. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ". Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно"

Транскрипт

1 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может. Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А. Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: p(a) m n Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события 0 P(A) 1 Пример 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10? Пусть событие А «Номер вынутого шара не превосходит 10». Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев mn10. Следовательно, Р (А)1. Событие А достоверное. Пример 2. В урне 10 шаров: 5 белых и 5 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар? Так как синих шаров в урне нет, то m0, n10. Следовательно, искомая вероятность р(а)0. Событие, заключающееся в появлении синего шара, невозможное. Пример 3. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые? Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов:. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1

2 . Вероятность, что оба шара белые, будет равна:. Пример 4. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти? Количество элементарных исходов (количество возможных карт) n36. Событие А «Появление карты пиковой масти». Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m9. Следовательно, вероятность будет равна:. Задача 1. Задачи на классическое определение вероятности Студент знает 25 вопросов из 35. Ему наудачу задали три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит на все три вопроса? P(A) m n C ! 3! 32! C 35 3! 22! 35! ,35 Задача 2. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.. Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно. Искомая вероятность Задача 3.. 2

3 В коробке шесть одинаковых занумерованных по порядку кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. Пусть событие А «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке». Задача 4. В пачке содержится 20 карт, помеченных номерами 101, 102,..., 120 и произвольно расположенных. Из пачки наудачу извлекают две карты. Найти вероятность того, что среди извлеченных карт есть карты с номерами 101 и 120. Пусть событие А «извлечены две карты с номерами 101 и 120». Так как в пачке 20 карт, то общее число способов извлечь 2 карты равно: Число комбинаций, благоприятствующих событию А, одно. Задача 5. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. Пусть событие А «три извлеченные детали окажутся окрашенными». Задача 6. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы. Пусть событие А «включены два неизношенных элемента». Так как неизношенных элементов три, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию А, вычисляется как: 3

4 Количество всех комбинаций подключения двух элементов: Задача 7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Пусть событие А «абонент набрал правильно три цифры». Число исходов, благоприятствующих событию А, равно одному, а число всех исходов равно числу способов, которыми можно набрать три различные цифры. Задача 8. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры. m1, так как только одно число правильное. Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: 2 (из 1 или 2 двузначное число меньше 30)*9(т.к. цифры различны) Таких чисел n2*918 штук. Тогда искомая вероятность: P1/18 0,0(5) Ответ: 1/18. Задача 9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи: 1) первый звонок оказался верным (сразу набрана нужная цифра), вероятность равна 1/10 2) первый звонок оказался неверным, а второй верным (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). вероятность равна 9/10*1/91/10 3) первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/81/10 4

5 Всего получаем: P1/10+1/10+1/103/100,3 Ответ:0,3 Задача 10. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. Пусть событие А «хотя бы одна деталь окрашена». Рассмотрим противоположное событие «все три детали неокрашены». Задача 11. В коробке лежат пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие. а) Пусть событие А «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие». Из трех окрашенных изделий одно изделие можно выбрать способами. Другое выбранное изделие должно быть неокрашенным, это неокрашенное изделие можно выбрать способами. Общее число способов извлечения двух изделий из пяти равно б) Пусть событие В «оба извлеченных изделия окрашены». Число способов извлечения двух окрашенных изделий вычисляется как. в) Пусть событие С «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие». Рассматриваем противоположное событие «оба извлеченных изделия являются неокрашенными». В коробке неокрашенных изделий было два, и число исходов, благоприятствующих событию «среди двух извлеченных изделий нет двух неокрашенных», равно 1. 5

6 Задача 12. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. При условии, что все ящики не пустые и число шаров во всех ящиках разное, получаются перестановки чисел 1, 2 и 3: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2), т.е m3!6. Общее число случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, так, чтобы не было пустых ящиков: n С 3 3 C 5 3 5! 3! 2! 10 Тогда искомая вероятность равна: P6/100,6 Ответ: 0,6. Задача 13. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Подсчитаем общее число вариантов: n С 6 5 C ! число различных способов разложить 6 рукописей по 5 папкам, 6! 4! причем в каждой папке может быть любое количество рукописей. Теперь подсчитаем число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам (одна должна быть пустая), причем в каждой из этих 4 папок должно быть не менее одной рукописи. Полученное число сочетаний нужно еще умножить на 5, так как папку, которая останется пустой, можно выбрать 5 способами. m 5 C C ! 3! 2! 50 Искомая вероятность Р50/2105/21. Ответ: 5/21. Задача 14. Задача 15. Цифры 1, 2, 3,, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) нечетное. а) n9, m4, P4/9. 6

7 б) n9, m5, P5/9 Ответ: 4/9, 5/9. Задача 16. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта". n число способов вынуть 4 карточки. m1, так как искомая последовательность карточек «юрта» только одна. Получаем вероятность P1/120. Ответ: 1/120. Задача 17. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"? Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно: n 5! 2! m1, т.к. только одна из перестановок соответствует слову "кукла" Получаем вероятность P1/60. Ответ: 1/60. Задачи про монету и кубики/кости Задача 1. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз. Решение. n , m C C , p m n ,625 Задача 2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза. Решение. n , m C 8 4 8! 4! 4! 70, p m n ,273 Задача 3. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки. n Объединяем два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО), получаем 5 объектов, выбираем 1 место из 5, получаем m C 5 1 5, p m n ,078. Задача 4. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков? 7

8 Четное число очков: 2, 4, 6 три варианта из 6 P3/61/20.5 Задача 5 Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков. Не менее 5 очков означает, что выпало 5 или 6, т.е. 2 варианта из 6 возможных P2/61/ Задача 6 Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков. В сумме выпало менее 5 очков, т.е. 2,3 или 4 получаем 1:1, 1:2, 2:1, 2:2, 1:3 и 3:1 Тогда вероятность равна: P6/361/6. Задача 7 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3. Произведение делится на три, если хотя бы один из множителей делится на 3. Благоприятные исходы: а) 3: (1-6) и (1-6):3 11 случаев, т.к. 3:3 считаем 1 раз б) 6:(1,2,4,5, 6) и (1,2,4,5):6 9 случаев Тогда вероятность равна: P20/365/9. Задача 8 Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5. Благоприятные исходы: , , 5-23, , 5-32, 4-22, 3-12 Тогда вероятность события будет равной P10/365/18 Задача 9 Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков. n Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков. (3,6,6),(6,3,6),(6,6,3), (4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(6,5,4),(5,6,4),(6,4,5), (5,5,5). 8

9 Получили m исходов. Искомая вероятность P10/ Задача 10 Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная. n6 6/218 Благоприятные случаи: а) 1: (1,3,5) и 3: (1,3,5) б) 2: (2,4,6) и 4: (2,4,6) Получили m4*212 исходов Искомая вероятность P12/182/3 Общая постановка задачи: Задачи про выбор шаров из урны В урне находится K белых и N K чёрных шаров (всего N шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают n шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k белых и n k чёрных шаров. По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности: p C K k n k C N K n C N Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара. p C C 8 10! 8! 5! 13! 5 C 18 2! 8! 3! 5! 18! ,294 Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара? p C 5 2 5! 8! 2! 2 C 10 2! 3! 10! 2 9 0,222 Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета? A (Выбранные шары одного цвета) (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара). A 1 (Выбраны 2 белых шара), A 2 (Выбраны 2 черных шара). p(a 1 ) C 4 2 C 6 2 p(a 2 ) C 2 2 C 6 2 4! 2! 4! 2! 2! 6! 2 5 2! 4! 6!

10 Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий: P(A)P(A1)+P(A2)2/5+1/157/ Задачи о выборе деталей/изделий Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными? p C C 7 5! 7! 4! 8! 4 C 12 2! 3! 2! 5! 12! ,42(42) Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали. p C C 7 16! 7! 6! 17! 6 C 23 4! 12! 2! 5! 23! ,3786 Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное изделие. Исходное событие A «Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное». Противоположное ему событие A «Все три выбранные изделия стандартные». Тогда вероятность противоположного события равна: p(а) C 8 3 C3 8! 3! 9! ,2(54) 12 3! 5! 12! Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна: P(A)1 P(A)1 0.2(54)0.7(45). Задача 1 10

11 Задача 2 Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 детали бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали. p(а) C 5 2 C 8 2 5! 2! 6! 2! 3! 8! ,357 Задачи о лотерейных билетах Пример 1. Среди 100 лотерейных билетов 2 выигрышных. Какова вероятность, что при покупке 3 билетов выигрыша не будет? p(а) C ! 3! 97! 3 C 100 3! 95! 100! ,94(06) Пример 2. В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Какова вероятность остаться без выигрыша, приобретя 3 билета лотереи? 11

12 p(а) C ! 3! 97! C 100 3! 72! 100! ,418 Пример 3. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них попалось 2 выигрышных. p C C 4 4! 4! 5! 3! 5 C 8 2! 2! 3! 1! 8! 3 7 0,429 Задача Пример 4. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных. Найти вероятность того, что из трех вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным. Введем исходное событие: A «Среди 3 вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным». Противоположное ему событие A «Все три выбранные билеты будут без выигрыша» Тогда вероятность противоположного события равна: p(а) C 14 3 C3 14! 3! 21! , ! 11! 24! Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышный билет), равна: P(A)1 P(A)


ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими Лекция 9. Классическое определение вероятности Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события"

Практикум по теме 1 Случайные события и операции над ними. Вероятность события Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1.

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. 1.1. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность

Подробнее

9. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2,, 10. Наудачу

9. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2,, 10. Наудачу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Домашнее задание 1 Срок сдачи 19.02.2012 г. 100% = 10р = 5*2p ЗАДАЧА 1. Выбор без возвращения, порядок не важен. 1. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных.

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых пронумерованных

Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых пронумерованных Задача.. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».. В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по очереди. Найти вероятность

Подробнее

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

6. Точка с координатами (X, Y ) наудачу брошена в квадрат с вершинами (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2).

6. Точка с координатами (X, Y ) наудачу брошена в квадрат с вершинами (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2). 1. В корзине 14 яблок, среди них 4 красных. Наугад (без возвращения) достали 4 яблока. Найти вероятность того, что попались ровно 3 красных. 2. Список из 20 деловых звонков составляют случайным образом.

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 1. Основы теории вероятностейлекция 1

Основы теории вероятностей Лекция 1. Основы теории вероятностейлекция 1 Основы теории вероятностей Лекция 1 Содержание 1. Достоверные, невозможные и случайные события 2. Классическое определение вероятности события 3. ы нахождения вероятности события 4. Противоположное событие

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки 08.03.01 строительство Вариант 1 1) Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее

Подробнее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

3. Классическое определение вероятности

3. Классическое определение вероятности чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2 )+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2 ) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Подробнее

Задачи на классическое определение вероятности.

Задачи на классическое определение вероятности. Задачи на классическое определение вероятности. (для студентов первого курса факультетов ПЭК(1-4) и МБДА(1-5)) Задача 1. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс 8 класс Данные контрольные и самостоятельные работы рассчитаны для планирования курса теории вероятностей и статистики в количестве 34 часов в год по учебнику [1]. Планирование курса предложено в методическом

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Контрольная работа 1

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Контрольная работа 1 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Контрольная работа 1 Вариант 1 1. Среди 0 поступивших в магазин керамических изделий имеется 4 дефектных. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает два изделия. Найти вероятность

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

ax 2 при 0 < x < 1, f(x) = 0 иначе является плотностью распределения случайной величины Y. Найти вероятность P(Y < 1/2).

ax 2 при 0 < x < 1, f(x) = 0 иначе является плотностью распределения случайной величины Y. Найти вероятность P(Y < 1/2). 1. Числа 1,..., n расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1, 2 и 3 расположены рядом в указанном порядке. 2. Из десяти команд в финал выходят четыре. Предполагая, что каждая

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

Подробнее

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ Томск 06 ОДОБРЕНО кафедрой математических методов и информационных

Подробнее

Практическое занятие 1. Определение вероятности

Практическое занятие 1. Определение вероятности Практическое занятие 1. Определение вероятности Свойства случайных событий 1. [Вентцель Е.С., 1.1.] Образуют ли полную группу следующие группы событий: а) Опыт бросание монеты; события: б) Опыт бросание

Подробнее

Тема 33 «Вероятности событий»

Тема 33 «Вероятности событий» Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Подробнее

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». 11 класс Учитель математики Переверзьева Н.С. МОУ Лицей 6 Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2).

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2). Лекция 10 ТЕМА Основы теории вероятности (часть 2). Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Основные определения теории

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

1. Классическое определение вероятности, ее свойства

1. Классическое определение вероятности, ее свойства . Классическое определение вероятности, ее свойства Номер:..A Задача: В ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется

Подробнее

Урок математики в 9 классе. Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И.

Урок математики в 9 классе. Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И. Урок математики в 9 классе Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И. Цели урока: 1. Дать определение вероятности, познакомить с формулой вероятности

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

Теория вероятностей. Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых

Теория вероятностей. Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых Теория вероятностей. Задача.. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».. В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. где V : 0 x 1, 0 y 1, 1 z 1.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. где V : 0 x 1, 0 y 1, 1 z 1. БИЛЕТ Факультет Нефтетехнологический специальность МАПП семестр 3 3 d f (, ) d Вычислить повторный интеграл: d ( + ) d dd, где : 3 5, 4 Вычислить тройной интеграл: ( + z) dddz, где :,, z В урне шаров:

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

Случайные события. Вариант 1.

Случайные события. Вариант 1. Вариант 1. 1. Среди 20 свёрл 5 изношенных. Наудачу берутся 3 сверла. Какова вероятность того, что хотя бы одно из них изношенное. 3. В двух партиях процент доброкачественных изделий соответственно равны

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

Классическое определение вероятности. Решение Решение Решение

Классическое определение вероятности. Решение Решение Решение 1 Классическое определение вероятности 1 Колода из 3-х карт тщательно перетасована Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами Решение Число

Подробнее

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность произведению выпавших очков равняться 4?

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность произведению выпавших очков равняться 4? 1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность произведению выпавших очков равняться 4? 2. Из колоды в 52 карты (4 масти по 13 карт в каждой) наугад выбирают шесть карт. Найти вероятность того, что

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основным понятием естествознания является понятие эксперимента, независимо от него, осуществляет этот эксперимент природа или исследователь Условно будем считать, что эксперимент

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА Полная группа событий. Понятие гипотезы. Априорные и апостериорные вероятности событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть событие A может

Подробнее

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей . Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Номер:..B Задача: Вероятность совместного наступления независимых событий A и B определяется по формуле Ответы: ). P(A) PA (B) ). P (A) + P(B) ).

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Случайные события Комплект 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Кафедра «Высшая математика» Случайные события Комплект 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Вариант 1 1. В партии из 15 изделий 12 стандартны. Какова вероятность того, что: а) одна наудачу выбранная деталь стандартна? б) из двух наудачу взятых деталей одна стандартна, другая

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых 5 красных зеленых синих 0. Какова вероятность того что наудачу

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА задания на контрольную работу для студентов заочной формы обучения Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Подробнее

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ В задачах 1 29 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям, а также вычислить вероятности событий.

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Случайные события Задача. В партии из N изделий изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий k изделий

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

Уважаемые студенты! Внимание!

Уважаемые студенты! Внимание! Уважаемые студенты! Номер Вашего варианта контрольной работы определяется по номеру Вашей зачетной книжки. Откройте Вашу зачетную книжку и посмотрите на две последние цифры в её номере. Обозначим эти две

Подробнее

Определить значение константы a, функцию распределения

Определить значение константы a, функцию распределения Вариант 1. 1. Из полного набора костей домино наугад выбирается кость затем она возвращается обратно и извлекается еще одна кость. Опpеделить веpоятность того что сумма цифp на каждой из костей меньше

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ 2 1. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают три шара. Х число вынутых черных шаров. Составьте закон распределения дискретной

Подробнее

Элементы теории вероятности

Элементы теории вероятности Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

Подробнее

Билет 1 1. После исследований 60 нивелиров установили, что 15 из них пригодны для нивелирования I класса, остальные II класса. Определить частость нивелиров I и II класса. 2. Из колоды карт в 36 листов

Подробнее

Вариант Найти вероятность того, что при случайной раздаче 36 карт четырём игрокам

Вариант Найти вероятность того, что при случайной раздаче 36 карт четырём игрокам Вариант 1. 1. Найти вероятность того, что из букв К, У, К, У, Р, У, З, А ребёнок случайно соберёт слово КУКУРУЗА. 2. Найти вероятность того, что из 730 человек ровно двое родились первого 3. В первой урне

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика. Комбинаторика Пусть имеется несколько множеств элементов: {a, a,,a t }, {b, b,,b s },, {c, c,,c k },. Вопрос: сколькими способами можно составить новое

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Из партии в 20 деталей, из которых 6 бракованных, случайным образом выбираются 3 детали. С какой вероятностью в число отобранных деталей войдут: а) только бракованные; б) только

Подробнее

Комбинаторные формулы

Комбинаторные формулы Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

Подробнее

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности 1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что 1) A 1-я упала "гербом"вверх, 2) B выпало ровно 2 герба, 3) C выпало не больше 2 гербов. Ответ: P (A) = 1/2, P (B)

Подробнее

р и x F( x ) ри 0 р и x

р и x F( x ) ри 0  р и x Билет 1 1. После исследований 60 нивелиров установили, что 16 из них пригодны для нивелирования I класса, остальные II класса. Определить частость нивелиров I и II класса. 2. Из колоды карт в 36 листов

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

Сборник задач по теории вероятностей Классическая вероятность Решения задач на сайте:

Сборник задач по теории вероятностей Классическая вероятность Решения задач на сайте: Сборник задач по теории вероятностей Классическая вероятность Решения задач на сайте: http://www.matburo.ru/shop.php Задача 1001. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад.

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=mreatv МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть 1. Случайные события Задача 1.1. В магазине 0 калькуляторов трех разных производителей:

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей Теория вероятностей и математическая статистика Раздел Теория вероятностей Теория вероятностей это математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений и дающая методы количественной

Подробнее

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач 2. Вероятность 2.1. Определения и формулы для решения задач Классическое определение вероятности Эксперимент E назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ. Правила выполнения и оформления контрольных работ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ. Правила выполнения и оформления контрольных работ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ Правила выполнения и оформления контрольных работ При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы,

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей. составитель: Минасян А.Г.

Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей. составитель: Минасян А.Г. Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей составитель: Минасян А.Г. Туапсе 2011 Вариант 1 На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый

Подробнее