IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы"

Транскрипт

1 векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства. 4. Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл. 5. Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. плоскости. 6. Плоскость: Уравнение плоскости. 7. Расстояние от точки до плоскости. 8. Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и Теоретические упражнения uuur uuur 1. Пусть векторы a и b не коллинеарны и AB = aa 2, BC = 4( ba-b uuur uuur CD =-4bb, DA = a+ ab. Найти a и b uuur uuur и доказать коллинеарность векторов BC и DA 2. Разложить вектор s= a+ b+ c по трем некомпланарным векторам m= a+ b-2c, n= a-b, p= 2b+ 3c. 3. Найти угол между единичными векторами e 1 и e 2, если известно, что векторы a= e1+2e 2 и b= 5e1-4e 2 взаимно перпендикулярны. 4. Доказать компланарность векторов a, b и c зная, что [ ab] + [ bc] + [ ca ] = 5. Доказать, что уравнение плоскости; проходящей через точки (,, (,, x y z и x y z перпендикулярно плоскости Ax+ By+ Cz+ D= 0, можно записать в виде x-x y- y z-z = x x y y z z A B C 6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые,.

2 можно записать в виде x-x1 y- y1 z-z1 = = и l m n x-x y- y z-z l m n l m n x-x y- y z-z = = l m n = 7. Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку ( x, y, z параллельно плоскостям Ax 1 + B1y+ C1z+ D1 = 0 и A2x+ B2y+ C2z+ D2 = 0 можно записать в виде прямых x-x1 y- y1 z-z1 = = B C A C A B - B C A C A B Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух x-x1 y- y1 z-z1 = = и l m n одной плоскости является выполнение равенства x-x y- y z-z l m n l m n x-x y- y z-z = = l m n = 9. Доказать, что расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и uuur имеющей направляющий вектор S, определяется формулой d = é, ABù ë S û S.. 1 Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки A( x, y, z и (,, B x2 y2 z 2. Их направляющие векторы 1. S и S 2 известны. Доказать, что расстояние между ними определяется формулой d = SS AB [ SS ] uuur

3 Расчетные задания Задача 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r x= {- } p = { } q= { } r = {- } 2, 4, 7, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, x= { - } p= { } q= { - } r = { - } 6, 12, 1, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 0, 1, x= { - } p= { - } q= { } r = { - } 1, 4, 4, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, x= {- } p= { } q= { - } r = {- } 9, 5, 5, 4, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, x= {- - } p= {- } q= { - } r = { } 5, 5, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 4, x= { } p= { } q= { - } r = { - } 13, 2, 7, 5, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 0, x= {- - } p= { } q= {- } r = { } 19, 1, 7, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, x= { - } p= { } q= { } r = { - } 3, 3, 4, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 1, x= { - } p= { } q= {- } r = {- } 3, 3, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, x= {- - } p= {- } q= { } r = { - } 1, 7, 4, 1, 2, 1, 2, 0, 3, 1, 1, x= { - } p = { } q= { - } r = { - } 6, 5, 14, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 2, 1, x= { - } p= { - } q= {- } r = { } 6, 1, 7, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, x= { } p= { } q= {- } r = { - } 5, 15, 0, 1, 0, 5, 1, 3, 2, 0, 1, x= { - } p= { } q= { - } r = { } 2, 1, 11, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, x= { - } p= { } q= {- } r = { - } 11, 5, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 5, x= { } p= { } q= { } r = { } 8, 0, 5, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 4, 1, x= { } p= { } q= { - } r = { - } 3, 1, 8, 0, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 0, x= { } p= { - } q= { } r = {- } 8, 1, 12, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 1, x= {- - - } p= { } q= {- } r = { - } 9, 8, 3, 1, 4, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 2.

4 1.2 x= {- - } p= { - } q= { - } r = { } 5, 9, 13, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 1, x= {- } p = { } q = { - } r = {- } 15, 5, 6, 0, 5, 1, 3, 2, 1, 1, 1, x= { } p= { } q= { - } r = { } 8, 9, 4, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 3, x= { - - } p= { } q= { - } r = {- } 23, 14, 30, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, x= { } p= { } q = { } r = { } 3, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 4, 2, x= {- } p= { } q= { - } r = { - } 1, 7, 0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, x= { - } p= { - } q= { } r = {- } 11, 1, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, x= {- } p= { } q= {- } r = { - } 13, 2, 18, 1, 1, 4, 3, 0, 2, 1, 2, x= { - } p= { - } q= { - } r = { } 0, 8, 9, 0, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 0, x= { - - } p= { } q= { - } r = {- } 8, 7, 13, 0, 1, 5, 3, 1, 2, 1, 0, x= { } p= { } q= { - } r = { } 2, 7, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 3, x= { - - } p= { } q= { - } r = { - } 15, 20, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 5, 3, 2. Задача 2. Коллинеарны ли векторы c 1 и c 2, построенные по векторам a и b? a= 1, - 2, 3, b= 3, 0, - 1, c = 2a+ 4 b, c = 3 b-a { } { } 1 2 a= 1, 0, 1, b= - 2, 3, 5, c = a+ 2 b, c = 3 a-b { } { } 1 2 a= - 2, 4, 1, b= 1, - 2, 7, c = 5a+ 3 b, c = 2 a-b { } { } 1 2 a= 1, 2, - 3, b= 2, -1, - 1, c = 4a+ 3 b, c = 8 a-b { } { } 1 2 a= 3, 5, 4, b = 5, 9, 7, c =- 2 a+ b, c = 3a-2 b { } { } 1 2 a= 1, 4, - 2, b= 1, 1, - 1, c = a+ b, c = 4a+ 2 b { } { } 1 2 a= 1, - 2, 5, b= 3, - 1, 0, c = 4a- 2, b c = b-2. a 2.7. { } { } 1 2

5 a= 3, 4, - 1, b= 2, - 1, 1, c = 6a- 3 b, c = b-2 a { } { } 1 2 a= -2, -3, - 2, b= 1, 0, 5, c = 3a+ 9 b, c =-a-3 b { } { } 1 2 a= - 1, 4, 2, b= 3, - 2, 6, c = 2 a- b, c = 3b-6 a. 2.1 { } { } 1 2 a= 5, 0, - 1, b= 7, 2, 3, c = 2 a- b, c = 3b-6 a { } { } 1 2 a= 0, 3, - 2, b= 1, - 2, 1, c = 5a- 2 b, c = 3a+ 5 b { } { } 1 2 a= -2, 7, - 1, b= - 3, 5, 2, c = 2a+ 3 b, c = 3a+ 2 b { } { } 1 2 a= 3, 7, 0, b= 1, - 3, 4, c = 4a- 2 b, c = b-2 a { } { } 1 2 a= -1, 2, - 1, b = 2, - 7, 1, c = 6a- 2 b, c = b-3 a { } { } 1 2 a= 7, 9, - 2, b= 5, 4, 3, c = 4 a- b, c = 4 b-a { } { } 1 2 a= 5, 0, - 2, b= 6, 4, 3, c = 5a- 3 b, c = 6b-10 a { } { } 1 2 a= 8, 3, - 1, b= 4, 1, 3, c = 2 a- b, c = 2b-4 a { } { } 1 2 a= 3, - 1, 6, b= 5, 7, 10, c = 4a- 2 b, c = b-2 a { } { } 1 2 a= 1, - 2, 4, b= 7, 3, 5, c = 6a- 3 b, c = b-2 a. 2.2 { } { } 1 2 a= 3, 7, 0, b= 4, 6, - 1, c = 3a+ 2 b, c = 5a-7 b { } { } 1 2 a= 2, - 1, 4, b= 3, -7, - 6, c = 2a- 3 b, c = 3a-2 b { } { } 1 2 a= 5, -1, - 2, b = 6, 0, 7, c = 3a- 2 b, c = 4b-6 a { } { } 1 2 a= - 9, 5, 3, b= 7, 1, - 2, c = 2 a- b, c = 3a+ 5 b { } { } 1 2 a= 4, 2, 9, b= 0, - 1, 3, c = 4b- 3 a, c = 4a-3 b { } { } 1 2 a= 2, - 1, 6, b= - 1, 3, 8, c = 5a- 2 b, c = 2a-5 b { } { } 1 2 a= 5, 0, 8, b = - 3, 1, 7, c = 3a- 4 b, c = 12b-9 a { } { } 1 2

6 a= - 1, 3, 4, b= 2, - 1, 0, c = 6a- 2 b, c = b-3 a { } { } 1 2 a= 4, 2, - 7, b = 5, 0, - 3, c = a- 3 b, c = 6b-2 a { } { } 1 2 a= 2, 0, - 5, b= 1, - 3, 4, c = 2a- 5 b, c = 5a-2 b. 2.3 { } { } 1 2 a= - 1, 2, 8, b= 3, 7, - 1, c = 4a- 3 b, c = 9b-12 a { } { } 1 2 uuur Задача 3. Найти косинус угла между векторами AB 3.1. A( - B( - C( - 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5. uuur и AC A( - B( C( , 3, 6, 12, 3, 3, 9, 3, A( - B( - C( 3, 3, 1, 5, 5, 2, 4, 1, A( - - B( - C( - 1, 2, 3, 3, 4, 6, 1, 1, A( - - B( - - C( - 4, 2, 0, 1, 2, 4, 3, 2, A( - B( C( - 5, 3, 1, 5, 2, 0, 6, 4, A( B( - - C( 3, 7, 5, 0, 1, 2, 2, 3, A( - B( - C( - 2, 4, 6, 0, 2, 4, 6, 8, A( - B( C( 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, A( - B( - C( 3, 3, 1, 1, 5, 2, 4, 1, A( - B( - - C( 2, 1, 1, 6, 1, 4, 4, 2, A( - - B( - - C( - - 1, 2, 1, 4, 2, 5, 8, 2, A( - B( - C( - 6, 2, 3, 6, 3, 2, 7, 3, A( B( - - C( , 0, 4, 3, 6, 1, 5, 10, A( - - B( - C( , 8, 1, 4, 6, 0, 2, 5, 1.

7 3.16. A( - B( - C( - 3, 6, 9, 0, 3, 6, 9, 12, A( - B( C( 0, 2, 4, 8, 2, 2, 6, 2, A( - B( - C( 3, 3, 1, 5, 1, 2, 4, 1, A( - B( C( - - 4, 3, 0, 0, 1, 3, 2, 4, A( - B( - - C( - - 1, 1, 0, 2, 1, 4, 8, 1, A( 7, 0, 2, B( 7, 1, 3, C( 8, - 1, A( B( C( , 3, 2, 1, 3, 1, 3, 7, A( 2, 2, 7, B( 0, 0, 6, C( - 2, 5, A( - - B( - C( - - 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, A( - B( C( 0, 3, 6, 9, 3, 6, 12, 3, A( - B( - C( - 3, 3, 1, 5, 1, 2, 4, 1, A( - B( - C( 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 0, A( - B( - - C( 1, 4, 1, 2, 4, 5, 8, 4, A( 0, 1, 0, B( 0, 2, 1, C ( 1, 2, A( - B( - C( 4, 0, 4, 1, 6, 7, 1, 10, A( - - B( - C( - - 2, 4, 6, 0, 2, 4, 6, 8, 10. Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. = + 2, = 3 - ; = 1, = 2, = p a p q b p q p q ( pq 4.2. a p q b p q p q ( pq = 3 +, = - 2 ; = 4, = 1, = p a p q b p q p q ( pq = - 3, = + 2 ; = 1 5, = 1, = p 2.

8 = 3-2, = + 5 ; = 4, = 1 2, = 5p a p q b p q p q ( pq = - 2, = 2 + ; = 2, = 3, = 3p a p q b p q p q ( pq = + 3, = - 2 ; = 2, = 3, = p a p q b p q p q ( pq = 2 -, = + 3 ; = 3, = 2, = p a p q b p q p q ( p q = 4 +, = - ; = 7, = 2, = p a p q b p q p q ( p q = - 4, = 3 + ; = 1, = 2, = p a p q b p q p q ( pq = + 4, = 2 - ; = 7, = 2, = p a p q b p q p q ( pq a p q b p q p q ( pq = 3 + 2, = - ; = 10, = 1, = p a p q b p q p q ( pq = 4 -, = + 2 ; = 5, = 4, = p a p q b p q p q ( pq = 2 + 3, = - 2 ; = 6, = 7, = p a p q b p q p q ( pq = 3 -, = + 2 ; = 3, = 4, = p a p q b p q p q ( pq = 2 + 3, = - 2 ; = 2, = 3, = p 4. = 2-3, = 3 + ; = 4, = 1, = p a p q b p q p q ( pq = 5 +, = - 3 ; = 1, = 2, = p a p q b p q p q ( pq = 7-2, = + 3 ; = 1 2, = 2, = p a p q b p q p q ( pq = 6 -, = + ; = 3, = 4, = p a p q b p q p q ( pq = 10 +, = 3-2 ; = 4, = 1, = p a p q b p q p q ( pq a p q b p q p q ( pq = 6 -, = + 2 ; = 8, = 1 2, = p 3.

9 = 3 + 4, = - ; = 2,5, = 2, = p a p q b q p p q ( pq = 7 +, = - 3 ; = 3, = 1, = 3p a p q b p q p q ( pq = + 3, = 3 - ; = 3, = 5, = 2p a p q b p q p q ( pq = 3 +, = - 3 ; = 7, = 2, = p a p q b p q p q ( pq = 5 -, = + ; = 5, = 3, = 5p a p q b p q p q ( pq = 3-4, = + 3 ; = 2, = 3, = p a p q b p q p q ( pq = 6 -, = 5 + ; = 1 2, = 4, = 5p a p q b q p p q ( p q a p q b p q p q ( pq = 2 + 3, = - 2 ; = 2, = 1, = p a p q b p q p q ( pq = 2-3, = 5 + ; = 2, = 3, = p a p q b p q p q ( pq = 3 + 2, = 2 - ; = 4, = 3, = 3p 4. Задача 5. Компланарны ли векторы a, b и c? 5.1. a= { } b= {- - } c = { } 2, 3, 1, 1, 0, 1, 2, 2, a= { } b= { } c = { - } 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, a= { } b= {- - } c = { } 1, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 1, a= { - - } b= { } c = { } 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 3, a= { } b= { - } c = { } 3, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, a= { - } b= {- - } c = { - } 3, 1, 1, 2, 1, 0, 5, 2, a= { } b= { - } c = { } 4, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, a= { } b= { } c = { - } 4, 3, 1, 6, 7, 4, 2, 0, 1.

10 5.9. a= { } b= { - - } c = { } 3, 2, 1, 1, 3, 7, 1, 2, a= { } b= {- - } c = { } 3, 7, 2, 2, 0, 1, 2, 2, a= { - } b= { } c = { - } 1, 2, 6, 1, 0, 1, 2, 6, a= { } b= {- - - } c = { } 6, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, a= { } b= {- - - } c = { } 7, 3, 4, 1, 2, 1, 4, 2, a= { } b= { } c = { - } 2, 3, 2, 4, 7, 5, 2, 0, a= { } b= {- - } c = { } 5, 3, 4, 1, 0, 1, 4, 2, a= { } b= {- - - } c = { } 3, 10, 5, 2, 2, 3, 2, 4, a= {- - - } b= { } c = { } 2, 4, 3, 4, 3, 1, 6, 7, a= { - } b= { - } c = { - } 3, 1, 1, 1, 0, 1, 8, 3, a= { } b= {- - - } c = { } 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 1, a= { } b= { } c = { - } 4, 1, 2, 9, 2, 5, 1, 1, a= { } b= { } c = { } 5, 3, 4, 4, 3, 3, 9, 5, a= { } b= { } c = { } 3, 4, 2, 1, 1, 0, 8, 11, a= { - - } b= { - - } c = { - - } 4, 1, 6, 1, 3, 7, 2, 1, a= { } b= {- - - } c = { } 3, 1, 0, 5, 4, 5, 4, 2, a= { } b = { } c = { - } 3, 0, 3, 8, 1, 6, 1, 1, a= { - } b= { } c = { - } 1, 1, 4, 1, 0, 3, 1, 3, a= { } b= {- - - } c = { } 6, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, a= { } b= {- - - } c = { } 4, 1, 1, 9, 4, 9, 6, 2, 6.

11 5.29. a= {- } b= {- } c = { - } 3, 3, 3, 4, 7, 6, 3, 0, a= {- - } b= { - - } c = {- - } 7, 10, 5, 0, 2, 1, 2, 4, a= { } b= { } c = { } 7, 4, 6, 2, 1, 1, 19, 11, 17. Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A 4 и его высоту, опущенную из вершины A 4 на грань AAA A ( A ( A (- A (- - 1, 3, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 4, 6, A (- A ( - A (- A (- - 4, 2, 6, 2, 3, 0, 10, 5, 8, 5, 2, A ( A ( - - A ( A (- 7, 2, 4, 7, 1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, A ( A (- - A (- - A (- - 2, 1, 4, 1, 5, 2, 7, 3, 2, 6, 3, A (- - A (- - A ( - A (- 1, 5, 2, 6, 0, 3, 3, 6, 3, 10, 6, A ( - - A (- A ( - - A (- - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 9, 1, 6, A ( A ( A ( A (- 5, 2, 0, 2, 5, 0, 1, 2, 4, 1, 1, A ( - - A ( A ( - A (- - 2, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 0, 6, 10, 9, A (- - A (- A ( - - A ( - 2, 0, 4, 1, 7, 1, 4, 8, 4, 1, 4, A ( A (- - A (- - - A (- - 14, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 6, 3, 2, 2, A ( A ( - A ( A ( - 1, 2, 0, 3, 0, 3, 5, 2, 6, 8, 4, A ( - A ( - A ( A (- 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, A ( A (- A ( - A (- - 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 0, A ( A ( - A ( A ( - 2, 3, 1, 4, 1, 2, 6, 3, 7, 7, 5, A ( - A ( A ( A ( - 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 5, 9, 8.

12 6.16. A ( - A (- A (- A (- - 1, 5, 7, 3, 6, 3, 2, 7, 3, 4, 8, A (- - A ( - A (- - A ( 3, 4, 7, 1, 5, 4, 5, 2, 0, 2, 5, A (- - A ( - A ( - A ( 1, 2, 3, 4, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 4, A ( - A (- A ( - A ( - 4, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 5, 1, 3, 2, A ( - A (- A ( - A ( - - 1, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 2, A ( A ( - A ( - A (- 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 0, A ( A ( - A ( - A ( 1, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, A ( - A ( A (- - A ( - - 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 6, 0, 5, A ( - A (- - A (- - A ( - 3, 10, 1, 2, 3, 5, 6, 0, 3, 1, 1, A (- A (- - - A ( - A ( - 1, 2, 4, 1, 2, 4, 3, 0, 1, 7, 3, A ( - A (- A ( - A ( - 0, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 1, A ( A ( - A ( A (- 1, 3, 0, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 3, A (- - - A ( A ( - A (- 2, 1, 1, 0, 3, 2, 3, 1, 4, 4, 7, A (- - A ( - A ( - - A (- - 3, 5, 6, 2, 1, 4, 0, 3, 1, 5, 2, A ( - - A ( - A (- - A (- - 2, 4, 3, 5, 6, 0, 1, 3, 3, 10, 8, A ( - A ( A ( A ( - 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 6, 3, 8. Задача 7. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M1, M2, M M (- - M ( - M (- - M (- - 3, 4, 7, 1, 5, 4, 5, 2, 0, 12, 7, M (- - M ( - M ( - M ( - - 1, 2, 3, 4, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 6, 5.

13 7.3. M (- - M (- - M ( - M (- - 3, 1, 1, 9, 1, 2, 3, 5, 4, 7, 0, M ( - M (- M ( - M (- 1, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 4, M ( M ( - M ( - M ( - 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, M ( M ( - M ( - M (- - 1, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 5, 9, M ( - M ( M (- - M ( - - 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 6, 3, 2, M ( - M (- - M (- - M (- - 3, 10, 1, 2, 3, 5, 6, 0, 3, 6, 7, M (- M (- - - M ( - M (- 1, 2, 4, 1, 2, 4, 3, 0, 1, 2, 3, M ( - M (- M ( - M (- - 0, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 4, M ( M ( - M ( M ( 1, 3, 0, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 3, M (- - - M ( M ( - M (- - 2, 1, 1, 0, 3, 2, 3, 1, 4, 21, 20, M (- - M ( - M ( - - M ( 3, 5, 6, 2, 1, 4, 0, 3, 1, 3, 6, M ( - - M ( - M (- - M ( - 2, 4, 3, 5, 6, 0, 1, 3, 3, 2, 10, M ( - M ( M ( M (- 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 2, M ( M ( M (- M ( - 1, 3, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 5, 4, M (- M ( - M (- M (- 4, 2, 6, 2, 3, 0, 10, 5, 8, 12, 1, M ( M ( - - M (- - - M ( 7, 2, 4, 7, 1, 2, 5, 2, 1, 10, 1, M ( M ( - M (- - M ( , 1, 4, 3, 5, 2, 7, 3, 2, 3, 1, 8. (- - (- - ( - ( - - M 1, 5, 2, M 6, 0, 3, M 3, 6, 3, M 10, 8, M ( - - M (- M ( - - M (- - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 9, 4, 13, M ( M ( M ( M ( , 2, 0, 2, 5, 0, 1, 2, 4, 3, 6, 8.

14 7.23. M ( - - M ( M ( - M ( - 2, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 0, 6, 14, 3, M (- - M (- M ( - - M (- 2, 0, 4, 1, 7, 1, 4, 8, 4, 6, 5, M ( M (- - M (- - - M (- - 14, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 6, 3, 1, 8, M ( M ( - M ( M (- - 1, 2, 0, 3, 0, 3, 5, 2, 6, 13, 8, M ( - M ( - M ( M (- 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 5, 3, M ( M (- M ( - M ( 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 2, 3, M ( M ( - M ( M (- - 2, 3, 1, 4, 1, 2, 6, 3, 7, 5, 4, M ( - M ( M ( M (- - 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 3, 7, M ( - M (- M (- M ( - 1, 5, 7, 3, 6, 3, 2, 7, 3, 1, 1, 2. Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A uuur. перпендикулярно вектору BC 8.1. A( - B( - C( - 1, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 3, A( - B( - C( 1, 3, 4, 1, 5, 0, 2, 6, A( - B( - - C( - - 4, 2, 0, 1, 1, 5, 2, 1, A( - B( - C( - 8, 0, 7, 3, 2, 4, 1, 4, A( - B( - - C( - 7, 5, 1, 5, 1, 3, 3, 0, A( - - B( - C( - 3, 5, 2, 4, 0, 3, 3, 2, A( - B( - - C( - - 1, 1, 8, 4, 3, 10, 1, 1, A( - - B( - C( - 2, 0, 5, 2, 7, 3, 1, 10, A( - B( C( 1, 9, 4, 5, 7, 1, 3, 5, 0.

15 8.1 A( - B( - - C( - 7, 0, 3, 1, 5, 4, 2, 3, A( - B( - C( - 0, 3, 5, 7, 2, 6, 3, 2, A( - B( - C( - 5, 1, 2, 2, 4, 3, 4, 1, A( - B( C( 3, 7, 2, 3, 5, 1, 4, 5, A( - B( C( 0, 2, 8, 4, 3, 2, 1, 4, A( - B( C( - 1, 1, 5, 0, 7, 8, 1, 3, A( - B( C( 10, 0, 9, 12, 4, 11, 8, 5, A( - - B( - C( - 3, 3, 6, 1, 9, 5, 6, 6, A( 2, 1, 7, B( 9, 0, 2, C ( 9, 2, A( - - B( - C( - 7, 1, 4, 8, 11, 3, 9, 9, A( - B( - C( - 1, 0, 6, 7, 2, 1, 9, 6, A( - B( C( - 3, 1, 0, 6, 3, 3, 9, 4, A( - - B( - - C( - 4, 2, 5, 3, 3, 7, 9, 3, A( - B( - C( - 0, 8, 10, 5, 5, 7, 8, 0, A( - - B( - C( - - 1, 5, 2, 6, 2, 1, 2, 2, A( - B( - - C( - - 0, 7, 9, 1, 8, 11, 4, 3, A( - - B( - C( - 3, 1, 7, 0, 2, 6, 2, 3, A( - B( - C( - 5, 3, 1, 0, 0, 3, 5, 1, A( - - B( C( 1, 2, 2, 13, 14, 1, 14, 15, A( - B( - C( 7, 5, 0, 8, 3, 1, 8, 5, 1.

16 8.3 A( - B( - C( - 3, 6, 4, 8, 3, 5, 10, 3, A( - B( - C( 2, 5, 3, 7, 8, 1, 9, 7, 4. Задача 9. Найти угол между плоскостями x- 3y+ 5 = 0, 2x- y+ 5z- 16 = 9.2. x- 3y+ z- 1 = 0, x+ z- 1 = x- 5y+ 3z- 1 = 0, x-4y- z+ 9 = x- y+ 2z+ 15 = 0, 5x+ 9y-3z- 1= x+ 2y- 4z+ 17 = 0, 9x+ 3y-6z- 4 = 9.6. x- y 2 + z- 1 = 0, x+ y 2 - z+ 3 = y- z = 0, 2y+ z = x+ 3y- 2z = 0, x+ 2y+ 6z- 12= 9.9. x+ 2y+ 2z- 3 = 0, 16x+ 12y-15z- 1 = 9.1 2x- y+ 5z+ 16 = 0, x+ 2y+ 3z+ 8 = x+ 2y+ z- 1 = 0, x+ z- 1= x+ y+ z- 4 = 0, y+ z+ 5 = x-2y-2z- 16 = 0, x+ y-3z- 7 = x+ 2y+ z+ 9 = 0, x- y+ 3z- 1= x+ 2y+ 2z- 3 = 0, 2x- y+ 2z+ 5 = x+ 2y-3z- 1 = 0, x+ y+ z- 7 = x-3y-2z- 8 = 0, x+ y- z+ 3 = x- 2y+ 3z+ 23 = 0, y+ z+ 5 = x+ y+ 3z- 7 = 0, y+ z- 1= 9.2 x- 2y+ 2z+ 17 = 0, x-2y- 1= x+ 2y- 1 = 0, x+ y+ 6 = x- z+ 5 = 0, 2x+ 3y- 7 =

17 x+ 3y+ z- 18 = 0, 2y+ z- 9 = x+ 3z- 2= 0, x+ 2y+ 2z+ 5= x+ 4y- z+ 1 = 0, 2x+ y+ 4z- 3 = y+ z- 9 = 0, x- y+ 2z- 1= x- 6y+ 14z- 1= 0, 5x- 15y+ 35z- 3 = x- y+ 7z- 1 = 0, 2x-2y- 5 = x- y- 5 = 0, 2x+ y- 3 = 9.3 x+ y+ z 2-3= 0, x- y+ z 2-1= x+ 2y-2z- 7 = 0, x+ y- 35 = Задача 1 Найти координаты точки A, равноудаленной от точек B и C. 11. A( 0, 0, z, B( 5, 1, 0, C ( 0, 2, A( 0, 0, z, B( 3, 3, 1, C ( 4, 1, A( 0, 0, z, B( 3, 1, 3, C ( 1, 4, A( z B( C( 0, 0,, 1, 1, 6, 2, 3, A( z B( - C( - 0, 0,, 13, 4, 6, 10, 9, A( z B( - - C( - 0, 0,, 5, 5, 6, 7, 6, A( z B( - C( - 0, 0,, 18, 1, 0, 15, 10, A( z B( - C( - 0, 0,, 10, 0, 2, 9, 2, A( z B( - C( - 0, 0,, 6, 7, 5, 8, 4, A( z B( - C( - 0, 0,, 6, 7, 1, 1, 2, A( z B( - C( - 0, 0,, 7, 0, 15, 2, 10, A( 0, y, 0, B( 3, 0, 3, C ( 0, 2, 4.

18 113. A( 0, y, 0, B( 1, 6, 4, C ( 5, 7, A( y B( - C( - 0,, 0, 2, 8, 10, 6, 11, A( y B( - - C( 0,, 0, 2, 4, 6, 7, 2, A( 0, y, 0, B( 2, 2, 4, C ( 0, 4, A( y B( - C( - 0,, 0, 0, 4, 1, 1, 3, A( y B( - C( - 0,, 0, 0, 5, 9, 1, 0, A( y B( - - C( 0,, 0, 2, 4, 6, 8, 5, A( y B( - C( 0,, 0, 7, 3, 4, 1, 5, A( y B( - C( - 0,, 0, 0, 2, 4, 4, 0, A( x, 0, 0, B( 0, 1, 3, C ( 2, 0, A( x, 0, 0, B( 4, 0, 5, C ( 5, 4, A( x B( - C( -, 0, 0, 8, 1, 7, 10, 2, A( x, 0, 0, B( 3, 5, 6, C ( 1, 2, A( x B( - C(, 0, 0, 4, 5, 2, 2, 3, A( x B( - C( - -, 0, 0, 2, 0, 6, 0, 2, A( x, 0, 0, B( 1, 5, 9, C ( 3, 7, A( x, 0, 0, B( 4, 6, 8, C ( 2, 4, A( x, 0, 0, B( 1, 2, 3, C ( 2, 6, A( x B( C( - - -, 0, 0, 2, 4, 6, 1, 2, 3.

19 Задача 11. Пусть k коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка A принадлежит образу плоскости a? A 1, 2, - 1, a: 2x+ 3y+ z- 1 = 0, k = ( A 2, 1, 2, a: x- 2y+ z+ 1 = 0, k = ( A -1, 1, 1, a: 3x- y+ 2z+ 4= 0, k = ( A - 2, 4, 1, a : 3x+ y+ 2z+ 2 = 0, k = ( A 1, 13, -2, a: x- 3y+ z+ 6= 0, k = ( A 1 2, 1 3, 1, a: 2x- 3y+ 3z- 2= 0, k = 1, ( A 2, 0, -1, a: x- 3y+ 5z- 1 = 0, k = ( A 1, - 2, 1, a: 5x+ y- z+ 6 = 0, k = ( A 2, - 5, 4, a: 5x+ 2y- z+ 3 = 0, k = ( A 2, - 3, 1, a : x+ y- 2z+ 2= 0, k = ( A -2, 3, - 3, a: 3x+ 2y-z- 2 = 0, k = ( A 14, 13, 1, a: 4x- 3y+ 5z- 10= 0, k = ( A 0, 1, -1, a: 6x- 5y+ 3z- 4= 0, k = ( A 2, 3, -2, a: 3x- 2y+ 4z- 6 = 0, k = ( A -2, -1, 1, a : x- 2y+ 6z- 10 = 0, k = ( A 5, 0, -1, a : 2x- y+ 3z- 1 = 0, k = ( A 1, 1, 1, a: 7x- 6y+ z- 5 = 0, k = ( A 1 3, 1, 1, a: 3x- y+ 5z- 6 = 0, k = ( A 2, 5, 1, a: 5x- 2y+ z- 3 = 0, k = (

20 A -1, 2, 3, a: x- 3y+ z+ 2 = 0, k = 2, ( A 4, 3, 1, a: 3x- 4y+ 5z- 6= 0, k = ( A 3, 5, 2, a : 5x- 3y+ z- 4 = 0, k = ( A 4, 0, -3, a: 7x- y+ 3z- 1 = 0, k = ( A -1, 1, -2, a: 4x- y+ 3z- 6 = 0, k = ( A 2, -5, - 1, a: 5x+ 2 y-3z- 9 = 0, k = ( A -3, -2, 4, a : 2x- 3y+ z- 5 = 0, k = ( A 5, 0, -6, a: 6x- y- z+ 7 = 0, k = ( A 1, 2, 2, a: 3x- z+ 5 = 0, k = ( A 3, 2, 4, a : 2x- 3y+ z- 6 = 0, k = ( A 7, 0, -1, a: x- y-z- 1 = 0, k = ( A 0, 3, -1, a : 2x- y+ 3z- 1 = 0, k = ( Задача 12. Написать канонические уравнения прямой x+ y+ z- 2= 0, 2x- y- 3z+ 6= x- 2y+ z- 4 = 0, 2x+ 2y-z- 8 = x+ 3y+ z+ 6 = 0, x-3y- 2z+ 3 = x+ 5y+ 2z+ 11= 0, x- y-z- 1= x- 3y+ 2z+ 2= 0, x+ 3y+ z+ 14= x+ y+ z- 2= 0, x- y- 2z+ 2= x+ y-z- 6 = 0, 3x- y+ 2z = x+ 4y- 2z+ 1 = 0, 2x- 4y+ 3z+ 4 =

21 x+ y- 3z+ 4= 0, x- y+ 2z+ 2= x+ y- 3z+ 2 = 0, 2x- y+ z- 8 = x-7y-4z- 2 = 0, x+ 7y-z- 5 = x-5y- 4z+ 8 = 0, 6x+ 5y+ 3z+ 4 = x- 3y+ z+ 6 = 0, x-3y- 2z+ 3 = x+ y+ z+ 2 = 0, 2x- y-3z- 8 = x+ y-2z- 2= 0, x- y+ z+ 2= x- y+ z- 2= 0, x-2y- z+ 4= x+ 5y+ 2z- 5= 0, 2x-5y- z+ 5= x+ 3y- 2z+ 6 = 0, x- 3y+ z+ 3 = x+ 3y+ z- 1 = 0, 2x-3y- 2z+ 6 = x-3y- 2z+ 6= 0, x- 3y+ z+ 3= 12.1 x- y-z- 2= 0, x- 2y+ z+ 4= x+ 3y-2z- 1 = 0, 2x- 3y+ z+ 6 = x- y-3z- 1 = 0, x+ y+ z+ 10 = x+ 5y-z- 5= 0, 2x- 5y+ 2z+ 5= x+ y+ 2z+ 4= 0, x- y- 3z+ 2= x+ y-3z- 2= 0, 2x- y+ z+ 6= x+ 5y- z+ 11 = 0, x- y+ 2z- 1= x-7 y-z- 2 = 0, x+ 7 y-4z- 5 = x- 3y+ z+ 2= 0, x+ 3y+ 2z+ 14= x+ 4y+ 3z+ 1= 0, 2x-4y- 2z+ 4= x- 5y+ 3z+ 8= 0, 6x+ 5y- 4z+ 4=

22 Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости x-2 y- 3 z+ 1 = =, x+ 2 y+ 3 z- 14 = x+ 1 y- 3 z+ 1 = =, x+ 2 y- 5 z+ 20 = x- 1 y+ 5 z-1 = =, x- 3 y+ 7 z- 24 = x- 1 y z+ 3 = =, 2 x- y+ 4 z = x-5 y-3 z-2 = =, 3 x+ y- 5 z- 12 = x+ 1 y+ 2 z-3 = =, x+ 3 y- 5 z+ 9 = x-1 y- 2 z+ 1 = =, x- 2 y+ 5 z+ 17 = x-1 y-2 z-4 = =, x- 2 y+ 4 z- 19 = x+ 2 y- 1 z+ 4 = =, 2 x- y+ 3 z+ 23 = x+ 2 y- 2 z+ 3 = =, 2 x- 3 y- 5 z- 7 = x-1 y- 1 z+ 2 = =, 4 x+ 2 y-z- 11 = x- 1 y+ 1 z-1 = =, 3 x- 2 y- 4 z- 8 = x+ 2 y- 1 z+ 3 = =, x+ 2 y-z- 2 = x+ 3 y- 2 z+ 2 = =, 5 x- y+ 4 z+ 3 = 1-5 3

23 x-2 y-2 z-4 = =, x+ 3 y+ 5 z- 42 = x-3 y-4 z-4 = =, 7 x+ y+ 4 z- 47 = x+ 3 y-1 z-1 = =, 2 x+ 3 y+ 7 z- 52 = x- 3 y+ 1 z+ 3 = =, 3 x+ 4 y+ 7 z- 16 = x-5 y- 2 z+ 4 = =, 2 x- 5 y+ 4 z+ 24 = x-1 y- 8 z+ 5 = =, x- 2 y- 3 z+ 18 = x-3 y- 1 z+ 5 = =, x+ 7 y+ 3 z+ 11 = x- 5 y+ 3 z-1 = =, 3 x+ 7 y- 5 z- 11 = x-1 y-2 z-6 = =, 4 x+ y- 6 z- 5 = x- 3 y+ 2 z-8 = =, 5 x+ 9 y+ 4 z- 25 = x+ 1 y z+ 1 = =, x+ 4 y+ 13 z- 23 = x-1 y- 3 z+ 5 = =, 3 x- 2 y+ 5 z- 3 = x-2 y- 1 z+ 3 = =, 3 x- y+ 4 z = x- 1 y+ 2 z-3 = =, x+ 2 y- 5 z+ 16 =

24 x-1 y- 3 z+ 2 = =, 3 x- 7 y- 2 z+ 7 = x+ 3 y- 2 z+ 5 = =, 5 x+ 7 y+ 9 z- 32 = x-7 y- 3 z+ 1 = =, 2 x+ y+ 7 z- 3 = Задача 14. Найти точку M, симметричную точке M относительно прямой (для вариантов 1 15 или плоскости (для вариантов x- 1 y+ 1,5 z 0, -3, - 2, = = M ( x- 4,5 y+ 3 z-2 2, - 1, 1, = =. 1-0, M ( x- 2 y+ 1,5 z-1 1, 1, 1, = = M( x- 0,5 y+ 1,5 z-1,5 1, 2, 3, = = M( x-3,5 y-1,5 z 1, 0, - 1, = = M ( x- 2 y+ 1,5 z+ 0,5 2, 1, 0, = = M( x+ 0,5 y+ 1,5 z-0,5-2, - 3, 0, = = M( x y-1,5 z-2-1, 0, - 1, = = M( x-1,5 y z-2 0, 2, 1, = = M( x-6 y- 3,5 z+ 0,5 3, -3, - 1, = = M(

25 x-1 y-1,5 z-3 3, 3, 3, = = M( x+ 0,5 y+ 0,7 z-2-1, 2, 0, = =. 1-0, M ( x- 1 y+ 0,5 z+ 1,5 2, -2, - 3, = = M( x+ 0,5 y-1 z-4-1, 0, 1, = = M( x- 0,5 y+ 1,5 z-1,5 0, -3, - 2, = = M( M 1, 0, 1, 4x+ 6y+ 4z- 25 = ( M -1, 0, - 1, 2x+ 6y- 2z+ 11= ( M 0, 2, 1, 2x+ 4y- 3 = ( M 2, 1, 0, y+ z+ 2 = ( M -1, 2, 0, 4x-5y-z- 7 = 14.2 ( M 2, -1, 1, x- y+ 2z- 2 = ( M 1, 1, 1, x+ 4y+ 3z+ 5= ( M 1, 2, 3, 2x+ 10y+ 10z- 1= ( M 0, -3, - 2, 2x+ 10y+ 10z- 1= ( M 1, 0, - 1, 2y+ 4z- 1= ( M 3, -3, -1, 2x-4y-4z- 13= ( M -2, - 3, 0, x+ 5y+ 4 = ( M 2, -2, - 3, y+ z+ 2 = (

26 M - 1, 0, 1, 2x+ 4y- 3 = ( M 3, 3, 3, 8x+ 6y+ 8z- 25 = 14.3 ( M -2, 0, 3, 2x- 2y+ 10z+ 1= (

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее