r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,"

Транскрипт

1 Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства потенциала двойного слоя. В этой и следующих лекциях мы рассматриваем пространство R N при N План лекции. Третья формула Грина: сумма трёх потенциалов.. Гармоничность потенциалов. 3. Определение телесного угла. 4. Лемма: ω x (Σ) = N 5. Теорема: Σ r N r N ds ξ, r = x ξ. ds ξ c < +, где c > 0 не зависит от x. 6. Теорема о прямом значении потенциала двойного слоя. 7. Интеграл Гаусса W 0 (x). Основная теорема. 8. Лемма о непрерывности функции W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] r N ds ξ. 9. Теорема о предельных значениях W i (x 0 ) и W e (x 0 ) потенциала двойного слоя.

2 Лекция 6. Потенциал двойного слоя. Определение потенциалов и их гармоничность Напомним, что в четвёртой лекции первой тематической лекции мы вывели третью формулу Грина для функции u(x) C () (Ω) в ограниченной области Ω R N с гладкой границей C (,α), которая при N 3 имеет следующий вид: u(x) = (N )ω N ( u(ξ) u(ξ) ) ds r N r N ξ (N )ω N Ω r N ξu(ξ) dξ, r := x ξ, (.) где ν ξ это внешняя нормаль к области Ω в точке ξ. Здесь мы видим три типа слагаемых. Заменим функции u(ξ), u(ξ) и ξ u(ξ) соответственно функциями µ(ξ), σ(ξ) и ρ(ξ). В результате получим три интеграла, зависящие от x R N как от параметра V [µ](x) := r µ(ξ) ds N ξ, (.) W[σ](x) := σ(ξ) dξ, (.3) rn U[ρ](x) := rn ρ(ξ) dξ. (.4) Ω Дадим определение. Определение. Функции V [µ](x), W[σ](x) и U[ρ](x) называются потенциалом простого слоя, потенциалом двойного слоя и объёмным потенциалом. Некоторые свойства объёмного потенциала U[ρ](x) были нами изучены в первой тематической лекции, поэтому мы сосредоточим наше внимание на изучение свойств потенциалов простого слоя V [µ](x) и свойства потенциала двойного слоя W[σ](x). Справедлива следующая теорема: Теорема. Если плотности µ(x) и σ(x) принадлежат классу C(), то потенциалы V [µ](x) и W[σ](x) являются гармоническими функциями в любой области D R N такой, что D =. Доказательство.

3 . Определение потенциалов и их гармоничность 3 При условиях теоремы подынтегральная функция потенциала простого слоя V [µ](x) где µ(ξ) x ξ N C x (D), Dx β µ(ξ) x ξ C x,ξ(d ), N D β x := β x β β x β β N x β N N, β = β + + β N. Следовательно, для всех производных Dx β выполнены все условия теоремы о дифференцировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра, и мы можем дифференцировать выражение для V [µ](x) под знаком интеграла. Справедливо равенство x V [µ](x) = x r µ(ξ) ds N ξ = 0 при x D, поскольку при x ξ имеет место следующее равенство: x = 0. x ξ N Аналогичные соображения справедливы для потенциала двойного слоя и поэтому справедлива следующая цепочка равенств: ( ) x W[σ](x) = x σ(ξ) dξ. r N (.5) Заметим, что x ξ N = N k= cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x ξ N. Очевидно, что косинусы cos(ν ξ,ξ k ) не зависят от x, поскольку это направляющие косинусы вектора нормали ν ξ к точке ξ относительно исходной декартовой системы координат. Поэтому имеем ( ) x = r N = k= k= ( ) cos(ν ξ,ξ k ) x = ξ k x ξ N cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x ( ) x ξ N = 0 при x ξ. Следовательно, отсюда и из равенства (.5) приходим к следующему равенству: x W[σ](x) = 0 при x D. Теорема доказана.

4 4 Лекция 6. Потенциал двойного слоя. Телесный угол Пусть Σ это, вообще говоря, не замкнутая кусочно гладкая поверхность в пространстве R N и пусть x / Σ это некоторая фиксированная точка. Произвольную точку на поверхности Σ мы будем обозначать как ξ Σ. Проведём из точки x к каждой точке ξ Σ радиус вектор r. Без ограничения общности будем предполагать, что точка x R N выбрана таким образом и поверхность Σ такова, чтобы cos(ν ξ,r) 0 для всех ξ Σ, (.) где ν ξ это вектор внешней нормали к поверхности Σ в точке ξ Σ. Все эти радиус векторы заполнят некоторую коническую область K как это изображено на рисунке. Рис.. Телесный угол. Из точки x как из центра проведём окружность радиуса R достаточно малого радиуса R < distance{x,σ}. Обозначим через σ R часть сферы { x = R}, заключённую в конусе. Дадим определение. Определение. Отношение ω x (Σ) def = σ R R N (.) называется телесным углом, под которым поверхность Σ видна из точки x при условии (.).

5 . Телесный угол 5 Можно доказать, что величина ω x (Σ) не зависит от R > 0. Действительно, справедливо следующее утверждение: Л е м м а. Справедливо следующее равенство: ω x (Σ) = N Σ r N ds ξ, r = x ξ, (.3) где ν ξ это внешняя нормаль в точке ξ Σ. Доказательство. Рассмотрим область D R N, ограниченную поверхностями Σ, σ R и конической поверхностью K. В области D функция r N = x ξ N является гармонической функцией относительно точки ξ. Тогда справедливо следующее равенство: ξ r N = 0 в D D ξ dξ = 0. (.4) rn Отсюда в силу формулы Остроградского Гаусса вытекает равенство r ds N ξ = 0, D = Σ σ R K. (.5) D Заметим, что справедлива следующая цепочка равенств: = N rn r N = N r N k= k= r ξ k cos(ν ξ,ξ k ) = cos(ν ξ,ξ k ) ξ k x k r = N r N cos(ν ξ,ξ k ) cos(r,ξ k ) = = N r N cos(r,ν ξ), (.6) где мы использовали следующие равенства: r = ξ k x k ξ k r k= = cos(r,ξ k ), cos(r,ν ξ ) = r,ν ξ r ν ξ = r k ν ξk = r ν ξ k=

6 6 Лекция 6. Потенциал двойного слоя r,ξ k ν ξ,ξ k k= = = cos(r,ξ k ) cos(ν ξ,ξ k ). r ν ξ Теперь заметим, что на конической поверхности K ξ имеем r ν ξ и поэтому cos(r,ν ξ ) = 0 при ξ K. Таким образом, выражение (.5) примет следующий вид: r ds N ξ = r ds ξ. N (.7) Σ Вычислим интеграл в правой части последнего равенства. Действительно, вектор нормали ν ξ направлен против радиуса на поверхности σ R и поэтому σ R σ R k= r = r=r = N N r r N R. N В результате имеем r ds N ξ = N σ R ds R N ξ = (N ). (.8) RN σ R Из формул (.7) и (.8) вытекает искомое равенство r ds N ξ = (N ) σ R R. N Σ Лемма доказана. Справедлива следующая важная теорема, которую мы приведём без доказательства. Теорема. Если это замкнутая ляпуновская поверхность, то существует такая постоянная C, не зависящая от x, что ds ξ C для всех x R N, (.9) r N где напомним r = x ξ. 3. Прямое значение потенциала двойного слоя В первом параграфе мы ввели потенциал двойного слоя, имеющий следующий вид: W[σ](x) = σ(ξ) r ds N ξ, (3.)

7 4. Интеграл Гаусса 7 где ν ξ внешняя нормаль к замкнутой поверхности C (,α). Справедлива следующая теорема: Теорема 3. Если C (,α) замкнутая поверхность и σ(ξ) C(), то потенциал W[σ](x) C(). Доказательство. Мы хотим воспользоваться результатом теоремы лекции 5. Действительно, справедлива следующая цепочка равенств: где r = (N ) cos(r,ν ξ) = A(x,ξ) N r N r λ, (3.) A(x,ξ) = (N )r α/ cos(r,ν ξ ), λ = N α < N. В силу результата леммы лекции 5 функция A(x,ξ) C( ), если эту функцию доопределить нулём при x = ξ. В силу (3.) потенциал двойного слоя является интегральным оператором со слабой особенностью, причём σ(ξ) C(). Согласно теореме 3 лекции 5 мы заключаем, что W[σ](x) C(). Теорема доказана. 4. Интеграл Гаусса Дадим определение. Определение 3. Потенциал двойного слоя, у которого плотность равна, называется интегралом Гаусса W 0 (x) := r N ds ξ, (4.) где замкнутая поверхность и ν ξ это внешняя к ней нормаль в точке ξ. Предположим, что замкнутая поверхность ограничивает область Ω R N (область Ω ограничена). Справедлива следующая теорема: Теорема 4. Если замкнутая поверхность C (,α), то справедливы следующие равенства: (N )ω N, для x внутри ; W 0 (x) = 0, для x вне ; N (4.) ω N, для x, где ω N это площадь единичной сферы в R N. Доказательство. Доказательство проведём за несколько шагов.

8 8 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Рис.. Построения к шагу теоремы 4. Шаг. Сначала предположим, что x Ω. Рассмотрим область U := Ω\O(x,ε), O(x,ε) := { y R N : y x < ε } при достаточно малом ε > 0 таком, чтобы O(x,ε) Ω. Заметим, что в области U функция rn, r = x ξ является гармонической по ξ, поэтому справедливы следующие равенства: ξ r = N 0 ξ dξ = 0. rn U В силу теоремы Остроградского Гаусса справедливо следующее равенство: r ds N ξ + r ds N ξ = 0, (4.3) O(x,ε) где ν ξ это внешняя нормаль к границе U области U. Вычислим интеграл I ε := r ds ξ. N O(x,ε) В этом интеграле нормаль ν ξ направлена к центру шара и поэтому справедлива следующая цепочка равенств: Тогда r=ε = r=ε = N r N r r N ε. N I ε = N ε N O(x,ε) ds ξ = (N )ω N. (4.4) Из равенств (4.3) и (4.4) вытекает первое выражение в (4.).

9 Шаг. Если x / Ω, то функция гармонична по ξ Ω. Тогда ξ r = N 0 Ω 4. Интеграл Гаусса 9 r N ξ r N dξ = 0 r N ds ξ = 0. Поэтому второе выражение в (4.) доказано. Шаг 3. Пусть x. Поскольку C (,α), то мы выберем число ε (0,d), где d это радиус сферы Ляпунова. Опишем вокруг точки x шар O(x, ε). Введём следующие обозначения:. Часть поверхности, лежащую вне O(x,ε) обозначим через ε;. Часть сферы O(x,ε), лежащую внутри Ω обозначим через S ε. 3. Пусть U := Ω\O(x,ε), тогда U = ε S ε. Рис. 3. Построения к шагу 3 теоремы 4. Заметим, что в области U функция гармонична по ξ U, т.е. поэтому 0 = U ξ r N dξ U r N ξ = 0 при ξ U, rn r N ds ξ = 0 ε r ds N ξ + S ε r N ds ξ = 0.

10 0 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Поскольку интеграл Гаусса W 0 (x) сходится на x, то W 0 (x) = lim ε +0 r ds ξ. N Следовательно, W 0 (x) = lim ε +0 ε S ε r N ds ξ. (4.5) Для интеграла в правой части предельного равенства (4.5) справедлива цепочка равенств S ε r ds N ξ = N ε N S ε ds ε = (N ) S ε ε N. Заметим, что можно доказать следующее предельное свойство, справедливое для поверхностей Ляпунова ( C (,α) ): S ε ε N = ω N + O(εα ) при ε +0. Замечание. Площадь S ε поверхности S ε при малых ε > 0 отличается от площади ω N ε N / поверхности полусферы на поверхность пояска S ε O(x, ε) (взятую с тем или иным знаком), заключённого между и касательной плоскостью в точке x. Теорема доказана. 5. Предельные значения потенциала двойного слоя Докажем следующую вспомогательную лемму: Лемма. Пусть C (,α) замкнутая поверхность и σ(ξ) C(), тогда функция W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] r N ds ξ (5.) непрерывна в точке x 0. Доказательство. Шаг. Пусть x 0 и O(x 0,η) := { y R N : y x 0 < η } при достаточно малом η > 0. Введём следующие обозначения: Тогда := O(x 0,η), := \O(x 0,η), =. W (x) = W (x) + W (x),

11 где 5. Предельные значения потенциала двойного слоя W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] W (x) := [σ(ξ) σ(x 0 )] Справедливо следующая цепочка неравенств: r N ds ξ, r N ds ξ. W (x) W (x 0 ) W (x) W (x 0 ) + W (x) W (x 0 ) W (x) + W (x 0 ) + W (x) W (x 0 ). (5.) Шаг. Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число. Тогда выберем η > 0 настолько малым, чтобы σ(ξ) σ(x 0 ) < ε 3C для всех ξ x 0 < η, где C > 0 это постоянная из оценки (.9). Для функции W (x) для всех x справедлива следующая оценка: W (x) σ(ξ) σ(x 0 ) r N ds ξ < Поэтому, в частности, < ε 3C r N ds ξ ε 3. (5.3) W (x 0 ) < ε 3. (5.4) Шаг 3. Зафиксируем η > 0 настолько малым, чтобы x x 0 η, тогда на поверхности = \O(x 0,η) справедлива цепочка оценок снизу r = ξ x ξ x 0 x x 0 η η = η для всех ξ. Тогда подынтегральная функция в интеграле W (x) не имеет особенности и непрерывна. Поэтому для уже фиксированного ε > 0 найдётся такое δ = δ(ε) > 0, что W (x) W (x 0 ) < ε 3 при x x 0 < δ. (5.5) Шаг 4. Итак, из формул (5.) (5.5) вытекает искомое неравенство W (x) W (x 0 ) < ε для всех x x 0 < δ.

12 Лекция 6. Потенциал двойного слоя Лемма доказана. Обозначения. Мы будем пользоваться следующим обозначениями. Пусть x 0, тогда W i (x 0 ) def = lim Ω x x 0 W[σ](x), W e (x 0 ) def = lim (R N \Ω) x x 0 W[σ](x). Прямое значение потенциала W[σ](x) в точке x = x 0 будем обозначать следующим образом: W(x 0 ) := W[σ](x 0 ). Наконец, справедлива следующая основная теорема этой лекции: Теорема 5. Пусть C (,α) это замкнутая поверхность и σ(ξ) C(). Тогда справедливы следующие предельные равенства для потенциала двойного слоя W[σ](x) : W i (x 0 ) = (N )ω N σ(x 0 ) + W(x 0 ), (5.6) W e (x 0 ) = (N )ω N σ(x 0 ) + W(x 0 ), (5.7) для любой точки x 0. Доказательство. Представим потенциал двойного слоя W[σ](x) в следующем виде: W[σ](x) = [σ(ξ) σ(x 0 )] r ds N ξ + σ(x 0 ) r ds N ξ = = W (x) + σ(x 0 )W 0 (x), (5.8) где напомним W 0 (x) это интеграл Гаусса. Из леммы вытекает непрерывность в точке x = x 0 функции W (x), определенной равенством (5.). А для интеграла Гаусса W 0 (x) справедливы равенства (4.). Поэтому в силу (4.) имеют место следующие предельные свойства: W 0i (x 0 ) := lim W 0 (x) = (N )ω N, (5.9) Ω x x 0 W 0e (x 0 ) := lim (R N \Ω) x x 0 W 0 (x) = 0, (5.0) W (x 0 ) = [σ(ξ) σ(x 0 )] ds r N ξ = W(x 0 ) σ(x 0 )W 0 (x 0 ) = 0 = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ), r 0 := x 0 ξ. (5.) Итак, из формул (5.8) (5.) вытекают предельные равенства:

13 5. Предельные значения потенциала двойного слоя 3 W i (x 0 ) = W (x 0 ) + σ(x 0 )W 0i (x 0 ) = = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ) (N )ω N σ(x 0 ) = W e (x 0 ) = W (x 0 ) + σ(x 0 )W 0e (x 0 ) = = W(x 0 ) (N )ω N σ(x 0 ), (5.) = W (x 0 ) = W(x 0 ) + (N )ω N σ(x 0 ). (5.3) Теорема доказана. Следствие. При условиях теоремы имеет место следующая формула: σ(x 0 ) = [W e (x 0 ) W i (x 0 )]. (5.4) (N )ω N

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е.

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е. Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 213. Том 54, 6 УДК 517.95 ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 2 Москва, 2005 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов.

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание Предисловие 2 занятие. Комплексные числа. 4 2. Регулярные функции комплексного переменного. 8 2 занятие 3. Восстановление регулярной функции по

Подробнее

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Функциональные ряды М о с к в а 2 0 1 3 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Геометрия Александрова.

Геометрия Александрова. Тема 5 Геометрия Александрова. В этой лекции мы определим пространства Александрова и обсудим некоторые их свойства. 5.1 Треугольники и углы сравнения Пусть (X, d) произвольное метрическое пространство.

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения», часть I

Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения», часть I МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения», часть I А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко

Подробнее

Дополнительные главы курса Уравнения математической физики

Дополнительные главы курса Уравнения математической физики Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 7 Издание выходит с 2006 года В. П. Михайлов, А. К. Гущин Дополнительные главы курса Уравнения математической

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет»

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ Р. Е. Афонин Snedekorr@gmail.com В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 15 мая 1 г. А. Б. Певный pevnyi@syktsu.ru В докладе представлены базовые сведения для

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле.

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле. Экзамен Магнитный диполь Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле I m S определение магнитного дипольного момента тока I в контуре, ограничивающем площадку S Направление дипольного

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Глава 2. Определенный интеграл.

Глава 2. Определенный интеграл. Глава. Определенный интеграл... Понятие определенного интеграла. В первой главе мы изучали неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г.

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г. Оглавление Введение в функциональный анализ: учебное пособие А. А. Илларионов 26 декабря 2008 г. Г л а в а I. Пространства 3 џ 1 Линейные пространства................... 3 џ 2 Нормированные пространства................

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи

Подробнее