ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски"

Транскрипт

1 Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление криволинейного интеграла первого рода 4 Приложения криволинейного интеграла первого рода Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Задача о массе материальной линии Пусть вдоль некоторой гладкой кривой распределена масса с переменной плотностью ρ ρ( x; Требуется определить массу m дуги Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Обозначим m ( ξ ;η ) m ρ () λ max l Сумма () тем точнее чем меньше длина каждой части l l l Поэтому точным значением массы всей дуги можно считать m lm λ ρ ( ξ ; η ) () Задача о площади цилиндрической поверхности Пусть в плоскости Oxy задана некоторая гладкая кривая которая является областью определения некоторой функции z f ( x; причем M ( x; f ( M ) точки ( x y; f ( M )) ; в совокупности представляют собой некоторую пространственную кривую Требуется найти площадь цилиндрической поверхности для которой образующая направляющие параллельны оси Oz ограниченной сверху z f ( x; прямыми снизу кривой с боков Рис Рис Будем считать что на каждой частичной дуге плотность постоянна и равна ρ ( ξ ; η ) где C ( ξ ; η ) произвольная точка частичной области масса части l приблизительно равна m ρ ( ξ; η ) а масса всей дуги Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Из каждой точки разбиения M M M проведем перпендикуляры к плоскости Oxy высотой f ( M ) В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на полосок На каждой частичной дуге l возьмем точку C ( ξ ; η ) Каждую полоску заменим прямоугольником у которого основание f ( η ) l ξ ; высота площадь каждой полоски приблизительно будет равна

2 ( η ) S f ξ ; а площадь всей цилиндрической поверхности Обозначим S S 4 ( ;η ) f ξ () λ max l Сумма () тем точнее чем меньше длина каждой части l l l Поэтому точным значением площади всей цилиндрической поверхности можно считать S lm λ f ( ξ ; η ) (4) Определение и свойства криволинейного интеграла -го рода Напоминание: Кривая заданная уравнениями x x() y y() где t называется гладкой если функции ( t) x и y ( t) непрерывны и имеют непрерывные частные производные x' ( t) и y' () не обращающиеся одновременно в нуль x ' ( t) y' ( t) Непрерывная кривая составленная из конечного числа гладких кривых называется кусочно-гладкой Рассмотрим на плоскости Oxy гладкую или кусочно-гладкую определена и ограничена на кривой Разобьем дугу точками A M < M < < M B на частичных дуг l l l длины которых равны l l l Выберем на каждой частичной дуге l точку C ( ξ ; η ) кривую и предположим что функция z f ( x; Рис Определение Сумма S 5 ( ;η ;) f ξ (5) называется интегральной суммой для функции ( x f ; определенной на дуге Обозначим λ max l Определение Криволинейным интегралом первого рода называется предел (если он существует) интегральной суммы (5) при λ : I lm Обозначается: ( x λ f ; dl f ( ξ ; η ;) Подынтегральная функция ( x f ; называется интегрируемой вдоль кривой сама кривая контуром интегрирования A и B начальной и конечной точками интегрирования dl дифференциал дуги Теорема (существование криволинейного интеграла - го рода) Если функция ( x гладкой кривой то криволинейный интеграл ( x f ; непрерывна в каждой точке f ; dl существует и его величина не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точек в них Без доказательства Криволинейный интеграла -го рода обладает следующими свойствами dl L где L длина дуги (линейность) Если и произвольные постоянные числа функции f ( x; и ( x функция f ( x; g( x; g ; интегрируемы на дуге то тоже интегрируема на дуге и справедливо равенство

3 ( f ( x; g( x; ) dl f ( x; dl g( x; dl (аддитивность) Если дуга состоит из двух частей AC и CB AC CB имеющих одну общую точку на каждой из которых f ( x; интегрируема то функция f ( x; также интегрируема на дуге и справедлива формула f ( x; dl f ( x; dl f ( x; dl AC 4 (оценка интеграла) Если на дуге имеет место нера- f x; y то венство ( ) M CB ( x dl M L f ; где L длина дуги 5 (монотонность) Если для точек кривой выполнено не- f x; y g x; y равенство ( ) ( ) f ( x dl g( x; ; dl 6 Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода дуги те f ( x; dl f ( x; dl Вычисление криволинейного интеграла первого рода Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла Параметрическое представление кривой интегрирования Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями x x() y y() t [ ] где x () t и y () t непрерывно дифференцированные функции параметра причём точке A соответствует t точке B значение t BA отсчитываемая от начала кривой является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и Известно что переменная длина дуги l l( t) dl dx dy dt dt dt При этом дифференциал длины дуги равен: ( x' () t ) ( y' ( t) ) dt dl криволинейный интеграл вычисляется по формуле: ( x dl f ( x() t ; y() t ) x' () t y' () t f ; dt Пример Вычислить интеграл y dl где ( x; x acost y as t t Решение Подставляя вместо x и y их параметрические представления имеем ' ' y a s x as y a cost ' ' dl x y a s t a cos t a dt a y dl a s t a dt a s t ( cos t) dt t a 4 Полярное представление кривой интегрирования Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением r r ϕ ϕ ( ) и r ( ϕ) имеет непрерывную производную на [ ] ; Декартовы и полярные координаты связаны между собой соотношениями 6 7

4 x r y r ( ϕ) cosϕ ( ϕ) sϕ ϕ [ ; ] 8 Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления дифференциала дуги можно применить формулу dl ( x ) ( y ) dt t t Найдем производные от x и y по параметру ϕ : f ; dl и имеет место равенство x ϕ r cosϕ rsϕ yϕ r sϕ rcosϕ x y r r ϕ ϕ Отсюда ( ) ( ) ( ) Следовательно dl r ( r ) существуют интеграл ( x ( x dl f ( r( ϕ) cosϕ; r( ϕ) sϕ) r ( ϕ) r' ( ϕ) f ; Пример Вычислить интеграл ( x dl где ( x; x r cosϕ y r sϕ r s ϕ ϕ Решение Подставляя вместо x и y их представления в полярных координатах имеем dl cos ϕ s ϕ s ϕ s ϕ r r ( x dl ( r sϕ r cosϕ) ( sϕ cosϕ) Явное представление кривой интегрирования Пусть кривая задана уравнением y y x a x b ( ) a; Рассматривая переменную x как параметр дифференциал дуги примет вид dl y' ( x)dx существует интеграл и y ( x) имеет непрерывную производную на отрезке [ b] ( x f ; dl и справедливо равенство b ( x dl f ( x; y( x) ) y' ( x) f ; dx Пример Вычислить интеграл ydl где a {( x; y x от точки O( ;) до точки M ( ;) } Решение Имеем y x y' dl dx x x ydl x dx x dx x x ( 5 5 ) 9 ( ) Замечание Аналогично определяется криволинейный интеграл -го рода для функции -х переменных по пространственной дуге : ( x y z) f ; ; dl Для вычисления криволинейного интеграла -го рода от функции u f ( x; y; z) по пространственной кривой заданной параметрическими уравнениями x x( t) y y( t) z z() t справедлива формула: [ ] ( x y; z) dl f ( x() t ; y() t ; z() t ) x' () t y' () t z' () t f ; dt

5 4 Приложения криволинейного интеграла первого рода Длина кривой Длина L кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле L dl Площадь цилиндрической поверхности Пусть направляющей цилиндрической поверхности служит кривая лежащая в плоскости Oxy а образующая параллельна оси Oz площадь поверхности задаваемой функцией z f ( x; находится по формуле ( x S f ; dl Масса материальной кривой Масса материальной кривой переменной плотности ρ ρ( x; определяется формулой ( x m ρ ; dl 4 Статические моменты Статические моменты материальной кривой относительно осей Ox и Oy определяются по формулам M y ; x ρ ( x dl M x ( x; y ρ dl 5 Координаты центра тяжести Координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам M y M x x y m m 6 Моменты инерции Для материальной кривой моменты инерции относительно осей Ox и Oy определяются по формулам I y ; x ρ ( x dl I x ( x; y ) y ρ dl а момент инерции относительно начала координат O ( ;) ( x y ) ( x I ρ ; dl Вопросы для самоконтроля Сформулируйте задачу о массе плоской кривой? Сформулируйте задачу о площади цилиндрической поверхности? Какая кривая называется гладкой и кусочно-гладкой? 4 Что называется интегральной суммой для функции f ( x; определенной на дуге? 5 Дайте определение криволинейного интеграла первого рода 6 Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода Что общего и какие различия между свойствами криволинейного интеграла -го рода и определенного интеграла? 7 Как вычисляется криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного в случае задания плоской кривой ) в параметрическом виде; ) в полярных координатах; ) в явном виде? 8 Какие геометрические и физические приложения криволинейного интеграла первого рода?


Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл I рода

Тема: Криволинейный интеграл I рода Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл I рода Лектор Янущик О.В. 01. 9. Криволинейный интеграл I рода по длине дуги 1. Задача приводящая к криволинейному интегралу

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле Применение определенного интеграла Лектор Рожкова СВ 03 г Замена переменной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных Определение интегралов двойного, тройного, криволинейного по длине дуги (первого рода), поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n =

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n = Глава.Криволинейные интегралы 1. Криволинейные интегралы первого рода по длине дуги п. 1. Понятие криволинейного интеграла первого рода Пусть в плоскости хоу задана спрямляемая кривая L без точек самопересечения

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

11.1 Двойной интеграл и его свойства

11.1 Двойной интеграл и его свойства Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Двойной интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц.дуниной Е.Б.

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные и поверхностные интегралы Глава. Криволинейные и поверхностные интегралы.. Занятие 5... Способы задания кривых Криволинейный интеграл это интеграл, областью интегрирования для которого является кривая. Поэтому сначала напомним

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление. Глава 2. Криволинейные интегралы

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление. Глава 2. Криволинейные интегралы АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Глава Криволинейные интегралы Оглавление Криволинейный интеграл рода Понятие криволинейного интеграла рода Свойства криволинейного интеграла

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл определение свойства вычисление Лектор Рожкова С.В. 03 г. Глава II. Кратные криволинейные и поверхностные интегралы 7. Двойной интеграл.

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г.

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г. Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Янущик О.В. 01 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть замкнутая ограниченная область

Подробнее

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции 272 Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Интегралы по фигуре от скалярной функции Определение Множество точек называется связным, если две любые точки можно соединить линией, все точки

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Кратные интегралы. Определение меры плоской фигуры

Кратные интегралы. Определение меры плоской фигуры Кратные интегралы Определение меры плоской фигуры Измеримые множества на плоскости Пусть произвольное ограниченное множество точек на плоскости, ограниченное кусочно-гладкой кривой. Каждому такому множеству

Подробнее

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги . Криволинейные интегралы Пусть вектор-функция F = P(, y) + Q(, y)j определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги A A, A A,..., An B, A = A (,y ), A = A(,y

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода Криволинейные интегралы Криволинейный интеграл первого рода 1 z f ( x, y) Если функция непрерывна вдоль гладкой кривой, заданной параметрически : x x(t), y y(t), t, то криволинейный интеграл первого рода

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

Основные понятия функций комплексного переменного

Основные понятия функций комплексного переменного Тема 11 Основные понятия функций комплексного переменного Определение Поскольку комплексным числам и w соответствуют пары действительных чисел x; y и u;v соответственно: x i y w u i v то задание функции

Подробнее

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 Занятие 8 Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 8.1 Вычисление площадей плоских фигур 1. Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геометрического смысла определенного интеграла следует,

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Оглавление Глава Кратные интегралы Двойной интеграл Вычисление объема цилиндрического тела Понятие двойного интеграла 3 Условия интегрируемости

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лекция 5. Интегрирование

Лекция 5. Интегрирование С. А. Лавренченко www.lwreceo.r Лекция 5 Интегрирование Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить лекции 3 и 4 из модуля «Векторный анализ».. Понятие интеграла Предположим что f функция

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные и криволинейные интегралы.

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Лекция Некоторые приложения определенного интеграла

Лекция Некоторые приложения определенного интеграла 1 Лекция 18 Некоторые приложения определенного интеграла Аннотация: Приводятся примеры вычисления площади в декартовой и полярной системах координат, вычисляются длины дуг и объемы тел вращения 1 Площадь

Подробнее

Интеграл от функции комплексного переменного

Интеграл от функции комплексного переменного Интеграл от функции комплексного переменного Кривые в комплексной плоскости Кривой на комплексной плоскости называется непрерывное [; β] R в C (или в C: отображение отрезка = σ(t = x(t + iy(t, t [; β],

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции.

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции. 327 Линия (L называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения. Для гладкой линии (L в качестве ориентирующего вектора bp может быть выбран единичный вектор касательной τ ( P, направленный

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Тема: Поверхностный интеграл II рода

Тема: Поверхностный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Поверхностный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 12. Поверхностный интеграл II рода попо координатам 1. Односторонние и двусторонние поверхности

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода: а) (x + y) dl, где L граница треугольника с вершинами А(1, 0), В(0,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N44. Вычисление кратных интегралов.

ЛЕКЦИЯ N44. Вычисление кратных интегралов. ЛЕКЦИЯ N. Вычисление кратных интегралов..вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.....вычисление двойного интеграла (произвольная область).....тройной интеграл.....вычисление

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы Глава 3 Криволинейные интегралы В данной главе мы подробно обсудим понятия криволинейных интегралов, берущихся вдоль кривых в пространстве. К подобным интегралам приводит, например, необходимость вычислять

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Интегральное исчисление функций нескольких переменных МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Интегральное исчисление

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Криволинейный интеграл второго рода Формула Грина Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями x x(, y y(, α t β, и функции P(, Q( являются непрерывными на, то P( dx + Q(

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции Выражение массы тела через тройной интеграл в цилиндрических координатах Определения и формулы для решения задач Определение Цилиндрическим брусом ориентированным по оси O рис Называется тело G ограниченное

Подробнее

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции 277 Δ ( 2 3) S f P q f x, x, x Δq. Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции f ( x, x2, x3) по площади поверхности (Q) или поверхностным интегралом первого рода и обозначают

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ГЛОССАРИЙ Методические

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел.

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. ~ ~ Кратные интегралы Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. Дано: цилиндрическое тело: верхнее основание поверхность : нижнее основание плоскость Прхоу боковая поверхность

Подробнее

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» ИТТСУ Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

1.Двойные интегралы. σ i

1.Двойные интегралы. σ i ЛЕКЦИЯ N 43 Кратные интегралы Алгоритм построения Свойства Вычисление в декартовых координатах Двойные интегралы 2Связь между обыкновенным и двойным интегралом 3 3Основные свойства двойного и тройного

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

6.12. Двойной интеграл

6.12. Двойной интеграл 6.. Двойной интеграл Пусть функция z f (, ) определена в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости XOY. Разобьем область произвольным образом на n областей, пересекающихся только по границе, и

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному Глава. Кратные интегралы.. Занятие... Сведение двойного интеграла к повторному При вычислении двойных интегралов следует различать два случая. () Первый случай. Область интегрирования ограничена слева

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее