xy xy x y, () y y y y y xy x y Из дифференциального уравнения x y находим y y y : 58, y, y y y y

60 или Из () находим y:, y y y y y y Из () находим y : 5 y y y y y y y, Таким образом, y y x x x x x!!! 5 9 y x x x x x 6 Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с начальными условиями y, y и y xy y x y x y Решение Применим способ неопределенных коэффициентов Решение дифференциального уравнения ищем в виде 5 6 y x c c x c x c x c x c x c x 5 6 Продифференцируем функцию y x два раза: y x c 6c x c x c x c x y x c c x c x c x c x c x,

61 6 и Из начальных условий имеем y c, y c y c yx и запишем ее первые три производные:, а значит, c Подставим найденные коэффициенты в функцию y x 6c c x 6c x c x y x x x c x c x c x c x, y x x c x c x c x c x, y x c x c x c x c x, Подставим функцию y x и ее найденные производные в дифференциальное 5 6 уравнение y xy y x y x Получим 5 6 6c c x 6c x c x 5 6 x 6c x c x c x c x x c x c x 5c x 6c x x x x c x c x c x c x x Раскроем скобки 5 6 6c c x 6c x c x x 6c x c x c x c x x c x c x 5c5 x 5 6c6 x x x x c x c x c x c x x Так как в левой части равенства известны коэффициенты только до третьей степени всех степенных рядов, то представим левую часть равенства степенным рядом до третьей степени:

62 6c c x 6c5 6c c x c 6 c c x x, 6c c x 6c c x c 8c x x 5 6 Отсюда получаем систему уравнений x c : 6, x: c, x : 6c5 c, x : c6 8c Решив систему, получим c, c, c5 6 и 7 c6 Таким образом, 6 ) ) yx x x x x x x Задачи для самостоятельного решения Найти область сходимости и сумму функциональных рядов x x 7 x x ) x ) x 6 5) x x 6) 6

63 Найти область сходимости функциональных рядов 7) 8) x x 9 x x 9) x ) x 6 ) x ) x ) ) x l x 5) 5) 6) x 6) 7) 8) 9) ) ) ) x si x arcsi cos x x x x x x 5 ) x ) x Найти область сходимости степенных рядов x x! 7) 8) x! x! 6

64 9) ) ) ) ) x! x x x x ) x 5) 6) x! x Разложить в ряд Тейлора функции ) f x 5) f x l x, x, x x 6) x, x x 6 7) x 5 8)! x 9)! x ) x ) ) ) x x f x в окрестности точки x 7) f x si 8) f x e 9) f x x, x x, x, x x l x, x 5) f x 6

65 6 Разложить в ряд Маклорена функции f x f x x 5) ch 5) f x x cos x 5) f x x 5) f x 55) f x x l x x Вычислить приближенно при помощи степенных рядов 56) 9 с абсолютной погрешностью 57) 9 57 с абсолютной погрешностью 5 58) l, с абсолютной погрешностью 5 59) arctg,5 с абсолютной погрешностью 6) 6) 6) / e / с абсолютной погрешностью 8 x cos xdx с абсолютной погрешностью / 9 x dx с абсолютной погрешностью 7 arctg x 6) dx с абсолютной погрешностью 5 x 6) Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения условием y y x y с начальным 65) Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения условием y y y x с начальным 66) Найти первые восемь членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y xy x x с начальными условиями y и y y,

66 Ответы ) x,, x ) x, 5, 5, x x 5 ) x,,, x ), 7 7, 5 5, 7 7, x, 5),, x, x, x x, 6), 7) 8) x, 9) x x,,, x, ) ) x, x,, ) ) x,, ) x, e 5) x, 6) x, 7) x, 8) x, 9) x,,, ) x, ) Ни при каком значении x x, ) ) Ни при каком значении x x, ) 5) x, 6), x 8 8 7) x, 8 8 8) x 9) x ) x, e e x, ) ) 7 x, x, ) x 7 65

67 ) x, 5) x, 6) x 8, 7) x 9, 8), 66 x ) 9) x, ), ) x e, e ), ),7 f x x x x, x,6 5) f x l x x x x,6 6) f x x x x x!,, 7) f x x x x!! x, 8) f x x x x, e e e e! x, 9) f x x x x x,, 5) f x l x x x x,5, x,,

68 5) f x x x x,,!!! 6 5) x f x x x x x!!! x, x x x 5) f x,, 5 5) f x x x x x x, x, 5 6 f x x x x,!! x, 55) 56), ),67 58),95 59),9958 6),7788 6),659 x 7 6) y x x x ) y x x x x ) y x x x x x x x Ряды Фурье, 6),7 6),87 Пусть задана функция f x, определенная при всех действительных значениях независимой переменной x и являющейся lпериодической функцией ( l ) Поставим в соответствие функции f x функцию S x, определенную следующим образам: f 67

69 где Функция S ряда Фурье 68 f a x x S x a cos b si l, () f l l l a f td, t l l t a f tcos dt,,,,, () l l l l t b f tsi dt,,,, l l рядом) функции l x называется рядом Фурье (тригонометрическим f x Также говорят, что функция f x разложена в ряд Фурье или представлена в виде ряда Фурье Тот факт, что функции f x ставится в соответствие ее ряд Фурье, обозначается f x ~ S x Теорема (теорема Дирихле) Пусть f x на отрезке l, l ) f f удовлетворяет двум условиям: l-периодиче ская функция x кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; f x кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке ) либо этот отрезок можно разбить на конечное число промежутков так, что на каждом из них функция монотонна Тогда соответствующий функции S x сходится на этом отрезке и при этом: f x ряд Фурье а) в точках непрерывности интервала l, l функции f S x совпадает с самой функцией S x f x; f f f x сумма

70 б) в каждой точке x интервала l, l, которая является разрывом функции f x, сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции в) на концах отрезка l, l Фурье равна S f x f x в этой точке x слева и справа: f x f x ; (в точках x l и x l ) сумма ряда f l f l S f l S f l Замечание Из вышесказанного следует, что значение функции f x и ее ряда Фурье не обязательно совпадают во всех точках отрезка l, l где вид: где Если функция l f a f t t l x четная, то ее ряд Фурье имеет следующий вид: a x S f x acos, () l d и Если функция f l t a f t cos dt,,,, (5) l l l x нечетная, то ее ряд Фурье имеет следующий l x S f x bsi, (6) l t b f tcos dt,,,, (7) l l l 69

71 Частным случаем разложения функции f Если функция f x нечетная, то ее ряд Фурье принимает вид S f x bsi x, где b f tsitd t,,,, 7 x в ряд Фурье является, когда функция f x -периодиче ская ( l ) Здесь формулы () (7) имеют более простой вид Для произвольной функции f x имеем где где Если функция a S x a cos x b si x, (8) f a f td, t a f t costd t,,,,, (9) b f t costd t,,,, f a f t t x четная, то ее ряд Фурье принимает вид a S f x acos x, d и a f t costd t,,,,

72 По определению только периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье Однако непериодическую функцию f x тоже можно представить в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке Рассмотрим некоторые случаи Пусть требуется непериодическую функцию f x представить в виде ряда Фурье на отрезке l, l Построим функцию f x, определенную при всех действительных значениях x, совпадающую с f x на отрезке функцией l, l, кроме, быть может, одного из концов отрезка l, l (в этой точке функция f x должна совпадать со своим значением в другом конце отрезка l, l ), и являющейся выпол- l -периодичес кой Тогда ряд Фурье Sf x функции f рядом Фурье Sf x функции f x на отрезке l, l: ках непрерывности x интервала l, l S f x S f x f x; в точках разрыва x интервала l, l f x f x няется равенство S x S x x считается так как в точ- выполняется равенство f ; на концах отрезка l, l выполняется f равенство Вне отрезка l, l нет никакой связи между значениями функции f l f l S f l S f l S f l S f l f x и ее рядом Фурье S x Если функцию f f x нужно разложить в ряд Фурье на отрезке, l, то ее можно разложить в ряд Фурье либо только по косинусам, либо только по синусам Делается это следующим образом Если вместо функции f x построить функцию f x, опреде- ленную при всех действительных значениях x, такую, что она 7

73 f x на отрезке Sf x и Sf x функций f x f x на отрезке, l совпадают Ряд Фурье S совпадает с функцией, l, является четной и lпериодической, то ряды Фурье и f x функции, Sf x функции f x, не содержит синусов (разлагается только по косинусам), так как по построению функция f x четная f x а значит, и ряд Фурье Если вместо функции f x построить функцию f x, определенную при всех действительных значениях x, такую, что она совпадает с функцией f x на промежутке, l, является нечетной, l-периодической и в точке x принимает произвольное значение, то ряды Фурье f x на отрезке значит, и ряд Фурье Sf x и Sf x функций f x и, l совпадают Ряд Фурье Sf x функции f x, а S x функции f x, не содержит косинусов f (разлагается только по синусам), так как по построению функция f x нечетная Наконец, если непериодическую функцию f x нужно представить в виде ряда Фурье на отрезке ab,, где a b, то ее ряд Фурье будет иметь следующий вид: где f l a x x S x a cos b si l, b b a f td, t l a t a f tcos dt,,,,, l l a 7


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее