ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например в математической физике вариационном исчислении теоретической механике дифференциальной геометрии) При изучении некоторых явлений в физике технических науках иногда бывает трудно найти соотношения между величинами характеризующими данное явление однако легко находится зависимость между этими величинами и их производными Определение Уравнение называется дифференциальным если оно связывает независимую переменную неизвестную функцию ( ) и ее ( ) производные или дифференциалы это значит уравнение вида ( ) F ( ) () Порядком дифференциального уравнения () называется порядок старшей производной которая входит в это уравнение Решением дифференциального уравнения () называется функция ϕ( ) определенная на интервале ( a b) дифференцируемая раз на ( a b) которая при подстановке в уравнение () превращает его в тождество Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения а график решения ϕ( ) называется интегральной кривой дифференциального уравнения I Дифференциальные уравнения первого порядка Основные понятия и определения Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае имеет вид F ( ) или если можно разрешить относительно то оно примет форму f ( ) () и называется дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной d В некоторых случаях уравнение () удобно записать в виде f ( ) d или в виде f ( ) d d которое является частным случаем более общего уравнения P ( ) d Q( ) d () где P ( ) и Q ( ) известные функции Уравнение в симметричной форме () удобно тем что переменные и здесь равноправны это значит каждую из них можно рассматривать как функцию второй

2 Имеет место следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения () Теорема (Коши) Если функция f ( ) и ее частная производная f непрерывны в некоторой области D плоскости O которая ( ) содержит точку ( ) то найдется интервал ( δ δ ) существует единственное решение ( ) на котором уравнения () которое удовлетворяет условию ( ) (4) Иногда будут рассматриваться решения в виде ( ) Геометрически это означает что через каждую внутреннюю точку ( ) области D проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения () Задача нахождения решения уравнения () которое соответствует условию (4) называется задачей Коши а условие (4) начальным условием Равенство (4) часто записывают в виде где произвольная постоянная называется общим решением дифференциального уравнения () если: ) ( ) есть решение дифференциального уравнения () при каждом значении произвольной постоянной ; ) при заданном начальном условии для ( ) D константу можно подобрать так что функция ϕ( ) будет соответствовать этому условию (при этом считаем что начальные значения принадлежат области D в которой имеют место условия существования решения) Определение Частным решением дифференциального уравнения () называется решение которое получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной Часто общее решение дифференциального уравнения получают в неявном виде те Определение Функция ( ) ( ) Φ (5) В этом случае равенство (5) называется общим интегралом дифференциального уравнения Если в соотношении (5) положить то получим частный интеграл Пример Рассмотрим уравнение Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка Функции f ( ) и

3 f ( ) непрерывны при Значит на всей плоскости O кроме оси O для уравнения выполнены условия теоремы Коши Нетрудно проверить что общее решение данного уравнения в областях > и < есть функция где произвольная постоянная При разных значениях произвольной постоянной получаем разные решения Найдем частное решение которое соответствует например частному условию () Имеем откуда и искомое частное решение есть M Рис Геометрически общее решение данного уравнения представляет собой семейство гипербол (рис ) каждая из которых есть график частного решения данного уравнения Задавая начальное условие () выбираем из всего семейства гипербол ту которая проходит через точку M ( ) плоскости O Через точки которые находятся на оси O не проходит ни одна интегральная кривая это значит это особые точки данного уравнения Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка f ( ) и пусть ϕ( ) его решение График решения есть непрерывная интегральная кривая через каждую точку которой можно провести касательную Из уравнения () следует что угловой коэффициент

4 равен f Таким образом и угловым коэффициентом касательной к графику интегральной кривой в той же точке Зная ( ) можно найти направление касательной к этой интегральной кривой в точке ( ) угловой коэффициент которой равен f ( ) Получим так называемое поле направлений данного уравнения которое раскрывает геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка Таким образом с геометрической точки зрения уравнение f ( ) определяет на плоскости O поле направлений а решение этого уравнения есть интегральная кривая направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке Если построить на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения то можно приближенно построить интегральные кривые касательной к интегральной кривой в каждой ее точке ( ) значению в этой точке правой части уравнения ( ) уравнение f ( ) дает зависимость между координатами точки ( ) Пример Рассмотрим уравнение Функция f ( ) не определена при значит поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости кроме оси O В каждой точке ( ) ( ) угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен и совпадает с угловым коэффициентом прямой которая проходит через начало координат и эту точку На рис показано поле направлений данного уравнения Очевидно что интегральными кривыми являются прямые ( произвольная постоянная) Рис 4

5 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение Уравнение вида M ( ) ( ) ( ) ( ) N d M N d (6) где M ( ) M ( ) N ( ) N ( ) заданные функции называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Если N ( ) и M ( ) то разделяя обе части уравнения (6) на N ( ) M ( ) получим M ( ) ( ) N d M ( ) N ( ) d (6 ) Уравнение (6 ) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Соотношение (6 ) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов; причем дифференциал в левой части уравнения (6) выражен непосредственно через независимую переменную а дифференциал в правой части через промежуточный аргумент который является функцией от Интегрируя уравнение (6 ) получаем искомую зависимость M ( ) ( ) ( ) N d d M N ( ) (7) Соотношение (7) определяет неявным образом общее решение уравнения (6) При разделении переменных могли быть потеряны решения вида где ( ) N или M ( ) Так как N ( ) и d то подставляя в уравнение (6) получим тождество Следовательно решение дифференциального уравнения (6) И если это решение нельзя получить из соотношения (7) то его нужно рассматривать отдельно от решения (7) Аналогично если решение уравнения M ( ) то решение уравнения (6) Иногда интегралы которые входят в равенство (7) нельзя выразить через элементарные функции Тем не менее и в этих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения считают разрешимой и говорят что решение дифференциального уравнения выражено в квадратурах Пример Проинтегрировать дифференциальное уравнение d d (8) Решение Разделяя обе части данного уравнения на ( ) и интегрируя его получаем: l l l c ( c ) При интегрировании уравнения (8) произвольную постоянную l Таким образом интегрирования удобно представить в виде ( ) 5

6 общее решение уравнения (8) Отметим что при делении уравнения (8) на были потеряны два частных решения: и Первое из них можно включить в выражение если снять ограничение а второе нужно рассматривать отдельно Как было показано в примерах и через каждую точку плоскости O которая отлична от начала координат проходит единственная интегральная кривая уравнения (8) а через начало координат бесчисленное множество его интегральных кривых Причина этого нарушение условий теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения Действительно если разрешить уравнение (8) относительно производной записывая его в виде d то функция ( ) f d и ее частная производная f ( ) разрывна при Определение Точки плоскости O через которые проходит больше чем одна интегральная кривая дифференциального уравнения называются особыми точками этого уравнения Определение Интегральная кривая дифференциального уравнения первого порядка называется особой а соответствующее ей решение особым решением дифференциального уравнения если через каждую ее точку проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая этого уравнения Пример 4 Найти все решения уравнения d d (9) Решение Разделяя переменные и интегрируя получаем В эту формулу входят не все решения уравнения (8) При делении на потеряны решения ± которые невозможно включить в общий интеграл (9) Множество интегральных кривых уравнения (8) состоит из семейства полуокружностей радиуса с центром в точках ( ) и прямых ± (Рис ) Через каждую точку прямых ± проходит еще одна интегральная кривая (окружность) уравнения (8) Следовательно ± особые решения уравнения (8) 6

7 Рис 4 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка f называется однородной функцией порядка относительно переменных и если имеет место тождество f ( ) f ( ) R Например f ( ) однородная функция порядка так как f ( ) ( ) Определение Уравнение первого порядка P ( ) d Q( ) d () называется однородным если P ( ) Q ( ) однородные функции одного и того же порядка Разрешая уравнение () относительно производной получаем d P( ) d Q( ) Так как P ( ) Q ( ) однородные функции одинакового порядка то P ( ) ( ) f является однородной функцией нулевого порядка Q( ) Следовательно уравнение вида f ( ) будет однородным если f ( ) однородная функция нулевого измерения f однородное следовательно Определение Функция ( ) Пусть уравнение ( ) f ( ) f ( ) Если положить то получаем f ( ) f ϕ те однородную функцию нулевого порядка можно представить в виде 7

8 функции одного аргумента Если обозначить u то имеем u u u Подставляя значения и в уравнение f ( ) получим уравнение u u f ( u) или du f ( u) u d Интегрируя его получим du l ( ) f u u Особыми решениями однородного уравнения могут быть полуоси оси O ( ) и полупрямые u ( ) где u решения уравнения f ( u) u d Если f ( u) u то однородное уравнение примет вид и является d уравнением с разделяющимися переменными Пример 5 Найти частное решение дифференциального уравнения которое соответствует условию ( ) Решение Данное уравнение является однородным так как имеет вид ϕ Осуществляя замену переменной u получим уравнение с разделяющимися переменными du u u u u u u du ( u u)d d Умножая обе части на ( u разделяем переменные и u) интегрируем: du d du d u u l l l l l l u u ( u ) u u u u Подставляя вместо u получаем общее решение 8

9 Подставляя в общее решение находим соответствующее значение : При из общего решения получаем частное решение 5 Дифференциальные уравнения приводящиеся к однородным К однородным уравнениям приводятся уравнения вида d a b c f () d a b c где f непрерывная функция Если c c то уравнение () есть очевидно однородное Пусть по крайней мере одно из чисел c и c отлично от нуля Осуществляя замену переменных u α v β где u v новые переменные а α β d некоторые числа и подставляя затем в уравнение () выражения и d будем иметь dv a u bv aα bβ c f () du a u b v a α b β c Числа α и β выбираем так чтобы выполнялись равенства aα b β c () aα bβ c При условии () уравнение () будет однородным v a b dv a u bv v f f u ϕ du a u b v v a b u u dv v Решая уравнение ϕ и переходя снова к переменным и du u получим решение уравнения () a b Система () не имеет решения если Но в этом случае a b a b следовательно a a b b a b и уравнение () можно преобразовать к виду d ( a ) ( ) b c f d a b c (4) 9

10 С помощью подстановки a b (5) это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными dz d d dz a Действительно a b откуда (6) Подставляя d d d b d b в уравнение (4) выражения (5) и (6) получим: dz a z c f b d b z c а это и есть уравнение с разделяющимися переменными Пример 6 Найти общее решение или общий интеграл уравнения ( 4 ) d ( ) d d Решение Запишем уравнение в виде откуда имеем d 4 a b a b Так как то данное уравнение приводится к однородному α β Решая систему находим α β α β 4 Осуществляя в уравнении подстановку u v получим однородное уравнение v dv v u dv v u du v u du u Интегрируя его с помощью подстановки v zu получаем z z z z u z z u u( z ) dz ( z ) z du z z z du z dz dz l u l c l z z l cu z z u z z v uv u c Возвращаясь к старым переменным и по формулам u v получаем 8 4 c Это и есть общий интеграл уравнения 6 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение Уравнение вида P( ) Q( ) (7)

11 Q заданные непрерывные функции от или постоянные линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка Если Q ( ) то уравнение называется линейным однородным в противоположном случае линейным неоднородным Существует несколько методов решения линейных уравнений первого порядка а) Метод подстановки Будем искать решение линейного уравнения в виде произведения двух функций где P ( ) ( ) ( ) u( ) v( ) Одну из этих функций можно выбрать произвольно вторая должна быть определена так чтобы их произведение удовлетворяло линейному уравнению Подставляя значения и u v uv в уравнение (7) получаем u v uv P( ) uv Q( ) (8) Выбираем одну из функций например u так чтобы уравнение (8) имело простой вид Для этого в уравнение u v v( u P( ) u) Q( ) (8 ) приравниваем к нулю выражение которое стоит в круглых скобках: u P( ) u Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Его общее решение имеет вид ( ) u В качестве u ( ) возьмем какое-нибудь частное отличное от нуля решение например откуда ( ) Подставляя это значение ( ) P P ( ) ( ) d d u u в уравнение (8) получаем dv u Q( ) d dv Q( ) Q ( ) ( ) v ( ) d d u u( ) Подставляя найденные значения u ( ) и ( ) ( ) u( ) v( ) окончательно получаем Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d ( ) P d u d ( ) Q d u v в выражение (9) б) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) ( ) Сначала находят общее решение P d уравнения P Далее находят общее решение уравнения (7) в виде ( ) ( ) P ( ) d ()

12 и тем самым решение в виде () подставляем выражение () в уравнение (7) Получаем P( ) d P( ) d P( ) d ( ) ( ) P( ) P( ) ( ) Q( ) или ( ) ( ) ( ) P d Q () Для того чтобы функция () была решением уравнения (7) функция должна удовлетворять уравнению () Интегрируя его находим ( ) Чтобы найти функцию ( ) ( ) Q( ) d где произвольная постоянная Подставляя найденное выражение для ( ) в формулу () получим общее решение линейного уравнения (7) в виде (9) P( ) d P( ) d ( ) Q( ) d в) Метод интегрирующего множителя (метод Эйлера) P Q на интегрирующий множитель Умножая обе части уравнения ( ) ( ) P( ) d µ получаем P ( ) d ( ) P Q или P( ) d P( ) d P( ) d P( ) d Q( ) Q( ) d P( ) d P( ) d Тогда Q( ) Пример 7 Найти общее решение уравнения Решение Данное уравнение является линейным Здесь P ( ) Q( ) Решим сначала соответствующее однородное уравнение Разделяя d переменные d и интегрируя получаем l l или ± Используя метод вариации ищем общее решение данного уравнения в виде ( ) Подставляя в начальное уравнение ( ) и ( ) ( ) получаем 5 5 ( ) ( ) или d( ) d 5 откуда ( ) где произвольная постоянная Следовательно 5 общее решение данного уравнения имеет вид P P ( ) ( ) d d ( ) P ( ) d

13 5 ( ) или 5 5 Пример 8 Найти уравнение кривой которая проходит через точку A ( ) если известно что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок который равен квадрату радиус-вектора этой точки (Рис 4) Решение ( ) M B Рис 4 Пусть M ( ) произвольная точка искомой кривой MB нормаль к кривой в точке M B точка пересечения нормали с осью абсцисс Уравнение нормали к кривой в точке M имеет вид Y ( X ) где X Y текущие координаты точки на нормали Найдем абсциссу точки B Если положить в уравнении нормали Y то получим ( X ) откуда X Квадрат радиус-вектора точки M равен По условию задачи или ( ) Это уравнение Бернулли при α Разделяя обе части уравнения на получаем Сделаем подстановку z Тогда z и данное уравнение примет вид z z ( ) Полученное уравнение является линейным относительно После подстановки z u v имеем z u v uv u v uv uv ( )

14 u возьмем частное решение уравнения u u Подставляя значение u в последнее уравнение имеем v ( ) или dv ( ) После интегрирования получаем V Тогда z ( ) Возвращаясь к переменной имеем или Это и есть уравнение искомой кривой В качестве функции ( ) 7 Уравнение Бернулли Дифференциальное уравнение вида α P( ) Q( ) ( α R α α ) где P ( ) Q ( ) непрерывные функции от или постоянные называются уравнением Бернулли α Разделяя обе части уравнения на получаем α α P( ) Q( ) С помощью подстановки z α α z ( α ) последнее уравнение приводится к линейному уравнению z P( ) z Q( ) α Отметим что на практике при решении уравнений Бернулли их не преобразовывают к линейным а интегрируют с помощью подстановки u( ) v( ) 8 Уравнения в полных дифференциалах Определение Дифференциальное уравнение вида P ( ) d Q( ) d () называется уравнением в полных дифференциалах если левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u ( ) Имеет место Теорема Уравнение () где функции P ( ) и Q ( ) непрерывнодифференцируемые является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда если имеет место условие P Q () Необходимость Пусть левая часть уравнения () есть полный дифференциал некоторой функции u ( ) Следовательно u u P( ) d Q( ) d d d откуда u u P( ) Q( ) (4) Дифференцируя первое из соотношений (4) по а второе по получаем 4

15 P u Q u Так как смешанные производные -го порядка равны между собой то P Q отсюда имеем Достаточность Покажем что если имеет место условие () то левая часть уравнения () есть полный дифференциал некоторой функции u ( ) При этом выясним как на практике найти функцию u ( ) Интегрируя по первое из соотношений (4) имеем u( ) P( ) d ϕ( ) (5) где ϕ ( ) произвольная функция от При интегрировании считаем неизменной поэтому произвольная постоянная может зависеть от u Выберем функцию ϕ ( ) так чтобы имело место соотношение Q( ) Для этого продифференцируем равенство (5) по и результат приравняем к Q ( ) : u ( P( ) d) ϕ ( ) Q( ) откуда P ϕ ( ) Q( ) ( P( ) d) Q( ) d Необходимо показать что правая часть последнего равенства не зависит от Интегрируя это равенство по получаем ϕ d P ( ) Q( ) d Подставляя найденное значение ( ) ϕ в выражение (5) имеем d P u ( ) P( ) d Q( ) d Находим функцию ( ) du ( ) откуда u ( ) u и уравнение () записываем в виде Это и есть искомый интеграл уравнения () Замечание При отыскании функции u ( ) порядок действий можно изменить это значит подобрать функцию u ( ) которая бы соответствовала второму из соотношений (4) а затем первому Пример 9 Найти частное решение или частный интеграл дифференциального уравнения d d ( ) ( ) ( ) 5

16 Решение Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах так как P Q P Q P( ) Q( ) Тогда имеем u u Интегрируя по первое из этих равенств находим u( ) ( ) d ϕ ( ) ϕ( ) отсюда u ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ( ) Следовательно u( ) Приравнивая полученное выражение к произвольной постоянной находим общий интеграл дифференциального уравнения в виде * * или ( ) При получаем и следовательно частный интеграл данного уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков Общие понятия Определение Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида ( ) ( ) ( ) F ( ) () или f ( ) ( ) Решением такого уравнения называется раз дифференцируемая функция ϕ( ) определенная на интервале ( a b) которая при подстановке в уравнение () или ( ) обращает его в тождество те ( ( ) ( ) ) ( F( ϕ ϕ ϕ ( ) ) или ) ( ϕ ( ) f ( ϕ( ) ϕ ( ) ϕ ) ( ) ) В этом разделе мы будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения высших порядков которые можно разрешить относительно высшей производной Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения аналогичная соответствующей теореме для уравнения первого порядка Теорема Если в уравнении ( ) ( ) f ( ) 6

17 ( ) f f f функция f ( ) и ее частные производные ( ) непрерывны в некоторой области D которая содержит значения ( ) ( ) то существует и притом единственное решение ( ) уравнения которое удовлетворяет условиям ( ) ( ) () (без доказательства) Условия () называются начальными условиями Для уравнения второго порядка f ( ) начальные условия имеют вид ( ) ( ) где заданные числа это значит в точке задаются значения искомой функции ( ) и ее первой производной ( ) Геометрический смысл этих условий следующий: через заданную точку плоскости ( ) с заданным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная кривая Из этого дальше следует что если мы будем задавать разные значения при неизменных и то получим бесчисленное множество интегральных кривых с разными углами наклона касательных которые проходят через заданную точку Определение Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция ϕ( ) которая зависит от произвольных постоянных если: функция ϕ( ) есть решение дифференциального уравнения при произвольных значениях констант; ( ) для точки ( ) D константы можно подобрать так что функция ϕ( ) будет удовлетворять этим условиям (при этом считаем что начальные значения ( ) принадлежат области D в которой имеют место условия существования решения) Общим интегралом дифференциального уравнения -го порядка называется соотношение вида Φ( ) которое неявно определяет его общее решение Частным решением дифференциального уравнения -го порядка называется всякое решение полученное из общего при конкретных значениях постоянных Если известно общее решение ϕ( ) уравнения () то для решения задачи Коши константы определяются из системы уравнений (если она разрешима) 7

18 ( ) ( ) ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) ϕ График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Решение дифференциальных уравнений высших порядков задача более сложная чем интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка В некоторых случаях такие уравнения можно решать методом понижения порядка Рассмотрим некоторые типы таких уравнений ( ) ) Уравнение вида f ( ) () Общее решение данного уравнения получают путем -разового интегрирования f d f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) d f f ( ) ( )! ( )! где f ( ) f ( ) d d раз ) Уравнения вида F (4) ( ) Они не содержат искомую функцию и ее производные ( ) С помощью замены p( ) порядок уравнения (4) понижается на единиц и оно принимает вид ( ) F ( p p p ) Допустим что для полученного уравнения найдено общее решение p( ) ϕ ( ) Тогда искомая функция ( ) получается путем - разового интегрирования функции ϕ ( ) Наиболее простое из таких уравнений имеет вид F ( ) (5) или f ( ) (5 ) С помощью подстановки p( ) уравнения (5 ) приводится к уравнению первого порядка dp f ( p) d с неизвестной функцией p затем ищут из уравнения p( ) ( ) ) Уравнения вида F (6) раз ( ) ( ) ( ) ( ) 8

19 Эти уравнения не содержат независимую переменную Если положить p( ) а за новый аргумент взять то порядок уравнения понизится на единицу В этом случае находят по правилам дифференцирования сложной функции: dp dp dp d p p p p и тд d d d d Наиболее простое из таких уравнений имеет вид F ( ) (7) или f ( ) (7 ) С помощью подстановки p( ) уравнение (7) приводится к уравнению dp p f ( p) d Пример Найти общее решение уравнения cos Решение Общее решение данного уравнения находим последовательным интегрированием по : s s d cos 6 4 cos d s 6 4 Пример Найти частное решение уравнения ( ) ( ) ( ) Решение Это уравнение вида f ( ) Используя подстановку p( ) получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции p ( ) : p p ( ) Это линейное уравнение поэтому используем подстановку p u v Тогда p u v u v а уравнение примет вид uv v u v uv ( ) или u v uv ( ) v Находим v из уравнения v dv v dv d dv d l v l или v d v v с неизвестной функцией p затем ищут из уравнения p( ) 9

20 p Определяем u из уравнения u u следовательно ( ) ( ) Возвращаясь к первоначальной переменной получаем ( ) ( ) d Используя начальные условии имеем Следовательно частное решение имеет вид 8 6 Пример Найти общее решение уравнения ( ) Решение Это уравнение вида F ( ) поэтому используем dp dp p Тогда p и уравнение примет вид d d подстановку ( ) dp dp p p p p d d dp Пусть p тогда p dp p d откуда получаем d dp d c l p l l c p p d d c Подставляя p имеем уравнение d c d После d d интегрирования получаем c c или ( c ) c Это и есть общий интеграл уравнения В процессе решения мы делили обе части на p считая что p Если p то c тоже решение уравнения которое получается из общего интеграла при c Линейные однородные дифференциальные уравнения Основные определения и общие свойства Определение Уравнение вида ( ) ( a a ) a a f ( ) (8)

21 где коэффициенты a заданные функции от или константы линейное относительно неизвестной функции и ее производных ( ) называется линейным дифференциальным уравнением -го порядка В дальнейшем будем считать что функции a ( ) и f ( ) непрерывны при всех значениях причем коэффициент a Если f ( ) то уравнение (8) называется линейным неоднородным уравнением (или уравнением с правой частью) Если f ( ) то уравнение (8) имеет вид ( ) ( ) a a a (9) и называется линейным однородным уравнением (или уравнением без правой части) Рассмотрим некоторые свойства решений линейных дифференциальных однородных уравнений на примере уравнений второго порядка Теорема Если функции ( ) и ( ) два частных решения уравнения a ( ) ( ) a () то функция ( ) ( ) при произвольных значениях констант и также есть решение уравнения () Доказательство Дважды дифференцируя функцию ( ) ( ) и подставляя выражения для в левую часть уравнения () получаем ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) a a ( ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) ) ( ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) ) Так как функции ( ) и ( ) по условию есть решения уравнения () то выражения в скобках тождественно равны нулю а это означает что функция ( ) ( ) решение уравнения Возникает вопрос не является ли это решение общим решением уравнения () Введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций ( ) и ( ) Определение Функции ( ) и ( ) называются линейно зависимыми на ( a b) если существуют числа α и α из которых по крайней мере один отличен от нуля такие что для произвольного ( a b) имеет место равенство α α ( ) ( )

22 Очевидно что если функции ( ) и ( ) пропорциональны Действительно если ( ) ( ) α где λ α линейно зависимы то они α α причем α Имеет место и обратное утверждение Определение Функции ( ) и ( ) независимыми на ( b) α α называются линейно a если равенство () выполняется только при Очевидно что если функции ( ) и ( ) ( ) λ ( λ cos ) это значит функции ( ) ( ) и ( ) Допустим теперь что функции ( ) и ( ) () Вопрос о том будут ли функции ( ) и ( ) линейно независимы то не пропорциональны есть решения уравнения линейно зависимыми или линейно независимыми решается с помощью определителя Вронского Определение Если ( ) и ( ) две дифференцируемые функции то определитель ( ) ( ) W W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) называется определителем Вронского или вронскианом этих функций Теорема Если функции ( ) и ( ) линейно зависимы на ( a b) то определитель Вронского составленный из них равен нулю на этом интервале Доказательство Так как по условию ( ) и ( ) линейно зависимы b где cos λ и на ( a ) то ( ) ( ) λ λ Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ W ( ) W ( ) λ ( ) ( ) ( ) λ ( ) Теорема Если решения ( ) и ( ) независимы на ( b) уравнения () линейно a то определитель Вронского составленный из них отличен от нуля на этом интервале Доказательство Допустим обратное: пусть существует точка ( a b) такая что W ( ) Рассмотрим систему уравнений ( ) ( ) α ( ) α ( ) α α в которой α и α неизвестные числа Так как определитель этой системы W ( ) то система имеет ненулевое решение относительно α и α (это значит одно из этих чисел отлично от нуля) Рассмотрим функцию ( ) α ( ) ( ) α

23 где α α ненулевое решение системы На основании теоремы эта функция есть решение уравнения () Кроме того так как α α решение системы функция ( ) удовлетворяет нулевым начальным условиям () Но таким начальным условиям очевидно удовлетворяет решение ( ) Тогда на основании теоремы о существовании и единственности решения ( ) есть единственное решение уравнения () с начальными условиями () Следовательно α ( ) ( ) α на интервале ( a b) а это означает что функции ( ) и ( ) линейно зависимы на ( a b) что противоречит условию теоремы Следовательно W ( ) для всех ( a b) Таким образом если функции ( ) и ( ) являются на ( a b) решениями линейного однородного уравнения () то составленный из них определитель Вронского на ( a b) или равен нулю ( ( ) и ( ) линейно зависимы) или отличен от нуля ( ( ) и ( ) линейно независимы) Выясним теперь при каких условиях функция ( ) ( ) есть общее решение линейного однородного уравнения () 4 Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка Теорема (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если функции ( ) и ( ) линейно независимые на ( a b) решения уравнения a ( ) ( ) a () то функция ( ) ( ) (4) где и произвольные константы есть общее решение уравнения () Доказательство На основании теоремы р функция ( ) ( ) при произвольных значениях констант и есть общее решение уравнения () Чтобы доказать что функция (4) общее решение уравнения () достаточно показать что для произвольных начальных условий можно так подобрать значения произвольных констант и что соответствующее частное решение будет удовлетворять этим условиям Пусть ( a b) и Подставляя начальные условия в равенство (4) получим систему уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) (6) в которой неизвестные числа Определитель этой системы есть определитель Вронского

24 ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) Так как по условию ( ) ( ) линейно независимы на ( b) основании теоремы р ( ) a то на W Поэтому система (5 имеет единственное решение которое обозначим Подставляя и в равенство (4) получаем искомое частное решение уравнения (4): ( ) ( ) которое удовлетворяет начальным условиям () Это и означает что решение (4) есть общее решение уравнения () Из доказанной теоремы следует что для нахождения общего решения уравнения () достаточно найти два линейно независимых частных решения и записать выражение (4) с произвольными константами Теорема Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка то нахождение общего решения сводится к интегрированию функций частное решение уравнения () Введем новую функцию z с помощью подстановки z Тогда z z z z z Подставляя выражения для и в уравнение () и группируя слагаемые получаем ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) a a z z a z Так как ( ) решение уравнения () то выражение в первых скобках равно нулю и уравнение примет вид z ( ( ) ) a z Порядок этого уравнения можно понизить путем замены z u( ) где u ( ) новая искомая функция u ( ( ) ) a u Полученное уравнение есть уравнение первого порядка относительно функции u с разделяющимися переменными Решая его находим du d a ( ) l l ( ) d u a d l u Доказательство Если ( ) a ( ) d a ( ) d u ± или u где произвольная константа Возвращаясь к переменной z и умножая выражение для z на получаем общее решение уравнения (): a ( ) d d (6) 5 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Определение Уравнение вида 4

25 p q (7) где p q вещественные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Будем искать решение уравнения (7) в виде ( cos ) Тогда Подставляя выражения для в уравнение (7) получаем ( p q) Так как то p q (8) Следовательно если удовлетворяет уравнению (8) то решение уравнения (7) и наоборот если решение уравнения (7) то удовлетворяет уравнению (8) Уравнение (8) называется характеристическим для уравнения (7) Характеристическое уравнение является квадратным и имеет два решения; обозначим их через и при этом p p p p q q 4 4 Возможны следующие случаи: ) и действительные и не равные между собой числа ( ); ) и действительные и равные между собой числа ( ); ) и комплексно-сопряженные числа ( α β α β β ) Рассмотрим каждый из этих случае Корни характеристического уравнения действительные и разные: Тогда функции частные решения уравнения (7) Эти решения линейно независимы так как ( ) cos Следовательно общее решение уравнения (7) имеет вид Пример 4 Найти общее решение уравнения 7 Решение Характеристическое уравнение имеет вид 7 Его решения 5 действительные числа и не равны между собой Им соответствуют линейно независимые частные решения данного уравнения 5 Тогда его общее решение имеет вид 5 Корни характеристического уравнения действительные и равные между собой: 5

26 Одно частное решение получается на основании предварительных рассуждений Необходимо найти второе частное решение линейно независимое с первым (функция тождественно равна и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения) Будем искать второе частное решение в виде u( ) где u ( ) неизвестная функция которая подлежит определению Дифференцируя получаем u u ( u u) u u u ( u u u) Подставляя в уравнение (7) имеем p u ( ) u p q u p По условию p q Так как то p Следовательно для нахождения функции u ( ) необходимо решить уравнение u Последовательно интегрируя получаем u A u A B где A и B произвольные константы В частности можно положить A B тогда u Таким образом второе частное решение уравнения (7) Решения и линейно независимые так как cos Тогда общее решение уравнения (7) имеет вид: Пример 5 Найти общее решение уравнения 6 9 Решение Характеристическое уравнение имеет вид 6 9 а его решения Тогда линейно независимые частные решения Следовательно общее решение данного уравнения Корни характеристического уравнения комплексные Пусть α β α β ( B ) Тогда комплексные функции действительного аргумента ( α β ) α ( ) ( αβ ) α cosβ sβ ( cosβ sβ ) являются решениями дифференциального уравнения (7) В этом случае можно получить и действительные решения если использовать следующую теорему Теорема Если комплексная функция u( ) v( ) действительного аргумента есть решение уравнения (7) то действительные функции u ( ) v также являются решениями этого уравнения и ( ) 6

27 Доказательство Подставляя выражения для в уравнение (7) получаем u ( ) v ( ) p( u ( ) v ( ) ) q( u( ) v( ) ) или ( u ( ) pu ( ) qu( ) ) ( v ( ) pv ( ) qv( ) ) откуда u pu qu v pv qv Последние уравнения имеют место так как комплексная функция равна нулю тогда и только тогда если равны нулю ее действительная и мнимая части Из этой теоремы следует что функции u α ~ cosβ и v α sβ ~ являются частными решениями уравнения (7) Они α sβ линейно независимы так как α gβ cos cosβ Следовательно в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид ~ ~ α α cosβ sβ или α ( cosβ sβ) где и произвольные константы Пример 6 Найти частное решение уравнения которое удовлетворяет начальным условиям ( ) ( ) Решение Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни Им соответствуют линейно-независимые решения s cos Общее решение уравнения имеет вид α ( s cos ) Определим произвольные константы и согласно заданных начальных условий Дифференцируя найденное общее решение имеем (( ) s ( ) cos) Учитывая что ( ) а ( ) получаем откуда Следовательно функция s есть искомое частное решение 6 Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Определение Уравнение вида ( ) ( ) a a a (9) где a постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами 7

28 Определение Функции ( ) ( ) ( ) зависимыми на интервале ( b) α среди которых есть не равные нулю что для произвольного ( a b) место равенство называются линейно a если существуют такие чисел α α имеет α ( ) ( ) ( ) α α Если же равенство () имеет место для произвольного ( a b) при a то функции ( ) независимыми на интервале ( a b) Если функции ( ) линейно зависимы на интервале ( b) () только называются линейно a то по крайней мере одна из них линейно выражается через остальные Пусть например α Тогда из равенства () получаем α α α ( ) ( ) ( ) ( ) α α α или ( ) α β ( ) a b где β для произвольных ( ) a b то ни одну из них нельзя записать в виде линейной комбинации остальных функций Пример 7 Функции линейно независимы так как выражение α α α тождественно равно нулю только при α α α Пример 8 Функции s cos линейно 4 зависимы так как при α α α α 4 имеет место равенство α α s α cos α4 для R Вопрос о линейной независимости частных решений ( ) ( ) ( ) линейного однородного уравнения -го порядка решается с помощью определителя Вронского (вронскиана) этих функций: Если же функции ( ) ( ) W ( ) линейно независимы на интервале ( ) W α ( ) ( ) ( ) Теорема Для того чтобы частных решений линейного однородного уравнения -ого порядка были линейно независимыми на интервале ( a b) необходимо и достаточно чтобы определитель Вронского был отличен от нуля для ( a b) Однородное линейное уравнение -ого порядка имеет ровно линейно независимых частных решений (без доказательства) 8

29 Теорема (о структуре общего решения линейного однородного уравнения -ого порядка) Если ( ) ( ) ( ) линейнонезависимые частные решения линейного однородного уравнения -ого порядка то функция ( ) ( ) ( ) ( ) () где произвольные константы есть общее решение этого уравнения Доказательство этой теоремы не приводим так как оно аналогично доказательству соответствующей теоремы для уравнения второго порядка Для линейного однородного уравнения -ого порядка с постоянными коэффициентами общее решение находится таким же образом как и для уравнения второго порядка После подстановки функции и ее производных в уравнение (9) и сокращения полученного равенства на получаем характеристическое уравнение a a a a () Пусть решения уравнения () Тогда: ) каждому действительному однократному корню соответствует частное решение дифференциального уравнения (9); ) каждой паре однократных комплексно-сопряженных решений α β α β соответствуют два линейно независимых частных решения α cos β α s β уравнения (9); ) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений r ; 4) каждой паре комплексно-сопряженных корней α β и α β кратности m соответствует m линейно независимых частных решений: m cosβ cosβ cosβ m sβ sβ sβ Количество частных решений будет равно степени характеристического уравнения (или порядку данного линейного дифференциального уравнения) Можно показать что эти решения линейно независимы Приводим схему решения линейного однородного дифференциального уравнения -ого порядка с постоянными коэффициентами: ) Записываем характеристическое уравнение a a a a ) Находим корни характеристического уравнения ) В зависимости от характера корней записываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения 4) Подставляя линейно независимых частных решений в формулу () получаем общее решение 9

30 ( ) ( ) ( ) ( ) уравнения (9) Пример Найти общее решение уравнения 5 7 Решение Характеристическое уравнение имеет вид 5 7 или ( )( 4 ) Его корни Им соответствуют частные решения cos s которые являются линейно независимыми и поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид ( cos s ) 7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид a ( ) a ( ) f ( ) () где a ( ) a ( ) f ( ) заданные непрерывные функции причем f ( ) / Имеет место следующая Теорема (о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения) Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Доказательство Обозначим через *( ) частное решение уравнения () а через ( ) общее решение соответствующего однородного уравнения Покажем что функция ( ) *( ) (4) есть решение неоднородного уравнения () Дважды дифференцируя выражение (4) и подставляя значения в уравнение () получаем ( ) * ( ) a ( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) * a * (5) ( ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) ) ( * ( ) a ( ) * ( ) a ( ) *( ) ) f ( ) Так как ( ) решение уравнения a ( ) ( ) a то выражение в первых скобках тождественно равно нулю Так как * решение уравнения () то * ( ) a ( ) * ( ) a ( ) *( ) f ( ) Следовательно уравнение (5) есть тождество а это и означает что функция (4) решение неоднородного уравнения Докажем теперь что функция (4) есть общее решение уравнения это значит покажем что произвольные константы и которые входят в однородного уравнения общее решение ( ) ( ) ( )

31 ( ) a ( ) a можно подобрать так чтобы они удовлетворяли начальным условиям для произвольных ( a b) Функцию (4) можно переписать в виде ( ) ( ) *( ) (6) Тогда с учетом того что эта функция должна удовлетворять начальным условиям получаем ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) * или ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) * Из этой системы нужно определить и Определитель системы есть определитель Вронского для функций и в точке Так как по условию и линейно независимы то определитель Вронского при ( a b) не равен нулю Следовательно система имеет единственное решение которое обозначим Подставляя и в равенство (6) получаем частное решение уравнения (): ( ) ( ) которое удовлетворяет начальным условиям Это и означает что функция (6) общее решение уравнения () Таким образом если известно общее решение однородного уравнения a ( ) ( ) a то для отыскания общего решения неоднородного уравнения необходимо найти какое-нибудь частное решение * неоднородного уравнения () Приведем общий метод отыскания частных решений неоднородного линейного уравнения Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) общее решение линейного однородного уравнения a ( ) ( ) a Будем искать частное решение неоднородного уравнения () в виде * ( ) ( ) ( ) ( ) (7) рассматривая и как некоторые функции от Дифференцируя равенство () получаем * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Так как необходимо определить две функции ( ) и ( ) то одно соотношение между ними можно выбрать произвольно поэтому подбираем функции ( ) и ( ) так чтобы имело место равенство ( ) ( ) ( ) ( ) (8) Тогда Пусть ( ) ( )

32 ( ) ( ) ( ) ( ) * а * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Подставляя выражения для * * * в уравнение () и группируя слагаемые имеем a a a a ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Так как ( ) ( ) решения однородного уравнения то выражения в скобках равны нулю и последнее равенство примет вид ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Объединяя последнее равенство с равенством (8) получим систему уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) с неизвестными функциями ( ) ( ) системы есть определитель Вронского Так как определитель данной ( ) ( ) W ( ) W ( ) ( ) ( ) который составлен из линейно независимых функций ( ) ( ) следовательно ( ) функции a ( ) a ( ) и f ( ) единственное решение относительно ( ) и ( ) W на интервале определения и непрерывности Таким образом система (9) имеет Решив эту систему получаем ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ где ϕ ( ) ϕ ( ) известные функции Интегрируя получаем ( ) ϕ ( ) d ( ) ( ) ϕ d где постоянные интегрирования Подставляя полученные выражения для ( ) и ( ) в равенство ( ) ( ) найдем решение которое зависит от двух произвольных констант и это значит общее решение неоднородного уравнения Если положить то получаем частное решение уравнения () Пример 9 Найдем общее решение уравнения 4 cos Решение Запишем общее решение однородного уравнения 4

33 Его характеристическое уравнение 4 имеет корни следовательно общее решение однородного уравнения ( ) cos s Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде * ( ) ( ) cos s (*) Система для определения функций ( ) и ( ) в данном случае имеет вид ( ) ( ) s cos ( ) ( ) cos s cos находим Решая эту систему относительно ( ) ( ) cos s cos cos s cos s и ( ) cos cos s cos Аналогичным образом находим g Интегрируя получаем ( ) ( ) l cos 4 Произвольных постоянных мы здесь не пишем так как ищем частное решение подставляя найденные выражения в равенство (*) получаем частное решение * данного уравнения *( ) s cos l cos 4 Тогда общее решение данного уравнения имеет вид * s cos s cos l cos 4 Теорема Если функция ( ) решение линейного уравнения a ( ) a ( ) f ( ) () а функция ( ) решение уравнения a ( ) a ( ) f ( ) () то функция ( ) ( ) будет решением уравнения a ( ) a ( ) f ( ) f ( ) () Доказательство Подставляя значения в уравнение () и учитывая что решения уравнений () () соответственно получаем

34 ( )( ) ( ) a a ( a ( ) a ( ) ) ( a ( ) a ( ) ) f ( ) f ( ) а это означает что ( ) ( ) ( ) решение уравнения () 8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Рассмотрим линейное неоднородное уравнение p q f ( ) p q R () Общее решение уравнения () есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Правила нахождения общего решения однородного уравнения были даны в параграфе 6 Один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения есть метод вариации произвольных постоянных который является универсальным так как используется для произвольной правой части уравнения Однако для уравнений с постоянными коэффициентами правые части которых имеют специальный вид существует более простой метод нахождения частного решения Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов (без использования операции интегрирования) или методом подбора форм частного решения Рассмотрим его для уравнения () I Правая часть уравнения () имеет вид: γ f ( ) P ( ) (4) где P ( ) многочлен -ой степени Тогда возможны следующие частные случаи: ) Число γ не является корнем характеристического уравнения p q Тогда частное решение необходимо искать в виде γ γ * Q ( ) ( A A A ) (5) где A A A неизвестные коэффициенты Подставляя значения * * * в уравнение () имеем равенство Q ( ) ( p) Q ( ) ( p q) Q ( ) P ( ) γ γ γ (6) где Q ( ) многочлен степени Q ( ) многочлен степени ( ) Q ( ) многочлен степени ( ) Таким образом в левой и правой частях равенства (6) стоят многочлены -ой степени Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов A A A 4

35 ) Число γ простой (однократный) корень характеристического уравнения Если бы в этом случае частное решение мы искали в форме (5) то в равенстве (6) слева получился бы многочлен ( ) -ой степени так как коэффициент при Q ( ) это значит γ p γ q равен нулю а многочлены Q ( ) и Q ( ) имеют степень меньше чем Следовательно ни при каких значениях коэффициентов A A A равенство (6) не было бы тождеством Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена ( ) -ой степени но без свободного члена так как он исчезает при дифференцировании: γ * Q ( ) (7) ) Число γ двукратный корень характеристического уравнения Если бы в этом случае частное решение мы искали в форме (5) то в левой части равенства (6) осталось бы только слагаемое Q ( ) так как γ p γ q γ p Таким образом в левой части равенства (6) мы имели бы многочлен ( ) -ой степени а в правой части -ой степени и ни при каких значениях коэффициентов равенство не могло бы выполняться Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени в левой части равенства (6) необходимо частное решение искать в виде γ на многочлен ( ) произведения -ой степени При этом свободный член этого многочлена и слагаемое которое содержит в первой степени исчезнут при дифференцировании поэтому их можно не включать в частное решение Таким образом если γ двукратный корень характеристического уравнения частное решение можно брать в форме γ ( ) * Q (8) Замечание Если f ( ) P ( ) то γ и этот случай является частным случаем (4) γ Замечание Если f ( ) M где M некоторое определенное γ число то Q ( ) A где A неизвестное число и этот случай также является частным случаем (4) Пример Найти общее решение уравнения 4 Решение Характеристическое уравнение 4 имеет корни Следовательно общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Правая часть этого уравнения произведение многочлена первой степени на показательную функцию γ при γ Так как γ однократный корень характеристического уравнения а P ( ) многочлен первой степени то частное решение данного уравнения ищем в виде * A B A B ( ) ( ) 5

36 Тогда * ( A A B B) * ( A 4A B B A) Подставляя * * * в заданное уравнение получаем A 4A B B A 4A 8A 4B 4B A B 4 A A B Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства получаем: 4 A A B откуда находим A 4 B Подставляя найденные значения A и B в выражение для * 4 получаем частное решение данного уравнения * ( ) 4 Общее решение уравнения имеет вид * ( ) 4 II Правая часть уравнения () имеет вид γ γ f ( ) P ( ) P ( ) cosω s ω (9) где P ( ) P ( ) многочлены Заменяя cos ω и s ω выражениями через показательные функции по формулах Эйлера имеем ω ω ω ω γ γ f ( ) P ( ) P ( ) или ( ω) ( γω) f ( ) P ( ) P ( ) γ P ( ) P ( ) Здесь в скобках находятся многочлены степени которых равны ma( ) Таким образом получили правую часть вида рассмотренного в случае I Можно найти частные решения которые не содержат комплексные числа (доказательство приводить не будем) Таким образом если правая часть уравнения () имеет вид (9) где P ( ) и P ( ) многочлены от то форма частного решения определяется так: ) Если число γ ω ( γ ω) не является корнем характеристического уравнения то частное решение уравнения () необходимо искать в виде * γ ( U ( ) cosω V ( ) s ω) (4) где ma( ) а ( ) U V ( ) многочлены степени с неопределенными коэффициентами ) Если число γ ω ( γ ω) корень характеристического уравнения то частное решение необходимо искать в виде γ * U cosω V s ω (4) ( ( ) ( ) ) 6

37 При этом чтобы избежать возможных ошибок нужно отметить что предложенные формы частных решений очевидно сохраняются и в том случае когда в формуле (9) один из многочленов P ( ) или P ( ) тождественно равен нулю это значит если правая часть имеет вид γ γ P ( ) cosω или P ( ) s ω Рассмотрим один важный частный случай Пусть правая часть уравнения () имеет вид f ( ) M cos ω N s ω (4) где M N постоянные числа Возможны случаи: ) Если β не является корнем характеристического уравнения то частное решение необходимо искать в виде * Acosω Bs ω (4) где A и B неизвестные числа ) Если β решение характеристического уравнения то частное решение нужно искать в виде * ( Acosω Bs ω) (44) Замечание Функция (4) частный случай функции (9) если P ( ) M P ( ) N функции (4) и (44) частные случаи функций (4) и (4) Пример Найти общее решение уравнения 9 cos Решение Характеристическое уравнение 9 имеет корни поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид cos s Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде * ( Acosω Bs ω) так как γ ω является корнем характеристического уравнения Тогда * ( A B) cos ( B A) s * ( 6B 9A) cos ( 6A 9B) s Подставляя * * * в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при cos и s получаем систему уравнений для определения A и B : 6B 6B cos 6As cos 6A откуда B A 6 Таким образом * s частное решение данного уравнения 6 Общее решение имеет вид 7


2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее