ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА"

Транскрипт

1 ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной работе для студентов заочной формы обучения специальности «Автоматизированные системы обработки информации» Могилев 008

2 УДК 5 ББК В 9 Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет» Одобрено кафедрой высшей математики 7 марта 007 г, протокол 6 Составители: В Г Замураев; Т Ю Орлова; С Ф Плешкунова Рецензент канд физ-мат наук, доц Л В Плетнёв Методические указания предназначены для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения специальности «Автоматизированные системы обработки информации» Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Ответственный за выпуск Технический редактор Компьютерная верстка Л В Плетнёв И В Русецкая Н П Полевничая Подписано в печать Формат 60х84/6 Бумага офсетная Гарнитура Таймс Печать трафаретная Усл-печ л Уч-изд л Тираж экз Заказ Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования «Белорусско-Российский университет» ЛИ 00/75 от г 005, г Могилев, пр Мира, 4 ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 008

3 Содержание Программа курса 4 Общие требования к оформлению контрольной работы 5 Выбор варианта заданий 5 Правила оформления контрольной работы 5 Решение типового варианта 6 4 Варианты контрольных заданий 4 Список литературы

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Программа курса 4 Тема Числовые и функциональные ряды Числовой ряд и его сумма Необходимое условие сходимости ряда Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Д Аламбера и Коши; интегральный признак Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница Абсолютная и условная сходимость числовых рядов Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости Равномерная сходимость функциональных рядов Признак Вейерштрасса равномерной сходимости Степенные ряды Теорема Абеля Радиус и интервал сходимости степенного ряда Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда Ряды Тейлора Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора Тема Ряды и интеграл Фурье Тригонометрический ряд Фурье Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье Ряд Фурье для функций с периодом π и для функций с произвольным периодом Интеграл Фурье Косинус- и синуспреобразования Фурье Тема Элементы теории функций комплексной переменной Функции комплексной переменной Предел и непрерывность функции комплексной переменной Производная функции комплексной переменной Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана Интеграл от функции комплексной переменной Теорема Коши и интегральная формула Коши Ряд Лорана и область его сходимости Изолированные особые точки аналитических функций Вычеты аналитических функций Основная теорема о вычетах Тема 4 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Оригинал и изображение Свойства преобразования Лапласа: линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки Формула обращения преобразования Лапласа Теорема разложения

5 5 Общие требования к оформлению контрольной работы Выбор варианта заданий Номер варианта заданий равен последней цифре номера зачётной книжки Если же последняя цифра ноль, то следует выполнять задания варианта номер 0 Правила оформления контрольной работы Работа оформляется в отдельной тонкой тетради в обычную клетку На обложке тетради указывается название дисциплины; номер группы и название факультета; фамилия, имя, отчество, номер зачётной книжки; обратный адрес; номер варианта заданий Решения заданий приводятся в порядке, установленном в вариантах заданий Перед каждым решением указывается номер задания и его полное условие Решения приводятся с необходимыми краткими пояснениями, записываются крупным и разборчивым почерком Чертежи выполняются простым карандашом Оформление каждого задания начинается с новой страницы В конце работы приводится список литературы, использованной при решении заданий Незачтённые работы не оформляются заново (если на необходимость этого не указано рецензентом) Исправленные решения задач приводятся в конце работы При несоблюдении хотя бы одного из указанных требований работа не рецензируется Прорецензированную и зачтённую контрольную работу вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять Без предъявления зачтённой контрольной работы студент не допускается к сдаче экзамена

6 6 Решение типового варианта Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д'Аламбера, Коши или интегральный признак! + 5 а) ; ; б) ; = + = + 5 = = ; = l Решение а) Все члены ряда положительны Сравним этот ряд со = + сходящимся геометрическим рядом = Так как <, то = = ( ) + на основании признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд сходится Ряд сравним с расходящимся рядом Дирихле = 6 6 = + 5 = = Поскольку 6 lim : lim lim 6 = = =, то на основании предельного признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд расходится;! + 5 б) заменяя в формуле a =, определяющей общий член ряда! + 5 ( +! ) + 7, на +, получаем a + = = + Составим отношение последующего члена к предыдущему: a +! + 7! 7! = : = = + + a! Найдём предел этого отношения: lim = + 5 На основании признака Д'Аламбера заключаем, что ряд расходится Ряд = исследуем на сходимость по признаку Коши

7 Поскольку 7 lim lim = = <, то ряд сходится Расходимость ряда установим с помощью интегрального признака Коши = l Рассмотрим функцию f ( x) = xl x При x эта функция непрерывна, неотрицательна и убывает Интеграл ( l x) dx d f x dx= = = l l x = lim l l x l l = xl x l x x + + расходится, поэтому расходится и рассматриваемый ряд ( x ) Задание Найти область сходимости степенного ряда = + Решение Так как a =, a + =, то радиус сходимости + + данного ряда + a + + lim lim lim a + + R = = = = Интервал сходимости определяется неравенством x <, т е ряд сходится в 5 интервале, Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости 5 При x = получаем расходящийся ряд Дирихле 5 = = = = =

8 При x = получаем сходящийся условно ряд Лейбница: 8 = = = ; > > > > >, lim = 0 Таким образом, областью сходимости рассматриваемого степенного ряда является промежуток 5, Задание Разложить функцию y = x + в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Решение Преобразовав данную функцию: и используя известное разложение получаем y = = x x + + = x + x x + + ( ) x + = ( ) x, x <, + x = 0 x x x x x = = ( ) + = ( ) x x + + = 0 x Ряд сходится при <, т е при x < x Задание 4 Разложить функцию y = + в ряд Фурье по косинусам на 4 отрезке [ 0, ], продолжив её чётным образом на отрезок [,] Решение Продолжим функцию чётным образом на отрезок [,] и затем периодически с периодом l = 4 на всю числовую ось (рисунок )

9 9 Рисунок Найдём коффициенты ряда Фурье полученной функции x x 9 a0 = dx x 4 + = + = + = x πx x πx a = + cos dx= d si 4 + = 4 π 0 0 x πx πx x = + si si d 4 π + = π π x = + si π si 0 si dx= 4 π π 4 π 0 Ряд Фурье имеет вид π x = cos = ( cosπ cos0) = π π π 0 0, = k, ( ) = = π, = k ; k π ( k ) ( k ) 9 π x cos 4 π k= Задание 5 Исследовать функцию w Re( ) аналитичность и найти её производную, если она существует Решение = на дифференцируемость и

10 0 w= Re = Re x+ iy = Re x + x iy+ iy = Re x y + i xy = x y Таким образом, u( x, y) = Rew= x y, v( x y), = Imw= 0; u u v v ( x, y ) = x, ( x, y ) = y, ( xy, ) = ( xy, ) = 0 x y x y Очевидно, что условия Коши-Римана выполняются в данном случае лишь при x = y = 0, так что функция w= Re( ) является дифференцируемой в единственной точке = 0, и её производная в этой точке равна u v ( 0,0) + i ( 0,0) = 0 x x Аналитической в данной точке функция не является, так как она недифференцируема ни в какой окрестности этой точки Задание 6 Найти все значения sii ; L Решение ; ie e ie e ie e ii ii sii= ( e e ) = = = = ish i i Так как = ( cosπ + isiπ ), то arg = π, ( π ) ( π π ) π L = l + i arg + k = l+ i + k = i k +, k ( ) i π ( k+ ) L ( π ) ( π ) = e = e = cos k + + isi k +, k

11 Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную π si а) d ; б) e d = + = + Решение а) Контур интегрирования представляет собой окружность радиуса с центром в точке = 0 Функция f ( ) = si аналитична во всей комплексной плоскости Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точке =, которая охватывается контуром интегрирования По интегральной формуле Коши = π si π d = π i si = π i ; б) контур интегрирования представляет собой окружность радиуса с центром в точке = Внутри контура находятся две изолированные особые точки подынтегральной функции: точка =, являющаяся полюсом второго порядка, и точка = 0 простой полюс Применяя первую теорему о вычетах, запишем = e e e d = π i res res + + = = = 0 ( + ) ( + ) ( + ) e e e e e res = lim ( + ) lim lim = = = ( )! ( ) + + ( ) ( ) e e e e = = = = lim lim e ( ) 0 e e e e res = lim = lim = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( 0+ ) Таким образом, + = e ( + ) d = π i e

12 Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y + y + y+ = 0 с нулевыми начальными условиями Решение Применив к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и учитывая нулевые начальные условия, перейдём от дифференциального уравнения к операторному уравнению ( p p ) Y( p) + + = ; p здесь Y( p ) изображение искомого решения, изображение функции p x = правой части уравнения Решая операторное уравнение относи- f тельно Y p : Y p = ( + p+ ) p p и найдя оригинал для Y( p ), получим искомое решение Для отыскания оригинала представим Y( p ) в виде Действительно, Y p Y p y x p + = + ( p+ ) + ( p+ ) + p 4 4 ( + + ) + ( + ) A Mp+ N A p p p Mp N = = + = = p p + p+ p p + p+ p p + p+ откуда A =, M = N = и = A + M p + A+ N p+ A, p p ( + p+ ) p + p+ p+ = = + = + p + p+ p p + p+ p + p+ p p + p+ p + p+ p Y p

13 Пользуясь таблицей изображений, находим решение задачи Коши x x x y( x) = e cos x+ e si x = e cos x+ si x

14 4 4 Варианты контрольных заданий Вариант Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак + 7 а) ; б) 5 +! = = + Задание Найти область сходимости степенного ряда x = + Задание Разложить функцию y = в ряд Маклорена, используя x + 5 известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию y= x+ в ряд Фурье по синусам на от- π, π резке [ 0,π ], продолжив её нечётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию w ( Re ) ( ) = + на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения ( i) + Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную а) + d ; б) + + i= cos d ( ) = 4 Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши x для дифференциального уравнения y y y+ e = 0 с нулевыми начальными условиями Вариант Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак а) ; б) arcsi + + = = Задание Найти область сходимости степенного ряда Задание Разложить функцию y l ( 4x ) i = ( + )( x ) ( + ) = + в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда

15 5 Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по синусам на от-, резке [ 0, ], продолжив её нечётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию w= Im на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует + i Задание 6 Найти все значения L Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную + e + а) d ; б) d + = += i 4 Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y + 4y + 4y 4x= 0 с нулевыми начальными условиями Вариант Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак а) ; б) + = + l + = Задание Найти область сходимости степенного ряда x tg = Задание Разложить функцию y = 8 + x в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по синусам на отрезке [ 0, ], продолжив её нечётным образом на отрезок [,] Re Задание 5 Исследовать функцию w = на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения li Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную cos + а) d ; б) + d = 6 ( 5 = ) Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y + y + 4y+ six= 0 с нулевыми начальными условиями

16 6 Вариант 4 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак а) ; б) l ( ) = + 5! ( ) = + Задание Найти область сходимости степенного ряда = ( x ) ( ) Задание Разложить функцию y = в ряд Маклорена, используя 4 x известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по синусам на от-, резке [ 0, ], продолжив её нечётным образом на отрезок [ ] Im Задание 5 Исследовать функцию w = на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения si( i ) Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную + e а) d ; б) d + i + i= = 5 Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y 4y 5y 6= 0 с нулевыми начальными условиями Вариант 5 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак а) 0 ; б) = + ( ) = + Задание Найти область сходимости степенного ряда si ( x + ) Задание Разложить функцию y = xl x в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда =

17 7 Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по синусам на отрезке [ 0, ], продолжив её нечётным образом на отрезок [,] Задание 5 Исследовать функцию w= + Im на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения i Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную ch + а) d ; б) + d = ( + + = ) Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши t для дифференциального уравнения y + y + y+ e = 0 с нулевыми начальными условиями Вариант 6 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак + а) ; б) l = = ( ) ( x ) Задание Найти область сходимости степенного ряда = + x Задание Разложить функцию y= x cos в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию x y = в ряд Фурье по косинусам на отрезке [ 0, ], продолжив её чётным образом на отрезок [,] Задание 5 Исследовать функцию w= Re на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения ch( i ) Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную + + cosπ а) d ; б) d + 4 i = 5 + i= + Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y + y + 4y+ 5= 0 с нулевыми начальными условиями

18 8 Вариант 7 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак ( +! ) а) ; б) = + = ( ) x Задание Найти область сходимости степенного ряда = + 5 Задание Разложить функцию y = в ряд Маклорена, используя x 4 известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию y= π + x в ряд Фурье по косинусам на π, π отрезке [ 0,π ], продолжив её чётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию w= + на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения L Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную + 5 si а) d ; б) + 4 d = ( )( = ) Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y 5y + 6y 7x= 0 с нулевыми начальными условиями Вариант 8 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак π si а) 4 ; б) = 9 = 4 + Задание Найти область сходимости степенного ряда = ( ) ( x ) + 5 ( ) x e Задание Разложить функцию y = в ряд Маклорена, используя x известные разложения Найти область сходимости полученного ряда

19 9 Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по косинусам на, отрезке [ 0, ], продолжив её чётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию w= i на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения i Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную cosπ + а) d ; б) + d + = 6 ( = ) Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y 6y + 9y+ cosx= 0 с нулевыми начальными условиями Вариант 9 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак + 5 а) l ; б) = = Задание Найти область сходимости степенного ряда x tg l + x Задание Разложить функцию y = в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда x Задание 4 Разложить функцию y= x в ряд Фурье по косинусам на π, π отрезке [ 0,π ], продолжив её чётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию Re w= i + на дифференцируемость и аналитичность и найти её производную, если она существует L + i Задание 6 Найти все значения Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную + cos а) d ; б) + d 4 = + = 5 i =

20 0 Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y + y + 5y 0= 0 с нулевыми начальными условиями Вариант 0 Задание Исследовать на сходимость числовые ряды, используя: а) признаки сравнения; б) признаки Д Аламбера, Коши или интегральный признак + а) ; б) 4 arctg = 5 + = ( x ) Задание Найти область сходимости степенного ряда = + Задание Разложить функцию y = 4 + x в ряд Маклорена, используя известные разложения Найти область сходимости полученного ряда Задание 4 Разложить функцию y= x+ в ряд Фурье по косинусам на, отрезке [ 0, ], продолжив её чётным образом на отрезок [ ] Задание 5 Исследовать функцию w = на дифференцируемость и Im аналитичность и найти её производную, если она существует Задание 6 Найти все значения + 4i Задание 7 Вычислить интеграл, используя: а) теорему или интегральную sh( + ) e а) d ; б) + d = + = 4( ) ( + ) Задание 8 Методами операционного исчисления решить задачу Коши для дифференциального уравнения y y + y 4x= 0 с нулевыми начальными условиями

21 Список литературы Виноградова, И А Задачи и упражнения по математическому анализу: Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: учеб пособие / Под ред В А Садовничего М : Высш шк, с Высшая математика: Общий курс: учебник / Под ред С А Самаля Минск : Выш шк, с Гусак, А А Высшая математика: учебник / А А Гусак 4-е изд Минск : ТетраСистемс, 00 Т 544 с 4 Гусак, А А Высшая математика: учебник / А А Гусак 4-е изд Минск : ТетраСистемс, 004 Т 448 с 5 Гусак, А А Справочник по высшей математике / А А Гусак, Г М Гусак, Е А Бричикова 5-е изд Минск : ТетраСистемс, с 6 Сборник задач по математике для втузов Специальные разделы математического анализа / В А Болтов [и др]; под ред А В Ефимова и Б П Демидовича -е изд М : Наука, 986 Т 68 с 7 Шипачев, В С Высшая математика: учебник / В С Шипачев 7-е изд М : Высш шк, с

Работы пересмотрены с учетом изменения учебных планов и могут быть рекомендованы студентам в 2014 году по индивидуальному выбору преподавателя.

Работы пересмотрены с учетом изменения учебных планов и могут быть рекомендованы студентам в 2014 году по индивидуальному выбору преподавателя. Представлена программа курса высшей математики: элементы линейной алгебры и аналитическая геометрия введение в математический анализ дифференциальное исчисление функций одной переменной исследование функций

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

А. В. Овчинников. Линейная алгебра

А. В. Овчинников. Линейная алгебра Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Анализ систем и сигналов: метод. указания к курсовой работе / Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. К.Е. Воронов. Самара, 2006. 27 с.

Анализ систем и сигналов: метод. указания к курсовой работе / Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. К.Е. Воронов. Самара, 2006. 27 с. Составитель К.Е. Воронов УДК 6.37 (075) Анализ систем и сигналов: метод. указания к курсовой работе / Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. К.Е. Воронов. Самара, 006. 7 с. Приводятся сведения об основных этапах

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Н.С.

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Н.С. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Министерство образования и науки РФ Федеральное агенство по образованию Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие

Подробнее

Старков ВН Материалы к установочной лекции Вопрос 17 1 Аналитические функции Условия аналитичности Понятие аналитической функции [3,4] является основным понятием теории функций комплексного переменного

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРАВИЛА ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРАВИЛА ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРАВИЛА ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» проводятся две контрольные работы. Контрольные работы являются очень важной

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Условия Коши-Римана.

Условия Коши-Римана. Условия Коши-Римана. ) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера -

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Производная функции, её геометрический и механический смысл. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

Подробнее

Измерения физических величин

Измерения физических величин Министерство транспорта Российской федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра физика и экологическая теплофизика Измерения физических

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Функция Грина и ее применение

Функция Грина и ее применение Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее