ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов Томск Издательский Дом Томского государственного университета 5

2 РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики Протокол 9 от февраля 5 г Председатель комиссии, доктор физ-мат наук, профессор АГ Дмитренко Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Математический анализ» СОСТАВИТЕЛЬ доцент кафедры ТВ и МС НЮ Марголис

3 I Предел последовательности Определение предела последовательности Определение Число a называется пределом последовательности, a, если номер N N такой, что N a Доказать по определению, что a, значит найти вид зависимости N N, позволяющий для произвольно заданного найти номер N, такой, чтобы N выполнилось неравенство a Для этого левую часть последнего неравенства a оценивают сверху так, чтобы в оценке оставалось, а сама оценка была как можно более простой Например, при доказательстве предельного равенства получаем a После этого записываем неравенство и решаем его относительно Результат решения должен иметь вид f Решение обеспечивает в нашем случае выполнение неравенства a Далее, поскольку N натуральный номер, а величина f не обязательно имеет натуральное значение, берется целая часть числа и оконча-

4 тельно N Если взять, например,, 95, то получится N, те 95, 95 Пример Доказать по определению предела, что ; Определение предела для нашего случая примет вид N N, N Будем считать, что, тк в определении предела N N может быть сколь угодно большим при Сделаем оценку сверху для левой части последнего неравенства в определении предела,, запишем неравенство и, решая его относительно, получим Следовательно, N Пример Доказать по определению предела, что Для этого случая определение предела последовательности необходимо перефразировать так: для каждого сколь угодно большого Е Е N N E, N E, тк нужно доказать, что элементы последовательности могут быть сколь угодно большими при достаточно больших

5 значениях При этом оценку левой части неравенства E надо делать снизу E Теперь, решая неравенство получим E, N E [ N ] E вместо неравенства E, Задачи для самостоятельного решения Доказать по определению предела последовательности следующие предельные равенства: ; ; ; 6 ; 5 ; 6 ; 8 7 Вычисление пределов последовательностей Если существуют конечные пределы 5, y, то существуют конечные пределы a by a b y a, b R ; y y ;, если y y y

6 Решение типовых примеров: 6 6 6, так как,, так как 5 5 5,, 7 7, так как ,, В примерах мы делили числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на старшую степень так как В примере мы применили прием умножения и деления на выражение, сопряженное исходному 6

7 7 5, так как В примере 5 мы умножили и разделили разность оснований на неполный квадрат суммы этих оснований, получив в числителе разность кубов , так как 7 В примере 6 мы почленно разделили числитель и знаменатель исходной дроби на 7 7 В примере 7 мы воспользовались тем, что N

8 Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: ; 6 5 ; ; ; 5 ; ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; 5 ; 6 II Предел функции Определение предела функции Определение Число b называется пределом функции f при a f b, если такое, a что : a f b Доказать предельное равенство a f b означает, что необходимо найти вид зависимости такой, чтобы в определении предела функ- 8

9 ции из неравенства f b a следовало бы неравенство В этом определении предполагается, что числа a и b конечны Если a или b, то знаки неравенств в определении предела несколько меняются Например, f b :, : f b ; f b :, f : a : f b ; E, : a f E ; f : E E, f E Рассмотрим несколько типовых примеров доказательства предельных равенств: Доказать, что Доказать это предельное равенство означает, что необходимо найти вид зависимости такой, чтобы в определении предела функции из неравенства следовало бы неравенство f b или Таким образом, при котором из нера- 9

10 венства следует неравенство, что нам и требовалось Доказать, что Необходимо доказать, что, : Для определения вида зависимости оценим левую часть последнего неравенства в определении предела функции Теперь, если, то искомая зависимость и предельное равенство доказано Доказать, что Необходимо доказать, что, : Так как, то зависимость от определяется равенством, log По определению предела это значит E E, : E или : E, E

11 Задачи для самостоятельного решения Доказать по определению предела: ; si si a ; ; a 5 ; 5 ; 6 Непосредственное вычисление пределов При вычислении предела функции f есть всего две принципиальные возможности: либо f f a, либо a a при подстановке числа a вместо в функцию f получаются «неопределенности» вида,,,,,, и др, которые нужно «раскрывать» При вычислении пределов функций часто приходится пользоваться свойствами пределов: f g f g, R ; a a f g f g ; a f g a a f a a a, если g a a g если существуют конечные пределы f, g Для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов функций используются как правила, так и шаблонные пределы, которые нужно знать наизусть a, a

12 Следует запомнить следующие пределы: si l ; ; ; a l a ; 5 ; k log a 6, a, b ; 7, a, k ; b a b 8 log, b a Вместо в предельных равенствах 8, предлагаемых для запоминания, может стоять любое выражение u, а может стремиться к любому числу a, конечному или бесконечному, лишь бы u при a, как в пределах -5, 8 или u при a, как в пределах 6,7 Решение типовых примеров: Пример Найти предел si si - 6 Подставим вместо число 6 в выражение, стоящее под зна- ком предела Получим si si -, и исходный предел равен 6 6 нулю Иногда для раскрытия неопределенности нужно выполнить алгебраические преобразования в выражении, стоящем под знаком предела

13 Пример Найти предел Приведем разность, стоящую под знаком предела к общему знаменателю Пример Найти предел Подставляя в выражение, стоящее под знаком предела, получим неопределенность Для раскрытия этой неопределенности найдем корни числителя и знаменателя Если многочлен обращается в нуль при, то он без остатка делится на :, а Тогда 6 6 Если и нужно найти предел отношения многочленов, то возникающую при этом неопределенность раскрывают по формуле

14 a, m, b a a a,, m * m m b b bm, m Скажем, предел, а предел Пределы выражений, содержащих корни Правило * работает и в том случае, когда в числителе и знаменателе дроби, вычисление предела которой при приводит к неопределенности, могут стоять корни разных степеней Пример Найти предел Числитель последней дроби стремится к с такой же скоростью, как Знаменатель со скоростью Так как, то предел дроби равен Часто при раскрытии неопределенностей, при вычислении пределов иррациональных функций приходится умножать и делить выражение, стоящее под знаком предела, на некую функцию При этом часто оказывается полезной общая формула a b a b a a b b

15 6 Пример 5 Найти предел 5 При вычислении этого предела для раскрытия неопределенности необходимо умножить одновременно числитель и знаменатель дроби на сумму 5, сопряженную разности этих слагаемых Произведение суммы оснований на разность оснований даст нам разность квадратов этих оснований в знаменателе Пример 6 Найти предел 5 8 Для раскрытия неопределенности необходимо умножить и разделить разность, стоящую под знаком предела, на неполный квадрат суммы и, дополнив разность этих оснований до разности их кубов 5

16 6 Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: ; ; ; ; Ответ: 5 ; 6 Ответ: 9 ; ; ; 9 ; Ответ: ; ; 6 ; ; 7 ; 5

17 Вычисление пределов с помощью первого замечательного предела Рассмотрим пределы, вычисляемые с помощью обобщения si u -го замечательного предела в случае, когда a u u при a Решение типовых примеров: Пример Найти предел tg 5 si 5 si 5 Воспользуемся тем, что Заменив tg 5, 5 cos5 получим 5 cos5, так как tg 5 5 si 5 5 5, а cos5 si 5 si 5 5 cos cos 7 Пример Найти Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела cos cos 7 si 5 si si 5 si Используя -ый замечательный предел, получим 5 cos cos 7 7

18 Пример Найти предел arctg Введем переменную t arctg При t и arctg t tg t Тогда, как в примере t tg t Пример Найти предел si Перейдем к новой переменной t При t и Тогда t si t si t t Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: 7 arcsi ; si ; 8 si 7 si ; si cos tg si ; 5 ; 6 si si 5 Вычисление пределов на основе второго замечательного предела Большой класс пределов вычисляется на основе обобщения -го замечательного предела u 8 a, u u

19 и получающихся на его основе пределов: l u a u ; l a, a, u a, u u u a, u u u Решение типовых примеров: Пример Найти предел Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности, которая всегда раскрывается с помощью -го замечательного предела В этом случае в формуле u, и приводя исходный предел к шаблонному ви- ду, получим, то исходный предел Пример Найти предел f a правило g Так как = Чтобы найти, когда при a f, g, используют f a g g f a Тогда при 9

20 , f g исходный предел вычисляется так Пример Найти предел si cos Применяя правило предыдущего примера, получим cos si si si cos si cos tg Пример Найти предел l Воспользуемся формулой для логарифма частного и перепишем исходный предел так l l l l и после замены y получим l y y y l

21 Пример 5 Найти предел l l При, поэтому выполним преобразования l l l l Тогда исходный предел перепишется так l l l l l l Так как второй предел в последнем выражении равен нулю, то получается l l l l si Пример 6 Найти предел l В шаблонном пределе u si Умножая и деля на эту функцию дробь, стоящую под знаком предела, получим si si si si Пример 7 Найти si l si l Применяя тригонометрическую формулу si si si cos, получим

22 l l l l si l si l si cos = l l si cos Тогда исходный предел si l si l = = l si l l l cos = l cos, так как, l Известно, что произведение бесконечно малой величины l на ограниченную величину cos есть бесконечно малая величина, поэтому окончательно получаем si l si l Пример 8 Найти предел l l

23 Преобразуем логарифм, стоящий в знаменателе, l = l = l l l l Тогда исходный предел можно записать в виде l l l l l =, так как l, l, l l Пример 9 Найти предел l

24 При l медленнее, чем см предельное равенство 6 на стр Поэтому данный предел равен нулю Пример Найти предел Согласно предельному равенству 7 на стр этот предел равен нулю, так как быстрее, чем Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: l, ; ; si tg si ; ; 5 ; 6 l l, ; 7, l ; 8 l si cos si cos ctg 5, 5 ; 9 ; 5 ctg 6, ; arcsi arccos cos

25 III Выделение главной части функции в малой окрестности заданной точки Выделение главной части функции Определение Величина C k называется главной частью функции f в малой окрестности точки, если f k C, С, С Если С, то главная часть f в виде k определяется предельным равенством k f C При выделении главной части бесконечно большой функции f в окрестности конечной точки эту главную часть ищут в ви- С де k, в окрестности - в виде k C Главная часть f в малой окрестности точки ведет себя, как f, те f ~ C при На практике часто удобнее работать с главной частью функции, чем с ней самой, особенно, если функция сложная и громоздкая Выделить главную часть функции k f - значит найти для этой функции значения С и k, указанные в определении Сначала подбирают значение k так, 5

26 чтобы предел в определении главной части был отличным от нуля и конечным А уже потом находят и сам предел С Пример Выделить главную часть функции f при Воспользуемся известным пределом Согласно определению главной части функции главная часть функции f равна Пример Выделить главную часть функции k, C, si 5 f при Запишем предел 5 si k si 5 = 5 k 5 Благодаря первому замечательному пределу si Поэтому при k si 5 5 k 5 и главная часть функции si 5 f при 5 равна

27 Пример Выделить главную часть функции arctg f при 5 Согласно определению главной части функции arctg 5 k arctg так как, arctg 5 5 k = при k, 5 см пример на 5 стр 8 и предельное равенство на стр Следовательно, главная часть данной функции при равна Пример Выделить главную часть бесконечно малой функции f при Посмотрим, при каком значении k предел k k будет равен конечной и отличной от нуля константе 7

28 Преобразуем этот предел к виду k = k k = k Последний предел будет равен при k, следователь- но, главная часть функции при это Пример 5 Выделить главную часть функции при f Для выделения главной части этой бесконечно большой функции при найдем предел k k k, 8

29 если k Поэтому главная часть бесконечно большой функции f при равна Вычисление пределов функций с помощью выделения главной части Выделение главной части часто применяется при вычислении пределов функций При этом следует помнить, что заменять функции их главными частями под знаком предела можно в произведениях и частных этих функций Но категорически запрещается заменять слагаемые в сумме, все сразу или некоторые, их главными частями, так как это может привести к ошибкам в вычислении предела tg si Пример 6 При вычислении предела si, воспользовавшись тем, что при si si и tg на, получим ~tg ~ и заменив tg si si, и это будет не- 9

30 правильно Правильно свести этот предел ко второму замечательному tg si si tg si si cos si si cos si Пример 7 Если при вычислении предела tgsi si si l l мы заменим оба логарифма в числителе на их главные части: при l ~ и l ~ -, то получится предел И это будет неправильно А вот если мы сначала воспользуемся свойством логарифма l + l l и заменим весь числитель на его главную часть, то получим, что исход- ный предел будет равен пределу, и это будет пра- вильно Пример 7 Найти предел tg si Найдем главные части числителя и знаменателя

31 Так как, то числитель ~ при Так как tg si si cos cos, то tg si ~ при Тогда tg si Литература Демидович БП Сборник задач и упражнений по математическому анализу Все издания с 967 года

32 СОДЕРЖАНИЕ I Предел последовательности Определение предела последовательности Вычисление пределов последовательностей 5 II Предел функции Определение предела функции 8 Непосредственное вычисление пределов Пределы выражений, содержащих корни Вычисление пределов с помощью первого замечательного предела 7 5 Вычисление пределов на основе второго замечательного предела 8 III Выделение главной части функции в малой окрестности заданной точки Выделение главной части функций 5 Вычисление пределов функций с помощью выделения главной части 9 Издание подготовлено в авторской редакции Отпечатано на участке цифровой печати Издательского Дома Томского государственного университета Заказ 979 от апреля 5 г Тираж экз


Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

В.В. Калинин, А.Н. Филиппов, Т.С. Филиппова

В.В. Калинин, А.Н. Филиппов, Т.С. Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра высшей математики В.В.

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки "Прикладная математика и информатика".

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки Прикладная математика и информатика. Родина ТВ, Трифанова ЕС, Бойцев АА Типовой расчет по математическому анализу для направления "Прикладная математика и информатика" 1 модуль Учебно-методическое пособие СПб: Университет ИТМО, 015 4 с Предлагаемое

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ Практическое

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ» Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Комментарий Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ISBN К 22.14я721 ISBN

ISBN К 22.14я721 ISBN ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел.

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела. 2) Записи под значком предела,.

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена Тема 6 Дифференцирование функций log Производная логарифмической функции a На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена производная логарифмической функции ( loga ) (7) l a в

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Тема 07. Логарифмы Логарифм. Определение. Простейшие уравнения a 1 эти условия должны всегда выполняться) назы-

Тема 07. Логарифмы Логарифм. Определение. Простейшие уравнения a 1 эти условия должны всегда выполняться) назы- Тема Логарифмы Содержание Логарифм Определение Простейшие уравнения Свойства логарифмов Вычисления Логарифмические уравнения Замена переменных 6 Метод перехода к новому основанию Логарифмирование 8 Системы

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ)

СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Национальный исследовательский университет АВ Леонтьева СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ 1. Если степени с одинаковыми основаниями перемножаются, то основание остаётся тем же самым, а показатели складываются: a m a n a m`n. Если степени с одинаковыми основаниями делятся,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Методическое пособие по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа; геометрия»

Методическое пособие по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа; геометрия» Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Армавирский машиностроительный техникум»

Подробнее