Коллоквиум по аналитической геометрии

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Коллоквиум по аналитической геометрии"

Транскрипт

1 Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных чисел. Z + : множество положительных целых чисел. A B: множество упорядоченных пар (x, y), где x A и y B. [a, b]: интервал, включающий концы, т.е. {x R a x b}. (a, b): интервал, не включающий концы, т.е. {x R a < x < b}. x, P (x): P (x) истинно для всех x. x, P (x): P (x) истинно для некоторого x. 1 (вариант 1). [1] Корректно ли следующее определение? Обосновать ответ. f : Q Q Q, f(a/b, c/d) = (a + c)/(b + d) (1) Решение. Данное определение некорректно. Действительно, например, f(1/3, 1/5) = 2/8 = 1/4, но f(2/6, 1/5) = 3/11 1/4, несмотря на то, что 1/3 = 2/6. Дополнительное объяснение. Проблема заключается в том, что (1) определяет f не на рациональных числах как таковых, а на парах целых чисел (a, b) и (c, d). Каждое рациональное число может представляться в виде частного разных пар целых чисел. На самом деле, рациональные числа можно считать классами эквивалентности следующего отношения R на множестве Z Z + : (a, b)r(c, d) ad = bc. Так, (1, 3)R(2, 6), потому что 1 6 = 3 2, поэтому пары (1, 3) и (2, 6) принадлежат одному классу эквивалентности. Другими словами, дроби 1/3 и 2/6 представляют одно и то же рациональное число, однако f возвращает на них разный результат. Данная ситуация аналогична определению операций на свободных векторах. Например, мы сначала определяем умножение закрепленного вектора (т.е. пары точек) на число. Далее, если x R, а a свободный вектор, то вычисление xa состоит из трех шагов: 1) выбрать произвольный закрепленный вектор b a; 2) умножить x на b; 1

2 3) вернуть [xb], т.е. класс эквивалентности xb, в качестве результата. Кратко данное определение записывается так: x[b] = [xb]. Определение (1) также можно записать следующим образом. f([(a, b)], [(c, d)]) = [(a + c, b + d)] Однако. здесь результирующий класс эквивалентности (т.е. рациональное число) зависит от выбора представителей классов аргументов функции. 1 (вариант 2). Корректно ли следующее определение? Обосновать ответ. f : [ 1, 1] R, f(x) = sin ϕ, где ϕ такой, что cos ϕ = x Решение. Для любого x [ 1, 1] фраза ϕ такой, что cos ϕ = x определяет ϕ неоднозначно, ведь cos(ϕ + 2πk) = cos ϕ для любого k Z. Более существенно то, что для каждого x ( 1, 1) существует два разных ϕ 1, ϕ 2 (0, 2π) такие, что cos ϕ 1 = cos ϕ 2 = x, но sin ϕ 1 sin ϕ 2. sin ϕ 1 ϕ2 ϕ 1 cos ϕ 1 = cos ϕ 2 1 sin ϕ 2 Например, cos(π/3) = cos(5π/3) = 1/2, но sin(π/3) = 3/2, а sin(5π/3) = 3/2. Таким образом, f(1/2), так же, как и f(x) для всех x ( 1, 1), определены некорректно. 2 (вариант 1). Подробно доказать, используя аксиомы линейного векторного пространства, что в любом векторном пространстве a = ( 1)a. 2

3 Решение. Вспомним аксиомы линейного векторного пространства. Аксиома Название Обозначение (a + b) + c = a + (b + c) ассоциативность сложения (асс1) a + b = b + a коммутативность сложения (комм) 0 a, a + 0 = a существование нуля ( 0) a ( a), a + ( a) = 0 существование обратного по сложению (обр) λ(µa) = (λµ)a ассоциативность умножения на число (асс2) λ(a + b) = λa + λb дистрибутивность (дистр1) (λ + µ)a = λa + µa дистрибутивность (дистр2) 1, 1a = a существование единицы ( 1) Доказательство a = ( 1)a состоит из трех шагов. Во-первых, мы доказываем, что ( 1)a удовлетворяет (обр), т.е. тому же свойству, что и a. a + ( 1)a (1) = 1a + ( 1)a (дистр2) = (1 + ( 1))a = 0a = 0 (2) Второй шаг состоит в доказательстве последнего равенства из (2), т.е. 0a = 0. Сначала заметим следующее. 0a = (0 + 0)a (дистр2) = 0a + 0a (3) Теперь к левой и правой части (3) прибавим (0a) справа. 0 (обр) = 0a + ( (0a)) (3) = (0a + 0a) + ( (0a)) (асс1) = 0a + (0a + ( (0a))) (обр) = 0a + 0 ( 0) = 0a Таким образом, мы доказали, что ( 1)a удовлетворяет (обр). Наконец, третий шаг состоит в доказательстве того, что обратный по сложению единственный. На самом деле, легко доказать более общий факт. Итак, предположим Идея состоит в прибавлении a к обеим частям (6). a + b = 0 и a + c = 0 = b = c (4) a + b = a + c = b = c (5) a + b = a + c (6) b ( 0) = b + 0 (обр) = b + (a + ( a)) (асс1) = (b + a) + ( a) (комм) = (a + b) + ( a) (6) = = (a + c) + ( a) (комм) = (c + a) + ( a) (асс1) = c + (a + ( a)) (обр) = c + 0 ( 0) = c Поскольку a + ( a) = 0 согласно (обр) и a + ( 1)a = 0 согласно (2), (4) позволяет заключить, что a = ( 1)a. 2 (вариант 2). Подробно доказать, используя аксиомы линейного векторного пространства, что в любом векторном пространстве λ 0 = 0 для любого λ R. 3

4 Решение. λ0 ( 0) = λ(0 + 0) (дистр1) = λ0 + λ0 (7) Теперь к левой и правой частям (7) прибавим (λ0) справа. 0 (обр) = λ0 + ( (λ0)) (7) = (λ0 + λ0) + ( (λ0)) (асс1) = λ0 + (λ0 + ( (λ0))) (обр) = λ0 + 0 ( 0) = λ0 Замечание. Задача 2 будет считаться дополнительной. Таким образом, ее решение не требуется для отличной оценки, но оно может компенсировать недочеты в решении других задач. 3 (вариант 1). Для каждого утверждения указать, выполняется ли оно в любом векторном пространстве. Обосновать ответ. a) a = b a + b = a + c для всех векторов a, b, c b) a(b + c) = ab + ac для всех векторов a, b, c Решение. Утверждение a) ложно, например, если a = b = 0, а c 0. Заметим, что b = c a + b = a + c истинно (5) и доказано выше (направление слева направо является универсальным свойством равенства). Утверждение же b) не имеет смысла, поскольку умножение векторов ab не определено в произвольном векторном пространстве. Это умножение не может быть скалярным (a, b) или векторным [a, b], поскольку последние имеют другие обозначения. 3 (вариант 2). Для каждого утверждения указать, выполняется ли оно в любом векторном пространстве. Обосновать ответ. a) a = b 2a + 3b = 3a + 2b для всех векторов a, b b) (ab)c = a(bc) для всех векторов a, b, c Решение. Утверждение a) истинно и доказывается добавлением к обеим частям 2a + 3b = 3a+2b вектора 2a 2b. Утверждение b) не имеет смысла, поскольку умножение векторов ab не определено в произвольном векторном пространстве. 4 (вариант 1). [2, )] Имеется ненулевой вектор a, не параллельная ему прямая l и число d > 0. Требуется разложить a в сумму вектора, параллельного l и вектора с длиной d. Сколько решений имеет данная задача? Решение. Отложим a от произвольной точки на l и проведем окружность радиуса d с центром в конце a. Количество пересечений окружности с прямой l равно количеству решений задачи. Например, если окружность и прямая пересекаются в двух точках, то можно представить a = b 1 + c 1 = b 2 + c 2, причем c 1 = c 2 = d, а b 1 и b 2 параллельны l. a ϕ l b 1 c 1 c 2 b 2 4

5 Ответ также можно сформулировать следующим образом: если a sin ϕ < d, то задача не имеет решений, если a sin ϕ = d, то существует одно решение, если a sin ϕ > d, то существуют два решения. Здесь ϕ угол между направлениями вектора a и прямой l. 4 (вариант 2). [2, )] Имеется ненулевой вектор a и два положительных числа d 1 и d 2. Требуется разложить a в сумму двух векторов с длинами d 1 и d 2, соответственно. Сколько решений имеет данная задача? Решение. Отложим вектор a от произвольной точки и проведем окружности радиусом d 1 и d 2 с центрами в начале и конце a, соответственно. Количество пересечений окружностей равно количеству решений задачи. b 1 c 1 a c 2 b 2 5 (вариант 1). Дать определение базиса линейного векторного пространства и координат вектора в базисе. Доказать (не используя лемм), что координаты единственны. Решение. Базис линейного векторного пространства это максимальная линейно независимая упорядоченная последовательность (или система) векторов. Координаты вектора a в базисе,..., e n это числа x 1,..., x n такая, что a = x x n e n. Предположим, что у вектора a два набора координат x 1,..., x n и y 1,..., y n. Тогда a = x x n e n, a = y y n e n Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = (x x n e n ) (y y n e n ) = (x 1 y 1 ) + + (x n y n )e n Но система,..., e n линейно независима, поэтому линейная комбинация в правой части тривиальна, т.е. x 1 = y 1,....x n = y n. 5 (вариант 2). Дать определение базиса линейного векторного пространства и координат вектора в базисе. Доказать (не используя лемм), что каждый вектор выражается в виде линейной комбинации векторов базиса. 5

6 Решение. Определение базиса и координат см. выше. Пусть,..., e n базис, а a вектор. Поскольку базис есть максимальная линейно независимая система векторов, система,..., e n, a линейно зависима, т.е. найдется нетривиальная комбинация x x n e n + ya = 0. Но тогда y 0, поскольку в противном случае,..., e n были бы линейно зависимы. Таким образом, a = (1/y)(x x n e n ). 6 (вариант 1). На горизонтальной прямой даны точки A, B, так что B находится правее A. Где по отношению к A и B (например, слева от A, между A и B и т.п.) находятся точки, которые делят отрезок AB в следующих отношениях? a) 5 b) 1/3 c) 3 d) 1. Решение. Напомним, что точка C делит отрезок AB в отношении λ, если #» AC = λ CB. #» (8) Векторы AC #» и CB #» сонаправлены тогда и только тогда, когда C лежит между A и B. Это значит, что C делит AB в неотрицательном отношении тогда и только тогда, когда C принадлежит AB и не совпадает с B. Пусть точка C лежит справа от B. Тогда AC #» и CB #» противоположно направлены и AC > CB. Значит, λ в (8) отрицательно и λ > 1, т.е., λ < 1. Если C лежит слева от A, то AC #» и CB #» снова противоположно направлены и AC < CB. Это означает, что 1 < λ < 0. Число λ в (8) не может принимать значение 1, потому что AC CB для любой точки C (в предположении, что AB > 0). Таким образом, C лежит: a) между A и B; b) слева от A; c) справа от B; d) этот случай невозможен. 6 (вариант 2). На горизонтальной прямой даны точки A, B, так что B находится правее A. Где по отношению к A и B (например, слева от A, между A и B и т.п.) находятся точки, которые делят отрезок AB в следующих отношениях? a) 1/2 b) 5 c) 1/5 d) 1. Решение. Точка C лежит: a) между A и B; b) справа от B; c) слева от A; d) этот случай невозможен. 7 (вариант 1). Дать определение координат точки в аффинном пространстве аффинной системе координат. 6

7 Решение. Координаты точки A в аффинной системе координат, заданной репером O,..., e n это координаты радиус-вектора OA #» в базисе (,..., e n ). 7 (вариант 2). Дать определение координат вектора в аффинном пространстве аффинной системе координат. Решение. Координаты вектора в аффинной системе координат, заданной репером O,..., e n это его координаты в базисе (,..., e n ). 8 (оба варианта). Выразить вектор a проекцию 1 a на b используя скалярное произведение. a a b Решение. Опишем три способа найти выражение a через a и b. Все они, по существу, одинаковы, но используют несколько различающиеся формулировки. Рассмотрим ортонормированный базис, e 2, где b, а e 2. Тогда = b/ b (9) Способ 1. Вспомним некоторые обозначения. Проекция вектора c на прямую, параллельную вектору вдоль прямой, параллельной вектору e 2, обозначается π e 2 c. Таким образом, a = π e 2 a (10) Если e c и e 0, то { c / e, c e coord e (c) = c / e, иначе Из этого определения и определения умножения вектора на число следует, что Если же c не обязательно параллелен e, то по определению c = coord e (c)e (11) coord e 2 (c) опр = coord e1 (π e 2 c) (12) что имеет смысл, поскольку π e 2 c. Наконец, лекция 5 содержала утверждение о связи скалярного произведения и проекции в ортонормированном базисе: где = b/ b, а e 2. Используя эти факты, получаем a (11) = coord e1 (a (10) ) = coord e1 (π e (12) 2 a) = coord e (13) 2 (a) = (a, b) = b coord e 2 (a) (13) (a, b) (9) (a, b)b (a, b) = = b b b (b, b) b 1 Имеется в виду ортогональная проекция, т.е. проекция вдоль прямой, перпендикулярной b. 7

8 Способ 2. Также лекция 5 содержала следующее следствие (13): x i = (a, e i ) (14) где x i это i-я координата a в ортонормированном базисе, e 2. Тогда ( a (14) (9) = x 1 = (a, ) = a, b ) b (a, b)b (a, b) = = b b b b (b, b) b Способ 3. Можно воспользоваться определением скалярного произведения. Пусть ϕ угол между a и b, а снова единичный вектор, сонаправленный с b, т.е. = b/ b. Тогда (a, b) = a b cos ϕ, поэтому a = a cos ϕ = (a, b) b а a (a, b) > 0. Следовательно, равенство a = (a, b) b верно как по модулю, так и по знаку. Подставляя = b/ b, получаем a = (a, b)b b b = (a, b) (b, b) b Любое из двух выражений в этой формуле является правильным ответом. 9 (вариант 1). Верны ли следующие равенства? Обосновать. a) (a, b)c = a(b, c) b) a, b, c = c, a, b Решение. Равенство a) в общем случае неверно. Например, если векторы a, b и c образуют не прямоугольный треугольник, то (a, b)c и a(b, c) даже не коллинеарны. Равенство b) верно, потому что последовательность (c, a, b) получается из (a, b, c) двумя транспозициями, т.е. четной перестановкой. a, b, c = a, c, b = c, a, b 9 (вариант 2). Верны ли следующие равенства? Обосновать. a) a, b c = a b, c b) a, b, c = c, b, a Решение. Равенство a) опровергается так же, как в варианте 1. Равенство b) имеет неправильный знак, поскольку перестановка (a, b, c) в (c, b, a) нечетная. a, b, c = b, a, c = b, c, a = c, b, a 8

9 10 (вариант 1). Даны два вектора a и b на плоскости. Верны ли следующие утверждения? Обосновать. a) a = b существует c такой что (a, c) = (b, c) b) a = b для всех c выполняется (a, c) = (b, c) Решение. Направление слева направо в обоих равенствах, очевидно, выполняется (любой объект можно заменить на равный в любом контексте). Геометрический смысл утверждения (a, c) = (b, c) состоит в том, что проекции a и b на направление вектора c совпадают. Неправдоподобно, чтобы a = b следовало из совпадений проекций всего лишь на одно направление. С другой стороны, если проекции совпадают по всем направлениям, наверняка a = b. Более точно, пусть a и b коллинеарные векторы разной длины и c перпендикулярен им обоим. Тогда (a, c) = (b, c) = 0, но a b, что опровергает a). Докажем теперь направление = пункта b) от противного. Пусть a b. Если a b, то пусть c будет единичным вектором, коллинеарным a и b. Тогда coord c (a) coord c (b) (то есть a и b различаются либо длиной, либо направлением вдоль оси c), следовательно, (a, c) = coord c (a) coord c (b) = (b, c) Предположим теперь, что a b (в частности, b 0). Тогда существует направление, перпендикулярное a, но не перпендикулярное b. Пусть c единичный вектор в этом направлении. Тогда (a, c) = 0 (b, c). 10 (вариант 2). Даны два вектора a и b на плоскости. Верны ли следующие утверждения? Обосновать. a) a = b существует c такой что a, c = b, c b) a = b для всех c выполняется a, c = b, c Решение. Идея аналогична решению задачи варианта 1. Пусть a, b, c ненулевые коллинеарные векторы, причем a b. Тогда a, c = b, c = 0, но a b, что опровергает a). Докажем направление = пункта b) от противного. Пусть a b. Если a b, то пусть c будет единичным вектором, перпендикулярным a и b. Если a b, то a b. В этом случае a, c и b, c имеют одинаковый знак, но различаются по модулю, поскольку a = a, c и b = b, c. Если же a и b противоположно направлены, то a, c и b, c различаются знаком. Предположим теперь, что a b. Тогда a, b = 0. Пусть c = a, тогда a, c = 0 b, c. 10 (оба варианта). Даны два базиса ε 1 и ε 2 такие, что det C ε 1 ε 2 < 0. Доказать, что любой базис ε одноименен (т.е. имеет одинаковую ориентацию) либо с ε 1, либо с ε 2. Решение. Если ε одноименен с ε 1, то утверждение доказано. Предположим, что это не так, т.е. det C ε ε 1 < 0. Тогда т.е. ε одноименен с ε 2. det C ε ε 2 = det(c ε ε 1 C ε 1 ε 2 ) = det(c ε ε 1 ) det(c ε 1 ε 2 ) > 0 9

10 ε 1 ε 2 + ε Таким образом, если ориентации ε 1 и ε 2, а также ε и ε 1, разные, то ориентации ε и ε 2 должны совпадать. Список литературы [1] Why aren t all functions well-defined? // Gowers s Weblog URL: (дата обращения: ). [2] О.Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 34-е изд. СПб. : Лань,


Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ СИСТЕМЫ. СВЯЗИ

ЛЕКЦИЯ 4 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ СИСТЕМЫ. СВЯЗИ ЛЕКЦИЯ 4 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ СИСТЕМЫ. СВЯЗИ 1. Кинематика сложного движения тела Прошлая лекция закончилась рассмотрением кинематических уравнений Эйлера. Была рассмотрена

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ 03 КУРС. При каких n 3 можно утверждать, что для всякой пирамиды с выпуклым n-угольником в основании и всякой точки X внутри неё сумма расстояний от

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

А.П.Мостовской Лекции по геометрии. Учебное пособие

А.П.Мостовской Лекции по геометрии. Учебное пособие А.П.Мостовской Лекции по геометрии Учебное пособие УДК 514(075.8) ББК 22.151я73 М 84 Пособие по учебной дисциплине Геометрия составлено в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Ликбез по тригонометрии

Ликбез по тригонометрии Ликбез по тригонометрии Б. А. Баев (под редакцией А. В. Пастора) Мотивация Представим, что у нас есть треугольник BC со сторонами B =, BC =, BC = 60. Из первого признака равенства треугольников (по двум

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее