Численные методы и моделирование на ЭВМ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Численные методы и моделирование на ЭВМ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению практических и самостоятельных работ для студентов направлений подготовки 6.5 «Автоматизация и компьютерно-интегрированные технологии» 6.95 «Автоматизированное управление технологическими процессами» Утверждено на заседании методического семинара кафедры Протокол 5 от 9.. Краматорск

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕМА: «ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ» Задание: Задача. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры.: а в широком смысле, б в узком строгом смысле. Варианты заданий приведены в таблице.. Таблица. Варианты заданий к задаче.. варианта число число варианта число число а,445 б,4 4 а,4 б,78 а 8,45 б,88 5 а,456 б,86 а,74 б 4,48 6 а 5,64 б,858 4 а 4,7 б,678 7 а,688 б 4,66 5 а 8,57 б,6 8 а 5,644 б 6,5 6 а 4,86 б 8,7 9 а 6,8 б 5,74 7 а,648 б,7 а 8,75 б,644 8 а,5746 б 6,58 а,75 б 6,84 9 а 5,64 б,748 а 6, б 4,8556 а,4 б,576 а 4,8 б,645 а,45 б,445 4 а,64 б 7,85 а,445 б,745 5 а,45 б 7,8 а,5746 б 4,884 6 а,57 б,676 Задание.. Число табл..., все цифры которого верны в широком смысле, округлить до двух значащих цифр. Для полученного результата округл вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа округл указать количество верных цифр по абсолютной погрешности

3 Таблица Варианты заданий к задаче. варианта Значение варианта Значение ,66,47 5,94 5,85 6, , , 5 98, , ,478 9,456 7,884,495 8,945 6,58 9,7 4,45,58,78,8 4,75 4,94 5,568 Задание.., ,8455 Вычислить значение величины Zтабл.. при заданных значениях чисел a, b и с, используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции.. Числа a и b верны в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности Z и определить количество верніх цифр в Z. Записать ответ по правилу записи приближённых чисел.. Таблиця. Варіанти завдань до завдання. варианта Значение величины Z Численные значения варианта Значения величины Z Численные значения a =,7 a = 9,49 a b z 4 4 aln b b =,7 z b = 87,878 ab c sin a c c = 4,756 c = 4,4 ln bc z bac a z a b c 4 ab 4c z a =,99 5.8ln b a = 74,79 b = 4,8 z a bc b = 5,9 c =,7 c = 6,4 a =,574 6 a a =,4 b =,4 z bc lnc b = 6, c =,6 c =,49 a =,7 7 ab a = 5,87

4 варианта Значение величины Z a g b z c b z z ac b b c ln a b b c z a b ab c bcos c z b a ln a b z abc z g a b a c b Численные значения варианта Значения величины Z Численные значения b =,4 b =,57 c =,9 c =,7565 a =,49 8 b ln c a =,8 b =,845 z b =,95 c a c =,7 c = 5,75 a =,976 9 a =,7 a b b =,7 z 4 b =,7 ab c c =,5887 c = 4,756 a = 8,574 ln bc a =,99 b = 4, z b = 4,8 bac c = 7,49 c =,7 a =,745 a =,574 a b b =, z b =,4 a c c =,756 c =,6 a =,587 ab 4c a =,7 z b = 4,56 ln a b b =,4 c =,97 c =,9 a = 7,45 a g b a =,49 b =, z b =,845 c b c =,987 c =,7 a =,47 4 a b a =,745 b =,948 z b =, ab c c = 4,78 c =,756 a =,84 a =,587 a c z 4 5 bcos c b = 4,9 z b = 4,56 ab c c =,75 b a c =,97 sin a b a = 8,47 6 ln a b a = 7,45 z c ln b b = 49, z abc b =, c =,78 c =,987 Задание.4. Вычислить значение функции U,y табл..4 и её предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности её аргументов, используя общее правило для расчета погрешности функции, зависящей от нескольких переменных.

5 Таблиця.5 Варіанти завдань до завдання.4 варианта Значение функции U,y Значение аргумента х Значенние аргумента у sin+cos+,6y,5±,,±% sin+,5y,5±,,5±5% 4 +y,7,±,,58±5% 4 sin-5+cos,8y,±,,8±% 5 6 +y,9 -,±,,97±% 6 ln7+,y,56±,4,56±% 7-6 +,4y -,44±,,±% 8 log 9+,y 5,±,,±% 9 + 5,y,54±,,5±8% lg,y,45±,,5±% g,y,4±,,4±% e 5,9y,±,,5±6% 6,5 e y,±,,±% 4 cos7+,5y 4,±,,6±4% 5 log 4,y,45±,,5±% 6 sin-5+cos,8y,±,,8±% 7 6 +y,9 -,±,,97±% 8 ln7+,y,56±,4,56±% 9-6 +,4y -,44±,,±% log 9+,y 5,±,,±% + 5,y,54±,,5±8% lg,y,45±,,5±% g,y,4±,,4±% 4 e 5,9y,±,,5±6% 5 6,5 e y,±,,±% 6 cos7+,5y 4,±,,6±4% log 4,y,45±,,5±%

6 Задача. Пример выполнения работы Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а в широком смысле, б в узком строгом смысле Решение; Поскольку в числе,856 все цифры верны в широком смысле, то его погрешность абсолютная не превосходит единицы разряда, соответствующего последней цифре, т.е.,. Следовательно, имеем;,,,856,7,% Поскольку в числе, 7 все цифры верны в узком строгом смысле, то его погрешность абсолютная не превосходит половины единицы разряда, соответствующего последней цифре, т.е.,/ =,5. Следовательно, имеем::, 5 Задача.,5, 74 7,4%,7 Число =, 46, все цифры которого верны в широком смысле, округлить до двух значащих цифр. Для полученного результата округл вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа округл указать количество верных цифр по абсолютной погрешности. Решение; Поскольку цифры числа верны в широком смысле, то Δ,. Число мы округляем до двух значащих цифр, значит, вносим погрешность округления: Δ округл = округл, где округл =, С учётом этого, общая погрешность составляет = х + округл =, +, -,46 =,47

7 Зная оценку абсолютной погрешности, можно получить величину относительной погрешности по формуле связи между абсолютной и относительной погрешностью: округл,47,88,88%, Теперь выясним, какие цифры в числе округл являются верными в строгом смысле: Цифра :,5 >,47, значить, вірна. Цифра :,5 >,47, значить, вірна. В строгом смысле в числе округл верны все цифры. Аналогичной проверкой убеждаемся, что в широком смысле в числе округл верны все цифры тоже. Задача.. Вычислить значение величины Z при заданных значениях чисел a и b, используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции. Числа a и b верны в строгом смысле. Записать ответ по правилу записи приближённых чисел.. Решение: Пусть Z a b b ln a, а =,4, b = 4,. Результаты расчетов удобно оформлять в виде таблицы, куда после выполнения каждой элементарной операции заносится информация о погрешности операции и числовое значение, которое состоит из верных цифр и одной сомнительной обязательно!. Сомнительную цифру обычно подчёркивают. В нашем случае целесообразно выделить следующие элементарные операции первая строка таблицы Таблиця. Елементарна операція Числове значення Погрішність операції a b a b a b lna b+lna Z,4 4,,5,78 7,9,59 6,8,44,5,5,7,66,7,4,54,

8 Для каждой операции из таблицы для того, чтобы записать число с верными цифрами в строгом смысле и одной сомнительной, производится проверка, аналогичная выполненной в предыдущем задании. Например, получим столбец 4 таблицы: a,4,58 a a,7 a Проверяем, какие цифры в a являются верными в строгом смысле: :,5 >,7 верная; 5 :,5 >,7 верная; :,5 >,7 верная; :,5 <,7 сомнительная. Значит, в таблицу заносится значение a, 5 не забываем правильно применять пра- ила округления приближённых чисел. В дальнейшем, когда будем использовать значение a например, 6-й столбец таблицы, используем ОБЯЗАТЕЛЬНО, 5, а не что-нибудь другое! Аналогичные действия выполняются для всех столбцов таблицы. Всегда надо учитывать строгую последовательность действий для систематического учёта ошибок на каждой операции: Вычислить значение вычислить погрешность с учетом погрешности внести в таблицу значение, состоящее из верных цифр и одной сомнительной. Наконец, получим последний столбец таблицы 7, 9 Z, 49 6,8 Для вычисления ΔZ воспользуемся тем фактом, что при делении чисел складываются их относительные погрешности. Следовательно, имеем :,7,54 Z a b blna,4 7,9 6,8 Z Z Z,49,4,74

9 Проверяем, какие цифры в Z являются верными в строгом смысле :,5 >,74 верная; 4 :,5 >,74 верная; :,5 >,74 верная; :,5 <,74 сомнительная. После этого мы можем записать окончательный ответ. Надо помнить, что по правилам записи приближённых чисел разрядности результата и погрешности для него должны совпадать, т. е. Z =, 44 ±,, где 4 и верны в строгом смысле, а последняя цифра сомнительна. Задача.4. Вычислить значение функции U,y и её предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности её аргументов, используя общее правило для расчета погрешности функции, зависящей от нескольких переменных.. Решение: Пусть нам дана функция и её аргументы, заданные с некоторой погрешностью: U, y 8, y,5,,84,4, y 6, 5% Что касается аргумента функции U, y - он представлен в стандартной записи приближённого числа: приближенное значение аргумента,84 и абсолютная погрешность к нему Δ=, 4. В случае аргумента y запись y=6,±% выражает то, что его значение указано с относительной погрешностью равной 5%. Стало быть, нам необходимо найти абсолютную погрешность этого аргумента по формуле связи относительной и абсолютной погрешности 6,5% y y y,5 Поскольку никакой дополнительной информации об аргументе y нам не дано, то, во избежание потери точности округлим абсолютную

10 погрешность вне зависимости от правил округления! в большую сторону и запишем приближенное значение y в стандартном виде записи приближенных чисел y = 6, ±,. Теперь используем общую формулу для расчета абсолютной погрешности функции, зависящей от нескольких переменных f,... n n i f i i i В нашем случае формула будет иметь вид U,у U,у U, y у у U,84, 6, 6,84,4, 6,,5,,89 Само значение функции в интересующей нас точке U, 84, 6,, 567. Имея результат и погрешность к нему, проверяем, какие цифры ответа верны в строгом смысле : 5 >,89 верная; :,5 <,89 сомнительная. Следовательно, U,84, 6, = ±. Относительная погрешность результата U,84, 6, % %. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Задание: Задача. Найти решение уравнениятабл.. методом половинного деления с точностью ε=,. Задача. Найти решение уравнениятабл.. методом итераций с точностью ε=,.

11 Задача. Найти решение уравнениятабл.. методом касательных с помощью двух итераций и оценить погрешность вычисления. Таблица. Варианты заданий Уравнение Уравнение sin, 5.,5 7. cos,74. log sin,5, 5 4. cos 9. ln 5.. e 6.. sin.6, 5 7. cos,. 5 8ln 8 8. lg. lg 9. 5sin 4.,8 sin cg,5.. lg 6. cg sin,5 lg 6.,5 8.,,4, 4. cos,5 9.,5 lg, 5 5. e 5 sin,5 Пример выполнения работы Задача.. Методом половинного деления найти корень уравнения 4 e с точностью =,. Решение:

12 Один из искомых корней принадлежит отрезку ;. На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным d n a n n n an bn с погрешностью b. Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков a n; b n, используя условие f an f bn. Имеем a b a ; b ;,,5. Так как f a, f,85, f b, 7 и f f b, то принимаем: a,5, b b ; d b a,5. a b Тогда a ; b,5;,,75. Здесь f a,85, f,758, f b,7, f f b. Следовательно, a,75, b b ; d b a,5. a b Тогда a ; b,75;,,875; d,5. Производя вычисления, можно убедиться, что требуемая точность достигается на 7-м шаге:, с погрешностью d,785,. 7 Задача.. Решить уравнение методом итераций cos с точностью,. Решение: Для отделения корней представим данное уравнение в виде cos. Построив графики функций y и y cos, увидим, что корень уравнения содержится внутри отрезка Здесь ;. f cos ; f sin ; M ma sin ; ; ; M Запишем уравнение f в виде g, где g f cos cos Положим, 5. Последовательные приближения найдём по формулам k cos k, k,,,...

13 ,4898;,4569;., ; 4, Для оценки погрешности четвёртого приближения воспользуемся неравенством k k, q ; c k,где q ma g a; b k k, q. Так как q ma g ; ma sin ;, то c 4 4,654. Следовательно, c, 4 45 с точностью,. Заметим, что мы получили приближённое значение корня с точностью более высокой, чем задано в условии. Задача.. Один из корней уравнения 6 заключён в отрезке ;. Найти приближённое значение этого корня методом касательных с помощью двух итераций и оценить погрешность вычисления. Решение. Здесь f 6 ; f 6; f 6. Заметим, что на отрезке ; сохраняют знак и первая и вторая производные: f ; f. Таким образом, выполняются условия применения метода касательных. В качестве можно взять, например,, так как f и f f. Тогда имеем,. Оценим погрешность f вычисления. Найдём значения необходимых параметров: m min f min Тогда 6 ; M ma m 6 6; q. ; ; ; M 6 c. f 47 9 Вторая итерация: f

14 Оценим погрешность вычисления: с, Таким образом, мы уже на второй итерации получили приближённое значение корня такой же точности, как в примере из предыдущей лекции лишь на седьмом шаге. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ» Задание: Задача. Решить систему табл.. методом Гаусса. Задание. Решить систему табл.. методом Крамера. Задание. Решить систему табл.. методом Зейделя с точностью ε=,. Таблица. Варианты заданий к практической работе Задание Задание.,,45,, ,8,4,9 5,86,,5,4,,84 5,6,,8,6,5,5,8,46,49 6,7 4,47.,5,65,76,8.,4 4,,6 4,4,86,7,84,95 8,4 5,,7 6,44,,65,,47,9 7,99 8,7 55,56.,45,94,5,5.,,7 9,,5,,4,6, 6,5, 7,6,,5,5,65,7, 8,88 4,64,75 4.,6,5,5,4.,6,9,,8,5,,7,4,99,,7,66,,4,,,,,99,98 5.,,6,,.,,7,96,4,,,5,4,4,99,85,7,,,,6,9,4,9,67 6.,,,,6 4.,6,84,77 8,8,,,6,,,,8,8,5,4,,,97,,8,6

15 Задание Задание 7.,,44,8,74 5.,6,7,76 9,9,58,9,5,,9,99,5,,5,4,,,,95,69, ,4,75 4,4 6.,98,88,4,6 7,4 9,,75 49,49,6,44,88,7 5,57 7,48 6,6 7,67 9,74,74 5, Пример выполнения работы Задача.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса y z y z 6 y 5z Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду Здесь выполнены следующие элементарные преобразования: Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на. Вторую строку умножили на. Вторую и третью строки поменяли местами. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. 4 Вторую строку умножили на. Третью строку разделили на 4. Обратный ход: z y z y y y z 4

16 Ответ 4, y, z. Задача.. Решить систему по формулам Крамера Решение: Решим систему по формулам Крамера D , значит, система имеет единственное решение D D D 6 D D D 6 6 D D D 6 6 Ответ: 5,, Задача.. Методом Зейделя решить с точностью, систему линейных уравнений 4,5,8,6,7,,,,6,8,5 4,6, I II III,

17 приведя ее к виду, удобному для итераций. Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк 7,6,5,4,9, 9, 4,4 9,7,, 5,8,4 I II III II II III I Нулевое приближение,9 9,7, 4 T. Первое приближение,9,5 9,7, 4,4,59 7,6 9,7 4, 4, 4,,59,798 9,, 4,,59,,798, 89 5,8 и т.д. Окончание вычислений определяется условием где - заданное число. n n ma, im i i ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ» Задание 4. Решить систему нелинейных уравненийтабл.4. методом Ньютона с точностью ε=,. Подсчитать число итераций, необходимых для достижения заданной точности. Задание 4. Решить систему нелинейных уравненийтабл.4. методами простой итерации и Зейделя. Сделать три итерации.

18 Таблица 4. Варианты заданий к практической работе Задание Задание sin y,. sin y cos y cos y,7 cos y,5. cos y,5 cos y sin y,5 cos y,5,8. sin,5 y, sin y,6 cos y sin y,. sin y, y sin,8 y cos cos y 4. cos,5 y y sin,4 sin y cos y,5 5. cos y,5 sin y y cos sin,5 y 6. sin y,5 cos y sin y sin y,5 7. sin y y cos,5 y cos,7 cos,5 y,8 8. sin y sin y,6 y cos Задание 4.. Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью,. Решение: Записываем систему в виде ;,5;

19 f, f,,5; ; f f,,5;, ; Задаем начальное приближение,5;. Вычисляем элементы матрицы Якоби в точке, W f, f, f, f, f f f f,,,. f, 5, f, т.е.. 67, f,. 67, f,. 87. Решаем систему линейных уравнений k k k k f, k f, k k k f, k k k k f, k f, k k k f, при k ;.67.84; ;.5.;.6;.; Далее процесс повторяется для k,, и т.д. до достижения заданной k k точности, т.е. до выполнения условия ma{ }< f, f,.5,.6, f,. 6, f, 4., т.е. i, i i ;.5.8; ;.6.7;.6,.67

20 Задание 4.. Решить систему нелинейных уравнений методами простой итерации и Зейделя. ; ; Приводим систему к виду, пригодному для итераций,, ;, ; ;, ; n i,,..., n Проверяем условие сходимости, i=,,...,n j Задаем начальное приближение j ; Вычисляем последующие приближения ;.5,. Метод итераций: Метод Зейделя: ; /. 5. 4;. 96/. 65;. 5/. 75; /. 5; / ; n ma , ;. 75,. 8. ; /. 5;. 5/. 75;. 85/. 6; / ; /. 6. 9; n ma , ;. 6,. 9. * * * * ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5 ТЕМА: «МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Задание

21 Задача 5 Установить вид эмпирической формулы y f, используя аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами и, и определить наилучшие значения параметров для опытных данных представленны х таблицей 5.. Таблица 5. Варианты заданий к лабораторной работе 5.,,57,94,,68,5,4,79 y,59,6,58,5,9,66,8,.,7,56,9 4, 5,5 5,89 6,7 7,5 y,6,,4,94,,89,9,87. -4,8 -,84 -, -,76 -, -,67 -, -,6 y,5,8,44 4, 5,9 6,55 8,,4 4.,,64,8,9,56 4,9 4,84 5,48 y,8,9,5,,9,8,7,6 5. 5,84,8 6,9 9, 7,87 6,9 4,4 8,9 y 79, 57,4 6,66 9,55 9, 7, 7,5 9,5 6.,9,94 6,5 6,58,8 6,4,57 5,96 y 8,6 6, 44,56 8,5 99,7 7,4 6, 66, ,46,7 6,49 4,6,9 6,46,86,5 y 65,7 58,5 6,5 55,79 5,8 47,69 44,49 59,74 8.,8,76,4,7,,68 4,6 4,64 y,,6,,96 4,98 6,6 7,47 9, ,84-4, -,76 -, -,68 -,4 -,6 -,6 y -,9 -, -, -,6 -,9 -,6 -,9 -,8.,54 4,9 4,78,99, 6,9,89,7 y,8 8,4 4,95 6,96 8,78,55 5,77,89. 4,8 4,4,5 -,8,4,6 7,5 5, y 8,,85 6,9-8,,9 7,8 6,45 4,

22 .,6,88,6 -, 4,4 4,76 5,48 6, y,8,6,,6,4,4,95,85.,,7,4 -,,84 4,55 5,6 5,97 y,49 4,76,55,6,,8,6,5 4. -,64 -,6 -,8,,48,76,4, y 9,5 8,86,5 7,7 4,9,4,,8 5. -,45 -,94 -,4 -,9 -,4,,6, y,87,9,68,,4 4,5 5,66 7,7 6.,54,9,8 -,65,,9,76 4, y -,5 -,8 -,54 -,9-4,7-4,57-4,84-5,9 7.,,,8 -,6 4,4 5, 6, 6,8 y -,85-6,5-4,4 -, -, -,8 -,45 -,7 8. -,4 -,67 -,,7,44,8,8,55 y,8 8,8 5,97 4,44,,46,8,6 9. X,4,97,5 -,9,65,,77 4, Y,45,7,56,8,,8,,44.,8,5,48 5,78 4,9,56,9 5,7 y -9, -,4-9,9-9,56 -, -,4,4, y 6 7,45 8,4,46,9 4,56 5,89 9, y 9,8,9 7, 5,6,7,, 5,.,65,9,9,,8,75,66,89 y,4,,4,75,56,7,76,98 4., -,5 -,76 -,5 -,45 -,8 -,6 -,7 y 58,46 6,5,7 6,7,6 69, 58,8 4,

23 Пример выполнения работы Задача 5. Установить вид эмпирической формулы y f, используя аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами и, и определить наилучшие значения параметров, если опытные данные представлены таблицей: i 4 5 y i 7, 7,8 6, 6 Решение. Легко заметить, что точки ln, ln y лежат приблизительно на одной i прямой. Положим X ln ; Y ln y и составим таблицу для экспериментальных данных в новых переменных: i X i,,69,99,86,69 Y i,96,5 4,9 4,7 5,8 Точки X, Y лежат приблизительно на одной прямой, в чём легко i i убедиться, построив их в системе координат X, Y. Наилучшие значения параметров k и b находятся из системы уравнений 8: m m bn k X i Yi, i i m m m b X i k X i i i i 5b 4,787k 9,66,. 4,787b 6,k,55 X Y ; i i Решив эту систему, получим: b,97; k, 95. Неявное уравнение, выражающее связь между переменными и y имеет вид ln y,95ln, 97.

24 Отсюда легко получить прямую зависимость между переменными в виде степенной функции:,97,95 y e. Для сравнения можно привести таблицу экспериментальных данных, и данных, полученных с помощью найденной формулы: i 4 5 y i 7, 7,8 6, 6,97,95 y e. 7,6 7,7 6,8 7,4 65,9 Формула, полученная в результате решения приведённого примера, является частным случаем аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами, имеющей вид Q,,.. В данном случае e b k,. Рекомендации по переведению экспериментальных данных в аппроксимирующие зависимости с двумя переменными приведены в следующей таблице. Выравнивание данных Эмпирическая формула преобразование переменных X X ; Y y y, k, b ; Y y, k, b y X ; Y y, k, b y 4 X ; Y ln y b k y, e, e 5 X ln ; Y y y ln, k, b 6 X ln ; Y ln y b y, e, k

25 Одну из шести предложенных формул преобразования следует выбирать одновременно с проверкой линейной зависимости к исходным данным. Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой. Его можно определить по формуле: m Yi kx i b i d. m Yi i Для наилучшей эмпирической формулы значение d будет наименьшим. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6 ТЕМА: «ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ» Задание Задача 6.. Для заданной функции табл.8 найти численно значение производной в середине интервала [a;b] с точностью =,. Задача 6.. Найти приближенное значение интеграла заданной функции f табл.6. на отрезке [a, b] по формулам трапеций, левых и правых прямоугольников и Симпсона, разбив отрезок на равных частей.. Оценить ошибку вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница. Таблица 6. Варианты заданий к лабораторной работе 6 Функция Интервал. f cos [;]. f sin [;]. [;] f,9 sin

26 Функция Интервал 4. [;] f ln f g 5. [;.5] 6. f,6 ln [,;,] 7. f sin,5 [,5;,5] 8. [;] f cos 4 9. f ln [;]. f g [-,5;,5]. f e [,;,]. [-;] f [;] f [;5] f 5. 9 [;] f [-;] f e [;] f 5 8. f e sin [;5] 9. 7 [-;-] f. [;] f 4 9 Пример выполнения работы Задача 6.. Вычислить производную функции y sin в точке / с точностью /, 4798 Решение:. n Положим,; ;,, откуда: Определим приближённое значение производной: n n y n sin, sin.

27 y y n n sin,, n n sin, n,,,... Найдём отношения, аппроксимирующие производную: у у у у,455989,, ,, , Заметим, что y y, , Таким образом, начиная с третьего приближения, в соответствии с оценкой, получаем искомое приближение производной данной функции с точностью не меньшей заданной. Точное значение y cos, 5. Задача 6.. Вычислить по формуле левых прямоугольников интеграл е х d, разбив отрезок интегрирования на частей. Оценить ошибку вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница. Решение. Вычислим значения подынтегральной функции соответствующие значения занесём в таблицу: х е в точках деления и х,,,,,4,5,6,7,8,9 у,,5,4,498,498,6487,8,7,55,4596 Воспользуемся формулой : 9 e d yi,6,5, 65. i Оценим ошибку вычисления. Имеем: e e ; ; Подставляя в формулу b a M h, где M ma e e,788. f ma наибольшее значение первой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования, a; b

28 получаем,788,, 594. Действительно, сравнивая полученное значение с точным значением, получаем Это весьма значительная ошибка. Задание: Задача 7 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7 d,788,654, ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ» Решить задачу Коши для дифференциального уравнения табл.7. на отрезке [a,b] при начальном заданном условии y a интегрирования h: улучшенным методом Эйлера с шагом h. методом Рунге-Кутта с шагом h. y ' f, y c и шаге Таблица 7. Варианты заданий к лабораторной работе 7 Функция Интервал y Шаг. f, y, y [;] y=,,. f, y,85 cos,7, 84y [,;,] y,=,5, y f, y cos y f, y sin y f, y cos e y f, y cos [,6;,6] y,6=4,6, [,;,] y,=,, [,4;,4] y,4=,5, [,7;,7] y,7=5,,

29 Функция Интервал y Шаг 7. f, y y 4 [,6;4,6] y,6=,5, 8. f, y sin y [;] y=,, 9. f, y,6,5 y [;] y=,,. f, y cos y 5 [,8;,8] y,8=,6,. f, y cos y [,;,] y,=,5,. f, y e,5y [;,5] y=,6,5 Пример выполнения работы Задание 7. Улучшенным методом Эйлера с шагом h=, получить решение ' дифференциального уравнения y y с начальними условиями y на интервале [;,5]. Решение: Расчетные формулы улучшенного метода Эйлера имеют вид: i i h yi yi hf i, yi h yi yi f i, yi f i, yi, i, n Разобьем отрезок [;,5] на N=5 частичных интервалов. Длина каждого интервала будет равна,5 h,.исходя из начальной точки, y 5 рассчитаем значение y в узле, по формуле y y hf y,,

30 f y,.. y y,5 h f, y f, y.5,,,5 Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение yk,5 h f k, yk f k, yk получаемые результаты занесем в таблицу. k k y k y k yk.. 5.E-4. 5.E-4..55E-..5E-.5E E E E-.594E E-.94E-.65E E- 4.5E- ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8 ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ» Задание: Задача 8. Используя метод сеток, найти решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа: u u уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях: u,=f, u,=; u,6;=, где [;,6]. Решение выполнить при h=, для [;,] с тремя десятичными знаками. Шаг по вібрать равнім.5.. Ниже приведены варианты заданий. U,=cos; U,=-6; U,6; =,64. U,=+; U,=+,96; U,6; =,96. U,=,+ln+,4; U,=,8+; U,6; =,

31 4. U,=sin; U,=; U,6; =,9 5. U,=-; U,=+,5; U,6; =,5 6. U,=sin,55+,.; U,=+,; U,6; =,54 7. U,=-+,; U,=,+; U,6; =,68 8. U,=sin+,8; U,=,8+; U,6; =, U,=cos+,9; U,=,9; U,6; =,798. U,=+,+,4; U,=+,4; U,6; =,6. U,=ln+,6+; U,=,45+; U,6; =,945. U,=sin+,45; U,=,45-; U,6; =,8674. U,=,++,4; U,=,+; U,6; =,9 4. U,=-,++,; U,=6; U,6; =,84 5. U,=,+; U,=; U,6; =,9 6. U,=sin+,; U,=+,; U,6; =,58 7. U,=cos+,48; U,=6+,887; U,6; =,47 8. U,=ln,6-; U,=,4-; U,6; =,75 9. U,=,5--; U,=,5-; U,6; =,6. U,=cos+,845; U,=6+.; U,6; =,5 Задача 8. Найти решение смешанной задачи для уравнения колебания струны с начальными условиями u, =f, u, =Ф,, и краевыми условиями u,=, u, = методом сетокδ=,,δ=,5. Варианты заданий приведены ниже.. f Ф cos. f cos. Ф f cos Ф

32 4. Ф f,5, sin,5 5. Ф f 4,, sin 6.,, sin Ф f 7. sin Ф f 8.,5 cos Ф f 9.,5 cos,5 Ф f. Ф f,5 sin. cos Ф f. cos,5 Ф f.,5 sin,5 Ф f 4.,5 sin Ф f 5.,5 cos Ф f 6.,4,6 cos Ф f 7.,5,5,5 sin,5 Ф f 8. Ф f,5,,6 sin, 9. Ф f,5, cos,5. Ф f,5,5 cos,5 В узлах сетки :. ;.9.9,.,. D найти значения функции u,, являющейся решением задачи,,,.9 u u u u L u Решение: Построим сетку по оси Ох с шагом Δх=,, по оси О c шагом Δ=,.

33 ,9,9,9,,4,6,8, Точки деления:.,.4,.6,.8, 4 ;.9,.9,.9. Обозначим u, u, y. Заменяя в уравнении теплопроводности i j i j производные их разностными аналогами, получим следующее разностное уравнение Откуда следует, что где. u u u u u i, j i, j i, j i, j i, j u u u u, i, j i, j i, j i, j Вначале находим значения u, j, j, ; u4, j, j, ; ui,, i,,,,4., Затем по формуле u u u u u i, j i, j i, j i, j i, j остальных точках.. В результате вычислений получим находим значения решения в, u u,, 9,88,, 9,846, u u4,,9,88 4,,9,846 u,,; u, 4, 4; u,6,6,,, u,8,8; u, 4, 4,, 5, u u u u, 5,, 5, 4, 5,6,4,,,, и т.д.

34 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Вариант. Решить методом простой итерации и методом Зейделя систему,7, уравнений решение найти с точностью, :,5,5. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х 4 6. у 5 Вычислить значение у для х=.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : cos. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, d трапеции и Симпсона:. 5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y, y, h,; найти y,4. Вариант. Решить методом простой итерации и методом Зейделя систему уравнений решение найти с точностью, :. 4. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции

35 х у Вычислить значение у для х=9.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : cos. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным решением: d. 5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y, y, h,; найти y,. y Вариант. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы 4 уравнений решение найти с точностью, : 7. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х 4 6. у 7 7 Вычислить значение у для х=5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : 4sin. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным d решением: n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y, y 4, h,; найти y,8 Вариант 4. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью,

36 ,5,,,,5 5.. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х - -. у 6 6 Вычислить значение у для х=,5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд :,5e. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным d решением: n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y e, y, h,5; найти y,5. Вариант 5. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью, 5, Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции Х -. У 6 5 Вычислить значение у для х=,5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным решением: 6 5d n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y cos y, y, h,5; найти y,.

37 Вариант 6. Исследовать сходимость и решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью, 6,.. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х -. у,5,5 Вычислить значение у для х=,5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным 5, ln решением: d n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y, y,4, h,5; найти,5 y Вариант 7 y.. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью,, Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х -. у -7 Вычислить значение у для х=,5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника,, трапеции и Симпсона: ln d n 6.

38 5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y y ln, y, h,5; найти y,. Вариант 8. Исследовать сходимость и решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью, 5,.. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х 4 6. у Вычислить значение у для х=5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд : e. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона: e d n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y, y, h,5; найти y,. Вариант 9. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью,, 5.. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции х. у Вычислить значение у для х=,5.

39 . Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя,5 метод Ньютона и метод хорд : e. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона: d n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y y, y, h,; найти y,4. Вариант. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений решение найти с точностью,, 5.. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции Х. У -5-5 Вычислить значение у для х=,5.. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд :. 4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона: cos d n Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках: y y y, y, h,; найти y,4.

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лабораторная работа 1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа 1. Приближенное решение нелинейных уравнений Лабораторная работа 1 Приближенное решение нелинейных уравнений Приближенно вычислить все корни данного уравнения f(x) = 0 с заданной погрешностью. 1) Для локализации и отделения корней построить график

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Тест по предмету Численные методы Составила преподаватель МКЭИТ Сипачева О.И.

Тест по предмету Численные методы Составила преподаватель МКЭИТ Сипачева О.И. Тест по предмету Численные методы Составила преподаватель МКЭИТ Сипачева О.И. В тесте проверяются знания и умения по темам: ) действия над приближенными числами со строгим учетом погрешностей и по правилам

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа. Теория погрешностей и машинная aрифметика Теоретический материал к данной теме содержится в [, глава ]. Варианты

Подробнее

Вычислительная математика

Вычислительная математика Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 6547

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Лабораторные работы по курсу «Высшая математика» Часть

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

о.і. теор. сағат в т.ч. теоретичес ких часов

о.і. теор. сағат в т.ч. теоретичес ких часов Қазақстан республикасы білім және ғалым министрлігі Министерство образования и науки республики Казахстан Павлодар Техника - экономикалық колледжі Павлодарский Технико-экономический колледж БЕКІТЕМІН:

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ. Математика: численные методы

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ. Математика: численные методы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет» (МГПУ) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА»

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y =

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Барнаул Рубцовск Барнаул Издательство Алтайского государственного

Подробнее

Составители: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. УДК

Составители: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. УДК ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева ПРАКТИКУМ ПО

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ)

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.)

Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.) Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.) 0.1 Численное интегрирование 1. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

Практикум по курсу «Численные методы»

Практикум по курсу «Численные методы» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Мастяева ИН Семенихина ОН Практикум по курсу «Численные методы» Москва УДК 596 ББК

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Вычислительная математика

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Вычислительная математика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы. 1 1. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Его общее и частное решение, частный и общий интеграл. Запись уравнения в нормальной форме. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения

Подробнее

Задания для самостоятельной работы.

Задания для самостоятельной работы. Задания для самостоятельной работы. Перечень тем по дисциплине «Прикладная математика».. Решение нелинейного уравнения методом бисекции.. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.. Решение

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ БАБАДЖАНОВ Ш.Ш. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Ташкент 04 Бабаджанов Ш.Ш. Прикладная

Подробнее

Численные методы ИМОЯК, Электроэнергетика и электротехника, уч.год Билет 1

Численные методы ИМОЯК, Электроэнергетика и электротехника, уч.год Билет 1 202-203 учгод Билет 5 Найти корень трансцендентного уравнения cos()+ 2 +,5=0 на [-; 0] с помощью различных методов (метод, метод, метод ) Точность eps=0,00 Результаты представить в виде таблицы 6 Решить

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебной

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование Численное интегрирование - - Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет автоматики и вычислительной техники

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

численные методы решения скалярных уравнений и систем линейных уравнений, методы численного интегрирования и

численные методы решения скалярных уравнений и систем линейных уравнений, методы численного интегрирования и 1 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Численные методы программирования» является дисциплиной по выбору вариативной части. Рабочая программа составлена в соответствии

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения курса 3.1. ПК-4 ПК-8 ПК Знать: З.

1. Цели и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения курса 3.1. ПК-4 ПК-8 ПК Знать: З. 1. Цели и задачи дисциплины. Цель дисциплины: изучение методов построения численных алгоритмов и исследование численных методов решения математических задач, моделирующих различные физические процессы.

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Алексеева О.А. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Челябинск УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Численные методы: практикум. Челябинск: НОУВПО РБИУ,. 77 с. Рассматриваются наиболее распространенные методы численного

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины

1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины 1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины Дисциплина "Численные методы математического моделирования" является одной из дисциплин по выбору при подготовке дипломированных специалистов по специальности

Подробнее

Тема7. «Численное интегрирование.»

Тема7. «Численное интегрирование.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема7. «Численное интегрирование.» Кафедра теоретичской и прикладной математики. разработана доц.

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014.

Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014. Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Э.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИКА Лабораторные работы для студентов строительных специальностей В 4 частях

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ Практикум Часть Составитель:

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ УДК 596(075) ББК В9я7- Ч67 Издательство ТГТУ Р е ц е н з е н т ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ТГТУ ДОКТОР ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК СМ ДЗЮБА

Подробнее

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: создать базу знаний, необходимых для численного решения разнообразных прикладных задач. 1.2. Задачи: приобретение студентами знаний и

Подробнее