ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ"

Транскрипт

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Кафедра строительной механики Б.П. ДЕРЖАВИН, А.М. ЛУКЬЯНОВ, И.И. МОНАХОВ ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ Учебное пособие Москва

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Кафедра строительной механики Б.П. Державин, А.М. Лукьянов, И.И. Монахов ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов всех специальностей. М О С К В А

3 УДК 539.3/.6: Д - 76 Державин Б.П., Лукьянов А.М., Монахов И.И. Построение эпюр внутренних усилий: Учебное пособие 4-е изд. испр. - М.: МИИТ, 2013, 44 с.: ил. Излагаются основные теоретические сведения из курса «Сопротивление материалов» - определение внутренних усилий в поперечных сечениях стержня. Приводятся характерные примеры с подробными решениями. Учебное пособие следует рассматривать как дополнение к лекциям и к указанной учебной литературе. Для студентов всех специальностей, изучающих сопротивление материалов. Рецензенты: профессор, доктор технических наук, С.Б. Косицын (МИИТ); кандидат технических наук, доцент В.И.Иванов-Дятлов (МАДИ). МИИТ, 2013

4 1. Метод сечений При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле будем называть внутренними силами (усилиями). При решении задач сопротивления материалов необходимо уметь определять значение и направление внутренних усилий (например, в задачах, где оценивается прочность элементов конструкций). Для их определения применяется метод сечений. Рассмотрим тело, имеющее форму бруса и находящееся в равновесии под действием системы внешних сил F i. Пусть требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении а а этого бруса (рис.1, a). Мысленно рассечем его по сечению а а на две части I и II и удалим одну из частей, например часть I (обычно оставляется та часть, для которой получается простое решение или к которой приложено меньше внешних сил). Оставшаяся часть II, в общем случае, не будет находиться в равновесии. Для сохранения этой части бруса в равновесии необходимо к ней приложить усилия, распределенные по сечению а- а (рис.1, б). Эти усилия и есть внутренние усилия в сечении а-а бруса. Они заменяют собой действие отброшенной части I (вместе с приложенными к ней внешними силами) на оставшуюся часть II. Внутренние усилия, согласно закону о равенстве дейст-вия и противодействия, которые приложены к части II в сечении а-а равны и противоположны по направлению внутренним усилиям, действующим на часть I в том же сечении. В соответствии с правилами статики приведем систему внутренних усилий, действующих на часть II в сечении а а, к главному вектору R и главному моменту M, приложенным в центре тяжести этого сечения. Выберем систему координат x, y, z с началом в том же центре тяжести (точка О). Ось z направим по внешней нормали к сечению, а оси x, y расположим в плоскости сечения (рис.1, в). Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y, z. В результате получим шесть составляющих, которые принято называть внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями. 3

5 Составляющие главного вектора называются: усилие вдоль оси z - продольной силой N; усилия вдоль осей x и y - поперечными силами Q x и Q y, соответственно (см. рис. 1, в). Составляющие главного момента называются: момент относительно оси z - крутящим моментом М z ; моменты относительно осей x и y - изгибающими моментами М x и М y соответственно (см. рис. 1,в). Таким образом, после приложения в сечении а - а к части II усилий, заменяющих собой действие отброшенной части I (в общем случае, шести силовых факторов), оставшаяся часть II, которая нагружена и приложенными к ней внешними силами, находится в равновесии. Поэтому для части II можно записать шесть уравнений равновесия: Ост.ч. Ост.ч. Ост.ч. Σ Х = 0 Σ Y= 0 Σ Z= 0 Ост.ч. Ост.ч. Ост.ч. (1) Σ М x = 0 Σ M y = 0 Σ M z = 0 Напомним основные правила составления уравнений равновесия: 1.Проекция силы на ось равна произведению силы на косинус угла между направлением силы и направлением положительной оси. 2. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю. 3. Момент силы относительно оси равен произведению проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо силы. 4. Момент силы относительно оси равен нулю: а) если сила параллельна оси; б) если линия действия силы пересекает ось. Из приведенных первых трех уравнений равновесия соответственно находим Q x, Q y и N, а из трех последних уравнений М x, М y и М z. Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решения уравнений равновесия, указывает на правильность (знак плюс) 4

6 Рис. 1. Определение внутренних усилий методом сечений или неправильность (знак минус) выбранных направлений внутренних усилий. Поступая аналогично, можно определить внутренние усилия в сечении а а из рассмотрения равновесия части I. Таким образом, метод сечений дает возможность определить в сечении направление и значение равнодействующих внутренних усилий (или их компонент). Закон же распределения внутренних усилий по сечению остается неизвестным. Для решения этого вопроса необходимо знать, как деформируется данный брус под действием внешних сил, приложенных к нему. Применение метода сечения для определения значений и направлений внутренних усилий рассмотрим на следующем примере. 5

7 Пример 1. Для пространственного стержня рис. 2, а определить значения и направления внутренних усилий в сечениях I - I и II II. Рис. 2. К примеру 1. Р е ш е н и е. Для определения значений и направлений внутренних усилий в сечениях I - I и II II применим метод сечений. С е ч е н и е I I. Рассечем пространственный стержень в сечении I I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня АВ (рис. 2, б). Одну часть стержня, например, содержащую заделку, отбросим, и действие ее на оставшуюся часть заменим шестью внутренними усилиями N, Q x, Q y, M z, M x, M y, приложенными в сечении I - I. Заметим, что в стержне, закрепленном при помощи жесткой заделки, целесообразно оставлять ту часть стержня, которая не 6

8 закреплена, так как тогда не требуется определять опорные реакции. Далее выберем прямоугольную систему осей x, y, z, совместив начало координат с центром тяжести сечения I - I. Ось z направим вдоль оси рассеченного стержня АВ (в сторону внешней нормали сечения), а оси x, y, расположим в плоскости поперечного сечения, как показано на рис. 2,б. Такой выбор осей является обязательным. Внутренние усилия N, Q x, Q y направим вдоль соответствующих положительных осей x, y, z, внутренние усилия М x, М y, М z - по ходу часовой стрелки при взгляде на оставшуюся часть со стороны положительного направления тех же осей. Такие направления внутренних силовых факторов будем считать положительными. Часть стержня, нагруженная внешними силами 2F, 5F и усилиями, приложенными в сечении I - I, находятся в равновесии (рис.2. б). Для этой части стержня составим шесть уравнений равновесия, из решения которых определим внутренние усилия в сечении I I: Ост.ч. Σ Х = 0, Q x + 2F = 0, Q x = -2F; Ост. ч. Ост.ч ΣY= 0, Q y = 0; ΣZ = 0, N+5F = 0, N= -5F; Ост. ч. ΣМ x = 0, M x - 5Fa=0, M x = 5Fa; Ост.ч. Σ M y = 0, M y - 2Fa+5Fa =0, Ост. ч. Σ M z = 0, M z = 0. M y = - 3Fa; Таким образом, в сечении I - I действуют четыре внутренних усилия (Q y =0 и M z = 0), причем три из них Q x, N и M у в направлении, противоположном принятому. С е ч е н и е II II. Рассечем стержень в сечении II II плоскостью, перпендикулярной оси стержня ВС Часть стержня, содержащую жесткое закрепление, отбросим. Выберем систему координат x, y, z и действие отброшенной части на оставшуюся заменим шестью внутренними усилиями, как показано на рис. 2, в. Эта часть стержня находится в равновесии; составим для нее уравнения равновесия: 7

9 Ост.ч. Ост.ч Σ Х = 0, Q x - 5F = 0, Q x = 5F; ΣY = 0, Q y = 0; Ост. ч. Σ Z = 0, N +2F = 0, N = - 2 F ; Ост. ч. Σ М x = 0, M x = 0 ; ΣM y = 0, M y +5 Fa = 0, M y = -5Fa; Ост.ч. ΣM z = 0, M z - 5Fa = 0. M z = 5Fa; Следовательно, в сечении II II возникает четыре внутренних усилия (Q y = 0, M Х = 0), причем два из них N и M y - направлены в обратную сторону (рис.2, в ). Как видно из рассмотренного примера, внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержня, меняются вдоль его продольной оси z. Для более наглядного представления характера изменения внутренних усилий вдоль оси z строят их графики. Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются э п ю р а м и. Например, эпюрой продольных сил, эпюрой изгибающих моментов и т.п. 2. Построение эпюр внутренних усилий 2.1. Общие замечания Эпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы определить опасные сечения, т.е. сечения, где существует большая вероятность наступления разрушения из-за того, что там внутренние усилия достигают наибольших значений. Характер изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня, в общем случае, бывает разным. Поэтому, сначала следует установить границы участков, в пределах которых внутренние усилия будут изменяться по одной закономерности. Границами таких участков являются сечения, где приложены внешние сосредоточенные усилия (момент, сила), начинается или кончается распределенная нагрузка, а также сечения, в которых имеется перелом оси стержня. Далее, применяя метод сечений и учитывая правила знаков, получают аналитические зависимости изменения внутренних усилий в пределах каждого участка, например N= f 1 (z), М x = f 2 (z) и т.д. Затем, используя их, строят графики этих усилий эпюры. Ординаты 8

10 эпюр внутренних усилий в определенном масштабе откладываются от базисной линии, которая проводится параллельно оси стержня. Построенную эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярными базисной линии. Кроме того, на эпюрах для характерных ординат обязательно указывать их значения, а в кружочке знак усилия Построение эпюр продольных сил При действии на стержень внешних нагрузок, направленных вдоль продольной оси, или нагрузок, равнодействующая которых направлена также вдоль продольной оси, в поперечных сечениях возникает только один силовой фактор - продольная сила. Такие нагрузки вызывают растяжение или сжатие стержня. Условимся: продольную силу N считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению (рис. 3). Рис. 3. Правило знаков для N При построении эпюры продольных сил положительные значения N будем откладывать вверх от горизонтальной базисной линии или вправо от вертикальной базисной линии; отрицательные значения N, соответственно, будем откладывать в противоположном направлении, т.е. либо вниз, либо влево. Пример 2. Для стержня, нагруженного сосредоточенными продольными силами (рис. 4, а), построить эпюру N. Р е ш е н и е. Разобьем стержень на три участка (на рис. 4, а участки обозначены римскими цифрами), начиная от правого незакрепленного конца. Границами участков будут сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы. Сначала найдем закономерность изменения продольной силы на первом участке. Для этого в произвольном месте участка I проведем сечение I-I и отбросим левую часть стержня, так как к ней 9

11 приложено больше сил, включая неизвестную реакцию в заделке. Действие отброшенной части на оставшуюся заменим внутренним усилием N 1, предполагая его положительным (растягивающим) и соответственно направим от сечения (рис. 4, б). Рис. 4. К примеру 2. Рекомендуется (во избежание ошибок) неизвестное внутреннее усилие N принимать всегда положительным, т.е. растягивающим, и следовательно, направлять его от сечения. Знак искомого усилия, получаемый из решения, позволит установить: 1) правилен ли был выбор направления продольной силы N; 2) какой вид деформации при этом возникает растяжение или сжатие. 10

12 Оставшаяся, правая часть стержня, нагруженная внешней силой 2F и внутренним усилием N 1, находится в равновесии (рис. 4, б). Запишем уравнение равновесия для этой части стержня (0 z 1 3 l) Ост.ч. Ζ = 0, N - 2F = 0, N = 2 F ; (2) Следовательно, продольная сила будет направлена от сечения, т.е. будет растягивающей и постоянной в пределах первого участка, так как не зависит от z 1. Далее определим характер изменения продольной силы на втором участке. Проведем в произвольном месте этого участка сечение 2-2, вновь отбросим левую часть стержня и действие отброшенной части заменим положительной продольной силой N 2 (рис. 4, в). Составим уравнение равновесия для оставшейся части ( 0 z 2 4 l ) Ост. ч. Z = 0, N + 3 F - 2F = 0, N = - F ; (3) Следовательно, продольная сила будет направлена в противоположную сторону, т.е. к сечению и соответственно будет сжимающей (на рис. 4, в действительное направление силы N 2 показано пунктиром), постоянной и на втором участке. Из выражений (2) и (3) видно, что продольная сила в поперечных сечениях стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось стержня, приложенных к его оставшейся части: Ост.ч. N i = F i z (4) Поэтому можно при определении продольной силы в сечениях стержня использовать следующий способ. Достаточно мысленно представить себе оставшуюся часть, нагруженную приложенными к ней внешними силами с условной заделкой в проведенном сечении, как показано на рис. 4 г. Далее, в соответствии с принятым правилом знаков для N, используя принцип независимости действия сил, составить выражение для продольной силы. Так, для третьего участка ( 0 z 3 2 l ), применяя указанный прием и формулу ( 4 ), определим значение продольной силы. N 3 = 2F - 3F - F = - 2F ( 5 ) 11

13 Знак плюс у силы 2F принят потому, что эта сила вызывает растяжение рассматриваемой, условно закрепленной части стержня, а знаки минус у сил 3F и F приняты потому, что они вызывают сжатие. Следовательно, продольная сила будет сжимающей и постоянной. Таким образом, при действии на стержень только внешних сосредоточенных сил, направленных вдоль его оси, продольная сила на всех участках будет постоянной. Построим эпюру продольных сил. Проведем базисную линию параллельно оси стержня; в масштабе отложим положительные значения продольных сил вверх от этой линии, а отрицательные вниз. Масштаб для ординат следует выбирать по наибольшему значению продольной силы. Знаки и их значения указываются нна эпюре. Вид эпюры N показан на рис. 4, д. Пример 3. Для стержня, нагруженного системой взаимно уравновешенных сил (рис. 5, а), определить значение интенсивности 1 / n равномерно распределенной продольной нагрузки и построить эпюру продольных сил. Рис. 5. К примеру 3. 1 / Интенсивность распределенная нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки. 12

14 Р е ш е н и е. Стержень (см. рис. 5, а) находится в равновесии. Поэтому значение интенсивности n равномерно распределенной нагрузки определим из уравнения равновесия: Z = 3F n 2a F + 2F = 0, n = 2F / a. ( 6) При составлении этого уравнения использовалось известное положение о том, что равнодействующая распределенной нагрузки равна: R n = z 0 n dz В нашем случае n = const и, следовательно, при z = 2а R n = n 2а. Полученное из решения уравнения равновесия положительное значение интенсивности n распределенной нагрузки указывает на то, что ее направление соответствует тому, которое показано на рис. 5,а. Стержень имеет три участка. На каждом участке в произвольном месте проведем сечения 1-1, 2-2 и 3-3. В первых-двух случаях отбросим правые части стержней, а в последнем левую часть, так как к ней приложено больше внешних нагрузок. В местах сечений оставшихся частей мысленно расположим условные заделки (см. пример 2) и для этих частей запишем выражения продольных усилий на каждом участке. Участок I ( 0 z 1 2а): N 1 = - 2F ; (7) Участок II ( 0 z 2 а): N 2 = - 2F + F = - F. (8) Из полученных выражений видно, что продольная сила в пределах первого и второго участков будет постоянной и сжимающей Участок III (0 z 3 2a): (текущая координата z 3 отсчитывается от крайнего правого сечения). z3 2F N3 3F ndz 3F z (9) 3 a 0 Следовательно, на третьем участке усилие N 3 меняется по линейной зависимости. Для построения эпюры N на этом участке надо определить значения продольной силы: 13

15 при z 3 = 0 N 3 = 3F; при z 3 = 2a N 3 = 3F (2F/a) 2a = - F Используя вычисленные значения продольных сил на каждом участке, построим эпюру N (рис. 5, б). Таким образом, на участках, нагруженных внешними сосредоточенными продольными силами, внутреннее усилие N постоянно, причем в сечениях, где приложены эти силы, на эпюре N будут скачки, равные их значениям; на участках, нагруженных равномерно распределенной продольной нагрузкой, эпюра N будет изменяться по линейной зависимости Построение эпюр крутящих моментов Стержень, который нагружен моментами, действующими в плоскостях, перпендикулярных его продольной оси, испытывает кручение. Такие стержни называют валами. При этом в поперечных сечениях стержня возникает только одно внутреннее усилие крутящий момент М z (остальные силовые факторы равны нулю). Условимся: крутящий момент М z считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен по ходу часовой стрелки (рис. 6). Рис. 6. Правило знаков для М z. Заметим, что принятое правило знаков для крутящего момента не имеет физического смысла. Оно необходимо для установления направления внутреннего усилия крутящего момента, и при построении эпюры М z. Положительные значения крутящих моментов на эпюре М z будем откладывать вверх от горизонтальной базисной линии, а отрицательные значения вниз. Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил. 14

16 Пример 4. Стержень нагружен взаимно уравновешенными крутящими моментами (рис. 7, a). Определить направление и значение крутящего момента М*, приложенного к правому торцевому сечению стержня. Построить эпюру крутящих моментов. Рис. 7. К примеру 4. Р е ш е н и е. Так как стержень находится в равновесии, то направление и значение неизвестного момента М* определим из уравнения : 15

17 М z = - M + (3 /2 ) (M /a) 2 a + M* = 0, M * = - 2 M. В этом уравнении равнодействующая распределенной моментной нагрузки определялась по выражению: z R t = t dz (10) 0 т.е. R t = t 2a, так как t = const и z = 2 a. Полученное из решения отрицательное значение М* указывает на то, что действительное направление этого крутящего момента будет противоположным тому, которое показано на (рис. 7, a). Действительное направление момента М* смотри рис. 7, б. Разобьем стержень на три участка, начиная от левого конца стержня (см. рис. 7, б ). Найдем закономерность изменения крутящего момента на первом участке. Проведем на этом участке в произвольном месте сечение 1-1 и отбросим правую часть стержня. К оставшейся левой части приложим внешний момент М и в сечении крутящий момент М 1 положительного направления (рис. 7, в ); составим для нее уравнение равновесия : Участок I (0 z 1 a ): Σ М z = - M + М 1 = 0, откуда М 1 = М (11) Следовательно, на первом участке крутящий момент будет постоянным (не зависит от текущей координаты z 1 ) и положительного направления. Из выражения (11) видно, что крутящий момент в поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, приложенных к его оставшейся части: Ост.ч. М z = М i z (12) Поэтому, в дальнейшем можно, по аналогии с приемом, описанным выше при определении продольного усилия N (см. примеры 2 и 3 в п.2.2), сразу записывать выражение для крутящего момента. При этом следует мысленно в проведенных сечениях у оставшихся частей стержня помещать условные заделки 16

18 и, используя правило знаков для М z, составлять выражения крутящих моментов на каждом участке. Проведем на втором и третьем участках в произвольном месте сечения 2-2 и 3-3. Мысленно каждый раз будем отбрасывать левые части стержня и в эти сечения помещать условные заделки. Составим выражения для крутящих моментов на II и III участках. Участок II (0 z 2 2a ) : М 2 = - 2M + 2 z 0 t dz = - 2 M + (3 / 2) ( M /a) z 2 (текущая координата z 2 отсчитывается от конца второго участка). В этом выражении, у момента 2М знак минус принят потому, что момент при взгляде на условную заделку (в сечении 2-2) стремится повернуть оставшуюся часть стержня против хода часовой стрелки. Знак плюс у распределенной моментной нагрузки принят потому, что она стремится повернуть оставшуюся часть по ходу часовой стрелки (см. рис. 6, правило знаков для М z ). Следовательно, на втором участке крутящий момент М 2 изменяется по линейной зависимости. Для построения эпюры М z на этом участке надо определить значения ординат: при z 2 = 0, М 2 = - 2 М ; при z 2 = 2a, М 2 = - 2 М + (3 / 2) ( M /a) 2а = М. Участок III ( 0 z 3 a ), М 3 = - 2 М, т.е. крутящий момент на третьем участке величина постоянная и отрицательная. По вычисленным значениям ординат крутящих моментов на каждом участке построена эпюра М z (рис. 7, г ). Таким образом, на участках, нагруженных внешними сосредоточенными крутящими моментами, внутреннее усилие М z постоянно, причем в сечениях, где приложены эти моменты, на эпюре М z будут скачки, равные их значениям; на участках, нагруженных равномерно распределенной моментной нагрузкой, эпюра М z будет изменяться по линейной зависимости. 17

19 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках При поперечном изгибе балок 2/ в их поперечных сечениях возникают внутренние усилия - поперечные силы и изгибающие моменты. Условимся о правилах знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечную силу Q y считаем положительной, если она направлена так, что стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки (см. рис. 8, а). Изгибающий момент М x считаем положительным, если он изгибает элемент балки выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон (рис. 8, б). Отрицательные величины Q y и М x соответствуют противоположному направлению. Рис. 8 Правило знаков для Q y и М x. Отметим, что при таком правиле знаков положительная поперечная сила, приложенная к левой отсеченной части, направлена вниз, а положительный изгибающий момент против хода часовой стрелки. Соответственно, для правой части положительная сила Q y направлена вверх, а положительный момент М x - по ходу часовой стрелки. При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов будем следовать следующим правилам: положительные значения Q y откладывать от базисной линии вверх, а отрицательные вниз, эпюру М x строить со стороны 2 / Балкой называется брус, главным образом, работающий на изгиб. 18

20 растянутых волокон 3/, т.е.; положительные значения М x - откладывать вниз, так как в этом случае будут растянуты нижние волокна, а отрицательные - вверх. Между изгибающим моментом, поперечной силой и внешней распределенной нагрузкой g существуют дифференциальные зависимости 4/ ( dm /dz) = Q, (dq /dz ) = g, ( d 2 M / dz 2 ) = g. (13) Из этих дифференциальных зависимостей видно, что первая производная от функции изгибающего момента М по продольной координате z равна поперечной силе Q, а первая производная от функции поперечной силы Q (вторая производная от функции изгибающего момента M) - интенсивности распределенной нагрузки g. Приведенные дифференциальные зависимости оказывают существенную помощь при построении эпюр Q и M и их контроле. Пример 5. Для консольной балки, нагруженной, как показано на рис. 9, а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Р е ш е н и е. В соответствии с характером нагружения, балку разбиваем на два участка, в пределах которых функции Q( z ) и M(z) будут различными: участок I АВ, участок II ВС. При составлении выражений для Q и М применим метод сечений. В пределах каждого участка проведем в произвольном месте сечения 1 1 и 2 2 (см. рис. 9, а). Отбросим правые части балки и рассмотрим равновесие левых незакрепленных частей, так как при этом не надо определять опорные реакции. К этим частям (для равновесия) в сечениях 1 1 и 2 2 приложим положительно направленные поперечные силы Q 1, Q 2 и изгибающие моменты M 1, М 2 (рис. 9, б и в). 3 / Используют и обратное правило эпюру М x строят со стороны сжатых волокон. Это правило обычно применяют в пособиях, предназначенных для студентов машиностроительных специальностей. Однако оно не оказывает влияния на дальнейшие результаты расчета балок. 4 / Дифференциальные зависимости получены в предположении, что ось y и распределенная нагрузка g направлены вверх. Здесь и далее для простоты изложения индексы y у величины Q и x у величины М опускаются. 19

21 20 Рис. 9 К примеру 5.

22 Далее выберем место положения начала координат, так как от этого зависит простота выражений Q и М. В данной задаче начало координат целесообразно расположить в начале каждого участка: на участке I в точке А, на участке II - в точке В (см. рис. 9, б и в). Составим уравнения равновесия для оставшихся частей балки и из них получим выражения для Q и М. Участок I (0 z 1 а) (см. рис. 9, б) Y = Q 1-3ga = 0, Q 1 = 3ga, M e 1 1-3ga z 1 = 0, M 1 = 3ga z 1. Участок II (0 z 2 2а) (см. рис.9,в) Y = Q 2-3ga + 2gz 2 = 0, Q 2 = 3ga - 2gz 2, M = M e 2 2-3ga (z 2 + a) + 4ga 2 + 2gz 2 (z 2 / 2) = 0, M 2 = 3ga (z 2 +a)- 4ga gz 2. Из полученных выражений для Q и М видно, что поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось y, а изгибающий момент алгебраической сумме моментов этих же сил относительно оси x, проходящей через центр тяжести сечения: Ост.ч. Ост.ч. Q = F i y, M = M i x. (14) Поэтому можно, как и ранее (см. прием, описанный в п. 2.2 и 2.3), для оставшейся части балки с приложенной к ней внешней нагрузкой и с условной заделкой в проведенных сечениях составить выражения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке, используя формулы (14) и правила знаков для Q и М, приведенные ранее. Построим эпюры Q и М. На участке I поперечная сила постоянна (не зависит от z) и поэтому эпюра Q прямая линия, параллельная оси балки (рис. 9, г). Изгибающий момент изменяется по линейной зависимости(зависит от z в первой степени). Следовательно, чтобы построить эпюру М, 21

23 достаточно вычислить значения М 1 в начале и конце участка, т.е. при z 1 = 0, М 1 = 0; при z 1 = а, М 1 = 3 ga 2 и, отложив полученные значения вниз от базисной линии, соединим ординаты прямой линией (рис. 9, д). На участке II поперечная сила изменяется по линейной зависимости. Найдем значения Q 2 :при z 2 = 0, Q 2 = 3ga; при z 2 = 2a, Q 2 = - ga и по этим значениям построим эпюру Q (рис. 9, г). Изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости (зависит от z во второй степени). Для построения эпюры М следует определить значения М 2 в трех сечениях: в начале и конце участка, а также в сечение, где Q = 0, так как в этом сечении изгибающий момент достигает экстремального значения (максимума или минимума). Последнее утверждение следует из первой дифференциальной зависимости (13). Вычислим значения М 2 : при z 2 = 0, М 2 = - ga 2 ; при z 2 = 2а, М 2 = ga 2. Определим положение сечения, в котором Q = 0. Для этого выражение поперечной силы на участке II приравняем нулю: Q 2 = 3gа 2 2gz 2 = 0, отсюда z 2 = 1,5 а. Значение изгибающего момента в этом сечении: М 2 = 3ga(1,5a + а)- 4 ga 2 - g(1,5а) 2 = 1,25 ga 2. Отложим вычисленные значения М 2 и через них проведем параболу с вершиной в сечении z 2 = 1,5a (здесь касательная к эпюре должна быть параллельна оси балки) см. рис. 9, д. Замечание: при отсутствии сечения, в котором Q = 0 и М = М эксрем., определяют значение момента в сечении посередине участка. Пример 6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорной балки, изображенной на рис. 10, а. Р е ш е н и е. Сначала надо определить опорные реакции их направления и значения. Предположим, что вертикальные опорные реакции V A и V B направлены вверх. Горизонтальная реакция H A в шарнирно-неподвижной опоре равна нулю, так как внешняя нагрузка перпендикулярна продольной оси балки, и поэтому на рис.10,a реакция H A не показана. Реакции V A и V B, как правило, следует определять из уравнений моментов, составленных относительно 22

24 опор (точек A и B), так как в этом случае реакции можно найти независимо друг от друга: M A = 0, (g 2a) a +2ga 2 V B 4a ga 5a = 0; M B = 0, V A 4a (g 2a) 3a + 2ga 2 - ga a = 0, отсюда V A = 1,25 ga и V B = - 0,25 ga. Рис. 10. К примеру 6. 23

25 Знак плюс у реакции V A указывает на то, что ее действительное направление совпадает с предполагаемым, а знак минус у реакции V B свидетельствует о том, что реакция имеет направление, противоположное предполагаемому, т.е. направлена вниз, и на рис. 10, a ее действительное направление показано пунктиром. После определения реакций V A и V B следует обязательно проверить правильность их вычисления, составив уравнение равновесия: Y = 0, 1,25ga g 2a 0,25ga + ga = 0. Следовательно, реакции найдены, верно. В соответствии с характером нагружения балку разобьем на три участка: участок I AC, участок II CB, участок III BД. Для составления выражений Q и M применим метод сечений. Рассечем балку в произвольных сечениях на каждом участке и рассмотрим равновесие одной из отсеченных частей (рис. 10,б, в и г): на участке I равновесие левой части (ось z направлена вправо, начало координат в точке A), на участках II и III равновесие правых частей (ось z направлена влево, начало координат, соответственно, в точках B и Д). Отметим еще раз, что для уравновешивания отсеченных частей в сечениях 1-1, 2-2 и 3-3 необходимо приложить поперечные силы и изгибающие моменты положительного направления Q 1 и M 1, Q 2 и M 2, Q 3 и M 3, соответственно (см. рис. 10, б, в и г ). Составив уравнения равновесия для каждой отсеченной части, получим выражения поперечных сил и изгибающих моментов: Участок I - (0 z 1 2a) (см. рис.10, б) Q 1 = 1,25 ga g z 1, M 1 = 1,25 ga z 1 gz 1 (z 1 /2). Участок II - (0 z 2 2a) (см. рис. 10, в) Q 2 = - 0,75 ga, M 2 = ga (a + z 2 ) 0,25 ga z 2. Участок III - (0 z 3 a) (см. рис. 10, г) Q 3 = - ga, M 3 = ga z 3. При помощи этих выражений построены эпюры Q и M (рис.10, д, е). При построении эпюр Q и M использовались указания, приведенные в предыдущем примере 5. 24

26 Пример 7. Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 11, a). Р е ш е н и е. Определим опорные реакции из уравнений равновесия: M A = 0, 2ga 2 + R ( a + (1/3) 3a) V B 4a = 0; M B = 0, 2ga 2 R (2/3) 3a + V A 4a = 0. В этих выражениях R равнодействующая распределенной (треугольной) нагрузки, которая равняется площади этой нагрузки и приложена в ее центре тяжести, т.е. на расстоянии одной трети высоты треугольника от его основания (1/3) 3 а = а (см. рис.11,а). Таким образом, R =0,5g 3a=1,5ga. Подставляя значение R в уравнения равновесия, приведенные выше, получим, что V A =0,25 ga и V B = 1,25 ga. Проверим правильность вычисления реакций: Y = 0, 0,25 ga 1,5 ga + 1,25 ga = 0. Следовательно, опорные реакции определены верно. Разобьем балку на два участка: участок I АС, участок II СВ и составим выражения Q и M для каждого участка, используя метод сечений. Из рассмотрения равновесия левой отсеченной части балки будем иметь для участка I - (0 z 1 a), (см. рис. 11, б) Q 1 = 0,25 ga, M 1 = 2ga 2 + 0,25 ga z 1, а из рассмотрения равновесия правой отсеченной части балки получим для участка II (0 z 2 3a), (см. рис. 11,в) Q 2 = R z 1,25 ga, M 2 = 1,25 ga z 2 - R z (z 2 / 3). Здесь R z = (1/2) g z z 2 равнодействующая треугольной нагрузки на участке балки длиной z 2 с неизвестной ординатой интенсивности распределенной нагрузки g z. Выразим g z из подобия треугольников с высотой z 2 и 3a : g z : g = z 2 : 3a, отсюда g z = g (z 2 / 3a). Подставляя значение g z в выражение R z и величину R z в выражения Q 2 и M 2, окончательно получим: Q 2 = (g / 6a)( z 2 ) 2 1,25ga; M 2 = 1,25 ga z 2 (g/18a) (z 2 ) 3. Сначала построим эпюру поперечных сил. На участке I поперечная сила постоянна и равна Q 1 = 0,25 ga. На участке II поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости. 25

27 26 Рис. 11. К примеру 7.

28 Вычислим значения Q в сечениях В (при z 2 = 0) и С (при z 2 = 3а): Q B = - 1,25 ga, Q C = ( g / 6a) ( 3a ) 2 1,25 ga = 0,25 ga. Из вычисленных значений поперечных сил видно, что на участке II находится сечение, в котором Q равняется нулю. Найдем положение этого сечения, приравняв выражение Q 2 нулю и решив полученное уравнение: Q 2 = ( g / 6a) ( z 0 ) 2-1,25 ga = 0, отсюда z 0 2,74a (второй корень уравнения z 0-2,74a не имеет физического смысла). Через найденные три ординаты поперечных сил проведем квадратичную параболу, выпуклость которой обращена вниз. Такой характер кривой может быть объяснен и исходя из анализа дифференциальной зависимости g = ( dq /dz). В точке В g в = 0. Это означает, что первая производная от функции Q(z) в данной точке равняется нулю и, следовательно, здесь находится экстремум функции вершина параболы (касательная в этом сечении к эпюре Q должна быть параллельна оси балки). Вид эпюры Q показан на рис. 11, г. Построим теперь эпюру изгибающих моментов. На участке I изгибающий момент изменяется по линейной зависимости. Поэтому достаточно определить значения М: при z 1 = 0, M A = 2ga 2 ; при z 1 = a, M C =2ga 2 + 0,25ga a = 2,25 ga 2 и построим эпюру М на этом участке. На участке II изгибающий момент изменяется по кубической зависимости (зависит от переменной z в третьей степени).определим значения М в сечении В (при z 2 = 0) и в сечении С (при z 2 = 3a): M В = 0, M C = 1,25ga 3а (g/18a) (3a) 3 = 2,25 ga 2, а также в сечении, где Q = 0. В этом сечении функция М(z) будет иметь экстремум, так как функция Q(z) является первой производной от функции М(z), что следует из дифференциальной зависимости: Q = (dm / dz). Вычислим экстремальное значение момента, т. е. при z 0 2,74a, M max =1,25 ga 2,74a (g /18a )(2,74 a) 3 = 2,28 ga 2. По вычисленным трем ординатам строим эпюру М на участке II (рис. 11, д). 27

29 Пример 8. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с промежуточным шарниром, изображенной на рис. 12, а. Р е ш е н и е. Составная балка АЕ состоит из основной балки АС консольного типа и вспомогательной (подвесной) балки СЕ. Выделим вспомогательную балку, проведя сечение а-а через шарнир С. В месте разреза, будет действовать только поперечная сила Q c (рис.12, б). Выделенная балка СЕ находится в равновесии. Запишем для нее уравнение равновесия: M С = 0; -V E 2a + ga 2 + ( ga) (3/2)a =0; V E = (5/4)ga = 1,25ga. Далее можно строить эпюры Q и М, как в обычной консольной балки, начиная с правого конца, так как наличие промежуточного шарнира С не оказывает влияние на определение внутренних усилий. Разобьем балку на три участка ЕД, ДВ и ВА (рис. 12, а). На участке ЕД балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой g, так как dq/dz = g = const, следовательно, сама функция Q ( z ) изменяется по линейному закону. Чтобы построить эпюру Q на этом участке, достаточно вычислить значения Q в начале и в конце участка (в сечениях Е и Д), рассматривая правую отсеченную часть балки: Q E = - 1,25 ga; Q Д = - 1,25 ga + ga = - 0,25 ga. Из дифференциальной зависимости dm/dz = Q следует, что если функция Q(z), изменяется по линейному закону, то функция M х (z) изменяется по квадратичную закону. Для построения эпюры М х надо знать три ординаты. Определим значения М х в начале и конце участка, рассматривая ту же правую отсеченную часть балки: М Е = 0; М Д = 1,25 ga a ga 0,5 a = 0,75 ga 2. На этом участке нет характерного сечения, где функция М х (z) достигала бы экстремума, т.к. поперечная сила не равняется нулю. Поэтому найдем значение М х посередине участка (z = 0,5 a): 28

30 Рис. 12. К примеру 8. 29

31 M х = 1,25 ga 0,5a 0,5 ga 0,25a = 0,5ga 2. На участках ДВ и ВА нет распределенной нагрузки, g = 0. Поэтому, как следует из дифференциальных зависимостей, поперечная сила Q постоянна, а изгибающий момент М х изменяется по линейному закону. Следовательно, на этих участках для построения эпюры Q достаточно вычислить по одному значению Q. Для построения эпюры М х необходимо определить значения М х в начале и конце участков. Рассмотрим правые отсеченные части балки. Участок ДВ: Q ДВ = - 1,25 ga + ga = - 0,25 ga; M Д = 1,25 ga a ga 0,5a ga 2 = - 0,25 ga 2 ; M B = 1,25 ga 3a ga 2,5a - ga 2 = 0,25 ga 2. Для контроля определим значение момента в шарнире С, где оно должно равняться нулю: M С = 1,25 ga 2a ga 1,5a - ga 2 = 0, т.е. вспомогательная балка СЕ находится в равновесии. Участок ВА: Q ВА = - 1,25 ga + ga +ga = 0,75 ga; M B = 1,25 ga 3a ga 2,5a ga 2 = 0,25 ga 2 ; M A =1,25 ga 4a ga 3,5a - ga 2 ga a = - 0,5 ga 2. Эпюры Q у и М х, построенные по вычисленным ординатам, изображены на рис. 12, в и г. Проверим равновесие балки АЕ. Из эпюр Q у и М х видно, что в заделке опорные реакции равняются: V A =0,75 ga (направлена вверх); М А = 0,5ga (момент направлен против хода часовой стрелки). Составим уравнение равновесия: Y = 0; 1,25ga + 0,75ga ga ga = 0; M A = 0, - 0,5ga 2 +ga a + ga 2 + ga 3,5a 1,25ga 4a = 0. Следовательно, балка находится в равновесии. 30

32 2.5. Построение эпюр продольных и поперечных сил, изгибающих моментов в рамах В конструкциях сооружений и строительных машин встречаются совокупности прямых и криволинейных стержней. Стержневая система, стержни которой (стойки и ригели) во всех или в некоторых узлах жестко соединены между собой, называется рамой. В элементах плоских рам в отличие от рассмотренных балок помимо поперечных сил и изгибающих моментов, в общем случае, возникают и продольные силы. Поэтому для рам строят эпюры N, Q и M. Правила знаков для продольной силы и поперечной силы остаются прежними, правило знаков для изгибающих моментов обычно не указывают, значения М х как и ранее будем откладывать, как и в балках, со стороны растянутых волокон. Ординаты положительных усилий N, Q для вертикальных стержней будем откладывать вправо от оси, отрицательные соответственно влево. Рассмотрим пример построения эпюр N, Q и M в раме. Пример 9. Построить эпюры продольных и поперечных сил, изгибающих моментов для рамы, изображенной на рис. 13,а. Р е ш е н и е. Определим опорные реакции, показанные на рис. 13, а, из следующих уравнений равновесия: Y = 0; V A ga = 0; V A = ga; M A = 0; ga 3a 2ga 2 H Д 2a = 0; H Д = 0,5 ga; Z = 0; H Д - H A = 0; H A = H Д = 0,5 ga. Если возможно, следует сделать проверку правильности определения опорных реакций. В нашем случае, это можно сделать, составив уравнение равновесия: М Д = 0; V A 2a - H A 2a + ga a 2ga 2 = 0, т.е. ga 2a 0,5ga 2a + ga a 2ga 2 = 0, следовательно, опорные реакции вычислены правильно. Разделим раму на три участка: АВ, ВС и ВД. На каждом участке в произвольном месте проведем сечения (рис.13, а) и составим уравнения равновесия для отсеченных частей рамы, 31

33 32 Рис.13. К примеру 9.

34 изображенных на рис. 13, б, в, г: - для определения продольной силы - Z i = 0; - для нахождения поперечной силы - Y i = 0; - для определения изгибающего момента - M e 1 = 0. После решения уравнений равновесия получим: участок АВ (0 z 1 2a) (рис. 13, в): N 1 =H A =0,5ga; Q 1 =V A =ga; M 1 =V A z 1 =ga z 1 ; (растянуты нижние волокна стержня АВ) участок ВС (0 z 2 a ) (рис. 13,в): N 2 =0; Q 2 = F = ga; M 2 =-F z2 = - ga z 2 ; (растянуты верхние волокна стержня ВС); участок ВД (0 z 3 2a) (рис. 13, г): N 3 =0; Q 3 =-H Д = - 0,5 ga; M 3 = 2ga 2 + 0,5ga z 3 (растянуты левые волокна стержня ВД). По этим выражениям построены эпюры продольных и поперечных сил, изгибающих моментов, которые изображены на рис.13, д, е, ж. Эпюры N, Q и M необходимо проверить, используя дифференциальные зависимости между g, Q и M. Кроме того, следует проверить равновесие узлов и отдельных частей рамы. Например, проведем сечение а-а и рассмотрим равновесие правой части рамы (рис. 13, а и з). К этой части рамы приложим внешнюю нагрузку, а в местах рассечения стержней (в соответствии с эпюрами N, Q и M ) продольные и поперечные силы, изгибающие моменты. Составим уравнения равновесия для отсеченной части: Z = 0; - 0,5ga + 0,5ga = 0; Y = 0; ga ga = 0; M B = 0; ga 2 + ga a + ga a 2,5ga 2 0,5ga a = 0. Следовательно, рассматриваемая часть рамы находится в равновесии Обратная задача Пример 10. По эпюре изгибающих моментов, показанной на рис. 14, а, построить эпюру поперечных сил и определить нагрузку, действующую на балку. Криволинейный участок эпюры М очерчен по квадратной параболе, кружком отмечена еѐ вершина. 33

35 34

36 Р е ш е н и е. Получим выражения для первой (поперечной силы Q) и второй (распределенной нагрузки g) производных от функции изгибающего момента, заданной графически (эпюрой М). Для этого сначала запишем функциональные зависимости для изгибающего момента на каждом участке. Разобьем эпюру М на участки. Границами участков являются те сечения, в которых на эпюре М будут скачки и изломы. Имеем два участка. Выберем начало координат на левом конце балки. Выбранная система координат и участки показаны рис. 14, а. На первом участке эпюра изгибающих моментов представлена графиком квадратной параболы, уравнение которой в общем случае имеет вид y=az 2 +вz+c. Для определения независимых переменных а, в, и с обычно нужно знать координаты трех точек, через которые проходит эта функция, или другие условия (например, координаты точки, где первая производная функции равна нулю, т.е. положение вершины квадратной параболы). В нашем случае вершина квадратной параболы находится в начале координат. Уравнение такой функции имеет более простой вид: у = М 1 = az 2. Оно содержит один параметр а, который находим из условия, что парабола проходит через точку с координатами: z=2; у=-40. Тогда, подставляя координаты этой точки в уравнение параболы, получим - 40 = а 2 2, отсюда а = -10. Таким образом, на первом участке (0 z 1 2) выражение изгибающего момента будет иметь вид: М 1 (z) = - 10z 2 1. После дифференцирования функции M 1 (z) получим зависимость для поперечной силы Q 1 (z)=dm 1 /dz = - 20z 1, а после дифференцирования функции Q 1 (z) - выражение для распределенной нагрузки, будет иметь вид: g 1 (z) =dq 1 /dz = d 2 M 1 /dz 2 = Из полученных выражений Q 1 (z) и g 1 (z) видно, что поперечная сила на этом участке является линейной функцией, а распределенная нагрузка - постоянной. На втором участке эпюра изгибающих моментов представлена графиком линейной функции: у = М 2 = kz + в, с двумя независимыми параметрами к и в. Для их определения используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны: z 1 = 2, у 1 = -10 и z 2 =5, y 2 =20; получим: -10=2к+в; 20=5к+в, } 35

37 отсюда к = 10 и в = Следовательно, на втором участке (2 z 1 5 ) уравнение изгибающего момента будет иметь вид: M 2 (z) = 10z После двукратного дифференцирования функции М 2 (z) найдем Q 2 (z)=dm 2 /dz = 10 и g 2 (z) = d 2 M 2 /dz 2 = dq 2 /dz =0. Из этих выражений видно, что на втором участке поперечная сила постоянна, а распределенная нагрузка отсутствует. На участках, где изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, можно поперечную силу определять другим способом, не составляя выражений для момента М. Значение поперечной силы на этих участках равняется тангенсу угла наклона линейной функции M(z) к горизонтальной оси, так как Q(z)=dM x /dz= tg. Знак поперечной силы устанавливается следующим образом: при возрастании функции M(z) первая производная (поперечная сила Q) положительна, а при убывании еѐ она отрицательна. В нашей задаче функция изгибающего момента на втором участке линейна и возрастает от - 10 до + 20 кн м. Поэтому поперечная сила постоянна, положительна и равна: tg Q 2 (20 10)/3 10. Рассуждая аналогично, можно по эпюре Q (там, где она линейна) определить значение и знак распределенной нагрузки, поскольку g(z)=dq/dz = tg. Тогда, так как функция Q(z) убывает на первом участке, от 0 до - 40 кн, распределенная нагрузка будет отрицательной и равной tg g 1 (40/2) 20. По найденным выражениям Q(z), на первом и втором участках построена эпюра поперечных сил, см. рис. 14, б. Распределенная нагрузка g приложена к балке только на первом участке. Она получилась со знаком минус, и поэтому еѐ следует направить вниз, так как при выводе приведѐнных выше дифференциальных зависимостей распределенная нагрузка, направленная вверх, считалась положительной. Помимо распределенной нагрузки к балке приложены сосредоточенные силы в тех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки, и сосредоточенные моменты в местах скачков на эпюре М. Значения и направления сосредоточенных сил и моментов можно определить по следующим формулам, которые получены из 36

38 рассмотрения равновесия элемента балки длиной dz, выделенного двумя сечениями слева и справа от скачков на эпюрах Q и М : F = Q пр Q лев ; М= М пр М лев, где: Q np,q лев, М пр, М лев - ординаты эпюр поперечных сил и изгибающих моментов справа и слева от скачков, взятых со своими знаками. Положительное значение силы F соответствует еѐ направлению вверх, а момента М по ходу часовой стрелки, при z=2 сила F = 10 - (-40) = 50 кн и направлена вверх; при z=5 момент М 2 =0-20 = -20 кн м и направлен против хода часовой стрелки (рис. 14, в). Правильность нагружения балки проверяем составлением уравнений равновесия, например: Y = = 0; М А = = 0. Нагрузка, приложенная к балке, показана на рис. 14, в Основные особенности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов На основании рассмотренных примеров и с учетом дифференциальных зависимостей можно сформулировать ряд основных положений, оказывающих помощь при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках и позволяющих их контролировать. 1. На участках, где нет распределенной нагрузки (g=0), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейному закону, причем тангенс угла наклона эпюры М х равен значению поперечной силе Q у (tg = Q) (рис. 15, a). В частном случае, когда одновременно g=0 и Q=0, изгибающий момент постоянен (рис. 15, б). 2. На участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила изменяется по линейному закону (тангенс угла наклона β эпюры Q равен g), а изгибающий момент по квадратичному закону, выпуклость эпюры М х обращена в сторону действия распределенной нагрузки g (рис. 15,в). Если на этом участке поперечная сила в одном из сечений равна нулю, то здесь изгибающий момент достигает экстремального 37

39 38 Рис. 15. Правила построения Q и М в балках.

40 значения М экстр максимум или минимум (в этом сечении касательная к эпюре M х параллельна оси стержня). 3. На участке, где имеется распределенная нагрузка, изменяющаяся по линейному закону (например, треугольная нагрузка), - поперечная сила изменяется по квадратичному закону, а изгибающий момент по кубическому закону. Выпуклость эпюры Q устанавливается в зависимости от характера нагружения распределенной нагрузкой с использованием дифференциальной зависимости или по ряду вычисленных значений Q. Выпуклость эпюры М обращена в сторону действия распределенной нагрузки. 4. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила F, на эпюре Q будет скачок. Скачок, равен значению этой силы и направленный в ту же сторону, что и сила F (если эпюру Q обходить слева направо по стрелкам, указанным на эпюре Q, рис. 15, г). Эпюра M будет иметь перелом, острие которого направлено в сторону действия силы F (рис. 15, г). 5. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный изгибающий момент М, на эпюре M будет скачок, равный значению этого момента (рис. 15, д), а на эпюре Q изменений не будет. Для определения направления скачка на эпюре M можно заменить сосредоточенный момент парой сил с малым плечом (рис. 15, е). При этом острие перелома под каждой силой F должно быть направлено в сторону действия силы (рис. 15, е). Уменьшая затем плечо пары до нуля и переходя к сосредоточенному моменту, получим эпюру, изображенную на рис. 15, д,е. Если эпюру М обходить слева направо по стрелкам, указанным на эпюрах рис. 15, д, е, - то скачок от момента, направленного по ходу часовой стрелки, будет вниз, а от момента, направленного против хода часовой стрелки вверх. 39

41 3. Контрольные вопросы 1. В чем сущность метода сечений? 2. Какие внутренние усилия могут возникнуть в поперечных сечениях стержня в общем случае нагружения? 3. Сформулируйте принцип независимости действия сил. 4. Что называется эпюрой внутреннего усилия и для чего она строится? 5. Какое правило знаков принято для продольной силы? 6. Что называется интенсивностью распределенной нагрузки? 7. Какая зависимость существует между продольной силой и интенсивностью продольной распределенной нагрузки? 8. Какие уравнения равновесия применяются для опреде-ления опорных реакций и как проверить правильность определения опорных реакций? 9. Какое правило знаков принято для крутящего момента? 10. Какая зависимость существует между крутящим моментом и интенсивностью моментной распределенной нагрузки? 11. Какие типы опор применяются для соединения балок с основанием и какие реактивные усилия могут возникнуть в этих опорах? 12. Какие условия должны выполняться для неподвижного соединения балок с основанием? 13. Какие типы балок используются в строительных сооружениях? 40

42 14. Какой изгиб называется поперечным и какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе? 15. Какое правило знаков принято для поперечной силы и изгибающего момента? 16. Какие зависимости существуют между поперечной силой, изгибающим моментом и интенсивностью вертикальной распределенной нагрузки? 17. Как изменяются эти зависимости, если к балке помимо вертикальной распределенной нагрузки приложена еще и моментная распределенная нагрузка? 18. Какие следствия вытекают из дифференциальных зависимостей при поперечном изгибе и как они используются при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов? 19. Как изменяется изгибающий момент в сечении балки, где приложен сосредоточенный момент? 20. Чему равна поперечная сила в сечениях балки, в которых изгибающий момент достигает экстремального значения? Как определить значения изгибающего момента? 21. Какие внутренние усилия могут возникнуть в поперечных сечениях плоских рам и криволинейных стержней? 41

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

290300, , , , ,

290300, , , , , МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Анализ внутренних силовых факторов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ УХТА 2002 УДК 539.3/6 А-72 Андронов И. Н. Анализ

Подробнее

ПРИМЕРЫ построения эпюр внутренних силовых факторов. Шарнирно закреплённые балки Балка, закреплённая с помощью шарниров, должна иметь не менее двух точек опоры. Поэтому в случае шарнирно закреплённых (шарнирно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Подробнее

ПРИМЕРЫ построения эпюр внутренних силовых факторов 1. Консольные балки Термин консо ль произошёл от французского слова console, которое, в свою очередь, имеет латинское происхождение: в латинском языке

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ

МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ

Подробнее

Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение)

Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение) В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение) 1 Правила знаков при построении эпюр поперечных

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я С О П Р О Т И В Л Е Н И Ю М А Т Е Р И А Л О В

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я С О П Р О Т И В Л Е Н И Ю М А Т Е Р И А Л О В МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУВПО ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ М Е Т О Д И Ч

Подробнее

2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ Необходимость построения эпюр. Общие правила и порядок их построения.

2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ Необходимость построения эпюр. Общие правила и порядок их построения. 41. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ.1. Необходимость построения эпюр. Общие правила и порядок их построения. Первый вопрос, на который должен получить ответ конструктор, какие по величине и

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Изгиб прямого бруса

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Изгиб прямого бруса Министерство образования и науки Российской Федерации Вологодский государственный технический университет Кафедра сопротивления материалов СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Изгиб прямого бруса Методические указания

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II» Кафедра строительной механики А.М. ЛУКЬЯНОВ,

Подробнее

Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» В. А. СИДОРОВ Л. Е. РЕУТ А. А. ХМЕЛЕВ ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» В. А. СИДОРОВ Л. Е. РЕУТ А. А. ХМЕЛЕВ ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» В. А. СИДОРОВ Л. Е. РЕУТ А. А. ХМЕЛЕВ ЭПЮРЫ

Подробнее

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Министерство путей сообщения Российской федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра "Строительная механика" А.В. Хлебородов РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Построение эпюр внутренних силовых факторов Построение эпюр внутренних силовых факторов Построение эпюр внутренних силовых факторов... 1 1.1 Внутренние силы упругости. Метод сечений... 1 1.2 Виды сопротивлений... 3 1.3 Виды опорных закреплений...

Подробнее

Решение: Исходные данные: = 2 = 2 = 2

Решение: Исходные данные: = 2 = 2 = 2 Задача 1 Для данного бруса требуется: - вычертить расчетную схему в определенном масштабе, указать все размеры и величины нагрузок; - построить эпюру продольных сил; - построить эпюру напряжений; - для

Подробнее

прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один.

прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один. 76 Изгиб Раздел 5 прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один. 5.1. Изгиб балки Если рассмотреть равновесие выделенной двумя сечениями части балки, то реакции отброшенных частей,

Подробнее

Внутренние усилия и их эпюры

Внутренние усилия и их эпюры 1. Внутренние усилия и их эпюры Консольная балка длиной нагружена силами F 1 и F. Сечение I I расположено бесконечно близко в заделке. Изгибающий момент в сечении I I равен нулю, если значение силы F 1

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ÑÐÅÄÍÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ В. И. СЕТКОВ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития образования» в качестве учебного

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В БАЛКАХ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В БАЛКАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Подробнее

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г)

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г) ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Ступенчатый брус из стали Ст нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения

Подробнее

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ Å. Þ. Àñàäóëèíà ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî

Подробнее

Механические испытания на изгиб Рис.6.3 Рис.6.4

Механические испытания на изгиб Рис.6.3 Рис.6.4 Лекция 8. Плоский изгиб 1. Плоский изгиб. 2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента. 3. Основные дифференциальные соотношения теории изгиба. 4. Примеры построения эпюр внутренних силовых

Подробнее

Часть 1 Сопротивление материалов

Часть 1 Сопротивление материалов Часть Сопротивление материалов Рисунок Правило знаков Проверки построения эпюр: Эпюра поперечных сил: Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, должен быть скачок на величину и по направлению

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть 1

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть 1 СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Хабаровск 2003 Министерство общего образования Российской Федерации Хабаровский государственный технический университет СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Методические указания для

Подробнее

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие Задача 1 Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Дано: (шифр 312312) схема 2; l=0,5м; b=15см; h=14см; R p =80МПа; R c =120МПа;

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

Нижнекамский химико-технологический институт. Сабанаев И.А., Алмакаева Ф.М. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛКИ

Нижнекамский химико-технологический институт. Сабанаев И.А., Алмакаева Ф.М. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛКИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский государственный технологический университет» Нижнекамский химико-технологический

Подробнее

Указания к выполнению контрольной работы 3

Указания к выполнению контрольной работы 3 Указания к выполнению контрольной работы Пример решения задачи 7 Для стального стержня (рис..) круглого поперечного сечения, находящегося под действием осевых сил F и F и F, требуется: ) построить в масштабе

Подробнее

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ Å. Þ. Àñàäóëèíà ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè

Подробнее

Совокупность сил, действующих на твердое тело, называется

Совокупность сил, действующих на твердое тело, называется Тест: "Техническая механика "Статика". Задание #1 Что изучает раздел теоретической механики "Статика"? Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) + Равновесие тел 2) - Движение тел 3) - Свойства тел Что такое

Подробнее

Методические указания

Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения

Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения Определение напряжений и проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе Если Вы научились строить

Подробнее

Исходные данные по предпоследней цифре

Исходные данные по предпоследней цифре Методическое руководство Задание Статически неопределимые системы Работа Для балки, изображенной на рисунке (рис.) требуется: ) найти изгибающий момент на левой опоре (в долях ); ) построить эпюры Q y

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 00 УДК 5. (075) И85 Методические указания

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1.

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1. Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 4а ГОСТ 8509-86) и швеллера 4 (ГОСТ 840-89), требуется: 1. Вычертить сечение в масштабе 1: и указать на нем все оси и

Подробнее

Лекция 2 (продолжение). Примеры решения на осевое растяжение сжатие и задачи для самостоятельного решения

Лекция 2 (продолжение). Примеры решения на осевое растяжение сжатие и задачи для самостоятельного решения Лекция 2 (продолжение) Примеры решения на осевое растяжение сжатие и задачи для самостоятельного решения Расчет статически определимых стержней на растяжение-сжатие Пример 1 Круглая колонна диаметра d

Подробнее

Расчёт статически определимой многопролетной балки на действие постоянных нагрузок с определением перемещений

Расчёт статически определимой многопролетной балки на действие постоянных нагрузок с определением перемещений Расчёт статически определимой многопролетной балки на действие постоянных нагрузок с определением перемещений Требуется:. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.. При жесткости EI = кнм определить

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Нижний Новгород УДК 67 ББК О 64 Рецензенты: доктор технических наук, профессор РКВафин; доктор технических наук, профессор БАГордеев; кандидат

Подробнее

Примеры решения задач по «Механике» Пример решения задачи 1

Примеры решения задач по «Механике» Пример решения задачи 1 Примеры решения задач по «еханике» Пример решения задачи Дано: схема конструкции (рис) kh g kh / m khm a m Определить реакции связей и опор Решение: Рассмотрим систему уравновешивающихся сил приложенных

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра строительной механики 624.07(07) С23 В.Ф. Сбитнев ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ Учебное

Подробнее

Рис Таким образом, ЗРС геометрически неизменяема. 8

Рис Таким образом, ЗРС геометрически неизменяема. 8 1. Расчет статически определимых элементарных расчетных схем на прочность 1.1. Однопролетная балка Для заданной расчетной схемы балки требуется: 1.1.1. Провести полный кинематический анализ заданной расчетной

Подробнее

Сурьянинов Н.Г. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Сурьянинов Н.Г. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ Сурьянинов Н.Г. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ Одесса - 00 ВВЕДЕНИЕ Эта книга в значительной степени соответствует курсу лекций, на протяжении многих

Подробнее

Г.А. Тюмченкова РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА

Г.А. Тюмченкова РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА Министерство образования и науки Самарской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Самарской области «САМАРСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» (ГБПОУ «СЭК») Г.А. Тюмченкова

Подробнее

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A Лекция 05 Изгиб Проверка прочности балок Опыт показывает, что при нагружении призматического стержня с прямой осью силами и парами сил, расположенными в плоскости симметрии, наблюдаются деформации изгиба

Подробнее

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1.1. Статически неопределимые стержневые системы Статически неопределимыми системами называются системы, для которых, пользуясь только условиями статики, нельзя определить

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ

А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный технический университет Балаковский институт техники, технологии и управления ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ И

Подробнее

P 1 = = 0 0,1L1 0,3L1 0, 2L2 0,1L

P 1 = = 0 0,1L1 0,3L1 0, 2L2 0,1L Расчёт статически определимой многопролётной балки на неподвижную и подвижную нагрузки Исходные данные: расстояния между опорами L = 5, м L = 6, м L = 7,6м L4 = 4,5м сосредоточенные силы = 4кН = 6 распределённые

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной механики РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Методические

Подробнее

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 191 Формула Мора 192 Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина 193 Примеры вычислений перемещений по формуле Мора при кручении, растяжении-сжатии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы)

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) 1 Классификация внутренних силовых факторов

Подробнее

Расчет плоской рамы методом перемещений

Расчет плоской рамы методом перемещений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет плоской

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления.

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления. Лекция 14 Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение внутренних усилий, напряжений, положения нейтральной оси при чистом косом изгибе. Деформации при косом изгибе. 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. КОСОЙ

Подробнее

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет статически

Подробнее

18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения

18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения Лекция 18 Статически неопределимые системы: рамы и фермы. Метод сил. Канонические уравнения метода сил. Примеры расчета статически неопределимых систем. Учет симметрии. 18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Подробнее

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 16 Деформации при плоском изгибе. Основы расчета на жесткость при плоском изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии Ранее были рассмотрены

Подробнее

ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

СТАТИКА. Тема 1. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ. Задание 1

СТАТИКА. Тема 1. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ. Задание 1 СТАТИКА Тема 1. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Задание 1 Найти реакции связей (опор), наложенных на основное тело конструкции балку или сварной стержень. Исходные данные приведены в таблице 1.1. Схемы

Подробнее

Расчет плоской рамы методом сил

Расчет плоской рамы методом сил ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет Расчет плоской рамы методом сил

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика» МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра: «Машины и оборудование пищевой промышленности основы механики» РЕФЕРАТ

Подробнее

Определение реакций опор составной конструкции.

Определение реакций опор составной конструкции. Определение реакций опор составной конструкции. Плоская задача. Методические указания и задания к расчётнографической работе по курсу Теоретическая механика для студентов специальности.. Стр. 2 1. ЦЕЛЬ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Б.А. Тухфатуллин, Л.Е. Путеева, Д.Н. Песцов СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ИЗГИБЕ. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

Б.А. Тухфатуллин, Л.Е. Путеева, Д.Н. Песцов СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ИЗГИБЕ. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ инистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

x R B = F или l R B =. (5) l x R B. = 0 B M получаем R A = (6) K необходимо отдельно определить M K при положении единичного ки А: откуда

x R B = F или l R B =. (5) l x R B. = 0 B M получаем R A = (6) K необходимо отдельно определить M K при положении единичного ки А: откуда ки А: M = 0; F x R = 0 откуда A B, x R B = F или x R B =. (5) График этой зависимости (рис.6, б) и есть искомая линия влияния R B. Аналогично из условия M получаем = 0 B x R A = (6) Рис.6 и строим линию

Подробнее

А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СООРУЖЕНИЙ

А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СООРУЖЕНИЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей и сообщения Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

Система сил { } i. Произвольная. система сил. Плоская система сил. Система сходящихся сил. Система параллельных сил. Линейная.

Система сил { } i. Произвольная. система сил. Плоская система сил. Система сходящихся сил. Система параллельных сил. Линейная. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СТАТИКА Статика это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил Равновесие

Подробнее

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ Министерство образования Российской Федерации Кубанский государственный технологический университет Кафедра сопротивления материалов и строительной механики РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

3.9. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

3.9. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Лекция. ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ В БРУСЕ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.9. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Эпюрой поперечных сил (изгибающих моменто назовем график изменения поперечных

Подробнее

Внутренние усилия и напряжения

Внутренние усилия и напряжения 1. Внутренние усилия и напряжения Интегральная связь между крутящим моментом Mz и касательными напряжениями имеет вид 2. Если известно нормальное и касательное напряжения в точке сечения, то полное напряжение

Подробнее

8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ

8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ 8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ 8.1. Образование шпренгельной фермы Для уменьшения панелей грузового пояса в фермах больших пролетов применяют установку дополнительных ферм - шпренгелей, опирающихся в узлы пояса

Подробнее

СТРОИТЕЛЬСТВО РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ. И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина. Учебно-практические пособие

СТРОИТЕЛЬСТВО РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ. И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина. Учебно-практические пособие СТРОИТЕЛЬСТВО И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ Учебно-практические пособие ISBN 978-5-7264-1133-0 НИУ МГСУ, 2015 Оформление. ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2015 Москва 2015 УДК

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика. 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.1. Статика. Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Абсолютно

Подробнее

Методические указания к выполнению домашнего задания

Методические указания к выполнению домашнего задания и и Ч,, s,,,, 'Ч, ' f 1 ' ' >' " 'У ' i " ' f, ' ' ' ' rc^fla ^t96h W feiftym M aie ipcm T et ', ', t > \ / %{,tf, / Ч /. / ' Кафедра строительной механики А.М. ЛУКЬЯНОВ, МД.ЛУКЬЯНОВ / \ / ' у,-, -\ и

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра сопротивления материалов и деталей машин

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет Кафедра сопротивления материалов РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ - Российский государственный технологический

Подробнее

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 14 Деформация плоский изгиб балки с прямолинейной продольной осью. Расчет на прочность Напомним, что деформация «плоский изгиб» реализуется в

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра строительной Механики ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ

Подробнее