КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ."

Транскрипт

1 КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений часто приводит к необходимости решения таких уравнений. Например, по скорости V и времени t находят путь точки S. Дифференциальные уравнения (ДУ) это уравнения, в которые входят неизвестные функции, их производные или дифференциалы и независимые переменные. Примеры: (d/d) 5 d/d + sin = ; () d d d(d) = e (d) d () и так далее. Если все неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, то такое дифференциальное уравнение называется обыкновенным ДУ. Если же есть функции нескольких аргументов, то это дифференциальное уравнение в частных производных. Порядок ДУ определяется наивысшим порядком производных или дифференциалов, входящих в уравнение. Так, в формуле () ДУ имеет I порядок, формула () содержит дифференциальное уравнение II порядка. В предлагаемом курсе мы будем иметь дело лишь с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения I порядка Определение : Уравнение вида F (,, ') =, () где х независимая переменная; у искомая функция; ' её первая производная, называется дифференциальным уравнением I порядка. Если уравнение () можно разрешить относительно «'», то оно принимает вид 3

2 4 ' = ƒ(, у) () и называется уравнением I порядка, разрешенным относительно производной. Пока будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение () удобно записать в виде: d/d = ƒ(, у) или в виде ƒ(, у)d d =, что является частным случаем уравнения более общего вида P(, )d + Q(, )d =, (3) где P(, ), Q(, ) известные функции. Такое уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные «х» и «у» в нем равноправны, то есть каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры уравнений в форме (): ' = e ; ' = ln/х; ' = + или в виде (3) d + d =. I. Решение дифференциального уравнения I порядка. Теорема Коши. Решением ДУ I порядка называется функция у = φ(х), х Є (a, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Множество (a, b) может быть как конечным, так и бесконечным интервалом. Например, функция = 3, где х Є ( - ; + ), является решением уравнения 3у - х' = ; то есть при подстановке в уравнение она обращает его в тождество: 3х 3 х 3х. График решения дифференциального уравнения у = φ (х) называется интегральной кривой. Ответ на вопрос, при каких условиях уравнение () имеет решение, даёт теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения () и является основной в теории дифференциальных уравнений. Вначале поясним, что частной производной «дz/д», дf/дх или f / в точке х = х функции z нескольких независимых переменных z = ƒ(, у, t,...) называется обыкновенная производная функции z по

3 независимой переменной х при фиксированных значениях прочих независимых переменных, то есть z f f ( +,, t,...) f (,, t,...) = = lim, = () = если такой предел существует в точке = (или соответственно, иной точки). Теорема Коши формулируется так: Если в уравнении ' = ƒ(, ), () функция ƒ(, ) и её частная производная дf/ду по переменной у непрерывны в некоторой области G на плоскости ОХУ, содержащей некую точку (х ; у ), то существует единственное решение этого уравнения у = φ(х), (3) удовлетворяющее условию у = у при х = х. (4) Геометрический смысл теоремы Коши состоит в том, что существует, причём единственная, функция у = φ(х), график которой проходит через точку (х ; у ). То есть через каждую внутреннюю точку области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение () имеет бесчисленное множество различных решений. II. Задача Коши Теорема Коши позволяет по виду дифференциального уравнения () решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно, если заранее неизвестно, имеет ли данное дифференциальное уравнение решение или нет. Условие (4), в силу которого функция у = φ(х) принимает заданное значение у в заданной точке х, называют начальным условием и записывают обычно так =, = (5) конкрет- В силу него функция у = φ(х) принимает в точке х = х ное, заданное заранее значение у = у. 5

4 С Отыскание решения уравнения (), удовлетворяющего условию (5) одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить её означает выделить из множества интегральных кривых ту, которая проходит через заданную точку (х ; у ) плоскости ОХУ. Точки плоскости, через которые проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения. III. Общее и частное решения дифференциального уравнения Определение : Общим решением уравнения () в некоторой области G плоскости ОХУ называется функция у = φ(х,с), зависящая от х и от произвольной постоянной С, если а) она является решением уравнения () при любом значении С б) для любого начального условия (5), то есть = =, можно найти такое значение С = С, что функция у = φ(х, С ) удовлетворяет данному начальному условию (здесь (х ; у ) G). Определение 3: Частным решением уравнения () в области G называется функция у = φ(х, С ), которая получается из общего решения у = φ(х,с) при определенном значении постоянной С = С. Геометрически общее решение вида у = φ(х,с) представляет собой семейство интегральных кривых на ОХУ, зависящих от общей произвольной постоянной С. Частное решение представляет собой одну интегральную кривую этого семейства у = φ(х, С ), проходящую через заданную точку (х ; у ). Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь одной задачи Коши. Пример Рассмотрим уравнение у' = 3. Это дифференциальное уравнение I порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как 6

5 функция ƒ(х, у) = 3х и производная ƒ ' у = определены и непрерывны на всей ОХУ. Очевидно, что функция у = х 3 + С, где С произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения на всей плоскости ОХУ. Геометрически это семейство кубических парабол. При подстановке различных значений постоянной C мы получаем различные решения исходного ДУ. Например, если С =, то у = х 3, при С = получаем: у = х 3 + и так далее. Для решения какой-нибудь задачи Коши, то есть для отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия типа (5): = =. Подставляя эти значения х и вместо и в общее решение: у = х 3 + С, получаем равенство: у = х С, откуда С = у - х. Таким образом, найдено частное решение у = х у - х. Геометрически это означает, что из семейства кубических парабол вида: у = х 3 + С выбрана одна парабола, проходящая через данную точку ( х, ). Пример 7

6 Рассмотрим уравнение ' =. Это ДУ I порядка. Функции ƒ(, ) = и ƒ' (, ) = непрерывны при х. Следовательно, на всей плоскости ОХУ, кроме оси ОУ, это уравнение удовле- творяет условиям теоремы Коши. Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения в областях : у > и < является функция C =, где С произвольная постоянная. Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным условиям : х = ; у =. Имеем С = С = и искомое частное решение имеет вид : =. Геометрически общее решение данного ДУ есть семейство гипербол вида: С =, каждая из которых изображает частные решения данного урав- нения. Задавая начальное условие: = =, выделяем из всего семейства ту гиперболу, что проходит через точку ( ; ) на плоскости ОХУ. Заметим, что на оси ОУ нет ни одной точки, через которую проходит хоть одна интегральная кривая, то есть все точки оси ОУ представ- 8

7 ляют собой особые точки данного дифференциального уравнения : ' =. Необходимо отметить, что геометрический смысл дифференциального уравнения () состоит в том, что оно устанавливает зависимость между координатами точки (х, у) и угловым коэффициентом k = х ' в уравнении касательной к графику интегральной кривой у = φ(х) в той же точке. То есть, зная и можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х, у). ЛЕКЦИЯ Рассмотрим методы нахождения решений дифференциального уравнения I порядка. Отметим, что общего метода не существует. Для каждого типа ДУ существует свой, определенный способ нахождения его решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Определение 5: Уравнение вида ' = ƒ ()ƒ() () где ƒ (х) и ƒ (у) непрерывные функции, называется ДУ с разделяющимися переменными. Для отыскания решения нужно разделить в нём переменные, отделив их друг от друга по разные стороны равенства. Для этого заменим в () ' на, разделим обе части на ƒ (у), d d предполагая, что ƒ (у), и затем умножим обе части на d : d = ƒ()d () ƒ() Здесь уже х входит только в правую, а у только в левую часть переменные разделены! Предполагая, что функция: у = φ(х ) есть решение уравнения и подставляя её в формулу (), получаем тождество. Интегрируя его, получаем интегральное равенство: 9

8 d + С = ƒ()d + С ƒ() или, объединяя С и С, получим новую произвольную постоянную: С = С С, т.е. d ƒ()d + С ƒ () = (3) Соотношение (3) определяет неявным образом общее решение уравнения (). Вначале мы разделили в нем переменные, получив уравнение (). Это уравнение с разделенными переменными (), которое можно интегрировать и отыскивать общее решение ДУ. Пример: Решить уравнение ' =. Решение: Это уравнение вида (), где f () = и f () =. d d Разделяя переменные, получим : =. у d d Интегрируя, имеем: + С =, представим, что С = ln С - это возможно, так как ln С, как и С может принимать любое значение от - до + (С > ). d = d + lnс, или проинтегрировав, имеем, ln ln + lnс ln = ln С. Потенцируя, получаем = C, или = ± С. Полагая, что ± C = C, окончательно получаем общее решение нашего дифференциального уравнения: = или [ ] С у = Cх (4) Здесь C есть произвольная постоянная. Заметим, что

9 у = также решение ДУ, хотя оно и было временно потеряно при делении на у. Такое решение имеет место при C =. Геометрически общее решение (4) есть семейство прямых, проходящих через начало координат (пучок прямых на плоскости ОХУ). Пусть требуется выделить из решения (4) частное решение, удовлетворяющее начальному условию (х = ; у =). Подставляя его в (4), получим, что = С => С =. Таким образом, искомое частное решение имеет вид : у = х, при начальном условии : = =. Итак, дифференциальное уравнение первого порядка ' = ƒ(, ), d где ' = может иметь вид : d d = ƒ() ƒ(), (5) d где ƒ () зависит только от, а ƒ () зависит только от у. Такое ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий интеграл имеет вид: При этом ДУ вида: f () d f()d + = C. M()d + N()d = (6) называется уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его имеет вид: + M()d N()d = C, или N()d = M()d + C. Дифференциальное уравнение вида:

10 M = ()N ()d + M ()N ()d (7) называется собственно уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к виду (6), то есть к уравнению с разделенными переменными посредством деления (7) на выражение M () N() N() M (), и тогда: d + d =, и далее оно решается M () N() по вышеуказанной схеме. Однородные ДУ I порядка С Определение Функция f(, ) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных и у, если при любом λ R справедливо тождество: ƒ (λх, λу) = λ n ƒ (, ). Пример f (, ) = есть однородная функция I измерения, т. к. 3 f ( λ, λ) = 3 3 ( λ) + ( λ) = λ + = λf (, ). Пример f (, ) = есть однородная функция II измерения, т. к. f ( λ, λ) = λ λ ( λ) = λ ( ) = λ f (, ). Пример 3 f (, ) = есть однородная функция нулевого измерения,

11 т. к. / ( λ) ( λ) / λ ( ) = =, / λ λ / λ то есть ƒ(λх, λу) = λ о ƒ (, ). Определение Уравнение I порядка d = f (, ), () d Называется однородным относительно и, если функция ƒ(х, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно и. Решение однородного уравнения. По условию ƒ(λх, λу) = ƒ(х, у). Положив в этом тождестве получим: λ =, ƒ(х, у) = ƒ(, ), то есть однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения своих аргументов. Уравнение () в этом случае примет вид: d = f (, ). (') d С Сделаем подстановку u =, то есть = u. d d(u) Тогда =, и посколь- d d ' = (u)' = u ' + u' = u + u', получаем равенство ку d d du = u +. d 3

12 d Подставляя правую часть в уравнение ('), получим: d du u + = f (,u), а это уравнение с разделяющимися переменными: d du du d = f (,u) - u : [ ( f (, u) - u)] =, d f (,u)- u то есть после интегрирования получаем следующее равенство: du = d + C. f (,u)- u Подставляя после интегрирования вместо u отношение, получим общий интеграл дифференциального уравнения ('). Пример 4 d Решить ДУ: =. d Справа стоит однородная функция нулевого измерения относительно и. Следовательно, имеет место однородное ДУ. Делаем замену d du = u, тогда = u, = u +, то есть d d / du u du u u + =, или u / du + =. Оставляем " " d / (u) d / ( u ) d 3 du u слева: u, d = u или du u/ u/ + u = d - u ; 3 du u то есть = : (...), разделяя переменные, будем иметь: d u ( u )du d d =, или du, 3 3 = откуда, интегрируя, получаu u u 4 С

13 d ln C, то есть 3 u u ln u = ln + ln C, или ln uc. u u = ем du = + Подставляя, u = получаем равенство: = ln C. Получить в явном виде от в элементарных функциях невозможно. Зато легко выразить через : = ln C, или = - ln C, где C = C. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные уравнения I порядка Определение Уравнение вида: + p() = f (), () где p() и ƒ(х) непрерывные функции, называется линейным ДУ I порядка. Название объясняется тем, что и ' входят в уравнение () в I степени, то есть ЛИНЕЙНО. Если ƒ(х), то () линейное однородное уравнение. В противном случае ( f ( ) ) - линейное неоднородное уравнение. Для нахождения общего решения можно применить метод вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения ' + p() =, () соответствующего данному неоднородному. ДУ (). Однородное уравнение () уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их: 5

14 d = p()d, интегрируя это равенство, получаем формулу: d = p()d + ln C, или ln = p() d + ln C, откуда, потенцируя, находим общее решение уравнения (): = ± C e или p() d = p()d Ce (3) где С = ± С Произвольная постоянная. Теперь найдем общее решение уравнения () в виде (3), где C будем считать новой неизвестной функцией от (см. название метода, в этом представлении и есть его смысл), то есть в виде: = p()d C() e (4) Чтобы найти С(х) и, тем самым найти решение в форме (4), подставим функцию (4) в исходное неоднородное уравнение (). p()d p()d p()d С' ()e C()p()e + p()c()e f (), Итак, чтобы функция (4) являлась решением уравнения (), функция С(х) должна удовлетворять уравнению (5). Интегрируя (5), находим : 6 = или = p () d C' () f () e (5)

15 C() f ()e p () d = d + C, где С произвольная постоянная. Подставляя С(х) в соотношение (4), получаем общее решение линейного ДУ () : (6) p () d p () d () Ce = + e f ()e p () d d При решении конкретных примеров проще каждый раз производить приведенные выкладки, чем использовать формулу (6). Пример 5 Найти общее решение ДУ: Решение. ' + 3 = Данное уравнение является линейным, здесь р(х) = 3, f () = e. e ) Решаем сначала однородное уравнение: у'+3у =. Разделяя переменные, получаем равенство: d = 3d ln = 3 + ln C, или у = Се -3х это решние однородного ДУ. ) Ищем общее решение неоднородного ДУ в виде у = С(х)е -3х. Дифференцируя это равенство, имеем соотношение для производной 3 3 ' = C' ()e 3C()e. Подставляя выражения для у и у' в исходное ДУ, получаем: 7

16 C' ()e 3C() + 3 C()e = e C' ()e = e, или С'(х) = е х е 3х = е 5х, то есть dс(х) = e 5 d, и после интегрирования получаем произвольную постоянную C() в виде функции: 5 С() = e + C, 5 где С действительно произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: = C()e = ( e + C )e, или = 5 e + C e. 3 Замечание Предположение о том, что используя вместо C = const функцию С(х) мы найдем общее решение неоднородного линейного ДУ следует из возможности представления функции в уравнении () в виде: () = U() V(), где одна из функций справа полагается произвольной, а другая определяется из уравнения (). В частности, полагаем, что V() = e p () d. Тогда U() = C(), и в итоге получаем общее решение в виде (6). Уравнение Бернулли Рассмотрим уравнение вида : d d n + P() = Q() () 8

17 Такое ДУ получается, например, когда F (сила сопротивления n движению тела) зависит от скорости тела V F = λv + λv, то есть уравнение движения имеет вид: dv n m = λv + λv, или dt dv λ λ n + V = - V. dt m m В уравнении () функции {P() и Q()} С о {X}, показатель n и n иначе получаем известное нам линейное уравнение. Уравнение () называется уравнение Бернулли. Оно приводится к линейному уравнению следующим преобразованием: разделим все члены уравнения () на n : n d + P d n+ Вводится следующая замена переменной z = -n+. Тогда = Q () dz d n d = ( n + ). d Подставляя z в уравнение (), будем иметь линейное ДУ: dz + ( n + ) P(х( z = (-n + )Q(х). d Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение -n+, получим общее решение (общий интеграл) уравнения Бернулли. Пример 6 9

18 Решить уравнение: d d + = 3 3 (3) Решение. Делим всё на у 3 : d d 3 + = 3 (4) z =, тогда z' = - 3 ', получаем что: dz d z 3 = (5) Найдём общий интеграл этого линейного уравнения I порядка: ) dz z = d + ln C. z = C()e z' = C' ()e C' ()e dz = d z + C()e => dz = z подставим в (5) d + ln C ln z = C()e C()e =. dc = + C. e Интегрируя по частям, получаем: z = + + Ce, то есть общее решение уравнения (3) имеет вид: = + + Ce, или в окончательном виде =. + + Ce d

19 ЛЕКЦИЯ 4 Дифференциальные уравнения второго порядка Определение: Уравнение вида F (,, ', '') =, где независимая переменная, искомая функция, ' и '' её производные I и II порядка, называется дифференциальное уравнение II порядка. (ДУ II). Обычно изучают уравнения, которые могут быть разрешены относительно второй производной '' = ƒ (х,, ') () Как и для ДУ I порядка, решением уравнения () называется функция у = φ(х), х (a,b), которая при подстановке в () обращает его в тождество. График решения называется так же, как и ранее: интегральная кривая. Для ДУ II порядка также имеет место теорема существования и единственности его решения (теорема Коши). Она утверждает тот факт, что через заданную точку (х ; у ) на плоскости ОХУ проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом наклона касательной ' в этой точке. Единственное решение у = φ(х) дифференциального уравнения () удовлетворяет в точке (х ; у ) условиям : ( ) = ' ( ) = ' () Эти условия называются начальными условиями решения и могут иметь вид: = = ; ' = = ' (3) Как и для ДУ I, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

20 Функция у = φ(х, С, С ), зависящая от и от двух произвольных постоянных С и С, называется общим решением уравнения () в некоторой области G, если она является решением уравнения () при любых значениях постоянных С и С, и если при любых начальных условиях (3) существуют единственные значения постоянных C C, C = такие, что функция = C (,C,C ' = = у = φ ) удовлетворяет данным начальным условиям. Любая функция у = φ (,C,C ), получающаяся из общего решения у = φ(х, С, С ) уравнения () при определенных значениях постоянных C = C и C = C, называется частным решением уравнения (). Рассмотрим, например, уравнение: '' =. Это ДУ II порядка. Так как ''=ƒ (х,, ') = ; f '(,, ' ) и f '(,, ') определены и непрерывны, то оно удовлетворяет условиям теоремы Коши. Общее решение ДУ найдем двукратным последовательным интегрированием. Сначала находим, что: ' = + c, затем находим общее решение: = + С + С, где С и С произвольные постоянные (ПП). Геометрически такое общее решение есть семейство парабол, причем через каждую точку проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные наклоны касательных в этой точке (поскольку определены постоянные С и С ). Для выделения одной параболы надо помимо точки (х ; у ), то есть у (х ) = у, через которую должна проходить парабола, еще задать угловой коэффициент на- ' клона касательной к параболе в этой точке ( = tg α). Найдем, например, частное решение данного уравнения при начальных условиях: для функции и её производной ' : у() = ; '() =. Подставляя эти значения в общее решение и уравнение для ', решаем систему уравнений: = + С + С, откуда находим, что С = и С =, следовательно, искомое частное решение есть функция: = +, график которой есть парабола, проходящая через точку (; ) с = + С угловым '

21 коэффициентом наклона касательной: ' () = ( то есть tgα =, α = 45 ). Уравнение II порядка, допускающие понижение порядка. Рассмотрим 3 частных случая, когда решение уравнения () с помощью замены переменной сводится к решению уравнения I порядка. Такое преобразование называется понижением порядка. I. Уравнение вида ' ' = f (). Оно не содержит и у'. Введем новую функцию z(), полагая z() = у'(х).тогда z'() = у''(х) и получаем уравнение I порядка: z'() = ƒ(х). Решая его, находим, что: z() = f ()d + С ' f () = ()d + С, отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение: = [ f ()d + С] d + С = f ()d d + С +, где С и С произвольные по- или [ ] стоянные. Пример С Найти общее решение уравнения ' ' =. Вводим новую переменную: z' = z = d + С = + С d = d + С + С = 6 II. Уравнения вида ' ' = f (, ' ). z() = ' z' () = ' ' d d 3 = + С + С + С Оно не содержит у. Введем снова функцию z() = '(), то есть z' = '' и получаем ДУ I порядка относительно z(): z' = ƒ(, z). Решая его, находим, что z() = φ (х, С ). Так как z(х) = ', то ' = φ (х, С ). Отсюда, интегрируя еще раз, получаем общее решение: = φ (х, С )d + C, где С и С произвольные постоянные 3

22 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения : ' ' ' 3 =. Вводя функцию: z() = ', получаем линейное ДУ первого z порядка : z' 3 =. 3 3 Решая его, найдем: z() = С ' = С, значит, искомое общее решение имеет вид 4 3 = С + С. 4 3 III. Уравнение вида ' ' = f (, ' ), уравнение не содержит. Вводим новую функцию z, полагая z = '. Тогда d(' ) d(' ) d dz d dz ' ' = = = = z. Тогда исходное уравнение d d d d d d dz имеет вид: z = f (, z). Решая его, найдём, что z = φ (у, С ). d d d Поскольку z =, то = φ (у, С ), отсюда получаем равенство: d d d = d. Это уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение данного уравнения: (,C ) d = + C, где С и С произвольные постоянные. (,C ) Пример 3 Найти общее решение ДУ II: '' ' =. 4

23 dz Полагая, что ' = z() и учитывая, что ' ' = z, получаем равенство: z z =. Это ДУ с разделяющимися переменными. При- d dz d dz d водим его к виду: =. Интегрируя это равенство, получаем: z ln z = ln + ln C, откуда C d z =. Учитывая, что z =, d d решаем уравнение: = C, которое после разделения переменных d d приобретает вид: = Cd. После его интегрирования, получаем, что = C + C, или, окончательно: =. C + C При сокращении на z было потеряно решение: z = ' =, то есть у = С = const. В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при C =, за исключением решения =. ЛЕКЦИЯ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В общем виде дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид: (n) F (,, ', '',..., ) = Если оно разрешено относительно n -ой производной, то (n) (n ) = f (,, ', '',..., ) (*) Его решением является функция = φ(), где (a, b), которая при подстановке в уравнение (*) обращает его в тождество. Общее ре- 5

24 шение (*) зависит от и n произвольных констант: = ϕ(,c,c,...,cn ). Для частного решения (*) надо задать n начальных условий (n ) (n ) от ( ) = до ( ) = (**) Отыскание решения уравнения (*), удовлетворяющего НУ (**) называется решением задачи Коши для этого дифференциального уравнения. Пример Найти общее решение ДУ III порядка у'''= е х частное решение, удовлетворяющее НУ : и выделить из него = = ; ' = = ; ' ' = Решение: =. Последовательно интегрируя, находим общие решения уравнений, понижая при этом их порядок. При этом появляются новые произвольные постоянные C,C и С 3 : d(' ' ) = e d = e + C '' = e + C + C3 + C ' = e + C + C. Подставляем НУ: + С = 3 ; + С = ; + С =. Откуда находим: С = ; = ; =. Итак, частное решение нашего ДУ С С 3 имеет вид: = e. Линейные дифференциальные уравнения II порядка 6

25 Очень многие задачи практической физики, механики, техники (особенно часто электротехники) приводят к решению таких уравнений это различные процессы тепло - и массопереноса, колебания и т.д. Определение. Уравнение вида () ' ' + p()' + q() = f (), где у искомая функция, а р(х), q() и f () непрерывные на некотором интервале (a, b) функции от, называется ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЛДУ II). Если ƒ(х) =, то ДУ () называется однородным уравнением II порядка. Иначе, при f (), это линейное неоднородное уравнение. Разрешая уравнение () относительно второй производной: ' ' = p()' q() + f (), видим, что это частный случай уравнения ' ' = f (,, ' ). Условия существования и единственности выполняются в силу непрерывности функции f () и её частных производных f у = q() ; = p(). = ' = ' Поэтому при любых НУ: = ; =, где (a, b), уравнение () имеет единственное решение задачи Коши. Изучение линейных ДУ второго порядка начнем с однородных уравнений. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных уравнений. (ЛОДУ II). Теорема f 7

26 Если функции () и () являются решениями однородного уравнения: ' ' + p()' + q() =, () то C, C функция = C () + C () также является решением уравнения (). 8 Доказательство: Дважды продифференцируем : ' = C ' () + C ' (); ' ' = C '' () + C '' (), подставим все в () и получим: [ '' () p()' () + q() ] + C [ '' () + p()' () ] C + +. q() Так как () и () по условию теоремы является решениями уравнения (), то выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, а значит функция: = C () C ()- действтельно является + решением уравнения (). При некоторых условиях эта функциях служит общим решением ДУ (). Введем понятия: ) Функции () и () называются линейно зависимыми на (a, b), если такие числа α и α, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для (a, b) имеет место равенство: α = () + α (). (3) Очевидно, что если () и () линейно зависимы, то они взаимно пропорциональны: пусть α () + α () =, причем α и () α (), тогда = = const. Верно и обратное, функции () α () и () называется линейно независимыми, если нет таких чисел α и α (хоть одно из которых отлично от нуля), что (a, b) имеет

27 место равенство (3); то есть (a, b) : α () + α () = только при α = и α = одновременно! Очевидно, что при этом () const, то есть они не пропорциональны. () Например 3 ) Функции () = и () = линейно независимы на произвольном интервале (a, b), поскольку () = = const. 3 () ) Функции () = 4 и () R : = 4 = const. () = - линейно зависимы, т. к. () Предположим теперь, что () и () являются решениями ДУ (). Вопрос об их линейной зависимости решают с помощью определителя Вронского: ' ' = ' '. (4) Этот так называемый Вронскиан является функцией, определенной на (a, b) и обозначается W(, ) или W(). Теорема Если () и () линейно зависимые на (a, b) функции, то определитель Вронского, составляемый из них, равен нулю на этом интервале. Доказательство. 9

28 Так как по условию и - линейно зависимы, то числа α и α (хотя бы одно из них, например, α ) такие, что имеет место равенство (3): α () + α () =. Из (3) следует: () = (), то α α α есть и ' () = ' (). α Подставляя это во Вронскиан, α - α получаем: W() = = =, ' ' α - ' ' α что и требовалось доказать. Теорема 3 Если решения () и () уравнения () линейно независимы на (a, b), то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале. Доказательство легко провести самостоятельно методом от противного. Итак, если () и () являются решением ЛОДУ II () на (a, b), то составленный из них определитель Вронского либо равен нулю (при линейной зависимости () и ()), либо отличен от нуля при их линейной независимости друг от друга. Теорема 4 Если () и ()- линейно независимые на (a, b) решения уравнения (), то функция с двумя произвольными постоянными С и С вида: = C () C (), (5) + является общим решением ЛОДУ II в форме (). 3

29 Доказательство. ) В силу Теоремы, функция у с любыми ПП C и C есть решение уравнения (). Для того, чтобы доказать, что эта функция общее решение ДУ () достаточно установить, что из этого решения можно выделить частное решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям. ) Пусть эти произвольные НУ для некоторого значения (a, b) имеют вид: = ' = ' =, = (6) Составим систему уравнений: = C ( ) + C ( ) ' = C ' ( ) + C ' ( ) (7) в которой С и С - неизвестные пока числа. Определитель системы (7) есть Вронскиан W( ). Так как по условию теоремы () и () линейно независимы на (a, b), то в силу Теоремы 3: W( ), поэтому система уравнений (7) имеет единственное решение! Пусть ему соответствуют значения констант: C = C и C = C. Подставляя их в равенство (5), получаем искомое частное решение дифференциального уравнения (): = C () + C (), удовлетворяющее начальным условиям (6). Это и означает, что решение (5) является общим решением уравнения (). 3) Итак, цепочка рассуждений такова: Если = C () + C () - общее решение, то из него можно выделить единственное частное решение согласно любым заданным начальным условиям. Составляется система уравнений с ( ), 3

30 ( ), ' ( ) и ' ( ). Она имеет единственное решение лишь при W( ), что возможно только при линейно независимых () и (). Ч.Т.Д. 4) Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения () достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить соответствующую функцию с произвольными C и C, в форме известного выражения (5). Пример. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка =. Решение. Имеем ЛОДУ II. Легко заметить, что его частные решения имеют вид = e и = e. Поскольку определитель Вронского при этом имеет вид: W() = e e e - e =, то эти решения и линейно независимы на всей числовой оси ОХ. Следовательно, общее решение имеет вид: = Ce + Ce, где C и C - константы. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка Рассмотрим основные свойства таких уравнений (ЛНДУ II) вида (): ' ' + p()' + q() = Теорема 5 3 f ().

31 Общее решение уравнения () есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. То есть, если ~ () частное решение уравнения (), а Υ() = C () + C () общее решение однородного уравнения, полученного из уравнения (), то общее решение самого линейного неоднородного уравнения () представляет собой сумму: = ~ () + Υ() (8) Доказательство теоремы провести несложно с помощью двух последовательных дифференцирований функций ~ () и Υ() и последующих подстановок функций ~ ', ~ '',Υ',Υ' и Υ''() в уравнение (). ЛЕКЦИЯ 6 Итак, чтобы найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка (ЛНДУ II), необходимо найти общее решение однородного (ОР ОДУ II) и любое частное решение неоднородного (ЧР НДУ II) дифференциального уравнения второго порядка. Последнее выполнить зачастую весьма непросто. Поэтому, когда найдено общее решение ОДУ, используют так называемый Метод Вариации Произвольных Постоянных (МВП). Итак, пусть наше уравнение ЛНДУ II имеет вид: Его общее решение имеет такую структуру: () Y() + ~ () =, ' ' + p()' + q() = f () () где Y() = общее решение однородного, а ~ () = частное решение неоднородного линейного дифференциального oo чн уравнения. 33

32 Как уже известно, линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид: ' ' + p()' + q() = () Пусть Y(х( = С () + C () общее решение такого одно родного уравнения, содержащее частные решения () и (), найденные, например, с помощью характеристического уравнения, и две произвольные постоянные С и С. Будем искать ЧР неоднородного уравнения () в виде: ~ = c () () c () () (3) + Здесь уже c () и c () - некоторые искомые функции от, а () и () суть по-прежнему частные решения однородного дифференциального уравнения (), линейно независимые друг от друга. Продифференцируем равенство (3) ~ ' = c ' + c ' + c ' c '. (4) + Подберём c () и () так, чтобы выполнялось равенство: c c ' + c' = (5) Тогда равенство (4) принимает вид: ~ ' = c ' + c ' Дифференцируя его, получаем, что: 34

33 ~ ' ' = c ' ' + c ' ' + c' ' + c ' ' Подставляя теперь ; ' и '' в уравнение () и группируя слагаемые, получаем c ()['' + p()' + q()] + c()['' + p()' + q() ] + c' ' + c' ' = f () Выражения в квадратных скобках равны нулю, т. к. () и ()- решения однородного дифференциального уравнения (). Поэтому имеет место равенство: c = ' ' + c ' ' f (). (6) Таким образом, функция (3) является решением уравнения (), если c () и c () удовлетворяют двум уравнениям (5) и (6), объединяемым нами в систему уравнений: c ' + c' = c' ' + c' ' = f () (7) в которой c () и c () - не известны, а все остальные величины известны. Определителем такой системы уравнений является определитель Вронского: W() = ' ' Вронскиан составлен из двух линейно независимых решений () и () однородного уравнения (), значит он не равен нулю по Теореме 5. Таким образом, система уравнений (7) имеет единственное решение относительно c ' () и c ' (). Решая (7), получаем : c ' () = φ (х) ; c ' () = φ (х), где φ (х) и φ (х) известные функции. Подставляя ре- 35

34 зультаты в уравнение (3), получаем искомое частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (). Пример Найти частное решение ЛНДУ II: ' '- = Для однородного ДУ ' '- = ранее нашли, что Y() = c e + ce. Поэтому ищем частное решение в виде: Система (7) имеет вид: c' e + c' e + c ' e c ' e = = ~ - () = c ()e + c()e (8) Складывая уравнения, получаем: = c' () = откуда, интегрируя, найдем c' e e c() = ( + )e Здесь нет произвольных постоянных, т. к. мы ищем какое-либо частное решение! Подставляя c ' () в любое их двух уравнений системы, находим, что c' () = e, откуда, интегрируя, получаем: 36

35 c() = ( )e. Подставляя c и c в уравнение (8), найдем частное решение ~ данного неоднородного дифференциального урав- нения. ~ () = [ ( + )e ]e + [ ( )e ]e = Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения () и зная общее решение однородного уравнения (), можно записать общее решение неоднородного ДУ II порядка: = ~ () + Y = - + c e + c e -. Здесь C и С - произвольные постоянные. Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим важный частный случай, когда р(х) и q() являются постоянными величинами. Такие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Сначала рассмотрим однородные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Их обычно представляют в следующем виде: ' ' p ' + q = +, () где p и q - вещественные числа. Правая часть такого уравнения равна нулю. Вначале докажем следующую теорему, состоящую из двух утверждений: Теорема 37

36 ) Если число k-вещественный корень алгебраического уравнения вида: k + p k + q =, () k = e является решением дифференциального урав- то функция нения (). ) Если числа k = α + iβ и k = α iβ (β ) комплексные корни уравнения (), то функции = e α cosβ и = e α sinβ являются решениями уравнения (). 38 Доказательство: ) Пусть функция ' ' = k e k. k () = e, ( k = const ). Тогда k ' = ke ; Подставляя эти равенства в дифференциальное уравнение (), получаем, что k e (k + pk + q) =. Так как e k, то k + pk + q =. Следовательно, если k является корнем алгебраического квадратного уравнения (), то ляется решением уравнения (). k = e яв- ) Аналогично можно проверить подстановкой, что функции = e α cosβ и = e α sinβ также удовлетворяют уравнению (). Алгебраическое уравнение () называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (). Поскольку это уравнение квадратное, оно имеет два корня. Обозначим их k и k. Следующая теорема охватывает все три возможных случая для различных значений чисел p и q : Теорема ) Если корни характеристического уравнения () вещественные и различные, т. е.

37 k k, то общее решение уравнения () имеет вид: k = ce + c e k. ) Если корни характеристического уравнения вещественные и равные ( k = k ) то общее решение уравнения () имеет вид: k = ce + c e k 3) Если корни характеристического уравнения комплексные: k = α + iβ, k = α iβ, причем β, то общее решение уравнения () имеет вид: = e α (c cosβ + c sinβ) Доказательство: ) Проверим случай с вещественными различными корнями ( k k ). k k По Теореме : функции = e и = e суть частные решения уравнения (). Эти решения линейно независимы друг от друга, поскольку их отношение (k k ) = e решение () имеет вид: const, так как k k. Следовательно, общее + k k = ce ce. ) Пусть корни вещественные и равные ( k = k ). По Теореме : k = e - частное решение дифференциального уравнения (). Найдём второе частное решение, линейно независимое от первого. 39

38 k () Будем искать его в виде = z() e, где z() новая, неизвестная функция. Дифференцируя, имеем: k k k ' = z' e + kze = e (z' + kz). Дифференцируя далее, k получаем вторую производную: '' = e (z'' + k z' + k z). Подставляя ; равенство: ' и '' в левую часть уравнения (), получаем k p e [z'' + (k + ) z' + (k + pk + q) z] = По условию, k + pk + q =, кроме того при k = k имеет равенство: k p p = по теореме Виета, то есть k + =. Следовательно, надо решить уравнение z' ' =. Последовательно интегрируем: C ~ ~ ~ z' =, z = C + C, где C ~ и C ~ произвольные постоянные. Полагая C ~ ~ =, C =, найдем, что неизвестная функция z () =. 4 Таким образом: k = e второе частное решение уравнения (). Решения и линейно независимы, так как = const. И по известной теореме общее решение уравнения () имеет вид: k k k = C e + Ce, или = e (С + C ) ) Для случая комплексных корней характеристического уравнения () общее решение составляем из двух частных решений однородного уравнения (): = e α cosβ и = e α sinβ, которые линейно независимы, так как их отношение = ctg β const.таким образом, общее решение уравнения () в этом случае имеет вид:

39 Пример = e α (C cosβ + C sin β) Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка: ' ' + ' = Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: k + k =. Его корни k = ; k = различные вещественные числа. Соответственно, частные решения такого уравнения: e = и e = C e + C e =. Общее решение имеет вид:. Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: ' '-' + = Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: k k + =. Его корни = k вещественные и равные. Соответствующие k = частные решения имеют вид: = e и = e. Общее решение дифференциального уравнения представляется в виде: = C e e + C e = (C + C ). Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' ' 4' + 3 = Решение: 4

40 Характеристическое уравнение имеет вид: k 4k + 3 =. Его корни k = + i3, = i3 комплексные. Соответствующие Пример 4 4 k частные решения имеют вид: = e cos3 ; e sin3 =. Общее решение однородного уравнения имеет вид: = e (C cos3 + C sin3). ЛЕКЦИЯ 7. Линейные неоднородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: ' ' + p' + q = f() (3) где p Є R ; q Є R ; f() Є C {Х }. Как известно, общее решение = Y + ў состоит из суммы общего решения Y соответствующего однородного уравнения и частного решения ў неоднородного уравнения. На повестке теперь нахождение функции ў(х), т.к. Y мы находить умеем. В общем случае следует применять метод вариации произвольных постоянных. Однако, если в правой части уравнения (3) стоит многочлен P n (), показательная функция e α или тригонометрические функции sin β, cos β или какая-либо комбинация этих функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим в себе процесса интегрирования. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3). ) Правая часть имеет вид: f() = P n (), где P n () = a n + a n- + + a n- +a n - многочлен n-ой степени от. Тогда частное решение можно искать в виде : ў = Q n () r, где Q n () многочлен той же степени, что и P n (), a r число корней характеристического уравнения, равных нулю.

41 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' ' ' + = + Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Y =(C +C )e (см. Пример ). Так как правая часть уравнения многочлен I степени, и ни один из корней характеристического уравнения k k + = не равен нулю ( k = k = ), то частное решение ищем в виде : ў = (A +B) =A +B, где А и В неизвестные коэффициенты. Дважды дифференцируя правую часть ў = A +B и подставляя, и в исходное дифференциальное уравнение, получим равенство: -А+Ах +В = х +. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях этого равенства: А=; А+В =, получаем: А=; В=3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид: () = + 3, а его общее решение приобретает окончательный вид: = (C +C )e ) Правая часть имеет вид: f() = e α P n (), где P n () многочлен степени n. Тогда частное решение следует искать в виде: = Q n () r e α, где Q n () многочлен той же степени, что и P n (), а r число корней характеристического уравнения, равных α. Если α =, то f() = P n (), т.е. имеет место предыдущий случай. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Пример 5 ' ' 4' + 3 = Решение: e Характеристическое уравнение k 4k +3 = имеет корни k =, k =3. Значит, общее решение однородного дифференциального уравнения 43

42 имеет вид: = C e + C e 3. Среди корней характеристического уравнения один корень, а именно k =, т. е. совпадает с числом α =, стоящим в показателе экспоненты в правой части заданного уравнения. Значит, показатель r =. Поэтому частное решение ищем в виде: = (A +B) e, или = (A +B)e. Дифференцируя (дважды) и подставляя в исходное уравнение найденные, и, получаем равенство: 4A +A B =. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, находим А и В: A = /4, В = /4. Подставляя их в выражение для ў, получаем частное решение исходного уравнения: = 4 ( + )e. Общее решение имеет вид: = c e + c e 3 4 ( + )e. 3) Правая часть имеет вид: f() = a cos β + b sin β, где a, b и β известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде: ў = (A cos β +B sin β), где A и B неизвестные коэффициенты, а r число корней характеристического уравнения, равных iβ. 44 Пример 6 Найти общее решение уравнения + = sin Решение Характеристическое уравнение k += имеет корни k = I ; k = i. Поэтому общее решение однородного уравнения Y = С cos + C sin, в правой части данного уравнения f() содержит sin, т.е. a =, b =, β =. Так как iβ = i один из комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения ( k = i ), то r = и частное решение надо искать в виде: ў = ( Acos + Bsin). Дважды дифференцируя и подставляя в исходное уравнение результаты, получаем: ( Asin + Bcos ) = sin, откуда, решая два уравнения относительно А и В, находим

43 А = /, B =. То есть, частное решение имеет вид: = cos. Общее решение запишем в виде: = C cos + C sin cos. Пример 7 Он отличается от предыдущего тем, что в уравнении: + = sin коэффициент β =. Так как iβ = i не является корнем характеристического уравнения ( k = i, k = i ), то r =, и частное решение следует искать в виде: ў = Acоs + Bsin. Дифференцируя ў и подставляя результаты в уравнение, получаем: 3Аcos 3Bsin = sin, откуда A =, B = /3, т.е частное решение = sin, а общее решение исходного 3 уравнения приобретает вид: = C cos + C sin sin 3 3) Правая часть имеет вид f () = e α [P n () cosβ + P m () sinβ], где P n () многочлен степени n, а P m () многочлен степени m. Тогда решение следует искать в виде: ў = r e α [Q () cosβ + Q () sinβ], где Q (), Q () многочлен степени S, где S = ma {n,m}, а r число корней характеристического уравнения, равных α + βi. Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения = 3e cos. Решение: Здесь характеристическое уравнение k = имеет корни k = и 45

44 k =. Общее решение однородного уравнения : = c e + c e. В правой части дифференциального уравнения произведение многочлена нулевой степени (число 3), показательной (e ) и тригонометрической (cos ) функций, т.е. Р n () = 3, Р m () =, S =.Число α + iβ = + i не является корнем уравнения, поэтому число r =, частное решение ищем в виде : ў = e (A cos + B sin). Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получаем: (А + В) cos + (B 4A) sin = 3 cos. Приравнивая коэффициенты при cos и sin, находим коэффициенты A и B: A = A + B = 3 B 4A = B = Таким образом, частное решение: ў = e (,3 cos +,6 sin), а общее решение дифференциального уравнения имеет вид : = c e + c e + e (,3 cos +,65 sin). В заключение докажем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, правая часть которых представляет собой сумму нескольких слагаемых. Теорема (*) Если ў решение уравнения вида: (4) а ў решение уравнения вида : '' + p' + q = f () 46

45 '' + p' + q' = f () (5) то сумма ў + ў является решением следующего дифференциального уравнения : '' + p' + q = f () + f () Доказательство Составим сумму ў + ў и подставим её в левую часть уравнения (6). Получим, что (ў + ў )'' + p (ў + ў )' + q (ў + ў ) = (ў '' + pў ' + qў ) + (ў '' + pў ' + qў ) = =f () + f (). Здесь иначе сгруппировали члены, используя свойство аддитивности операции дифференцирования и условия теоремы (*). Следовательно, (ў + ў ) есть решения уравнения (6). Пример Найти общее решение уравнения '' ' + = sin + e. Решение: Характеристическое уравнение k k += имеет корни k = k =, поэтому общее решение соответственно однородного уравнения имеет вид: = e (C + C ). Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций: sin и e, то по теореме (*) частное решение данного дифференциального уравнения можно искать в виде: ў = ў + ў, где ў частное решение уравнения: '' ' + = sin, а ў частное решение уравнения: '' ' + = e. Сначала найдем частное решение ў. Т. к. число iβ = i не является корнем характеристического уравнения (r = ), то частное решение ў будем искать в виде: ў = Asin + Bcos. Подставляя ў, ў ' и ў '' в уравнение '' ' + = sin и сравнивая коэффициенты при sin и cos, получаем: A = B =, 47

46 откуда А =, B = и, следовательно, ~ = cos cos. Теперь найдем частное решение ў. Будем искать его в виде ў = Ае, т. к. число α = не является корнем характеристического уравнения. Подставляя ў, ў ' и ў '' в уравнение '' ' + = e, получаем: A =, следовательно, частное реше- 4 ние имеет вид : ў = 4 е. Таким образом, частное решение данного уравнения в полном виде такое: ў = ў + ў = cos + 4 e, а общее решение этого уравнения имеет вид: = e (C +C ) + cos + 4 e. Замечание. Изложенная здесь теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка. На этом заканчиваем тему Обыкновенные дифференциальные уравнения. 48

47 49

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее