С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

Транскрипт

1 АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания и методические указания к их выполнению Алматы

2 Автор-составитель: КАРАТАБАНОВА СЖ кандидат физико-математических наук доцент Алматинского филиала НОУ ВПО «Санкт-Петербургский Гуманитарный университет профсоюзов» Рекомендовано к печати Учебно-методическим советом Алматинского филиала НОУ ВПО «Санкт-Петербургский Гуманитарный университет профсоюзов» от декабря г Протокол Каратабанова СЖ АФ НОУ ВПО «СПбГУП»

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ Теоретические сведения Примеры решения задач Задания для самостоятельной работы ПЕРЕСТАНОВКИ Теоретические сведения Примеры решения задач Задания для самостоятельной работы ДЕТЕРМИНАНТЫ Теоретические сведения Примеры решения задач Задания для самостоятельной работы СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Теоретические сведения Примеры решения задач Задания для самостоятельной работы ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

4 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Линейная алгебра» является важной составляющей всего цикла математических дисциплин поскольку рассматриваемые в ней понятия и методы впоследствии широко применяются в курсах аналитической геометрии математического анализа линейного программирования численных методов математического моделирования математической экономики Завершив изучение курса студенты должны приобрести навыки количественных расчетов по заданным схемам повысить алгоритмическую культуру развить логическое мышление сформировать математическую интуицию для самостоятельной формализации и исследования прикладных задач экономики Процесс изучения дисциплины направлен на формирование у студента следующих компетенций: способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социальноэкономические показатели характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-) способность выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-) способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-) способность преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня используя существующие программы и учебно-методические материалы (ПК-) способность принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-) В результате изучения дисциплины студент должен:

5 Знать: основы линейной алгебры необходимые для решения экономических задач Уметь: формулировать и доказывать основные результаты основных разделов линейной алгебры Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала для решения экономических задач

6 МАТРИЦЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Таблица чисел (вещественных или комплексных) () m m m называется прямоугольной матрицей порядка m Элементы i i i образуют i -ю строку а элементы j j mj - j -й столбец матрицы Элемент ij лежит на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы и мы будем всегда иметь в виду что первый индекс обозначает номер строки второй - номер столбца В некоторых случаях матрицу () удобнее записать в виде () m m m В данном случае верхний индекс обозначает номер строки нижний - номер столбца Если число строк совпадает с числом столбцов те m то такая матрица называется квадратной матрицей порядка В частности при мы имеем квадратную матрицу состоящую из одной строки и одного столбца - просто число Матрицу состоящую из одной строки называют матрицей-строкой длины а матрицу состоящую из одного столбца m называют матрицей-столбцом высоты m Используя приведённые выше обозначения можно матрицу () записать так:

7 или () m В качестве примера матрицы-строки (матрицы-столбца) можно привести упорядоченную пару чисел или Матрицу называют нулевой O если все её элементы равны нулю Например: O O O Если строки матрицы B состоят из соответствующих столбцов матрицы те ik ki то матрицу B называют транспонированной по отношению к матрице и обозначают как Т Т Т А А Т B Заметим что B Если - квадратная матрица то её элементы образуют главную диагональ матрицы и называются диагональными а их сумма называется следом матрицы и обозначается как tr или Sp Например: tr Если все элементы квадратной матрицы кроме диагональных равны нулю то матрицу называют диагональной Например: Диагональную матрицу у которой элементы на главной диагонали равны единице называют единичной матрицей и обозначают как E Например: E Пусть M m - множество матриц размера m Определим на этом множестве линейные операции сложения матриц и умножения матрицы на число из поля K

8 Суммой двух матриц B M m называют матрицу C M m C B если элементы матрицы C связаны с соответствующими элементами матриц и B соотношениями cik ik ik Произведением числа K и матрицы M m называют матрицу B M m элементы которой определены соотношениями ik ik Матрицу называют матрицей противоположной матрице С помощью понятия линейных операций можно из матриц i M m и чисел i K составить линейную комбинацию k k () снова принадлежащую M m Если какая-то матрица представлена в виде линейной комбинации () то можно сказать что она разложена по матрицам линейной комбинации k k Нулевая матрица O всегда может быть разложена в линейную комбинацию () если положить все i Такая комбинация называется тривиальной Систему матриц i M m называют линейно независимой если нулевая комбинация раскладывается по ней однозначно те если k k O () то все i в противном случае система называется линейно зависимой Строки (столбцы) любой матрицы можно рассматривать как матрицы-строки (матрицы-столбцы) Составляя из них линейные комбинации мы можем определить их линейную зависимость или независимость Для некоторых матриц и B может быть определено их произведение B Это возможно если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй Так если матрица имеет размеры m а B имеет размеры q то матрица C B будет иметь размер m q а её элементы будут определены соотношениями c ij k ik kj i m j q ()

9 Следует отметить что в общем случае B B те матрицы и B не коммутируют Над строками (столбцами) матриц можно совершать элементарные преобразования: а) умножение строки (столбца) на число б) прибавление одной строки (столбца) к другой строке (столбцу) Более сложные преобразования которые могут быть сведены к элементарным преобразованиям: в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) умноженного на число г) вычитание строк (столбцов) д) перестановка двух строк (столбцов) Отличие числа от нуля обеспечивает обратимость элементарных преобразований Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы размеров m равносильно умножению матрицы слева (справа) на некоторую квадратную матрицу S порядка m ( ) причем матрица S не зависит от матрицы а полностью определяется выполняемым ею преобразованием Матрицу S называют элементарной матрицей Квадратную матрицу с линейно зависимыми строками (столбцами) называют вырожденной Примерами вырожденных матриц могут служить матрицы с нулевой строкой или двумя пропорциональными строками Важными примерами невырожденных матриц могут служить единичная матрица и элементарные матрицы С помощью элементарных преобразований каждая невырожденная матрица может быть сведена к единичной а каждая вырожденная может быть сведена к матрице с последней нулевой строкой Каждая невырожденная матрица имеет обратную матрицу такую что E Вырожденная матрица не имеет обратной Пусть в матрице размера m существует линейно независимая система из r строк и нет линейно независимой системы из большего числа строк В этом случае говорят что матрица имеет ранг r : Rg r В матрице в этом случае найдётся и r линейно независимых столбцов а значит и невырожденная квадратная подматрица размера r Линейно независимую систему столбцов (строк) матрицы называют базисными столбцами (строками)

10 Каждый столбец (строка) матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов (строк) Линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются при элементарных преобразованиях строк Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей Матрица размеров m называется упрощённой если некоторые r ее столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка m а в случае m r ее последние m r строк нулевые ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример Сложить матрицы: и B B Пример Даны матрицы и B найти их линейную комбинацию B : и B B Пример Дана матрица Какую матрицу B нужно прибавить к данной матрице чтобы получить единичную матрицу E? или Искомая матрица может быть определена из уравнения B E

11 E B Пример Найти матрицу транспонированную к матрице f e d c f c e d T Пример Вычислить произведение матриц: а) и B б) C и D в) E и F г) G H Так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы то мы можем составить их произведение: а) B б) D C в) F E г) H G

12 Заметим что произведение G H составить нельзя Пример Установить линейную зависимость или независимость строк (столбцов): а) e e e б) B в) e e e а) Составим из данных строк линейную комбинацию равную нулевой строке: O e e e (*) или С другой стороны Линейная комбинация (*) равна нулю лишь при что говорит о линейной независимости данных матриц строк б) Составим нулевую линейную комбинацию матриц O B B и : или Эта запись равносильна системе из четырёх уравнений: решение которой очевидно: Матрицы и B линейно независимы в) Рассмотрим столбцы

13 e e e Эти столбцы являются линейно независимыми так как равенство O e e e возможно лишь при Откуда сразу следует что Пример Привести данные матрицы к единичной используя метод Гаусса-Жордана: а) б) E в) G а) Так как на пересечении второй строки и первого столбца стоит удобно будет поменять местами первую и вторую строку Далее вычтем из третьей строки первую умноженную на Дальнейший ход решения понятен б) E Поступая как и в первом случае получим:

14 E Мы видим что в третьей строке стоят одни нули Это говорит о том что исходная матрица вырожденная в) G E Пример Найти матрицу обратную данной: а) б) а) Припишем к данной матрице справа единичную матрицу такого же порядка в результате чего получим матрицу B размера Элементарными преобразованиями строк преобразуем полученную матрицу так чтобы обратить ее левую половину в единичную тогда правая половина обратится в матрицу Для получения решения нам достаточно поменять строки местами: B Мы получили что в данном случае б) Припишем к данной матрице справа единичную матрицу такого же порядка Элементарными преобразованиями строк приведем данную

15 матрицу в единичную тогда единичная матрица справа этими же преобразованиями перейдет в обратную к ВНИМАНИЕ! Рассмотрим матрицу порядка у которой Покажем что матрица B вида B является обратной к матрице Непосредственно вычисляя произведения B и B в соответствии со свойствами определителей убеждаемся что матрица B обратна к матрице Пример Найти матрицу X из уравнения: X Мы имеем уравнение вида C X Если матрица невырождена то умножив обе части данного равенства слева на получим: C X или C X Пусть тогда B

16 и C X Пример Привести матрицу к упрощённому виду определить базисные миноры и ранги Указать базисные строки и столбцы При использовании метода Гаусса-Жордана удобно в качестве ведущего элемента взять тк он уже равен Умножив первую строку последовательно на - и - прибавим ее ко второй и третьей строкам соответственно Вычтя из третьей строки вторую и поменяв местами два последних столбца получим в верхнем левом углу единичную матрицу второго порядка являющуюся базисным минором Ранг данной матрицы равен а в качестве базисных столбцов и базисных строк можно взять две первые строки и два первых столбца Третий столбец есть линейная комбинация базисных столбцов: (В качестве базисных столбцов также можно взять второй и третий столбцы) Пример Вычислить ранг матрицы:

17 В левом верхнем углу мы получили единичную матрицу второго порядка Таким образом ранг исходной матрицы Rg первые два столбца (строки) базисные ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача Сложить матрицы: а) и B б) и B Задача Даны матрицы и B найти их линейную комбинацию: а) б) в) i i i i г) Задача Дана матрица Какую матрицу B нужно прибавить к данной матрице чтобы получить единичную матрицу E?

18 Задача Найти матрицу транспонированную к данной матрице: а) e e e e б) cos si si cos в) i i г) д) е) Задача Вычислить произведение матриц: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) Задача Установить линейную зависимость или независимость строк (столбцов): а) c б) в) c г) D C B Задача Привести данные матрицы к единичной используя метод Гаусса-Жордана: а) B б) C в) D

19 Задача Найти матрицы обратные данным: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) Задача Найти матрицу X из уравнения: а) X X б) X в) X г) X д) X е) X ж) i i X i i Задача Привести матрицы к упрощённому виду определить базисные миноры и ранги Указать базисные строки и столбцы Задача Вычислить ранг матрицы

20 а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о) п) р) с) Задача Проверить непосредственным вычислением что T T T B B если а) B б) B Задача Найти произведения матриц B и B если а) B б) B в) B

21 г) cos si si cos cos si si cos B Задача Найти если Задача Найти значение матричного многочлена E если E Задача Найти значение матричного многочлена E если E Задача Разложить матрицу C по матрицам и B B Задача Можно ли разложить матрицу D по матрицам и B B? Задача Дать описание всех матриц ранга и Задача Могут ли существовать матрицы без базисного минора? Задача Указать базисный минор базисные строки и базисные столбцы невырожденной квадратной матрицы Чему равен ранг такой матрицы? Задача Вычислить ранги матриц и B и ранги их произведения B

22 а) B б) B в) B

23 ПЕРЕСТАНОВКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Числа написанные в каком либо порядке p p называются перестановкой Например числа образуют две перестановки: ( ) и ( ) Числа образуют очевидно! перестановок вида p p Считается что число p i нарушает порядок в перестановке p p если оно стоит левее меньшего числа: i k но pk pi Например в перестановке ( ) число p стоит перед числом p что нарушает порядок следования натуральных чисел Явление нарушения порядка следования натуральных чисел называется инверсией В данном примере имеется одна инверсия Перестановку называют чётной если она содержит чётное число инверсий и нечетной - в противном случае ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример Подсчитать число инверсий и определить чётность перестановки ( ) Для подсчёта числа инверсий следует подсчитать сколько для каждого числа имеется следующих за ним меньших его чисел и сложить найденные значения Таким образом для перестановки ( ) число инверсий будет ++++= Полученное число инверсий четное значит перестановка ( ) - чётная ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача Подсчитать число инверсий и определить чётность перестановки а) ( ) б) ( ) в) ( ) г) ( ) д) ( ) е) ( ) ж)

24 ДЕТЕРМИНАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Каждой квадратной матрице порядка можно сопоставить некоторое число называемое детерминантом матрицы обозначаемое через det или Основные формулы для вычисления детерминантов: c d c d c c c c c c c Пусть ik - элемент матрицы порядка расположен в i -й строке и k -м столбце Матрица D ik порядка полученная из вычёркиванием i -й строки и k -го столбца называется дополнительной подматрицей этого элемента Например: c тогда D получена вычёркиванием в -й строки и -го столбца Число d ik det Dik () называется дополнительным минором элемента ik Например: d c ()

25 Дополнительный минор d ik элемента ik матрицы порядка взятый со знаком ik называется алгебраическим дополнением ik элемента ik ik ik ik d () Рекуррентные формулы: формула разложения детерминанта по i -й строке k ik det d () ik ik формула разложения детерминанта по j -му столбцу k i j det d () kj kj Свойства детерминантов: При транспонировании матрицы её детерминант не меняется (свойство равноправности строк и столбцов) Если в квадратной матрице поменять местами две строки (столбца) оставив остальные на своих местах то детерминант полученной матрицы будет равен детерминанту исходной матрицы с противоположным знаком (свойство антисимметрии при перестановке двух строк или столбцов) Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца) то её детерминант равен нулю Детерминант матрицы -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки (столбца) на их алгебраические дополнения Сумма произведений элементов одной строки (столбца) матрицы -го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы -го порядка умножить на число то её детерминант так же умножится на это число Если матрица -го порядка имеет две пропорциональные строки (столбца) то её детерминант равен нулю Если все элементы i -й строки матрицы -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых ik ik ik k (*)

26 то её детерминант можно представить в виде суммы детерминантов двух матриц у которых элементами i -й строки являются соответственно первая и вторая слагаемые разложения (*) а все остальные строки такие же как у исходной матрицы Детерминант матрицы -го порядка не изменится если к элементам одной её строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и тоже произвольное число ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример Вычислить детерминант матрицы второго порядка: det Пример Вычислить детерминант матрицы третьего порядка: det Пример Решить относительно неизвестного уравнение: или Решением этого уравнения будут:

27 Пример Имеются ли в формуле для вычисления детерминанта матрицы пятого порядка ik слагаемые? Расположим элементы в порядке возрастания первого индекса: Мы видим что элементы и принадлежат одной строке (третьей) и нет элемента из пятой строки Такое слагаемое не может входить в формулу для вычисления детерминанта матрицы пятого порядка Пример С какими знаками входят в формулу для вычисления детерминанта пятого порядка слагаемые? Расположим сомножители в данном слагаемом так чтобы первые индексы расположились по порядку номеров те Вторые индексы образовали перестановку ( ) число инверсий которой есть (++++)= число чётное Данное слагаемое входит в формулу для вычисления детерминанта пятого порядка со знаком плюс Пример Вычислить алгебраические дополнения для элементов матрицы D d det D d D d det D d Пример Вычислить детерминант матрицы четвёртого порядка:

28 d c Очевидно что det будет линейной функцией от чисел d c в силу чего разложение матрицы лучше всего провести по -й строке det d c d d d c d d dd cd d d d d d d d c det ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача Вычислить детерминанты матриц второго порядка: а) B б) C в) D г) E д) i i F е) cos si si cos G ж) e e H Задача Вычислить детерминанты матриц третьего порядка: а) B б) C в) D г) E д) i i i i F е) G

29 ж) H Задача Решить относительно неизвестного уравнения: а) б) в) Задача Имеются ли в формуле для вычисления детерминанта матрицы пятого порядка ik слагаемые а) б) в)? Задача С какими знаками входят в формулу для вычисления детерминанта пятого порядка слагаемые а) б) в)? Задача Вычислить алгебраические дополнения для элементов матриц а) б) Задача Вычислить детерминанты матриц четвёртого порядка: а) d c B б) C в) D г) E д) F

30 е) G ж) t z H з) M и) N к) d d c c O л) P Задача Вычислить детерминанты матриц пятого порядка: а) б) B в) C г) D Задача Как изменится детерминант если в матрице переставить две строки? Задача Как изменится детерминант если к одной строке матрицы прибавить другую её строку? Задача Как изменится детерминант если одну строку в матрице умножить на число?

31 Задача Как изменится детерминант если матрицу транспонировать? Задача Числа делятся на Объяснить без вычислений почему число тоже делится на?

32 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Система уравнений вида m m m m () называется системой m линейных уравнений с неизвестными Коэффициенты при неизвестных из уравнений () можно записать в виде матрицы размера m : m m m которую называют матрицей системы Числа стоящие в правых частях () образуют матрицу-столбец: m называемую столбцом свободных коэффициентов Матрица системы дополненная справа матрицей свободных коэффициентов называется расширенной матрицей системы () и обозначается * : m m m m * или * Пользуясь понятием линейных операций со столбцами можно записать () как

33 () m m m m () i i i () () Равенства () - () говорят о том что столбец свободных коэффициентов раскладывается по столбцам i матрицы с i коэффициентами При этом если столбцы матрицы линейно независимы то система () не может иметь двух различных решений: она или несовместна (не имеет решений) или совместна - имеет решение и притом только одно Система линейных уравнений () совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы * (Теорема Кронекера-Капелли) При этом если Rg Rg* r возможны два случая: r те число неизвестных равно числу уравнений и det система имеет единственное решение те она совместная и определённая r система совместная и неопределённая Если Rg* Rg - система () несовместная i Если в системе () все свободные коэффициенты равны нулю те O () то такая система называется однородной системой Очевидно что однородная система совместна всегда её решением будет например нулевая матрица-столбец O Такое решение называется тривиальным Если ранг матрицы при этом равен тогда () имеет единственное тривиальное решение и других решений нет Если Rg то система () будет совместной но неопределённой те будет иметь бесконечно много решений Если система () имеет нетривиальные решения то можно выбрать несколько линейно независимых решений таких что любое решение () будет их линейной комбинацией Из линейно независимых решений можно составить матрицу F высоты которая называется фундаментальной матрицей системы () При этом выполняется равенство:

34 O F Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений r то система имеет фундаментальную матрицу из r столбцов Если - некоторое частное решение системы () а F - фундаментальная матрица системы () тогда общее решение () равно c F () где r f f f - столбцы фундаментальной матрицы системы () а r c c c - произвольные постоянные: r r f c f c f c ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример Решить систему линейных уравнений: а) б) в) а) Мы не будем вычислять ранги матриц и * по отдельности Для решения поставленной задачи составим расширенную матрицу и упростим её с помощью элементарных преобразований * Видно что * r Rg Rg и r Данная система уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли совместная и

35 неопределённая Первые два столбца полученной матрицы образуют базисный минор Соответствующие неизвестные и будут базисными неизвестными Неизвестные и соответствующие второму и третьему столбцам называются свободными: они могут принимать произвольные значения обеспечивая множество решений Исходную систему уравнений можно записать теперь так: где и - произвольные числа б) Составим расширенную матрицу и переставив местами вторую и третью строки упростим её: * Последняя строка равносильна записи: или = что невозможно и таким образом мы имеем несовместную систему уравнений Рассмотрим решение поставленной задачи с точки зрения теоремы Кронекера-Капелли: * Rg Rg Система уравнений несовместна На основании этого примера можно предположить что если в упрощённой расширенной матрице есть строка то система уравнений будет несовместной в) Составим расширенную матрицу B и с помощью элементарных преобразований строк упростим ее: B

36 Упрощенная расширенная матрица эквивалентна системе уравнений Здесь и - базисные переменные а и - любые числа Пример Найти фундаментальную систему решений: В данном случае ранг расширенной матрицы * совпадает с рангом матрицы коэффициентов системы Вычтем из второй строки матрицы третью и поменяем её местами с первой строкой: В верхнем левом углу мы получили базисный минор второго порядка следовательно Rg и в качестве базисных неизвестных мы возьмём и свободные неизвестные и могут принимать любые значения Перепишем исходную систему в соответствии с упрощённой матрицей: (*)

37 Мы можем неизвестным и придать любые значения но для получения фундаментальной системы решений мы должны позаботиться об их линейной независимости Этого легко достичь если из всего множества значений свободных неизвестных выбрать простейшие значения и так чтобы в фундаментальной матрице F в последних r строках получилась единичная матрица Итак положим сначала а тогда из (*) имеем и первое фундаментальное решение есть T Полагая теперь а получим и второе фундаментальное решение T Теперь мы можем записать фундаментальное решение данной однородной системы линейных уравнений в виде: c X F c c X c c Здесь c и для любых значений c и комбинацией фундаментальных решений c - произвольные числа Таким образом мы видим что c соответствующее решение будет линейной Пример Найти общее решение системы линейных уравнений: а) б) а) Будем искать общее решение данной системы линейных уравнений в виде: X X F c

38 где X - частное решение данной системы уравнений F - матрица составленная из столбцов фундаментальной системы решений однородной системы c - матрица-столбец высоты r произвольных чисел Составим расширенную матрицу * данной системы и упростим её: Упрощённая расширенная матрица показывает что r r Rg Rg * Это значит что в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли данная система уравнений совместная и неопределённая Упрощённая расширенная матрица соответствует системе уравнений (*) эквивалентной данной Здесь и - базисные неизвестные а и - свободные неизвестные и (*) можно переписать так: (**) В качестве частного решения возьмём простейшее из решений системы (**) а именно положим Тогда а и частное решение есть T X Для нахождения фундаментальной системы решений составим из (*) однородную систему соответствующую левой части упрощённой расширенной матрицы:

39 или Полагая и затем находим систему из двух фундаментальных решений: T и f T f Общее решение данной системы линейных уравнений будет: c X X F c c б) Мы имеем всего лишь одно уравнение с двумя неизвестными которое тем не менее можно рассматривать как систему линейных уравнений Будем искать общее решение также как и в па) * или Rg * Rg r Частное решение будет T T f Общее решение данной системы будет X фундаментальное - X c Дадим геометрическое истолкование полученного решения Очевидно что записав данное уравнение как мы получим уравнение прямой вида k X мы можем рассматривать как координаты начальной точки данной прямой а T Частное решение T f как компоненты направляющего вектора Прямая X параллельно вектору f i j проходит через точку

40 Пример Система линейных уравнений задана в виде линейного матричного уравнения Найти неизвестную матрицу X а) X б) X в) X г) X а) X Запишем данное уравнение в общем виде: B X Исходя из правил умножения матриц видно что матрица X в данном случае не матрица-столбец а матрица размеров те X где как мы договорились ранее индекс стоящий вверху обозначает номер строки а индекс стоящий внизу обозначает номер столбца Данное линейное матричное уравнение можно рассматривать как две системы линейных уравнений: первой системе принадлежит первый столбец матрицы X и первый столбец матрицы B второй системе принадлежат соответственно вторые столбцы указанных матриц Матрица коэффициентов у обеих систем одна и та же Будем искать решение поставленной задачи по известной нам схеме Составим расширенную матрицу * и с помощью элементарных преобразований строк упростим её: * B Упрощённая расширенная матрица говорит о том что r r Rg Rg * Это значит что в соответствии с теоремой

41 Кронекера-Капелли данная система уравнений совместная и неопределённая Упрощённая расширенная матрица соответствует системе уравнений или Здесь и - свободные неизвестные а и - базисные неизвестные Полагая где и - произвольные числа запишем решение данной системы в виде: Окончательно можно записать: X б) X или B X Матрица X должна иметь вид X Мы снова имеем две системы линейных уравнений с тремя неизвестными В соответствии с решением приведённом выше имеем: * Мы видим что в упрощённой расширенной матрице есть строка а значит для системы со вторым столбцом матрицы B решений нет значит нет решений и для матричного уравнения в целом

42 в) Для решения надо исходное уравнение X B переписать используя операцию транспонирования: T T X B T T T или X B г) Для решения исходное уравнение X B C следует T T T представить в виде Y C где X B Y или B X Y Пример Решить системы уравнений методом Крамера: а) z б) z z z в) z z а) Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и вычислим её детерминант Так как то система уравнений имеет единственное решение Вычислим детерминанты матриц и Тогда б) Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и вычислим её детерминант

43 Так как то система уравнений имеет единственное решение Вычислим детерминанты матриц и z z Тогда z z в) Найдем определитель матрицы коэффициентов: Так как число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы не равен нулю мы можем для нахождения неизвестных воспользоваться формулами Крамера ч z z z

44 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача Решить систему линейных уравнений: а) б) в) z z z Задача Найти фундаментальную систему решений: а) б) в) г) Задача Найти общее решение системы линейных уравнений: а)

45 б) в) г) д) z е) z z Задача Система линейных уравнений задана в виде линейного матричного уравнения Найти неизвестную матрицу X а) X б) X в) X г) X д) X Задача Решить системы линейных уравнений методом Крамера: а) б) в)

46 г) z z z д) z z z Задача При каких параметрах система уравнений совместна? z z z Задача При каких система уравнений совместная и определённая? z z z Задача Найти решение системы линейных уравнений: а) б) Задача Система линейных уравнений задана расширенной матрицей Составить систему линейных уравнений явно и найти общее решение а) б)

47 в) г) д) ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ варианта Задачи а д а а а б е б б б в ж в в в г з г г д и д а е к е а а ж л ж б б з м з в в и н и г г к л д д

48 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Кремер НШ Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум - М: Юрайт с Шипачев ВС Высшая математика - М: Высшая школа Минорский ВП Сборник задач по высшей математике: Учеб пос для студентов вузов - М: Наука Подписано в печать г Тираж экз Формат изд х/ Объем усл печ л Отпечатано в типографии ИП Волков АИ Райымбека / оф Тел: -- --


ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее