dx = F (+ ) F (a) (8.37)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "dx = F (+ ) F (a) (8.37)"

Транскрипт

1 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения определенного интеграла. Рассмотрим случаи: а) промежуток интегрирования имеет один из видов: [, ), (, ], (, ); б) на конечном промежутке [, ] функция f () имеет хотя бы один бесконечный разрыв (разрыв второго рода). Свойство 4 интегралов (см. п. 8.4) при соответствующем делении промежутка интегрирования на части позволяет свести случай а) к рассмотрению промежутков [, ), (, ] с непрерывными на них функциями, а для случая б) ограничиться рассмотрением функции с единственным разрывом, и притом в одном из концов промежутка Несобственные интегралы первого рода (НИ-) (несобственные интегралы по бесконечному промежутку) Так называются интегралы, обозначаемые символами f ( ) d, f ( ) d, f ( ) d, (8.36) возникшие в результате обобщения понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка. Иногда в символах (8.36) в качестве верхнего предела интегрирования пишут (вместо ). Для понимания существа дела (и для большинства практически важных случаев) достаточно ограничиться заданием на соответствующем промежутке непрерывной функции f (). Введем обозначения F ( ) и F ( ), понимая: F ( ) F( ), F ( ) F( ). 8

2 О п р е д е л е н и е. Говорят, что несобственный интеграл f ( ) d сходится (или существует), если выполняются два условия: ) в рассматриваемом промежутке f () обладает первообразной (для непрерывной f () это заведомо выполняется); ) значение F ( ) F( ) существует и конечно. При выполнении этих условий полагают f ( ) d F ( ) F () (8.37) обобщенная формула Ньютона-Лейбница. Функцию f () при этом называют интегрируемой в [, ). Если значение F ( ) не существует или бесконечно, то несобственный интеграл расходится (или не существует). Аналогичные определения можно дать для двух других несобственных интегралов из (8.36) (сформулируйте их самостоятельно). Пример. Исследовать на сходимость НИ- e d (>). Решение. Интеграл e d e d( ) e e e e конечное число; таким образом, данный несобствен- ный интеграл сходится. # Пример 3. d rctg rctg rctg π π π, т.е. несобственный интеграл сходится. # 8

3 Пример 4. snd cos cos ( cos) пре- дел не существует; несобственный интеграл расходится. # Условие сходимости НИ- на [, ) устанавливается следующей теоремой. Теорема 8.5. Пусть функция f () непрерывна для х а. Для интегрируемости этой функции на промежутке [, ) необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел При этом f Необходимость. f ( ) d ( ) (8.38) ( ) d f ( ) d. (8.39) F() первообразная для f (). Тогда f Пусть f () интегрируема в [, ) и ( ) d F( ) F() ( F( ) F( )) f ( ) d, (8.4) т.е. существует конечный предел (8.38) и справедливо (8.39). Достаточность. Пусть существует конечный предел (8.38). Тогда, прочитав цепочку равенство (8.4) в обратном порядке придем к интегрируемости функции в [, ) и справедливости (8.39). Теорема доказана. Замечание. Теорема, аналогичная доказанной, справедлива и для промежутка (, ] и при этом f и для промежутка (, ), тогда ( ) d f ( ) d (8.4) A A 83

4 f ( ) d f ( ) d. (8.4) A A Замечание. Если в формуле (8.4) предел не существует, полезным иногда оказывается рассмотреть предел, если величины А и В стремятся к бесконечности, оставаясь равными (образно говоря, стремятся к бесконечности по одному закону). И если в этом случае предел существует, его называют главным значением интеграла: A V.. f ( ) d A f ( ) d.. A Пример 5. Интеграл в смысле главного значения d V.. но A d( A A d ( ) ) A ln( ) A ln расходится. A A A, Пример 6. Исследовать поведение интеграла I () ( > ) в зависимости от параметра р. Решение. Пусть р. Тогда d ( ) Если р >, то ( ). d d и (в силу (8.39)) интеграл 84

5 I () d сходится. Если же р <, то расходится. d Пусть р. Тогда интеграл расходится. Таким образом, I () > 85 ( ln ln) d сходится, если > ; расходится, если. d интеграл Часто сходящиеся несобственные интегралы можно вычислить только с помощью приближенных методов, либо применение формулы (8.37) для них сопряжено с громоздкими выкладками при отыскании первообразной. В таких случаях до начала вычислений необходимо убедиться, что данный несобственный интеграл сходится. Для этой цели служат теоремы сравнения, одну из которых приведем здесь. Теорема 8.6. Пусть функции f () и g () непрерывны для и удовлетворяют условиям f (), g (), причем g () для достаточно больших х. Если при этом существует конечный предел f ( ) К ( < К < ), (8.43) g( ) то интегралы f ( ) d и g ( ) d либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся (доказательство опустим). Замечание. Аналогичная теорема имеет место для промежутка (, ]. Замечание. Обычно подынтегральная функция сравнивается с функцией y (см. пример 6). #

6 Пример 7. Исследовать поведение интеграла 86 d. ln Решение. Формула (8.37) неприменима, ибо не знаем первообразную для f (). Возьмем g () ln и подберем р так, чтобы выполнялось условие (8.43): f ( ) g( ) ln ( ln / ) (ln / ) [ пусть р ] [применив правило Лопиталяln ln Бернулли, получим ] K ( < < ). d Итак, g (). Так как расходится (см. пример 6), то по теореме 8.6 данный несобственный интеграл тоже расходится. d Пример 8. Исследовать поведение интеграла. Решение. f () ; возьмем g () и потребуем выполнения (8.43): f ( ) g( ) ( < < ). Так как / [ пусть р ]K d g ( ) d сходится (см. пример 6), то по теореме 8.6 данный несобственный интеграл тоже сходится и имеет смысл вычислять его приближенно или с помощью формулы (8.37) (если найдем первообразную).

7 8.9.. Несобственные интегралы второго рода (НИ-) (несобственные интегралы от неограниченных функций). Рассмотрим теперь другой тип несобственных интегралов случай, когда f () неограничена на отрезке [, ] интегрирования. О п р е д е л е н и е. Пусть функция f () удовлетворяет следующим условиям: ) неограничена на [, ], ) ограничена на любом отрезке [, ε] ( < ε < ) и неограничена на любом отрезке [ ε, ] слева от точки (в этом случае точка называется особой точкой), 3) интегрируема на [, ε]. Тогда ε предел f ( ) d при ε (конечный или бесконечный) называют несобственным интегралом функции f () от до несобственным интегралом второго рода и обозначают ε f ( ) d f ( ) d. (8.44) ε Если предел конечен, то интеграл (8.44) называется сходящимся, а неограниченная на [, ] функция f () интегрируемой на [, ]; в противном случае это расходящийся интеграл. Пример 9. Исследовать Решение.Так как f ( ) d I., то х особая точка, причем (х ) [; ]. Функция ε конечна и интегрируема на [; ε]: d [см. из 87

8 ε ε таблицы 7.] rcsn rcsn( ε). Тогда по формуле (8.44) d d rcsn( ε) rcsn π/ ε, ε т.е. данный НИ- сходится. # Пусть теперь заданная на [, ] функция f () неограниченна на любом отрезке [, ε] ( < ε < ) справа от точки ( особая точка), но ограничена и интегрируема на [ ε, ], тогда несобственный интеграл функции f () от до определяется равенством f ( ) d f ( ) d ε ε. (8.45) В общем случае в промежутке [, ] может быть конечное число особых точек c,, c m, вблизи которых функция f () неограниченна. Пусть особой точкой является точка с: < c <. Тогда по определению или c ) d f ( ) d f ( ) d f ( f ( ) d. (8.46) c ε ε f ( ) d c ε cε f ( ) d. (8.47) Здесь ε и ε стремятся к нулю независимо друг от друга. Если интеграл (8.47) расходится, но при ε ε ε сходится, то его называют главным значением несобственного интеграла и обозначают символом V.. f ( ) d ; таким образом 88

9 V.. f ( ) d c ε f ( ) d ε f ( ) d. ( 8.48 ) cε Пример. d [ особые точки функции / есть х и х, причем (х ) [ ; ] ; применим формулу (8.45)] ε ε π/ НИ сходится. d rcsn ε ε rcsn( ) d Пример. [ особые точки х и х принадлежат отрезку [, ]; произвольной точкой, например, х разобъем отрезок [ ; ] на два и применим свойство 4 опреде- d ленного интеграла] ] π/ π/ π НИ сходится. c ε 89 d Пример. Пусть f() /( c), c (, ). d c c ε [см. примеры 9 и d ε [см. (7.8)] ln c c ln c c ε c c ε ln ln c ε. (8.49) Предел этой суммы при независимом стремлении к нулю ε и ε не существует. Положим ε ε ε. Тогда предел выражения (8.49) при ε есть главное значение рассматриваемого

10 интеграла и в силу (8.48) V.. d -c c ε ln ln ε c ε c ln. # c d Пример 3. Рассмотрим интеграл ( ) Точка а особая точка. При α интеграл α ( >, α > ). d ( ) α при α интеграл α ( ) α ε α α [( ) ε ]; α ε d ln ln ( ) ln ε, ε и предел при ε существует лишь при < α <. Поэтому d сходится при α <, (8.5) α ( ) расходится при α.. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Пусть функция f() неограничена на [, ] и точка особая точка для нее, и пусть для f() существует непрерывная на [, ] первообразная F(), тогда f() интегрируема на [, ], так как ε f ( ) d F( ε) F( ) F() F(). ε ε Таким образом, в случае существования непрерывной на [, ] первообразной F() для неограниченной на [, ] функции понятие НИ- ничем не отличается от понятия интеграла от ограниченной функции и f ( ) d F( ) F( ). (8.5) 9

11 Замечание 3. Формула (8.5) справедлива, если особая точка подынтегральной функции совпадает с другим концом отрезка [, ] или лежит внутри промежутка, лишь бы первообразная для этой функции была непрерывна на всем промежутке интегрирования. В примерах 9- первообразная для функции f() / есть rcsn, непрерывная на [, ], поэтому по формуле (8.5) имеем d rcsn rcsn rcsn( ) π / π / π. 8 Пример 4. d [х особая точка функции f ( ) 3, 3 3 но первообразная F ( ) 3 / непрерывна для любого х из промежутка [ ; 8], поэтому имеет место формула (8.5)] (4 9 ). # 3. Для НИ- имеют место теоремы, аналогичные теоремам 8.5 и 8.6 для НИ-. Приведем их здесь, опуская доказательства. Теорема 8.7. Пусть для неограниченной на [, ] функции точка особая точка. Для интегрируемости этой функции необходимо и достаточно, чтобы существовал предел ε ε f ( ) d. Теорема 8.8. Пусть f() и g() непрерывны в [, ] и точка 9

12 особая точка для обеих функций, причем g() в некоторой окрестности точки. Если при этом существует конечный предел f ( ) k ( < k < ) ( 8.5 ) g( ) то интегралы либо одновременно расходятся. f ( ) d и g ( ) d либо одновременно сходятся, Замечание 4. Аналогичные теоремы имеют место, если особая точка на другом конце или внутри промежутка. Замечание 5. Обычно подынтегральная функция сравнивается с функцией /(х ) α ( см. (8.5)). d Пример 5.Исследовать поведение интеграла I. sn Решение.х особая точка функции f ( ). sn Первообразная на классе элементарных функций не существует (то есть не существует ни одной элементарной функции, производная которой равняется f ( ) ). Рассмотрим функцию g() /х α, для которой х особая точка, и подберем α так, чтобы выполнялось условие (8.5): f ( ) g( ) α sn [применим правило Лопиталя] ( α α ) α ( sn ) /( ) cos [пусть α /]. 9

13 Итак, ( ), g( ) d d g сходится (см. (8.5)), сле- довательно, интеграл Ι тоже сходится по теореме 8.8. # d Пример 6. Исследовать I ln. Решение. Точка х особая точка функции f()/ln. Первообразная на классе элементарных функций не существует. Пусть g() /( ) с особой точкой ; тогда f ( ) g( ) ln 93 ( ) (ln ), d интеграл расходится (см. (8.5)), поэтому по теореме 8.8 данный интеграл Ι тоже расходится. # 8.. Некоторые применения определенного интеграла Рассмотрим здесь приложение определенного интеграла к вычислению дуги кривой, площади плоской фигуры, объема тела вращения. При этом не даем определение понятия площади произвольной поверхности, объема тела, необходимых и достаточных условий существования таковых понятий все это можно найти в подробных курсах математического анализа. Правильнее было бы говорить не о приложении определенного интеграла к вышеперечисленным задачам, а о том, что эти и им подобные задачи привели к понятию определенного интеграла, к необходимости разработки его теории, что, в свою очередь, способствовало развитию других разделов математического анализа.

14 8... Вычисление площади плоской фигуры. Площадь в прямоугольных координатах. Ранее для площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями х а,, y и y f() (см. рис.8.) мы установили формулу (8.7): s f ( ) d. Пусть теперь фигура ограничена линиями х а,, y y () и y Y(), причем y () Y() для всякого [, ] (рис. 8.7). Площадь s фигуры ACD есть разность площадей криволинейных трапеций LCM и LADM, а потому в силу формулы (8.7) имеем s s LCM sladm Y ( ) d y ( ) d [ Y ( ) y ( ) ]d.(8.53) Замечание.Формула (8.53) имеет место и в том случае, когда функции y () и Y() (y () Y()) принимают на [, ] значения любых знаков. Действительно, в силу ограниченности функций существует постоянная С такая, что функции ~ y ( ) y ( ) C ~ Y ( ) Y ( ) C L Рис. 8.7 и уже неотрицательны для всякого [, ]. Геометрически это соответствует «опусканию» оси Ох вниз на y A (D). C D M 94

15 «расстояние» С >, что не изменяет ни области, ни величины ее площади. Но тогда s [ ~ Y ( ) ~ y ( ) ] d ( Y( ) C) ( y ( ) C) [ ] d [ Y( ) y( ) ]. d Замечание. Можно поменять роли переменных х и y и рассмотреть фигуру, ограниченную линиями y с, y d, х х (y) и х Х(y) (рис. 8.8). Тогда площадь этой фигуры y d c (y) Puc. 8.8 X(y) d [ X y) ( y ] dy s ( ). (8.54) c Пример 7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y и y 4. Решение. Фигура изображена на рис.8.9. Абсциссы точек пересечения кривых найдены из уравнения 4 ; решая его, получим и 3. По формуле (8.53) площадь 95 y 5 y y 4 3 Рис. 8.9

16 s 3 3 [( ) ( ) ] d ( 3 )d ( 3 ) ( 3 ) 9. # Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y и y. Решение. Найдем координаты точек пересечения линий. Решая уравнение ( ), находим и 3. Тогда точками пересечения параболы и прямой будут C(; ) и D (3;) и фигура примет вид, изображенный на рис.8.. Здесь удобнее воспользоваться формулой (8.54): s [ y) ( y) ] d [ ( y ) ( y ) ] d ( y y ) ( dy 3 y y 8 9 y 4. # Площадь в полярных координатах: Будем называть криволинейным сектором фигуру в полярной системе координат, ограниченную полупрямыми (лучами) ϕ α, ϕ β ( β α < π) и графиком непрерывной функции ρ ρ (ϕ), ϕ [α, β], где ρ, ϕ полярные координаты (рис. 8.). Найдем площадь криволинейного сектора ОАВ. y C Puc D 96

17 Разбивая фигуру лучами ( α ϕ < ϕ < < ϕ < ϕ < < ϕ β) ϕ ϕ n на n частей, представим площадь s криволинейного сектора как предел при λ { } { } λ su ϕ su ϕ ϕ суммы площадей круговых секторов, ограниченных лучами ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ и дугой окружности радиуса ρ ρ( ϕ ~ ρ ϕ ~ A ϕ ), где ϕ ~ [ ϕ, Рис. 8. ϕ ],, n. Так как площадь такого кругового сектора есть величина, равная ρ ( ϕ ~ ) ϕ, то n s ρ ( ϕ ~ ) ϕ. ( 8.55 ) λ В формуле (8.55) мы узнаем предел интегральной суммы для функции ρ ( ϕ ~ ) / на отрезке [α, β] и в силу непрерывности функции этот предел существует и равен (см. (8.35)) ρcos3 φ Рис. 8. π 6 ρ 97 β s ρ ( ϕ) dϕ. (8.56) α Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ cos3ϕ ( > ). Решение. Для построения чертежа этой фигуры и вычисления площади,

18 необходимо найти область определения функции ρ cos3ϕ из условия ρ или cos3ϕ, откуда находим π π kπ 3ϕ kπ,ϕ [ π/6,π/6] [π/,5π/6] [7π/6,3π/], фигура состоит, таким образом, из трех равновеликих секторов (рис.8.). С учетом области определения по формуле (8.56) π / 6 π / 6 s cos 3ϕdϕ ( cos6ϕ) dϕ 6 4 π / 6 dϕ π / 6 d6ϕ cos 6ϕ ϕ 6 4 π 6 sn6ϕ 6 π 6 π 4. Тогда π π s 6. # Вычисление объема тела вращения Вычислим объем v тела, образованного вращением непрерывной кривой y f() вокруг оси Ох и ограниченного плоскостями х а и х ( < ) y (рис. 8.3). Плоскостями ( < < < - < < n ) разобьем f() тело на n частей и каждую часть заменим цилиндром, имеющим радиус основания f ( ~ ), где z ~,, и «высоту» [ ] Рис ,, n ; объем такого цилиндра равен π f ( ~ ). Определим объем тела вращения как предел суммы объемов этих «элементарных» цилиндров при λ, имеем λ su { } 98

19 n v πf ( ~ ). (8.57) λ В формулу (8.57) входит предел интегральной суммы для функции f ( ) π на отрезке [, ]. Для непрерывной функции f() этот предел существует и равен (см. (8.35)) π f ( ) d ; поэтому объем тела вращения, указанного на рис.8.3, равен π v f ( ) d. (8.58) Пример 3. Круг, ограниченный окружностью (y ) R (R < ) (рис.8.4), вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения. Решение. Из уравнения окружности имеем y ± R. Тогда объем Рис. 8.4 тела вращения тора можно представить как разность объемов тел, полученных вращением криволинейных трапеций и Полагая ACDE {(, y) : R R, y R } {(, y) : R R, y R } AFDE. R y (8.58) получим R и R y R, по формуле R ( y y ) d π R d v π y ( ) d π y ( ) d π 4 R R R R A R y F E R R C D 99

20 [в силу четности подынтегральной функции применим формулу R R (8.6): ] 8 π R d [см. пример 5 в главе 7] R R 8π R R rc sn πr. # R Вычисление длины дуги кривой Пусть кривая АВ задана явным уравнением y f(), где f() непрерывная на [, ] функция (рис.8.5). Основным понятием в теории кривых является понятие длины дуги (отрезка) кривой y A A A A R A n A A n n n n АВ. Введем это понятие. Разобьем кривую АВ на n частей точками ( А А, А,, А -, А,, А n В) (равенства А А и А n В означают, что точки совпадают). Соединив точки А - и А при, n отрезками прямых, получим ломаную, которую будем называть вписанной в кривую АВ. Обозначим длину ломаной l n, длину -го звена А - А λ su l. через l и { } l n : Рис. 8.5 О п р е д е л е н и е. Если существует предел l длины ломаной

21 λ l l n l, n λ то он называется длиной дуги АВ, а кривая АВ называется спрямляемой. а) Получим формулу для вычисления длины дуги АВ: в случае, если ( ) ( ), [ ] y f, f непрерывно-дифференцируемая функция на отрезке [, ]. В этом случае точки А разбиения кривой на части имеют координаты (, f( )), длина -го звена (расстояние между точками А - ( -, f( - )) и А (, f( )) есть ( ) ( f ) f ( ) l. ( ) По теореме Лагранжа о конечных приращениях f( ) f( - ) f (ξ )( - ), где ξ [ -, ]. Следовательно, l ломаной l n [ f ( ξ )], - и длина n f ( ξ ). (8.59) Выражение справа в (8.59) есть интегральная сумма для функции f ( ) на отрезке [, ] и при λ. l f ( ) d. (8.6) б) Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х ϕ(t), yψ(t),

22 где ϕ(t), ψ(t) непрерывно-дифференцируемые на [ α, β] ] функ ции, ϕ (t)> (условие ϕ (t)> обеспечивает возрастание х при изменении t от α до β ). В интеграле (8.6) проведем замену переменной, положив хϕ(t); тогда dϕ t (t) dt, f ( ) y ψ t (t)/ϕ t (t), ϕ (α), ϕ (β) и для длины дуги в этом случае имеем формулу β l ϕ t ( t) ψ t ( t) dt α. (8.6) Замечание 3. Формула (8.6) справедлива и для ϕ (t) < на [α, β], и в случае, когда ϕ (t) не сохраняет знак на [α, β]. в) Пусть кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением ρ ρ(ϕ), ϕ [ϕ,ϕ ]. В предположении, что ρ(ϕ) непрерывно-дифференцируемая на [ϕ,ϕ ] функция, перейдем к параметрическому представлению кривой, используя связь полярных и декартовых координат (х ρ cosϕ, y ρ snϕ): х ρ(ϕ) cosϕ, y ρ(ϕ) snϕ, тогда ϕ параметр этой кривой. После подстановки производных f() y Рис. 8.6 ϕ ρ ϕ cosϕ ρsnϕ, y ϕ ρ ϕ snϕ ρ cosϕ M формуле (8.6) имеем в формулу (8.6) и преобразования получим l ϕ ϕ ϕ ρ ( ϕ) ρ ( ϕ) dϕ. (8.6) Пример 3. Найти длину отрезка параболы y х /р (р >) от точки О(; ) до точки М (а, а /р) (рис.8.6). Решение. Так как y х/р, то по

23 3 d d y l. (8.63) Интегрируя по частям, найдем интеграл d I v d dv d du u vdu uv d [под интегралом в числителе прибавим и отнимем р ] d ) ( d d [см.таб.7.] ln I. Итак, для интеграла I имеем уравнение ln I I, откуда ln I. (8.64) Подставив (8.64) в (8.63), найдем ( ) ( ) l ln ln. # Пример 3. Найти длину части астроиды cos 3 t, y sn 3 t от точки А(а; ) до точки В(;а) (а > ) (рис.8.7). Решение. Точкам А и В астроиды соответствуют значения

24 параметра t и t π/; производные t 3cos t snt, y t 3sn t cost. (8.65) По формуле (8.6) l π / t 4 t y [подставляем (8.65) и преобразуем] π / 9 sn t cos tdt 3 snt cost dt π / [так как snt и cost для любого t [; π/], то знак модуля можно опустить] π / dt π 3 3 sn sn sn 3 td t t. # Пример 33. Найти длину кардиоиды ρ cosϕ, ϕ [ π;π] (кривую построить самостоятельно). Решение. По формуле (8.6) π l ρ ρ dϕ ρ ρ ( cos ϕ) sn ϕ ( cos ϕ) π π 4sn ( ϕ / ) 4sn ( ϕ / ) d ϕ sn( ϕ / )dϕ π π π [в силу четности подынтегральной функции используем (8.6): π sn( ϕ / ) d ϕ 4cos( ϕ /) 4( ) 4. # π π π π ] Другие приложения определенного интеграла к задачам геометрии и физики можно найти в учебниках по математическому анализу. Вопросы и предложения для самопроверки. Дайте первое определение определенного интеграла и приведите формулу Ньютона Лейбница. y (,) A(,) Рис. 8.7

25 . Каков геометрический смысл определенного интеграла? 3. Приведите основные свойства определенного интеграла и докажите их: а) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; б) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых; в) изменение порядка интегрирования в определенном интеграле; г) определенный интеграл по отрезку, разбитому на части: д) определенный интеграл от неотрицательной на [, ] ( < ) функции; е) оценка определенного интеграла. 4. Докажите теорему о среднем для определенного интеграла от непрерывной функции. В чем ее геометрический смысл? 5. Выведите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. 6. Сформулируйте и докажите теорему о замене переменной в определенном интеграле. 7. Как можно вычислить определенный интеграл от четных и нечетных функций по симметричному относительно начала координат отрезку интегрирования? 8. Дайте определение определенного интеграла как предела интегральной суммы (определение по Риману). 9. Для каких функций существует определенный интеграл?. Как обобщается понятие определенного интеграла? Приведите определение несобственного интеграла первого рода (НИ, интеграла, у которого один или оба предела интегрирования бесконечны). Определите понятия сходимости и расходимости НИ.. Как формулируется теорема сравнения (в предельной форме) для несобственных интегралов первого рода?. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (НИ, интеграла от неограниченной функции). Как определяются понятия сходимости и расходимости НИ? 3. Сформулируйте теорему сравнения в предельной форме для несобственного интеграла второго рода. 4. Приведите формулу для вычисления площади плоской фигуры в прямоугольных декартовых координатах. 5. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат. 6. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения. 7. Получите формулы для вычисления длины кривой, заданной а) в явной форме в декартовой прямоугольной системе координат; б) в параметрической форме; в) в полярной системе координат. 5

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Глава 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций Теперь мы научимся решать

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭ Циолковского Кафедра Высшая математика Определенный интеграл Методические указания к курсовой работе Составители: Горелова РП Кулакова

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее