Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности"

Транскрипт

1 В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными величинами Эти законы могут быть использованы для обработки результатов измерений, но предварительно необходимо установить, какому закону распределения подчиняется данная случайная величина

2 Распределение Гаусса Одним из главных результатов теории вероятностей является так называемая центральная предельная теорема, которая утверждает, что сумма достаточно большого количества независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых вносит достаточно малый вклад в общую сумму, подчиняется так называемому нормальному распределению (или распределению Гаусса) А именно, вероятность того, что значение некоторой случайной величины окажется в интервале (x, x + dx), равна dp = 1 2πσ e x x 0 2 2σ 2 dx, (21) где x 0 и σ параметры нормального распределения: x 0 соответствует среднему и наиболее вероятному значению x, a σ среднеквадратичному отклонению

3 Распределение Гаусса Функцию f x = 1 x x 2 0 2πσ e 2σ 2 (22) в физике обычно называют функцией распределения, а в математике плотностью вероятности распределения Гаусса В общем случае смысл её таков: если необходимо найти вероятность, с которой случайная величина лежит в интервале (a, b), необходимо взять интеграл от соответствующей функции распределения f по x: P a < x < b = f x dx a b (23)

4 Распределение Гаусса Графики закона нормального распределения с различными значениями σ изображены на следующем слайде Распределение представляет из себя колокол, положение вершины которого соответствует среднему и наиболее вероятному значению x 0, а ширина которого по порядку величины равна σ При удалении x от центра значение функции Гаусса очень быстро убывает, так что вероятность встретить достаточно большие отклонения от среднего крайне мала Точки x x 0 = σ есть точки перегиба кривой Гаусса Параметр σ есть мера рассеяния случайных погрешностей Δx = x x 0 Если результаты измерений x группируются вблизи наивероятнейшего значения x 0 и значения случайных погрешностей δ в основном малы, то мала и величина σ (график 1, σ = σ 1 )

5 Распределение Гаусса

6 Распределение Гаусса Наоборот, если случайные погрешности δ имеют большие значения и сильно рассеяны, то кривая становится более размытой (график 2, σ = σ 2 > σ 1 ) Величина σ количественно отражает разброс значений измеряемой величины Обратимся теперь к расчёту упомянутой выше вероятности P для формулы (12)

7 Распределение Гаусса Значение интеграла (этот интеграл не берётся в элементарных функциях и рассчитывается численно) x 0 +σ x 0 σ f x dx равное отношению площади под кривой Гаусса, ограниченной значениями Δx = ±σ (на рисунке эта площадь заштрихована для σ 1 = 0,5), ко всей площади под кривой для любого σ, составляет 0,68, и запись x = x 0 ± σ (24) говорит о том, что любое проведённое измерение x с вероятностью P = 0,68 (68%) лежит в этом интервале,

8 Распределение Гаусса Вероятность попадания любого проведённого измерения в промежуток x = x 0 ± 2σ составляет 0,955, а для x = x 0 ± 3σ вероятность равна 0,997 Распределение Гаусса применимо в ситуациях, когда результирующая величина является суммой множества случайных и независимых факторов Такая ситуация очень часто имеет место в научных экспериментах и наблюдениях, поэтому не случайно, что именно распределение Гаусса выбрано для определения вероятности отклонения при стандартной записи результата (12)

9 Распределение Гаусса Вероятность α, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными (достоверными), называют доверительной вероятностью или надежностью Величина доверительной вероятности определяется характером производимых измерений В физике обычно под записью ±Δx имеется в виду одно стандартное отклонение и вероятность P = 68%, а в технических измерениях, как правило, принимается, что ±Δx = ±2σ и соответственно P = 95% Интервал Δx, в который попадают измеренные в эксперименте значения, соответствующие доверительной вероятности α, называется доверительным интервалом

10 Распределение Гаусса Стоит отметить, что нормальный закон распределения имеет огромную степень универсальности, поскольку справедлив не зависимо от того, как распределены составляющие общую сумму случайные величины (главное, чтобы существовали конечные среднее и дисперсия) Однако не стоит его переоценивать: многие случайные явления не подчиняются распределению Гаусса в качестве яркого примера можно привести распределение Парето, часто встречающееся в экономике и социологии, описывающее, в частности, распределение людей по богатству, и следующее из этого распределения известное правило «80/20» которое в шутливой форме можно сформулировать как «20% людей выпивают 80% пива»

11 Распределение Гаусса В теории погрешностей считают, что значение, появляющееся в эксперименте чаще всего, является истинным значением измеряемой физической величины Следовательно, для физической величины, подчиняющейся нормальному распределению, истинное значение x 0 совпадает с математическим ожиданием x : x 0 = x Тогда применительно к задаче оценки погрешности экспериментальных измерений параметры нормального распределения (Гаусса) x и σ 2 можно интерпретировать следующим образом

12 Распределение Гаусса 1 Выполним серию измерений некоторой физической величины, математическое ожидание (истинное значение) которой равно x 1 Затем в тех же условиях тем же прибором измерим другую физическую величину, математическое ожидание (истинное значение) которой равно x 2 Максимум плотности вероятности для второй величины будет смещен относительно максимума плотности вероятности первой, а ширины кривых будут одинаковыми Дисперсия распределения σ характеризует разброс значений при измерении данным методом

13 Распределение Гаусса 2 Если одна и та же величина измерена различными методами, например, разными приборами, то разброс результатов относительно истинного значения x, вызванный случайной погрешностью, будет разным Если второй метод измерения более точен, то разброс результатов меньше (σ 2 < σ 1 ), кривая сужается Таким образом, среднее квадратичное отклонение σ характеризует прибор или метод измерения, а математическое ожидание x истинное значение измеряемой величины (при бесконечном числе опытов)

14 Распределение Гаусса Так как при данных условиях эксперимента доверия заслуживают только результаты измерений, лежащие внутри доверительного интервала Δx, абсолютная погрешность (отклонение от истинного значения) этих значений измеряемой физической величины ограничена его длиной То есть длина доверительного интервала Δx является характеристикой погрешности серии проводимых экспериментальных измерений (погрешности многократных измерений), определяемой через среднеквадратичное отклонение σ измеряемой физической величины и доверительную вероятность α данной серии измерений, которые оба зависят от условий проведения эксперимента Поэтому для характеристики величины случайной погрешности результата многократных измерений необходимо указывать два числа: величину доверительного интервала Δx и величину соответствующей ему доверительной вероятности α

15 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины Когда перед исследователем стоит задача измерения конкретной физической величины, то число опытов ограничено, а параметры x и σ нормального распределения, которому подчиняется измеряемая физическая величина, неизвестны Возникает вопрос, каким образом из ограниченного числа измерений оценить истинное значение и погрешность измерений Предположим, что в результате n равноточных измерений получено n значений физической величины, истинное значение x 0 = x которой нам неизвестно, а измеряемая величина x подчиняется распределению Гаусса

16 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины Обозначим x 1, x 2,, x n результаты отдельных измерений, а Δ 1, Δ 2,, Δ n отклонения результатов измерений от истинного значения x 0 = x (истинные абсолютные погрешности отдельных измерений) 1 = x x 1 2 = x x 2 (25) n = x x n Абсолютные погрешности Δ 1, Δ 2,, Δ n могут принимать как положительные, так и отрицательные значения Суммируя левую и правую стороны равенств, получаем после перестановки членов

17 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины x 1 +x x n = nx n i=1 i (26) Разделив обе части последнего равенства на число измерений n, получим где x = x + 1 n n i=1 i x = x 1 +x x n n, (27) (28)

18 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины Величина x называется средним арифметическим Из симметрии кривой Гаусса видно, что при большом числе экспериментов вероятности положительных и отрицательных абсолютных погрешностей равны Тогда lim n 1 n n i=1 i = 0 (29) Те среднее значение абсолютной случайной погрешности при большом числе экспериментов (n ) стремится к нулю

19 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины Следовательно, если число измерений достаточно велико (n ), а случайная величина x подчиняется распределению Гаусса, то x = x (210) lim n Дисперсия σ 2 в распределении Гаусса показывает среднеквадратичный разброс измерений, а среднеквадратичное отклонение σ пропорционально величине доверительного интервала для заданной доверительной вероятности α По определению дисперсии σ 2 = x x 2 f x dx, при n (211)

20 Истинное значение и погрешность измеряемой физической величины Если n невелико (на практике, n < 10), то вычисленное по небольшому набору данных среднее x может заметно отличаться от искомого x, и поскольку в формулу для погрешности (15) мы подставляем именно x, а не x (которое нам не известно), то (15) даёт довольно грубую (заниженную) оценку σ отд (так, при n = 1 получаем σ = 0) Согласно математической статистике рекомендуется использовать следующую формулу (так называемая несмещённая оценка параметра σ): σ отд = 1 n 1 n i=1 x i x 2 (212)

21 Однако практически нас больше интересует не точность каждого из измерений, а то, насколько измеренное нами среднее арифметическое x, вычисленное по формуле (14), отличается от «истинного» среднего x Представим, что мы провели m серий по n измерений, и для каждой j-й серии, j = 1 m, нашли своё x j Эти значения колеблются случайным образом около некоторого значения x и их среднеквадратичное отклонение от этого значения определяется по формуле σ = 1 m m x j x 2 при m (213) j=1

22 Можно доказать, что если измеряемая величина подчиняется распределению Гаусса, то средняя квадратичная погрешность результата σ связана со средней квадратичной погрешностью отдельного измерения σ отд следующим образом: σ = σ отд n (214) Исходя из этого, на практике можно по одной проведённой серии из n измерений сделать вывод, что среднеквадратичная ошибка измеренного среднего равна σ = σ отд n 1 n n 1 n i=1 x i x 2, (215)

23 и результат многократного измерения величины x может быть представлен в виде x = x ± σ (216) Эта запись утверждает, что наивероятнейшее значение измеряемой величины x с вероятностью 0,68 (68%) лежит в интервале x ± σ Погрешность σ обычно называют стандартной погрешностью опыта, а её квадрат дисперсией Если исходить из гипотезы о нормальности распределения, то погрешность результата измерений только в 5 % случаев превосходит 2σ и почти всегда оказывается меньше 3σ Следует иметь в виду, что при n 10 измерение σ определяется с точностью до % Поэтому расчёт погрешностей следует выполнять с точностью до двух знаков, не более

24 Распределение Стьюдента При малом числе n измерений для определения доверительного интервала Δx по вероятности α пользоваться распределением Гаусса нельзя При числе измерений 2 n 10 доверительный интервал определяется с помощью распределения Стьюдента Английский математик и химик ВС Госсет (псевдоним Стьюдент) в 1908 году рассмотрел случайную величину вида x x t = σ, (217) где σ среднеквадратичное отклонение результатов измерений от среднего арифметического x в данной серии из n измерений

25 Распределение Стьюдента Значения x и σ зависят от числа измерений n Поэтому при числе n 1 измерений величина t принимает числовое значение t 1, при n 2 значение t 2 и тд Стьюдент получил закон распределения (плотность вероятности) S n (t) случайной величины t Это некая математическая функция двух аргументов n и t Закон Стьюдента это закон распределения ошибок измерений нормальных (Гауссовских) случайных величин Эта функция (плотность вероятности) имеет максимум при t = 0, когда x = x Интервалу значений величины x, симметричному относительно x, соответствует интервал значений переменной t, симметричный относительно нуля

26 Распределение Стьюдента Обозначим вероятность того, что величина t принимает значение из некоторого интервала от t αn до +t αn, через α (заштрихованная площадь на рисунке) Если при некотором числе измерений n задать значение доверительной вероятности α, то используя функцию S n (t), можно рассчитать границы соответствующего симметричного интервала t αn, который зависит от α и n

27 Распределение Стьюдента +t αn α = S n t dt (218) t αn Значения t αn называют коэффициентами Стьюдента, они табулированы для разных значений доверительной вероятности α и количества измерений n Для известного числа опытов n и доверительной вероятности α определим коэффициент Стьюдента t αn, который соответствует максимальному отклонению среднего арифметического от истинного значения Максимальное отклонение x от x равно длине доверительного интервала Δx

28 Распределение Стьюдента Тогда на основании определения величины t = x x σ получим x x t αn = = x σ σ x = t αnσ (219) max Здесь x граница доверительного интервала для непрерывной случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению, при небольшом числе n измерений и при данной доверительной вероятности α; t αn коэффициент Стьюдента для n измерений при доверительной вероятности α; σ среднеквадратичное отклонение результатов измерений от среднего арифметического x в данной серии измерений

29 Распределение Стьюдента В пределе при n распределение Стьюдента переходит в нормальное (распределение Гаусса) Практически при одинаковой доверительной вероятности α коэффициенты t αn и k α совпадают уже при n 50

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ В УЧЕБНОМ ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ В УЧЕБНОМ ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Н.С. Кравченко,

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория молекулярной физики Лабораторная работа 5 Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Лекция 10. Распределение? 2.

Лекция 10. Распределение? 2. Распределение?. Пусть имеется n независимых случайных величин N 1, N,..., N n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная

Подробнее

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Лабораторная работа 11 ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Цель работы: ознакомиться с методами обработки результатов эксперимента и применить их к расчету удельного сопротивления

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение...

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение... Глава. Случайные величины продолжение..... Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.... Интеграл Пуассона.... Определение нормального распределения.... Свойства плотности

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0)

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Модели постепенных отказов Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Рассматриваемая модель (рис47) также будет соответствовать случаю, когда начальное рассеивание значений выходного

Подробнее

Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева

Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Цель работы: изучение распределения случайных величин на механической модели. Задание: по экспериментально

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЗИКЕ «ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Глава VI Натурные испытания

Глава VI Натурные испытания Глава VI Натурные испытания Испытания систем управления есть экспериментальные исследования опытного образца системы и ее компонентов на соответствие техническому заданию. По сути, опытный образец является

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Процедура Экспресс-оценки

Процедура Экспресс-оценки Процедура Экспресс-оценки Канонические определения рыночной стоимости объекта оценки трактуют ее как наиболее вероятную величину цены по которой данный объект оценки может быть отчужден на открытом рынке

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций. БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть МИНСК 00 Автор-составитель Блохин А.В., кандидат химических

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Цель работы: изучение распределения случайных величин на механической модели (доска Гальтона). Задание:

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ

Подробнее

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить производящую функцию и вычислить параметры биномиального, пуассоновского, геометрического и гипергеометрического распределений;

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Приложение ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Основные понятия. Все экспериментальные исследования, проводимые в лаборатории сопротивления материалов, сопровождаются измерением

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Теория погрешностей При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений. Истинные значения физических

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

1.2. Элементы теории вероятностей.

1.2. Элементы теории вероятностей. .. Элементы теории вероятностей.... Случайные события. Случайные события обычное явление в жизни. Примеры случайных событий: выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты, выпадение числа при бросании

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Крючкова И.В., Молчанова Н.Н. Оренбургский государственный университет, г. Оренбург Метод Монте-Карло - это численный метод для решения

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» Занятие посвящено решению задач по расчѐту погрешностей равноточных измерений Погрешности

Подробнее

СТО СГАУ

СТО СГАУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов эксперимента 1 Обработка результатов эксперимента Определения Измерение нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специально для этого предназначенных технических средств Измерение состоит из

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО ЛЕКЦИЯ. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО Математический аппарат теории надёжности основывается главным образом на теоретико-вероятностных методах, поскольку сам процесс

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; ) построить многоугольник

Подробнее

Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений Приложения Обработка результатов измерений 1. Введение Величины, измеряемые в эксперименте, по своему характеру случайны, и это обусловлено либо статистической природой самого исследуемого явления, либо

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ. Теоретическое введение

Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ. Теоретическое введение 1 Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ Теоретическое введение Во многих случаях при многократных измерениях физической величины, проведенных в одних

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НБ Лесных ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА: ЧАСТЬ 4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ Практикум для вузов Составители: В.И. Кукуев, В.В. Чернышев, И.А.Попова. ВОРОНЕЖ 009

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

x x x ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.3. Алгоритм обработки результатов измерений

x x x ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.3. Алгоритм обработки результатов измерений 1.1. Задача 1.. Математическая обработка результатов Глава 1 ПОГРЕШНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА 1.1. Задача Измерение операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта

Подробнее

на произведение вероятностей d P dp

на произведение вероятностей d P dp .. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.... Функция распределения по скоростям. Разбиение вероятности dp на произведение вероятностей d P dp U позволяет найти распределение молекул

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

Случайные величины и их числовые характеристики.

Случайные величины и их числовые характеристики. Случайные величины и их числовые характеристики Пример Устройство состоит из трех независимо работающих элементов Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна, Составить закон распределения

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров Оценка параметров Постановка задачи Пусть x вектор случайных величин, описываемых распределением f( x;,,,, параметры распределения (например, положение пика, ширина, масса частицы, { x, x, } Пусть ограниченная

Подробнее

Finance and the credit Institute of economy and management. St. Amelja Stanitsin

Finance and the credit Institute of economy and management. St. Amelja Stanitsin Finance and the credit Institute of economy and management St. Amelja Stanitsin e-mail: nowboard@rambler.ru Таблица распределения Стьюдента Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее