Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
|
|
- Татьяна Телепнева
- 3 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов. Рассматриваются приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Дается обобщение понятия вектора. Геометрическим вектором, как известно, называют направленный отрезок. Он характеризуется своей длиной (модулем) и направлением. В математике изучают так называемые свободные векторы. Свободные векторы считаются равными, если их модули равны, а направления одинаковые. В физике, однако, важна точка приложения вектора (силы) или линия действия вектора (момента силы). Такие векторы не являются свободными. Это, соответственно, связанные и скользящие векторы. Под линейными операциями над векторами понимают сложение векторов и умножение вектора на действительное число. Складывают два вектора по правилу параллелограмма (треугольника). Это правило можно обобщить на слагаемых. Пристраивая каждый раз в конец предыдущего вектора начало последующего, получим пространственную ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого и конец последнего и будет суммой векторов R =. a i i = При умножении вектора a на число λ его модуль увеличивается (уменьшается) в λ раз, а направление не изменяется, если λ > 0. Если λ < 0, то направление изменяется на противоположное. В любом случае векторы a и b = λ a
2 лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Такие векторы называют коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Коллинеарные векторы a и b связаны соотношением b = λ a. Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называют компланарными. Легко убедиться, что линейные операции удовлетворяют следующим свойствам: ) a + b = b + a, ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ) λ ( a + b ) = λ a + λ b. Рассмотрим систему векторов a, a,..., a. () Вектор b = α i a i, где α i - числа, называют линейной i = комбинацией векторов αi Определение. Если существуют числа α i не все равные нулю такие, что линейная комбинация векторов αi обращается в нуль, то система векторов () называется линейно зависимой. Если линейная комбинация обращается в нуль только при α i = 0, то линейно независимой. Заметим, что если среди векторов системы () есть хотя бы один нулевой вектор, то она будет линейно зависимой. Если среди векторов есть хотя бы два линейно зависимых, то и вся система будет линейно зависимой. Теорема. Три компланарных геометрических вектора линейно зависимы.
3 Доказательство. Будем считать, что векторы a, a, a лежат в одной плоскости и исходят из одной точки. Используя правило сложения векторов, получим a = OA + OB Поскольку векторы OA и OB коллинеарны векторам a и a, то OA a = λ OB a = λ Тогда, a = λa + λ a или λa + λa + ( ) a = 0. Последнее равенство и означает линейную зависимость векторов a, a, a. Теорема доказана. Теорема. Три некомпланарных вектора линейно независимы. Доказательство от противного. Пусть векторы a, a, a линейно зависимы. Перепишем условие линейной зависимости α a + α a + α a = 0 иначе: α α a = ( ) a + ( ) a = λ a + λ a, α 0. () α α Из () следует, что все три вектора a, a, a лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, что противоречит условию теоремы. Это противоречие и доказывает теорему. Аналогично можно доказать, что два геометрических вектора линейно зависимы только тогда, когда они коллинеарны. Теорема. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы. Доказательство. Если хотя бы два из четырех векторов a, a, a, a 4 линейно зависимы, то и все четыре также линейно зависимые. Поэтому предположим, что a, a, a линейно независимые, а, следовательно, они не компланарные. Пусть все векторы исходят из одной точки O. Проведем через точку A
4 4 (конец вектора a ) прямую, параллельную вектору a до 4 пересечения с плоскостью, в которой лежат векторы a и a, в точке B. Через точку B проведем линию, параллельную вектору a до пересечения в точке D. Тогда согласно правилу сложения векторов имеем a4 = OD + DB + BA = λ a + λa + λa. Последнее равенство и означает линейную зависимость четырех векторов. Теорема доказана. Любая упорядоченная некомпланарная (линейно независимая) тройка геометрических векторов (,, ) называется базисом в пространстве. Векторы,, называются базисными. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Единичные векторы i i 0 = называются ортами. Базис называется i ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Совокупность точки и базиса называют декартовой системой координат. Орты прямоугольной декартовой системы координат обычно обозначают i, j, k. Пусть (,, ) некоторый базис. Присоединим к базисным векторам четвертый вектор a. Поскольку всякая четверка векторов линейно зависима, т.е. α + α + α + α 4a = 0, то α α α a = ( ) + ( ) + ( ) = α α α = λ + λ + λ, α 4 0. () Формула () дает разложение вектора a по базису (,, ). Коэффициенты λ, λ, λ называются координатами вектора a в этом базисе. Можно убедиться, что разложение вектора по базису единственное. Последнее означает, что координаты вектора
5 5 однозначно определяют сам вектор. Иначе говоря, упорядоченную тройку чисел ( λ, λ, λ ) можно считать вектором в фиксированном базисе. Очевидно, в множестве компланарных векторов любые два неколлинеарных вектора образуют базис, а всякий третий можно разложить по этому базису. В множестве коллинеарных векторов линейно независимый вектор один, он и образует базис в этом множестве. Пример. Являются ли векторы a, a, a линейно зависимыми? a = (,,5) = i + j + 5k, a = (,,) = i + j + k, a = (, 7,) = i 7 j + k. Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее нулю α a + α a + α a = 0, где 0 = (0,0,0) нуль вектор. Если все α i = 0, то система линейно независимая. Используя правила умножения вектора на число, сложение и сравнение векторов, заданных своими координатами, получим следующую систему линейных уравнений α + α α = 0, α + α 7α = 0, 5α + α + α = 0. Заметим, что формулы Крамера, полученные нами в Лекции. для системы двух уравнений, справедливы и для любой линейной системы уравнений с неизвестными. Если определитель системы 0, то система имеет единственное i решение, определяемое формулами Крамера i =, i =,,,. Вычислим определитель нашей системы 0 0 = 7 = = =. 5 5
6 6 Определители,, равны нулю, т.к. имеют нулевые столбцы, поэтому система имеет только нулевое решение α = α = α = 0. Следовательно данные векторы линейно независимые. Скалярным произведением двух векторов a и b, как известно, называют число, определяемое формулой ( a, b) = a b cos( a, b). (4) Можно проверить, что скалярное произведение обладает следующими свойствами: ) (, ) ( ab = ba, ), ) ( λab, ) = ( a, λb ) = λ( ab, ), ) ( s, ) (, ) ( a + b c = a c + b, c), 4) ( a, a) = a > 0, a 0. Из (4) также следует, что (, ab) = a пр a b = b пр b a. (5) Рассмотрим ортонормированный базис ( i, j, k ). Очевидно ( i, i) = ( j, j) = ( k, k) =, ( i, j) = ( i, k ) = ( j, k ) = 0. (6) Пусть = i + j + k, y = yi + y j + yk. Используя свойства скалярного произведения и учитывая (6), найдем выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе. (, y) = y + y + y = y. Если = y, то из (7) найдем, что (, ) = = + +, = (, ) = + +. Пример. Вычислить работу силы F = i j + k при перемещении материальной точки из пункта A( 0, ) в пункт B(, 5, ). i= i i (7)
7 Решение. Работа A = F AB cos( F, AB) = ( F, AB). 7 Поскольку Базис AB = (, 45,), то A = + ( ) ( 4) + 5 = 9. (,, ) называют правым, если поворот первого вектора ко второму на наименьший угол между ними со стороны третьего кажется против стрелки часов. В противном случае базис называют левым. На первом рисунке базис ( i, j, k ) правый, а на втором левый. В дальнейшем будем пользоваться правым базисом. Определение. Векторным произведением двух векторов a и b называют третий вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям: ) вектор c перпендикулярен векторам a и b ; ) тройка векторов a,b, c правая; ) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, т.е. c = a b si( a, b ). Обозначают векторное произведение так c = a b = [ a, b]. Рассмотрим ортонормированный базис ( i, j, k ). Согласно определению векторного произведения найдем: i i = j j = k k = 0, i j = k, j i = k, i k = j, k i = j, j k = i, k j = i. (8) Отметим следующие свойства векторного произведения., y = y,, ) [ ] [ ] ) [ λ y] = [ λy] = λ[ y],,,,
8 8 ) [ + y, z] = [, z] + [ y, z], 4)[, ] = 0. Используя свойства векторного произведения и соотношения (8), найдем векторное произведение двух векторов = i + j + k, y = y i + y j + yk, заданных в ортогональном базисе своими координатами. y = ( y y) i ( y y) j+ ( y y) k = i j k = i j + k =. (9) y y y y y y y y y Пример. Найти момент силы F = i j + 5k, приложенной в точке A(,, ), относительно начала координат. Решение. i j k M = F = = 5 = i j + 5k. Определение. Смешанным произведением трех векторов a,b, c называют число, равное ( a b, c). Рассмотрим геометрический смысл смешанного произведения. Векторы a,b, c выберем в качестве ребер и построим параллелепипед. Пусть S = a b, тогда S = S осн -площадь основания параллелепипеда, а смешанное произведение ( a b, c) = ( S, c) = S c cos θ = S ( ± H) = ± V. Здесь H - высота параллелепипеда, а V его объем. 0
9 9 Таким образом, смешанное произведение только знаком может отличаться от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на ребрах. Если тройка ( abc,, ) правая, то знак смешанного произведения будет положительным. Из геометрического смысла смешанного произведения ясно, что векторно можно перемножать любые два из трех векторов, от этого может измениться только знак. Легко проверить, что тройки векторов ( abc,, ), ( bca,, ) и ( cab,, ) одинаковой ориентации, так что ( a b, c) = = ( b c, a) = ( c a, b). Поэтому смешанное произведение обозначают ( abc,, ) = abc, не указывая, какие векторы перемножаются векторно. Выразим смешанное произведение через координаты перемножаемых векторов в ортонормированной системе координат. Пусть = (,, ), y = ( y, y, y ), z = ( z, z, z ). Поскольку y i j k = +, то y y y y y y ( + y, z) = z z z = y y y y y y = y y y. (0) z z z Теорема 4. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство ясно из геометрической интерпретации смешанного произведения. Следствие. Три вектора abc,, линейно независимы только в том случае, если их смешанное произведение отлично от нуля. Доказательство очевидно.
10 0 Пример 4. Проверить линейную независимость векторов a =,,5), a = (,,), a = (, 7,) (см. пример выше). ( Решение. Найдем их смешанное произведение aaa = 5 7 = 0. Данные векторы, согласно следствию, линейно независимые. Обобщим понятие вектора. Назовем вектором упорядоченную совокупность действительных чисел, т.е. = (,,, ) вектор, i его координаты. При сложении векторов их соответствующие координаты будем складывать, а при умножении на число- умножать на это число. Множество всех таких векторов с определенными выше операциями называют арифметическим пространством и обозначают R. Обычное пространство геометрических векторов обозначают R, множество компланарных геометрических векторов - R, коллинеарных - R. Зафиксировав в пространстве R ортонормированный базис (,,, ), понятия скалярного, векторного и смешанного произведений можно обобщить и на векторы этого пространства i i i i = (,, ), i =,,,. Cкалярным произведением двух векторов и пространства R назовем число, определяемое следующей формулой, ) = k = ( k k. () Векторным произведением ( ) вектора пространства R назовем вектор S этого же пространства, определяемый следующей формулой ().
11 S V =. () =. () Смешанным произведением векторов пространства назовем число V, определяемое формулой (). Лекция. Вопросы для самоконтроля. Что называется геометрическим вектором?. Какие вы знаете векторы?. Какие операции над векторами называются линейными? 4. По какому правилу складываются векторы? 5. Какие геометрические векторы называются коллинеарными? Компланарными? 6. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых векторов. 7. Приведите примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов? 8. Что такое ортонормированный базис в R? 9. Что, значит, разложить вектор по базису? 0. Дайте определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов?. Чем отличаются свойства скалярного произведения от свойств векторного произведения?. Чему для вектора a равно выражение a? R
12 . Какому условию должны удовлетворять векторы a, b, c,чтобы из них можно было образовать треугольник? 4. Даны векторы: a =(,0,,0), а =(,,-,), а =(,0,,), а 4 =(-,,,4). Найти: а)скалярное произведение векторов а и а ; б) Векторное произведение S векторов а,а,а ; в) Смешанное произведение V данных векторов.
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Векторное и смешанное произведение векторов
Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.
Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
a b, a если векторы имеют противоположное направление, то
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические
ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.
ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало
5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах
49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
Основы векторной алгебры
) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе
Аналитическая геометрия. Лекция 1.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Базис. Координаты вектора в базисе
Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)
Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.
Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл
Лекция 2. Векторы. Определения.
Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:
Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве
Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного
~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только
~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется
9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.
Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется
3.4 Векторы. Метод координат
3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства
Аналитическая геометрия. Лекция 1.5
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко
Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);
Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины
Лекция 2: Линейные операции над векторами
Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения
Глава II. Векторная алгебра.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный
Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.
Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между
Лекция 4: Векторное произведение векторов
Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей
Тема 1-12: Линейные операции над векторами
Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком
Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.
Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки
«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.
Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число
Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до
Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический
Геометрические векторы
Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его
Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.
Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Лекция 5: Смешанное произведение векторов
Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается
13. Смешанное произведение векторов
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,
Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости
Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения
Линейные пространства
Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или
a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко
Решение типовых задач к разделу «Матрицы»
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости
Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая
Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет
Примеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором
Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.
ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го
Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M
Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между
a b =S пар. = a b sin( a,b );
Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное
Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.
Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»
Основы векторной алгебры
Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и
Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:
Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному
Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так
Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал
Элементы высшей математики
Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости
4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами
4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы
Глава 1. Элементы линейной алгебры.
Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,
4. Координаты вектора
4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление
Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число
Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное
Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n
Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер
Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть
ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )
ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань
Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой
Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в