Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Транскрипт

1 Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов. Рассматриваются приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Дается обобщение понятия вектора. Геометрическим вектором, как известно, называют направленный отрезок. Он характеризуется своей длиной (модулем) и направлением. В математике изучают так называемые свободные векторы. Свободные векторы считаются равными, если их модули равны, а направления одинаковые. В физике, однако, важна точка приложения вектора (силы) или линия действия вектора (момента силы). Такие векторы не являются свободными. Это, соответственно, связанные и скользящие векторы. Под линейными операциями над векторами понимают сложение векторов и умножение вектора на действительное число. Складывают два вектора по правилу параллелограмма (треугольника). Это правило можно обобщить на слагаемых. Пристраивая каждый раз в конец предыдущего вектора начало последующего, получим пространственную ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого и конец последнего и будет суммой векторов R =. a i i = При умножении вектора a на число λ его модуль увеличивается (уменьшается) в λ раз, а направление не изменяется, если λ > 0. Если λ < 0, то направление изменяется на противоположное. В любом случае векторы a и b = λ a

2 лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Такие векторы называют коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Коллинеарные векторы a и b связаны соотношением b = λ a. Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называют компланарными. Легко убедиться, что линейные операции удовлетворяют следующим свойствам: ) a + b = b + a, ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ) λ ( a + b ) = λ a + λ b. Рассмотрим систему векторов a, a,..., a. () Вектор b = α i a i, где α i - числа, называют линейной i = комбинацией векторов αi Определение. Если существуют числа α i не все равные нулю такие, что линейная комбинация векторов αi обращается в нуль, то система векторов () называется линейно зависимой. Если линейная комбинация обращается в нуль только при α i = 0, то линейно независимой. Заметим, что если среди векторов системы () есть хотя бы один нулевой вектор, то она будет линейно зависимой. Если среди векторов есть хотя бы два линейно зависимых, то и вся система будет линейно зависимой. Теорема. Три компланарных геометрических вектора линейно зависимы.

3 Доказательство. Будем считать, что векторы a, a, a лежат в одной плоскости и исходят из одной точки. Используя правило сложения векторов, получим a = OA + OB Поскольку векторы OA и OB коллинеарны векторам a и a, то OA a = λ OB a = λ Тогда, a = λa + λ a или λa + λa + ( ) a = 0. Последнее равенство и означает линейную зависимость векторов a, a, a. Теорема доказана. Теорема. Три некомпланарных вектора линейно независимы. Доказательство от противного. Пусть векторы a, a, a линейно зависимы. Перепишем условие линейной зависимости α a + α a + α a = 0 иначе: α α a = ( ) a + ( ) a = λ a + λ a, α 0. () α α Из () следует, что все три вектора a, a, a лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, что противоречит условию теоремы. Это противоречие и доказывает теорему. Аналогично можно доказать, что два геометрических вектора линейно зависимы только тогда, когда они коллинеарны. Теорема. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы. Доказательство. Если хотя бы два из четырех векторов a, a, a, a 4 линейно зависимы, то и все четыре также линейно зависимые. Поэтому предположим, что a, a, a линейно независимые, а, следовательно, они не компланарные. Пусть все векторы исходят из одной точки O. Проведем через точку A

4 4 (конец вектора a ) прямую, параллельную вектору a до 4 пересечения с плоскостью, в которой лежат векторы a и a, в точке B. Через точку B проведем линию, параллельную вектору a до пересечения в точке D. Тогда согласно правилу сложения векторов имеем a4 = OD + DB + BA = λ a + λa + λa. Последнее равенство и означает линейную зависимость четырех векторов. Теорема доказана. Любая упорядоченная некомпланарная (линейно независимая) тройка геометрических векторов (,, ) называется базисом в пространстве. Векторы,, называются базисными. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Единичные векторы i i 0 = называются ортами. Базис называется i ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Совокупность точки и базиса называют декартовой системой координат. Орты прямоугольной декартовой системы координат обычно обозначают i, j, k. Пусть (,, ) некоторый базис. Присоединим к базисным векторам четвертый вектор a. Поскольку всякая четверка векторов линейно зависима, т.е. α + α + α + α 4a = 0, то α α α a = ( ) + ( ) + ( ) = α α α = λ + λ + λ, α 4 0. () Формула () дает разложение вектора a по базису (,, ). Коэффициенты λ, λ, λ называются координатами вектора a в этом базисе. Можно убедиться, что разложение вектора по базису единственное. Последнее означает, что координаты вектора

5 5 однозначно определяют сам вектор. Иначе говоря, упорядоченную тройку чисел ( λ, λ, λ ) можно считать вектором в фиксированном базисе. Очевидно, в множестве компланарных векторов любые два неколлинеарных вектора образуют базис, а всякий третий можно разложить по этому базису. В множестве коллинеарных векторов линейно независимый вектор один, он и образует базис в этом множестве. Пример. Являются ли векторы a, a, a линейно зависимыми? a = (,,5) = i + j + 5k, a = (,,) = i + j + k, a = (, 7,) = i 7 j + k. Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее нулю α a + α a + α a = 0, где 0 = (0,0,0) нуль вектор. Если все α i = 0, то система линейно независимая. Используя правила умножения вектора на число, сложение и сравнение векторов, заданных своими координатами, получим следующую систему линейных уравнений α + α α = 0, α + α 7α = 0, 5α + α + α = 0. Заметим, что формулы Крамера, полученные нами в Лекции. для системы двух уравнений, справедливы и для любой линейной системы уравнений с неизвестными. Если определитель системы 0, то система имеет единственное i решение, определяемое формулами Крамера i =, i =,,,. Вычислим определитель нашей системы 0 0 = 7 = = =. 5 5

6 6 Определители,, равны нулю, т.к. имеют нулевые столбцы, поэтому система имеет только нулевое решение α = α = α = 0. Следовательно данные векторы линейно независимые. Скалярным произведением двух векторов a и b, как известно, называют число, определяемое формулой ( a, b) = a b cos( a, b). (4) Можно проверить, что скалярное произведение обладает следующими свойствами: ) (, ) ( ab = ba, ), ) ( λab, ) = ( a, λb ) = λ( ab, ), ) ( s, ) (, ) ( a + b c = a c + b, c), 4) ( a, a) = a > 0, a 0. Из (4) также следует, что (, ab) = a пр a b = b пр b a. (5) Рассмотрим ортонормированный базис ( i, j, k ). Очевидно ( i, i) = ( j, j) = ( k, k) =, ( i, j) = ( i, k ) = ( j, k ) = 0. (6) Пусть = i + j + k, y = yi + y j + yk. Используя свойства скалярного произведения и учитывая (6), найдем выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе. (, y) = y + y + y = y. Если = y, то из (7) найдем, что (, ) = = + +, = (, ) = + +. Пример. Вычислить работу силы F = i j + k при перемещении материальной точки из пункта A( 0, ) в пункт B(, 5, ). i= i i (7)

7 Решение. Работа A = F AB cos( F, AB) = ( F, AB). 7 Поскольку Базис AB = (, 45,), то A = + ( ) ( 4) + 5 = 9. (,, ) называют правым, если поворот первого вектора ко второму на наименьший угол между ними со стороны третьего кажется против стрелки часов. В противном случае базис называют левым. На первом рисунке базис ( i, j, k ) правый, а на втором левый. В дальнейшем будем пользоваться правым базисом. Определение. Векторным произведением двух векторов a и b называют третий вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям: ) вектор c перпендикулярен векторам a и b ; ) тройка векторов a,b, c правая; ) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, т.е. c = a b si( a, b ). Обозначают векторное произведение так c = a b = [ a, b]. Рассмотрим ортонормированный базис ( i, j, k ). Согласно определению векторного произведения найдем: i i = j j = k k = 0, i j = k, j i = k, i k = j, k i = j, j k = i, k j = i. (8) Отметим следующие свойства векторного произведения., y = y,, ) [ ] [ ] ) [ λ y] = [ λy] = λ[ y],,,,

8 8 ) [ + y, z] = [, z] + [ y, z], 4)[, ] = 0. Используя свойства векторного произведения и соотношения (8), найдем векторное произведение двух векторов = i + j + k, y = y i + y j + yk, заданных в ортогональном базисе своими координатами. y = ( y y) i ( y y) j+ ( y y) k = i j k = i j + k =. (9) y y y y y y y y y Пример. Найти момент силы F = i j + 5k, приложенной в точке A(,, ), относительно начала координат. Решение. i j k M = F = = 5 = i j + 5k. Определение. Смешанным произведением трех векторов a,b, c называют число, равное ( a b, c). Рассмотрим геометрический смысл смешанного произведения. Векторы a,b, c выберем в качестве ребер и построим параллелепипед. Пусть S = a b, тогда S = S осн -площадь основания параллелепипеда, а смешанное произведение ( a b, c) = ( S, c) = S c cos θ = S ( ± H) = ± V. Здесь H - высота параллелепипеда, а V его объем. 0

9 9 Таким образом, смешанное произведение только знаком может отличаться от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на ребрах. Если тройка ( abc,, ) правая, то знак смешанного произведения будет положительным. Из геометрического смысла смешанного произведения ясно, что векторно можно перемножать любые два из трех векторов, от этого может измениться только знак. Легко проверить, что тройки векторов ( abc,, ), ( bca,, ) и ( cab,, ) одинаковой ориентации, так что ( a b, c) = = ( b c, a) = ( c a, b). Поэтому смешанное произведение обозначают ( abc,, ) = abc, не указывая, какие векторы перемножаются векторно. Выразим смешанное произведение через координаты перемножаемых векторов в ортонормированной системе координат. Пусть = (,, ), y = ( y, y, y ), z = ( z, z, z ). Поскольку y i j k = +, то y y y y y y ( + y, z) = z z z = y y y y y y = y y y. (0) z z z Теорема 4. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство ясно из геометрической интерпретации смешанного произведения. Следствие. Три вектора abc,, линейно независимы только в том случае, если их смешанное произведение отлично от нуля. Доказательство очевидно.

10 0 Пример 4. Проверить линейную независимость векторов a =,,5), a = (,,), a = (, 7,) (см. пример выше). ( Решение. Найдем их смешанное произведение aaa = 5 7 = 0. Данные векторы, согласно следствию, линейно независимые. Обобщим понятие вектора. Назовем вектором упорядоченную совокупность действительных чисел, т.е. = (,,, ) вектор, i его координаты. При сложении векторов их соответствующие координаты будем складывать, а при умножении на число- умножать на это число. Множество всех таких векторов с определенными выше операциями называют арифметическим пространством и обозначают R. Обычное пространство геометрических векторов обозначают R, множество компланарных геометрических векторов - R, коллинеарных - R. Зафиксировав в пространстве R ортонормированный базис (,,, ), понятия скалярного, векторного и смешанного произведений можно обобщить и на векторы этого пространства i i i i = (,, ), i =,,,. Cкалярным произведением двух векторов и пространства R назовем число, определяемое следующей формулой, ) = k = ( k k. () Векторным произведением ( ) вектора пространства R назовем вектор S этого же пространства, определяемый следующей формулой ().

11 S V =. () =. () Смешанным произведением векторов пространства назовем число V, определяемое формулой (). Лекция. Вопросы для самоконтроля. Что называется геометрическим вектором?. Какие вы знаете векторы?. Какие операции над векторами называются линейными? 4. По какому правилу складываются векторы? 5. Какие геометрические векторы называются коллинеарными? Компланарными? 6. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых векторов. 7. Приведите примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов? 8. Что такое ортонормированный базис в R? 9. Что, значит, разложить вектор по базису? 0. Дайте определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов?. Чем отличаются свойства скалярного произведения от свойств векторного произведения?. Чему для вектора a равно выражение a? R

12 . Какому условию должны удовлетворять векторы a, b, c,чтобы из них можно было образовать треугольник? 4. Даны векторы: a =(,0,,0), а =(,,-,), а =(,0,,), а 4 =(-,,,4). Найти: а)скалярное произведение векторов а и а ; б) Векторное произведение S векторов а,а,а ; в) Смешанное произведение V данных векторов.