ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ"

Транскрипт

1 Вычислительные технологии Том 1, 1, 1996 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ А. Д. Матвеев Вычислительный центр СО РАН в г. Красноярске, Россия Ю. В. Немировский Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, Россия Описываются параллельные алгоритмы построения матриц жесткости конечных элементов высокого порядка для задач теории упругости и для стационарных задач матфизики, описываемых квазигармоническим уравнением с переменными коэффициентами. Процедура построения матриц жесткости конечных элементов высокого порядка многомерных задач матфизики имеет матричную формулировку и сводится к вычислению интегралов от функций, построенных в местной системе координат или в L-координатах [1, 2]. Интегралы определяются численно, и эта процедура связана с выполнением большого объема вычислений. Использование высокопроизводительной вычислительной техники параллельных компьютеров при многочисленных исследованиях дает максимальную выгоду [3 5]. Поэтому в последнее время известные методы решения задач механики модифицируются с точки зрения выделения в них параллельных алгоритмов. В данной статье предлагаются параллельные алгоритмы построения матриц жесткости конечных элементов высокого порядка для задач теории упругости и для стационарных задач матфизики, описываемых квазигармоническим уравнением с переменными коэффициентами. Краткая суть данного подхода состоит в том, что коэффициенты матрицы жесткости элементов определяются из условия минимизации квадратичного функционала краевой задачи, представленного в скалярной форме (в стандартной процедуре МКЭ функционал энергии имеет векторно-матричный вид, при определенном выборе структуры матрицы функций формы конечного элемента. Коэффициенты матрицы жесткости в данном случае выражаются в явном виде через группу интегралов. Достоинства рассматриваемого подхода заключаются в том, что, во-первых, если переменные коэффициенты квазигармонического уравнения или модули упругости анизотропного неоднородного тела являются полиномами, то все интегралы в предложенных c А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский,

2 70 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский алгоритмах для элементов формы прямоугольника или прямоугольной призмы определяются аналитически; во-вторых, интегралы в данном подходе определяются независимо друг от друга, и, следовательно, для их вычисления эффективно используются параллельные алгоритмы; и в-третьих, как показывают численные эксперименты, время построения матриц жесткости на моноэвм (однопроцессорной ЭВМ по формулам предлагаемых процедур существенно меньше времени вычисления по известной матричной процедуре МКЭ [1, 2] при равных условиях их реализации. Вначале рассмотрим построение параллельных алгоритмов вычисления матриц жесткости конечных элементов для трехмерной задачи упругости. Не теряя общности суждений и для удобства изложения будем считать, что конечный элемент второго порядка имеет форму прямоугольной призмы и расположен в декартовой системе координат XY Z (рис. 1, ξηζ местная система координат. Рис. 1. Пусть для анизотропного неоднородного конечного элемента выполняются соотношения Гука и Коши [6]: ε x = u, ε z = w z, {σ} = [D]{ε}, (1 ε y = v, γ xz = u z + w, γ xy = u + v, γ yz = v z + w, (2 {σ} = {σ x σ y σ z τ yz τ xz τ xy } T, {ε} = {ε x ε y ε z γ yz γ xz γ xy } T векторы напряжений и деформаций; u,v,w перемещения элемента, [D] матрица модулей упругости C ij элемента, C ij = C ji, C ij = C ij (x,y,z, i,j = 1,..., 6; T транспонирование, функции C i,j удовлетворяют условиям эллиптичности [7]. Пусть функции C ij в области элемента являются полиномами вида C i,j = k=1 r ij k ψ k (r ij k действительные числа, (3

3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 71 ψ k = xᾱk y β k z γ k (ᾱ k, β k, γ k целые числа. (4 Используя известные функции формы N 1,..., N n элемента, записанные в местной системе координат ξηζ [1, 2], представим их в глобальной системе координат XY Z, которые имеют вид N α = r αj ϕ j (r αj действительные числа, (5 j=1 ϕ j = x α j y β j z γ j (α j,β j,γ j целые числа. (6 Следуя МКЭ [1], аппроксимирующие функции перемещений u,v,w элемента определим соотношением δ 1 u v w = [N]{δ}, {δ} =. δ 3n, (7 структуру матрицы функций формы [N] элемента представим в форме [3] N 1...N n [N] = N 1...N n ( N 1...N n Согласно (7, (8, вектор {δ} узловых неизвестных элемента имеет следующую структуру: δ 1,..., δ n есть узловые значения перемещений u, δ n+1,..., δ 2n перемещений v, δ 2n+1,..., δ 3n перемещений w. Функционал W e энергии деформаций элемента для представления (1 имеет вид ( 12 W e = {ε x C 11ε x + C 12 ε y + C 13 ε z + C 14 γ yz + C 15 γ xz + C 16 γ xy + +ε y ( 1 2 C 22ε y + C 23 ε z + C 24 γ yz + C 25 γ xz + C 26 γ xy + +ε z ( 1 2 C 33ε z + C 34 γ yz + C 35 γ xz + C 36 γ xy + +γ yz ( 1 2 C 44γ yz + C 45 γ xz + C 46 γ xy + +γ xz ( 1 2 C 55γ xz + C 56 γ xy здесь область элемента в системе координат XY Z. } 1 + γ xy 2 C 66γ xy dv, (9 Из условия W e = 0, i = 1,..., 3n, используя при этом в (9 представления (2, (7, (8, δ i т.е. учитывая структуру вектора {δ}, получаем формулы для вычисления коэффициентов K αβ (α,β = 1,..., 3n верхней треугольной части матрицы жесткости [K] элемента : K αβ = {C 11 a αβ + C 15 (p αβ + p βα + C 16 (d αβ + d βα + C 56 (f αβ + f βα +

4 72 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский +C 55 q αβ + C 66 b αβ } dv, K α+2n, β+2n = {C 33 q αβ + C 34 (f αβ + f βα + C 35 (p αβ + p βα + +C 45 (d αβ + d βα + C 44 b αβ + C 55 a αβ }dv, K α+n, β+n = {C 22b αβ + C 24(f αβ + f βα + C 26(d αβ + d βα+ +C 46 (p αβ + p βα + C 44 q αβ + C 66 a αβ }dv, (10 здесь α = 1,..., n, β = α,..., n; K α+n, β+2n = {C 23f αβ + C 24b αβ + C 25d βα+ +C 34 q αβ + C 36 p αβ + C 45 p βα + C 46 d αβ + C 44 f βα + C 56 a αβ }dv, K α, β+2n = {C 13 p αβ + C 14 d αβ + C 15 a αβ + +C 35 q αβ + C 36 f αβ + C 45 f βα + C 46 b αβ + C 55 p βα + C 56 d βα }dv, K α, β+n = {C 12d αβ + C 14p αβ + C 25f βα + C 26b αβ + C 45q αβ+ +C 16 a αβ + C 56 p βα + C 46 f αβ + C 66 d βα }dv, (11 здесь α,β = 1,..., n; a αβ = N α, b αβ = N α, q αβ = N α z z, (12 p αβ = N α α = 1,..., n, β = α,..., n, z, d αβ = N α, α,β = 1,..., n. f αβ = N α z, (13 Подставляя (5 в (12, (13 и учитывая (3, формулы (10, (11 представим в виде K αβ = C a 11αβ C p 55αβ + Cb 66αβ, K α+n, β+n = C b 22αβ C q 44αβ + Ca 66αβ, K α+2n, β+2n = C q 33αβ Cb 44αβ + C a 55αβ, (14 α = 1,..., n β = α,..., n, K α+n, β+2n = C f 23αβ + Cb 24αβ C a 56αβ, K α, β+2n = C p 13αβ + Cd 14αβ C p 55βα, K α, β+n = C d 12αβ + C p 14αβ Cf 46αβ, (15

5 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 73 обозначено здесь α,β = 1,..., n, C a 11ijk = α,β = 1,..., n, C11αβ a = C 11 a αβ dv,..., C f 46αβ = C a 11αβ = C a 55αβ = r αi r βj r 11 k C a 11ijk, C 46 f αβ dv, r αi r βj rk 55 C a 55ijk, (16 α = 1,..., n β = α,...,n, C f 23αβ = r αi r βj rk 23 C f 23ijk, C f 46αβ = r βi r αj rk 46 C f 46ijk, (17 ϕ i xϕ j f xψ k dv,..., C46ijk = ϕ i x = ϕ j /, ϕ j y = ϕ j /, ϕ j z = ϕ j / z. ϕ i yϕ j zψ k dv, (18 Итак, в силу (14 (17 коэффициенты матрицы жесткости элемента в явном виде могут быть выражены через группу интегралов (18, для нахождения которых в силу (12, (13 достаточно вычислить 6 типов интегралов: J 1 = ϕ i xϕ j xψ k dv, J 2 = ϕ i yϕ j yψ k dv, J 3 = ϕ i zϕ j zψ k dv, здесь i = 1,..., n; j = i,..., n и J 4 = ϕ i xϕ j yψ k dv, J 5 = ϕ i yϕ j zψ k dv, J 6 = ϕ i xϕ j zψ k dv, здесь i,j = 1,..., n. В самом деле, например, C11ijk a = Ca 15ijk, Cp 15ijk = Cp 13ijk и т. д. Пусть интегралы (18, т. е. J 1,..., J 6, определяются численно. Заметим, что для элементов формы тетраэдра интегралы J 1 следует определять в L-координатах, для (рис. 1 в местной системе координат ξηζ. Рассмотрим один из вариантов параллельного алгоритма вычисления интегралов J i, который выполняется на параллельном компьютере с шестью процессорами. Работа этого алгоритма показана на рис. 2. Основная программа расщепляется на шесть параллельных ветвей (вычислений: L 1,..., L 6, которые реализуются соответственно на процессорах: P 1,..., P 6. Процессоры P i работают одновременно и независимо друг от друга. Блок A

6 74 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский Рис. 2. содержит операторы ввода и подготовки исходных данных, оператор распараллеливания вычислений (ветвей и оператор распределения данных. Вначале выполняются операторы блока A, которые расположены в основной программе. Затем операторы ветвей L 1,..., L 6 соответственно вычисляют группы интегралов J 1,..., J 6 на процессорах P 1,..., P 6. Блок B содержит операторы, которые вычисляют коэффициенты матрицы жесткости элемента по формулам (14 (15 и расположены в программе. Эти операторы выполняются после завершения параллельных вычислений L i. Для однородного элемента (C ij = const, т. е. ψ k = const общее число интегралов равно N = 3n(n + 1/2 + 3n 2. Следовательно, максимальное число параллельных ветвей равно N. Тогда в этом случае время выполнения параллельного алгоритма на параллельном компьютере, имеющем N процессоров, в t/n раз меньше, чем на моноэвм (t время вычисления N интегралов на моноэвм. Например, для квадратичного элемента (n = 20: N = Отметим, что в блоках A, B, используя принцип потока данных [5], можно выделить ряд систем параллельных вычислений, имеющих структуру графов [4]. Расчеты на моноэвм показывают, что при численном интегрировании время построения матрицы жесткости однородного квадратичного элемента формы куба по формулам (10 (13 в 5 раз меньше времени вычисления [K] по матричной формуле МКЭ [1, 2], т.е. по формуле [K] = [B] T [D][B]dV, [B] матрица, связывающая {ε} и {δ} при одинаковом выборе числа точек интегрирования в области. Для элемента (см. рис. 1 интегралы (18 определяются аналитически. Используя (4, (6 в (18 при α j,β j,γ j 1 найдем C a 11ijk = α iα j (X axx 2 X axx a xx (Y bxx 2 Y bxx b xx (Z cxx 2 Z cxx c xx,

7 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 75 C f 46ijk = β iγ j (X ayz 2 X ayz a yz (Y byz 2 Y byz b yz a xx = α i + α j + α k 1, b xx = β i + β j + β k + 1, c xx = γ i + γ j + γ k + 1,..., a yz = α i + α j + α k, b yz = β i + β j + β k, c yz = γ i + γ j + γ k + 1 (Z cyz 2 Z cyz c yz, (19 (X 1,Y 1,Z, (X 2,Y 2,Z 2 координаты узлов A 1, A 2 элемента в глобальной системе координат XY Z (см. рис. 1. При α j,β j,γ j = 0 вычисления по формулам (14 (17, (19 упрощаются. Например, если α j = 0, то в силу (6 имеем ϕ j / = 0, и, следовательно, в силу (18 получим C a 11ijk = 0 и т. д. Коэффициенты нижней треугольной части матрицы жесткости элемента определяются из условия ее симметрии, т. е. K βα = K αβ α = 1,..., 3n; β = α,..., 3n. Пусть срединная поверхность недеформируемого тонкого прямоугольного анизотропного неоднородного конечного элемента высокого порядка, находящегося в плоском напряженном состоянии, расположена в плоскости XOY. На рис. 3 показан прямоугольный элемент второго порядка в общей системе координат XY и в местной системе координат ξη. Рис. 3. Напряжения σ x,σ y,τ xy, деформации ε x,ε y,γ xy и перемещения u,v элемента связаны соотношениями Гука и Коши [6]: {σ} = [D]{ε}, (20

8 76 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский ε x = u, ε y = v, γ xy = u + v, (21 [D] матрица упругости; {σ}, {ε} векторы напряжений и деформаций, C ij модули упругости элемента : σ x C 11 C 12 C 13 ε x {σ} = σ y, [D] = C 12 C 22 C 23, {ε} = ε y. τ xy C 13 C 23 C 33 γ xy Пусть функции C ij на в системе координат XY имеют вид C ij = k=1 r ij k ψ k (r ij k действительные числа, (22 ψ k = x α k y β k (α k,β k целые числа. (23 Отметим, что гладкие функции C ij, заданные для пластины, всегда можно на узловой сетке данного разбиения представить в виде (26, используя, например, линейные или квадратичные интерполяционные полиномы [2]. Потенциальная энергия W e деформаций элемента с учетом (22, (23 имеет вид ( ( W e = {ε x C 11ε x + C 12 ε y + C 13 γ xy + ε y C 22ε y + C 23 γ xy γ xyc 33 γ xy } ds. (24 Аппроксимирующие функции перемещений u,v элемента по МКЭ определяются соотношением { } u = [N]{δ}, (25 v [N] матрица функций формы размерности (2 2n, {δ} вектор узловых параметров МКЭ элемента размерности 2n. За счет перестановки параметров вектора {δ} матрицу [N] представим в форме [ ] N1...N [N] = n 0...0, ( N 1...N n N α функции формы элемента (α = 1,..., n, построенные по алгоритмам МКЭ в общей системе координат XY N α = r αj ϕ j, (27 j=1 r αj действительные, α j,β j целые числа. Используя представления (21 (27, из условия ϕ j = x α j y β j (28 W e δ i = 0, i = 1,..., 2n

9 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 77 определяем верхнюю треугольную часть матрицы жесткости [K] для элемента, коэффициенты которой вычисляются по формулам K αβ = {C 11 A αβ + C 13 (D αβ + D βα + C 33 B αβ } ds, K α+n, β+n = {C 22 B αβ + C 23 (D αβ + D βα + C 33 A αβ } ds, (29 α = 1,..., n, β = α,..., n, K α, β+n = {C 12D αβ + C 13A αβ + C 23B αβ + C 33D βα} ds, A αβ = N α α,β = 1,..., n,, B αβ = N α, α = 1,..., n, β = α,..., n, D αβ = N α Дифференцируя (27 с учетом (28, получим N α = r αj ϕ j x, j=1 α,β = 1,..., n. N α = r αj ϕ j y, (31 j=1 ϕ j x = ϕ j = α jx α j 1 y β j, ϕ j y = ϕ j = β jx α j y β j 1. (32 Подставляя (30 в (29 с учетом (31, (32, выражения (29 представим в форме K αβ = C a 11αβ + C d 13αβ + C d 13βα + C b 33αβ, K α+n, β+n = C b 22αβ + C d 23αβ + C d 23βα + C a 33αβ, α = 1,..., n, β = α,..., n, K α, β+n = C d 12αβ + C a 13αβ + C b 23αβ + C d 33αβ, обозначено α,β = 1,..., n, C11αβ a = C 11 A αβ ds,..., C33αβ d = C a 11αβ = r αi r βj r 11 k C a 11ijk, C 33 D αβ ds,

10 78 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский C a 11ijk = C d 33αβ = ϕ i xϕ j d xψ k ds,..., C33ijk = r αi r βj r 33 k C d 33ijk, (34 ϕ i xϕ j yψ k ds. (35 Итак, согласно (33, (34 коэффициенты матрицы жесткости [K] в явном виде зависят от группы интегралов (35. Для нахождения интегралов (35 достаточно вычислить интегралы типа ϕ i xϕ j xψ k ds, ϕ i yϕ j yψ k ds, ϕ i xϕ j yψ k ds, здесь i = 1,..., n, j = 1,..., n. Для прямоугольного (рис. 3 эти интегралы определяются аналитически. Подставляя (23, (32 в (35, имеем C a ijk = α iα j (X axx 2 X axx a xx C d ijk = α iβ j (X axy 2 X axy a xy (Y bxx 2 Y bxx b xx, (Y bxy 2 Y bxy b xy, (36 a xx = α i + α j + α k 1, b xx = β i + β j + β k + 1,..., a xy = α i + α j + α k, b xy = β i + β j + β k ; (X 1,Y, (X 2,Y 2 координаты узлов A 1, A 2 элемента (см. рис. 2. Коэффициенты нижней треугольной части матрицы [K] определяются из условия ее симметрии. При α i,β i = 0 имеем ϕ i x = 0,ϕ i y = 0 и, следовательно, в силу (35 получаем C a ijk = 0, C d ijk = 0 и т.д. Аналогично, как и для трехмерных элементов, определяем интегралы (35 с применением параллельных вычислений для высокоточных треугольных и четырехугольных элементов, используя при этом местные системы координат или L-координаты. В данном параллельном алгоритме вычисления интегралов максимальное число параллельных ветвей для однородного элемента равно N = 3n(n + 1/2. Рассмотрим экономичную процедуру построения матрицы жесткости конечного элемента высокого порядка формы прямоугольного параллелепипеда для стационарных краевых задач, которые описываются квазигармоническим уравнением [2] (записанным в декартовой системе координат XY Z с переменными коэффициентами ( K xx ϕ с граничными условиями и (или на S 2 : + ( K yy ϕ + z ( K zz ϕ z + Q = 0 в V R 3 (37 ϕ = ϕ 0 на S 1 (ϕ 0 задана (38 K xx ϕ l x + K yy ϕ l y + K zz ϕ z l z + q + h(ϕ ϕ = 0, (39 S = S 1 + S 2 полная граница области V ; q,h = const; l x,l y,l z направляющие косинусы вектора нормали к границе S 2 ; функции Q = Q(x,y,z, K xx = K xx (x,y,z, K yy = K yy (x,y,z, K zz = K zz (x,y,z удовлетворяют условиям эллиптичности [7].

11 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 79 Пусть исходная область V представлена конечными элементами высокого порядка (см. рис. 1 и пусть функции K xx,k yy,k zz в области конечных элементов являются полиномами вида K xx = k=1 r xx k u k, K yy = k=1 r yy k u k, K zz = k=1 r zz k u k, (40 u k = x α k y β k z γ k; (41 здесь rk xx, ryy k, rzz k действительные числа, α k, β k, γ k целые числа. Аппроксимирующую функцию ϕ элемента определяем по МКЭ в глобальной системе координат XY Z, которая имеет вид [1, 2] N α = ϕ = [N 1...N n ] δ 1. δ n, (42 r αj ψ j (r αj действительные числа, (43 j=1 Из условия W e δ i = 0, i = 1,..., n, W e = 1 2 [ ψ j = x α j y β j z γ j (α j,β j,γ j целые числа. (44 ( 2 ϕ K xx + K yy + ( 2 ϕ + K zz ( 2 ϕ + 2Qϕ] ds+ z [qϕ + 12 h(ϕ ϕ 2 ] ds; (45 здесь поверхность элемента. Используя (42, (43 в (45 с учетом (40, получаем формулы для вычисления коэффициентов K αβ (α,β = 1,..., n верхней треугольной части матрицы жесткости [K] элемента K αβ = A αβ + B αβ + C αβ + P αβ, (46 α = 1,..., n, β = α,..., n, A αβ = r αi r βj rk xx A ijk, B αβ = C αβ = r αi r βj r yy k B ijk, r αi r βj r zz k C ijk,

12 80 А. Д. Матвеев, Ю. В. Немировский A ijk = ψ i C ijk = P αβ = h r αi r βj P ij, (47 j=1 ψ j u kds, B ijk = ψ i z ψ j z u kds, P ij = ψ i S ψ j u kds, ψ i ψ j ds. (48 Итак, в силу (46, (47 коэффициенты K αβ матрицы жесткости элемента выражаются в явном виде через группу интегралов (48. Отметим, что A ijk = A jik, B ijk = B jik, C ijk = C jik, P ij = P ji. Аналогично, как и для трехмерных элементов задачи упругости, определяются интегралы (48 с применением параллельных вычислений. Для трехмерной задачи (37 при K xx = K yy = K zz = const в параллельном алгоритме вычисления интегралов (48 максимальное число параллельных ветвей равно N = 2n(n + 1. Для конечного элемента формы прямоугольной призмы интегралы (48 определяются аналитически. Используя (41, (44, в (48 при α i,β i,γ i 1 имеем A ijk = α iα j (X ax 2 X ax a x (Y ax 2 Y ax b x (Z ax 2 Z ax c x, C ijk = γ iγ j (X az 2 X az a z (Y bz 2 Y bz b z a x = α i + α j + α k 1, b x = β i + β j + β k + 1, (Z cz 2 Z cz c z, (49 c x = γ i + γ j + γ k + 1,..., a z = α i + α j + α k + 1, b z = β i + β j + β k 1, P ij = (Xa 0 2 X a 0 c z = γ i + γ j + γ k 1, a 0 (Y b0 2 Y b 0 b 0 (Z c0 2 Z c 0 c 0 ; (50 здесь a 0 = α i + α j + 1, b 0 = β i + β j + 1, c 0 = γ i + γ j + 1, (X 1,Y 1,Z, (X 2,Y 2,Z 2 координаты узлов A 1, A 2 элемента в глобальной системе координат XY Z (см. рис. 1. При α j,β j,γ j = 0 вычисления по формулам (46, (47, (49 упрощаются. Например, при α j = 0 в силу (44, (48 имеем A ijk = 0, при β i = 0 имеем B ijk = 0 и т. д. Нижняя треугольная часть матрицы [K] элемента определяется из условия ее симметрии. Расчеты, проведенные на моноэвм, показывают, что при численном интегрировании время построения матрицы жесткости элемента второго порядка формы куба для задачи Дирихле (K xx = K yy = K zz = 1 по формулам (46 (48 примерно в 1.8 раз меньше, чем по станрдартной процедуре МКЭ, и в 2.5 раз меньше для элемента третьего порядка. Результаты данной работы являются обобщением результатов [8, 9].

13 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 81 Список литературы [1] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Мир, М., [2] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Мир, М., [3] Серебряков В. А. Модель и язык для параллельных вычислений при решении научных задач. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 33, 7, 1993, [4] Воеводин В. В. Математические модели и методы в параллельных процессах. Наука, М., [5] Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. Мир, М., [6] Демидов С. П. Теория упругости. Высшая школа, М., [7] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. Мир, М., [8] Матвеев А. Д., Немировский Ю. В. Энергетический метод определения матриц жесткости двумерных и трехмерных высокоточных элементов. Механика деформируемого твердого тела. ТГУ, Томск, 1988, [9] Матвеев А. Д. Аналитический метод построения жесткостей однородных элементов высокого порядка двух-, трехмерных задач упругости. ВЦ СО РАН, Красноярск, Поступила в редакцию 12 мая 1996 г.

МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта

МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта Актаукенова Гулнур Сарбасовна (ЕНУ им. Л.Н.Гумилева. г.астана) МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта Numrcal calculaton of gravty rtanng wall and analyss of strss-strand condton

Подробнее

1. Применение метода конечных элементов в расчете конструкций

1. Применение метода конечных элементов в расчете конструкций 1 Применение метода конечных элементов в расчете конструкций Посмотрим вначале как метод конечных элементов соотносится с другими методами инженерного анализа которые могут быть разделены на две категории

Подробнее

Рис. 1. Интуитивное представление о концентрации напряжений. (а) без концентрации напряжений, (б) при наличии концентрации напряжений.

Рис. 1. Интуитивное представление о концентрации напряжений. (а) без концентрации напряжений, (б) при наличии концентрации напряжений. Введение Как и напряжение, деформация является не менее важной механической характеристикой для оценки возможности разрушения. Термин деформация используется для определения величины и направления смещения

Подробнее

Развитие библиотеки конечных

Развитие библиотеки конечных Развитие библиотеки конечных элементов ПК ЛИРА 1 Евзеров И. Д. lira-soft.com Стержень переменного сечения Размеры сечения линейно изменяются по длине стержня. При построении матрицы жесткости используются

Подробнее

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОЛОЧЕК СПЛАЙНОВЫМ ВАРИАНТОМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОЛОЧЕК СПЛАЙНОВЫМ ВАРИАНТОМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УДК 59. Х.Г. Киямов кандидат технических наук доцент кафедры прикладной математики Н.М. Якупов доктор технических наук профессор кафедры строительной механики заведующий лабораторией ИММ КазНЦ РАН И.Х.

Подробнее

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0);

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0); Самостоятельная работа 2 Задание 1. Гармонические функции. 1. Найти все гармонические в R 2 функции u(x, y), для которых u y (x, y) = 3xy 2 x 3. 2. Найти все гармонические в R n функции, принадлежащие

Подробнее

КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЗАГОТОВКИ, ОБРАБАТЫВАЕМОЙ РЕЗАНИЕМ

КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЗАГОТОВКИ, ОБРАБАТЫВАЕМОЙ РЕЗАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЗАГОТОВКИ, ОБРАБАТЫВАЕМОЙ РЕЗАНИЕМ Смирнов В.В., Спиридонов Ф.Ф., Некрасов И.А. Бийский технологический институт, г.бийск Аннотация

Подробнее

А. М. УЛАНОВ ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. Лекции

А. М. УЛАНОВ ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. Лекции МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA

Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA Н. О. Матвеева Рассматривается возможность использования графических процессоров для

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕЛ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕЛ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕЛ А.А.Абдукодиров В работе приводится способы применения параллельных алгоритмов для моделирования процесса

Подробнее

НОВЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОРЯДКА n ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

НОВЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОРЯДКА n ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА Вычислительные технологии Том 7, 2, 22 НОВЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОРЯДКА n ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА Н.Г. Бандурин Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия,

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: 3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.А. Константинов, В.В. Лалин, И.И. Лалина СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Применение программы SCAD для решения

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Институт транспортных систем

Институт транспортных систем Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями

Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями Теория напряжений описывае динамику упругих процессов. которые возникают в среде в ответ на воздействие внешних сил. Силы в теории

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА 2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь поверхность. Используя закон Кулона, можно доказать электростатическую теорему Гаусса. Для этого необходимо

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Постулат ISSN УДК Разработка и реализация алгоритма расчета напряженнодеформированного

Постулат ISSN УДК Разработка и реализация алгоритма расчета напряженнодеформированного УДК 004.021 Разработка и реализация алгоритма расчета напряженнодеформированного состояния пластины Ждан Ольга Юрьевна Амурский государственный университет магистрант Бушманов Александр Вениаминович Амурский

Подробнее

1.2. Краткая характеристика дисциплины, ее значение и место в учебном процессе

1.2. Краткая характеристика дисциплины, ее значение и место в учебном процессе 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Математические методы расчета деформируемых тел, таких как теория упругости, теория пластичности,

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет. УДК 59.63 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В.А. Коробицын Томский государственный университет. Методом базисных операторов построены согласованные осесимметричные

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

В.Г. ФОКИН МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА

В.Г. ФОКИН МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА В.Г. ФОКИН МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов Рассматриваем векторы на плоскости или в пространстве. b a a, b длины векторов, ϕ угол между векторами 0 ϕ π. Скалярное произведение векторов можно определить так: a, b

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Подробнее

k 0, - условие текучести Мизеса (2) 1 1

k 0, - условие текучести Мизеса (2) 1 1 Применение параллельных алгоритмов для решения системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей итерационными методами на кластерной системе Демешко И.П. Акимова Е.Н. Коновалов А.В. 1. Введение

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск 138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 5 УДК 539.3 НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМИРОВАНИИ И РАЗРУШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

Мущанов В.Ф., Жук Н.Р.

Мущанов В.Ф., Жук Н.Р. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ Мущанов В.Ф. Жук Н.Р. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Подробнее

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре Е-mail:

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре Е-mail: 15 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 008. Т. 49, N- УДК 53.56. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА НА ЛЕДЯНОЙ ПОКРОВ В. Д. Жесткая, В. М. Козин Комсомольский-на-Амуре государственный

Подробнее

ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ. К.С. Бормотин 1

ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ. К.С. Бормотин 1 вычислительные методы и программирование. 03. Т. 4 4 УДК 57.97, 539.376 ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ К.С. Бормотин Рассматривается

Подробнее

Билет 1. Билет Вектор. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Инвариантное определение вектора. 2. Закон сохранения импульса

Билет 1. Билет Вектор. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Инвариантное определение вектора. 2. Закон сохранения импульса Билет 1. 1. Криволинейные координаты в R 3. Базис. Кобазис (взаимный базис). 2. Закон сохранения полной энергии ρ de dt + div q = P D, P D = 1 2 привести к дивергентному виду i,j p ji ( v i x j + v j x

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Глава 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 1.1 ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 1.1.1 Упругость. Сплошная среда Опыт показывает, что твердое тело под влиянием внешних воздействий изменяет свою форму. К внешним воздействиям

Подробнее

Применение численных методов для моделирования напряженнодеформированного. массивов горных пород с учетом неоднородности

Применение численных методов для моделирования напряженнодеформированного. массивов горных пород с учетом неоднородности Применение численных методов для моделирования напряженнодеформированного состояния массивов горных пород с учетом неоднородности Горный институт КНЦ РАН Аспирант Дмитриев Сергей Владимирович Моделирование

Подробнее

Б3.В.ДВ.9.1 «Теория упругости» (индекс и наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом)

Б3.В.ДВ.9.1 «Теория упругости» (индекс и наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом) Направление подготовки РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины Б3.В.ДВ.9.1 «Теория упругости» (индекс и наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом) 08.03.01 Строительство (шифр и наименование

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m)

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m) 178 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 4 УДК 539.3 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя

Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя УДК 9.8:4.64 Н.К. Салихова, Е.Я. Денисюк Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Упругость анизотропных материалов

Упругость анизотропных материалов Упругость анизотропных материалов А. А. Ташкинов 7 марта 2010 г. 2 Оглавление 1 Теория деформаций 7 1.1 Введение............................... 7 1.2 Малые деформации......................... 9 1.3 Малые

Подробнее

Применение МКЭ для расчёта электромагнитного экрана (стр )

Применение МКЭ для расчёта электромагнитного экрана (стр ) Применение МКЭ для расчёта электромагнитного экрана (стр. 135 142) Кечиев Л.Н., Сергеев А.А., Сафонов А.А. Метод конечных элементов (МКЭ) является численным методом решения дифференциальных уравнений,

Подробнее

Приложение 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория)

Приложение 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория) Приложение. Краевые задачи теплопроводности (теория.f93 Приложение КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория Д.. Постановка краевой задачи несвязанной теплопроводности В каждой элементарной единице объема

Подробнее

Лекция 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. циала U 1. r =. Тогда

Лекция 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. циала U 1. r =. Тогда Лекция 4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 1 Потенциальное векторное поле Соленоидальное векторное поле 3 Гармоническое поле 4 Операторы Гамильтона и Лапласа 1 Потенциальное векторное поле Определение 1

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского. Факультет Вычислительной математики и кибернетики. Параллельные численные методы

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского. Факультет Вычислительной математики и кибернетики. Параллельные численные методы Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Параллельные численные методы Метод Холецкого При поддержке компании Inte Баркалов К.А.,

Подробнее

Приложение 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория)

Приложение 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория) Приложение. Краевые задачи теплопроводности (теория PLM.Fv10.2.0 Приложение КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (теория П.1 Постановка краевой задачи несвязанной теплопроводности В каждой элементарной единице

Подробнее

УДК Гребенюк С. Н., Бова А. А. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗИНОВОГО ВИБРОИЗОЛЯТОРА Запорожский национальный университет

УДК Гребенюк С. Н., Бова А. А. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗИНОВОГО ВИБРОИЗОЛЯТОРА Запорожский национальный университет УДК 539.3 Гребенюк С. Н. Бова А. А. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗИНОВОГО ВИБРОИЗОЛЯТОРА Запорожский национальный университет В статье приведены результаты расчета напряженно-деформированного

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение дифференциальных уравнений в частных производных При поддержке компании Inel Баркалов

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МИЗЕСА ШЛЕЙХЕРА

УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МИЗЕСА ШЛЕЙХЕРА 44 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 6 УДК 59.74 УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МИЗЕСА ШЛЕЙХЕРА А. М. Коврижных Новосибирский военный институт,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

1. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных 2-го порядка

1. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных 2-го порядка УМФ семинар К 5 Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных -го порядка Классификация линейных УЧП -го порядка с -мя независимыми переменными Рассмотрим общее УЧП -го

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

Н. В. Бамбаева, А. М. Блохин СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД

Н. В. Бамбаева, А. М. Блохин СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД УДК 57.956.3 + 53.35 Н. В. Бамбаева, А. М. Блохин К ВОПРОСУ О t-гиперболичности НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД Рассматриваются уравнения, описывающие течения несжимаемой вязкоупругой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА УДК 58:575:536 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА Докт физ-мат наук МЕЛЕШКО И Н Белорусский национальный технический университет

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

К определению частот и форм собственных колебаний ортотропной полосы

К определению частот и форм собственных колебаний ортотропной полосы ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ УДК 539.3 Академик Л. А. Агаловян, М. Л. Агаловян К определению частот и форм собственных колебаний ортотропной полосы (Представлено 14/III 2003) Рассматривается вопрос определения частот

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются

ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются практически во всех сферах науки, касающихся анализа строительных

Подробнее

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Подробнее

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Вабищевич П.Н. 1, Васильев В.И. 2 1 Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН ул. Большая Тульская д.52, 115191 Москва,

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

О СВОЙСТВАХ АППРОКСИМАЦИИ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

О СВОЙСТВАХ АППРОКСИМАЦИИ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Вычислительные технологии Том 6, 4, 200 О СВОЙСТВАХ АППРОКСИМАЦИИ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Е.В. Овчинникова Красноярский государственный технический университет, Россия А.М. Франк Институт

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

ПРОГРАММА. по направлению подготовки «Математика и механика» по специальности «Механика деформируемого твердого тела»

ПРОГРАММА. по направлению подготовки «Математика и механика» по специальности «Механика деформируемого твердого тела» Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики Донецкий национальный университет ПРОГРАММА вступительного экзамена для поступающих на обучение по программам дополнительного профессионального

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА 1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА В настоящем разделе изложены материалы исследований, направленных на построение общего и частных решений задачи об определении напряженно-деформированного состояния

Подробнее

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА 36 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 6 УДК 532.5: 533.6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики

Подробнее