Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости
|
|
- Никита Хвостов
- 3 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов Вычисление смешанного произведения векторов заданных координатами в ортонормированном базисе Свойства смешанного произведения 4 Приложение смешанного произведения к вычислению объемов 5 Аффинная система координат на плоскости Координаты точки и вектора в АСК 6 Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов Вспомним определение скалярного и векторного произведения векторов так как на их основе строится определение смешанного произведения векторов С помощью созданной нами программы «Нелинейные операции над векторами» преподаватель демонстрирует студентам построение смешанного произведения векторов (приложение содержит описание программы) Смешанным произведением некомпланарных векторов взятых в данном порядке называется число равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и Обозначение: По определению = ( ) Важен ли порядок сомножителей векторного произведения векторов? Возможный вариант ответа: порядок сомножителей важен На основе чего это можно доказать? Возможный вариант ответа: на основе свойств скалярного и векторного произведения векторов так как = ( ) но вместе с тем ( ) = ( ) [] Построим на векторах параллелепипед (рис9) Рис9 Пусть - правая тройка векторов мы их откладываем от одной точки По определению смешанного произведения векторов имеем: ( ) = ( ) = os ϕ (8) где ϕ - угол между векторами и Одна из его граней параллелограмм со сторонами и Примем ее за основание По свойству векторного произведения ее площадь равна (рис6) S = (9) 45
2 Другое ребро образует с перпендикуляром к плоскости основания направленным как угол ϕ И так как тройка правая то вектор направлен в ту сто- рону что Поэтому угол ϕ острый os ϕ > 0 и osϕ = h (0) h высота параллелепипеда Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: V = Sh из формул (9) (0) получаем: V = osϕ Сравнивая с (8) получаем: = V что и требовалось доказать для правой тройки Если тройка векторов левая то векторы и направлены в разные стороны от плоскости векторов Поэтому угол ϕ тупой os ϕ < 0 и вместо (0) будет osϕ = h Поэтому получается что = V [] Если тройка векторов правая то получаем = V а если тройка векторов левая тогда = V Теорема Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда построенного на этих векторах: = (рис9) правая то > 0 если левая то < 0 Верно и обратное Если тройка V пар да Вычисление смешанного произведения векторов заданных координатами в ортонормированном базисе Теорема Если векторы ( ) ( ) ( ) заданы своими координатами в ортонормированном правом базисе то смешанное произведение вычисляется по формуле: с = () Доказательство Так как векторы заданы своими координатами в ортонормированном правом базисе то имеем: = ( + ) Тогда с = ( ) = ( ( ) ( + ) + ( )) = + = чтд Свойства смешанного произведения Для произвольных векторов и d и произвольного числа α имеют место следующие равенства: НДУ компланарности векторов: компланарны = 0 ; 46
3 = = = = = ; ( α ) = ( α ) = ( α) = α ( ); 4 ( + ) d = d + d ( + ) d = d + d d ( + ) = + d (дистрибутивный закон относительно сложения) [] Выберем ортонормированный правый базис i j k и зададим данные векторы в ко- с d d d d ординатах ( ) ( ) ( ) ( ) Воспользовавшись теоремой и соответствующими свойствами определителей 0 0 третьего порядка убеждаемся в справедливости всех равенств 4 α = α По формуле (4) имеем: В качестве примера докажем что ( ) ( ) ( α ) = α = α = α( ) α α Приложение смешанного произведения к вычислению объемов Задача Найти объем тетраэдра CD если в некоторой прямоугольной системе координат даны координаты его вершин: ( x y z ) B( x y z ) C( x y z ) D( x y z ) A Решение Объем параллелепипеда построенного на векторах AC и AD равен AC AD Отсюда следует что объем V тетраэдра CD вычисляется по формуле V = AC AD Векторы AC и AD имеют координаты 6 ( x x y y z z ) AC( x x y y z z ) AD( x x y y z z ) 4 4 по формуле (4) получаем: x x x x x4 x V = y y y y y4 y 6 z z z z z z 4 4 поэтому Аффинная система координат на плоскости Координаты точки и вектора в АСК Возьмем на плоскости какую нибудь точку O и произвольный базис Тройка состоящая из точки O и базиса называется аффинной системой координат на плоскости и обозначается символом: O или ( O ) Точка O называется началом координат а векторы и - координатными векторами ( - первый координатный вектор - второй) Направленные прямые проходящие через начало координат и парал- 47
4 лельные координатным векторам на которых положительные направления определяются этими векторами называются осями координат Ось координат на которой положительное направление определяется вектором называется осью абсцисс и обозначается через Ox а другая ось осью ординат и обозначается через Oy (рис ) Иногда систему координат ( O ) обозначают через Oxy Рис Пусть O - аффинная система координат а M - произвольная точка плоскости (рис ) Вектор OM называется радиус-вектором точки M (относительно точки О) Координаты x и y вектора OM в базисе называются координатами точки M в системе координат O Число x называется абсциссой точки M а число y - ординатой; M x y пишут ( ) Рис Таким образом координатами точки M в системе O называются числа x y такие что OM = x + y () При выбранной системе координат каждая точка M плоскости имеет координаты ( x y) причем если точки M ( x y ) и M ( x y ) различны то пары чисел ( x y ) и ( x y ) не совпадают (т е имеет место хотя бы одно из неравеств: ( x x y y ) Обратно для каждой упорядоченной пары чисел ( x y) можно указать точку имеющую данные координаты Действительно отложим вектор x + y от точки О: OM = x + y Точка M имеет координаты ( x y) Итак если на плоскости задана аффинная система координат то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами ( x y) действительных чисел те между точками плоскости и элементами множества R Здесь R = R R - декартов квадрат множества действительных чисел 48
5 Для построения точки M по данным координатам x y в системе координат O воспользуемся формулой () Так как x и y то на осях координат Ox и Oy существуют соответственно точки M и M такие что x () = OM y = OM Из формулы () следует что OM = OM + OM () Пользуясь равенствами () строим точки M M Проведя через эти точки прямые параллельные координатным осям находим их точку пересечения которая согласно формуле () будет искомой точкой (рис ) Если абсцисса x точки M равна нулю: x = 0 то из формул () и () следует что OM = OM т е точки Mи M совпадают и следовательно точка M лежит на оси ординат Аналогично если ордината y точки M равна нулю: y = 0 то точка M лежит на оси абсцисс Заметим что точка О имеет координаты ( 0 0) На рисунке построено несколько точек по координатам: О ( 00) A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( 0) Рис Задача В аффинной системе координат даны две точки ( x y ) координаты вектора Решение A B ( ) x y Найти = OB OA Но векторы OA и являются радиус- векторами точек A и B поэтому их координаты нам известны: ( ) x y OA и OB ( ) вектор как разность векторов OB и OA имеет координаты: ( x x y ) x y Таким образом y (5) Итак каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной если его координатные векторы являются единичными взаимно перпендикулярными векторами Такая система координат с началом в точке О обозначается так: Oi j или O i j где i = j = i j = 0 ( ) 49
6 Координаты точки ( x y) Рис 5 M в прямоугольной системе координат имеют простой геометрический смысл По формулам () x i = OM yj = OM поэтому OM = x OM = y В данном случае точки M и M являются проекциями точки Mна оси координат Таким образом x = OM если M - точка положительной полуоси Ox ; x = OM если M - точка отрицательной полуоси и = 0 M совпадает с точкой О Аналогичный x если точка геометрический смысл имеет ордината y точки M Итак понятие координат точек в прямоугольной системе координат совпадает с тем понятием которое известно из курсов алгебры и геометрии средней школы Пусть в прямоугольной системе координат A ( x y ) ( ) Oi j точки A B имеют координаты B x y Вычислим расстояние между этими точками те длину отрезка По определению длины вектора ( x x y ) y = По формуле (5) вектор имеет координаты: поэтому длина этого вектора вычисляется по формуле: ( x x ) + ( y ) = (6) y 50
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1
Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
a b =S пар. = a b sin( a,b );
Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве
Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.
Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,
Лекция 5: Смешанное произведение векторов
Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
Аналитическая геометрия. Лекция 1.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
5. Система координат. Координаты точки
5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)
13. Смешанное произведение векторов
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M
Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между
Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)
Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится
Основы векторной алгебры
) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.
Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной
Геометрические векторы
Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его
Лекция 2. Векторы. Определения.
Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного
Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число
Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.
Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки
5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах
49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный
1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость
4. Координаты вектора
4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим
Лекция 6: Система координат. Координаты точки
Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы
Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только
~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая
ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.
ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало
Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.
Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Аналитическая геометрия. Лекция 1.5
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»
Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое
L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости
Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь
Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.
Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между
Глава I. Векторная алгебра.
Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные
Глава 7 Плоскость в пространстве
Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны
9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление
b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов
05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,
Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.
Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.
--. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n
a b и вычисляемое по формуле a b a b cos
2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко
Примеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором
ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.
ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -
Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.
Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их
Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.
ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно
Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка
А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов
А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов
Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского
Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.
Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.
ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.
Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение
Элементы высшей математики
Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:
a b, a если векторы имеют противоположное направление, то
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают
Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат
Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четвёрка {O,e 1,e 2,e 3 }, в которой O это некоторая
Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости
Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное
перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.
5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение
Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.
Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма
4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами
4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы
Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:
Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному
Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского
Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические
0.5 setgray0 0.5 setgray1
05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат
Методические указания к контрольным работам
Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости