Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной

2 . Основные понятия теории рядов. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел,,,,, Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма вида (.) где i -действительные числа.

3 Числовой ряд можно записать в виде Здесь - общий член ряда, он выражается как функция порядкового номера. (.) Например: (). Определение. Сумма первых -членов ряда, называется -ой частичной суммой и обозначается S. (.)

4 Остатком ряда называется бесконечная сумма вида R. (.4) S R Определение. Пусть существует конечный предел последовательности частичных сумм lim S. S Тогда ряд (.), называется сходящимся, а под его суммой понимают число S. 4

5 Отсюда вытекает способ нахождения суммы ряда: S, S, Составляем частичные суммы S, Находим предел от -частной суммы. при Если предел конечен и равен S, то ряд (.) сходится и его сумма равна S, если предел не существует или равен бесконечности, то ряд (.) расходится и суммы не имеет. Пример. Является ли ряд сходящимся и найти его сумму ( ) 6 ( ) 5

6 S S Решение., 9 S ,.. S,, lim S lim lim Итак, предел равен конечному числу, а следовательно ряд сходится и его сумма равна.. 6

7 Теорема. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (.) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам ряд. Будет верно и обратное утверждение, если сходится сам ряд, то сходится и ряд получившийся из данного путем отбрасывания нескольких его членов. Согласно теореме, если сходится ряд (.), то сходится и его остаток. Теорема. Пусть дан ряд, (.5) если ряд (.5) сходится и его сумма равна S, то ряд c c c c, (.6) где с - некоторое число, так же сходится и его сумма равна cs. 7

8 Доказательство. Обозначим -частичную сумму ряда (.5) через S, S, а -ую частичную сумму ряда (.6) обозначим через σ, σ c c c c cs lim σ lim( cs ) c lim S cs. Следовательно ряд (.6) сходится и его сумма равна cs. 8

9 Теорема. Если ряды (.7) b b b b (.8) сходятся и их суммы соответственно равны S, S, то ряды ± b ) ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ), ( (.9) также сходятся и их суммы соответственно равны S S, S S. Доказательство. 9

10 Докажем, что ряд Пусть b b b b, S - частичная сумма ряда согласно условию теоремы Пусть S (.) сходится. lim S. - частичная сумма ряда согласно условию теоремы S b b b b,, lim S. S

11 Обозначим Тогда: σ -ую частичную сумму ряда b b b b limσ lim( b b b lim( b b b lim S lim S S σ S. b b lim S S. σ Эта запись свидетельствует, что ряд (.) сходится и его сумма равна S S. ) )

12 . Необходимый признак сходимости ряда Теорема. Если ряд сходится, то его -член стремиться к нулю, при неограниченном возрастании Пусть ряд lim. Доказательство: сходится, это означает, что lim S. (.) S

13 , Но, т.к. при, lim S. S (.) то Вычитая из равенства (.) равенство (.), получим lim( S S ), S S lim. Теорема (достаточное условие расходимости ряда) Если lim или не существует, то ряд расходится.

14 Пример. Является ли ряд сходящимся. 4 Решение. lim lim lim. Данный ряд является расходящимся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости.. Основные числовые ряды используемые при решении задач 4

15 . Гармонический ряд Гармоническим рядом называется ряд вида. 4 (.) Теорема. Гармонический ряд является расходящимся. Доказательство. Рассмотрим частичные суммы S 4 S 4 5,

16 Если бы исходный ряд сходился, то Т.к. при lim S, S (.4),, lim S. S (.5) S lim( S S ). Тогда S 6,

17 S S, S S lim( S S ), Мы получили, что т.е. гармонический ряд расходится.. Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется ряд, у которого известен первый член, а каждый последующий получен из предыдущего путем умножения на постоянное число. Пусть первый член ряда b, а постоянное число q, то геометрическая прогрессия имеет вид:. 7

18 8 (.6). b q b q b q b q b Выясним вопрос о сходимости данного ряда. Составим частичные суммы b, S, ) ( ) )( ( ) ( q q b q q q b q b b q b S, ) ( ) ( q q b q q b q b q b b q b q q b S (.7). ) ( q q b S

19 lim ) Рассмотрим случай q <, q ], [, S lim b ( q q ) b lim q bq lim q т.е ряд (.7) сходится и его сумма равна. b) lim q S >, q ], [ ], [, lim b ( Первое слагаемое от не зависит q q ) b lim q b lim q b b, q q b q lim q b q., 9

20 а предел второго не существует. Пусть >, q то при, q, т.е. второе слагаемое будет стремиться к бесконечности. Пусть q <, то lim q не существует, т.к. если -нечетное, то слагаемое стремиться к. если четное, то предел равен Поэтому ряд расходится. С) Пусть q. Подставим значение q в геометрическую прогрессию. Получим ряд b b b b.

21 Составим частичные суммы Таким образом, предел lim S не существует. d) Пусть q. Получим ряд b Составим частичные суммы S S b b,, S S b b b 4,,. S b, S b b b, S b, S b.

22 lim S limb. Вывод. Ряд расходится. Ряд вида (.6) является сходящимся только при q <, в этом случае его сумма определяется по формуле S b. q Если q, то ряд расходится.. Обобщенный гармонический ряд

23 Обобщенным гармоническим рядом, называется ряд вида Теорема. s s s (.8) Ряд вида (.8) является сходящимся, при S > и расходящимся при S..4 Достаточные признаки сходимости положительных рядов Ряд (.9) называется положительным, если все его члены больше нуля.

24 .Сравнение рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с положительными членами: (.) b b b b (.) Теорема. (первая теорема сравнения) Пусть для членов ряда (.) и (.) начиная с некоторого номера, выполняется неравенство b, тогда из сходимости ряда (.) следует сходимость ряда (.), а из расходимости ряда (.), следует расходимость ряда (.). 4

25 Доказательство. Пусть ряд (.) сходится, тогда мы должны показать, что ряд (.) будет сходиться. Пусть B частичная сумма ряда (.) Т.к. члены ряда (.) положительны, то последовательность частичных сумм будет образовывать монотонно возрастающую последовательность и по условию ряд (.) сходится, то lim B B. Таким образом последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху. B B b b, b 5,

26 Т.к. члены ряда (.) также положительные числа и b, то если Последовательность A - частичная сумма ряда (.), то A B B. A монотонно возрастает и ограничена сверху, значит существует конечный предел, т.е. имеет место равенство lim A. A Поэтому ряд (.) сходится. Пусть ряд (.) расходится, тогда lim A, 6

27 т.к. b, то lim B, Пример. т.е. ряд (.) расходится. Выяснить сходится или расходится ряд. Решение. Выберем ряд для сравнения Данный ряд геометрическая прогрессия и он сходится. Т.к. < b, b, q <. то согласно первой теореме сравнения исходный ряд сходится. 4 7,

28 Теорема. (вторая теорема сравнения) Пусть даны два положительных ряда (.) и (.). Если существует конечный, отличный от нуля предел lim b k, < k <, то ряды (.) и (.) одновременно сходятся или расходятся. 5 Пример. Сходится ли ряд. 4 8 Решение. Выберем ряд для сравнения. 8

29 9 Известно, что это гармонический ряд и он расходится. Тогда,, b lim lim b lim lim

30 Предел равен конечному числу, поэтому по второй теореме сравнения исходный ряд расходится. Теорема..Признак Даламбера Если в ряде с положительными членами (.) lim d то предел отношения,. d <,. d >,. d, ряд сходится, ряд расходится, то теорема не дает ответа на вопрос о сходимости.

31 Доказательство. Пусть d <. Рассмотрим число q удовлетворяющее соотношению d < q <. Для всех значений начиная с некоторого номера N, т.е. N будет иметь место неравенство Рассмотрим теперь два ряда < < < q, q q, < q. q q (.) (.4)

32 Второй ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Причем q <. Значит ряд сходится. Начиная с некоторого номера, т.к. q, то члены ряда первого меньше < Пусть >. членов ряда второго, а тогда по первой теореме сравнения ряд будет сходиться. d Тогда из lim d ( d > ) следует, что начиная с некоторого номера N, т.е. для

33 N будет иметь место > Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N и поэтому общий член ряда не стремиться к нулю. Следовательно ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда применяя признак Даламбера.. Решение.

34 4 5!6, 6! !, 5 4,!, )! ( )! (! lim! : )! ( lim lim. lim )!(! lim < Следовательно, исходный ряд сходится.

35 .Признак Коши (радикальный признак Коши) Теорема. Если для ряда с положительными членами величина, l <,. l >,. имеет конечный предел lim l, ряд сходится, ряд расходится, то:. l, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости 5

36 6 Пример. Исследовать на сходимость ряд. Решение.,, lim lim lim < e исходный ряд сходится.

37 4.Интегральный признак сходимости Коши Пусть члены ряда положительны и не возрастают (.5) и пусть () непрерывная невозрастающая функция, такая что ( ), (),, ( ), тогда справедливы следующие утверждения: 7

38 . Если не собственный интеграл сходится, то сходится и ряд (.5),. Если несобственный интеграл ( ) d ( ) d расходится, то и ряд (.5) расходится. Замечание. Функция () путем замены на. y получается из функции (), ( ), ( ). 8

39 k. Если члены ряда не являются монотонно убывающими, то теорему применять нельзя.. Вместо интеграла ( ) d, k >, k N, ( ) d можно брать поскольку отбрасывание k первых членов на сходимость ряда не влияет. Пример: Исследовать на сходимость ряд:. l Решение 9

40 , ( ) l l, ( ) l, d(l ) d lim d lim l b l b l b b lim b l(l ) b lim l(l b b) l(l ). Несобственный интеграл расходится, а значит и исходный ряд тоже расходится. 4

41 .5 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Знакочередующиеся ряды - это ряды, у которых знаки и «-» перед слагаемыми чередуются. Будем обозначать знакочередующийся ряд в виде c c c c 4, (.6) c, c, c, c где 4 - положительные числа. Теорема (Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд (.6), члены которого таковы, что. lim c, 4

42 . c > c. Тогда ряд (.6) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Доказательство. S Рассмотрим четные частичные суммы этого ряда ( c c ) ( c c ) ( c c 4 ). Поскольку должно выполняться второе условие, то каждая скобка положительна, а значит, последовательность четных частичных сумм будет больше нуля: S >. 4

43 Кроме этого из выражения видно, что последовательность четных частичных сумм будет монотонно возрастающей. S Запишем четную частичную сумму в другом виде: ( c c) ( c4 с5) ( с c ) c c. Согласно второму условию, у нас каждая скобка положительна. Таким образом S < c, S >. Мы получили, что последовательность четных частичных сумм монотонно возрастает и ограничена, а следовательно должен существовать предел 4

44 lim S, S причем < S < c. Т.е. ряд (.6) сходится. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы стремятся к тому же числу S. Рассмотрим для этого сумму членов ряда S S c. Перейдем к пределу lim S lim S lim c. 44

45 Второе слагаемое стремится к нулю согласно первому пункту теоремы, а значит lim S lim S S Замечание. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теореме Лейбница, то не трудно оценить ошибку, которую получаем, если заменить его сумму S частичной суммой. S При такой замене мы отбрасываем все члены ряда начиная с c, но эти члены ряда сами образуют знакочередующийся ряд, 45

46 c сумма которого по абсолютной величине меньше. Значит ошибка совершаемая при замене S на S не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е. Пример. Рассмотрим ряд R < c.... Это ряд Лейбница, т.к. выполняются два условия. S R S < c.8.,. R.8, < c c точностью,. 4., 46

47 Пример. Дан ряд. 4 5 Это знакочередующийся ряд. Проверим условия теоремы Лейбница. lim c lim c, > c.. По теореме Лейбница ряд является сходящимся. 47

48 .6 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Знакочередующиеся ряды является частным случаем знакопеременных рядов. В данном случае мы будем полагать, что числа,, могут быть как положительными так и отрицательными. 48

49 Теорема: Если знакопеременный ряд (.7) таков, что ряд составленный из абсолютных величин его членов (.8) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство. Обозначим Причем S S, σ частичные суммы соответственно для ряда (.7) и (.8). будем обозначать сумму всех положительных членов ряда, 49

50 а S S сумму модулей отрицательных членов ряда (.7), тогда S S, σ S S. Согласно условию теоремы, ряд (.8) сходится, а значит должен существовать предел частичных сумм limσ σ, lim( S S ) σ Т.е. получается, что и S S образует возрастающую последовательность частичных сумм и они ограничены, т.е. это означает, что должен существовать предел 5

51 lim lim S S S, lim( S lim S S ) S, S S, А следовательно ряд (.7) сходится. Признак сходимости доказанный выше является только достаточным признаком сходимости, но не обходимым. Определение. Знакопеременный ряд (.7) называется абсолютно-сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд (.8). Если же знакопеременный ряд (.7) сходится, а ряд (.8) расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом. 5

52 Пример. 4 Данный ряд является условно сходящимся, т.к. ряд составленный из модулей 4 представляет собой гармонический ряд, а он всегда расходится. Сам же знакопеременный ряд сходится по теореме Лейбница..7 Функциональные ряды 5

53 Определение. Ряд, членами которого является функции от, называется функциональным u ( ) u( ) u ( ) u ( ). Придавая определенное значение, мы получим числовой ряд (.9) u ( ) u ( ) u ( ), который может быть как сходящимся так и расходящимся. Если полученный ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда. 5

54 Если ряд расходится, то точка - точка расходимости ряда. Совокупность всех значений аргумента х, при котором функциональный ряд сходится, называют его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S() Пример. Найти область сходимости ряда Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q., 54

55 Геометрическая прогрессия сходится при q <. Следовательно наш ряд будет сходиться, если <, ],[ В этом случае сумма ряда равна Определение: Функциональный ряд u ( ) u( ) u ( ) S( ) u. ( ) называется, мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся положительный числовой ряд α α α α, (.) что для всех значений х из данной области выполняется соотношение 55

56 u ( ) α, ( ),, u α u ( ) α. (.) Ряд можорируемый в некоторой области абсолютно сходится во всех точках этой области. Пример: Ряд cos cos является можорируемым при всех значениях х, т.к. для него выполняется соотношение: Ряд cos cos cos,,, является обобщенным гармоническим рядом. Поскольку S, то он сходится. 56

57 А значит мажорируемый ряд абсолютно сходится. Определение. Ряд сходится равномерно, если сходится равномерно последовательность его частичных сумм. Пусть S() сумма ряда (.9), -частичная сумма ряда. Определение. Последовательность функций () S ( ) u ( ) u ( ) u ( ) называется равномерно-сходящейся функцией, если для любого ε >, S существует такое N, что как только > N, выполняется условие ( ) S( ) < ε S 57

58 Отличие поточечной сходимости от равномерной в том, что у первой номер N ищется отдельно для каждого, ε, а у равномерной сходимости N ищется по данному сразу для любого х из некоторого промежутка. Равномерно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами:. Если члены ряда непрерывны на отрезке [,b] и ряд равномерно сходится на этом отрезке и в случае когда [ α, β ] [, b], то ряд S( ) U ( ) U ( ) U ( ) можно почленно интегрировать: 58

59 β α S d β β U ( ) d U ( ) d U ( ) d α α β α. Если ряд S( ) U ( ) U ( ) U ( ) составленный из функций, имеющие непрерывные производные на отрезке [,b], сходится на этом отрезке к сумме S(), то ряд можно почлененно дифференцировать: S ( ) U ( ) U ( ) U ( ) 59

60 .8 Степенные ряды. Интервал сходимости Степенные ряды представляют собой частный случай функциональных рядов. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида, (.) где,,, - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Рассматривают также степенной ряд вида 6

61 ( ) ( ( ) ), ( (.) где - центр ряда. Для ряда (.). ) Ряд (.) можно привести к виду (.), если ввести замену z. Теорема Абеля. Если степенной ряд (.) сходится при, то он абсолютно сходится при всех значениях <. 6

62 Теорема Абеля. Пусть дан степенной ряд ~ (.) и этот степенной ряд расходится в точке, тогда ряд (.) будет расходиться при всех х, которые удовлетворяют условию > ~. Из первой теоремы Абеля следует, что если точка, является точкой сходимости степенного ряда (.), то интервал сходимости степенного ряда можно представить в виде (, ). R, Положив интервал сходимости можно записать в виде ( R, R). 6

63 ряд расх. ряд сх. ряд расх. -R R Если ряд сходится в одной точке, то ряд расх. R ряд сх. ряд расх. R. Если ряд сходится при всех значениях х, то 6

64 На концах интервала сходимости (т.е. при R и -R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Рассмотрим способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть дан ряд: Составим ряд из абсолютных величин (.4) (.5) Это ряд с положительными членами и для определения сходимости этого ряда, можно применить признак Даламбера 64

65 65. lim lim lim < u u Введем обозначения. lim L Тогда., L L < < Обозначив, L R получим. lim R

66 Аналогичным образом, для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Каши Замечание. Если lim, R lim L то R, L т.е. ряд будет сходиться на всей числовой оси. L то Если lim,. R L Замечание. 66

67 Интервал сходимости степенного ряда вида (.) находят из условия: < R, Замечание. ( R < R < R, < < R, R). R, Если степенной ряд содержит не все степени х, то говорят, что задан не полный степенной ряд. В этом случаи интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признак Даламбера или Коши для ряда составленного из модулей членов этого ряда. 67

68 R Пример. Найти область сходимости ряда.! Решение. Найдем радиус сходимости по формуле lim Тогда! : ( )! lim!( )! R lim lim(. ). Следовательно ряд сходится на всей числовой оси. ( ) Пример. Найти область сходимости ряда. 68

69 Решение. Найдем радиус сходимости по формуле lim. Тогда R R ( ) lim : lim ( ) lim lim. Следовательно ряд сходится при < <, 69

70 т.е. при 4 < <. Итак мы имеем ряд расх.?? ряд сх. ряд расх. -4 Исследуем сходимость на концах интервала. При -4 имеем ряд ( ) ( ( 4 ) ) ( ) ( ) 7

71 7 Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница. Действительно ряд из модулей представляет собой гармонический ряд. Он всегда расходится. По теореме Лейбница, lim lim ) c. ) > c c При имеем ряд. ) ( ) (

72 Это гармоничесий ряд он расходится. Таким образом получим ряд расх. ряд сх.усл. ряд сх. ряд расх. ряд расх Ряды Тейлора и Маклорена. Коэффициенты ряда Тейлора и Маклорена Пусть функция () ( ) ( ( ) представлена в виде ) ( (.6) ) 7

73 Пусть в некоторой области D ряд сходится и функция () бесконечно дифференцируема. Будем считать, что () известно, и известно. Нужно найти коэффициенты,, Если в выражении (.6) положить то можно найти ( ). Продифференцируем (.6) ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) 7

74 Положим, тогда ( ) ( ( )! ). Продифференцируем выражение (.7) ( ) ( ) Положим в (.8) ( ) ( ) (.8) ( ) ( ) (! ), 74

75 Продифференцируем (.8) ( ) ( )( ) ( ) (.9) Положим в (.9), мы получим ( ) (! ), ( ) (! ), 75

76 ,, Подставим коэффициенты ( ) ( ( в выражение (.6), получим ( ) ( ) ) ( ) (!! ) ( ) ( ) (.4)! ) Ряд (.4) называют рядом Тейлора. Если в выражении (.4) положить, то мы получим ряд Маклорена: 76

77 ( ) () () ()!! ( ) () (.4)!. Ряд Маклорена для показательной функции e. Пусть ( ) e. Эта функция является бесконечно дифференцируемой на всей числовой оси. 77

78 ( ) Найдем коэффициенты ряда Маклорена e e, (), ( ) e, () e, ( ) e, () e,.. ( ) ( ) ( ) e, () e. ( )! Отсюда коэффициент. ( )! 78

79 Запишем теперь ряд Маклорена для данной функции: ( ) ( ) () ()! ( ) ()!!! ()! (.4)! (.4) () Возникает вопрос можно ли между функцией и ее рядом поставить. Найдем область сходимости ряда (.4). 79

80 Для этого можно воспользоваться формулой радиуса сходимости R lim u u ( )! lim! lim!( )! lim( ). Это значит, что интервал сходимости вся числовая ось. Запишем требуемое равенство и найдем сумму ряда ( )!!!. Покажем, что ( ) e. Т.к. ряд сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать в каждой точке 8

81 ( )!! ( )! ( )!!! (.4) Сравнивая (.4) и (.4) мы видим, что правые части равны, а тогда мы можем записать ( ) ( ). (.44) d ( ) d Мы получили дифференциальное уравнение ( ). d ( ) d. Или ( ) Это дифференциальное уравнение с разделенными переменными. 8

82 Вычислим интеграл от левой и правой части d ( ) d l c, l ( ) l c, ( ) l ( ), ( ) e, ( ) ce c c Используя начальные условия, ( ), получим c e, c. Таким образом, действительно ( ) e. 8

83 Итак e!!! (.45) для любого (, ).. Условие сходимости ряда Тейлора к своей функции Запишем формулу Тейлора: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ( ). (.46)!! И запишем ряд Тейлора ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.47)!! 8

84 Равенства (.46) и (.47) очень похожи, однако формула (.46) имеет конечное число слагаемых, а формула (.47) бесконечное. Ряд (.47) рассматривается в тех случаях, в которых он сходится. В этих же точках сходится и остаток ряда R (). Теорема. Для того что бы имело место выражение (.47) необходимо и достаточно что бы lim R. Замечание. Для остаточного члена можно применять формулу Лагранжа R ( ) ( ) ( ( θ) )!, 84

85 или формулу Коши R ( ) ( ) ( θ)! ( θ ), где θ [,].. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена Для разложения функции () в ряд Маклорена нужно ( ), ( ), ( ), а) Найти производные б) Вычислить значение производных в точке 85

86 с) Записать ряд ( ) () ()! ()! ( ) ()! и найти его интервал сходимости. д) Найти интервал ( R, R) в котором lim R. Если такой интервал существует, то в нем функция () и сумма ряда совпадают. Таким образом можно получить разложения в степенные ряды многих функций. 86

87 87 (.48) ), (-!!! e (.49) ), (- )! ( ) ( 7! 5!! si 7 5 (.5) ), (- )! ( ) ( 6! 4!! cos 6 4 (.5) ) (- ) ( 4 ) l( 4 <

88 ( ) α ( < < ). α! α( α )! (.5) α( α )( α! ( )). Применение степенных рядов а) Приближенное вычисление значений функций Пример. Найти si с точностью,. Решение. Согласно формуле (.49) si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! (-, ) 88

89 При формула примет вид si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! ( ). ( )! Ряд стоящий справа сходится абсолютно. Действительно составим ряд из модулей! 5! 7! ( )! ( )! (( ) )! (. )! 89

90 ( )! ( )! lim lim lim < ( )! ( )!( ) Т.к. мы имеем дело с рядом лейбницевского типа, то ошибку можно найти оценив остаток ряда, а именно величину первого отбрасываемого слагаемого 5! si,8 >,,, si Для нахождения! 5 5!,84 7! < с точностью, достаточно первых трех слагаемых 9

91 Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем,). б) Приближенное вычисление интегралов. Бесконечные ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью до ε >. b ( ) d Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора и если пределы интеграла [, b ] 9

92 лежат внутри интервала сходимости ряда (-R,R), то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Пример. Решение. si Вычислить интеграл d. Берем разложение si в ряд. Этот ряд сходится на всей числовой оси si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! (-, ) Затем выражение делим на х 9

93 si 4! 5! Этот ряд, как и si, сходится на всей числовой оси. si! 4 5! d! 5 5!5 Этот ряд можно подсчитать с любой степенью точности, т.к. ряд знакочередующийся и ошибка не будет превосходить первого отброшенного члена. 9

94 .4 Периодические функции. Тригонометрический ряд Фурье. При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов которые через определенные промежутки времени повторяются, удобнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд. Функция y () определенная на множестве D называется периодической с периодом T>, если выполняется равенство ( T ) ( ) 94

95 Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его на всю область определения. Определение. Функциональный ряд вида cos b si cos b si b si cos cos b si ( cos b si ), (.5) называется тригонометрическим рядом. 95

96 Постоянные числа,, b,, b, называются коэффициентами тригонометрического ряда. Пусть задана функция () с периодом. Она представляется тригнометрическим рядом сходящимся в данной функции в интервале (, ) ( ) ( cos b si ). Определим коэффициенты ряда. (.5) Проинтегрируем левую и правую часть выражения (.5) 96

97 97 ). si cos ( ) ( d b d d d Вычислим отдельно интегралы встречающиеся в правой части., )) ( ( d, ) si (si si cos d. )) cos( (cos cos si b b d b

98 ( ) d Следовательно, ( ) d. (.54) Остальные коэффициенты можно вычислить по формулам ( )cos d, (.55) b ( )si d, (.56) 98

99 Коэффициенты определенные по формулам (.54), (.55) и (.56) называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд (.5) называют рядом Фурье. Теорема (Дирихле). Если периодическая функция () с периодом кусочно-монотонная и ограниченая на отрезке [-,], то ряд Фурье, построенный для данной функции, сходится во всех точках. S() В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S ( ) ( ). В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции () c справа и слева, т.е. если - точка разрыва функции 99

100 S( ) c ( c ) ( c ). Y y () (c-) (c ) y () О С X

101 Т.е. если c есть точка разрыва функции, то в силу монотонности функции в этой точке должны существовать пределы: lim ( ) ( c ), c lim ( ) ( c ). Пример. c Разложить в ряд Фурье функцию () с периодом заданную на отрезке [-,] формулой ( ),,, <.

102 Решение. (). Изобразим график функции Она удовлетворяет условиям Дирихле, а следовательно ее можно разложить в ряд Фурье. Y y () p p -p О p p X

103 Находим коэффициенты ряда ) ( ) ( d d d, d cos ) (

104 4 d d du d u d d si, cos,, cos cos υ υ si si si si d d cos cos

105 5 cos cos ), ) ( ( ) cos ( cos d b si ) (

106 6 d d du d u d d cos, si,, si si υ υ cos cos cos cos d d si cos si cos

107 cos ( ) ( ). Исходной функции () ( ) ~ S( ) 4 соответствует ряд ( ) ( ( ) )cos si. Функция () непрерывна во всех внутренних точках отрезка [-,], поэтому согласно теореме Дирихле во всех этих точках имеем равенство ( ) S( ) 7

108 8 si si si 5 cos5 cos cos 6 4 ) ( ) ( S т.е. В точках ± cумма S() ряда равна. ) ( ) ( ) ( ) ( S S

109 Y y S() p p -p О p p X.5 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций 9

110 Если разлагаемая на отрезке [-,] в ряд Фурье функция () является четной или нечетной, то это найдет отражение на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и сам ряд при этом становится неполным. Если функция () четная, то ее ряд Фурье имеет вид ( ) cos, где ( ) d, (.57) ( )cos d. (.58)

111 Это связано с тем, что произведение четной функции на нечетную дает нечетную функцию, а интеграл на симметричных пределах от нечетной функции равен нулю. Таким образом, разложение четной функции в ряд Фурье, будет содержать «только косинусы». Если функция () нечетная, то произведение ( ) cos есть функция нечетная. Тогда ( ) d, (.59) ( )cos d, (.6)

112 b k ( )si d ( )si d, (.6) Таким образом, ряд Фурье от нечетной функции содержит «только синусы» ( ) b si. (.6)


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее