V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1"

Транскрипт

1 Решения задач шестой студенческой олимпиады по алгебре Задача 1 Докажите, что если все элементы действительной квадратной матрицы порядка больше двух отличны от нуля, то их можно умножить на положительные числа так, чтобы матрица стала вырожденной. (Олимпиада мехмата 1980 г. Решение 1. Рассмотрим один столбец матрицы. Допустим, что в нём есть и положительные и отрицательные числа. Пусть сумма чисел в этом столбце равна S 0. Выберем элемент x данного столбца, противоположный S по знаку. Тогда, умножив x на подходящее положительное число, мы можем добиться того, что сумма чисел в этом столбце будет равна нулю. Таким образом, если в каждом столбце есть числа обоих знаков, то можно умножить по одному числу из каждого столбца на положительное число так, чтобы сумма строк стала равна нулю, а значит, матрица стала вырожденной. Допустим, что A матрица n n, удовлетворяющая условиям задачи, элементы которой нельзя умножить на положительные числа так, чтобы она стала вырожденной. Тогда в A есть столбец, все элементы которого одного знака. Обозначим номер одного из таких столбцов через k. Рассмотрим матрицы A 1,..., A n, где A i получена из матрицы A умножением i-й строки на 1. Докажем, что существует такой номер 1 j n, что в каждом столбце матрицы A j есть элементы обоих знаков. Действительно, пусть для каждого 1 i n в матрице A i есть столбец с номером ϕ(i, все элементы которого одного знака. Однако, из того, что n 3, следует, что все числа ϕ(1,..., ϕ(n, k различны, чего не может быть. Итак, в каждом столбце матрицы A j есть числа обоих знаков. Значит, по доказаному ранее, элементы A j можно умножить на такие положительные числа, что получившаяся матрица B j будет вырожденой. Умножим элементы матрицы A на те же числа, получим матрицу B. Заметим, что матрица B получается из B j умножением j-й строки на 1. Таким образом, ранги у матриц B и B j совпадают. А значит, матрица B вырождена. Решение 2. В развёрнутой формуле определителя матрицы порядка n 3 встречаются как положительные, так и отрицательные слагаемые (докажите!. Предположим не теряя общности, что определитель нашей матрицы положителен. Рассмотрим тогда наибольшее по модулю отрицательное слагаемое S. Умножим все входящие в него элементы матрицы на x. Тогда новый определитель будет многочленом от x степени n, причем коэффициентом при x n будет именно S. При достаточно большом x определитель станет отрицательным (докажите этот факт!, а при x = 1 он положителен. Так как многочлен непрерывная функция, то при некотором положительном x он равен 0. Упражнение. Будет ли утверждение верным, если ровно один из элементов матрицы равен нулю? Задача 2 Покажите, что вещественная матрица A размера вырождена тогда и только тогда, когда её можно превратить в A элементарными преобразованиями вида прибавление к одной строке другой, умноженной на число. (Предложил А. А. Клячко. Решение. При элементарных преобразованиях такого типа сохраняется определитель, поэтому невырожденная матрица A не может быть превращена в A, так как A = ( A = A A, если A 0. Допустим теперь, что матрица A вырождена. Тогда, как известно, она может быть превращена в матрицу A с нулевой строкой при помощи нескольких преобразований T 1,..., T k указанного типа: A = T k ø... øt 1 (A. Матрицу A с нулевой последней строкой легко превратить в A. Действительно, для всех i от единицы до 2010 достаточно проделать следующие преобразования: U i : прибавление i-й строки к последней; 1

2 2 V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 1 T 1 k ( A = = T 1 1 T 1 k U 1 V 1 U 1 U 2010 V 2010 U 2010 (A = = T 1 1 T 1 k U 1 V 1 U 1 U 2010 V 2010 U 2010 T k T 1 (A Упражнение. Покажите, что любая матрица может быть превращена в минус себя преобразованиями указанного типа. Найдите наименьшее число преобразований, необходимых для превращения единичной матрицы в минус единичную. Задача 3 Какие бы вещественные числа Змей Горыныч ни написал на чёрных клетках шахматной доски, Иванушка-дурачок может заполнить белые клетки так, что получится матрица ранга r. Для каких r это возможно? (Предложил А. А. Клячко. Ответ. 4, 5, 6, 7 и 8. Решение. Перестановками строк и столбцов шахматная доска приводится к виду На такой упрощённой шахматной доске ясно видно, что сделать ранг 0, 1, 2 или 3 Иванушка не сможет (если Змей ему не подыграет, так как Змей полностью контролирует минор порядка четыре и сможет сделать его ненулевым, если захочет. Докажем теперь, что любой ранг больший трёх Иванушка сделать сможет, как бы Горыныч ни старался ему помешать. Другими словами, Иванушка должен для любого числа r {4, 5, 6, 7, 8} и любых матриц Z и размера 4 4 подбирать матрицы I и D размера 4 4 такие, что rk ( Z I D = r. Решением задачи будет, например, следующая пара матриц: I = E и D = X + Z, где X любая матрица 4 4 ранга r 4. Действительно, rk ( Z E X + Z (( Z E X + Z ( E 0 Z E ( 0 E X = (( E 0 E ( 0 E X ( 0 E X 0 = 4 + rk X = r. Мы воспользовались тем, что умножение слева и справа на невырожденные матрицы не меняет ранг. Упражнение. Как изменится ответ, если Иванушка контролирует только одну большую диагональ шахматной доски, а Горыныч всё остальное?

3 Задача 4 Покажите, что каждый многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами, отображающий все корни из единицы в корни из единицы, является одночленом. (Предложил А. А. Клячко. Решение. Если многочлен f(x = a k x k отображает корни из единицы в корни из единицы, то f(af(a = 1 для любого корня из единицы a, где f(x = a k x k сопряжённый многочлен. При этом a = 1, то есть многочлен Лорана g(x = f(xf( 1 1 имеет бесконечно много корней a x (все корни из единицы являются его корнями. Значит, g(x является константой, то есть ( 1 f(xf = const. x Это возможно только, если f является одночленом, так как при умножении многочленов Лорана максимальные степени их членов складываются и минимальные степени их членов тоже складываются: ( bp x p + b p+1 x p b P x P ( c q x q + b q+1 x q c Q x Q = b p c q x p+q + + b P c Q x P +Q. Упражнение 1. Верно ли, что рациональная дробь над полем комплексных чисел, принимающая вещественные значения во всех вещественных точках, в которых её значение определено, равна дроби с вещественными коэффициентами? 3 Задача 5 Покажите, что разрешимая группа, в которой коммутант выделяется прямым сомножителем, абелева. (Предложил В. Шмаров. Решение. Коммутант прямого произведения групп есть прямое произведение их коммутантов (докажите!. Поэтому, если = A, то A = {1} и =. Первое из этих равенств означает, что группа A абелева, а второе означает, что = = = = {1} в силу разрешимости. Упражнение. Покажите, что центр прямого произведения групп есть прямое произведение их центров. Докажите аналогичное разложение для каждого класса сопряжённости прямого произведения групп. Верно ли, что каждый идеал прямой суммы колец есть прямая сумма некоторых идеалов слагаемых? Задача 6 Пусть K поле нулевой характеристики и L 1,..., L n набор его конечных расширений. Докажите, что L 1... L n порождается над K одним элементом (то есть найдётся такой элемент h этой алгебры, что все остальные элементы выражаются как многочлены от h с коэффициентами из K. (Предложил А. В. Гришин. Решение. Шаг 1. Докажем, что каждое конечное расширение L поля K порождается над K одним элементом (теорема о примитивном элементе. Здесь мы следует изложению из параграфа 46 книги (Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, Используя индукцию, достаточно доказать утверждение в случае, когда расширение L порождается двумя элементами, т.е. L = K(α, β. Пусть f(x и g(x минимальные многочлены элементов α и β над полем K и F конечное расширение поля K, в котором многочлены f(x и g(x разлагаются на линейные множители. Пусть α 1 = α, α 2,..., α m и β 1 = β, β 2,..., β k корни этих многочленов в поле F. Из неприводимости многочленов f(x и g(x над K следует, что эти корни являются попарно различными элементами поля F. Поскольку поле K бесконечно, найдется такой элемент c K, что α i + cβ j α 1 + cβ 1 при всеx i, j 1. Покажем, что L = K(θ, где θ = α + cβ. Элемент β удовлетворяет уравнениям g(x = 0 и f(θ cx = 0, коэффициенты которых лежат в K(θ. Многочлены g(x и f(θ cx имеют лишь один общий корень, поскольку для

4 4 остальных корней β j многочлена g(x имеем θ cβ j α i. Значит, многочлены g(x и f(θ cx имеют лишь один общий линейный множитель x β. Коэффициенты этого множителя лежат в K(θ. Значит, β и α = θ cβ лежат в K(θ, и L = K(θ. 1 Далее мы используем подход из главы 11 книги (Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс Шаг 2. Пусть A алгебра над полем K и F некоторое расширение поля K. Векторное пространство A(F := A K F, снабженное умножением (λ u(µ v = λµ uv, является алгеброй над полем F. Ясно, что если A = A 1 A 2 прямая сумма алгебр, то A(F = A 1 (F A 2 (F. Далее, если A = K(α простое расширение поля K, рассматриваемое как алгебра над K, и f(x минимальный многочлен элемента α над K, то A = K[x]/(f(x. Если над полем F многочлен f(x разлагается на линейные множители, то A(F = F[x]/(f(x = F... F (m копий, где m степень многочлена f(x. Шаг 3. Пусть A алгебра конечной размерности s над полем K. Покажем, что если для некоторого расширения F поля K алгебра A(F порождается над полем F одним элементом, то и алгебра A порождается над K одним элементом. Если это не так, то для любого a A элементы 1, a,..., a s 1 линейно зависимы над K. Это можно записать в виде тождественного равенства нулю определителя, составленного из координат элементов 1, a,..., a s 1 в некотором базисе пространства A. Как функция от координат элемента a этот определитель представляет собой некоторый многочлен с коэффициентами из K. Если он равен нулю при всех значениях переменных в поле K, то он является нулевым многочленом, и, следовательно, равен нулю и при всех значениях переменных в расширении F поля K. Значит, алгебра A(F не порождается над полем F одним элементом, противоречие. Шаг 4. Вернемся к алгебре A = L 1... L n из условия задачи. Как следует из доказанного выше, найдется такое конечное расширение F поля K, что A(F = F... F (r копий для некоторого натурального r. Достаточно доказать, что эта алгебра порождается над F одним элементом. Рассмотрим элемент c = (c 1,..., c r, где все компоненты c i F попарно различны. Тогда определитель, составленный из координат элементов 1, c,..., c r 1, есть определитель Вандермонда для c 1,..., c r и, значит, отличен о нуля. Замечание. В качестве альтернативы шагам 2 4 можно показать, что у порождающих элементов полей L i минимальные многочлены f i можно считать попарно непропорциональными. После этого набор из этих порождающих элементов будет порождать подалгебру, изоморфную K[x]/(f 1,..., f n, и из соображений размерности она совпадет со всей алгеброй. Задача 7 Покажите, что простая группа не может содержать подгрупп двух разных простых индексов. (Предложил Е. П. Вдовин. Решение. Пусть простая группа и предположим, что она содержит подгруппы различных простых индексов p и q. Без ограничения общности можно считать, что p < q. Пусть H подгруппа группы индекса p. Рассмотрим действие группы на правых смежных классах {Hx x } правыми умножениями. Это действие даёт гомоморфизм ϕ из в симметрическую группу S p степени p. Поскольку H, образ группы относительно построенного гомоморфизм нетривиален. Так как группа проста, получаем, что образ ϕ( изоморфен группе (в частности, группа конечна. Но q с одной стороны делит, а с другой не делит S p, значит, не делит ϕ( =, противоречие. 1 Отметим, что теорема о примитивном элемента не всегда верна над полями положительной характеристики. Например, можно рассмотреть конечное расширение Z p (x p, y p Z p (x, y.

5 Упражнение 1. Покажите, что если простая группа содержит подгруппу простого индекса p, то p наибольший простой делитель порядка группы и p 2 не делит порядок группы. 5 Задача 8 Покажите, что произведение любых пяти комплексных матриц 3 3 можно представить как линейную комбинацию произведений менее пяти сомножителей, каждый из которых равен одной из этих пяти матриц. (Произведение нуля сомножителей считается единичной матрицей. Решите аналогичную задачу для матриц 2 2. На какое наименьшее число можно заменить пять в этом случае? (Предложили А. Э. Гутерман и О. В. Маркова. Решение 1. Пусть имеется пять матриц 3 3: A, B, C, D и F. Рассмотрим все конечные последовательности, составленные из этих матриц, и упорядочим эти последовательности по длине, а при равной длине по алфавиту: пустая последовательность < (A < (B < (C < (D < (F < (A, A < (A, B <... Будем говорить, что последовательность сократима, если произведение её элементов линейно выражается через произведения элементов меньших (в этом смысле последовательностей. (Произведение элементов пустой последовательности считается, как всегда, единичной матрицей. Предположим, что существует последовательность длины пять, произведение элементов которой не выражается через произведения элементов последовательностей меньшей длины. Минимальная (в смысле введённого порядка такая последовательность, очевидно, несократима. Поэтому, чтобы получить противоречие, достаточно доказать, что каждая последовательность (X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 длины пять сократима. Предположим противное. Заметим, что это означает, что никакая подпоследовательность нашей последовательности не сократима. Посчитаем, сколько разных подпоследовательностей мы имеем. Длина 0: одна подпоследовательность (пустая. Длина 1: по крайней мере две разных подпоследовательности, так как в противном случае наша последовательность имела бы вид (X, X, X, X, X и была бы сократима по теореме Гамильтона Кэли. Длина 2: по крайней мере две подпоследовательности, так как совпадение (X 1, X 2 и (X 2, X 3 означает, что X 1 = X 2 = X 3, а последовательность (X, X, X сократима по теореме Гамильтона Кэли. Длина 3: по крайней мере две подпоследовательности по той же причине: совпадение (X 1, X 2, X 3 и (X 2, X 3, X 4 означает, что X 1 = X 2 = X 3 = X 4, а (X, X, X сократима по теореме Гамильтона Кэли. Длина 4: по крайней мере две подпоследовательности опять по той же причине: совпадение (X 1, X 2, X 3, X 4 и (X 2, X 3, X 4, X 5 означает, что X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5, а (X, X, X сократима по теореме Гамильтона Кэли. Всего девять несократимых последовательностей мы насчитали. Заметим, что если у любого набора различных несократимых последовательностей взять произведения элементов, то полученные матрицы автоматически будут линейно независимыми (понятно, почему?. При этом размерность пространства матриц равна девяти, то есть через эти девять произведений не более чем четырёх сомножителей выражается всё (и наше произведение X 1 X 2 X 3 X 4 X 5, в частности. Задача про матрицы 2 2 решается так же, но проще. Число 5 в этом случае можно заменить числом 3. Решение 2. Пусть M n (C обозначает пространство (алгебру всех матриц размера n n над полем комплексных чисел C. Рассмотрим некоторое произведение U = B 1 B l M n (C. Обозначим через S = {A 1,..., A k }, k l, базис множества B 1,..., B l. Далее будем считать S непустым, т.к. если S пусто, то B i = 0 для всех i, и U = 0 = B 1.

6 6 Сделаем несколько очевидных наблюдений: 1. Достаточно решить задачу только для произведений, состоящих из l матриц из S. (Разложим каждую матрицу B r по базису S, подставим в U и раскроем скобки. Пусть L i (S обозначает множество линейных комбинаций с коэффициентами из C (линейную оболочку произведений не более i сомножителей элементов из S. В частности, L 0 (S = {αe α C}, L 1 (S = {α 0 E + α 1 A 1 + α 2 A α k A k α 0,..., α k C} и т.п. Линейную оболочку всех возможных произведений матриц из S обозначим через L(S. 2. L(S и L i (S являются подпространствами в M n (C, откуда, dim L(S, dim L i (S dim M n (C = n Имеет место цепочка вложений L 0 (S L 1 (S... L i (S... L ( S M n (C. 4. Если L i+1 (S = L i (S, то L i+j (S = L i (S = L(S для любого j N {0}. 5. Если L i+1 (S L i (S, то dim L i+1 (S dim L i (S + 1. Cлучай n = 2: Заметим, что dim M 2 (C = 4, поэтому возможны следующие варианты: 1. dim L 1 (S 2. Тогда L 1 (S = E, A. По теореме Гамильтона Кэли A 2 выражается в виде многочлена от E и A, откуда L 2 (S = L 1 (S. 2. dim L 1 (S = 3. Тогда либо L 2 (S = L 1 (S, либо dim L 2 (S dim L 1 (S + 1 = 4 = dim M 2 (C и, следовательно, L 3 (S = L 2 (S. 3. dim L 1 (S = 4 = dim M 2 (C. Тогда L 1 (S = M 2 (C и, следовательно, L k (S = L 1 (S для любого k 2. Cлучай n = 3: Во введенных обозначениях доказываемое утверждение примет вид: W = A i1 A i2 A i3 A i4 A i5 L 4 (S, здесь A i S могут повторяться, и для решения задачи нам достаточно показать, что L(S = L 4 (S. 1. Если dim L 1 (S 2, то W L 2 (S как в случае n = Таким образом, далее мы будем считать, что dim L(S dim L 1 (S 3. Если dim L 1 (S dim L(S 3 и L 3 (S L(S, то справедливо dim L(S dim L 4 (S dim L 3 (S + 1 dim L 2 (S + 2 dim L 1 (S + 3 dim L(S, откуда, L(S = L 4 (S. Мы показали, что если dim L(S 6, то утверждение доказано. 3. Пусть теперь 7 dim L(S 9 и dim L(S 4 dim L 1 (S 3. Пусть A i1 A i2 L 1 (S, или A i1 A i2 A i3 L 2 (S, или A i1 A i2 A i3 A i4 L 3 (S, т.е. для некоторого r {2, 3, 4} справедливо A i1 A i2 A ir L r 1 (S. По построению при этом также выполнено включение A ir+1 A i5 L 5 r (S. Поскольку степени многочленов при умножении складываются, из этих двух условий получаем, что W = (A i1 A i2 A ir (A ir+1 A i5 L (r 1+(5 r (S = L 4 (S. Следовательно, можно считать, что A i1 A i2 A ir / L r 1 (S ни для какого r {2, 3, 4}. Это означает, что dim L r (S dim L r 1 (S+1 для всех r {2, 3, 4}, откуда как в пункте 2 получаем, что dim L 4 (S dim L 1 (S Допустим, что dim L 2 (S = dim L 1 (S + 1. В этом случае все одночлены степени 2 в L 2 (S представляются в виде линейной комбинации одночлена A i1 A i2 и элементов из L 1 (S. Тогда W есть линейная комбинация одночлена A 3 i 1 A i2 A i5 и элементов из L 4 (S. По теореме Гамильтона Кэли для любой матрицы A M 3 (C выполнено равенство A 3+l = α 2l A 2 + α 1l A + α 0l E, где l N {0}, α i C. Поэтому, подставляя в W и раскрывая скобки, получим W L 4 (S. 5. Пусть теперь dim L 2 (S dim L 1 (S + 2. В этом случае dim L 4 (S dim L 1 (S Если dim L(S = 7, то dim L 4 (S = dim L(S, и все доказано. При dim L(S = 8 и dim L 1 (S = 4 получаем, что dim L 4 (S = 8 = dim L(S, L 4 (S = L(S, и все доказано. При dim L(S = 9 и dim L 1 (S = 5 также получаем, что dim L 4 (S = 9 = dim L(S, L 4 (S = L(S и все доказано.

7 6. Значит, можно считать, что dim L 1 (S 4 при dim L(S = 9 и dim L 1 (S = 3 при dim L(S = 8. α. Предположим, что все одночлены степени 3 в L 3 (S представляются в виде линейных комбинаций A i1 A i2 A i3 и элементов из L 2 (S. Тогда получим, что W представляется в виде линейной комбинации одночлена A 3 i 1 A i2 A i3 L 4 (S (применение теоремы Гамильтона Кэли аналогично п. 4 и элементов из L 4 (S, т.е. W L 4 (S. β. Если предыдущий пункт не выполняется, то dim L 3 (S dim L 2 (S 2. В этом случае dim L 4 (S dim L 1 (S + 5. (a В случае dim L 1 (S = 4 получаем, что dim L 4 (S = 9 = dim M 3 (F, L 4 (S = M 3 (F, и все доказано. (b Если dim L 1 (S = 3 и dim L(S = 8, получаем, что dim L 4 (S = 8, L 4 (S = L(S, и все доказано. (c Осталось рассмотреть возможность dim L 1 (S = 3 и L(S = M 3 (C, внутри которой возможны два подслучая: либо i 1 = i 2, либо они различны. (i Если i 1 = i 2, то либо все произведения в L 4 (S представляются в виде линейной комбинации произведения A 2 i 1 A i3 A i4 и матриц из L 3 (S, либо dim L 4 (S = 9. Тогда в первом случае произведение W представляется в виде линейной комбинации произведения A 3 i 1 A i3 A i4 (лежит в L 4 (S по теореме Гамильтона Кэли и матриц из L 4 (S, т.е. W L 4 (S, а во втором случае все и так доказано. (ii Если i 1 i 2, то либо dim L 4 (S = 9 и W L 4 (S = M 3 (C, либо W представляется линейной комбинацией произведения A 2 i 1 A i2 A i3 A i4 (лежит в L 4 (S по доказанному в i и матриц из L 4 (S. Следовательно, W L 4 (S. Упражнение 1. Приведите пример множества матриц S, показывающий, что в 2 2-случае 3 нельзя заменить на меньшее число. Упражнение 2. Приведите пример множества матриц S, показывающий, что в 3 3-случае 5 нельзя заменить на меньшее число. Что в этом случае можно сказать про L(S? Упражнение 3. Решите аналогичную задачу про матрицы 4 4. Упражнение 4. Докажите, что найдутся две такие 3 3 матрицы, что любая 3 3 матрица может быть представлена в виде линейной комбинации произведений этих двух матриц. Верно ли соответствующее утверждение для n > 3? Упражнение 5. На какое наименьшее число можно заменить пять в случае, когда все матрицы в произведении а диагональные, б верхненильтреугольные, в верхнетреугольные, г попарно коммутируют в случае 3 3-матриц и в случае n n-матриц? 7

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования»

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» 03.06.15 Вариант 1. 1. Порядок элемента g группы G равен 104. Чему равен порядок элемента g 39? Запишите подробное решение. Решение. Обозначим

Подробнее

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 17 ПОЛЯ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример 2. Для каждого простого числа

Подробнее

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача.

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача. Решения задач пятой олимпиады Задача 010 1 Централизатор подстановки это множество подстановок которые с ней коммутируют. Какое наименьшее число элементов может быть в централизаторе подстановки из группы

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ ЛЕКЦИЯ 14 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ 1 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ Идеал в кольце это аналог нормальной подгруппы в группе. Определение 1. Идеалом кольца R

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ЛЕКЦИЯ 16 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ПОЛЯ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ На прошлой лекции мы доказали,

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

12. Целые расширения колец

12. Целые расширения колец 12. Целые расширения колец В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец предполагаются отображающими единицу в единицу. 12.1. Целые элементы.

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 1 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ Пусть K поле, G группа. Рассмотрим множество K[G] всевозможных формальных сумм α, α K. По определению α = β α = β G. Введем операции над

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Решения задач четвертой олимпиады Задача Найдите ранг матрицы, зависящей от комплексного параметра X:

Решения задач четвертой олимпиады Задача Найдите ранг матрицы, зависящей от комплексного параметра X: Решения задач четвертой олимпиады Задача 2009 1 Найдите ранг матрицы, зависящей от комплексного параметра X: 2XX 2 2 2 2 2 XX 2 2 XX 2 2 2 2 2 2 XX 2 2 2 XXXX 2 2 2 XXXX 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15 14 Е. Ю. Смирнов 3. Третья лекция, 16апреля 2014 г. 3.1. Аннулятор модуля. Циклические модули. Определение 3.1. Модуль, порождённый одним элементом, называется циклическим. Пример 3.2. Всякий циклический

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко Квадратичные

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ 03 КУРС. При каких n 3 можно утверждать, что для всякой пирамиды с выпуклым n-угольником в основании и всякой точки X внутри неё сумма расстояний от

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИКАЛАХ Лемма 1. Пусть L расширение Галуа поля K такое, что группа G = Gal L/K циклическая. Тогда расширение

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. П. С. Колесников, й семестр. 1. Векторные пространства. Матрицы и определители

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. П. С. Колесников, й семестр. 1. Векторные пространства. Матрицы и определители ВЫСШАЯ АЛГЕБРА П. С. Колесников, 2013 1-й семестр 1. Векторные пространства. Матрицы и определители Поле комплексных чисел. [1, гл.1; 3, 17-19; 2, ч.1, гл.5, 1]. Алгебраическая операция, поле. Поле комплексных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее