r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,"

Транскрипт

1 Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства потенциала двойного слоя. В этой и следующих лекциях мы рассматриваем пространство R N при N План лекции. Третья формула Грина: сумма трёх потенциалов.. Гармоничность потенциалов. 3. Определение телесного угла. 4. Лемма: ω x (Σ) = N 5. Теорема: Σ r N r N ds ξ, r = x ξ. ds ξ c < +, где c > 0 не зависит от x. 6. Теорема о прямом значении потенциала двойного слоя. 7. Интеграл Гаусса W 0 (x). Основная теорема. 8. Лемма о непрерывности функции W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] r N ds ξ. 9. Теорема о предельных значениях W i (x 0 ) и W e (x 0 ) потенциала двойного слоя.

2 Лекция 6. Потенциал двойного слоя. Определение потенциалов и их гармоничность Напомним, что в четвёртой лекции первой тематической лекции мы вывели третью формулу Грина для функции u(x) C () (Ω) в ограниченной области Ω R N с гладкой границей C (,α), которая при N 3 имеет следующий вид: u(x) = (N )ω N ( u(ξ) u(ξ) ) ds r N r N ξ (N )ω N Ω r N ξu(ξ) dξ, r := x ξ, (.) где ν ξ это внешняя нормаль к области Ω в точке ξ. Здесь мы видим три типа слагаемых. Заменим функции u(ξ), u(ξ) и ξ u(ξ) соответственно функциями µ(ξ), σ(ξ) и ρ(ξ). В результате получим три интеграла, зависящие от x R N как от параметра V [µ](x) := r µ(ξ) ds N ξ, (.) W[σ](x) := σ(ξ) dξ, (.3) rn U[ρ](x) := rn ρ(ξ) dξ. (.4) Ω Дадим определение. Определение. Функции V [µ](x), W[σ](x) и U[ρ](x) называются потенциалом простого слоя, потенциалом двойного слоя и объёмным потенциалом. Некоторые свойства объёмного потенциала U[ρ](x) были нами изучены в первой тематической лекции, поэтому мы сосредоточим наше внимание на изучение свойств потенциалов простого слоя V [µ](x) и свойства потенциала двойного слоя W[σ](x). Справедлива следующая теорема: Теорема. Если плотности µ(x) и σ(x) принадлежат классу C(), то потенциалы V [µ](x) и W[σ](x) являются гармоническими функциями в любой области D R N такой, что D =. Доказательство.

3 . Определение потенциалов и их гармоничность 3 При условиях теоремы подынтегральная функция потенциала простого слоя V [µ](x) где µ(ξ) x ξ N C x (D), Dx β µ(ξ) x ξ C x,ξ(d ), N D β x := β x β β x β β N x β N N, β = β + + β N. Следовательно, для всех производных Dx β выполнены все условия теоремы о дифференцировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра, и мы можем дифференцировать выражение для V [µ](x) под знаком интеграла. Справедливо равенство x V [µ](x) = x r µ(ξ) ds N ξ = 0 при x D, поскольку при x ξ имеет место следующее равенство: x = 0. x ξ N Аналогичные соображения справедливы для потенциала двойного слоя и поэтому справедлива следующая цепочка равенств: ( ) x W[σ](x) = x σ(ξ) dξ. r N (.5) Заметим, что x ξ N = N k= cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x ξ N. Очевидно, что косинусы cos(ν ξ,ξ k ) не зависят от x, поскольку это направляющие косинусы вектора нормали ν ξ к точке ξ относительно исходной декартовой системы координат. Поэтому имеем ( ) x = r N = k= k= ( ) cos(ν ξ,ξ k ) x = ξ k x ξ N cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x ( ) x ξ N = 0 при x ξ. Следовательно, отсюда и из равенства (.5) приходим к следующему равенству: x W[σ](x) = 0 при x D. Теорема доказана.

4 4 Лекция 6. Потенциал двойного слоя. Телесный угол Пусть Σ это, вообще говоря, не замкнутая кусочно гладкая поверхность в пространстве R N и пусть x / Σ это некоторая фиксированная точка. Произвольную точку на поверхности Σ мы будем обозначать как ξ Σ. Проведём из точки x к каждой точке ξ Σ радиус вектор r. Без ограничения общности будем предполагать, что точка x R N выбрана таким образом и поверхность Σ такова, чтобы cos(ν ξ,r) 0 для всех ξ Σ, (.) где ν ξ это вектор внешней нормали к поверхности Σ в точке ξ Σ. Все эти радиус векторы заполнят некоторую коническую область K как это изображено на рисунке. Рис.. Телесный угол. Из точки x как из центра проведём окружность радиуса R достаточно малого радиуса R < distance{x,σ}. Обозначим через σ R часть сферы { x = R}, заключённую в конусе. Дадим определение. Определение. Отношение ω x (Σ) def = σ R R N (.) называется телесным углом, под которым поверхность Σ видна из точки x при условии (.).

5 . Телесный угол 5 Можно доказать, что величина ω x (Σ) не зависит от R > 0. Действительно, справедливо следующее утверждение: Л е м м а. Справедливо следующее равенство: ω x (Σ) = N Σ r N ds ξ, r = x ξ, (.3) где ν ξ это внешняя нормаль в точке ξ Σ. Доказательство. Рассмотрим область D R N, ограниченную поверхностями Σ, σ R и конической поверхностью K. В области D функция r N = x ξ N является гармонической функцией относительно точки ξ. Тогда справедливо следующее равенство: ξ r N = 0 в D D ξ dξ = 0. (.4) rn Отсюда в силу формулы Остроградского Гаусса вытекает равенство r ds N ξ = 0, D = Σ σ R K. (.5) D Заметим, что справедлива следующая цепочка равенств: = N rn r N = N r N k= k= r ξ k cos(ν ξ,ξ k ) = cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x k r = N r N cos(ν ξ,ξ k ) cos(r,ξ k ) = = N r N cos(r,ν ξ), (.6) где мы использовали следующие равенства: r = ξ k x k ξ k r k= = cos(r,ξ k ), cos(r,ν ξ ) = r,ν ξ r ν ξ = r k ν ξk = r ν ξ k=

6 6 Лекция 6. Потенциал двойного слоя r,ξ k ν ξ,ξ k k= = = cos(r,ξ k ) cos(ν ξ,ξ k ). r ν ξ Теперь заметим, что на конической поверхности K ξ имеем r ν ξ и поэтому cos(r,ν ξ ) = 0 при ξ K. Таким образом, выражение (.5) примет следующий вид: r ds N ξ = r ds ξ. N (.7) Σ Вычислим интеграл в правой части последнего равенства. Действительно, вектор нормали ν ξ направлен против радиуса на поверхности σ R и поэтому σ R σ R k= r = r=r = N N r r N R. N В результате имеем r ds N ξ = N σ R ds R N ξ = (N ). (.8) RN σ R Из формул (.7) и (.8) вытекает искомое равенство r ds N ξ = (N ) σ R R. N Σ Лемма доказана. Справедлива следующая важная теорема, которую мы приведём без доказательства. Теорема. Если это замкнутая ляпуновская поверхность, то существует такая постоянная C, не зависящая от x, что ds ξ C для всех x R N, (.9) r N где напомним r = x ξ. 3. Прямое значение потенциала двойного слоя В первом параграфе мы ввели потенциал двойного слоя, имеющий следующий вид: W[σ](x) = σ(ξ) r ds N ξ, (3.)

7 4. Интеграл Гаусса 7 где ν ξ внешняя нормаль к замкнутой поверхности C (,α). Справедлива следующая теорема: Теорема 3. Если C (,α) замкнутая поверхность и σ(ξ) C(), то потенциал W[σ](x) C(). Доказательство. Мы хотим воспользоваться результатом теоремы лекции 5. Действительно, справедлива следующая цепочка равенств: где r = (N ) cos(r,ν ξ) = A(x,ξ) N r N r λ, (3.) A(x,ξ) = (N )r α/ cos(r,ν ξ ), λ = N α < N. В силу результата леммы лекции 5 функция A(x,ξ) C( ), если эту функцию доопределить нулём при x = ξ. В силу (3.) потенциал двойного слоя является интегральным оператором со слабой особенностью, причём σ(ξ) C(). Согласно теореме 3 лекции 5 мы заключаем, что W[σ](x) C(). Теорема доказана. 4. Интеграл Гаусса Дадим определение. Определение 3. Потенциал двойного слоя, у которого плотность равна, называется интегралом Гаусса W 0 (x) := r N ds ξ, (4.) где замкнутая поверхность и ν ξ это внешняя к ней нормаль в точке ξ. Предположим, что замкнутая поверхность ограничивает область Ω R N (область Ω ограничена). Справедлива следующая теорема: Теорема 4. Если замкнутая поверхность C (,α), то справедливы следующие равенства: (N )ω N, для x внутри ; W 0 (x) = 0, для x вне ; N (4.) ω N, для x, где ω N это площадь единичной сферы в R N. Доказательство. Доказательство проведём за несколько шагов.

8 8 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Рис.. Построения к шагу теоремы 4. Шаг. Сначала предположим, что x Ω. Рассмотрим область U := Ω\O(x,ε), O(x,ε) := { y R N : y x < ε } при достаточно малом ε > 0 таком, чтобы O(x,ε) Ω. Заметим, что в области U функция rn, r = x ξ является гармонической по ξ, поэтому справедливы следующие равенства: ξ r = N 0 ξ dξ = 0. rn U В силу теоремы Остроградского Гаусса справедливо следующее равенство: r ds N ξ + r ds N ξ = 0, (4.3) O(x,ε) где ν ξ это внешняя нормаль к границе U области U. Вычислим интеграл I ε := r ds ξ. N O(x,ε) В этом интеграле нормаль ν ξ направлена к центру шара и поэтому справедлива следующая цепочка равенств: Тогда r=ε = r=ε = N r N r r N ε. N I ε = N ε N O(x,ε) ds ξ = (N )ω N. (4.4) Из равенств (4.3) и (4.4) вытекает первое выражение в (4.).

9 Шаг. Если x / Ω, то функция гармонична по ξ Ω. Тогда ξ r = N 0 Ω 4. Интеграл Гаусса 9 r N ξ r N dξ = 0 r N ds ξ = 0. Поэтому второе выражение в (4.) доказано. Шаг 3. Пусть x. Поскольку C (,α), то мы выберем число ε (0,d), где d это радиус сферы Ляпунова. Опишем вокруг точки x шар O(x, ε). Введём следующие обозначения:. Часть поверхности, лежащую вне O(x,ε) обозначим через ε;. Часть сферы O(x,ε), лежащую внутри Ω обозначим через S ε. 3. Пусть U := Ω\O(x,ε), тогда U = ε S ε. Рис. 3. Построения к шагу 3 теоремы 4. Заметим, что в области U функция гармонична по ξ U, т.е. поэтому 0 = U ξ r N dξ U r N ξ = 0 при ξ U, rn r N ds ξ = 0 ε r ds N ξ + S ε r N ds ξ = 0.

10 0 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Поскольку интеграл Гаусса W 0 (x) сходится на x, то W 0 (x) = lim ε +0 r ds ξ. N Следовательно, W 0 (x) = lim ε +0 ε S ε r N ds ξ. (4.5) Для интеграла в правой части предельного равенства (4.5) справедлива цепочка равенств S ε r ds N ξ = N ε N S ε ds ε = (N ) S ε ε N. Заметим, что можно доказать следующее предельное свойство, справедливое для поверхностей Ляпунова ( C (,α) ): S ε ε N = ω N + O(εα ) при ε +0. Замечание. Площадь S ε поверхности S ε при малых ε > 0 отличается от площади ω N ε N / поверхности полусферы на поверхность пояска S ε O(x, ε) (взятую с тем или иным знаком), заключённого между и касательной плоскостью в точке x. Теорема доказана. 5. Предельные значения потенциала двойного слоя Докажем следующую вспомогательную лемму: Лемма. Пусть C (,α) замкнутая поверхность и σ(ξ) C(), тогда функция W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] r N ds ξ (5.) непрерывна в точке x 0. Доказательство. Шаг. Пусть x 0 и O(x 0,η) := { y R N : y x 0 < η } при достаточно малом η > 0. Введём следующие обозначения: Тогда := O(x 0,η), := \O(x 0,η), =. W (x) = W (x) + W (x),

11 где 5. Предельные значения потенциала двойного слоя W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] Справедливо следующая цепочка неравенств: r N ds ξ, r N ds ξ. W (x) W (x 0 ) W (x) W (x 0 ) + W (x) W (x 0 ) W (x) + W (x 0 ) + W (x) W (x 0 ). (5.) Шаг. Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число. Тогда выберем η > 0 настолько малым, чтобы σ(ξ) σ(x 0 ) < ε 3C для всех ξ x 0 < η, где C > 0 это постоянная из оценки (.9). Для функции W (x) для всех x справедлива следующая оценка: W (x) σ(ξ) σ(x 0 ) r N ds ξ < Поэтому, в частности, < ε 3C r N ds ξ ε 3. (5.3) W (x 0 ) < ε 3. (5.4) Шаг 3. Зафиксируем η > 0 настолько малым, чтобы x x 0 η, тогда на поверхности = \O(x 0,η) справедлива цепочка оценок снизу r = ξ x ξ x 0 x x 0 η η = η для всех ξ. Тогда подынтегральная функция в интеграле W (x) не имеет особенности и непрерывна. Поэтому для уже фиксированного ε > 0 найдётся такое δ = δ(ε) > 0, что W (x) W (x 0 ) < ε 3 при x x 0 < δ. (5.5) Шаг 4. Итак, из формул (5.) (5.5) вытекает искомое неравенство W (x) W (x 0 ) < ε для всех x x 0 < δ.

12 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Лемма доказана. Обозначения. Мы будем пользоваться следующим обозначениями. Пусть x 0, тогда W i (x 0 ) def = lim Ω x x 0 W[σ](x), W e (x 0 ) def = lim (R N \Ω) x x 0 W[σ](x). Прямое значение потенциала W[σ](x) в точке x = x 0 будем обозначать следующим образом: W(x 0 ) := W[σ](x 0 ). Наконец, справедлива следующая основная теорема этой лекции: Теорема 5. Пусть C (,α) это замкнутая поверхность и σ(ξ) C(). Тогда справедливы следующие предельные равенства для потенциала двойного слоя W[σ](x) : W i (x 0 ) = (N )ω N σ(x 0 ) + W(x 0 ), (5.6) W e (x 0 ) = (N )ω N σ(x 0 ) + W(x 0 ), (5.7) для любой точки x 0. Доказательство. Представим потенциал двойного слоя W[σ](x) в следующем виде: W[σ](x) = [σ(ξ) σ(x 0 )] r ds N ξ + σ(x 0 ) r ds N ξ = = W (x) + σ(x 0 )W 0 (x), (5.8) где напомним W 0 (x) это интеграл Гаусса. Из леммы вытекает непрерывность в точке x = x 0 функции W (x), определенной равенством (5.). А для интеграла Гаусса W 0 (x) справедливы равенства (4.). Поэтому в силу (4.) имеют место следующие предельные свойства: W 0i (x 0 ) := lim W 0 (x) = (N )ω N, (5.9) Ω x x 0 W 0e (x 0 ) := lim (R N \Ω) x x 0 W 0 (x) = 0, (5.0) W (x 0 ) = [σ(ξ) σ(x 0 )] ds r N ξ = W(x 0 ) σ(x 0 )W 0 (x 0 ) = 0 = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ), r 0 := x 0 ξ. (5.) Итак, из формул (5.8) (5.) вытекают предельные равенства:

13 5. Предельные значения потенциала двойного слоя 3 W i (x 0 ) = W (x 0 ) + σ(x 0 )W 0i (x 0 ) = = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ) (N )ω N σ(x 0 ) = W e (x 0 ) = W (x 0 ) + σ(x 0 )W 0e (x 0 ) = = W(x 0 ) (N )ω N σ(x 0 ), (5.) = W (x 0 ) = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ). (5.3) Теорема доказана. Следствие. При условиях теоремы имеет место следующая формула: σ(x 0 ) = [W e (x 0 ) W i (x 0 )]. (5.4) (N )ω N


ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ;

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ; Лекция 7 ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ В этой лекции мы изучим свойства потенциала простого слоя при N 3.. План лекции. Потенциал простого слоя. 2. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя. 3. Формулы

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО 0. План лекции 1. Предварительные условия. 2. Теорема типа Жиро. 3. Контрпример к теореме Жиро в случае области с угловой точкой на границе. 4. Принцип максимума модуля. 5. Единственность

Подробнее

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА 0. План лекции 1. Сильный принцип максимума для гармонических функций. 2. Принцип максимума модуля гармонической функции. 3. Единственность классического решения задачи Дирихле.

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

1 Напоминание: предел решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. 2 Три определения оператора Лапласа.

1 Напоминание: предел решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. 2 Три определения оператора Лапласа. Лекция 9. Гармонические функции. 1 Напоминание: предел решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Теорема 1 Пусть u t = u, t [0, + ), x D, u t=0 = ϕ, u D=f, где D - диск, ϕ C 4 (D),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши.

ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши. ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши. 1.Теорема Коши.... 1 2.Формула Коши.... 2 3.Распространение формулы Коши на случай сложных контуров.... 4 4.Интеграл типа Коши.... 5 1.Теорема Коши.

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева Лекция ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ.. Теорема вложений С. Л. Соболева Теорема. Имеют место непрерывные вложения: W,p () L p () при N > p, p = Np N p, W,p () C ( ) при N < p. В частности,

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Тема 4. Элементы классической теории краевых задач. Часть 1: гармонические функции

Тема 4. Элементы классической теории краевых задач. Часть 1: гармонические функции Тема 4. Элементы классической теории краевых задач. Часть 1: гармонические функции Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2019 Содержание 1 Теоремы о среднем для

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале.

Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале. Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 30 сентября 2011 г. Введение В этой лекции мы рассмотрим важный в приложениях

Подробнее

Лекция 4 ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ И КОЭРЦИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ. 1. Введение. 2. Полунепрерывные функционалы

Лекция 4 ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ И КОЭРЦИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ. 1. Введение. 2. Полунепрерывные функционалы Лекция 4 ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ И КОЭРЦИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1. Введение (û) тем более на практике не выполняется. В частности, если функционал ψ(u) : B R 1 является потенциалом некоторого оператора F(u) = ψ f

Подробнее

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла Глава 8 Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла 8.1 Необходимые сведения из теории До сих пор мы учились вычислять непосредственно поверхностные интегралы. Во многих приложениях однако

Подробнее

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ 1. Открытые отображения Пусть (B 1, 1 ) и (B 2, 2 ) банаховы пространства. Определение 1. Отображение T : B 1 B 2 называется открытым, если образ всякого открытого

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2)

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2) Лекция 4 Комплексный интеграл В этой части курса нам потребуется следующее утверждение Теорема 6 (формула Грина) Пусть - ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений и пусть Ω ограниченная

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА. 1. Параболические пространства Гельдера

Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА. 1. Параболические пространства Гельдера Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА В этой лекции мы 1. Параболические пространства Гельдера Пусть D = Ω (,T), Ω R N это область с гладкой границей Ω. Далее символом

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В. Г. Романов

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В. Г. Романов Сибирский математический журнал Май июнь, 2002. Том 4, УДК 517.958 ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В. Г. Романов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК

Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК 0. План лекции 1. Постановка задачи для равномерно эллиптического оператора. 2. Определение слабого решение. 3. Теорема Брауэра. 4. Лемма об остром угле. 5. Выбор ортонормированного

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами

Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 20, 4(), 77 84 УДК 57.55 Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Давлатбай Х. Джумабаев

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

2 Комплексный интеграл

2 Комплексный интеграл 2 Комплексный интеграл В этой части курса нам потребуется следующее утверждение Теорема 2.1 (формула Грина). Пусть ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений и пусть Ω ограниченная

Подробнее

Лекция 10. Метод Галеркина в сочетании с методом монотонности.

Лекция 10. Метод Галеркина в сочетании с методом монотонности. Лекция 10. Метод Галеркина в сочетании с методом монотонности. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 28 октября 2011 г. Постановка задачи. div( u p 2 u) = f(x), u

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N,N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово. 2. (Следствие.) Для любого нормированного

Подробнее

Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения.

Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения. Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 апреля 2012 г. Теорема Реллиха Кондрашова

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

Подробнее

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум.

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 30 сентября 2011 г. Введение Довольно часто тот функционал, который непосредственно

Подробнее

Дифференцирование внешних мер.

Дифференцирование внешних мер. Тема 7 Дифференцирование внешних мер. В этом разделе мы определим операцию дифференцирования одной внешней меры по другой и докажем ряд формул, являющихся аналогами интегрально-дифференциального исчисления

Подробнее

ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ

ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2011, том 47, 3, с. 366 375 УДК 517.956 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ c 2011 г. В. А. Полунин, А. П. Солдатов На гладкой замкнутой

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1).

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1). Тема 11 Доказательство теоремы Канторовича теорема 9.1). Мы разобьем доказательство теоремы 9.1 на несколько шагов. Напомним, что мы уже доказали неравенство см. лемму 9.3. sup Jφ, ψ) inf Kπ), Φ c C b

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Конспекты семинаров по курсу математического анализа

Конспекты семинаров по курсу математического анализа И.Х. Сабитов Конспекты семинаров по курсу математического анализа Тема: Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского 1. Формула Стокса. Формула Стокса является обобщением формулы Грина на случай областей, расположенных

Подробнее

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Москва 3 УДК 57.937 ББК B6.6 Ф76 Рецензенты: Доктор физико-математических наук профессор директор Института физики

Подробнее

Тема 3 (лекции 5 7). Функция Грина краевых задач для уравнения Пуассона

Тема 3 (лекции 5 7). Функция Грина краевых задач для уравнения Пуассона Тема 3 (лекции 5 7). Функция Грина краевых задач для уравнения Пуассона Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2019 Содержание 1 Формула многомерного интегрирования

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ. Equaon Chaper Secon (7) 2 Дифференциальные законы сохранения Как мы выяснили в разделе, сплошная среда характеризуется скоростью v, плотностью ρ, удельной внутренней энергией U, плотностью массовых сил

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

k=1 Продолжая подобные рассуждения, получим неравенство (3.1) для любого конечного n. Для n = воспользуемся предельным переходом. Очевидно, что ( n=1

k=1 Продолжая подобные рассуждения, получим неравенство (3.1) для любого конечного n. Для n = воспользуемся предельным переходом. Очевидно, что ( n=1 3. СХОДИМОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА Прежде чем доказывать утверждения, связанные со сходимостью с вероятностью единица, докажем две леммы общего характера. Лемма 3.. Для любого счётного набора событий

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Теоремы Витали и Безиковича.

Теоремы Витали и Безиковича. Тема 1 Теоремы Витали и Безиковича. Детали теории метрических и топологических пространств можно найти в [1], [2], [], [4], [5]. Напомним, что метрическим пространством называется пара (X, d), где X некоторое

Подробнее

8 Теорема Остроградского Гаусса

8 Теорема Остроградского Гаусса 36 8 Теорема Остроградского Гаусса Теорема (Остроградского - Гаусса Если векторная функция a = a( P непрерывно дифференцируема в области (V, ограниченной замкнутой поверхностью (Q, то поток векторного

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция 4. Свойства сходимости по распределению

Лекция 4. Свойства сходимости по распределению Лекция 4 Свойства сходимости по распределению Рассмотрим основные свойства сходимости по распределению. Теорема 1. Пусть g непрерывное отображение метрического пространства S в другое метрическое пространство

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала.

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Докажем, что ньютоновский потенциал гладок в тех точках, где гладка плотность. Положим:

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Основные понятия функций комплексного переменного

Основные понятия функций комплексного переменного Тема 11 Основные понятия функций комплексного переменного Определение Поскольку комплексным числам и w соответствуют пары действительных чисел x; y и u;v соответственно: x i y w u i v то задание функции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Тема: Поверхностный интеграл II рода

Тема: Поверхностный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Поверхностный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 12. Поверхностный интеграл II рода попо координатам 1. Односторонние и двусторонние поверхности

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее