Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия."

Транскрипт

1 Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное случайное событие или нет По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий Оказывается, что все случайные события независимо от их конкретной природы подчиняются одним и тем же количественным закономерностям Для установления этих закономерностей, необходимо каждому случайному событию поставить в соответствие некоторую объективную числовую характеристику В качестве такой числовой характеристики используют вероятность Определение : Вероятность объективная, количественная оценка возможности появления события Определение : Если в результате осуществления каких-то условий событие A может произойти или не произойти, то A называется случайным событием, а само осуществление указанных условий называется испытанием Выбор наугад одной детали из множества однотипных деталей испытание Случайное событие выбор бракованной детали Осуществление выстрела по мишени испытание Случайное событие попадание в «десятку» Определение : Достоверное событие случайное событие, которое при данных условиях обязательно происходит Определение 5: Невозможное событие событие, которое при данных условиях произойти не может При бросании игральной кости выпадение целого положительного числа является достоверным событием Выпадение отрицательного или дробного числа является событием невозможным Определение 6: Несовместные события события, появление одного из которых исключает появление других событий в том же испытании При бросании игральной кости выпадение чѐтного числа (событие A ) и выпадение нечѐтного числа (событие B ) являются событиями несовместными Определение 7: Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно происходит хотя бы одно из этих событий Если при этом события, составляющие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания обязательно произойдѐт только одно из этих событий Такие события называются элементарными исходами Куплено два лотерейных билета Возможно три случайных события, составляющих полную группу и являющихся несовместными: Событие A - выиграли оба билета Событие B - оба билета проиграли Событие C - один билет выиграл, другой нет A, B, C - элементарные исходы Определение 8: Если A - случайное событие, то A обозначает противоположное событие, состоящее в том, что событие A не происходит При бросании игральной кости событие A - выпадение шестѐрки, тогда A - выпадение любого другого числа, кроме шестѐрки

2 Примечание: Противоположенные события A и A несовместны и всегда образуют полную группу, то есть одно из них обязательно происходит Параграф : Классическое определение вероятности Пусть в результате испытания может произойти или не произойти случайное событие A, при этом предполагается, что исходы испытания равновероятны Тогда вероятность M события A определяется по формуле A, где M - количество исходов N благоприятствующих событию A, N - общее количество всех возможных исходов В урне десять шаров одинакового размера Из них семь белых и три красных Событие A - вынимание наугад белый шар Таким образом, вероятность события A - 7 A 0 Свойства вепроятности: Вероятность достоверного события равна единице, так как в этом случае M N, то есть каждый возможный исход благоприятствует событию A Вероятность невозможного события равна нулю, так как M 0, то есть ни один из возможных исходов не благоприятствует событию A Значение вероятности всегда лежит в следующем интервале: 0 A Примечание: Классическое определение вероятности имеет два существенных недостатка: При нахождении вероятности предполагается, что количество исходов конечно, на самом деле часто это не так Зачастую не удаѐтся выполнить требования равно вероятности Поэтому существуют другие определения вероятности: статистическое и геометрическое Параграф : Статиcтическое определение вероятности Определение: Относительная частота события A - отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически проведѐнных испытаний, то m есть W A Примечание: Сравнивая определение вероятности и относительной частоты, можно заметить между ними существенную разницу: для вычисления относительной частоты необходимо фактическое проведение испытаний, а для вычисления вероятности этого не требуется Предположим, что осуществляется в одинаковых условиях несколько серий испытаний, причѐм в каждой серии количество испытаний достаточно велико В этом случае относительная частота проявляет свойство устойчивости, то есть от серии к серии относительная частота изменяется мало и тем меньше, чем больше количество испытаний в каждой серии При этом относительная частота колеблется возле некоторого числа, которое и представляет собой вероятность данного события Параграф : Геометрическая вероятность Геометрическая вероятность помогает преодолеть недостаток классической вероятности (то, что она не применима к бесконечному числу исходов) Геометрическая вероятность вероятность попадания в область

3 Пусть отрезок длиной l составляет часть отрезка длиной L На отрезок L на удачу бросается точка Вероятность того, что точка попадѐт на отрезок длиной l (событие A ), находится по l формуле: A L Пусть фигура площадью s занимает часть фигуры площадью S На фигуру S на удачу бросают точку Вероятность того, что точка попадѐт на фигуру с площадью s (событие A ), находится s по формуле: A S Аналогично для трѐхмерной области Задача о встрече Парень и девушка договорились встретиться в определѐнном месте в интервале от 0 до часов, при условии, что время прихода каждого из них берѐтся случайным образом При этом пришедший первым ждѐт другого пятнадцать минут Найти вероятность того, что свидание состоится y S L s Если x y, то y Если x y, то y l x x - время прибытия девушки y - время прибытия юноши Условие встречи заключается в выполнении следующего неравенства: x x x y 9 7 A 6 6 x y Параграф 5: Формулы комбинаторики Формулы комбинаторики помогают вычислить количество возможных исходов при определении вероятности Перестановки комбинации, составляемые из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения Общее количество перестановок вычисляется по формуле! Четыре карточки с буквами «Р», «Ы», «Б», «А» выкладывают на удачу в ряд Найти вероятность того, что получится слово «РЫБА» (событие A ) A! Размещение комбинации, составляемые из различных элементов по m элементов каждая, и отличающиеся друг от друга порядком элементов или составом Общее количество размещений вычисляется по формуле:! A m m ( m)!

4 Даны карточки «Р», «Ы», «Б», «А», «К», «Л», «М» Из семи карточек на удачу берѐтся четыре и выкладывается слово Найти вероятность того, что получится слово «РЫБА» A A 80 Сочетания комбинации, составляемые из различных элементов по m элементов каждая, и отличающиеся друг от друга только составом элементов (то есть порядок элементов не имеет значения) Общее количество! всевозможных сочетаний вычисляется по формуле C m m!( m)! Сколькими способами можно выбрать две книги из десяти, стоящих на полке 0! 9 0 C 0 5!8! Примечание: При решении задач используются также следующие правила: Правило сложения Если объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а объект B может быть выбран способами, то выбрать либо объект A, либо объект B можно m способами Предположим, комната имеет восемь дверей Четыре из них обозначены буквой A, а другие четыре буквой B Войти в комнату либо через дверь A, либо через дверь B можно m 8 способами Правило умножения Если объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект B может быть выбран способами, то пара объектов A, B в указанном порядке может быть выбрана m способами Предположим, комната имеет восемь дверей Четыре из них обозначены буквой A, а другие четыре буквой B Войти в комнату чрез дверь A, а затем выйти через дверь B можно m 6 способами Параграф 6 Сложение и умножение событий Определение Сумма событий A и B - событие, обозначаемое как A B, и состоящее в том, что происходит хотя бы одно из этих событий, то есть происходит либо событие A, либо событие B, либо оба события одновременно Аналогично можно дать определение для суммы любого числа событий Примечание: Если события A и B несовместны, то сумма событий A B состоит в том, что происходит либо только событие A, либо только событие B (безразлично какое) Определение Произведение событий A и B - событие, обозначаемое как AB, и состоящее в совместном осуществлении обоих событий в одном испытании Аналогично можно дать определение для произведения любого количества событий Примечание: Используя понятие суммы и произведения событий, а также понятие противоположного события, можно более сложные события выражать через более простые события

5 5 Пусть возможны три случайных события A, B, C Запишем выражения для более сложных событий, состоящих в следующем: В результате испытания происходит хотя бы одно событие - A B C В результате испытания происходят все три события - ABC В результате испытания происходит только событие A - A BC В результате испытания происходит только одно какое-то событие: ABC ABC ABC Теорема Сложение вероятностей несовместных событий Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть A B A B () Доказательство: Пусть проводится серия из испытаний При этом событие A появилось m раз, а событие B появилось m раза, причѐм события A и B - несовместны Тогда, очевидно, что событие A B появляется m m раза Очевидно, также, что относительная частота m m m события A B и относительные частоты событий A m и B связаны m m m m следующим соотношением: или WA B WAWB В том случае, когда число испытаний достаточно велико относительная частота равна вероятности события, то есть A B A B В урне десять белых шаров, десять красных шаров и пять синих шаров Найти вероятность вынимания цветного шара Событие A - вынимание красного шара 0 A 5 Событие B - вынимание синего шара 5 B 5 Событие A B - вынимание цветного шара A B A B Теорема Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице Доказательство: Пусть события A, A, A,, A попарно несовместны и образуют полную группу Согласно определению появление хотя бы одного события из полной группы событий есть достоверное событие Поэтому A A A A (а) Так как эти события попарно несовместны, то возможно применение формулы () То есть A A A A ( A ) ( A ) ( A ) (б) Сравнивая (а) и (б) получим A A A A () Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть A A () Действительно, противоположные события A и A несовместны и образуют полную группу, поэтому формула () вытекает из формулы () Замечание: Очень часто в задачах, при нахождении вероятности события A, бывает гораздо проще найти сначала вероятность противоположного события A, а затем A A () искомую вероятность найти по формуле

6 6 Теорема : Сложение вероятностей совместных событий Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий, то есть A B A B AB (5) Доказательство: При осуществлении события A, событие B может либо происходить, либо не происходить, то есть событие A всегда происходит либо вместе с событием B, либо вместе с событием B, то есть A AB AB Так как события AB и событие A B A AB AB (*) Аналогично несовместны, то применяя формулу () получим рассуждая можно записать: B AB AB AB AB A B AB (**) Сложив (*) и (**) получим: (***) С другой стороны, согласно определению, сумма двух совместных событий может быть расписана следующим образом: A B AB AB AB Так как события A B, A B и AB несовместны, то здесь так же применяема формула (): A B AB AB AB Подставляя (***) в последнее равенство получим: A B A B AB (5) Примечание: Формулу () можно рассматривать, как частный случай формулы (5), так как если события A и B несовместны, то AB 0 Параграф 7 Условия вероятности Умножение вероятностей Бывает так, что появление события A влияет на вероятность появления события B В ящике сто деталей, из них девяносто качественных Осуществляются две выборки по одной детали Причѐм перед взятием второй детали первая назад не возвращается 90 Событие A - изъятие качественной детали при первой выборке A 00 Событие B - изъятие качественной детали при второй выборке 89, при условии осуществления события A 99 B 90, при условии осуществления события A 99 Определение Событие B называется независимым от события A, если вероятность события B не зависит от того, произошло событие A, или нет В противном случае событие B называется зависимым от события А Определение Вероятность события B, вычисленная при условии наступления события A, называется условной вероятностью события B по отношению к событию A и записывается следующим образом B / A Пример В ящике сто деталей, из них девяносто качественных Осуществляются две выборки по одной детали Причѐм перед взятием второй детали первая назад не возвращается Найти вероятность того, что обе детали стандартные 89 B / A 99 AB AB / A Теорема : Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из AB A B / A B A/ B () них на условную вероятность другого:

7 7 Примечание: В том случае, когда события A и B независимы, формула () приобретает вид: AB AB (), при этом формула () справедлива для любого числа событий Параграф 8 Формула полной вероятности Пусть событие A может произойти вместе с одним из событий,,,, при этом события,,, попарно несовместны и образуют полную группу Такие события называются гипотезами Предполагается, что вероятности гипотез известны,,, условии его появления с каждой из этих гипотез A/ Считаются известными условные вероятности события A, при A/ / Теорема : Вероятность события A равна сумме произведений вероятностей гипотез на соответствующие им условные вероятности события A, то есть,,, A / A A A / A / A / () Формула () называется формулой полной вероятности Доказательство: Так как событие A может произойти только одновременно с одной из гипотез, то оно может быть представлено в следующем виде: A A A A A A Так как гипотезы попарно несовместны, то и события A так же будут несовместны Поэтому можно применить формулу сложения вероятностей для несовместных событий: A (*) A A A A Используя формулу () параграфа 7: A A / Подставляя (**) в (*) получим: (**) / A A / A / A / A В цехе пять станков первого типа, четыре станка второго типа и два станка третьего типа Производительность у них одинаковая, но качество работы разное Станки первого типа выпускают девяносто пять процентов качественных деталей, станки второго типа выпускают девяносто процентов качественных деталей, станки третьего типа выпускают восемьдесят пять процентов качественных деталей Все детали сложены на складе Найти вероятность того, что взятая со склада наудачу деталь будет качественной (событие A ) Гипотеза - взятая деталь произведена станком первого типа Гипотеза Гипотеза - взятая деталь произведена станком третьего типа Вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется качественной, при условии, что A/ 0 Вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется качественной, при условии, что A/ 0 - взятая деталь произведена станком второго типа она изготовлена станком первого типа: 95 она изготовлена станком второго типа: 9 5

8 8 Вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется качественной, при условии, что A/ 0 она изготовлена станком третьего типа: A Параграф 9: Формула Байеса В предыдущем параграфе речь шла о вероятности события A до проведения испытания, то есть результат проведѐнного опыта не фигурировал Пусть событие A может произойти вместе с одной из гипотез,,, Вероятности гипотез до испытаний известны,,, Известны так же условные вероятности события A, при условии его осуществления вместе с каждой из гипотез A/, A/,, A/ Производится испытание, в результате которого появилось событие A Спрашивается, какие вероятности имеют гипотезы, в связи с появившемся событием A, то есть / A? Теорема гипотез: Вероятность гипотезы после испытания равна: A / A Используя формулу () параграфа 7: A / A A / A / / A A / () A / Подставляя формулу полной вероятности вместо называется формулой Байеса Примечание: В том случае, когда все вероятности гипотез до испытания равны между собой, то есть p, формула Байеса упрощается: A/ / A A/ A, получим формулу (), которая Примеры: В цехе пять станков первого типа, четыре второго и два третьего Производительность у них одинаковая, но качество работы разное Станки первого типа выпускают девяносто пять процентов качественных деталей, второго девяносто процентов качественных деталей и станки третьего типа выпускают восемьдесят пять процентов качественных деталей Наудачу взята одна деталь, и она оказалась качественной Какова вероятность того, что она была произведена станком второго типа 5 / A? A/ 095 A/ 09 A/ 085 A / / A A / A / A / 06 Есть три ящика В первом ящике находится двадцать деталей, из которых четыре нестандартных, во втором ящике находится пятнадцать деталей, из которых две нестандартных, и в третьем ящике находится десять деталей, из которых три нестандартных Наудачу берѐтся деталь из наудачу выбранного ящика Деталь оказалась нестандартной Какова вероятность того, что она находилась в первом ящике?

9 Гипотеза - взятая деталь принадлежит первому ящику Гипотеза - взятая деталь принадлежит второму ящику Гипотеза - взятая деталь принадлежит третьему ящику A/ 6 A A/ A/ A/ 9 9 Параграф 0 Повторение испытаний Формула Бернулли Пусть проводится серия из испытаний и в каждом испытании событие A может произойти или не произойти При этом предполагается, что вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от появления этого события в других испытаниях (независимые испытания) Нужно найти вероятность того, что в серии из испытаний событие A появится ровно m раз (неважно в какой последовательности) При этом предполагается, что вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p, то есть A m p Искомую вероятность обозначим, как В каждом испытании может появиться либо событие A с вероятностью p, либо событие A с вероятностью p Обозначим через A появление событие A в -том испытании Таким образом A A A p, A A A p Событие A может появиться в серии из испытаний ровно m раз в различных последовательностях Примером одной такой комбинации может быть случай, когда событие A появляется подряд m раз начиная с первого испытания Всю эту комбинацию обозначим, как событие B, тогда B A A Am Am A Так как все события m раз m раз A независимы, то по формуле умножения вероятностей получим: m B A A A A A p p m m m Очевидно, что тот же результат будет получаться и при других последовательностях появления события A Так как нам неважно, в какой последовательности появилось событие A m раз, то для m нахождения искомой вероятности необходимо сложить все вероятности, подобные вероятности события B Число таких слагаемых будет равно количеству сочетаний из! элементов по m элементов в каждой, то есть C m Таким образом, получаем: m! m! m m m m! m m C p p p p () Формула () называется формулой m! m! Бернулли Вероятность сдать экзамен у студента составляет 05 Какова вероятность того, что в сессию из пяти экзаменов он сдаст четыре? p 05 5! ! 5!


m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1,, ; кроме того,

Подробнее

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема Теория вероятностей Лекция 1 Случайные события Классическая схема 1 Литература Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,

Подробнее

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач 2. Вероятность 2.1. Определения и формулы для решения задач Классическое определение вероятности Эксперимент E назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Учебное пособие Для студентов -го курса экономических специальностей Первый триместр Москва 0 С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=mreatv МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть 1. Случайные события Задача 1.1. В магазине 0 калькуляторов трех разных производителей:

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 Аксиомы теории вероятностей Различные события можно классифицировать следующим образом: ) Невозможное событие событие, которое не может произойти ) Достоверное событие

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD.

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD. Примерные задания для подготовки к зачету по математике по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 270100 4 семестр 1 часть. Теория вероятностей. 1.Комбинаторика.

Подробнее

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать Вариант Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа.. Количество способов, которыми можно записать трёхзначное число, используя без повторения цифры,,,8,9,

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения.

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения. 1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? Цифр, меньших 5, всего пять: { 0; 1; 2; 3; 4 } Остальные пять цифр не меньше 5: { ; ; ; ; } 1-й способ решения

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Случайные события Задача. В партии из N изделий изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий k изделий

Подробнее

3. Классическое определение вероятности

3. Классическое определение вероятности чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2 )+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2 ) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р( А+

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА Полная группа событий. Понятие гипотезы. Априорные и апостериорные вероятности событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть событие A может

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (КУРС ЛЕКЦИЙ) ДЛЯ ВСЕХ НАПРАВЛЕНИЙ БАКАЛАВРИАТА

Подробнее

Обязательный образовательный минимум

Обязательный образовательный минимум Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть II 1 Числовая последовательность Числовая последовательность a 1, a 2, a 3,, a n, это упорядоченный набор чисел. a 1 называют первым

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский Теория Вероятностей и Математическая Статистика Ю. Л. Калиновский Введение Элементы комбинаторики Урновые схемы. События и операции над ними Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Мельничук Т.В. Некоторые задачи теории вероятности. . Сколько в урне белых шаров?

Мельничук Т.В. Некоторые задачи теории вероятности. . Сколько в урне белых шаров? Задача 1. В урне находятся 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлечённых шара окажутся белыми, равна 7 60. Сколько в урне белых шаров? Число способов, которыми можно выбрать k предметов из n равна C k

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ СТОХАСТИКА СЕГОДНЯ. Начиная со второй половины прошлого века наблюдается все более возрастающий интерес к теории вероятностей, математической

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

Предмет теории вероятностей. Историческая справка

Предмет теории вероятностей. Историческая справка Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса. образуют полную группу несовместных событий с вероятностями

1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса. образуют полную группу несовместных событий с вероятностями 1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса Пусть события образуют полную группу несовместных событий с вероятностями. Пусть событие А может произойти только при условии выполнении одного из этих

Подробнее

Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА»

Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА» Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА» 59 Г 738 А.Ш. Готман ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие для аспирантов Новосибирск

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими Лекция 9. Классическое определение вероятности Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

Подробнее

Тема 33 «Вероятности событий»

Тема 33 «Вероятности событий» Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Подробнее