Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Транскрипт

1 Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов Вычисление смешанного произведения векторов заданных координатами в ортонормированном базисе Свойства смешанного произведения 4 Приложение смешанного произведения к вычислению объемов 5 Аффинная система координат на плоскости Координаты точки и вектора в АСК 6 Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов Вспомним определение скалярного и векторного произведения векторов так как на их основе строится определение смешанного произведения векторов С помощью созданной нами программы «Нелинейные операции над векторами» преподаватель демонстрирует студентам построение смешанного произведения векторов (приложение содержит описание программы) Смешанным произведением некомпланарных векторов взятых в данном порядке называется число равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и Обозначение: По определению = ( ) Важен ли порядок сомножителей векторного произведения векторов? Возможный вариант ответа: порядок сомножителей важен На основе чего это можно доказать? Возможный вариант ответа: на основе свойств скалярного и векторного произведения векторов так как = ( ) но вместе с тем ( ) = ( ) [] Построим на векторах параллелепипед (рис9) Рис9 Пусть - правая тройка векторов мы их откладываем от одной точки По определению смешанного произведения векторов имеем: ( ) = ( ) = os ϕ (8) где ϕ - угол между векторами и Одна из его граней параллелограмм со сторонами и Примем ее за основание По свойству векторного произведения ее площадь равна (рис6) S = (9) 45

2 Другое ребро образует с перпендикуляром к плоскости основания направленным как угол ϕ И так как тройка правая то вектор направлен в ту сто- рону что Поэтому угол ϕ острый os ϕ > 0 и osϕ = h (0) h высота параллелепипеда Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: V = Sh из формул (9) (0) получаем: V = osϕ Сравнивая с (8) получаем: = V что и требовалось доказать для правой тройки Если тройка векторов левая то векторы и направлены в разные стороны от плоскости векторов Поэтому угол ϕ тупой os ϕ < 0 и вместо (0) будет osϕ = h Поэтому получается что = V [] Если тройка векторов правая то получаем = V а если тройка векторов левая тогда = V Теорема Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда построенного на этих векторах: = (рис9) правая то > 0 если левая то < 0 Верно и обратное Если тройка V пар да Вычисление смешанного произведения векторов заданных координатами в ортонормированном базисе Теорема Если векторы ( ) ( ) ( ) заданы своими координатами в ортонормированном правом базисе то смешанное произведение вычисляется по формуле: с = () Доказательство Так как векторы заданы своими координатами в ортонормированном правом базисе то имеем: = ( + ) Тогда с = ( ) = ( ( ) ( + ) + ( )) = + = чтд Свойства смешанного произведения Для произвольных векторов и d и произвольного числа α имеют место следующие равенства: НДУ компланарности векторов: компланарны = 0 ; 46

3 = = = = = ; ( α ) = ( α ) = ( α) = α ( ); 4 ( + ) d = d + d ( + ) d = d + d d ( + ) = + d (дистрибутивный закон относительно сложения) [] Выберем ортонормированный правый базис i j k и зададим данные векторы в ко- с d d d d ординатах ( ) ( ) ( ) ( ) Воспользовавшись теоремой и соответствующими свойствами определителей 0 0 третьего порядка убеждаемся в справедливости всех равенств 4 α = α По формуле (4) имеем: В качестве примера докажем что ( ) ( ) ( α ) = α = α = α( ) α α Приложение смешанного произведения к вычислению объемов Задача Найти объем тетраэдра CD если в некоторой прямоугольной системе координат даны координаты его вершин: ( x y z ) B( x y z ) C( x y z ) D( x y z ) A Решение Объем параллелепипеда построенного на векторах AC и AD равен AC AD Отсюда следует что объем V тетраэдра CD вычисляется по формуле V = AC AD Векторы AC и AD имеют координаты 6 ( x x y y z z ) AC( x x y y z z ) AD( x x y y z z ) 4 4 по формуле (4) получаем: x x x x x4 x V = y y y y y4 y 6 z z z z z z 4 4 поэтому Аффинная система координат на плоскости Координаты точки и вектора в АСК Возьмем на плоскости какую нибудь точку O и произвольный базис Тройка состоящая из точки O и базиса называется аффинной системой координат на плоскости и обозначается символом: O или ( O ) Точка O называется началом координат а векторы и - координатными векторами ( - первый координатный вектор - второй) Направленные прямые проходящие через начало координат и парал- 47

4 лельные координатным векторам на которых положительные направления определяются этими векторами называются осями координат Ось координат на которой положительное направление определяется вектором называется осью абсцисс и обозначается через Ox а другая ось осью ординат и обозначается через Oy (рис ) Иногда систему координат ( O ) обозначают через Oxy Рис Пусть O - аффинная система координат а M - произвольная точка плоскости (рис ) Вектор OM называется радиус-вектором точки M (относительно точки О) Координаты x и y вектора OM в базисе называются координатами точки M в системе координат O Число x называется абсциссой точки M а число y - ординатой; M x y пишут ( ) Рис Таким образом координатами точки M в системе O называются числа x y такие что OM = x + y () При выбранной системе координат каждая точка M плоскости имеет координаты ( x y) причем если точки M ( x y ) и M ( x y ) различны то пары чисел ( x y ) и ( x y ) не совпадают (т е имеет место хотя бы одно из неравеств: ( x x y y ) Обратно для каждой упорядоченной пары чисел ( x y) можно указать точку имеющую данные координаты Действительно отложим вектор x + y от точки О: OM = x + y Точка M имеет координаты ( x y) Итак если на плоскости задана аффинная система координат то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами ( x y) действительных чисел те между точками плоскости и элементами множества R Здесь R = R R - декартов квадрат множества действительных чисел 48

5 Для построения точки M по данным координатам x y в системе координат O воспользуемся формулой () Так как x и y то на осях координат Ox и Oy существуют соответственно точки M и M такие что x () = OM y = OM Из формулы () следует что OM = OM + OM () Пользуясь равенствами () строим точки M M Проведя через эти точки прямые параллельные координатным осям находим их точку пересечения которая согласно формуле () будет искомой точкой (рис ) Если абсцисса x точки M равна нулю: x = 0 то из формул () и () следует что OM = OM т е точки Mи M совпадают и следовательно точка M лежит на оси ординат Аналогично если ордината y точки M равна нулю: y = 0 то точка M лежит на оси абсцисс Заметим что точка О имеет координаты ( 0 0) На рисунке построено несколько точек по координатам: О ( 00) A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( 0) Рис Задача В аффинной системе координат даны две точки ( x y ) координаты вектора Решение A B ( ) x y Найти = OB OA Но векторы OA и являются радиус- векторами точек A и B поэтому их координаты нам известны: ( ) x y OA и OB ( ) вектор как разность векторов OB и OA имеет координаты: ( x x y ) x y Таким образом y (5) Итак каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной если его координатные векторы являются единичными взаимно перпендикулярными векторами Такая система координат с началом в точке О обозначается так: Oi j или O i j где i = j = i j = 0 ( ) 49

6 Координаты точки ( x y) Рис 5 M в прямоугольной системе координат имеют простой геометрический смысл По формулам () x i = OM yj = OM поэтому OM = x OM = y В данном случае точки M и M являются проекциями точки Mна оси координат Таким образом x = OM если M - точка положительной полуоси Ox ; x = OM если M - точка отрицательной полуоси и = 0 M совпадает с точкой О Аналогичный x если точка геометрический смысл имеет ордината y точки M Итак понятие координат точек в прямоугольной системе координат совпадает с тем понятием которое известно из курсов алгебры и геометрии средней школы Пусть в прямоугольной системе координат A ( x y ) ( ) Oi j точки A B имеют координаты B x y Вычислим расстояние между этими точками те длину отрезка По определению длины вектора ( x x y ) y = По формуле (5) вектор имеет координаты: поэтому длина этого вектора вычисляется по формуле: ( x x ) + ( y ) = (6) y 50