ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ"

Транскрипт

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И Н Пирогова Г АТимофеева ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей Екатеринбург Издательство УрГУПС 4

2 УДК57 П Пирогова, И Н П Числовые и степенные ряды : учебно-метод пособие / И Н Пирогова, Г А Тимофеева Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 4 7, [] с Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с требованиями ФГОС к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированных бакалавров и специалистов по циклу «Общие математические и естественнонаучные дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования Предназначено для проведения лекционных, практических занятий и организации самостоятельной работы студентов Предлагаемая система дидактических материалов составлена на основе обобщения учебной литературы, рекомендуемой Министерством образования РФ, и многолетнего педагогического опыта профессорско-преподавательского коллектива кафедры «Высшая и прикладная математика» УрГУПС Соответствуют структуре изучения темы «Ряды» по дисциплинам «Математика» и «Математический анализ» всех специальностей УДК57 Печатается по решению редакционно-издательского совета университета Авторы: И Н Пирогова, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС Г АТимофеева, д-р физ-мат наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС Рецензенты: С С Титов, д-р физ-мат наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС А Н Сысекин, д-р физ-мат наук, профессор, зав кафедрой «Прикладная математика», УрФУ Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 4

3 Оглавление Введение 4 Методические указания по самостоятельной работе студентов5 Краткие теоретические сведения 6 Знакоположительные ряды 6 Основные понятия 6 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Теорема Лейбница 4 Степенные ряды 6 5 Ряд Тейлора Ряд Маклорена 6 6 Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление значений функций 7 Задания для типового расчета 46 4 Подготовка к тестированию 58 5 Варианты контрольной работы по теме «Ряды» 6 6 Примерные вопросы к экзамену 68 7 Методические советы по подготовке к сдаче экзамена 69 8 Библиографический список 7

4 Введение Цель данного пособия помочь студенту освоить тему «Ряды», которая, как показывает практика, оказывается очень трудной для восприятия студентов Эта тема входит в состав курса «Математика» или «Математический анализ» для студентов и бакалавров экономических и технических специальностей всех форм обучения Авторы систематизировали основной материал и изложили его в доступной форме В учебно-методическом пособии приведены основные теоретические сведения по теме «Ряды», подробно разобраны примеры решения задач по каждому разделу Для организации самостоятельной работы студентов в пособии приводится вариантов заданий типового расчета, а также задачи тестового типа для самостоятельного решения Все это направлено для наилучшей подготовки студентов к итоговой аттестации по дисциплине, в том числе к прохождению итогового тестирования Содержание пособия ориентировано на применение математических методов к решению прикладных задач В основу материала положены классическая теория математического анализа и современная практика её применения, использовались авторские разработки коллектива кафедры «Высшая и прикладная математика» УрГУПС Цель изучения темы совпадает с целью изучения всего курса «Математика» Цель дисциплины: последовательное формирование математической картины мира, определяющей общекультурные и профессиональные компетенции Задачи изучения дисциплины: развить логическое и алгоритмическое мышления студентов; воспитать культуру применения математических и информационных технологий для решения прикладных задач аналитическими и вычислительными методами; освоить математические методы исследования реальных процессов и явлений Изучение дисциплины направлено на формирование общекультурных компетенций: ОК- владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения 4

5 Изучение дисциплины направлено на формирование профессиональных компетенций: способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социальноэкономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-); способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5) Требования к результатам освоения темы «Ряды» (в соответствии с ФГОС подготовки бакалавра и ООП) В результате изучения дисциплины студент должен: знать основные свойства и применение рядов; уметь исследовать ряды на сходимость; владеть методами приближенных вычислений с помощью рядов Методические указания по самостоятельной работе студентов Самостоятельная работа студентов является одной из важнейших составляющих учебного процесса, в ходе которого происходит формирование знаний, умений и навыков и в дальнейшем обеспечивается усвоение студентом приемов познавательной деятельности и формирование способности решать профессиональные и научные задачи При изучении математики в вузе основной самостоятельной работой студентов является решение прикладных задач по изучаемому теоретическому материалу, выработка необходимых знаний и умений В данном разделе в соответствии с учебной программой содержатся краткие теоретические сведения и примеры решения задач Самостоятельная работа над предложенным учебным материалом поможет студентам выполнить необходимые контрольные работы и подготовиться к сдаче итогового экзамена 5

6 Краткие теоретические сведения Знакоположительные ряды Основные понятия Определение Пусть задана бесконечная последо вательность чисел a, a,, a, Сумма бесконечного числа слагаемых a + a + + a + a () называется числовым рядом, числа a i (i,, членами ряда Если слагаемыми ряда являются функции u ( ), то ряд называется функциональным Виды числовых рядов Если все члены числового ряда имеют положительный знак, то ряд называется знакоположительным Если знаки слагаемых различны, то ряд называется знакопеременным В частности, если знаки чередуются, то ряд называется знакочередующимся Примеры Ряд является знакоположительным, 4 8 ряд + + знакочередующимся 4 5 Пример функционального ряда:

7 Задачи для самостоятельного решения Определить, какой ряд является числовым, а какой функциональным Если это числовой ряд, то определить, знакоположительный он или знакочередующийся: 5 ( ) ( ) ( ) ), ), ),! + ( + ) ( ) 4), 5) ( + ) ( + ) Будем рассматривать суммы конечных числа членов числового ряда а S a S a + a S a + a + a а : ;, ; ; Частичной суммой S называется сумма первых членов ряда Рассмотрим числовую последовательность частичных сумм {S } Определение Если существует конечный предел последовательности частичных сумм: lim S S то ряд числовой ряд () называется сходящимся, а число S называется суммой ряда Если последовательность {S } расходится, то ряд () называется расходящимся Пример Для ряда 5! найти a 4, S, S, S Решение S 5, S 5 + 7,5, S 5 +,5 + 8,!!! 7

8 4 5 Найдем a4 : a 4 6,4 4! Пример Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии: a+ aq+ aq + + aq +, a Решение Если q, то для -й частичной суммы имеем известное выраже- a aq ние S a + aq + aq + + aq В случае q < существует q a a a предел lims lim q, т е данный ряд сходится q q q a a и его сумма есть число S, равное Получили, что aq q q при q < Если q >, то q при, и последовательность частичных сумм предела не имеет Геометрическая прогрессия в этом случае является расходящимся рядом При q геометрическая прогрессия имеет вид a + a + + a, + > поэтому < т е ряд является расходящимся При q имеем ( ) a a a+ a a+ ( ) a+ Образуем частичные суммы S a, S a a, S S + a а,, т е Такая последовательность частичных сумм при предела не имеет, ряд расходится 8

9 Итак, геометрическая прогрессия сходится при q < и расходится при q Пример Дан ряд Найти сумму первых членов ряда, доказать ( + ) сходимость ряда, пользуясь определением, и найти сумму ряда Решение Рассмотрим -й член ряда и представим его в более удобном виде ( + ) a ( + ) ( + ) + Составим сумму первых членов ряда: S a + a + + a Отсюда lims lim, + те данный ряд сходится и его сумма равна, то есть ( + ) Задачи для самостоятельного решения ( ) ) Для ряда найти а ( + ) Вычислить S, S, S + ) Для ряда найти а 6 4 Вычислить S, S, S ) Дан ряд ( + ) Найти сумму первых членов ряда, доказать сходимость ряда, пользуясь определением, и найти сумму ряда 9

10 Ответы ) a ; S ; S ; S ) a 4 ; S,8; S,4; S 5, ) S, Некоторые свойства сходящихся рядов S 8 Если в ряду () a + a + + a + a+ + + a+ N + отбросить первых членов ряда, то получится ряд a+ + a+ + + a+ N + (), называемый остатком ряда () после -го члена ряда, или -м остатком ряда В случае сходимости ряда () его сумму называют остаточной суммой и обозначают r : Теорема r a+ + a+ + + a+ N + Если сходится ряд (), то сходится и любой из его остатков () и наоборот Следствие Если ряд () сходится, то его остаточные суммы r при стремятся к нулю: Теорема limr Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать Получившиеся ряды тоже будут сходящимися Теорема Если все члены сходящегося ряда () почленно умножить на число C, то полученный ряд также сходится

11 Теорема 4 Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то предел -го члена ряда равен нулю: lima Например, ряд сходится и lim + + Но этот признак не является достаточным для сходимости ряда Так, например, ряд расходится (будет доказано далее), хотя lim Теорема 5 Достаточный признак расходимости ряда Если предел -го члена ряда не равен нулю lima, то ряд расходится Пример Рассмотрим сходимость ряда Решение + Используем достаточный признак расходимости lima lim +, и поэтому ряд расходится Пример 5 Исследовать сходимость числового ряда + 6 Решение Для этого ряда удобно использовать достаточный признак расходимости Найдем предел -го члена ряда: 5 lima lim lim Следовательно, ряд расходится + 6

12 Пример + Исследовать сходимость ряда l Решение + Общий член ряда имеет вид a l Найдем предел -го члена ряда: lima lim l lim l + l( + ) l + Следовательно, требуется дополнительное исследование Воспользуемся определением сходимости ряда Найдем выражение для частичных сумм ряда: S a + a + + a l + l + + l l l l Следовательно, наш ряд расходится Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Признаки сравнения Рассмотрим далее признаки сравнения для знакоположительных рядов Будем считать, что ряд b эталонный, т е с извест- ной сходимостью (расходимостью) В качестве эталонных рядов берут следующие aq бесконечная геометрическая прогрессия, которая сходится при q < и расходится при q Гармонический ряд расходится Обобщенный гармонический ряд s Он сходится при s > и расходится при s < (О сходимости и расходимости второго и третьего эталонных рядов будет сказано позднее)

13 Теорема 6 Если ряд b сходится, и, начиная с некоторого номера : а b, то ряд a тоже сходится Пример Исследовать сходимость ряда Решение ( ) + Возьмем в качестве эталонного ряда бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:, q < ряд сходится Сравним члены исходного и эталонного рядов: >, >, 4 >, ( + ) По теореме ряд сходится ( ) + Теорема 7 Если ряд b расходится, b, и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство a b, то ряд a тоже расходится Пример Исследовать сходимость ряда: 5 + Решение 5 Возьмем в качестве эталонного ряд Он расходится, так как 5 это геометрическая прогрессия со знаменателем q > Сравним члены исходного и эталонного рядов:

14 >, >, > > Следовательно, по теоре ме исходный ряд расходится Теорема 8 a Если ряд b сходится (расходится), b, и lim k, где k b конечное число, отличное от нуля, то ряд a, a, соответственно, тоже сходится (расходится) Пример Исследовать сходимость ряда Решение + 5 Общий член ряда равен a Возьмем за эталонный ряд b, Он сходится (s > ) a ( + 5) Рассмотрим lim lim Следовательно, исходный ряд тоже сходится (теорема 4 b (4 8 5) 4 8) Замечание Для подбора эталонных рядов используются эквивалентные бесконечно большие величины Как известно, многочлен a + a + + a степени при эквивалентен своему старшему члену a, так как a + a + + a lim a При решении предыдущей задачи + 5 заменяем эквивалентной бесконечно большой функцией, а многочлен эквивалентен 4 4 Получаем, что ряд для сравнения имеет общее сла- 4

15 гаемое вида 4, поэтому для сравнения выбран эталонный 4 4 ряд b Задачи для самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды ( + ) Ответы ( + 7) Сходится Сходится Сходится 4 Расходится 5 Сходится 6 Сходится 7 Расходится Признак Даламбера Теорема 9 Пусть задан знакоположительный ряд a + a + + a и существует предел lim L Тогда, если L <, то ряд сходится, а если L >, a + a ряд расходится Если L, то неизвестно, сходится или расходится ряд, и вопрос о сходимости ряда надо решать другими методами Пример Исследовать сходимость ряда Решение 5 ( )! + Будем использовать признак Даламбера Имеем 5

16 a 5, ( + )! ( + )! a Вычислим предел + a + 5 ( + )! 5( + )! 5 lim lim lim lim, L < a ( )! 5 ( )! ( ) и по признаку Даламбера наш ряд сходится Здесь было использовано свойство факториала ( + )! ( + )!( + ) Пример Исследовать сходимость ряда + Решение Применим опять признак Даламбера + a, a +, + ( + ) + a + + (( + ) + ) lim lim, a ( + ) L > По признаку Даламбера ряд расходится Пример! Исследовать сходимость ряда Решение Применим опять признак Даламбера! ( + )! ( )! a, a + ( + ) lim a + lim +, ( ) + a! + ( + ) lim lim ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) lim lim e + < + + 6

17 Следовательно, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится Задачи для самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды + 4 ( ) ( )! π si 5 ( + 5)! + ( + )! 6 + 7( + ) 4 ( + 7)! Ответы Сходится Расходится Сходится 4 Сходится 5 Сходится 6 Расходится Интегральный признак сходимости рядов Теорема Пусть задан числовой знакоположительный ряд a, члены которого монотонно убывают, то есть a + a Подберем функцию f() так, что a f() Эта функция должна быть положительна, непрерывна и монотонно убывать в области [,) Тогда, если несобственный интеграл f ( ) d сходится, то и исходный ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится Пример Исследовать сходимость ряда число s, s любое положительное 7

18 Решение Имеем a f( ) s Функция f( ) удовлетворяет (как s и исследуемый ряд) всем условиям теоремы 9 Исследуем сходимость несобственного интеграла при s : d d, s > ; s +, s < b b s lim lim s s b b s b d d b При s lim l b + Следовательно, данный ряд сходится при степени s > и расходится при s Пример arctg( ) Исследовать сходимость ряда: + Решение arctg( ) Рассмотрим общий член ряда a arctg + f( ) Вычислим несобственный интеграл + и функцию b arctg( ) (arctg ) b d lim arctg d(arctg ) lim + b b π π π lim(arctg b) (arctg) b 4 6 d Напомним, что d(arctg ) Таким образом, несобственный интеграл d сходится Следовательно, и исследуемый + arctg + ряд сходится 8

19 Пример Исследовать сходимость ряда Решение ( + 5)l( + 5) Применим при исследовании сходимости данного ряда интегральный признак a f(), ( + 5)l( + 5) ( + 5)l( + 5) b d d lim ( + 5)l( + 5) ( + 5)l( + 5) b b d(l( + 5)) b lim lim l l( 5) b + l( + 5) b lim l l( b + 5) l l6 b Интеграл расходится, значит, и ряд расходится Здесь мы использовали свойство дифференциала d(l( + 5)) d + 5 Задачи для самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды l( + ) ( + )l( + ) ( + ) 4 ( + 4) 5 e ( + ) + Ответы Расходится Расходится Сходится 4 Сходится 5 Сходится 9

20 Признак Коши Теорема Если для ряда a с положительными членами существует предел lim a L, то при L < ряд сходится, если L >, то ряд расходится Если L, то неизвестно, сходится ли ряд, и требуется дополни- тельное исследование Пример Исследовать сходимость ряда Решение Общий член ряда имеет вид a Применим признак Коши: lim a lim lim < Следовательно, наш ряд сходится Задачи для самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды Ответы Сходится Расходится Знакопеременные ряды Теорема о сходимости знакопеременного ряда Рассмотрим ряды, члены которых могут быть числами положительными, отрицательными, и равными нулю Такие ряды называются знакопеременными

21 Теорема Пусть дан ряд сходится ряд u, где u имеет произвольный знак Тогда, если u, то сходится и исходный ряд При этом говорят, что ряд u сходится абсолютно Определение Если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то ряд называется условно сходящимся Пример siα Исследовать сходимость ряда + Решение siα Общий член ряда равен u и имеет знак, соответствующий + siα знаку siα Рассмотрим ряд Этот ряд имеет только положительные знаки Используем признак сравнения (теорему + ): siα < + + Ряд сходится как эталонный Тогда сходится + siα Следова тельно, и ряд сходится Согласно признаку сравнения, ряд сходится абсолютно + siα + Знакочередующиеся ряды Теорема Лейбница Определение Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, имеющий вид

22 + + ( ) u u u + u u4 + + ( ) u +, где u > Теорема Если ряд знакочередующийся ( ) + u и его члены убывают по абсолютной величине u > u > > u >, при этом абсолютная величина -го члена ряда стремится к нулю при, то есть limu, то данный ряд сходится Пример Исследовать сходимость ряда Решение + () + ( ) По теореме Лейбница u, u + Проверим, ( + ) + 5( + ) что u > u + для всех : > Решая это неравенство, мы получим более простое неравенство: + 5+ > Послед нее неравенство справедливо для всех :, значит, исходное неравенство также справедливо Кроме того, lim lim и, следовательно, ряд ( ) сходится по признаку Лейбница Следует продолжить исследование и ответить на вопрос о ха рактере сходимости данного ряда + Для этого надо изучить сходимость ряда, составленного из абсолютных величин Применим теорему признака сравнения За эталонный + ряд следует взять ряд Тогда u, v Отсюда u ( + ) lim lim lim v

23 Предел равен, а эталонный ряд расходится Поэтому ряд + расходится и, следовательно, ряд () сходится условно Большое практическое значение имеет свойство знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница Теорема об оценке остатка знакочередующегося ряда + Пусть S сумма знакочередующегося ряда ( ) u, сходящегося по признаку Лейбница, а r сумма его остатка после -го члена, так что r ± ( u+ u+ + ), тогда r < u + Таким образом, для сходящегося знакочередующегося ряда его сумма не превышает по абсолютной величине первого члена ряда S u, а остаток ряда первого из отброшенных членов ряда Правило исследования знакочередующегося ряда + ) Ряд ( ) u, u > () исследуется по признаку Лейбница ) Если ряд () сходится, то следует уточнить характер сходимости ряда (сходится абсолютно или условно) Для этого исследуется на сходимость ряд из абсолютных величин u ; () а) если ряд () сходится, то ряд () сходится абсолютно; б) если ряд () расходится, то ряд () сходится условно ) Если limu, то ряд () расходится по достаточному признаку расходимости Пример Исследовать сходимость ряда ( )

24 Решение Этот ряд знакочередующийся, поэтому начнем с признака Лейбница: u > u+, ( + ) + limu lim Следовательно, наш ряд сходится Далее решим вопрос, как он сходится абсолютно или условно Составим ряд из абсолютных величин Возьмем эталонный ряд Он сходится, так как степень равна,5 (те больше ) Сравним ряды: ряд из модулей и выбранный эталонный ряд Тогда u и v u Найдем lim lim v Значит, наш ряд из модулей сходится Но тогда исходный ряд сходится абсолютно Замечание В некоторых задачах проверка одного из условий сходимости ряда по признаку Лейбница может представлять существенные сложности Тогда следует попробовать сразу исследовать ряд из абсолютных величин на сходимость с помощью изученных ранее признаков сходимости знакоположительных рядов Если окажется, что полученный ряд сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно 4

25 Пример + Исследовать на сходимость ряд ( ) ( + )! Решение + Ряд знакочередующийся, но вычисление предела lim является довольно сложной задачей, так как применение правила Лопи-! таля невозможно + Переходим к исследованию ряда из модулей Применяем признак Даламбера и находим отношение последующего члена! к предыдущему: a lim lim lim + +! a ( + )! + Так как предел меньше, то ряд из модулей сходится и, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно Пример Найти сумму ряда ( ) с точностью до, ( + )( )! Решение У данного ряда u Члены этого ряда удовлетворяют ( + )( )! условиям признака Лейбница: члены ряда убывают: < < < lim, ( )( + )! следовательно, данный ряд сходится Для того чтобы определить количество членов ряда в его сумме с заданной точностью, найдем его члены и будем вычислять до тех пор, пока не найдем член, по модулю меньший, чем, : u >, u >, u >,

26 u 4 < 6 Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно вычислить S : S S < u4 <,, т е достаточно взять три первых члена ряда: 68 S S +,6458, Задачи для самостоятельного решения Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость ( ) ( ) 4 ( + )! ( + )l ( + ) + ( ) + ( + ) 4 5 ( ) ( + 4) 6 Ответы 6 ( ) ( ) + Сходится абсолютно Сходится абсолютно Сходится абсолютно 4 Сходится условно 5 Сходится условно 6 Расходится 4 Степенные ряды Область сходимости степенного ряда Определение Функциональный ряд вида a a ( ) a ( ) a ( ) a ( ), (*) где a, a,, a постоянные коэффициенты, называется степенным рядом

27 В частности, если х, то степенной ряд (*) принимает вид a a + a + a + (**) При исследовании сходимости функционального ряда определяют область сходимости данного ряда, то есть находят те значения, при которых ряд сходится Рассмотрим некоторые примеры Пример Частный случай степенного ряда (**) геометрическая прогрессия Она сходится при < и расходится при Здесь области сходимости интервал ( ; ), а сумма ряда S( ) определена на этом интервале Пример Ряд с общим членом a ( ) также является геометрической прогрессией Если ее знаменатель q по модулю меньше единицы, < то прогрессия будет сходиться, а при расходиться, т е область сходимости этого ряда объединение двух интервалов: ( ; ) и (; +) Пример Ряд! является знакоположительным при любом значе- нии Область сходимости данного ряда содержит только точку х, так как при х не выполняется необходимый признак сходимости ряда Надо отметить, что в точке х всякий степенной ряд (**) сходится Сходимость степенного ряда в остальных точках определяется с помощью основной теоремы в теории степенных рядов 7

28 Теорема Абеля Если степенной ряд (*) сходится при, то он будет сходиться для всех таких, что < Если степенной ряд (*) расходится при, то он будет расходиться при любом : > Определение Симметричный относительно начала координат интервал ( R; R), в каждой точке которого ряд сходится, называют интервалом сходимости степенного ряда, R радиусом сходимости Теорема об интервале сходимости Для любого степенного ряда вида (**) существует интервал ( R; R) такой, что во всех точках этого интервала ряд сходится абсолютно, а в точках, для которых > R, ряд расходится Радиус сходимости степенного ряда можно найти с помощью признака Даламбера: a R lim (4) a + Действительно, по признаку Даламбера ряд сходится, если + u+ a+ a+ lim lim lim < То есть ряд сходится при тех u a a значениях х, для которых a < lim a a + + lim a Радиус сходимости степенного ряда можно найти и с помощью радикального признака Коши R (5) lim a В точках R, R ряд может как сходиться, так и расходиться Поэтому, чтобы уточнить область сходимости степенного ряда, 8

29 следует дополнительно исследовать сходимость на концах интервала сходимости Примеры Для ряда найти интервал сходимости и исследовать сходимость на концах Решение Пользуясь признаком Даламбера, находим u + u ( + ) ( + ) + Тогда u + lim lim Ряд абсолютно сходится при u ( + ) условии < Подставим в исходный ряд х и получим ряд, сходимость которого была установлена ранее Следовательно, точка х входит в область сходимости ( ) Подставим х и получим ряд, абсолютная сходимость которого вытекает их сходимости знакоположительного ряда Тогда и точка х входит в область сходимости Итак, область сходимости степенного ряда отрезок х Найти область сходимости ряда! Этот ряд является знакоположительным при любом значении Найдем его область сходимости (модуль опускаем, так как ряд знакоположительный) ( + )! lim lim < при любом Это значит, что область сходимости данного степенного ряда вся числовая ось ( + )! + Найти область сходимости ряда ( ) si ( ) 9

30 Решение Найдем радиус сходимости ( ) si c R lim lim c + + ( ) si + si lim lim si + ( + ) Тогда <, или < <, т е < < Выясним поведение ряда на концах интервала сходимости Если, то ряд принимает вид ( ) si ( ) si Так как при любом : si <, si <, а ряд есть сходящийся гармонический ряд, то по признаку сравнения данный ряд сходится На правом конце степенной ряд принимает вид ( ) si, т е является знакочередующимся рядом и по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится, т к сходится ряд из модулей Итак, область сходимости исходного ряда 4 Найти область сходимости ряда 4 ( + ) 5 Решение t Сделаем замену t, тогда ряд примет вид Найдем интервал сходимости 4 ( + ) 5 ряда u ( + ) 5 lim t lim t < 4 u + 5 ( + ) 5

31 5 5 Тогда интервал сходимости < t < На концах интервала 5 t ряд принимает вид 4 ( ) и сходится по признаку Лейбница При t ряд равен 4 и он сходится как ( ) + 5 ( + ) гармонический ряд Итак, область сходимости равна 5 5 t Возвращаясь к переменной х, получим , откуда Области сходимости произвольного степенного ряда Область сходимости степенного ряда вида а ( ), представляющего сумму степеней ( ), это интервал ( R, + R) с центром в точке и радиусом сходимости R, где радиус сходимости определяется по формулам (4) или (5) Нахождение области сходимости ряда (*), как правило, проводят с помощью признака Даламбера; для исследования сходимости на концах интервала используют другие признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, интегральный признак, признак Лейбница) Использование признака Даламбера или радикального признака Коши на концах интервала сходимости не дает информации о сходимости ряда, так как всегда получается единица Примеры ( ) Найти интервал сходимости ряда, исследовать сходимость на концах ( ) интервала

32 Решение ( ) Обозначим u, u ( ) + ( ) ( + ) + + (( + ) ) Рассмотрим 4 u ( ) ( ) + + lim lim lim <, 4 u (( + ) ) <, < <, тогда < < 4 Исследуем сходимость на концах найденного интервала: х Подставим этот в наш степенной ряд и получим следую щий числовой ряд: ( ) ( ) ( ) Этот ряд знакочередующийся, поэтому применим признак Лейбница для исследования его сходимости u Имеем + u > u + и limu lim lim ( + ) Следовательно, наш ряд сходится ( ) Определим, как сходится ряд Рассмотрим ряд из абсолютных величин Эталонный ряд сходится Применим теорему признака u сравнения: lim lim v Следовательно, ряд из модулей сходится Тогда исходный ряд сходится абсолютно Пусть х 4 При подстановке в степенной ряд получим знакоположительный ряд, сходимость которого была доказана ранее Ответ: область сходимости степенного ряда: [ ; 4] Найти интервал сходимости ряда сходимость на концах интервала ( + ) и исследовать его 5

33 Решение Воспользуемся признаком Даламбера: + lim lim < ( ) 5 ( ) 5 + u + ( + ) 5 + u + + Следовательно, данный ряд сходится в промежутке + <5, т е 6 < < 4 Исследуем сходимость на концах Подставим в исходный ряд х 6, получим числовой ряд с общим членом u ( 5) ( ) ; 5 по признаку Лейбница ряд сходится (условно) При х 4 получаем гармонический ряд с общим членом u, а следовательно, расходящийся Итак, на левом конце интервала сходимости наш ряд сходится условно, во всех внутренних точках интервала ( 6,4) сходимость абсолютная, на правом конце ряд расходится Таким образом, область сходимости степенного ряда есть множество [ 6,4) 4 + Найти радиус сходимости степенного ряда Решение R lim lim a lim 4 Найти радиус сходимости степенного ряда Решение + lim e R + lim a lim +

34 Задачи для самостоятельного решения Найти области сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах ( + ) ( + 6) ( )( + 6) ( 6) ( + ) 6(5 + ) ( 7) Ответы 6 х < 6; 5 х < ; х < ; 4 7 х < 5; 5 х < 4 Свойства степенного ряда Далее сформулируем ряд свойств степенного ряда Обозначим через S() сумму степенного ряда: S() a + a + a + + a (***) Пусть радиус сходимости этого ряда известен и равен R Свойство Сумма S() степенного ряда (***) непрерывна в каждой точке области сходимости, в частности для всех из интервала ( R; R) Свойство Ряд a + a + a + + a +, полученный из ряда (***) почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости R и сумму, равную производной функции S(), то есть a S ( ) при ( R; R) 4

35 Свойство Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [, ], принадлежащем области сходимости исходного ряда, то есть при условии выполнения неравенства R < < < R В частности, при < < R выполняется равенство Примеры + Stdt ( ) a + a + + a + + Найти сумму ряда ( ;) ( ) ( ) при Решение Почленно проинтегрируем данный ряд на отрезке [; х]: 5 7 ( ( ) ( ) ) t + t t + t t dt ( ) b Это геометрический ряд, сумма которого равна S( ), где q b, q Тогда S( ) Возвращаясь к исходному + ряду, находим его сумму дифференцированием S() Итак, сумма исходного ряда равна S ( ) + ( + ) Найти сумму ряда при ( ;) Решение Почленно продифференцируем ряд в интервале сходимости

36 Найдем сумму данного геометрического ряда b S ( ), где b q, q Тогда S ( ) Сумму исходного ряда находим интегрированием на отрезке [; ]: S( ) dt l l 5 Ряд Тейлора Ряд Маклорена Если функция y f() имеет производные любого порядка в точке и в ее окрестности, то для этой функции можно составить ряд Тейлора: f ( ) f f f! Если, то получаем ряд Маклорена ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) + f () f f f! ( ) () + () + + Будем использовать ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, определенных интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений Для этого запишем ряды Маклорена для некоторых известных функций и интервалы сходимости этих рядов []: 5 si + + ( ) +, ( ; +),! 5! ( )! 4 cos + + ( ) +, ( ; +),! 4! ( )! e , ( ; +),!! mm ( ) mm ( )( m ( ))!! m ( + ) + m , ( ;), 6

37 5 arctg + + ( ) +, [ ;], 5 + ( ) arcsi , [ ;], 4 ( ) + l( + ) + + ( ) +, [ ;] 6 Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление значений функций Рассмотрим на примере, как можно вычислить значение функции с использованием ее разложения в ряд Тейлора Примеры Вычислить si 5 с точностью до Δ 6 Решение Прежде всего, надо перевести 5 в радианы: π π Затем запишем разложение si в ряд Маклорена и вычислим значение ряда в точке : π 6 π π ( π) π si + 6 6! (6) 5! 6 Ряд сходящийся, знакочередующийся, члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, поэтому остаточный член ряда не превышает первого из отброшенных членов ряда (согласно теореме Лейбница) Оценим третий член ряда: 5 π 5 5! 6 < < Δ 5! (,) 5 7

38 Следовательно, для вычисления si 5 с указанной точностью достаточно оставить два члена ряда π π π si, ! 6 Нам нужно оставить в каждом члене ряда семь знаков после запятой, чтобы не ухудшить точность вычисления Найти разложение в ряд Маклорена функции y +, ( ) Решение m По- Используем разложение в ряд функции ( + х) m, где этому + + +! 5 4 5( ) ( ) + 4! 4!! Здесь любое число из отрезка ( : ) Разложить в ряд по степеням (х ) функцию y e Решение Представим данную функцию в виде ( ) y e e e Используем разложение функций в ряд Маклорена ( ) ( ) y e + ( ) + ( ) + ( ) + + +!!! Откуда ( ) ( ) y e e e e! 4 Разложить в ряд по степеням х функцию y e l( + ) 8

39 Решение В интервале ( : ) существуют разложения в ряд Маклорена функций y e и y l( + ) По правилу умножения рядов получим: y e l( + ) ! Разложить в ряд по степеням х функцию y arcsi Решение Заметим, что производная данной функции равна y (arcsi ) Данная функция может быть разложена в степенной ряд: y ! d Учитывая, что arcsi, тогда искомый ряд найдем почленным интегрированием данного ряда на отрезке [; ] Итак, d 4 arcsi d+ d+ d+ o! ! 5 Задачи для самостоятельного решения Найти разложение в ряд Маклорена следующих функций, указать области сходимости полученных рядов y y ( ) y arctg ( ) ( ) 4 y si ( ) cos e 9

40 Ответы y + + ( ) +, область сходимости ( ;! 4! ( )! +) 5 8 ( ) y + + ( ) +, область сходимости [,5;,5] 5 9 ( ) y , область сходимости ( ; +)!! 4 +) ( ) y + + ( ) +, область сходимости ( ;! 4! ( )! Вычисление интегралов с помощью рядов Решим задачу вычисления интеграла f( ) d Если подынтегральную функцию f() можно разложить в степенной ряд a f( ) c + c+ c + + c +, сходящийся в некотором промежутке ( R; R), и если отрезок [a; b]принадлежит этому промежутку, b b b то имеет место равенство f( ) d c + c + a a a Поэтому для вычисления заданного интеграла с заданной степенью точности достаточно с нужной точностью найти сумму числового ряда, стоящего в правой части последнего равенства Рассмотрим на конкретном примере применение рядов Тейлора при вычислении интегралов Примеры Вычислить e d, оставив три члена ряда в разложении e, оценить погрешность вычислений Решение Используем разложение в ряд функции e и заменим на ( ) Запишем ряд Тейлора для нашей подынтегральной функции: 4 b

41 e ,!! 5 7 e d ! 5! 7 4 Если мы оставим три члена ряда, то, поскольку ряд знакочередующийся, погрешность вычисления оценивается модулем четвертого члена ряда, т е Δ<,4 <, 4 Тогда, оставив три слагаемых, мы получим e d,+,,767 Вычислить с точностью до 4 интеграл Решение si d Используя разложение в ряд si, находим: 4 6 si + + Поэтому! 5! 7! si d ! 5 5! 7 7!! 5 5! 7 7! 5 7 Ищем слагаемое, меньшее заданной точности Им будет 4, < Тогда интеграл приближенно (с заданной точностью) равен сумме трех первых 77! слагаемых: si d +,

42 Задачи для самостоятельного решения Вычислить данные интегралы с помощью рядов с точностью,,5 d + 4 cos d,4 l( + ) d, 4 e d Ответы,49 (взято два члена ряда);,77 (два члена ряда);,4 (три члена ряда); 4,97 (два члена ряда) Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Часто в задачах прикладного характера встречаются дифференциальные уравнения, решения которых не являются элементарными функциями или не к ним нельзя применить известные методы решения Тогда решения находят в виде разложения функции в степенной ряд Существуют два подхода при нахождении этого ряда Рассмотрим их на примерах Метод последовательного дифференцирования Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y f(, y), удовлетворяющее начальным условиям y( ) y Обозначим через y() это решение Представим искомое решение в виде ряда Тейлора по степеням разности : y ( ) y ( ) y y!! ( ) ( ) + ( ) + ( ) + Начальные условия определяют первый из коэффициентов ряда y( ) y Подставив в правую часть уравнения, найдем y ( ) f(, y ) Для отыскания y ( ) дифференцируем заданное уравнение по аргументу и вновь подставляем в полученное равенство 4

43 Продолжаем этот процесс и найдем остальные коэффициенты разложения функции в ряд Примеры Найдем решение уравнения y y e, удовлетворяющее начальным условиям y(), взяв четыре члена разложения, отличные от нуля Решение Найдем решение в виде степенного ряда y () y () y y + y + + +!! y(), y () e () (), Будем дифференцировать заданное уравнение по переменной : y y y e +, y (), + + 4, y () 6 4 y y y y e Подставим найденные значения в ряд Тогда функция будет иметь вид 5 y ( ) + +!! Найти приближенное решение дифференциального уравнения y y +, удовлетворяющее начальным условиям y(), y (), взяв первые три члена разложения в степенной ряд Решение Найдем решение в виде степенного ряда y () y () y y + y + + +!! () () ; нам заданы y(), y (), найдем y () 4

44 Выполним дифференцирование исходного уравнения и найдем значение производных y III (), y IV (): y III yy +, y III () + ;, IV y yy + yy y IV () + Наш ряд примет вид 4 4 y ( ) !! 4! 6 Метод неопределенных коэффициентов В данном методе решение дифференциального уравнения y f(, y) или y f(, y, y ) представляют степенным рядом y ( ) a + a( ) + a( ) +, где a, a, a неопределенные коэффициенты Свойства степенного ряда позволяют дифференцировать его: y a + a + a + ( ) ( ) ( ), y ( ) a + 6 a ( ) + Подставим полученные ряды в дифференциальное уравнение вместо y и производных и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности ( ) в его левой и правой частях Получим систему алгебраических уравнений с неизвестными a, a, a Пример Найти приближенное решение дифференциального уравнения y y +, удовлетворяющее начальным условиям y(), y (), взяв первые четыре ненулевые члена разложения решения в степенной ряд Решение Будем искать решение уравнения в виде y ( ) a+ a+ a + a + a

45 Положив, найдем a y() Для y () и y () получаем разложения y a + a + a + ( ), y ( ) a + 6 a + Положив в первом из них, найдем a y () Подставив полученные ряды вместо y и y в дифференциальное уравнение, получим: a + 6a + a + + a + a + a + a + a +, откуда a a или a, 6a + a, a, a4 a, откуда 6 a 4 4 Найденные значения коэффициентов подставляем в ряд 4 y ( ) Задачи для самостоятельного решения Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y y+, y() (три члена ряда) y y() (три ненулевых члена ряда) y y, y ye, y(), y () (четыре ненулевых члена ряда) 4 y + y+ y, y(), y () (четыре члена ряда) Ответы y y y , 4 y !! 4! 45

46 Задания для типового расчета Задача Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака сравнения (4 ) ( ) ( + ) + 8 ( + 5) ( + 7) ( + ) ( + 4) ( + ) 4 5 ( + 7) ( + ) + 4( + 4) 46

47 ( + 6) 9 + ( ) Задача Исследовать сходимость числового ряда с помощью предельного признака сравнения ( ) ( + 5) (9 ) + (5 + 7) 9 si tg arcsi

48 4 ( + )( + ) ( ) + 9 ( + 6) si ( + )(4 + ) tg arcsi Задача Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака Даламбера (+ )( + ) ( + )! ( )! 7 8 ( )! 9 9 ( )!4 + 48

49 ( + 9) ( + )! ( + ) 5 ( + )( + ) ( )! 7 ( ) ( + )! 6 π si 7 ( 7)! ( )! + π si ( )! + ( )( + ) 6 6 ( + )! 4 ( ) ( )! ( + )! ( )! + ( + ) ( + )! ( + )! ( )! ( + ) ( )! + ( + 4)! 49

50 Задача 4 Исследовать сходимость числового ряда с помощью интегрального признака Коши l( + ) ( + )l( + ) ( + ) 4 ( 4) ( + ) + + e e l ( + ) 8 ( + ) l 9 8 (4 + ) ( + 4) ( + 4) e ( + ) ( + ) e ( + ) 5 ( + 4) l( + 4) l( + 5) 6 ( + 5) 7 e 9 + e 8 + ( )l ( ) ( ) + 6 ( ) l( + ) + e 4 5

51 + e + (+ ) (+ ) 5 l ( + ) ( + ) e ( + ) ( ) Задача 5 Исследовать сходимость знакочередующегося ряда 8 ( ) ( ) ( + ) 4 ( + )! ( ) ( + ) 4 ( ) (+ ) 5 ( ) + 6 ( ) ( ) ( ) ( + )! ( ) ( + )! + ( ) ( ) ( + )! + ( ) + 5 ( ) 4 ( ) ( + )l( + ) 4 ( ) ( )8 6 ( ) ( + ) ( + 4) 7 ( ) + 8 ( ) ( + )! 5

52 5 9 ( ) + ( ) ( 5)! + + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 ( ) ( )! + 6 ( ) 7 ( ) ( ) + 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Задача 6 Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать сходимость на концах ( ) ( ) + ( ) ( 5) ( ) 5 4( 5) + + ( 5) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( )( ) 6 4

53 ( + ) + ( + 7) ( + 6) ( 6) 4 6(5 + ) ( )( + 6) ( 7) 6 7 ( 5) 7 ( + 7) 8 5( + 6) 4 + ( + 5) 9 ( 8) ( 4) 4( + 7) + ( + 8) ( + ) 4( + 9) ( + 9) 5 9( ) ( 5) (+ 6) ( 7) 7 7( 5+ 4) ( 4) 8 8( + 5+ ) ( 4) 4 6( + ) 9 ( + 4) Задача 7 Разложить в ряд по степеням, указанным в задании, следующие функции: y l( + ) по y si по 4 y e по y e по 5

54 5 y e по ( ) 6 y si по 7 y cos( )по 8 y arctg по 9 y e по y по ( ) y si по y l( + 6) по y l( + ) по 4 y e e по 5 y cos по + 6 y l по 7 y si5 по 8 y + e по 9 y l( + ) по arctg y по 4 y l(4 + ) по y + по y e 4 по ( ) 4 y ( e ) по 5 y l по ( ) si5 6 y по 7 y e по 8 y cos по 9 y по ( ) y по ( ) Задача 8 Вычислить определенный интеграл с точностью до 4, e d si d, 5 arctg d, d 7 +,4 cos d, 4 + d, 6 ( e ) d, l( + ) 8 d 54

55 ,4 4 9 cos d, l( + ) d, + d,6 5 arctg d,5 si 7 d,5 9 cos d, e d, cos d, arctg 5 d, 7 cos d,5 d 9 +, e d,5 d 64 +,5 4 e d, l( + ) 6 d, 8 cos( ) d,5 6 e d,5 cos d, 4 l + d d , 8 e d, arctg d 55

56 Задача 9 Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (для уравнения первого порядка считать четыре члена ряда, для уравнения второго порядка пять): y y y', y(), y () 5 y y +, y(),5 y ye +, y(), y () 4 y y+ y, y() 5 y + y, y() 6 y y, y() 7 y ye, y() y 8 y 4 y +, ( + ) y() 9 y e + y, y() y' + y, y() y y+ y, y() y y, y() y ye +, y() 4 y y, y() y' () 5 y ye +, y(), y' () 6 y y y+, y() y'() 7 y y y, y() y' () 8 y y, y() y' () 9 y ycos +, y(), y () y cos y, y() y y y, y() y'() y y y, y() y'() y y, y() 4 y y + ye 4, y() 56

57 5 y y+ cos, y() 6 y y y, y(), y () 7 y y + y, y() 4, y () 8 y y+ y, y() 9 y y y, y(), y () y + y, y() 57

58 4 Подготовка к тестированию Важной компонентой учебного процесса в настоящее время является тестирование, проводимое на сайте i-eam Задачи, входящие в него, отвечают требованиям, изложенным на сайте Приведем их Структура содержания интернет-тренажера по дисциплине «Математика» представляет тематическое наполнение отдельных ее разделов (дидактических единиц) и перечень учебных элементов Выделенные разделы дисциплины (дидактические единицы), их тематическое раскрытие зафиксированы в структуре и положены в основу тестовых заданий банка дисциплины, используемого для работы в рамках системы «Интернет-тренажеры в сфере образования» Содержание интернет-тренажера по дисциплине включает код элемента содержания и название элемента содержания (темы задания) Первый разряд в записи кода элемента содержания указывает на номер группы заданий, связанных с уровнем сложности заданий изучаемой дисциплины ( уровень для начинающих, базовый, повышенный) Второй разряд в записи кода элемента содержания указывает на номер дидактической единицы (раздела) дисциплины, а третий разряд идентифицирует номер темы задания Например, код элемента содержания -- указывает, что элемент содержания принадлежит базовому уровню, первой дидактической единице (ДЕ) «Линейная алгебра» и второй теме в этой ДЕ, которая называется «Линейные операции над матрицами» Все коды элементов содержания и наименования элементов содержания распределяются в предложенном порядке для каждой дидактической единицы Перечень учебных элементов отражает требования к знаниям и умениям, которые студент должен приобрести в результате освоения дисциплины или отдельных ее разделов Приведем этот перечень для раздела «Ряды» Код элемента -- Тема Числовые последовательности Содержание интернет-тренажера по дисциплине Знать: определение общего члена числовой последовательности, определение и свойства бесконечно малых последовательностей Уметь: вычислять пределы числовых последовательностей при ; находить члены числовой последовательности с помощью формулы общего члена; применять свойства бесконечно малых последовательностей для вычисления пределов 58

59 Код элемента Тема Сходимости числовых рядов Область сходимости степенного ряда Ряд Тейлора (Маклорена) Числовые последовательности Сходимости числовых рядов Содержание интернет-тренажера по дисциплине Знать: определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические ряды, признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда, теорему Лейбница Уметь: вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии; применять основные признаки сходимости рядов с произвольными членами; устанавливать абсолютную и условную сходимость рядов Знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда Уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы сходимости; находить область сходимости степенного ряда Знать: определение ряда Маклорена; структуру ряда Маклорена и выражения для рядов часто используемых функций; определение коэффициентов ряда Тейлора Уметь: получать разложение функции в ряд Маклорена; находить ряды Маклорена функций на основе известных рядов; находить коэффициенты ряда Тейлора Знать: определение общего члена числовой последовательности; свойства монотонных и ограниченных последовательностей; замечательные пределы; критерий Коши сходимости последовательностей Уметь: вычислять пределы числовых последовательностей при ; находить члены числовой последовательности с помощью формулы общего члена; доказывать монотонность и ограниченность последовательностей; использовать замечательные пределы; применять критерий Коши для исследования сходимости последовательностей Знать: формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические ряды, признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда, теорему Лейбница Уметь: вычислять сумму сходящегося числового ряда; применять основные признаки сходимости рядов с произвольными членами; устанавливать абсолютную и условную сходимость рядов 59

60 Код элемента Тема Область сходимости числового ряда Ряд Тейлора (Маклорена) Числовые последовательности Сходимость положительных рядов Сходимость рядов с произвольными членами Функциональные последовательности и ряды Содержание интернет-тренажера по дисциплине Знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда Уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы сходимости; исследовать сходимость ряда на границах интервала сходимости Знать: формулу ряда Маклорена функции; определение коэффициентов ряда Маклорена; формулу ряда Тейлора и методы определения его области сходимости; способы разложения функций в ряды Тейлора Уметь: преобразовывать ряды и применять ряды Маклорена и Тейлора основных функций; находить коэффициенты ряда Тейлора и ряда Маклорена Знать: определение предела числовой последовательности; свойства эквивалентных бесконечно малых последовательностей; определения частичных, нижнего и верхнего пределов последовательности Уметь: находить пределы числовых последовательностей при ; находить предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением; использовать эквивалентные бесконечно малые последовательности и величины для вычисления пределов; находить нижний и верхний пределы последовательности Знать: признаки сравнения, Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами; интегральный признак Коши Уметь: исследовать ряды с положительными членами на сходимость (расходимость), применяя признаки Даламбера, Коши и интегральный признак Коши Знать: определение сходимости числовых рядов; признаки сходимости рядов; теорему Лейбница; определение абсолютной и условной сходимости ряда Уметь: исследовать числовой ряд на сходимость; исследовать ряды с произвольными членами на сходимость (условную и абсолютную), применяя теорему Лейбница и различные признаки сходимости Знать: принципы исследования сходимости и равномерной сходимости функциональных рядов Уметь: применять признаки сходимости рядов для исследования абсолютной, условной и равномерной сходимости функциональных рядов 6

61 Код элемента Тема Область сходимости степенного ряда Ряд Тейлора (Маклорена) Ряд Тейлора и Маклорена для функций нескольких переменных Содержание интернет-тренажера по дисциплине Знать: определение радиуса сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда Уметь: вычислять радиус сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на границах интервала сходимости; находить верхний предел последовательности Знать: формулу ряда Маклорена для функции; структуру ряда Маклорена и выражения для рядов часто используемых функций; формулу ряда Тейлора и методы определения его области сходимости; способы разложения функций в ряды Тейлора Уметь: преобразовывать ряды и применять ряды Маклорена и Тейлора основных функций; вычислять коэффициенты ряда Маклорена Знать: формулы рядов Маклорена и Тейлора для функции двух переменных Уметь: находить коэффициенты в формулах Маклорена и Тейлора; строить ряды Маклорена и Тейлора функций двух переменных разными методами; применять ряды Тейлора и Маклорена для вычисления приближённых значений функции Далее мы приводим примеры заданий, которые встречаются в тестах интернет-тренажеров и которые полезно прорешать при подготовке к экзамену и тестированию В каждом задании выбрать из представленных ответов правильный Радиус сходимости степенного ряда a ( ) + равен 5 Тогда интервал сходимости этого ряда имеет вид а) ( 8; ), б) ( ; 8), в) ( 5; 5), г) [ 8; ] Числовая последовательность задана рекуррентным соотноше- a+ a a, a, a Тогда а 4? Варианты ответа: а) 8, б), в) 4, г) 7 нием ( ) Выбе- 4 + Даны числовые ряды а) ( ) и б) рите из следующих утверждений верное: ) ряд А сходится, ряд Б расходится; 6

62 ) ряд А расходится, ряд Б расходится; ) ряд А сходится, ряд Б сходится; 4) ряд А расходится, ряд Б сходится; 4 Сумма числового ряда равна ( + )( + 4) а), 4 б), в), 7 г) 5 Ряд Маклорена для функции ( ) cos f имеет вид а) ( ), б) ( ), ( )! ( )! в) + ( ), г) ( ) ( )! ( )! 6 Радиус сходимости степенного ряда равен: (6 ) а), б), 9 в), г) 6 7 Общий член числовой последовательности,,,, имеет вид ( + ) а) а ( ), б) а ( ), в) а, г) а ( ) Сумма числового ряда + равна 6 а), б) 7, в) 5, г) 6


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее