ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски"

Транскрипт

1 Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление криволинейного интеграла первого рода 4 Приложения криволинейного интеграла первого рода Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Задача о массе материальной линии Пусть вдоль некоторой гладкой кривой распределена масса с переменной плотностью ρ ρ( x; Требуется определить массу m дуги Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Обозначим m ( ξ ;η ) m ρ () λ max l Сумма () тем точнее чем меньше длина каждой части l l l Поэтому точным значением массы всей дуги можно считать m lm λ ρ ( ξ ; η ) () Задача о площади цилиндрической поверхности Пусть в плоскости Oxy задана некоторая гладкая кривая которая является областью определения некоторой функции z f ( x; причем M ( x; f ( M ) точки ( x y; f ( M )) ; в совокупности представляют собой некоторую пространственную кривую Требуется найти площадь цилиндрической поверхности для которой образующая направляющие параллельны оси Oz ограниченной сверху z f ( x; прямыми снизу кривой с боков Рис Рис Будем считать что на каждой частичной дуге плотность постоянна и равна ρ ( ξ ; η ) где C ( ξ ; η ) произвольная точка частичной области масса части l приблизительно равна m ρ ( ξ; η ) а масса всей дуги Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Из каждой точки разбиения M M M проведем перпендикуляры к плоскости Oxy высотой f ( M ) В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на полосок На каждой частичной дуге l возьмем точку C ( ξ ; η ) Каждую полоску заменим прямоугольником у которого основание f ( η ) l ξ ; высота площадь каждой полоски приблизительно будет равна

2 ( η ) S f ξ ; а площадь всей цилиндрической поверхности Обозначим S S 4 ( ;η ) f ξ () λ max l Сумма () тем точнее чем меньше длина каждой части l l l Поэтому точным значением площади всей цилиндрической поверхности можно считать S lm λ f ( ξ ; η ) (4) Определение и свойства криволинейного интеграла -го рода Напоминание: Кривая заданная уравнениями x x() y y() где t называется гладкой если функции ( t) x и y ( t) непрерывны и имеют непрерывные частные производные x' ( t) и y' () не обращающиеся одновременно в нуль x ' ( t) y' ( t) Непрерывная кривая составленная из конечного числа гладких кривых называется кусочно-гладкой Рассмотрим на плоскости Oxy гладкую или кусочно-гладкую определена и ограничена на кривой Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Выберем на каждой частичной дуге l точку C ( ξ ; η ) кривую и предположим что функция z f ( x; Рис Определение Сумма S 5 ( ;η ;) f ξ (5) называется интегральной суммой для функции ( x f ; определенной на дуге Обозначим λ max l Определение Криволинейным интегралом первого рода называется предел (если он существует) интегральной суммы (5) при λ : I lm Обозначается: ( x λ f ; dl f ( ξ ; η ;) Подынтегральная функция ( x f ; называется интегрируемой вдоль кривой сама кривая контуром интегрирования A и B начальной и конечной точками интегрирования dl дифференциал дуги Теорема (существование криволинейного интеграла - го рода) Если функция ( x гладкой кривой то криволинейный интеграл ( x f ; непрерывна в каждой точке f ; dl существует и его величина не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точек в них Без доказательства Криволинейный интеграла -го рода обладает следующими свойствами dl L где L длина дуги (линейность) Если и произвольные постоянные числа функции f ( x; и ( x функция f ( x; g( x; g ; интегрируемы на дуге то тоже интегрируема на дуге и справедливо равенство

3 ( f ( x; g( x; ) dl f ( x; dl g( x; dl (аддитивность) Если дуга состоит из двух частей AC и CB AC CB имеющих одну общую точку на каждой из которых f ( x; интегрируема то функция f ( x; также интегрируема на дуге и справедлива формула f ( x; dl f ( x; dl f ( x; dl AC 4 (оценка интеграла) Если на дуге имеет место нера- f x; y то венство ( ) M CB ( x dl M L f ; где L длина дуги 5 (монотонность) Если для точек кривой выполнено не- f x; y g x; y равенство ( ) ( ) f ( x dl g( x; ; dl 6 Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода дуги те f ( x; dl f ( x; dl Вычисление криволинейного интеграла первого рода Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла Параметрическое представление кривой интегрирования Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями x x() y y() t [ ] где x () t и y () t непрерывно дифференцированные функции параметра причём точке A соответствует t точке B значение t BA отсчитываемая от начала кривой является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и Известно что переменная длина дуги l l( t) dl dx dy dt dt dt При этом дифференциал длины дуги равен: ( x' () t ) ( y' ( t) ) dt dl криволинейный интеграл вычисляется по формуле: ( x dl f ( x() t ; y() t ) x' () t y' () t f ; dt Пример Вычислить интеграл y dl где ( x; x acost y as t t Решение Подставляя вместо x и y их параметрические представления имеем ' ' y a s x as y a cost ' ' dl x y a s t a cos t a dt a y dl a s t a dt a s t ( cos t) dt t a 4 Полярное представление кривой интегрирования Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением r r ϕ ϕ ( ) и r ( ϕ) имеет непрерывную производную на [ ] ; Декартовы и полярные координаты связаны между собой соотношениями 6 7

4 x r y r ( ϕ) cosϕ ( ϕ) sϕ ϕ [ ; ] 8 Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления дифференциала дуги можно применить формулу dl ( x ) ( y ) dt t t Найдем производные от x и y по параметру ϕ : f ; dl и имеет место равенство x ϕ r cosϕ rsϕ yϕ r sϕ rcosϕ x y r r ϕ ϕ Отсюда ( ) ( ) ( ) Следовательно dl r ( r ) существуют интеграл ( x ( x dl f ( r( ϕ) cosϕ; r( ϕ) sϕ) r ( ϕ) r' ( ϕ) f ; Пример Вычислить интеграл ( x dl где ( x; x r cosϕ y r sϕ r s ϕ ϕ Решение Подставляя вместо x и y их представления в полярных координатах имеем dl cos ϕ s ϕ s ϕ s ϕ r r ( x dl ( r sϕ r cosϕ) ( sϕ cosϕ) Явное представление кривой интегрирования Пусть кривая задана уравнением y y x a x b ( ) a; Рассматривая переменную x как параметр дифференциал дуги примет вид dl y' ( x)dx существует интеграл и y ( x) имеет непрерывную производную на отрезке [ b] ( x f ; dl и справедливо равенство b ( x dl f ( x; y( x) ) y' ( x) f ; dx Пример Вычислить интеграл ydl где a {( x; y x от точки O( ;) до точки M ( ;) } Решение Имеем y x y' dl dx x x ydl x dx x dx x x ( 5 5 ) 9 ( ) Замечание Аналогично определяется криволинейный интеграл -го рода для функции -х переменных по пространственной дуге : ( x y z) f ; ; dl Для вычисления криволинейного интеграла -го рода от функции u f ( x; y; z) по пространственной кривой заданной параметрическими уравнениями x x( t) y y( t) z z() t справедлива формула: [ ] ( x y; z) dl f ( x() t ; y() t ; z() t ) x' () t y' () t z' () t f ; dt

5 4 Приложения криволинейного интеграла первого рода Длина кривой Длина L кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле L dl Площадь цилиндрической поверхности Пусть направляющей цилиндрической поверхности служит кривая лежащая в плоскости Oxy а образующая параллельна оси Oz площадь поверхности задаваемой функцией z f ( x; находится по формуле ( x S f ; dl Масса материальной кривой Масса материальной кривой переменной плотности ρ ρ( x; определяется формулой ( x m ρ ; dl 4 Статические моменты Статические моменты материальной кривой относительно осей Ox и Oy определяются по формулам M y ; x ρ ( x dl M x ( x; y ρ dl 5 Координаты центра тяжести Координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам M y M x x y m m 6 Моменты инерции Для материальной кривой моменты инерции относительно осей Ox и Oy определяются по формулам I y ; x ρ ( x dl I x ( x; y ) y ρ dl а момент инерции относительно начала координат O ( ;) ( x y ) ( x I ρ ; dl Вопросы для самоконтроля Сформулируйте задачу о массе плоской кривой? Сформулируйте задачу о площади цилиндрической поверхности? Какая кривая называется гладкой и кусочно-гладкой? 4 Что называется интегральной суммой для функции f ( x; определенной на дуге? 5 Дайте определение криволинейного интеграла первого рода 6 Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода Что общего и какие различия между свойствами криволинейного интеграла -го рода и определенного интеграла? 7 Как вычисляется криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного в случае задания плоской кривой ) в параметрическом виде; ) в полярных координатах; ) в явном виде? 8 Какие геометрические и физические приложения криволинейного интеграла первого рода?


Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 Занятие 8 Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 8.1 Вычисление площадей плоских фигур 1. Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геометрического смысла определенного интеграла следует,

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги . Криволинейные интегралы Пусть вектор-функция F = P(, y) + Q(, y)j определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги A A, A A,..., An B, A = A (,y ), A = A(,y

Подробнее

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода Криволинейные интегралы Криволинейный интеграл первого рода 1 z f ( x, y) Если функция непрерывна вдоль гладкой кривой, заданной параметрически : x x(t), y y(t), t, то криволинейный интеграл первого рода

Подробнее

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы Глава 3 Криволинейные интегралы В данной главе мы подробно обсудим понятия криволинейных интегралов, берущихся вдоль кривых в пространстве. К подобным интегралам приводит, например, необходимость вычислять

Подробнее

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции.

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции. 327 Линия (L называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения. Для гладкой линии (L в качестве ориентирующего вектора bp может быть выбран единичный вектор касательной τ ( P, направленный

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ГЛОССАРИЙ Методические

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции 277 Δ ( 2 3) S f P q f x, x, x Δq. Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции f ( x, x2, x3) по площади поверхности (Q) или поверхностным интегралом первого рода и обозначают

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Криволинейный интеграл второго рода Формула Грина Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями x x(, y y(, α t β, и функции P(, Q( являются непрерывными на, то P( dx + Q(

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Криволинейные интегралы 1-го типа

Криволинейные интегралы 1-го типа Глава 1 Криволинейные интегралы 1-го типа 1.1 Необходимые сведения из теории Криволинейные интегралы 1-го типа возникают во многих прикладных задачах. Например, при нахождении масс материальных кривых

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

интегралы» Методические указания по теме «Криволинейные и поверхностные

интегралы» Методические указания по теме «Криволинейные и поверхностные Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1 Кратные интегралы. Определение двойного интеграла Пусть дана на плоскости область, ограниченная замкнутой линией L, не имеющей самопересечений, и непрерывная в функция z = fx, y). Рассмотрим измельчение

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета.

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Подробнее

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2)

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2) Лекция 4 Комплексный интеграл В этой части курса нам потребуется следующее утверждение Теорема 6 (формула Грина) Пусть - ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений и пусть Ω ограниченная

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: 3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КУЛЬТУРЫ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КУЛЬТУРЫ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КУЛЬТУРЫ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. ЛЕЛЕВКИНА МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И КОНТРОЛЬНЫХ

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Д.П. ЮЩЕНКО, О.В. ЯКУБОВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПРАКТИЧЕСКОЕ

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy.

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy. Лекция Прикладная математика Геометрические характеристики плоских сечений. В сопротивлении материалов при изучении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций рассматривается равновесие

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр)

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Московский физико-технический институт РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Москва 2002 Составитель Л.Д. Кудрявцев УДК 517 Рекомендуемые вопросы по курсу математического

Подробнее

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина С А Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина На лекции мы изучали криволинейный интеграл -го рода интеграл f ds от скалярной функции f по данной кривой На этой

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

3.1 Необходимые сведения из теории

3.1 Необходимые сведения из теории Глава 3 Формула Грина 3.1 Необходимые сведения из теории Формула Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру, расположенному в плоскости (x, y), с двойным интегралом по плоской области,

Подробнее

Галкин С.В. Кратные, криволинейные интегралы, теория поля, числовые и функциональные ряды. (конспект лекций для студентов МГТУ им. Н. Э.

Галкин С.В. Кратные, криволинейные интегралы, теория поля, числовые и функциональные ряды. (конспект лекций для студентов МГТУ им. Н. Э. Галкин СВ Кратные криволинейные интегралы теория поля числовые и функциональные ряды конспект лекций для студентов МГТУ им Н Э Баумана Москва Часть Кратные и криволинейные интегралы теория поля Лекция

Подробнее

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Криволинейные интегралы Учебное пособие Москва МГТУ им Баумана 8 СКСоболев Криволинейные интегралы Введение Студентам второго

Подробнее

u x y z называется векторная функция

u x y z называется векторная функция x z ) Скалярное поле определено функцией e Построить поверхности уровня для, e, 4. Определение. Градиентом скалярного поля,,. Найти градиент поля в точке ; ; u x z называется векторная функция u u u u

Подробнее

[F 1 (x i, y i ) x i + F 2 (x i, y i ) y i]. A i. A = lim (2) [P(x i, y i ) x i + Q(x i, y i ) y i ] max x i 0 max y i 0. i=1

[F 1 (x i, y i ) x i + F 2 (x i, y i ) y i]. A i. A = lim (2) [P(x i, y i ) x i + Q(x i, y i ) y i ] max x i 0 max y i 0. i=1 Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы второго рода Рассмотрим задачу вычисления работы силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути. Напомним, что если в каждой точке про- странства

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

Лекция 4. Потенциальные векторные поля

Лекция 4. Потенциальные векторные поля С А Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Потенциальные векторные поля Понятие потенциальности Пусть f скалярная функция двух переменных Вспомним с лекции 5 (модуль «Функции нескольких переменных»), что

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Бондаренко ВА, Ханларов СТ Ставропольский государственный аграрный университет Ставрополь, Россия APPLICATION OF DEFINITE INTEGRAL

Подробнее

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 7 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть { r = ( uv, ) ( uv, ) } непрерывно дифференцируемая поверхность, а квадрируемая область Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты

Подробнее

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» Составители: ст преп НЕ Трубникова, ст преп АЯ Мисурагина, ст преп ТВ Никонова, ст преп НС Статковский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные

Подробнее

19. Тройной интеграл

19. Тройной интеграл 19. Тройной интеграл 19.1. Пусть f непрерывная функция трех переменных (x, y, z), заданная на ограниченной замкнутой области R 3. Тройной интеграл создается аналогично двойному: берут разбиение области

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания и контрольные задания Рязань 5 УДК

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2 13-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение Д 41 Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: Тройные интегралы A1 x a + y b + z c 1, x a + y b z c

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА Понятие о циркуляции скорости В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый

Подробнее