ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Химия» (квалификация бакалавр) и специальности «Фундаментальная и прикладная химия» 1

2 ÓÄÊ 51(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73 Ì692 Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ ê õèìèè Ðåöåíçåíòû: ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â. À. Ñìèðíîâ (çàâ. êàôåäðîé ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè Ìîñêîâñêîãî ïåäàãîãè åñêîãî óíèâåðñèòåòà); êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Þ.À. Èãíàòüåâ (çàì. çàâ. êàôåäðîé âûñøåé ìàòåìàòèêè Ðîññèéñêîãî óíèâåðñèòåòà äðóæáû íàðîäîâ) Ìèõàëåâ À.À. Ì692 Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è àíàëèòè åñêàÿ ãåîìåòðèÿ : ó åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóä. ó ðåæäåíèé âûñø. ïðîô. îáðàçîâàíèÿ / À.À.Ìèõàëåâ, È. Õ.Ñàáèòîâ. Ì. : Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», ñ. (Óíèâåðñèòåòñêèé ó åáíèê. Ñåð. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ ê õèìèè). ISBN Â ó åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è àïïàðàò àíàëèòè- åñêîé ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå, ëèíåéíîé àëãåáðû, à òàêæå òåîðèè ãðóïï è åå ïðèëîæåíèé. Äëÿ ñòóäåíòîâ õèìè åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé ó ðåæäåíèé âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ. ÓÄÊ 51(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73 Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà «Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì áåç ñîãëàñèÿ ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ ISBN Ìèõàëåâ À. À., Ñàáèòîâ È.Õ., 2013 Îáðàçîâàòåëüíî-èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2013 Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ»,

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентовхимиков и соответствует Государственному образовательному стандарту (ГОС 3). В пособии представлен материал по следующим темам: решение систем линейных уравнений; линейное пространство строк; метод координат; прямые на плоскости; векторная алгебра; кривые второго порядка; прямые и плоскости в пространстве; поверхности второго порядка; перестановки и подстановки; определители квадратных матриц; алгебра матриц; линейные пространства; линейные операторы на линейных пространствах; билинейные и квадратичные формы. Для студентов химических специальностей высших учебных заведений в серии «Высшая математика и ее приложения к химии» в «Издательском центре Академия» подготовлены также учебные пособия: 1) Гаврилов В. И., Макаров Ю. Н., Чирский В. Г. Математический анализ; 2) Математические методы решения химических задач / А. И. Козко, Е. С. Соболева, А. В. Субботин и др.; под ред А. И. Козко. При написании учебного пособия авторами использовался опыт их многолетнего преподавания курсов аналитической геометрии и линейной алгебры на химическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Главы 1 5 и (линейная алгебра) написаны А. А. Михалевым, главы 6 11 (аналитическая геометрия) И. Х. Сабитовым. Учебное пособие может быть полезно для студентов естественно-научных специальностей, а также для студентов тех гуманитарных специальностей, которым важно освоить аппарат линейной алгебры и аналитической геометрии (например, для экономических специальностей).

4 Г Л АВА 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В средней школе рассматривались линейные уравнения вида ax = b и системы линейных уравнений { ax + by = e, cx + dy = f, где a,b,c,d,e,f R действительные числа. В излагаемой теории систем линейных уравнений (СЛУ) с коэффициентами системы будем совершать операции сложения и умножения, а также деления (т. е. умножения на обратный элемент) на ненулевой элемент. Наша ближайшая цель исследовать системы m линейных уравнений общего вида от n переменных x 1,x 2,...,x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (1.1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, где m,n N, a ij,b i R, 1 i m, 1 j n. Таким образом, i-е уравнение, 1 i m, системы (1.1) записывается в виде a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (a ij коэффициент при переменной x j в i-м уравнении; b i свободный член i-го уравнения) или кратко a ij x j = b i. Прямоугольная (m n)-таблица коэффициентов a ij R (m строк, n столбцов) 4

5 a 11 a 12 a a 1n a A = 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn называется матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (1.1), а прямоугольная ( m (n + 1) ) -матрица (m строк, (n + 1) столбцов) a 11 a 12 a a 1n b 1 a à = (a ij b i ) = 21 a 22 a a 2n b a m1 a m2 a m3... a mn b m расширенной матрицей системы линейных уравнений (1.1) (уже полностью ее определяющей). Если m = n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравнений (и соответствующая матрица A = a a 1n ее коэффициентов при переменных) называется квадратной. a n1... a nn Совокупность всех (m n)-матриц с действительными коэффициентами обозначим через M m,n (R). При m = n принято следующее обозначение: M n (R) = M n,n (R). В квадратной матрице a a 1n a n1... a nn можно определить главную диагональ и побочную диагональ: a 11 a 1n a ; a 2,n a nn a n1 Если в системе линейных уравнений (1.1) свободные члены b 1 =... = b m = 0, то система называется однородной. 5

6 1.1. Совокупность решений системы линейных уравнений Определение 1.1. Решением системы линейных уравнений (1.1) называется такая строка (l 1,...,l n ) из чисел l i R, что при подстановке в i-е уравнение, 1 i m, l 1 вместо x 1, l 2 вместо x 2,...,l j вместо x j,...,l n вместо x n получаем b i (свободный член i-го уравнения): a ij l j = b i, 1 i m. Таким образом, строка (l 1,...,l n ) является решением, если значения l 1,...,l n соответственно для x 1,...,x n удовлетворяют всем m уравнениям системы (1.1). Через X обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений (1.1); через X мощность множества X. Замечание X R n (т. е. совокупность всех решений является подмножеством в множестве R n всех строк длины n элементов из R). 2. Возможно, что X = (т. е. система линейных уравнений не имеет решений), в этом случае система называется несовместной. 3. Если X (т. е. система имеет решение), то система (1.1) называется совместной. Например, однородная система линейных уравне- Т а б л и ц а Число решений 0 1 > 1 Система несовместная, Система определенная, Система неопределенная, X = X = 1 X > 1 { x 1 + x 2 = 0, x 1 + x 2 = 1 { Примеры x 1 + x 2 = 1, x 1 x 2 = 0 {( 1 X = 2, 1 2 { x 1 + x 2 = 1 )} x 2 = c R, x 1 = 1 c X = {(1 c, c) c R} X = X = 1 X = R > 1 Несовместная СЛУ Определенная СЛУ Неопределенная СЛУ

7 ний всегда имеет нулевое решение, (0,..., 0) X R n. Если система имеет только одно решение ( X = 1), то система называется определенной. Если система имеет более одного решения ( X > 1), то система называется неопределенной. Итак, для числа решений имеются следующие возможности, представленные в табл Основная задача исследования систем линейных уравнений (1.1) заключается в описании (нахождении) множества решений X R n (в частности, в определении, к какому типу принадлежит система (1.1): несовместная, определенная, неопределенная) Эквивалентные системы линейных уравнений Две системы линейных уравнений от одного набора x 1,...,x n неизвестных и соответственно из m и p уравнений a 11 x a 1n x n = b 1, I a m1 x a mn x n = b m, a 11 x a 1n x n = b 1, II a p1 x a pnx n = b p называются эквивалентными, если их множества решений X I и X II совпадают (т. е. подмножества X I и X II в R n совпадают, X I = X II ). Это означает, что подмножества X I и X II либо одновременно являются пустыми подмножествами, X I = = X II (обе системы I и II несовместны), либо одновременно непустыми X I, X II и X I = X II (каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I). Пример Любые две несовместные системы от неизвестных x 1,...,x n эквивалентны (в этом случае X 1 = = X 2 ). 2. Системы I { x 1 + x 2 = 1, x 1 x 2 = 0, эквивалентны, поскольку X I = II {( 1 2, 1 )} = X II. 2 { 2x 1 = 1, 2x 2 = 1 7

8 1.3. Метод Гаусса План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост: 1) применять к системе линейных уравнений последовательно некоторые преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей более «простой вид» (так называемую ступенчатую форму); 2) для «простого вида» системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы (в школе этот метод известен под названием «метод исключения переменных»). Отметим, что близкий к рассматриваемому метод «фан-чен» был известен уже древнекитайским математикам Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц) Определение 1.2 (элементарное преобразование I типа). При i k к i-му уравнению системы прибавляется k-е уравнение, умноженное на некоторое число c R (обозначение: (i) = (i) + c(k), т. е. лишь одно i-е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i) = (i) + c(k)). Новое i-е уравнение имеет вид (a i1 + ca k1 )x (a in + ca kn )x n = b i + cb k или кратко a ijx j = (a ij + ca kj )x j = b i + cb k = b i, т. е. в новом i-м уравнении a ij = a ij + ca kj, b i = b i + cb k. Определение 1.3 (элементарное преобразование II типа). При i k i-е и k-е уравнения меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i) = (k), (k) = (i); для коэффициентов это означает следующее: для j = 1,...,n 8 a ij = a kj, b i = b k; a kj = a ij, b k = b i).

9 Замечание 1.2. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование III типа: i-е уравнение умножается на ненулевое число c R, (i) = c(i). Предложение 1.1. Если от системы I перейти к системе II с помощью конечного числа элементарных преобразований I и II типов, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями I и II типов. Доказательство. В обозначениях определения 1.3: 1) если i k и (i) = (i) + c(k), то (k) = (k), (i) = (i) c(k) = = (i) c(k) ; 2) если i k и (i) = (k), (k) = (i), то (i) = (k), (k) = (i). Замечание 1.3. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования III типа. Если 0 c R и (i) = c(i), то 0 c 1 R и (i) = c 1 (i). Теорема 1.1. После последовательного применения к системе линейных уравнений конечного числа элементарных преобразований I или II типа получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной. Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II с помощью одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение X I X II (поскольку в силу доказанного предложения 1.1 от системы II можно вернуться к системе I, будем иметь включение X II X I, т. е. будет доказано равенство X I = X II ). Случай 1 (элементарное преобразование I типа): (i) = (i) + + c(k), i k. Пусть l = (l 1,...,l n ) X I решение системы I. Проверим, что оно удовлетворяет новому i-му уравнению: (a ij + ca kj )l j = b i + cb k. Действительно, (a ij + ca kj )l j = a ij l j + c a kj l j = b i + cb k. Случай 2 (элементарное преобразование II типа): (i) = (k), (k) = (i), i k. Утверждение очевидно. Замечание 1.4. Утверждение верно и для элементарного преобразования III типа: (i) = c(i), c 0. Действительно, подставив решение (l 1,..., l n ) X I в новое i-е уравнение 9

10 получим ca ij x j = cb i, ( n ) ca ij l j = c a ij l j = cb i Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду Определение 1.4. Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, которая определяется следующими условиями: 1) все нулевые строки находятся в матрице ниже ненулевых строк; 2) если (0,...,0,a ik,...,a in ), где a ik 0 первый ненулевой элемент в i-й строке (называемый лидером i-й строки), то a rs = 0 для всех i < r m, 1 s k (элементы a rs = 0 для всех мест (r, s), расположенных в строчках, ниже i-й, и в столбцах s = 1,2,...,k). Другими словами, лидер строки с б ольшим номером стоит строго правее. Определение 1.5. Ненулевая матрица A M m,n (R) имеет главный ступенчатый вид, если матрица A имеет ступенчатый вид, не содержит нулевых строк, все лидеры a 1t1,a 2t2,..., a mtm ненулевых строк (1 t 1 <... < t m n) равны 1 и для каждого j, 1 j m, в t j -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент это a jtj = 1. Пример Матрица имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид. 2. Матрица ( ) имеет главный ступенчатый вид. 10

11 3. Нулевая матрица имеет ступенчатый вид. 4. Матрица не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк). 5. Матрицы , не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки). Теорема 1.2 (алгоритм Гаусса). Всякую систему линейных уравнений конечным числом элементарных преобразований I и II типов можно привести к ступенчатому виду (т. е. к системе линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является ступенчатой матрицей). Доказательство. Можно считать, что не все коэффициенты a ij равны нулю и, более того, что при x 1 (т. е. в первом столбце матрицы коэффициентов) есть ненулевой элемент a j1 0 (в противном случае можно перейти к системе от переменных x 2,...,x n ). Если a 11 = 0, то, переставляя первое и j-е уравнения (строки расширенной матрицы) (т. е. совершая преобразование II типа), приходим к случаю, когда a Для i = 2,3,...,m последовательно проведем преобразования I типа (i) = (i) a i1 (1) a 11 ( здесь c = a ) i1. Тогда a 11 a i1 = a i1 a i1 a 11 a 11 = 0, i 2. Рассмотрим 2-е,..., m-е уравнения. Если среди коэффициентов есть ненулевые (пусть k 2 первый столбец с ненулевым элементом a lk, 2 l m, среди a 2k,...,a mk ), повторим процедуру: переставим второе уравнение (строку) с l-м уравнением (строкой) и обеспечим нули ниже коэффициента a lk. 11

12 Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициенты при переменных в оставшихся уравнениях будут равны нулю. Итак, окончательно получившаяся система линейных уравнений будет иметь ступенчатый вид (т. е. матрица коэффициентов при переменных x 1,x 2,...,x n будет иметь ступенчатый вид): ā 11 x ā 1n x n = b 1, 0 x ā 2k x k ā 2n x n = b 2, x ā sl x l ā sn x n = b s, x ā rt x t ā rn x n = b r, 0 x x n = b r+1, x x n = b m. (1.2) Замечание Важный инвариант число r уравнений в ступенчатом виде с ненулевыми коэффициентами при переменных, т. е. число «ступенек», r m. Возможен случай r = m (т. е. блок уравнений с нулевыми коэффициентами при x 1,..., x n отсутствует). Независимость числа r от способа приведения к ступенчатому виду будет установлена далее. 2. Можно было бы продолжить процесс приведения к ступенчатому виду для расширенной матрицы системы линейных уравнений. Следствие 1.1. Всякая система линейных уравнений эквивалентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений. Следствие 1.2. Каждую матрицу элементарными преобразованиями строк I и II типов можно привести к ступенчатому виду Исследование ступенчатых систем линейных уравнений Лемма 1.1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна. Доказательство. Решением системы является нулевая строка (0,...,0) R n. 12

13 Лемма 1.2. Если система линейных уравнений содержит уравнение 0 x x n = b 0 (назовем его «экзотическим» уравнением), то система несовместна. Доказательство. Для любой строки (k 1,...,k n ) R n имеем 0 k k n = 0 b. Замечание 1.6. Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений нулевая (все коэффициенты равны нулю), то ее совместность равносильна тому, что все свободные члены нулевые (при этом X = R n ). По ненулевой ступенчатой матрице переменные x 1,...,x n разобьем на две группы: главные x i1,x i2,...,x ir, «проходящие» через уголки ступенек (их число r), и свободные все остальные n r переменных (их может и не быть совсем при r = n). Лемма 1.3. Если в ступенчатой системе линейных уравнений нет «экзотических» уравнений (т. е. если r = m или r < m и br+1 =... = b m = 0), то для любого набора значений для свободных неизвестных существует (и единственный) набор значений для главных неизвестных и эти наборы дают в совокупности решение системы линейных уравнений. Доказательство. Так как значения для свободных неизвестных заданы, то, рассматривая r-е уравнение и перенося в правую часть уравнения члены со значениями свободных неизвестных, расположенных правее места (r,t) (если они есть), получаем уравнение (см. (1.2)) ā rt x t = c r, c r R, 0 ā rt R, имеющее единственное решение для главного неизвестного x t = c r (ā rt ) 1. Для (r 1)-го уравнения повторяем тот же прием и однозначно определяем значение главного неизвестного в «уголке» (r 1)-го уравнения. Продолжая процесс, доходим до первого уравнения и определяем однозначно значение для первой главной переменной x i1 (в (1.2) i 1 = 1). Тем самым заданные значения свободных неизвестных оказались однозначно дополнены найденными значениями главных до решения системы линейных уравнений. 13

14 Теорема 1.3 (критерий совместности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду). 1. Система линейных уравнений (a ij b i ) из m уравнений с n неизвестными x 1,...,x n совместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений (т. е. или r = m, или r < m и b r+1 =... = b m = 0). 2. Для совместной системы свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, при этом главные неизвестные однозначно определяются (при заданных значениях свободных неизвестных), тем самым мы получаем все решения системы линейных уравнений. Доказательство. Отметим, что исходная система и ее ступенчатая системы эквивалентны. 1. а) Ясно, что совместная система не может содержать «экзотическое» уравнение (см. лемму 1.2). Таким образом, при первом же появлении «экзотического» уравнения в методе Гаусса процесс надо остановить: система несовместна. б) Если в ступенчатом виде системы нет «экзотических» уравнений, то утверждение следует из леммы Алгоритм нахождения всех решений в случае отсутствия «экзотических» уравнений рассмотрен в лемме 1.3. Следствие 1.3. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде найдется «экзотическое» уравнение. Теорема 1.4 (критерий определенности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду). Система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде: 1) нет «экзотических» уравнений (критерий совместности); 2) r = n (т. е. все неизвестные главные, другим словами отсутствуют свободные неизвестные). Доказательство. 1. При условии совместности, если r < n, т. е. имеется хотя бы одно свободное неизвестное, то ему можно придать как минимум два различных значения из R. После дополнения значений свободных переменных значениями главных переменных до решения системы мы получаем заведомо два различных решения системы, т. е. X > 1, система является неопределенной. 2. Если же при условии совместности имеем r = n, т. е. нет свободных неизвестных, то главные неизвестные определяются 14

15 в методе Гаусса однозначно (через свободные члены системы), таким образом, система линейных уравнений является определенной. Упражнение 1.1. Процесс приведения к ступенчатому виду можно продолжить на расширенную матрицу системы (a ij b i ). Покажите, что система совместна тогда и только тогда, когда ступенчатый вид расширенной матрицы системы (a ij b i ) содержит столько же ненулевых строк, сколько и ступенчатый вид матрицы (a ij ) (все лидеры строк ступенчатого вида расширенной матрицы находятся среди столбцов матрицы коэффициентов (a ij )). Замечание 1.7. Любая ненулевая матрица A M m,n (R) с помощью элементарных преобразований строк I, II и III типов может быть приведена к главному ступенчатому виду. Действительно, сначала приведем матрицу A к ступенчатому виду. С помощью элементарных преобразований III типа сделаем все лидеры ненулевых строк a 1l1, a 2l2,...,a rlr, 1 l 1 < l 2 <... < l r n, равными единице. После этого, применяя элементарные преобразования строк I типа, добьемся того, что в l r -м столбце единственный ненулевой элемент это a rlr = 1, затем аналогично добьемся с использованием элементарных преобразований строк I типа того, что единственный ненулевой элемент в l r 1 -м столбце это a r 1,lr 1 = 1,..., в l 1 -м столбце это a 1l1 = 1 (эта процедура часто называется обратным ходом метода Гаусса). Таким образом, после удаления нулевых строк мы приведем матрицу A к главному ступенчатому виду. Можно показать, что главный ступенчатый вид матрицы определен однозначно. Если совместная система линейных уравнений (в частности, однородная система) приведена к главному ступенчатому виду, то мы сразу (без последовательной подстановки уже полученных выражений в предыдущие уравнения) получаем единственное выражение главных неизвестных через свободные: l-е уравнение (1 l r) главного ступенчатого вида имеет вид x jl + a lsx s = bl R, s=j l +1 s =j l+1,...,j r и поэтому x jl = b l a lsx s (1.3) s=j l +1 s =j l+1,...,j r 15

16 (для однородной системы b l = 0), в правой части присутствуют лишь свободные переменные. Таким образом, главный ступенчатый вид однородной системы равносилен (с заменой знака) выражению главных неизвестных через свободные (по этому ступенчатому виду). В частном случае, при r = n, главный ступенчатый вид определенной системы линейных уравнений имеет форму 1 0 b b n где ( b 1,..., b n ) единственное решение., 1.7. Некоторые следствия из метода Гаусса Следствие 1.4. Число решений системы линейных уравнений с действительными коэффициентами может быть равно 0 (несовместная система), 1 (определенная система) и (неопределенная система). Следствие 1.5 (квадратные системы линейных уравнений). 1. Пусть m = n (т. е. число уравнений равно числу неизвестных). Тогда следующие условия равносильны: а) система определенная (т. е. имеет единственное решение); б) r = n в ступенчатом виде (нет свободных неизвестных); в) соответствующая однородная система имеет только одно решение (0,...,0). 2. Альтернатива Фредгольма: при m = n система линейных уравнений либо определенная, либо соответствующая ей однородная система имеет ненулевое решение. Доказательство. 1. Если в ступенчатом виде r = n, то, учитывая, что m = n, получаем r = n = m. Следовательно, нет «экзотических» уравнений, и поэтому система совместна. Из критерия определенности с этим замечанием получаем, что утверждения а) и б) эквивалентны и что для однородной системы эквивалентны утверждения б) и в). 2. С учетом п. 1 альтернатива Фредгольма равносильна для r n следующей альтернативе: либо r = n, либо r < n. 16

17 1.8. Примеры применения метода Гаусса В рассматриваемых примерах приведение матриц к ступенчатому виду проводится по схеме, описанной при доказательстве теоремы 1.2. Пример 1.3. Решить систему x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 1, x 1 2x 2 + x 3 + 5x 4 = 5. Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду: В ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, следовательно, система совместна. Главными неизвестными являются x 1, x 4, свободными x 2, x 3. Если x 2 = a, x 3 = b, то x 4 = 1, x 1 = 1 + 2a b 1 = 2a b. Таким образом, множество решений имеет вид X = {(2a b,a,b,1) a,b R}. Пример 1.4. Решить систему { 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1, 0 x 1 + x 2 x 3 = 0. Решение. После приведения к ступенчатому виду имеем: ( ) ( ) Система совместна, главные неизвестные x 2, x 3, свободное неизвестное x 1. Ясно, что x 2 = x 3 =

18 Если x 1 = a, то множество решений имеет вид {( X = a, 1 2, 1 } a R. 2) Пример 1.5. Решить систему 0 x 1 + x 2 8x 3 = 17, x x 2 + x 3 = 10, x 1 x x 3 = 0. Решение. Приведем матрицу коэффициентов при неизвестных к ступенчатому виду: Система совместна (нет «экзотических уравнений»), все неизвестные x 1, x 2, x 3 главные: x 3 = 3, x 2 = 7, x 1 = 7. Система определенная, имеет единственное решение (7, 7, 3). Пример 1.6. Решить систему x 1 + 2x 2 3x 3 = 2, 3x 1 x 2 + 2x 3 = 7, 5x 1 + 3x 2 4x 3 = 2. Решение. Приведем матрицу коэффициентов при неизвестных к ступенчатому виду: Возникло «экзотическое уравнение». Значит, система несовместна.

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений Глава 7 Матрицы и системы линейных уравнений 7 Матричные операции Пусть K произвольное кольцо Таблица a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn в которой a ij K i =,2,,m; j =,2,,n, называется матрицей

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии О.В. Баранова Высшая математика Элементы алгебры и геометрии Часть 1 Ижевск 2014 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Математический факультет О.В. Баранова

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (продолжение)

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (продолжение) 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (продолжение) Элементарные преобразования строк матриц: (1) a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1,... (2) a m1 x 1 + +a mn x n = b m I типа: Переставить местами

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса.

Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса. Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая школа экономики) Лекции по линейной алгебре Владимир Черняк, Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса. Читать под

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Краткое содержание курса Алгебра (1-й семестр, 3-й поток) (лектор Марков В.Т.)

Краткое содержание курса Алгебра (1-й семестр, 3-й поток) (лектор Марков В.Т.) Версия от 16 января 2010 г. Краткое содержание курса Алгебра (1-й семестр, 3-й поток) (лектор Марков В.Т.) Предисловие Этот текст не претендует ни на полноту изложения, ни на литературные достоинства основной

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Методические рекомендации (материалы) преподавателям

Методические рекомендации (материалы) преподавателям Методические рекомендации (материалы) преподавателям Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим результатам должны сопутствовать

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее