ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г О О Б Р А З О В А Н И Я «С А Н К Т - П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д А РСТ В Е Н Н Ы Й М О Р С К О Й Т Е Х Н И Ч Е С К И Й У Н И В Е Р С И Т Е Т» в г. С Е В Е Р О Д В И Н С К Е Кафедра «Прикладной математики и программирования» Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению контрольных работ Часть Северодвинск г.

2 УДК 58 к.т.н., доцент Е. В. Лимонникова, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ по дисциплине «Вычислительная математика» для студентов специальности 5 кафедра "Прикладная математика и программирование" Тематический план года Ответственный редактор: зав. кафедрой 4, к.ф-м.н. И.А. Микляев Рецензенты: Внутренний: к.т.н., доцент О.И. Бедердинова Внешний: программист ООО «ПО-Проект» Акимкин Д.В. Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Вычислительная математика» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 5. В данных методических указаниях содержатся пояснения и примеры выполнения контрольных работ по основным разделам дисциплины «Вычислительная математика»: «Приближённые числа», «Решение нелинейных уравнений», «Алгебра матриц», «Решение систем линейных алгебраических уравнений», «Интерполирование функций». Лицензия на издательскую деятельность код. Серия ИД. 74 от мая г. ISBN Севмашвтуз, г.

3 Содержание АННОТАЦИЯ Приближённые числа Абсолютная и относительная погрешности Округление чисел Классификация погрешностей Погрешность суммы Погрешность разности Погрешность произведения Погрешность частного Относительная погрешность степени Относительная погрешность корня Пример вычисления выражения с приближёнными числами Содержание раздела контрольной работы «Приближённые числа» Задание на раздел «Приближённые числа» Содержание раздела «Приближённые числа».... Приближённое решение алгебраических нелинейных уравнений..... Отделение корней... Табличное отделение корней... 4 Графическое решение уравнений Метод половинного деления Способ пропорциональных частей метод хорд Метод Ньютона метод касательных Комбинированный метод Метод итерации... Выбор функции Содержание раздела контрольной работы «Решение нелинейных уравнений» Задание на раздел «Решение нелинейных уравнений» Содержание раздела «Решение нелинейных уравнений» Контрольные вопросы Решение систем линейных уравнений Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений Решение систем с помощью обратной матрицы Метод Крамера Метод Гаусса Метод итерации Метод Зейделя Содержание раздела контрольной работы «Решение систем линейных алгебраических уравнений»... 4

4 .7.. Задание на раздел «Решение систем линейных алгебраических уравнений» Содержание раздела «Решение систем линейных алгебраических уравнений» Контрольные вопросы Интерполирование функций Конечные разности различных порядков Таблица разностей Постановка задачи интерполирования Первая интерполяционная формула Ньютона Вторая интерполяционная формула Ньютона Интерполяционная формула Лагранжа Содержание раздела контрольной работы «Интерполирование функций» Задание на раздел «Интерполирование функций» Содержание раздела «Интерполирование функций» Контрольные вопросы... 5 ЛИТЕРАТУРА... 5 Приложение Приложение Приложение Приложение

5 5 АННОТАЦИЯ Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Вычислительная математика» разработан для специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Целью изучения данной дисциплины является закрепление студентами знаний и умений в области математических вычислений. Инженеры данных специальностей должны уметь использовать особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ, а также должны знать: - математические программные системы, - погрешности вычислений; и уметь: - выполнять математические вычисления на ЭВМ и с помощью математических программных систем По окончанию курса студенты должны получить знания в области - теоретических основ численных методов; - численных методов линейной алгебры; и уметь: - решать нелинейные уравнения; - решать системы линейных алгебраических уравнений; - выполнять расчёт интерполяционных полиномов;

6 6. Приближённые числа... Абсолютная и относительная погрешности Приближённым числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а < A, то а называется приближённым значением числа А по недостатку; если же а > A, то по избытку. Например, для число,4 будет приближённым значением по недостатку, а,4 - по избытку, так как,4< <,4. Если а есть приближённое значение числа А, то пишут а А. О. Абсолютной погрешностью приближённого числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е. = А - а.. О. Под предельной абсолютной погрешностью приближённого числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Т.о., если а предельная абсолютная погрешность приближённого числа а, заменяющего точное число А, то = А - а а.. От сюда следует, что точное число А заключено в границах а - а А а + а.. Следовательно, а - а есть приближение числа А по недостатку, а а + а приближение числа по избытку. О Относительной погрешностью приближённого числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа А А, т.е..4 A О 4 Предельной относительной погрешностью а данного приближённого числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем: а.5.. Округление чисел Рассмотрим некоторое приближённое или точное число а, записанное в десятичной нумерации. Часто бывает надобность в округлении этого числа, т.е. замене его числом а с меньшим количеством значащих цифр. Число а выбирают так, чтобы погрешность округления а а была минимальной.

7 7 Правило округления по дополнению. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасываются все его цифры, стоящие справа от п-й значащей цифры, или, если нужно для сохранения разрывов, заменяют их нулями. При этом: если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения; если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица; если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные числа являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она нечётная правило чётной цифры. При применении правила округления погрешность округления не превосходит ½ единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой. Пример.. Округляя число =, до пяти, четырёх и трёх значащих цифр, получим приближённые числа,46;,4;,4 с абсолютными погрешностями, меньшими ½* 4 ; ½* и ½*. Пример.. Округляя число,5 до двух значащих цифр, получим приближённое число, с абсолютной погрешностью, равной ½* =,5... Классификация погрешностей. Погрешность суммы Теорема. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближённых чисел не превышает суммы абсолютной погрешности этих чисел. = х + х + +х п..6 Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых = х + х + + хп..7 Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует: выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения; остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака; произвести сложение данных чисел, учитывая все сохранённые знаки;

8 8 полученный результат округлить на один знак.. Погрешность разности. Рассмотрим разность двух приближённых чисел =. Предельная абсолютная погрешность разности = х + х, т.е. предельная абсолютная погрешность разности равно сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Отсюда предельная относительная погрешность разности.8 A где А точное значение абсолютной величины разности чисел х и. Погрешность произведения. Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел Формула.9, очевидно, остается верной также, если сомножители х i i =,,... п имеют различные знаки. Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е. = Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно: округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей; в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей. 4. Погрешность частного. Если y, то l = l l y и Отсюда y. y y. y

9 9 Теорема. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей, делимого и делителя. Следствие. Если = /y, то = + y.. 5. Относительная погрешность степени. Пусть = m т натуральное число, тогда l и = т l и, следовательно m. Отсюда m т. е. предельная относительная погрешность т-й степени числа в т раз больше предельной относительной погрешности самого числа. 6. Относительная погрешность корня. Пусть теперь m тогда m =. m. т. е. предельная относительная погрешность корня т-й степени в т раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа..4. Пример вычисления выражения с приближёнными числами Рассчитать приближённое значение выражения где =.49, =.9, =.744, все указанные знаки в числах верные. Решение: Из заданных значений определяем количество знаков после запятой для наименее точного числа. В данном примере наименее точным числом является =.49, следовательно, в результате верными будут только знака после запятой. Для того чтобы погрешность в результате не перешла и на указанные знаки расчёт выполняется с - запасными знаками после запятой. Исходя из указанного замечания расчёт точных чисел будем выполнять с запасным знаком, то есть с -мя знаками после запятой, а погрешности ввиду малости их значений с -мя запасными знаками, то есть с 4-мя знаками после запятой. Учитывая, что все указанные знаки в числах,,, значения абсолютных погрешностей принимает равными.,.,.. Тогда относительные погрешности указанных величин составят:

10 ....4,., Заданное выражение разбивается на части согласно рангам действий и в соответствии с ними выполняется расчёт промежуточных значений и их погрешностей. Расчёт числителя: Подкоренное выражение:.44 ; абсолютная погрешность разности определяется как..., тогда относительную погрешность разности можно найти из выражения: Корень: ; относительную погрешность корня:.48.4 ; абсолютная погрешность корня: Произведение ; относительную погрешность произведения:.4..5 ; абсолютная погрешность произведения: Тогда результат в числителе можно определить как: абсолютная погрешность числителя: относительную погрешность числителя:.58.5.

11 Расчёт знаменателя: Степенное выражение: относительную погрешность степенного выражения:.. ; абсолютная погрешность произведения: Произведение ; относительную погрешность произведения:.4..5 ; абсолютная погрешность произведения: Тогда результат в знаменателе можно определить как: ; абсолютная погрешность знаменателя: ; относительную погрешность знаменателя: Расчёт исходного выражения: Исходное выражение: Относительная погрешность исходного выражения: ; абсолютная погрешность исходного выражения: Округляем полученные значения и до указанного ранее точного числа знаков поле запятой, то есть до двух и записываем ответ в виде:.6.5

12 .5. Содержание раздела контрольной работы «Приближённые числа».5.. Задание на раздел «Приближённые числа» Задание: Рассчитать приближённое значение выражения U,, при заданных,, считая, что все указанные знаки в,, верные. Исходные данные для выполнения данного раздела контрольной работы содержатся в приложении..5.. Содержание раздела «Приближённые числа» задание на выполнение контрольной работы; решение задачи с описанием основных промежуточных вычислений; результаты вычисления должны быть представлены в виде.

13 . Приближённое решение алгебраических нелинейных уравнений.. Отделение корней Пусть дано уравнение f =.. где функция fх определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале а < х <b. Всякое значение, обращающее функцию fх в нуль, т. е. такое, что f =, называется корнем уравнения. или корнем нулем функции f. Будем предполагать, что уравнение. имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения. существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения. обычно складывается из двух этапов: отделение корней, т. е. установление возможно тесных промежутков [, ], в которых содержится один и только один корень уравнения.; уточнение приближенных корней, т. е. доведение их до заданной степени точности. Теорема.. Если непрерывная функция fх принимает значения разных знаков на концах отрезка [, ], т. е. ff<, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f х =, т. е. найдется хотя бы одно число, такое, что f = рис... Корень заведомо будет единственным, если производная f существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала,, т.е. если f х > или f х < при < х < рис... Рис.. Рис..

14 4 Табличное отделение корней Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции fх в граничных точках х = а и х = b области ее существования. Затем определяются знаки функции fх в ряде промежуточных точек =,,..., выбор которых учитывает особенности функции fх. Если окажется, что f k f k+ <, то в силу теоремы. в интервале k, k+, имеется корень уравнения fх =. Нужно тем или иным способом убедиться, является ли этот корень единственным. Для отделения корней практически часто бывает достаточно провести процесс половинного деления, приближенно деля данный интервал, на две, четыре, восемь и т. д. равных частей до некоторого шага и определяя знаки функции fх в точках делений. Полезно помнить, что алгебраическое уравнение -й степени a a... a a имеет не более п действительных корней. Поэтому если для такого уравнения мы получили + перемену знаков, то все корни его отделены. Пример.. Отделить корни уравнения f Решение. Составляем приблизительную схему: 6 f f Следовательно, заданное уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах,,, и,. Если существует непрерывная производная f' и корни уравнения f' = легко вычисляются, то процесс отделения корней уравнения можно упорядочить. Для этого, очевидно, достаточно подсчитать лишь знаки функции fх в точках корней ее производной и в граничных точках х = а и х = b. Графическое решение уравнений Действительные корни уравнения.: f = приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции у = f х с осью Ох рис... Если уравнение. не имеет близких

15 5 между собой корней, то этим способом его корни легко отделяются. На практике часто бывает выгодно уравнение. заменить равносильным ему уравнением =,. где функции х и более простые, чем функция f х. Тогда, построив графики функций y= и у=, искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Пример.. Графически решить уравнение lg = Решение. Запишем заданное уравнение в виде равенства lg = /. Отсюда ясно, что корни уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой у = lg и гиперболы y = /. Построив эти кривые рис.. на координатной бумаге, приближенно найдем единственный корень =.5 уравнения. Рис.... Метод половинного деления Пусть дано уравнение.: f =. где функция f непрерывна на [а, b] и fа fb<. Для нахождения корня уравнения., принадлежащего отрезку [а, b], делим этот отрезок пополам. Если fa + b / =, то = a + b / является корнем уравнения. Если fa + b /, то выбираем ту из половин [a, a + b /] или [a + b /, b], на концах которой функция f х имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [а, b ] снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения., или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [а, b ], [а, b ],... [a, b ],... таких, что fa fb < =,,.

16 6 Вычисления продолжаем до тех пор, пока интервал [a, b ] ε, то есть b a ε, где ε погрешность расчёта. Корнем уравнения. будет являться середина последнего отрезка: a b Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы. Пример.. Методом половинного деления уточнить корень уравнения f 6 + =, лежащий на отрезке [.,.4] с точностью ε = 4. Решение. Функция в границах интервала принимает следующие значения f. =.7; f.4 =.6; Выполняя последовательные приближения, имеем: a b.5, f.5 =.57, так как f. f.5<, то новый интервал принимает вид [.;.5]. Ширина интервала.5. > ε. a.5, f.5 =.84, так как f.5 f.5<, то новый интервал принимает вид [.5;.5]. Ширина интервала.5.5 > ε.75, f.5 =.4, так как f.75 f.5<, то новый интервал принимает вид [.75;.5]. Ширина интервала.5.75 > ε 4.48, f.48 =.9, так как f.75 f.48<, то новый интервал принимает вид [.75;.48]. Ширина интервала > ε , f.46 =.4, так как f.75 f.46<, то новый интервал принимает вид [.75;.46]. Ширина интервала > ε 5 6.9, f.9 =.46, так как f.9 f.46<, то новый интервал принимает вид [.9;.46]. Ширина интервала.46.9 > ε

17 , f.98 =., так как f.98 f.46<, то новый интервал принимает вид [.98;.46]. Ширина интервала > ε , f.4 =., так как f.98 f.4<, то новый интервал принимает вид [.98;.4]. Ширина интервала.4.98 > ε , f.4 =.9, так как f.98 f.4<, то новый интервал принимает вид [.98;.4]. Ширина интервала.4.98 > ε , f.99 =., так как f.98 f.99<, то новый интервал принимает вид [.98;.99]. Ширина интервала ε Следовательно, корнем уравнения будет являться: Способ пропорциональных частей метод хорд В соответствии с методом хорд выбирается отрезок, содержащий один корень уравнения., и проверяется условие знакопостоянства производных f и f в окрестности искомого корня. При выборе начального приближения следую следующим правилам: неподвижен тот конец. для которого знак функции f совпадает со знаком ее второй производной f"; последовательные приближения х лежат по ту сторону корня, где функция f имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f". В обоих случаях каждое следующее приближение х + ближе к корню, чем предшествующее. Таким образом, если выполняется условие fa f"a >, то неподвижен конец интервала = a, а приближение будет происходить со стороны точки = b по формуле: f a f f a =,,,.4 если выполняется условие fb f"b >, то неподвижен конец интервала = b, а приближение будет происходит со стороны точки = a по формуле:

18 8 f f b f b.5 Вычисления заканчиваются, когда в двух последовательных итерациях будет совпадать необходимое число значащих цифр, т.е. выполняться условие i+ i, где - заданная точность определения корня. Пример.4. Методом хорд уточнить корень уравнения f 6 + =, лежащий на отрезке [.,.4] с точностью ε = 4. Решение. Функция в границах интервала принимает следующие значения f. =.7 > ; f.4 =.6 < ; Первая производная функции f: f ' 6, на интервале [.,.4] принимает отрицательный знак f '. < ; f '.4 <. Вторая производная функции f: f '' 6, на интервале [.,.4] принимает положительный знак f ''. > ; f ''.4 > Так как f. f ''. >, а f.4 f ''.4 <, то в качестве начального приближения выбирается точка =.4, а стационарной будет точка a =.. В этом случае расчёт будет выполняться по формуле.7: f a. f f a Выполняя последовательные приближения, имеем: f.6 a ; f f a.6.7 f =.5;. 597 расчёт необходимо продолжить. f.5 a ; f f a.5.7 f =.;. 4 расчёт необходимо продолжить. f. a ; f f a..7 f = ; расчёт окончен. Следовательно, корнем уравнения будет являться:. 99

19 9.4. Метод Ньютона метод касательных Пусть корень уравнения. f =. отделен на отрезке [а, b] причем f' и f" непрерывны и сохраняют определенные знаки при а х b. Найдя какое-нибудь -е приближенное значение корня a b, мы можем уточнить его по методу Ньютона используя следующую формулу: f. =,,,.6 f ' Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f касательной, проведенной в некоторой точке кривой рис..7. Рис..7 Выбор начального приближения осуществляется в соответствии с неравенством f f..7 Пример.5. Методом Ньютона уточнить корень уравнения f 6 + =, лежащий на отрезке [.,.4] с точностью ε = 4. Решение. Функция в границах интервала принимает следующие значения f. =.7 > ; f.4 =.6 < ; Первая производная функции f: f ' 6, на интервале [.,.4] принимает отрицательный знак f '. = 5.7 < ; f '.4 = 5.5 <. Вторая производная функции f:

20 f '' 6, на интервале [.,.4] принимает положительный знак f ''. > ; f ''.4 > Так как f. f ''. >, а f.4 f ''.4 <, то в качестве начального приближения выбирается точка =., f ; f ' 5.7 f =.5;. 96 расчёт необходимо продолжить. f ; f ' f = ;. расчёт необходимо продолжить. f ; f ' f = ; расчёт окончен. Следовательно, корнем уравнения будет являться: Комбинированный метод Пусть f а f b <, a f ' и f '' х сохраняют постоянные знаки на отрезке [а, b]. Соединяя способ пропорциональных частей и метод Ньютона, получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения f =. Приближения корня вычисляются по следующим формулам f.8 f f f =,,,.9 f ' Выбор начальных приближений осуществляется в соответствии с неравенствами f f f f Если допустимая абсолютная погрешность приближенного корня х задана заранее и равна, то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что. По окончании процесса за значение корня лучше всeгo взять среднее арифметическое полученных последних значений: Пример.6. Комбинированным методом уточнить корень уравнения

21 f 6 + =, лежащий на отрезке [.,.4] с точностью ε = 4. Решение. Функция в границах интервала принимает следующие значения f. =.7 > ; f.4 =.6 < ; Первая производная функции f: f ' 6, на интервале [.,.4] принимает отрицательный знак f '. = 5.7 < ; f '.4 = 5.5 <. Вторая производная функции f: f '' 6, на интервале [.,.4] принимает положительный знак f ''. > ; f ''.4 > Так как f. f ''. >, а f.4 f ''.4 <, то в качестве начального приближения для метода Ньютона выбирается точка =., =.4. f ; f ' 5.7 f f f.7.6 f =.5; f ' = 5.654; f =.5;. 7 расчёт необходимо продолжить. f ; f ' f f f.5.5 f = ; f = ; расчёт окончен. Следовательно, корнем уравнения будет являться: Метод итерации Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение. f = где fх непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение.4 равносильным уравнением =.

22 Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения.4. Тогда получим некоторое число =. Подставляя теперь в правую часть равенства.5 вместо число получим новое число х =. Повторяя этот процесс, Будем иметь последовательность чисел = - =,,. Если эта последовательность сходящаяся, т. е. существует предел lim, то, переходя к пределу в равенстве 4 и предполагая функцию непрерывной, найдем: lim lim или =.. Таким образом, предел является корнем уравнения. и может быть вычислен по формуле. с любой степенью точности. а б Рис..9. Геометрическая интерпретация метода итерации На рис..9 кривая y = в окрестности корня пологая, т. е. ' х <, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где ' х >, то процесс итерации может быть расходящимся рис... Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

23 Рис.. Теорема.. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке [а, b], причем все ее значения х[а, b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что ' q <.4 при а < х < b, то: процесс итерации = - =,,.5 сходится независимо от начального значения [а, b]; предельное значение lim является единственным корнем уравнения.4: = на отрезке [а, b]. Сходимость процесса итерации будет тем быстрее, чем меньше число q. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений и не будет обеспечено выполнение неравенства q q где заданная предельная абсолютная погрешность корня и ' q. Выбор функции. При выборе преобразования исходного уравнения. f = к виду.4 = не раз возникает вопрос: какое из возможных преобразований было бы лучшим выполнялось условие сходимости теорема. и позволило вычислить корень. Так, например, выражения вида:

24 4 + si = можно преобразовать следующим образом: si ; si ; = si ; arcsi 4. Однако далеко не для всякого преобразованного выражения будет выполняться условие сходимости на требуемом интервале. Поэтому было предложено выражение вида.4 получать в следующей форме: = + f. где параметр, определяемый из условия.8. Если функция f имеет на [а, b] ограниченную производную и неравеств:, M, M ma f ' M [a,b] при f ' при f ', то можно определить из. Выбрав, удовлетворяющее этим условиям, строим итерационную последовательность i + = i + f i. которая сходится к корню х = при любом выборе начального приближения [а, b]. Критерием окончания итераций для получения результата с заданной точностью является выполнение неравенства. i i Пример.7. Методом итерации уточнить корень уравнения f 6 + =, лежащий на отрезке [.,.4] с точностью ε = 4. Решение. Функция в границах интервала принимает следующие значения f. =.7 > ; f.4 =.6 < ; Первая производная функции f: f ' 6, на интервале [.,.4] принимает следующие значения: f '. = 5.7 < ; f '.4 = 5.5 <. M ma f ' 5.7. [.,.4]

25 5 Выберем значение : так как f 'х принимает отрицательные значения на интервале поиска, то значение должно находиться в границах. M значение середины интервала, т.е. 75., M. Присвоим Таким образом, выражение для поиска корня исходного уравнения методом итерации примет вид: = Проверим условие сходимости полученного выражения, для этого найдём первую производную функции ': ' = Так как модуль первой производной функции на всём интервале поиска меньше единицы '. =.75 < ; '.4 =.4 <, то процесс итерации будет сходящимся. В качестве начального приближения по методу итерации примем то значение из границ интервала, в котором будет достигать наименьшее значение ', в нашем случае =.. = = расчёт необходимо продолжить. = =.99.. расчёт необходимо продолжить. = =.99. расчёт необходимо продолжить. Следовательно, корнем уравнения будет являться: Содержание раздела контрольной работы «Решение нелинейных уравнений».7.. Задание на раздел «Решение нелинейных уравнений» Задание : С помощью ЭВМ уравнения, используя табличный и графический способы, отделить минимальный по модулю корнесодержащий интервал заданного уравнения F = Задание : Уточнить значение корня на найденном интервале исходного уравнения с точностью до 6 а методом половинного деления б методом хорд, в методом Ньютона, б комбинированным методом,

26 6 в методом простых итераций. Задание : Рассчитать трудоёмкость методов, считая за единицу одну выполняемую операцию. Провести сравнение. Исходные данные для выполнения данного раздела контрольной работы содержатся в приложении..7.. Содержание раздела «Решение нелинейных уравнений» задание на выполнение контрольной работы; график функции y=f с отделенными корнями; результаты вычисления корня методом половинного деления; результаты вычисления корня методом хорд, включая исследование сходимости в окрестности корня и выбор начального приближения; результаты вычисления корня методом Ньютона, включая исследование сходимости в окрестности корня и выбор начального приближения; результаты вычисления корня комбинированным методом, включая исследование сходимости в окрестности корня и выбор начальных приближения; определение параметров и q в методе простых итераций, результаты вычисления корня методом итерации; сравнение результатов и анализ трудоёмкости использованных методов..8. Контрольные вопросы. В связи с чем задача определения корней нелинейного уравнения разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней?. Назовите известные Вам методы отделения и уточнения корней.. Дайте сравнительную характеристику графического и табличного методов отделения корней. 4. Дайте графическую интерпретацию методов Ньютона, простых итераций, половинного деления. 5. Что такое скорость сходимости и чему она равна у методов Ньютона и половинного деления? 6. Как оценить трудоемкость вычислений при определении корня тем или иным методом? 7. Дайте сравнительную характеристику методов Ньютона и половинного деления.

27 7. Решение систем линейных уравнений.. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы: точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы например, метод Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов и др., и итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путём сходящихся бесконечных процессов к их числу относятся метод итерации, метод Зейделя и др. Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближёнными, причём оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. При использовании итерационных процессов добавляется ещё погрешность метода... Решение систем с помощью обратной матрицы Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными a a... a b a a... a b. a a... a b Обозначим матрицу из коэффициентов системы.: a a... a a a... a A ;. a a... a столбец её свободных членов: b b B. b столбец из неизвестных искомый вектор:

28 8 X.4 Тогда система. кратко может быть записана в виде матричного уравнения AX = B..5 Совокупность чисел,,, или вектор Х, обращающих систему. в тождество, называется решением этой системы, а сами числа i её корнями. Если матрица А неособенная, т.е. a a... a... det a a a A.6 a a... a то система., или эквивалентное ей матричное уравнение.5, имеет единственное решение. При условии det А существует обратная матрица А. Умножая обе части уравнения.5 слева на матрицу А, получим А AX = А B Или X = А B.7 Формула 4.7 даёт решение уравнения.5. Пример. Решить методом обратной матрицы систему уравнений Решение. Запишем систему в матричной форме Определитель матрицы А данной системы

29 det A Так как матрица А неособенная, то метод обратной матрицы применим. Вычисление обратной матрицы состоит из двух этапов: нахождение алгебраических дополнений матрицы А; составление союзной матрицы А из алгебраических дополнений; непосредственное вычисление обратной матрицы. Найдём алгебраические дополнения для матрицы А A ; A ; A ; A ; A ; A ; A ; A ; A ; Составим союзную матрицу. A A A ~ A A A A A A A Вычислим обратную матрицу.

30 ~ det A A A Отсюда Значит, =.99; =.779; =.... Метод Крамера Как известно, ~ A A где A A A A A A A ~ матрица, союзная с А А ij алгебраические дополнения элементов a ij. Поэтому, ~ B X A или,.8 где j i i i i i i j ji i a a b a a a a b a a a a b a a b A,,,,,,

31 определители, получающиеся из определителя путём замены его i-го столбца столбцом свободных членов системы 4.. Из равенства.8 получаем формулы Крамера,, Следовательно, если определитель системы., то система имеет единственное решение X, определяемое матричной формулой.7 или эквивалентными ей скалярными формулами.9. Пример. Решить методом Крамера систему уравнений Решение. Запишем систему в матричной форме Определитель матрицы А данной системы Вычисляя дополнительные определители, получим: ; ; Отсюда ;.77; Таким образом решение линейной системы с неизвестными сводится к вычислению + -го определителя порядка.

32 .4. Метод Гаусса Наиболее распространённым приёмом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса. Для простоты рассуждения ограничимся рассмотрением системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными a a a a44 a5 a a a a44 a5 a a a a44 a. 5 a 4 a4 a4 a444 a45 Пусть а ведущий элемент. Разделив коэффициенты первого уравнения системы на а, получим: + b + b + b 4 4 = b 5. где b j = a j / a, j >. Пользуясь уравнением., легко исключить из системы. неизвестную х. Для этого достаточно из второго уравнения системы. вычесть уравнение., умноженное на а, из третьего уравнения системы. вычесть уравнение., умноженное на а, и т.д. В результате получим систему из трёх уравнений a a a4 4 a5 a a a4 4 a5. a 4 a4 a44 4 a45 где коэффициенты а ij i, j вычисляются по формуле а ij = а ij a i b j, i, j. Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы. на «ведущий элемент» а, получим уравнение + b + b 4 4 = b 5,. где b j = a j / a, j >. Исключая теперь х таким же способом, как мы исключили х, придём к следующей системе уравнений: a a4 4 a5.4 a4 a44 4 a45 где а ij = а ij a i b j, i, j. Разделив коэффициенты первого уравнения системы.4 на ведущий элемент а, получим: + b 4 4 = b 5,.5 где b j = a j / a, j >.

33 Исключив теперь х аналогичным путём из системы.4, будем иметь: a 44 4 = a 45,.6 где а ij = а ij a i b j, i, j 4. Отсюда х 4 = a 4j / a 44 = b 45.7 Остальные неизвестные последовательно определяются из уравнений.5,. и.: х = b 5 b 4 4, х = b 5 b 4 4 b, х = b 5 b 4 4 b b. Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы.,.,.5,.7, имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех ведущих элементов. Вычисления удобно поместить в таблицу. Приведённая в ней схема называется j схемой единственного деления. Процесс нахождения коэффициентов b ij треугольной системы обычно называется прямым ходом, процесс получения значения неизвестных обратным ходом. Таблица.. Схема единственного деления 4 Свободные члены а а а а 4 а а а а 4 b а а а 4 а а а а 4 b а а а 4 b а а 4 а 4 а 4 а 4 а 44 b 4 а 4 а 4 а 44 b 4 а 4 а 44 b 4 а 44 а 5 а 5 а 5 а 45 b 5 а 5 а 5 а 45 b 5 а 5 а 45 b 5 4 Разделы схемы A A A а 45 b 45 A Б

34 4 Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений Решение. В раздел А таблицы. впишем матрицу коэффициентов системы и её свободные члены. Далее заполняем последнюю четвёртую строку раздела А, деля первую строку на. на a. Переходим к заполнению раздела А таблицы. Взяв любой элемент раздела А не находящийся в первой строке, вычитаем из него произведение первого элемента его строки на последний элемент столбца, к которому он принадлежит, и записываем на соответствующее место в разделе А схемы. Например, выбрав а =., будем иметь: a = a a b = =.566. Чтобы получить последнюю строку раздела А, делим все члены первой строки этого раздела на а = Например, b a a.4. Аналогичным путём заполняются остальные разделы таблицы. Например, a = a a b = = 5.8. Для нахождения неизвестных используем строки, содержащие единицы, начиная с последней. Неизвестное х представляет собой свободный член последней строки раздела А : х = b 4 =.. Значения остальных неизвестных х, х получаются последовательно в результате вычитания из свободных членов строк суммы произведений соответствующих коэффициентов b ij на ранее найденные значения неизвестных. Имеем: = b 4 b =.7.4. =.77; = b 4 b b = =.9; Т.о. =.9; =.77; =..

35 5 Решение СЛАУ методом Гаусса a j a j a j b j Метод итерации. Таблица.. Разделы схемы A A При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней удобнее пользоваться приближёнными численными методами. Пусть дана линейная система.: a a... a b a a... a b a a... a b Введя в рассмотрение матрицы a a... a b a a... a A X b B a a... a b системы. коротко можно записать в виде матричного уравнения.5 AX = B. A Б

36 6 Предполагая, что диагональные коэффициенты a ii, i =,,,, разрешим первое уравнение системы относительно х, второе относительно х и т.д. Тогда получим эквивалентную систему где = b i / a ii; i j = a i j / a ii при i j и i j = при i = j i, j =,,,. Введя матрицы и... систему.8 можем записать в матричной форме Х = + Х.9 Систему.9 будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов Х =. Далее последовательно строим матрицы-столбцы Х = + Х первое приближение, Х = + Х второе приближение и т.д. Любое k + -е приближение вычисляют по формуле Х k + = + Х k k =,,,. Если последовательность приближений Х, Х,, Х k, имеет предел X lim X k, то этот предел является решением системы.8. k Напишем формулы приближений в развёрнутом виде: i i k k i i ij j. j ii ; i,..., ; k,,,... Теорема. Если для приведённой системы.8 выполнено по меньшей мере одно из условий

37 7 ij i =,,, или ij j =,,,,. j i то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения. В качестве условия достижения решения с заданной точностью принимают выполнение неравенства k i k i. Пример. Методом итерации решить систему уравнений с точностью 4. Решение: Из исходной системы выразим неизвестные и приведём её к виду: или в матричной форме Как видно из преобразованной системы оба условия сходимости. выполняются, следовательно, итерационный процесс будет сходящимся. Выполним поиск корней системы уравнений методом итерации по формуле.. В качестве начального приближения Х выберем столбец свободных членов Вычислим первые приближения:

38 > = 6, точность не достигнута. Вычислим вторые приближения > = 6, точность не достигнута. Дальнейшие результаты расчёта приведём в таблице Таблица.4. Приближения Таким образом =.9; =.77; =...6. Метод Зейделя Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении k+-го приближения неизвестной х i учитываются уже вычисленные ранее k+-е приближения неизвестных х,,, i. Пусть дана приведенная линейная система i i j ij j i,,,

39 9 Выберем произвольно начальные приближения корней,,,, стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным k Далее, предполагая, что k-е приближения i корней известны, согласно Зейделю будем строить k + -е приближения корней по следующим формулам: k k i k k i j j i j k ij j k j j k j j k j ji j j k j k k j k,,,....4 Заметим, что указанная выше теорема сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Пример. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью 4. Решение: Из исходной системы выразим неизвестные и приведём её к виду: или в матричной форме Как видно из преобразованной системы оба условия сходимости. выполняются, следовательно, итерационный процесс будет сходящимся. Выполним поиск корней системы уравнений методом итерации по формуле.. В качестве начального приближения Х выберем столбец свободных членов

40 4 Вычислим первые приближения: > = 6, точность не достигнута. Вычислим вторые приближения > = 6, точность не достигнута. Дальнейшие результаты расчёта приведём в таблице Таблица.4. Приближения Таким образом =.9; =.77; =...7. Содержание раздела контрольной работы «Решение систем линейных алгебраических уравнений».7.. Задание на раздел «Решение систем линейных алгебраических уравнений» Решить заданную систему уравнений см. приложение а методом обратной матрицы;

41 4 б методом Крамера; в методом Гаусса; г методом итерации; д методом Зейделя; с точностью Содержание раздела «Решение систем линейных алгебраических уравнений» - задание на выполнение контрольной работы; - решение системы уравнений с помощью обратной матрицы с подробным описанием основных этапов получения обратной матрицы; - решение системы уравнений методом Крамера с подробным описанием получения определителей матрицы; - этапы расчёта коэффициентов системы и таблицу вычислений для определения решения СЛАУ методом Гаусса; - преобразования, связанные с приведением СЛАУ к виду удобному для итераций и проверка сходимости итерационного процесса; - решение системы методом итерации и пошаговым сравнением сходимости итерационного процесса. - решение системы методом Зейделя и пошаговым сравнением сходимости итерационного процесса..8. Контрольные вопросы. В чем состоит отличие прямых методов решения СЛАУ от итерационных методов? Приведите примеры прямых итерационных методов.. Какова вычислительная схема метода Гаусса?. Как организуется контроль за вычислениями в прямом и обратном ходе в схеме единственного деления при ручном счете? Необходим ли татой контроль при вычислениях на ЭВМ? 4. Какие преимущества имеет метод Гаусса с выбором главного элемента перед обычной схемой единственного деления? 5. В чем заключается отличие итерационного процесса метода Зейделя от аналогичного процесса метода простых итераций? 6. Как формулируются достаточные условия сходимости итерационного процесса? Как эти условия связаны с выбором способа нормирования матрицы?

42 4 4. Интерполирование функций. 4.. Конечные разности различных порядков Пусть y = f заданная функция. Обозначим через х = h фиксированную величину приращения аргумента шаг. Тогда выражение y = f = f + f 4. называется первой конечной разностью функции y. Аналогично определяются конечные разности высших порядков y = y =,,. Например, y = [ f + f] = [f + f + ] [ f + f] = f + f + + f. Пример. Построить конечные разности для функции P =, считая шаг =. Решение. Имеем: P = + = + +, P = [ ] + + = 6 +6, P = [ ] = 6, 4 P = при >. Обратим внимание, что конечная разность третьего порядка функции P постоянна. 4.. Таблица разностей Часто приходится рассматривать функции y=f, заданные табличными значениями y i = f i для системы равноотстоящих точек i i=,,,..., где i = i+ i = h =cost. Конечные разности последовательности y i естественно определяются соотношениями y i = y i+ y i, y i = y i = y i+ y i, y i = y i = y i+ y i Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной таблицы разностей таблица или диагональной таблицы разностей таблица.

43 4 Горизонтальная таблица разностей y y y y y y y y y y y y y y y y Диагональная таблица разностей y y y y Таблица 4. Таблица 4. y y y y y y y y y y Пример. Составить горизонтальную таблицу разностей функции y = + от начального значения =, приняв шаг h=. Решение. Полагая =, =, =, находим соответствующие значения у =, у =, у =. Отсюда имеем: y = у у =, y = у у =, y = у у = 8. Эти значения заносим в таблицу таблица 4.. Так как наша функция есть полином третьей степени, то третья разность ее постоянна и равна y i =! =. Таблица 4.. Горизонтальная таблица разностей кубической функции y y y y

44 Постановка задачи интерполирования Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [а,b] заданы п+ точки,,,, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f в этих точках f = y, f = y,, f = y. 4. Требуется построить функцию Fх интерполирующая функция, принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f х, т. е. такую, что F = y, F = y,, F = y. 4. Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую у = F х некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M i i, у i i =,,,... рис. 4.. Рис. 4.. В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции Fх искать полином P степени не выше п, удовлетворяющий условиям 4., т. е. такой, что P = y, P = y,, P = y. Полученную интерполяционную формулу y=f обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции fх для значений аргумента х, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f х. При этом различают интерполирование в узком смысле, когда х х, х т. е. значение х является промежуточным между х и х, и экстраполирование. когда х х, х. В дальнейшем под термином интерполирование мы будем понимать как первую, так и вторую операции Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции y=f заданы значения y i = f i для равноотстоящих значений независимой переменной: i = + i h i =,,,, где h шаг

45 45 интерполяции. Требуется подобрать полином P степени не выше п, принимающий в точках i значения P i = y i i =,,,,. 4.4 Первая интерполяционная формула Ньютона: q q q q... q P y qy y... y, 4.5,!! q где h используется для интерполирования вперед, когда находится вначале промежутка интерполирования. Если в формуле 4.5 положить =, то получим формулу линейного интерполирования: P = y + q y. При п = будем иметь формулу параболического или квадратичного интерполирования: q q P y qy. y! Если дана неограниченная таблица значений функции у, то число п в интерполяционной формуле 4.5 может быть любым. Практически в этом случае число п выбирают так, чтобы разность y i была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение можно принимать любое табличное значение аргумента х. Если таблица значений функции конечна, то число п ограничено, а именно: п не может быть больше числа значений функции у, уменьшенного на единицу. Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы. Пример. Приняв шаг h =., построить на отрезке [;.] интерполяционный полином, используя первую интерполяционную формулу Ньютона для функции y = e. Используя первую интерполяционную формулу Ньютона найти приближённое значение в точке =.5. Вычислить абсолютную и относительную погрешность результата. Решение: Составим таблицу конечных разностей для заданного интервала функции.

46 46 Таблица 4.4 х y y y y В соответствии с формулой 4.8 составим интерполяционный полином, полагая =., шаг h =., q = /h = /. = : q q q q q P y qy y y!! Раскрыв все скобки, получаем выражение вида: P = Построим на одном графике функцию y = e и полином y = P. Рис. 4.. Как видно из графика заданная функция и полученный полином на заданном интервале интерполирования совпадают с высокой степенью точности. Используя первую интерполяционную формулу Ньютона рассчитаем приближённое значение функции y = e точке =.5. Полагая =., шаг h =., =.5, q = /h =.5 /. =.5:

47 47 q q q q q P.5 y qy y y!! Вычислим абсолютную и относительную погрешность результата. Учитывая, что y.5 = e.5 =.85765, то абсолютная погрешность результата составит: Δ = e.5 P.5 = =.4. Относительная погрешность:.4. e где 4.5. Вторая интерполяционная формула Ньютона Вторая интерполяционная формула Ньютона q. h q q P y qy y! q q... q... y,! q q q y! Её следует применять для интерполирования назад, когда находится в конце промежутка интерполирования. При этом в качестве или следует принять начальное или конечное значение х в зависимости от метода интерполирования. Пример. Приняв шаг h =., построить на отрезке [;.] интерполяционный полином, используя вторую интерполяционную формулу Ньютона для функции y = e. Используя вторую интерполяционную формулу Ньютона найти приближённое значение в точке =.5. Вычислить абсолютную и относительную погрешность результата. Решение: Используя таблицу конечных разностей для заданного интервала функции см. табл.4.4. В соответствии с формулой 4.6 составим интерполяционный полином, полагая =, =., шаг h =., q = /h =./. = :

48 48 q q q q q P y qy y y!! Раскрыв все скобки, получаем выражение вида: P = Построим на одном графике функцию y = e и полином y = P. Рис. 4.. Как видно из графика заданная функция и полученный полином на заданном интервале интерполирования совпадают с высокой степенью точности. Используя вторую интерполяционную формулу Ньютона рассчитаем приближённое значение функции y = e точке =.5. Полагая =., шаг h =., =.5, q = /h =.5./. =.5: q q q q q P y qy y y !! Вычислим абсолютную и относительную погрешность результата. Учитывая, что y.5 = e.5 =.85765, то абсолютная погрешность результата составит: Δ = e.5 P.5 = =.. Относительная погрешность: e


2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Методы решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений Лекция стр. Лекция Методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Дано: нелинейное уравнение f () =, где f () функция определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения,

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. Методические указания по выполнению курсовой работы

Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. Методические указания по выполнению курсовой работы Министрество образования Российской Федерации Филиал Санкт-Петербургского государственного морского Технического университета СЕВМАШВТУЗ Кафедра «Прикладной математики» Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 7 Раздел II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач Этапы численного решения задач Неустранимые погрешности решения Исследование объекта математическая модель алгоритм программирование проведение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. Часть 2.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. Часть 2. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Численные

Подробнее

(электронный ресурс)

(электронный ресурс) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Алексеева О.А. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Челябинск УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Численные методы: практикум. Челябинск: НОУВПО РБИУ,. 77 с. Рассматриваются наиболее распространенные методы численного

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ]

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ] Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА, МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОБОРУДОВАНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА, МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОБОРУДОВАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Галкина М.Ю. Лекции по курсу «Вычислительная математика»

Галкина М.Ю. Лекции по курсу «Вычислительная математика» Галкина М.Ю. Лекции по курсу «Вычислительная математика» Оглавление ГЛАВА.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, СЛОЖНОСТЬ И ТОЧНОСТЬ... Глава.Приближенные числа и правила работы с ними... 5 Глава.Приближение функций многочленами...

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ Интерполяция Интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений Пусть в ходе эксперимента при изменении

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Лабораторная работа по численным методам с решением

Лабораторная работа по численным методам с решением Лабораторная работа по численным методам с решением Задание 1. Рассмотрим функцию, где Провести математическое исследование графика функции. Построить эскиз графика функции. Изолировать нули функции, то

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Решение уравнения с одним неизвестным

Решение уравнения с одним неизвестным 1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Решение нелинейного уравнения 4 1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения 4 1.2 Отделение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее