Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной

2 . Основные понятия теории рядов. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел,,,,, Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма вида (.) где i -действительные числа.

3 Числовой ряд можно записать в виде Здесь - общий член ряда, он выражается как функция порядкового номера. (.) Например: (). Определение. Сумма первых -членов ряда, называется -ой частичной суммой и обозначается S. (.)

4 Остатком ряда называется бесконечная сумма вида R. (.4) S R Определение. Пусть существует конечный предел последовательности частичных сумм lim S. S Тогда ряд (.), называется сходящимся, а под его суммой понимают число S. 4

5 Отсюда вытекает способ нахождения суммы ряда: S, S, Составляем частичные суммы S, Находим предел от -частной суммы. при Если предел конечен и равен S, то ряд (.) сходится и его сумма равна S, если предел не существует или равен бесконечности, то ряд (.) расходится и суммы не имеет. Пример. Является ли ряд сходящимся и найти его сумму ( ) 6 ( ) 5

6 S S Решение., 9 S ,.. S,, lim S lim lim Итак, предел равен конечному числу, а следовательно ряд сходится и его сумма равна.. 6

7 Теорема. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (.) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам ряд. Будет верно и обратное утверждение, если сходится сам ряд, то сходится и ряд получившийся из данного путем отбрасывания нескольких его членов. Согласно теореме, если сходится ряд (.), то сходится и его остаток. Теорема. Пусть дан ряд, (.5) если ряд (.5) сходится и его сумма равна S, то ряд c c c c, (.6) где с - некоторое число, так же сходится и его сумма равна cs. 7

8 Доказательство. Обозначим -частичную сумму ряда (.5) через S, S, а -ую частичную сумму ряда (.6) обозначим через σ, σ c c c c cs lim σ lim( cs ) c lim S cs. Следовательно ряд (.6) сходится и его сумма равна cs. 8

9 Теорема. Если ряды (.7) b b b b (.8) сходятся и их суммы соответственно равны S, S, то ряды ± b ) ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ), ( (.9) также сходятся и их суммы соответственно равны S S, S S. Доказательство. 9

10 Докажем, что ряд Пусть b b b b, S - частичная сумма ряда согласно условию теоремы Пусть S (.) сходится. lim S. - частичная сумма ряда согласно условию теоремы S b b b b,, lim S. S

11 Обозначим Тогда: σ -ую частичную сумму ряда b b b b limσ lim( b b b lim( b b b lim S lim S S σ S. b b lim S S. σ Эта запись свидетельствует, что ряд (.) сходится и его сумма равна S S. ) )

12 . Необходимый признак сходимости ряда Теорема. Если ряд сходится, то его -член стремиться к нулю, при неограниченном возрастании Пусть ряд lim. Доказательство: сходится, это означает, что lim S. (.) S

13 , Но, т.к. при, lim S. S (.) то Вычитая из равенства (.) равенство (.), получим lim( S S ), S S lim. Теорема (достаточное условие расходимости ряда) Если lim или не существует, то ряд расходится.

14 Пример. Является ли ряд сходящимся. 4 Решение. lim lim lim. Данный ряд является расходящимся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости.. Основные числовые ряды используемые при решении задач 4

15 . Гармонический ряд Гармоническим рядом называется ряд вида. 4 (.) Теорема. Гармонический ряд является расходящимся. Доказательство. Рассмотрим частичные суммы S 4 S 4 5,

16 Если бы исходный ряд сходился, то Т.к. при lim S, S (.4),, lim S. S (.5) S lim( S S ). Тогда S 6,

17 S S, S S lim( S S ), Мы получили, что т.е. гармонический ряд расходится.. Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется ряд, у которого известен первый член, а каждый последующий получен из предыдущего путем умножения на постоянное число. Пусть первый член ряда b, а постоянное число q, то геометрическая прогрессия имеет вид:. 7

18 8 (.6). b q b q b q b q b Выясним вопрос о сходимости данного ряда. Составим частичные суммы b, S, ) ( ) )( ( ) ( q q b q q q b q b b q b S, ) ( ) ( q q b q q b q b q b b q b q q b S (.7). ) ( q q b S

19 lim ) Рассмотрим случай q <, q ], [, S lim b ( q q ) b lim q bq lim q т.е ряд (.7) сходится и его сумма равна. b) lim q S >, q ], [ ], [, lim b ( Первое слагаемое от не зависит q q ) b lim q b lim q b b, q q b q lim q b q., 9

20 а предел второго не существует. Пусть >, q то при, q, т.е. второе слагаемое будет стремиться к бесконечности. Пусть q <, то lim q не существует, т.к. если -нечетное, то слагаемое стремиться к. если четное, то предел равен Поэтому ряд расходится. С) Пусть q. Подставим значение q в геометрическую прогрессию. Получим ряд b b b b.

21 Составим частичные суммы Таким образом, предел lim S не существует. d) Пусть q. Получим ряд b Составим частичные суммы S S b b,, S S b b b 4,,. S b, S b b b, S b, S b.

22 lim S limb. Вывод. Ряд расходится. Ряд вида (.6) является сходящимся только при q <, в этом случае его сумма определяется по формуле S b. q Если q, то ряд расходится.. Обобщенный гармонический ряд

23 Обобщенным гармоническим рядом, называется ряд вида Теорема. s s s (.8) Ряд вида (.8) является сходящимся, при S > и расходящимся при S..4 Достаточные признаки сходимости положительных рядов Ряд (.9) называется положительным, если все его члены больше нуля.

24 .Сравнение рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с положительными членами: (.) b b b b (.) Теорема. (первая теорема сравнения) Пусть для членов ряда (.) и (.) начиная с некоторого номера, выполняется неравенство b, тогда из сходимости ряда (.) следует сходимость ряда (.), а из расходимости ряда (.), следует расходимость ряда (.). 4

25 Доказательство. Пусть ряд (.) сходится, тогда мы должны показать, что ряд (.) будет сходиться. Пусть B частичная сумма ряда (.) Т.к. члены ряда (.) положительны, то последовательность частичных сумм будет образовывать монотонно возрастающую последовательность и по условию ряд (.) сходится, то lim B B. Таким образом последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху. B B b b, b 5,

26 Т.к. члены ряда (.) также положительные числа и b, то если Последовательность A - частичная сумма ряда (.), то A B B. A монотонно возрастает и ограничена сверху, значит существует конечный предел, т.е. имеет место равенство lim A. A Поэтому ряд (.) сходится. Пусть ряд (.) расходится, тогда lim A, 6

27 т.к. b, то lim B, Пример. т.е. ряд (.) расходится. Выяснить сходится или расходится ряд. Решение. Выберем ряд для сравнения Данный ряд геометрическая прогрессия и он сходится. Т.к. < b, b, q <. то согласно первой теореме сравнения исходный ряд сходится. 4 7,

28 Теорема. (вторая теорема сравнения) Пусть даны два положительных ряда (.) и (.). Если существует конечный, отличный от нуля предел lim b k, < k <, то ряды (.) и (.) одновременно сходятся или расходятся. 5 Пример. Сходится ли ряд. 4 8 Решение. Выберем ряд для сравнения. 8

29 9 Известно, что это гармонический ряд и он расходится. Тогда,, b lim lim b lim lim

30 Предел равен конечному числу, поэтому по второй теореме сравнения исходный ряд расходится. Теорема..Признак Даламбера Если в ряде с положительными членами (.) lim d то предел отношения,. d <,. d >,. d, ряд сходится, ряд расходится, то теорема не дает ответа на вопрос о сходимости.

31 Доказательство. Пусть d <. Рассмотрим число q удовлетворяющее соотношению d < q <. Для всех значений начиная с некоторого номера N, т.е. N будет иметь место неравенство Рассмотрим теперь два ряда < < < q, q q, < q. q q (.) (.4)

32 Второй ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Причем q <. Значит ряд сходится. Начиная с некоторого номера, т.к. q, то члены ряда первого меньше < Пусть >. членов ряда второго, а тогда по первой теореме сравнения ряд будет сходиться. d Тогда из lim d ( d > ) следует, что начиная с некоторого номера N, т.е. для

33 N будет иметь место > Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N и поэтому общий член ряда не стремиться к нулю. Следовательно ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда применяя признак Даламбера.. Решение.

34 4 5!6, 6! !, 5 4,!, )! ( )! (! lim! : )! ( lim lim. lim )!(! lim < Следовательно, исходный ряд сходится.

35 .Признак Коши (радикальный признак Коши) Теорема. Если для ряда с положительными членами величина, l <,. l >,. имеет конечный предел lim l, ряд сходится, ряд расходится, то:. l, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости 5

36 6 Пример. Исследовать на сходимость ряд. Решение.,, lim lim lim < e исходный ряд сходится.

37 4.Интегральный признак сходимости Коши Пусть члены ряда положительны и не возрастают (.5) и пусть () непрерывная невозрастающая функция, такая что ( ), (),, ( ), тогда справедливы следующие утверждения: 7

38 . Если не собственный интеграл сходится, то сходится и ряд (.5),. Если несобственный интеграл ( ) d ( ) d расходится, то и ряд (.5) расходится. Замечание. Функция () путем замены на. y получается из функции (), ( ), ( ). 8

39 k. Если члены ряда не являются монотонно убывающими, то теорему применять нельзя.. Вместо интеграла ( ) d, k >, k N, ( ) d можно брать поскольку отбрасывание k первых членов на сходимость ряда не влияет. Пример: Исследовать на сходимость ряд:. l Решение 9

40 , ( ) l l, ( ) l, d(l ) d lim d lim l b l b l b b lim b l(l ) b lim l(l b b) l(l ). Несобственный интеграл расходится, а значит и исходный ряд тоже расходится. 4

41 .5 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Знакочередующиеся ряды - это ряды, у которых знаки и «-» перед слагаемыми чередуются. Будем обозначать знакочередующийся ряд в виде c c c c 4, (.6) c, c, c, c где 4 - положительные числа. Теорема (Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд (.6), члены которого таковы, что. lim c, 4

42 . c > c. Тогда ряд (.6) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Доказательство. S Рассмотрим четные частичные суммы этого ряда ( c c ) ( c c ) ( c c 4 ). Поскольку должно выполняться второе условие, то каждая скобка положительна, а значит, последовательность четных частичных сумм будет больше нуля: S >. 4

43 Кроме этого из выражения видно, что последовательность четных частичных сумм будет монотонно возрастающей. S Запишем четную частичную сумму в другом виде: ( c c) ( c4 с5) ( с c ) c c. Согласно второму условию, у нас каждая скобка положительна. Таким образом S < c, S >. Мы получили, что последовательность четных частичных сумм монотонно возрастает и ограничена, а следовательно должен существовать предел 4

44 lim S, S причем < S < c. Т.е. ряд (.6) сходится. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы стремятся к тому же числу S. Рассмотрим для этого сумму членов ряда S S c. Перейдем к пределу lim S lim S lim c. 44

45 Второе слагаемое стремится к нулю согласно первому пункту теоремы, а значит lim S lim S S Замечание. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теореме Лейбница, то не трудно оценить ошибку, которую получаем, если заменить его сумму S частичной суммой. S При такой замене мы отбрасываем все члены ряда начиная с c, но эти члены ряда сами образуют знакочередующийся ряд, 45

46 c сумма которого по абсолютной величине меньше. Значит ошибка совершаемая при замене S на S не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е. Пример. Рассмотрим ряд R < c.... Это ряд Лейбница, т.к. выполняются два условия. S R S < c.8.,. R.8, < c c точностью,. 4., 46

47 Пример. Дан ряд. 4 5 Это знакочередующийся ряд. Проверим условия теоремы Лейбница. lim c lim c, > c.. По теореме Лейбница ряд является сходящимся. 47

48 .6 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Знакочередующиеся ряды является частным случаем знакопеременных рядов. В данном случае мы будем полагать, что числа,, могут быть как положительными так и отрицательными. 48

49 Теорема: Если знакопеременный ряд (.7) таков, что ряд составленный из абсолютных величин его членов (.8) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство. Обозначим Причем S S, σ частичные суммы соответственно для ряда (.7) и (.8). будем обозначать сумму всех положительных членов ряда, 49

50 а S S сумму модулей отрицательных членов ряда (.7), тогда S S, σ S S. Согласно условию теоремы, ряд (.8) сходится, а значит должен существовать предел частичных сумм limσ σ, lim( S S ) σ Т.е. получается, что и S S образует возрастающую последовательность частичных сумм и они ограничены, т.е. это означает, что должен существовать предел 5

51 lim lim S S S, lim( S lim S S ) S, S S, А следовательно ряд (.7) сходится. Признак сходимости доказанный выше является только достаточным признаком сходимости, но не обходимым. Определение. Знакопеременный ряд (.7) называется абсолютно-сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд (.8). Если же знакопеременный ряд (.7) сходится, а ряд (.8) расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом. 5

52 Пример. 4 Данный ряд является условно сходящимся, т.к. ряд составленный из модулей 4 представляет собой гармонический ряд, а он всегда расходится. Сам же знакопеременный ряд сходится по теореме Лейбница..7 Функциональные ряды 5

53 Определение. Ряд, членами которого является функции от, называется функциональным u ( ) u( ) u ( ) u ( ). Придавая определенное значение, мы получим числовой ряд (.9) u ( ) u ( ) u ( ), который может быть как сходящимся так и расходящимся. Если полученный ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда. 5

54 Если ряд расходится, то точка - точка расходимости ряда. Совокупность всех значений аргумента х, при котором функциональный ряд сходится, называют его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S() Пример. Найти область сходимости ряда Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q., 54

55 Геометрическая прогрессия сходится при q <. Следовательно наш ряд будет сходиться, если <, ],[ В этом случае сумма ряда равна Определение: Функциональный ряд u ( ) u( ) u ( ) S( ) u. ( ) называется, мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся положительный числовой ряд α α α α, (.) что для всех значений х из данной области выполняется соотношение 55

56 u ( ) α, ( ),, u α u ( ) α. (.) Ряд можорируемый в некоторой области абсолютно сходится во всех точках этой области. Пример: Ряд cos cos является можорируемым при всех значениях х, т.к. для него выполняется соотношение: Ряд cos cos cos,,, является обобщенным гармоническим рядом. Поскольку S, то он сходится. 56

57 А значит мажорируемый ряд абсолютно сходится. Определение. Ряд сходится равномерно, если сходится равномерно последовательность его частичных сумм. Пусть S() сумма ряда (.9), -частичная сумма ряда. Определение. Последовательность функций () S ( ) u ( ) u ( ) u ( ) называется равномерно-сходящейся функцией, если для любого ε >, S существует такое N, что как только > N, выполняется условие ( ) S( ) < ε S 57

58 Отличие поточечной сходимости от равномерной в том, что у первой номер N ищется отдельно для каждого, ε, а у равномерной сходимости N ищется по данному сразу для любого х из некоторого промежутка. Равномерно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами:. Если члены ряда непрерывны на отрезке [,b] и ряд равномерно сходится на этом отрезке и в случае когда [ α, β ] [, b], то ряд S( ) U ( ) U ( ) U ( ) можно почленно интегрировать: 58

59 β α S d β β U ( ) d U ( ) d U ( ) d α α β α. Если ряд S( ) U ( ) U ( ) U ( ) составленный из функций, имеющие непрерывные производные на отрезке [,b], сходится на этом отрезке к сумме S(), то ряд можно почлененно дифференцировать: S ( ) U ( ) U ( ) U ( ) 59

60 .8 Степенные ряды. Интервал сходимости Степенные ряды представляют собой частный случай функциональных рядов. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида, (.) где,,, - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Рассматривают также степенной ряд вида 6

61 ( ) ( ( ) ), ( (.) где - центр ряда. Для ряда (.). ) Ряд (.) можно привести к виду (.), если ввести замену z. Теорема Абеля. Если степенной ряд (.) сходится при, то он абсолютно сходится при всех значениях <. 6

62 Теорема Абеля. Пусть дан степенной ряд ~ (.) и этот степенной ряд расходится в точке, тогда ряд (.) будет расходиться при всех х, которые удовлетворяют условию > ~. Из первой теоремы Абеля следует, что если точка, является точкой сходимости степенного ряда (.), то интервал сходимости степенного ряда можно представить в виде (, ). R, Положив интервал сходимости можно записать в виде ( R, R). 6

63 ряд расх. ряд сх. ряд расх. -R R Если ряд сходится в одной точке, то ряд расх. R ряд сх. ряд расх. R. Если ряд сходится при всех значениях х, то 6

64 На концах интервала сходимости (т.е. при R и -R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Рассмотрим способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть дан ряд: Составим ряд из абсолютных величин (.4) (.5) Это ряд с положительными членами и для определения сходимости этого ряда, можно применить признак Даламбера 64

65 65. lim lim lim < u u Введем обозначения. lim L Тогда., L L < < Обозначив, L R получим. lim R

66 Аналогичным образом, для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Каши Замечание. Если lim, R lim L то R, L т.е. ряд будет сходиться на всей числовой оси. L то Если lim,. R L Замечание. 66

67 Интервал сходимости степенного ряда вида (.) находят из условия: < R, Замечание. ( R < R < R, < < R, R). R, Если степенной ряд содержит не все степени х, то говорят, что задан не полный степенной ряд. В этом случаи интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признак Даламбера или Коши для ряда составленного из модулей членов этого ряда. 67

68 R Пример. Найти область сходимости ряда.! Решение. Найдем радиус сходимости по формуле lim Тогда! : ( )! lim!( )! R lim lim(. ). Следовательно ряд сходится на всей числовой оси. ( ) Пример. Найти область сходимости ряда. 68

69 Решение. Найдем радиус сходимости по формуле lim. Тогда R R ( ) lim : lim ( ) lim lim. Следовательно ряд сходится при < <, 69

70 т.е. при 4 < <. Итак мы имеем ряд расх.?? ряд сх. ряд расх. -4 Исследуем сходимость на концах интервала. При -4 имеем ряд ( ) ( ( 4 ) ) ( ) ( ) 7

71 7 Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница. Действительно ряд из модулей представляет собой гармонический ряд. Он всегда расходится. По теореме Лейбница, lim lim ) c. ) > c c При имеем ряд. ) ( ) (

72 Это гармоничесий ряд он расходится. Таким образом получим ряд расх. ряд сх.усл. ряд сх. ряд расх. ряд расх Ряды Тейлора и Маклорена. Коэффициенты ряда Тейлора и Маклорена Пусть функция () ( ) ( ( ) представлена в виде ) ( (.6) ) 7

73 Пусть в некоторой области D ряд сходится и функция () бесконечно дифференцируема. Будем считать, что () известно, и известно. Нужно найти коэффициенты,, Если в выражении (.6) положить то можно найти ( ). Продифференцируем (.6) ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) 7

74 Положим, тогда ( ) ( ( )! ). Продифференцируем выражение (.7) ( ) ( ) Положим в (.8) ( ) ( ) (.8) ( ) ( ) (! ), 74

75 Продифференцируем (.8) ( ) ( )( ) ( ) (.9) Положим в (.9), мы получим ( ) (! ), ( ) (! ), 75

76 ,, Подставим коэффициенты ( ) ( ( в выражение (.6), получим ( ) ( ) ) ( ) (!! ) ( ) ( ) (.4)! ) Ряд (.4) называют рядом Тейлора. Если в выражении (.4) положить, то мы получим ряд Маклорена: 76

77 ( ) () () ()!! ( ) () (.4)!. Ряд Маклорена для показательной функции e. Пусть ( ) e. Эта функция является бесконечно дифференцируемой на всей числовой оси. 77

78 ( ) Найдем коэффициенты ряда Маклорена e e, (), ( ) e, () e, ( ) e, () e,.. ( ) ( ) ( ) e, () e. ( )! Отсюда коэффициент. ( )! 78

79 Запишем теперь ряд Маклорена для данной функции: ( ) ( ) () ()! ( ) ()!!! ()! (.4)! (.4) () Возникает вопрос можно ли между функцией и ее рядом поставить. Найдем область сходимости ряда (.4). 79

80 Для этого можно воспользоваться формулой радиуса сходимости R lim u u ( )! lim! lim!( )! lim( ). Это значит, что интервал сходимости вся числовая ось. Запишем требуемое равенство и найдем сумму ряда ( )!!!. Покажем, что ( ) e. Т.к. ряд сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать в каждой точке 8

81 ( )!! ( )! ( )!!! (.4) Сравнивая (.4) и (.4) мы видим, что правые части равны, а тогда мы можем записать ( ) ( ). (.44) d ( ) d Мы получили дифференциальное уравнение ( ). d ( ) d. Или ( ) Это дифференциальное уравнение с разделенными переменными. 8

82 Вычислим интеграл от левой и правой части d ( ) d l c, l ( ) l c, ( ) l ( ), ( ) e, ( ) ce c c Используя начальные условия, ( ), получим c e, c. Таким образом, действительно ( ) e. 8

83 Итак e!!! (.45) для любого (, ).. Условие сходимости ряда Тейлора к своей функции Запишем формулу Тейлора: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ( ). (.46)!! И запишем ряд Тейлора ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.47)!! 8

84 Равенства (.46) и (.47) очень похожи, однако формула (.46) имеет конечное число слагаемых, а формула (.47) бесконечное. Ряд (.47) рассматривается в тех случаях, в которых он сходится. В этих же точках сходится и остаток ряда R (). Теорема. Для того что бы имело место выражение (.47) необходимо и достаточно что бы lim R. Замечание. Для остаточного члена можно применять формулу Лагранжа R ( ) ( ) ( ( θ) )!, 84

85 или формулу Коши R ( ) ( ) ( θ)! ( θ ), где θ [,].. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена Для разложения функции () в ряд Маклорена нужно ( ), ( ), ( ), а) Найти производные б) Вычислить значение производных в точке 85

86 с) Записать ряд ( ) () ()! ()! ( ) ()! и найти его интервал сходимости. д) Найти интервал ( R, R) в котором lim R. Если такой интервал существует, то в нем функция () и сумма ряда совпадают. Таким образом можно получить разложения в степенные ряды многих функций. 86

87 87 (.48) ), (-!!! e (.49) ), (- )! ( ) ( 7! 5!! si 7 5 (.5) ), (- )! ( ) ( 6! 4!! cos 6 4 (.5) ) (- ) ( 4 ) l( 4 <

88 ( ) α ( < < ). α! α( α )! (.5) α( α )( α! ( )). Применение степенных рядов а) Приближенное вычисление значений функций Пример. Найти si с точностью,. Решение. Согласно формуле (.49) si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! (-, ) 88

89 При формула примет вид si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! ( ). ( )! Ряд стоящий справа сходится абсолютно. Действительно составим ряд из модулей! 5! 7! ( )! ( )! (( ) )! (. )! 89

90 ( )! ( )! lim lim lim < ( )! ( )!( ) Т.к. мы имеем дело с рядом лейбницевского типа, то ошибку можно найти оценив остаток ряда, а именно величину первого отбрасываемого слагаемого 5! si,8 >,,, si Для нахождения! 5 5!,84 7! < с точностью, достаточно первых трех слагаемых 9

91 Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем,). б) Приближенное вычисление интегралов. Бесконечные ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью до ε >. b ( ) d Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора и если пределы интеграла [, b ] 9

92 лежат внутри интервала сходимости ряда (-R,R), то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Пример. Решение. si Вычислить интеграл d. Берем разложение si в ряд. Этот ряд сходится на всей числовой оси si! 5 5! 7 7! ( ) ( )! (-, ) Затем выражение делим на х 9

93 si 4! 5! Этот ряд, как и si, сходится на всей числовой оси. si! 4 5! d! 5 5!5 Этот ряд можно подсчитать с любой степенью точности, т.к. ряд знакочередующийся и ошибка не будет превосходить первого отброшенного члена. 9

94 .4 Периодические функции. Тригонометрический ряд Фурье. При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов которые через определенные промежутки времени повторяются, удобнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд. Функция y () определенная на множестве D называется периодической с периодом T>, если выполняется равенство ( T ) ( ) 94

95 Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его на всю область определения. Определение. Функциональный ряд вида cos b si cos b si b si cos cos b si ( cos b si ), (.5) называется тригонометрическим рядом. 95

96 Постоянные числа,, b,, b, называются коэффициентами тригонометрического ряда. Пусть задана функция () с периодом. Она представляется тригнометрическим рядом сходящимся в данной функции в интервале (, ) ( ) ( cos b si ). Определим коэффициенты ряда. (.5) Проинтегрируем левую и правую часть выражения (.5) 96

97 97 ). si cos ( ) ( d b d d d Вычислим отдельно интегралы встречающиеся в правой части., )) ( ( d, ) si (si si cos d. )) cos( (cos cos si b b d b

98 ( ) d Следовательно, ( ) d. (.54) Остальные коэффициенты можно вычислить по формулам ( )cos d, (.55) b ( )si d, (.56) 98

99 Коэффициенты определенные по формулам (.54), (.55) и (.56) называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд (.5) называют рядом Фурье. Теорема (Дирихле). Если периодическая функция () с периодом кусочно-монотонная и ограниченая на отрезке [-,], то ряд Фурье, построенный для данной функции, сходится во всех точках. S() В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S ( ) ( ). В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции () c справа и слева, т.е. если - точка разрыва функции 99

100 S( ) c ( c ) ( c ). Y y () (c-) (c ) y () О С X

101 Т.е. если c есть точка разрыва функции, то в силу монотонности функции в этой точке должны существовать пределы: lim ( ) ( c ), c lim ( ) ( c ). Пример. c Разложить в ряд Фурье функцию () с периодом заданную на отрезке [-,] формулой ( ),,, <.

102 Решение. (). Изобразим график функции Она удовлетворяет условиям Дирихле, а следовательно ее можно разложить в ряд Фурье. Y y () p p -p О p p X

103 Находим коэффициенты ряда ) ( ) ( d d d, d cos ) (

104 4 d d du d u d d si, cos,, cos cos υ υ si si si si d d cos cos

105 5 cos cos ), ) ( ( ) cos ( cos d b si ) (

106 6 d d du d u d d cos, si,, si si υ υ cos cos cos cos d d si cos si cos

107 cos ( ) ( ). Исходной функции () ( ) ~ S( ) 4 соответствует ряд ( ) ( ( ) )cos si. Функция () непрерывна во всех внутренних точках отрезка [-,], поэтому согласно теореме Дирихле во всех этих точках имеем равенство ( ) S( ) 7

108 8 si si si 5 cos5 cos cos 6 4 ) ( ) ( S т.е. В точках ± cумма S() ряда равна. ) ( ) ( ) ( ) ( S S

109 Y y S() p p -p О p p X.5 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций 9

110 Если разлагаемая на отрезке [-,] в ряд Фурье функция () является четной или нечетной, то это найдет отражение на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и сам ряд при этом становится неполным. Если функция () четная, то ее ряд Фурье имеет вид ( ) cos, где ( ) d, (.57) ( )cos d. (.58)

111 Это связано с тем, что произведение четной функции на нечетную дает нечетную функцию, а интеграл на симметричных пределах от нечетной функции равен нулю. Таким образом, разложение четной функции в ряд Фурье, будет содержать «только косинусы». Если функция () нечетная, то произведение ( ) cos есть функция нечетная. Тогда ( ) d, (.59) ( )cos d, (.6)

112 b k ( )si d ( )si d, (.6) Таким образом, ряд Фурье от нечетной функции содержит «только синусы» ( ) b si. (.6)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е З А 4 С Е М Е С Т Р Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В Г Ф 2 1-4, 7-8. Май 2011 г. Лектор Лисеев И.А.

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции.

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные,

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 9-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Необх. усл. равномерной сходимости функц. ряда f x): f 0. A Исследовать функ. ряд на сх-ть:

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее

n p. p параметр. (При p = 1 получается простой гармонический ряд.)

n p. p параметр. (При p = 1 получается простой гармонический ряд.) Лектор Лисеев И.А. А Ф -, + Ф П К - О с е н ь 0 0 4 г о да. Весна 006 (Г Ф -, 4 Р а з д е л РЯДЫ ( С в о д к а р е з у л ь т а т о в Н ач ин аем Понятие ряда. Общий член ряда. Частичная сумма ряда. Сумма

Подробнее

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания и контрольные задания Рязань 5 УДК

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС «ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫ

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые и функциональные ряды Случайные события в теории вероятностей

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей

Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей Федеральное агентство по сельскому озяйству Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математики

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия и свойства.. Определение числового ряда и его суммы. Пусть задана бесконечная последовательность чисел ) u, u, K, u,k. (.) (Напомним, что

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее