которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:"

Транскрипт

1 МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность Множества обычно обозначаются заглавными буквами А, В, X, Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывается так: A и читается «а принадлежит множеству А», «а входит в множество А» Запись A означает, что а не является элементом множества А Операции над множествами Объединение множеств Определение Объединение множеств А и В есть множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств ( A B C ) Пересечение множеств Определение Пересечение множеств А и В есть множество С, элементы которого принадлежат одновременно и А и В ( A B C ) 3Разность множеств Определение Разностью множеств А и В есть множество С, элементы которого принадлежат А, но не принадлежат В ( A\ B C ) 4Подмножества Определение Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А принадлежит и множеству В : A B ( A B C ) ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Множество натуральных чисел Числа, употребляемые для счета, называются натуральными (N=,, 3 ) Множество целых чисел Целые числа состоят из натуральных, нуля и чисел, противоположных натуральным (Z =,,, 3 ) Множество рациональных чисел Рациональными числами называются числа, которые представимы как, где целое, а q натуральное (Q = ; Z, q N q q ) m mq Операции сложения: Q q q Операция умножения: m m Q q q Свойства сложения:, Q Q, Q 3 Q Q, что 4, Q существует и притом единственный x Q, так что x x (разность множеств) m m mq 5 Если,, то q q q Свойства умножения:, Q существует единичный элемент, что

2 3 Q, существует такой элемент (обратное ему), что 4, Q, существует такой элемент x, что x x m 5Если m МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Всякое положительное рациональное число q разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь Верно и обратное утверждение: Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого положительного рационального числа q Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом Иррациональное число нельзя представить в виде дроби q и обратно, каждое число не представимое в виде q является иррациональным Множество всех рациональных и иррациональных чисел обозначается символом R и называется множеством действительных чисел Над множествами действительных чисел можно провести все те же операции, что и над множеством рациональных чисел МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА Абсолютной величиной (или модулем) отрицательного числа называется положительное число, получаемое от перемены его знака () на обратный (+) Абсолютной величиной положительного числа (а также числа ) называется само это число, Определение модуля числа а дадим следующим способом:, а, Из этого определения видно, что модуль любого числа неотрицателен Основные свойства модуля 3 4 Геометрическая интерпретация модуля Если точка А на числовой оси имеет координату а, то расстояние от А до равно Расстояние между точками A() и B() на прямой равно

3 ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ Пусть имеем числовое множество А Определение Множество А называется ограниченным сверху, если существует такое число M R, что A: M Число M называется верхней гранью множества А Очевидно, что если M верхняя грань, то любое число N M также является верхней гранью Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью, которая обозначается: su A Определение Множество А называется неограниченным сверху, если M R существует A, M Определение Множество А называется ограниченным снизу, если существует такое число m R, что A: m Число m называется нижней гранью множества А Очевидно, что если m нижняя грань, то любое число m также является нижней гранью Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью, которая обозначается: if A Определение Множество А неограниченно снизу, если для m R существует A, m Определение Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу Возникает вопрос: всегда ли для ограниченных множеств существуют if A и su A? На этот вопрос отвечает следующая теорема: Теорема Дедекинда Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань, те существует наименьший элемент среди верхних граней; и любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань, те существует наибольший элемент среди нижних граней Например: для множества A 3; существуют su A и if A, также существует mi A, который совпадает if A ( su A, if A mi A 3 ), но не существует mx A Если в множестве А существует максимальный элемент, то suсовпадает с максимумом Если в множестве А существует минимальный элемент, то if совпадает с минимумом sua M ) M верхняя грань, A: M ; ) A, что M if A m ) m нижняя грань, A: m ; ) A, что m Утверждения ) свидетельствуют о том, что M и m являются одной из верхних и нижних граней Утверждения ) свидетельствуют о том, что грань M является наименьшей и уменьшена быть не может; грань m является наибольшей и увеличена быть не может ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое число, то говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность),, 3,,, Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности И тк члены последовательности действительные числа, то можно внести понятие ограниченности и неограниченности для последовательности Определение Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что M,,, 3

4 Например: 5 Так как что последовательность ограничена сверху 5 Последовательность не ограничена сверху, если: для M l N, что l M Определение Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что m,,, 3 Например: 5 Так как что последовательность ограничена снизу 5 Последовательность не ограничена снизу, если: для m l N, что m Определение Последовательность последовательностью, если она ограничена и сверху и снизу, те M и m, что m M,,, 3, или C, что C,,, l называется ограниченной Определение Последовательность называется неограниченной последовательностью, если C N : C БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Рассмотрим последовательность Определение Последовательность называется бесконечно малой (бмп), если: для N N, что для N : Последовательность N N, что бесконечно малая, если существует такой номер N (те начиная с некоторого номера N ; или вне интервала ; для интервале,,, N ), все члены будут находится в могут оказаться только конечные числа Например: бесконечно малая последовательность Доказательство: возьмем любое положительное число Последовательность бесконечно малая, если, а, N N N Пусть 3 3, тогда Если N N, то si! Последовательности,, бесконечно малые 5 5 последовательности

5 Определение Последовательность не является бесконечно малой, если: N, N, что 5 Например: не является бесконечно малой последовательностью Доказательство: возьмем не является бесконечно малой последовательностью СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью Доказательство: пусть и бесконечно малые последовательности, те для N, N, Покажем, что последовательность что для N что для : и те для нужно подобрать такое число, Пусть для N, N : также бесконечно малая последовательность, что для N N, что для Из свойства модуля действительного числа Если N N, где N mx N,N Следовательно, бесконечно малая последовательность N что для N : : () : (), то () и () будут выполняться одновременно что последовательность Следствие Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью Доказательство: пусть бесконечно малая а ограниченная последовательности Покажем, что последовательность бесконечно малая последовательность, те, что для что для N N N : Если ограниченная последовательность, то M, что M,,, Так как бесконечно малая последовательность, то для данного будет существовать N, что для N : Для данного N оценим ; M M, для N M Замечание Условие ограниченности последовательности существенно Например: ) и, тогда не является бесконечно малой последовательностью;

6 ) и, тогда является бесконечно малой последовательностью; 3) и, тогда не является бесконечно малой последовательностью Таким образом, если последовательность бесконечно малая последовательность а произвольная последовательность, тогда последовательность произвольной может быть 3 Любая бесконечно малая последовательность ограниченная последовательность Доказательство: пусть бесконечно малая последовательность Докажем, что она ограничена, те покажем, что M, что M,,, Так как бесконечно малая последовательность, то для N N Тогда будет существовать N, что для : Пусть ( те ) Пусть,,, N N, что для N( ) : (3) M mx, Покажем, что ограничена числом M Возьмем N ; а) N M ; б) N что выполняется неравенство (3) M Так как любая бесконечно малая последовательность ограничена, то из свойства следует, что произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность Определение Последовательность называется бесконечно большой (ббп), если: для A N N A, что для N : A Например: последовательности последовательности,, бесконечно большие Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой Например: последовательность,,, 3,, 4,,,,,, неограниченная, но не является бесконечно большой последовательностью (доказательство привести самостоятельно) Определение Последовательность A, N, что A N не является бесконечно большой, если: Теорема (связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями) Если бесконечно малая последовательность и, начиная с некоторого номера,, последовательность будет бесконечно большой

7 последовательностью И наоборот, если бесконечно большая последовательность, то обязательно, начиная с некоторого номера и бесконечно малая последовательность Доказательство: пусть бесконечно малая последовательность и начиная с некоторого номера, следует что для N, что для N : Докажем, что бесконечно большая последовательность Возьмем A, и обозначим Так как бесконечно малая A последовательность, то для данного числа будет существовать N NA, что для NA : A A, NA A Доказательство обратной теоремы: пусть бесконечно большая последовательность Покажем, что существует,, что Тк бесконечно большая последовательность, то если A A, то Следовательно, имеет смысл рассмотреть последовательность Докажем, что бесконечно малая последовательность Для этого возьмем, и пусть A Так как бесконечно большая последовательность, то для данного числа A будет существовать NA N, что для N : A, N ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Рассмотрим последовательность Определение Число называется пределом последовательности N N, что N для В этом случае пишут, если выполняется неравенство: lim или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу (или стремится к ) Говорят также, что последовательность сходится к Если обозначить, то тогда и только тогда, когда бмп Таким образом lim, если бмп Следовательно, бесконечно малые последовательности это те последовательности, которые стремятся к нулю Выясним геометрический смысл определения предела последовательности Неравенство равносильно неравенствам или, которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки

8 Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число называется пределом последовательности, если для любой -окрестности точки найдется натуральное число N, что все значения, для которых N, попадут в -окрестность точки Вне окрестности могут оказаться лишь конечные члены данной последовательности Определение Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в противном случае расходящейся Определение Число не является пределом последовательности, если, что N N : В этом случае пишут lim СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный Доказательство: допустим обратное, например что lim и lim lim означает, что N N, что N, а lim означает, что N, что N N, Пусть и N mxn, N Тогда оба неравенства выполняются одновременно: 3, те пришли к 3 противоречию Любая сходящаяся последовательность ограничена, те если последовательность имеет предел, то данная последовательность обязательно должна быть ограниченной Доказательство: пусть имеем последовательность, имеющую предел, те lim Доказать, что она ограниченна Рассмотрим бесконечно малую последовательность ( M см свойства бмп) Пусть M E, тогда,, E ограниченная, тк ограниченная последовательность, M, тк Пусть Следовательно, последовательность Ограниченность последовательности необходимое но недостаточное условие для сходимости, Например: последовательность ограниченная, но не, имеет предела (доказательство привести самостоятельно)

9 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД СХОДЯЩИМИСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Рассмотрим последовательности )если и lim, а c любое постоянное число, то lim c c lim c Доказательство: lim ( бмп); те доказать, что lim c c, означает, доказать что c c ( )если lim, а Доказательство: c бмп: lim, то lim lim lim c бмп lim ( бмп) и lim бмп) и пусть ; те доказать, что lim доказать что 3)если бмп: lim, а бмп lim, то lim lim lim, означает, Доказательство: lim ( бмп) и lim ( бмп) и пусть доказать что бмп бмп бмп бмп ; те доказать, что lim, означает, бмп: 4) если lim, а lim и, тогда, что, и lim Доказательство: пусть Обозначим, тогда, что, Рассмотрим и докажем, что бмп: огрп бмп бмп СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ВЫРАЖЕННЫХ НЕРАВЕНСТВАМИ Свойство Если члены сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера не превосходят чем заданное число, те, то предельное значение тоже не превосходит число, те Доказательство: доказательство проведем от противного Пусть lim,, но Обозначим через Тогда из определению предела lim, N N, что или, N

10 Тогда N и имеем: или тк по предположению Пришли к противоречию, тк N mx N, Свойство доказано Пусть N mx N,, а Замечание Если lim и начиная с некоторого номера,, то Замечание Если lim и начиная с некоторого номера,, то нельзя утверждать, что Например,, lim,, но Следствие Пусть имеем две сходящиеся последовательности u, lim, lim и если начиная с некоторого номера, то Доказательство: рассмотрим последовательность c Тогда начиная с некоторого номера c lim c lim lim, теперь остается к последовательности c применить Свойство, где, c, следовательно или Замечание Если, lim, lim, то нельзя утверждать, что Например,,,, но lim lim lim lim Свойство Если lim, lim и справедливо неравенство x z y (начиная x с некоторого номера), то y lim z Доказательство: возьмем произвольный lim N, будут выполняться неравенства x что при всех x ; () lim N, y N что при всех y ; () Если обозначить через mx N N N будут выполняться неравенства N ;, то () и () выполняются одновременно и можно написать следующие неравенства: x z y, N следовательно, z имеет предел и lim z МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЛО e Определение Последовательность, N, называют возрастающей (неубывающей), если для любого Например: N, верно неравенство Определение Последовательность (невозрастающей), если для любого Например:, N, называют убывающей N, верно неравенство

11 Если в этих определениях верны соответственно неравенства или, то последовательность называют соответственно строго возрастающей или строго убывающей Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонной (строго возрастающую или строго убывающую строго монотонной) Последовательность, может быть возрастающей начиная с номера, если для любого, N, верно неравенство (аналогично, убывающей начиная с номера, если для любого, N, верно неравенство ) Теорема Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится; монотонно убывающая ограниченная снизу последовательность сходится Доказательство: Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, те и M, M,,,, Тогда по теореме Дедекинда, существует su Докажем, что lim Возьмем Рассмотрим Так как не верхняя грань, то N, Возьмем N, тогда N, значит lim мы нашли такое число N N, что N Число e Рассмотрим последовательность lim Существует ли предел данной последовательности? Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой бинома Ньютона: m m m C C C C C C! m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!( ) ( )!!!!!!!!!!!! ( ) ( )! Итак, 3!! 3!! ( )!, где!! 3!! Докажем, что x монотонно возрастающая последовательность Для этого рассмотрим x! 3!!! x

12 Так как Второе слагаемое в разложении x получается меньше второго слагаемого в разложении x, третье слагаемое меньше третьего, и тд Последнее слагаемое в разложении x меньше предпоследнего слагаемого в x и плюс ко всему в разложении x присутствует последнее положительное слагаемое Можно сказать, что x x следовательно последовательность x монотонно возрастает Докажем, что последовательность x ограничена сверху: x! 3!! 3! 3!! (Здесь мы использовали, неравенство:! Доказать самостоятельно)! Получили, что последовательность x монотонно возрастает и x 3 ( x ограничено сверху числом 3, но это не супремум) Следовательно e,78888 lim обозначим e, где Обозначим через y, очевидно, что x y Докажем, что lim y e! 3!! Для этого рассмотрим x m! m 3! m m m ( m устремим к,! m m m m! m получим) e Число e можно записать в следующем виде:! 3!! e,! 3!!! lim y e, e y, где e!! 3!! ТЕОРЕМА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ Пусть имеем последовательность отрезков ;, ;, ;, Данная последовательность отрезков является последовательностью вложенных отрезков, если: ; ; содержится в lim ;, те длина данных отрезков стремится к нулю Теорема Если имеем последовательность вложенных отрезков, то существует и притом одно единственное число c, принадлежащее всем отрезкам одновременно, те!c ; Доказательство: рассмотрим последовательности и

13 3 3 x Последовательность монотонно возрастающая и ограниченная сверху, те, c lim c Последовательность монотонно убывающая и ограниченная снизу, те, c lim c Покажем, что c и c совпадают Рассмотрим разность lim lim lim c c c c c Покажем, что число c, принадлежит всем отрезкам одновременно Можем сказать, что su c if N, c Теперь докажем, что точка c - единственная Пусть существует другая точка d, для которой: d, N и допустим, что d c, тогда c d Тк и c, c d c Чтд ПОДСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Пусть имеем последовательность Возьмем некоторую монотонно возрастающую последовательность натуральных чисел: и рассмотрим члены последовательности 3 ; ; 3;; с индексами, те ; ; ;; 3 Полученная новая последовательность называется подпоследовательностью последовательности и обозначают Например, все члены последовательности при четных номерах равны, а при нечетных равны Определение Если подпоследовательность последовательности имеет предел, то данный предел называется частным пределом последовательности Последовательность может не иметь предел, но иметь частные пределы Например, ) ; при (частный предел ); при (частный предел ) ) не имеет конечных частных пределов Теорема Если последовательность сходится (те имеет предел), то любая ее подпоследовательность тоже сходится и сходится к тому же числу, что и сама последовательность, те если lim lim x, то x x Доказательство: Рассмотрим произвольную подпоследовательность x последовательности x и докажем, что она сходится и сходится к числу N N ; N : x Тк последовательность и, то, что N Тогда x Чтд Следовательно, сходящаяся последовательность имеет один единственный частный предел предел последовательности, N

14 Теорема Если любая подпоследовательность x последовательности x сходится и сходится к одному и тому же числу, то и сама последовательность сходится и сходится к числу Доказательство очевидно, тк сама последовательность для себя является подпоследовательностью Отсюда следует необходимое и достаточное условие для сходимости последовательностей Теорема 3 Последовательность x сходится тогда и только тогда, когда любая подпоследовательность данной последовательности сходится, и сходится к одному и тому же пределу Пусть имеем последовательность x Обозначим через A множество всех частных пределов Из теоремы и теоремы следует, что если последовательность сходится, то множество A состоит из одной точки это предел последовательности, а также если содержит более одной точки, то x рассходится Те если lim, то что x A Например, если, 3 а) x, 3, то A,, ;, 3 б) A, тк в этом случае lim x (те нет конечных частных пределов) x, то Следовательно, последовательность не сходится если: не имеет частных конечных пределов или имеет более одного конечного предела Для этого следует рассматривать только ограниченные последовательности Оказывается, для ограниченных последовательностей всегда существует конечный частный предел, те имеет место следующая теорема Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, те любая ограниченная последовательность имеет частный предел Доказательство: пусть имеем ограниченную последовательностьx, те, что x Разделим отрезок пополам и рассмотрим два отрезка ; и ;, Как минимум в одном из данных отрезков находится бесконечное множество членов последовательности x Действительно, если это не так, то в обоих отрезках существуют конечные члены данной последовательности Допустим, что в первом отрезке существуют членов, а во втором r членов, следовательно, в обоих отрезках существуют r членов, откуда следует, что последовательность состоит из r членов, а ведь последовательность x состоит из бесконечного числа элементов Пришли к противоречию Обозначим через ; данный отрезок (те либо первый отрезок либо второй, те тот отрезок где находится бесконечное множество членов x

15 последовательности) Разделим его пополам Опять, как минимум в одном из данных отрезков будут существовать бесконечное множество членов последовательности x Обозначим данный отрезок через ; 3 3 и продолжим этот процесс до бесконечности И тем самым получим, что ; содержит в себе ;, а этот отрезок содержит ; 3 3, и тд, а из построения следует, что Следовательно, выполняются все условия теоремы о вложенных отрезках: существует, и притом единственная точка c ; Построим подпоследовательность последовательности x следующим образом: возьмем отрезки ;, ;,, ; и рассмотрим x ;, x ;,, x ;, где,, Получим последовательность x, где x Возьмем точку c, c, N Тогда, можно сказать, что x c x c, а тк, то, если, то, для Следовательно, x c, lim x c НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ БОЛЬЦАНО-КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема Для того, чтобы последовательность x была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для N N, или для N N, что N что N и m N и,, : : x x m x x, Доказательство Необходимость: пусть последовательность x сходится, те lim x Докажем, x что данное условие выполняется Для N N, что N : x x Для N и,, рассмотрим x x x x x x N N x x и x x x x x x Чтд Достаточность: докажем, что последовательность, удовлетворяющая этим условиям, ограниченная Возьмем, тогда N, что N x x, если N, то x N xn xn,,, Если взять M mx x,, x N,, x, N то N, M Больцано-Вейерштрасса, из последовательности x последовательность ограниченна Следовательно, по теореме x можно выделить x, которая стремится к x, те сходящуюся последовательность Докажем, что сама последовательность тоже сходится и сходится к числу x Возьмем, по которому определяется такой N, что N, что N : x x Возьмем

16 N mx N, N, тогда оба неравенства будут выполняться одновременно Возьмем N и оценим x x, тк, то, тогда x x x x x x x x x x (тк, то можем взять ) Следовательно мы доказали, что для и для N x, что последовательность сходится Чтд Пример Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности x, те показать, что для N N, что N и 3,,: x x Доказательство: пусть произвольное Тогда x x, для и для,, Определение Последовательность, для которой выполняется условие Больцано- Коши, называется фундаментальной последовательностью Следовательно, для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной Отрицание понятия фундаментальности: последовательность x нефундаментальна, если, N, N и,, что: x x Пример Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности x, те показать, что, N, N и 3,, что: x x Доказательство: x x, и при получим x x, для всех последовательность расходится, где произвольное число из интервала ; x


{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1 МГУ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Математический Анализ семестр. Часть Учебно-методическое пособие подготовлено Тесленко М.А. на основе лекций, прочитанных Черемных Ю.Н. г. Москва Математический

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец УДК 57(0758) ББК 6я7 М4 Авторы: М В Дубатовская, А А Королева, С В Рогозин, П П Староселец Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент С И Василец кандидат физико-математических наук, доцент

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ» для студентов I курса ( семестр) специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» Лекций 40 часов Составлен доцентом, ктн Зиновьевой

Подробнее

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский Математический анализ I семестр Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Графики основных элементарных функций Парабола y = ax 2 + bx + c Функция y = x α α > 0 4 α < 0 Функция y = a x Функция y = log a

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа Я.А. Барлукова С.Ф. Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть I Улан- Удэ 00 Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет Я.А Барлукова С.Ф. Долбеева

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

2. Числовые последовательности. 1. Основные понятия

2. Числовые последовательности. 1. Основные понятия Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1,2 Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа Запорожец Г.И.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

2 Различные множества чисел

2 Различные множества чисел Лекция 1.1 1 Логические символы 1. - любой, для любого x > 0 - любое число x, большее нуля 2. - существует x > 1 - существует число x, большее одного 3. - следует, следовательно a b - из a следует b 4.

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей:

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: Итак, в главе 1 Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: ограниченность снизу; ограниченность сверху; сходимость; расходимость Выяснили, что такое: окрестность точки; предел числовой

Подробнее

Аксиома непрерывности

Аксиома непрерывности Непрерывность действительных чисел свойство системы действительных чисел R, которым не обладает множество рациональных чисел Q. Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел.

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математического анализа Т. И. Коршикова, Ю.

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ КОЗАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (семестровый курс лекций, семестр ) Ростов-на-Дону

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее