1. Линейные системы и матрицы

Транскрипт

1 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна. Приведем пример: 2. Дать определение ступенчатого вида матрицы и канонического вида матрицы. m k= A = ( ), B = ( ), AB = ( ), BA = ( ) Ступенчатый вид: все ненулевые строки стоят выше нулевых; ведущий элемент i-й строки стоит левее ведущего элемента i + 1-й строки. Канонический вид то же, плюс: ведущие элементы ненулевых строк равны 1; ведущие элементы в своих столбцах являются единственными ненулевыми. 3. Что такое элементарные преобразования строк матрицы? Прибавление к одной строке другой, домноженной на коэффициент; Перестановка местами двух строк; Домножение строки на ненулевой коэффициент. 4. Сформулировать теорему о методе Гаусса (алгоритм

2 приводить не нужно). Любая конечная матрица может быть элементарными преобразованиями строк приведена к каноническому виду. 5. Дать определение перестановки и подстановки. Перестановка упорядоченный набор элементов множества целых чисел от 1 до. Подстановка биекция множества 1, на себя. 6. Дать определение инверсии и транспозиции. Инверсия пара индексов такая, что: i < j π(i) > π(j). Транспозиция подстановка, меняющая местами два элемента. 7. Дать определение знака и четности подстановки. Знак 1 в степени количества инверсий. Четность четность числа инверсий. 8. Выписать общую формулу для вычисления определителя произвольного порядка. det A = ( 1 ) N(π) a 1π(1) a 2π(2) a π(), π S где N(π) число инверсий в подстановке π. 9. Выписать формулы для разложения определителя по строке и по столбцу. По i-й строке: det A = a ij A ij, j=1

3 по j-му столбцу: A ij det A = a ij A ij, где алгебраическое дополение элемента. i=1 a ij 10. Что такое фальшивое разложение? Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца). Фальшивое разложение равно нулю. a ij A kj = 0, i k j=1 a ij A ik = 0, j k i=1 11. Что представляет собой функция от столбцов матрицы, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице? Определитель (аксиоматическое определение). 12. Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. x i =, Δ где Δ определитель основной матрицы, а Δ i определитель матрицы, полученной из основной заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Δ i 13. Что такое дополняющий минор и что такое алгебраическое дополнение? M ij Дополняющий минор определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. a ij Алгебраическое дополнение элемента :

4 14. Дать определение союзной матрицы. где A ij A A ij = ( 1) i+j M ij. A 11 A 21 A 1 A = 12 A 22 A 2, A 1 A 2 A алгебраические дополнения соответствующих элементов. 15. Дать определения обратной матрицы. Сформулировать критерий существования обратной матрицы. A 1 обратная к A, если A 1 A = A A 1 = E. Обратная матрица существует, если исходная матрица квадратная и невырождена. 16. Выписать формулу для нахождения обратной матрицы. где A союзная. A 1 1 =, det A A 17. Дать определение минора. A α 1,, α k β 1,, β A l Минор матрицы определитель матрицы, состоящей из элементов матрицы A, стоящих на пересечении строк α 1,, α k и столбцов,,. β 1 β l 18. Дать определение базисного минора. Базисный минор любой ненулевой минор максимального порядка. 19. Дать определение линейной комбинации строк.

5 Сумма строк, умноженных на коэффициенты. 20. Дать определение линейной зависимости строк матрицы. Строки v 1,, v линейно зависимы, если существует ненулевой набор коэффициентов,, такой, что α 1 α α 1 v α v = Дать определение линейной независимости столбцов матрицы. Столбцы v 1,, v линейно независимы, если α 1 v α v = 0 α 1 = = α = Сформулировать критерий линейной зависимости. Набор векторов линейно зависим, если один из векторов линейно выражается через другие. 23. Дать определение ранга матрицы. Как связан ранг матрицы с рангом транспонированной матрицы? Ранг матрицы порядок ее базисного минора. Ранг транспонированной матрицы равен рангу обычной. 24. Сформулировать теорему о базисном миноре. Столбцы базисного минора линейно независимы, а все остальные столбцы есть их линейные комбинации. 25. Формулировать теорему о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. 26. Сформулировать критерий невыроженности

6 квадратной матрицы. Ранг равен размерности. 27. Выписать свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ. Линейная комбинация решений однородной СЛАУ является решением однородной СЛАУ; разность двух решений неоднородной СЛАУ есть решение однородной СЛАУ; сумма решения однородной СЛАУ и решения неоднородной СЛАУ есть решение неоднородной СЛАУ. 28. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной. 29. Сформулировать критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Ее основная матрица вырождена. 30. Дать определение ФСР однородной СЛАУ. ФСР базис множества решений. 31. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ. Любое решение x однородной СЛАУ представляется в виде: где ϕ 1,, ϕ k ФСР. x = c 1 ϕ c k ϕ k,

7 32. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Любое решение x неоднородной СЛАУ представляется в виде: x = x 0 + c 1 ϕ c k ϕ k, где ϕ 1,, ϕ k ФСР соответствующей однородной СЛАУ, а x 0 частное решение неоднородной СЛАУ.