. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ". Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)"

Транскрипт

1 I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода образует множество Существуют обозначения: N множество натуральных чисел; G множество рациональных чисел; R множество вещественных чисел Множество считается определенным, если указаны все его элементы Конечные множества содержат конечное количество элементов Множества обозначают большими латинскими буквами: A, B, C,, а их элементы малыми: a, b, c, Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут a A, если не принадлежит a / A или a A Множество X, которое состоит из элементов a, b, c, записывают X { a, b, c} Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X { X / P( ) } Например, L :{ M (, y) / MF + MF a} множество точек M (, y), которые принадлежат линии L и удовлетворяют условию MF + MF a (определение эллипса) Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ο/ Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то множество B называют подмножеством множества A и обозначают: B A В других случаях пишут B / A Между множествами натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел существует соотношение N Z Q R В математических определениях и теоремах часто употребляются выражения: «для каждого (произвольного, всех)» и «существует такое (такая, такой), что» Эти выражения обозначаются соответственно:, и называются квантерами: квантер общности; квантер существования Будем рассматривать подмножества одного и того же множества, которое называют основным или универсальным Обозначим универсальное множество буквой U Объединением множеств A и B называется множество A B, которое содержит те и только те элементы, которые принадлежат по крайней мере одному из множеств A или B def A B { / A либо B, либо A и B} Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам A B B A, A ( B C) ( A B) C Очевидно, что A A A, A Ο/ A, A U U

2 Геометрическая интерпретация объединения множеств A и B дана на рис A B A B A B Рис Рис Рис 3 Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит и множеству A, и множеству B def A B { / A и B} Геометрическая интерпретация пересечения множеств A и B дана на рис Разностью двух множеств B и A называется множество B \ A, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A def B \ A { / B, но / A} Геометрическая интерпретация разности двух множеств дана на рисунке 3 Разность U \ A называется дополнением множества A к универсальному множеству U и обозначается A A def U \ A { / / A} Пусть A, B произвольные множества и f закон-правило, на основании которого каждому элементу a A поставлен в соответствие единственный элемент b B Тогда говорят, что задано отображение f множества A в множество B или оператор f, который переводит множество A в множество B Отображение f множества A в B обозначают f : A B или A B A B A f B (читается: «f отображает A в B») Элемент b B, в который отображен a A, называют образом f a элемента a при отображении f и обозначают ( ) Определение отображения коротко записывают f A B a A b B : b f ( a) B \ A : Множество образов всех элементов a A при отображении f f A f ( A) { f ( a) / a A} B называют образом множества A при этом отображении и обозначают ( )

3 ,, где A отображаемое множество, B множество значений отображения; f закон на основании которого каждому элементу a A соответствует элемент b B Отображение f : A B называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент b B является образом только одного элемента a A f взаимно однозначное соответствие b B a A : b f ( a), a ( ) ( ), a A, a a f a f a Отображение f называется обратным к биективному отображению Отображение считают заданным, если задана тройка ( A f, B) b f f, если a f b, a, это значит, элементу b B соответствует такой элемент a A, образом которого при отображении f является b f : B A b B a A : a f ( b) Если f отображение, обратное к f, то f отображение, обратное к f, поэтому их называют взаимно однозначными отображениями Два множества A и B называются эквивалентными, если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое Эквивалентность множеств A и B обозначают так: A ~ B (читается: «множество A эквивалентно множеству B») Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным Примером счетного множества может быть множество нечетных натуральных чисел Если множество счетное, то его элементы можно пронумеровать При изучении функций одной вещественной переменной рассматривают такие подмножества множества R, как интервал, полуинтервал, отрезок; их называют промежутками Интервал с концами a и b: def ( a, b) { R / a < < b} Отрезок с концами a и b: Полуинтервалы: def [ a, b] { R / a b} def def [ a, b) { R / a < b}, ( a, b] { R / a < b} Интервалы и полуинтервалы могут быть бесконечными def def [ a, ) { R / b} ; ( a, ) { R / > a} ; (, b] def { R / b} ; (, b) def { R / < b} ; def (, ) { R / < < } 3

4 Промежуток [ a, b] называют замкнутым, промежутки ( a, b), (, ) (,b) открытыми, остальные полуоткрытыми Множество вещественных чисел A ( R) a, A называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число M (число m ), что каждый элемент A удовлетворяет неравенству M ( m ) При этом число M (число m ) называется верхней границей (нижней границей) множества A Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху множества A R называется точной верхней границей Иначе говоря, вещественное число M является точкой верхней границей множества A R если A : M и M < M > M, A Точную верхнюю границу обозначают M sup A или M sup (от лат supreum) Наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества A R называется точной нижней границей Иначе говоря, вещественное число m является точной нижней границей множества A R, если A : m и m < m m, A Точную нижнюю границу обозначают m if A или m if (от лат A ifium) Множества, ограниченные сверху и снизу, называются ограниченными Очевидно, что sup ( a, b] sup[ c, b] sup(, b] b sup ( a, b) sup( c, b) sup(, b) b Заметим, что каждое из множеств ( a, b], [ c, b], (,b] содержит свою точную верхнюю границу, а множества [ a, b), [ c, b), (,b) не имеют этого свойства Аналогично if ( a, b] if [ a, c] if [ a, a if ( a, c) if ( a, c] if ( a, ) a В первом случае точная нижняя граница принадлежит множествам, во втором случае не принадлежит Понятие функции Пусть D произвольное множество вещественных чисел ( D R ) Соответствие между множеством D и множеством E, при котором каждому элементу D соответствует некоторое вполне определенное действительное число y f ( ), называется функцией f и обозначается y f, D ( ) A 4

5 Множество D называется областью определения функции и D f, а множество E множеством значений функции и E f Так как определение функции совпадает с определением отображения обозначается ( ) обозначается ( ) множества D f E, то термины «функция», «отображение» в дальнейшем будут употребляться, как синонимы y f, Для записи функции употребляют следующие обозначения: ( ) f : D E, D f E, где f некоторый закон соответствия Если f : D E, где D, E F, то функцию f называют числовой функцией вещественной переменной В дальнейшем будем рассматривать только числовые функции В качестве D и E могут быть отрезок [ a, b], интервал ( a, b), полуинтервалы ( a, b] или [ a, b), отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось (, ) Основными способами задания функции являются: табличный, графический, аналитический При аналитической записи функции y f ( ) часто не указываются области D и E, но они натуральным образом определяются из свойств функции f ( ) Если функция f ( ) задана формулой y f ( ), то говорят, что функция задана явно Говорят, что функция y f ( ), ( a, b) неявно задана уравнением F (, y), если для всех ( a, b) имеет место тождество F (, f ( ) ) От явно заданной функции y f ( ) просто перейти к функции, заданной неявно y f ( ) От неявно заданной функции F (, y) к явно заданной перейти не всегда возможно Под графическим способом задания функции понимают геометрическое изображение графика функции в некоторой системе координат Графиком функции y f ( ) называется множество всех точек M (, y) плоскости Oy, координаты которых удовлетворяют уравнению y f ( ) Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением значений аргумента,,, и соответствующих им значений функции y, y,, y Известны таблицы значений логарифмической функции тригонометрических функций и других Этот способ задания функции используется в тех случаях, когда значения функции имеют определенный физический смысл и находятся в результате эксперимента, а также тогда, когда для вычисления значений функции нужны значительные усилия Пусть функция f : D R такова, что для произвольных, D из условия следует f ( ) ( ) f В этом случае каждому числу y E 5

6 соответствует определенное число D, такое, что f ( ) y ; тем самым определена новая функция f : E D, которая называется обратной к заданной функции f Графики взаимно обратных функций f и f, построенные в одной системе координат Oy, размещаются симметрично относительно биссектрисы первой и третьей четверти Если на множестве D определена функция u ϕ( ) с множеством значений U ( ϕ : D U ), а на множестве U определена функция y F( u) с множеством значений E( F : U E), то функция y f ( ) F( ϕ( ) ) называется сложной функцией от переменной, а переменная u промежуточной переменной сложной функции Наряду с термином «сложная функция» используется равнозначный термин «композиция (или суперпозиция) функций» Он обозначается f ϕ F : U E Пусть ϕ() t, y ϕ() t две функции одной независимой переменной Если ϕ() t монотонна на T, то существует обратная к ней функция t ϕ ( ) Поэтому функцию y ψ( t), t ϕ ( ) можно рассматривать как сложную, которая переводит элемент в элемент y с помощью промежуточной переменной t ϕ() t t ϕ ( ), t T y ψ( ϕ ( ) ) F( ) y ψ() t Переменную t называют параметром В этом случае говорят, что сложная функция y F( ) y ψ( t), t ϕ ( ) задана параметрически и пишут ϕ( t), t T y ψ() t, Параметрическое задание функции широко используют в разных дисциплинах, например, в механике при задании траектории движения, где координаты движущейся точки рассматриваются как функции времени t Исключая параметр t, получаем уравнение траектории в декартовой системе координат Основными элементарными функциями называются следующие аналитически заданные функции: α Степенная функция: y, α R Показательная функция: y a, a >, a 3 Логарифмическая функция: y loga, a >, a 4 Тригонометрические функции: y si, y cos, y tg, y ctg 5 Обратные тригонометрические функции: y arcsi, y arccos, y arctg, y arcctg 6

7 Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также их композиций, образуют класс элементарных функций 3 Числовая последовательность 3 Числовая последовательность и ее предел Если каждому натуральному числу N соответствует определенное число f ( ), R, то говорят, что на множестве N задана числовая последовательность Таким образом, числовая последовательность это числовая функция f, определенная на множестве натуральных чисел N, которая отображает множество N в R ( f : N R ) Число f ( ) называется -м или общим элементом последовательности и обозначается, а формула f ( ) называется формулой -ого или общего элемента последовательности Так как последовательность ( ) является числовой функцией, то к ней применима большая часть понятий, введенных для числовых функций, которые характеризуют поведение последовательности на D ( f ) N Существуют последовательности ограниченные (сверху, снизу), возрастающие, убывающие и тд Однако нельзя говорить о четных и нечетных последовательностях, так как на множестве N нет двух взаимно противоположных чисел Приведем некоторые понятия для числовых последовательностей, беря за основу соответствующие определения для числовых функций: ( ) ограничена снизу на N m R : m N ; ( ) ограничена сверху на N M R : M N ; ( ) ограничена на N m, M R : m M N ; ( ) возрастает на N, N : < < ; ( ) убывает на N, N : < > ; ( ) не возрастает на N, N : < ; ( ) не убывает на N, N : < Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными Число a называется пределом числовой последовательности ( ), когда для любого положительного числа ε существует такое натуральное число () ε, что для всех > элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству a < ε В этому случае говорят, что для последовательности ( ) существует конечный предел при и пишут lim a Используя квантеры, определение предела последовательности можно записать более коротко 7

8 def lim a ε > N : > a < ε Последовательности ( ), для которых при существует конечный предел, называются сходящимися (к числу a ), а последовательности, которые не имеют конечного предела расходящимися a + ε a a ε Рис 3 Геометрическая интерпретация определения предела последовательности дана на рис 3, из которого видно, что в произвольную ε -окрестность попадают все элементы последовательности ( ) для > (в данном случае 5) В эту ε -окрестность попадают все элементы последовательности, за исключением конечного их числа Неограниченные последовательности ( ) такие, что с увеличением общий элемент последовательности ( ) неограниченно возрастает, называются бесконечно большими Дадим определения последовательностей, которые имеют бесконечный предел, используя квантеры: lim M R N > < M ; : lim + M R N > > M ; + : lim M R N : > > M Числовую последовательность называют бесконечно малой, если lim lim ε > N > < ε : 3 Признаки сходимости числовых последовательностей Приводим необходимый признак сходимости числовых последовательностей Теорема Если последовательность ( ) сходится, то она ограничена lim a M R : < M 8

9 Доказательство Пусть ( ) сходящаяся последовательность Так как lim a, то для фиксированного ε > существует натуральное число N, такое, что для каждого > имеет место неравенство a + a a + a < a + ε, это значит, < a + ε Пусть M ma{ a + ε,,,, } Тогда M N, что и означает ограниченность числовой последовательности Ограниченность последовательности является необходимым, но не достаточным признаком сходимости последовательности Приведем без доказательства достаточный признак сходимости числовых последовательностей Теорема Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится Заметим, что монотонность ограниченной последовательности является достаточным, но не необходимым условием ее сходимости, это значит, существуют ограниченные сходящиеся немонотонные последовательности Например, последовательность,,,,,, сходится к, хотя не является монотонной Теорема 3 Если lim a, lim a и, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство z y z, то lim a y ( y z ) ( lim lim z a) lim y a : Доказательство Используя определение предела, имеем lim a ε > N a < ε > ; : lim z a ε > N : z a < ε > Пусть ma(, ) Тогда для всякого > имеют место неравенства a ε < < a + ε ( y z ) a ε < y < a + ε y a < ε > a ε < z < a + ε Это и означает, что предел последовательности ( y ) равен a, что и нужно было доказать Суммой разностью, произведением и частным двух, ( y ) называются последовательности ( ) + y, ( ) y, ( ) y, ( ) / y соответственно (при делении считается, что все элементы последовательности ( y ) отличаются от нуля) Произведение последовательности ( ) и числа c можно рассматривать и неизменной последовательности последовательностей ( ) как произведение последовательности ( ) 9

10 ( ) c последовательность ( ) y, все элементы которой равны c В результате получаем c y сходятся и lim a, lim y Теорема 4 Если последовательности ( ) b, то lim lim lim ; ( ) ± y ± y a ± b lim ( c ) c lim c a ; 3 ( y ) y a b lim lim lim ; lim a 4 lim lim y y lim y b 33 Последовательность ( ) логарифмы и ( ) + Число e Натуральные Рассмотрим последовательность ( ), общий элемент которой + Покажем, что последовательность ( ) возрастает: > ограничена сверху: < 3 Применяя формулу бинома Ньютона k + k ( a + b) a + a b + a b + + a + + b! k! получаем + Для последовательности ( ) + + ( )( ) + и ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) С увеличением дроби,,, уменьшаются, а разности, 3, увеличиваются Поэтому с увеличением третий, четвертый и тд элементы увеличиваются, и еще добавляются новые положительные слагаемые Следовательно, величина + с увеличением возрастает 3

11 Таким образом, последовательность ( ) Покажем, что она ограниченная + возрастающая Если в формуле (3) отбросить в скобках дроби,, 3,, то каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличится, это значит + < (3) 3 3 Но <, <,, < Поэтому + < (33) В скобках (33) записана геометрическая прогрессия, в которой a, q Сумма ее членов равна a a q S < q Таким образом, + < + 3 Так как последовательность ( ) возрастает и ограничена, следовательно, она сходится и < lim + < 3 Предел этой последовательности называют числом e : def lim e lim + Число e является иррациональным: e,7888 В математическом анализе e играет особую роль Логарифмы по основанию e называются натуральными Их обозначают def log l a e a Модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным обозначают Тогда M def lg e,4343

12 lga M l a lge l a 4 Предел числовой функции 4 Предел функции Основные понятия и определения Каждый интервал, который содержит точку a, называется окрестностью точки a δ-окрестностью точки a называется интервал длиной δ с центром в a точке a (рис 4), который обозначается ( ) δ O δ a δ a a δ Рис 4 Проколотой δ-окрестностью точки a называется множество O ( ) { < < δ} δ a / a В точке a значение f ( a) может быть не определено Аналогично определяется O ε ( b) и O ε ( b) O ( b) { f ( ) / f ( ) b < ε}, O ( b) { f ( ) / < f ( ) b < ε} ε ε Пусть функция f определена в окрестности точки a, за исключением, возможно, самой точки a Определение Число b называется пределом функции f ( ) при a, если для каждого ε > существует такое число δ () ε >, что для всех, которые удовлетворяют неравенству < a < δ имеет место неравенство f ( ) b < ε Символическая запись определения предела функции f ( ) y при a lim f ( ) b ε > δ( ε) >, < a < δ f ( ) b < ε В определении используются понятия ε -окрестности и проколотой δ-окрестностью, поэтому его и называют определением предела на языке «ε δ» и коротко записывают def ( ) b ε > δ( ε) >, O ( a) f ( ) O ( b) lim f Геометрическая интерпретация определения конечного предела функции дана на рис 4 δ ε

13 y b + ε b b ε a δ a a + δ Рис 4 Из рисунка видно, что O δ ( a) отображается функцией в O ( b ) ε, это значит, каждому из проколотой δ-окрестности точки a соответствует значение f ( ), которое попадет в ε -окрестность точки b Определение Число b называется пределом функции y f ( ) при +, если для каждого ε > существует такое положительное число M () ε, такое, что для всех > M имеет место неравенство f ( ) b < ε Символическая запись определения конечного предела функции при + def ( ) b ε > M ( ε) >, > M f ( ) O ( b) lim f / > называют δ-окрестностью бесконечно δ удаленной точки Геометрически это означает, что график функции y f ( ) будет находиться в полосе, ограниченной прямыми y b ε, y b + ε для каждого > M (рис 43) Определение 3 Функция f ( ) стремится к бесконечности при a, это значит, является бесконечно большой при a, если для каждого положительного числа M > существует число δ( M ) >, такое, что для всех значений, которые удовлетворяют неравенству < a < δ имеет место неравенство Множество { M} O ( ) Символическая запись f ( ) > M def f ( ) b M > δ( M ) >, O ( a) f ( ) > M δ Если f ( ) стремится к бесконечности при a lim и при этом имеет только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут ε 3

14 y b + ε b b ε lim f ( ) +, lim f ( ) На рис 44 дана геометрическая интерпретация ( ) y f ( ) y M lim f y f ( ) M a δ a a + δ Рис 43 Рис 44 Определение 4 Функция f ( ) стремится к бесконечности при + ( ), если для каждого числа M R существует такое число M ( M ) >, что для значений, которые удовлетворяют неравенству > M, имеет место неравенство f ( ) > M Символическая запись lim f M > M M >, > M f > ( ) ( ) ( ) M Геометрическая интерпретация ( ) lim f дана на рис 45 y y f ( ) M M Рис 45 4 Односторонние пределы функции f при условии, что точка, приближаясь к точке a, остается или справа, или слева от него: Если a, оставаясь меньше, чем a, то говорят, что a слева и пишут a Иногда приходится рассматривать пределы функции ( ) 4

15 Если a, оставаясь больше, чем a, то говорят, что a справа и пишут a + Определение Число b называется левым (левосторонним) пределом функции f ( ) в точке a (при a + ) и обозначается f ( a ), если для каждого ε > существует число δ ( ) ε >, такое, что для всех, которые удовлетворяют неравенству a δ < < a имеет место неравенство f ( ) b < ε Символическая запись: def ( a ) lim f ( ) ε ( ) ( ) > δ ε >,, a δ < < a f b < ε b f : Определение Число b называется правым (правосторонним) пределом функции f ( ) в точке a (при a + ) и обозначается f ( a + ), если для каждого ε > существует число δ ( ) ε >, такой, что для всех, которые удовлетворяют неравенству a < < a + δ имеет место неравенство f ( ) b < ε Символическая запись: def ( a + ) lim f ( ) ε > δ ( ε ) >,, a < < a + δ f ( ) b < ε b f : + Связь между односторонними пределами и пределами функции дает следующая теорема Теорема Для функции f ( ) в точке a существует предел тогда и только тогда, если в этой точке существуют односторонние пределы f ( a ), f ( a + ) и они равны между собой В этом случае предел функции при a равен ее односторонним пределам при a и a +, это значит f a f a + lim f ( ) ( ) ( ) b 43 Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними Среди функций, которые имеют предел в некоторой точке, особую роль в математике и ее приложениях играют функции, предел которых в точке равен нулю или бесконечности Функция y f ( ) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при a ( ± ), если lim f ( lim f ( ) ) ( ) ± Символическая запись определения бесконечно малой при ε > δ ε > : O δ a f < ; ( ) ( ) ( ) ε a : при ± : ε > M ( ε) > : > M f ( ) < ε Аналогично определяются бесконечно малые функции при a, a + 5

16 y называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при a ( ± ), если lim f ( ) ( lim f ( ) ) Функция f ( ) ± Символическая запись определения бесконечно большой функции при a : M > δ( M ) > : O ( a) f ( ) > M ; при ± : M > N( M ) > : > N f ( ) > M Бесконечно малые функции обычно обозначают малыми буквами греческого алфавита α, β, γ, Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует связь, которая выражается двумя теоремами f является бесконечно большой при Теорема Если функция ( ) a, то функция f ( ) Доказательство Так как ( ) бесконечно малая при a f является бесконечно большой при a, то на основании определения имеем M > δ M > :, < a < δ f > Пусть Или f M ε Тогда для > ε ε f / ε ( ) ( ) Таким образом, бесконечно малая δ ( ) ( ) M f ( ) Теорема Если функция f ( ) бесконечно малой при ε > ε δ > :, < a < δ f ( ) < ε, а это и означает, что функция a, то a Доказывается аналогично f ( ), которая не обращается в ноль, является бесконечно большая функция при f ( ) 44 Теоремы о бесконечно малых функциях Для определенности все формулировки и доказательства теорем будем проводить для случая бесконечно малых функций при a, так как во всех остальных случаях формулировки и доказательства аналогичные Теорема Конечная сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией Доказательство Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для произвольного числа слагаемых оно проводится аналогично Пусть γ ( ) α( ) + β( ), lim α, lim β( ) где ( ) 6

17 ε > Докажем, что lim γ( ) δ() ε > :, < a < δ f ( ) < ε Так как по условию α ( ) и ( ), это значит, что для β бесконечно малые функции при ε ε ε a, то для числа существуют такие числа δ и δ, что ε, < a < δ α( ) < ; ε, < a < δ ( ) β < Пусть δ mi( δ, δ ) Тогда для, < a < δ имеют место ε ε неравенства α( ) <, β( ) < Следовательно, для ε ε < a < δ γ( ) α( ) + β( ) α( ) + β( ) < + ε Таким образом, для, < a < δ γ( ) < ε, а это и означает, что функция γ ( ) α( ) + β( ) является бесконечно малой функцией при a Для дальнейших теорем о бесконечно малых функциях введем понятие ограниченной функции Функция f ( ) называется ограниченной для множестве X значений аргумента, если существует такое число M, что для всех X имеет место неравенство f ( ) < M Символическая запись: > M X f ( ) M Теорема Если функция ( ) ( f ( ) b f ( ) ограничена Доказательство Пусть f ( ) b ε > существует такое число δ ( ε) >, что для ( a δ a + δ) неравенство f ( ) b < ε Так как на основании свойств модуля имеем f ( ) b f ( ) b f ( ) b < ε, откуда f ( ) < b + ε M Это и означает, что функция f ( ) ограничена для ( a δ, a + δ) f имеет конечный предел при a ), то существует такая окрестность точки a, в которой функция Тогда для каждого фиксированного, имеет место Следствие Бесконечно малая функция при a ограничена Теорема 3 Если функция f ( ) имеет предел при a, который отличен от нуля, то функция ограничена в окрестности точки a f ( ), то 7

18 Доказательство Пусть lim f ( ) b и задано положительное число ε < b Тогда из определения предела имеем ε > δ() ε > : < a < δ f ( ) b < ε Так как f ( ) b b f ( ) b f ( ), то и b f ( ) < ε, f ( ) > b ε > Следовательно, < M f ( ) f ( ) b ε Таким образом, получили < M а это и означает, что функция f ( ) ограничена в окрестности точки a f ( ) Теорема 4 Произведение функции, бесконечно малой при a, на функцию, ограниченную в окрестности точки a, является бесконечно малой функцией Доказательство Пусть α ( ) бесконечно малая функция при a, а ϕ ( ограничена в окрестности точки a Покажем, что произведение α ( ) ϕ( ) является бесконечно малой функцией при a На основании определения ограниченной функции ϕ ( ) при a имеем M > : O a ϕ запишем ( ) ( ) δ M Используя определение бесконечно малой функции ( ) α при a, ε ε / M > δ > : O ( a) α( ) δ M mi δ, δ O δ a имеем ε α( ) ϕ( ) α( ) ϕ( ) < M ε, M α ϕ функция, бесконечно малая при a lim α, c cost, то lim c α( ) Возьмем δ ( ) Тогда для ( ) а это означает, что ( ) ( ) Следствие Если ( ) Следствие Если lim α( ), lim β( ), то lim α( ) β( ) ( ) тк β величина ограниченная Это имеет место для произведения конечного числа множителей α Теорема 5 Если lim α( ), а ( ) ( ) limϕ, то функция является ϕ( ) бесконечно малой при a 8

19 ( ) α( ) ϕ( ) Так как ( ) ( ) α бесконечно малая по условию, а ϕ ( ) Доказательство Функцию можно записать как произведение α ограничена ϕ на основании теоремы 3, то из теоремы 4 следует, что функция α ( ) ( ) α является бесконечно малой при a ϕ ϕ ( ) ( ) 45 Разложение функции, имеющей предел, на константу и бесконечно малую функции f имеет предел lim f ( ) b f ( ) ( ) α бесконечно малая функция при a Доказательство Пусть lim f ( ) b Обозначим f ( ) b α( ) покажем что α ( ) бесконечно малая функция при a Теорема Если функция ( ) b + α, где ( ), то и Из определения предела имеем ε > δ ε > : < a < δ f b < () ( ) ε Но тогда α( ) f ( ) b < ε, а это означает, что ( ) малая функция Из равенства f ( ) b α( ) находим f ( ) b + α( ) образом, теорема доказана Теорема (обратная) Если функцию ( ) ( ) b + α( ), где b неизменное число, ( ) a, то существует lim f ( ), равный b, те lim f ( ) b Доказательство Дано, что f ( ) b + α( ), где ( ) a Покажем, что lim f ( ) b Так как ( ) f при α бесконечно Таким f можно представить в виде α бесконечно малая функция α бесконечно малая функция при α бесконечно малая функция, то из определения бесконечно малой имеем ε > δ( ε) > : < a < δ α( ) < ε Но тогда f ( ) b α( ) < ε, f ( ) b < ε, а это и означает, что lim f ( ) b 46 Основные теоремы о пределах Формулировки и доказательства теорем приводим для случая a, так как во всех остальных случаях формулировки и доказательства аналогичные Теорема Предел алгебраической суммы конечного числа функций при a равен сумме пределов этих функций при a, если существует предел каждой из этих функций при a 9

20 Доказательство Приведем доказательство для суммы двух функций, так как для произвольного числа функций он проводится аналогично Покажем, что lim( f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) ± lim ± lim Пусть ( ) lim f b и lim f ( ) b На основании теоремы пункта 45 имеем f ( ) b ( ) + α, f ( ) b ( ) + α, α бесконечно малые функции при a где α ( ), ( ) Тогда f ( ) ± f ( ) b + α ( ) ± b ± α ( ) ( b + b ) ± ( α ( ) + α ( ) ) Так как сумма двух бесконечно малых ( ) + ( ) α α бесконечно малая функция, а b + b константа, на основании теоремы пункта 45 имеем, что предел функции f ( ) f ( ) ± при a есть число b ± b Таким образом, lim ( f ( ) f ( ) ) b ± b lim f ( ) ± f ( ) ± a lim Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа слагаемых Теорема Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей, если существует предел каждого из множителей Доказательство Приведем доказательство для двух множителей Пусть ( ) b, ( ) lim f b lim f На основании теоремы пункта 45 имеем f ( ) b ( ) + α, f ( ) b ( ) + α, где α ( ), ( ) α бесконечно малые функции Тогда f ( ) f ( ) ( b ( ) ) ( b ( ) ) b b b ( ) b ( ) ( ) ( ) + α + α + α + α + α α Произведение b b неизменная величина, а величина b ( ) b ( ) ( ) ( ) α + α + α α на основании теорем пункта 44 является бесконечно малой Таким образом, получаем lim f ( ) ( ) f b b Следствие Константу можно вынести за знак предела lim k f ( ) k lim f ( ) ( k cost) Следствие Предел степени равен степени предела lim f lim f ( ) ( ( )) ( ) Теорема 3 Предел частного двух функций равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

21 Доказательство Пусть lim f ( ) b и ( ) lim f b На основании теоремы и пункта 45 имеем f ( ) b ( ) + α, f ( ) b ( ) + α, α бесконечно малые функции где α ( ), ( ) Тогда имеем f ( ) b b f ( ) b b Так как ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bα ( b + α ( ) ) + α b bα + α b b bα α бесконечно малая функция, а b, то на b ( ) ( ) α bα основании теоремы 5 пункта 9 функция является b ( b ( ) ) + α бесконечно малой функцией (обозначим ее через β ( ) ) Используя это, получаем f ( ) ( ) ( ) b bα bα b + + β( ) f ( ) b b ( b + α ( ) ) b Отсюда на основании теоремы пункта следует что функция f ( ) b при a имеет предел f ( ) b f ( ) b lim f ( ) lim f ( ) b f ( ) lim Теорема 4 Если функция f ( ) при a имеет предел, то он единственный Доказательство Допустим противное Пусть lim f( ) b, ( ) lim f b, b b Запишем это символически ε > δ ε > : O a a y O b, ( ) ( ) ( ) ( ) δ ε ε ( ) ( ) ( ) ( ) > δ ε > : O δ a a y O b ε Возьмем δ mi( δ, δ ) Тогда для a O ( ) ( ) ( ) δ a y Oε b Oε b, но этого не может быть, так O ε ( b ) и ( b ) O ε не имеют общих точек при достаточно малых ε и ε ε ε < b b Таким образом, если функция имеет предел, то он единственный Теорема 5 (признак существования предела функции) Пусть функции f ( ), ϕ ( ), ψ ( ) определены в окрестности O ( a) Тогда, если для O( a) функции f ( ), ϕ ( ), ψ ( ) удовлетворяют неравенству ϕ ( ) f ( ) ψ( ) и ψ при a, причем существуют пределы функций ϕ ( ) и ( )

22 lim ϕ( ) limψ( ) b, то функция ( ) lim f ( ) b Доказательство Из неравенства ( ) f ( ) ψ( ) ϕ ( ) b f ( ) b ψ( ) b то имеем Так как f также имеет предел в точке a и ϕ следует ( ) limψ( ) b lim ϕ, ε > δ () ε > : < a < δ ϕ( ) b < ε ε > δ () ε > : < a < δ ψ( ) b < ε Возьмем δ mi( δ, δ ) Тогда для a < δ имеем ϕ( ) b < ε, ε < ϕ( ) b < ε, ψ( ) b < ε, ε < ψ( ) b < ε, откуда следует, что ε < ψ b < f, ( ) ( ) b < ψ( ) b < ε ε < f ( ) b < ε f ( ) ( ) O ( b) f ( ) ε lim b f Теорема 6 Если при lim f, то b ( ) b a (или Доказательство Допустим, что < ) ( ) b, тогда f ( ) b b b < ε f и существует, это значит, модуль разности f ( ) b больше, чем положительное число b и, следовательно, не стремится к нулю при a Но тогда f ( ) при a не стремится к b, что противоречит условию теоремы Таким образом, допущение, что b <, приводит к противоречию, откуда следует, что b Аналогично доказывается, что если f ( ) при a (или ), то lim f ( ) Теорема 7 Если при a (или ) выполняется неравенство f α f lim ϕ, то ( ) ( ) и существуют конечные пределы lim ( ), ( ) f ( ) limϕ( ) lim a a Доказательство По условию теоремы ϕ( ) f ( ) при a ( ), следовательно, на основании теоремы 6 имеем lim( ϕ( ) f ( ) ) либо limϕ( ) lim f ( ), откуда получаем lim ϕ( ) lim f ( ), что и нужно было доказать 47 Первый замечательный предел

23 si Функция не определена при, так как и числитель, и знаменатель дроби обращается в нуль si Покажем, что lim si Так как функция f ( ) является четной функцией, рассмотрим ее π только в интервале, y A D B C Рис 46 π Возьмем окружность единичного радиуса и угол < < Из рис 46 непосредственно видно, что S ABC < Sсект OAC < S ODC S OAC si, S, S сект OAC ODC tg Таким образом, получаем si < < tg (4) π Так как < <, то и si > Разделяя на si > все части неравенства (4), получаем < < или si cos < < si cos Так как lim cos, то из теоремы 5 параграфа 46 следует что si lim (4) si Очевидно, что на основании четности функции доказательство справедливо и тогда, когда, оставаясь отрицательным Первый 3

24 замечательный предел используют для раскрытия некоторых неопределенностей вида Пример Найти пределы: si cos а) lim ; б) lim tg3 Решение Используя первый замечательный предел, имеем: а) si cos3 si si cos3 si si3 lim lim lim lim,lim tg3 si3 si limcos3 ; 3 3 cos si si si si б) lim lim lim lim 48 Второй замечательный предел В параграфе 33 было определено число e как предел последовательности + при В общем случае это число можно определить как предел функции f ( ) ( + ) при, lim + e (43) Это и есть второй замечательный предел Доказательство ) Пусть + Тогда каждое значение переменной находится между двумя положительными целыми числами При этом имеют место неравенства <, + < + + ; < Если +, то, очевидно, и Найдем пределы переменных, между которыми находится переменная + 4

25 + lim + lim + + lim + lim + e ; lim e lim + lim e + + lim Используя теорему 5 параграфа 46, получаем lim + e ) Пусть Введем новую переменную t ( +) или ( t +) При t + Тогда имеем t t t+ t+ t t + lim + lim lim lim t t t lim + + t + + t + t + t t t lim + + e e t + t t Если обозначить α( ), то при α( ) ( α ) Таким образом, получаем lim ( + α) α e (44) α Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенностей вида ( ) При этом функцию преобразуют следующим образом: Пример Найти пределы: + ( ( )) ( ) v u ( + ( u( ) ) ) u( ) ( u( ) ) v( ) (45) а) lim ; б) lim Решение Убедившись сначала, что при данном изменении аргумента основание степени стремится к единице, а показатель к бесконечности (неопределенность вида ), далее преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел а) Используя приведенное выше преобразование (45) имеем lim lim lim ( + ) lim + + lim lim + e e e

26 б) Находим lim lim 6 ( ) ( ) lim + e e + 49 Сравнение бесконечно малых функцпй Будем рассматривать бесконечно малые функции α ( ), β ( ), γ ( ) одного и того же аргумента, который стремиться к числу a или к В ряде исследований возникает необходимость сравнить бесконечно малые функции α ( ) и β ( ) между собой в смысле скорости их стремления к нулю в δ-окрестности O δ ( a) В основу такого сравнения берут поведение α( ) отношения двух бесконечно малых функций при a При этом β( ) считают, что бесконечно малая, которая стоит в знаменателе, не обращается в нуль в некоторой окрестности точки a Пусть lim α( ) limβ( ) β называются Бесконечно малые α ( ) и ( ) сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов α lim β или β( ) lim α( ) Рассмотрим α( ) lim и введем обозначения Такие определения β( ) аналогичны и при, + Функции α ( ) и β ( ) называются бесконечно малыми одного α( ) порядка малости при a, если lim существует и равен A Это значит, β( ) α( ) lim A ( A, A ) В этом случае пишут α( ) ( β( ) ) при a β( ) В частности, если A, то бесконечно малые α ( ) и β ( ) называются эквивалентными при a В этом случае пишут α ( ) ~ β( ) при a Функция α ( ) называется бесконечно малой более высокого порядка α малости, чем функция β ( ) ( ) при a, если lim В этом случае β( ) пишут α( ) ( β( ) ) при a 3 Функция α ( ) называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция β ( ) ( ) при a, если α В этом случае β( ) пишут: β α при a ( ) ( ( )) ( ) ( ) 6

27 4 Бесконечно малую α ( ) называют бесконечно малой k -ого порядка k > ) в сравнении с бесконечно малой β ( ), если α ( ) и B k ( ) малости ( будут бесконечно малыми функциями одного порядка, это значит, если α( ) k lim A ( A, A ), α( ) ~ A( B ( ) ) при a k B ( ) Для эквивалентных бесконечно малых функций имеют место следующие теоремы Теорема Пусть α ( ) ~ α ( ) и ( ) ( ) β ~ β при a Если α ( ) существует lim α( ), то существует и lim и эти пределы равны между β ( ) β( ) α( ) α ( ) собой, это значит lim lim Таким образом, предел отношения β( ) β ( ) двух бесконечно малых функций равен пределу отношения двух бесконечно малых функций, или эквивалентных Доказательство Так как α ( ) ~ α ( ), ( ) ( ) β ~ β при a, то α( ) β( ) lim и lim Поэтому для < a < δ бесконечно малые α ( ) β ( ) функции α ( ), α ( ), β ( ), β ( ) не обращаются в нуль, и можно написать следующее тождество: α ( ) α( ) α ( ) ( ) β ( ) α ( ) β ( ) β β( ) Переходя к пределу при a в обоих частях этого тождества, получим утверждение теоремы α( ) α( ) α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β α α β α lim lim lim lim lim lim β α β β α β β β lim ( ) α ( ) β ( ) ( ) ( ) ( ) Эта теорема позволяет при вычислении пределов заменить бесконечно малые функции эквивалентными им бесконечно малыми Приведем список эквивалентных бесконечно малых функций при ( ), которые наиболее часто встречаются: si α ( ) ~ α( ), tg α ( ) ~ α( ), arcsi α ( ) ~ α( ), α ( ) ~ α( ) α( ) l ( + α( ) ) ~ α( ), e α( ) ~ α( ), a ~ α( ) l a, α ( ( )) ( ) log + α ~, ( + α( ) ) b ~ b α( ) α ( ) ( ) ( ) arctg, b lb Теорема (критерий эквивалентности двух бесконечно малых α и β ( ) a α β была α и β ( ) α ~ β при a функций) Для эквивалентности двух бесконечно малых функций ( ) при необходимо и достаточно, чтобы их разность ( ) ( ) бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ( ) Доказательство Необходимость Дано, что ( ) ( ) ( ) 7

28 Нужно доказать, что α( ) β( ) ( α( ) ) и ( ) β( ) ( β( ) ) Действительно, α α( ) β( ) β( ) lim lim α( ) α( ) Отсюда вытекает, что α( ) β( ) ( α( ) ) Аналогично можно доказать, что α( ) β( ) ( β( ) ) Достаточность Дано, что α( ) β( ) ( α( ) ) и ( ) β( ) ( β( ) ) α Нужно доказать, что ( ) ( ) ( ) α ~ β lim β( ) α( ) β( ) Имеем lim ; α( ) α( ) β( ) β( ) β( ) β( ) lim lim lim lim, α( ) α( ) α( ) α( ) а это означает, что β ( ) ~ α( ), и теорема доказана α Пример Сравнить функции, бесконечно малые при : 4 а) α ( ) si, β ( ) tg ; б) α ( ) cos ; β ( ) α( ) Решение Вычисляя lim, получаем β( ) 4 α( ) si si cos а) lim lim lim β( ) tg Таким образом, α ( ) является бесконечно малой более высокого порядка малости чем β ( ), это значит, α( ) ( β( ) ) б) α( ) cos si si si si lim lim lim lim lim, β( ) а это означает, что бесконечно малые α ( ) и β ( ) одного порядка малости, это значит, α ( ) A( β( ) ) Пример α ( ) 3 +, β ( ) Определить порядок малости бесконечно малой α ( ) 3 + по отношению к β ( ) при Решение Имеем 3 α( ) ( + ) ( + ) k lim k lim lim lim lim, k k k ( β( ) ) при k Следовательно, α ( ) является бесконечно малой второго порядка малости по отношению к β ( ) Пример 3 С помощью бесконечно малых функций найти предел 8

29 Решение lim si 8 lim 8 4 arcsi 3 tg arcsi 3 lim si tg7 ( e ) ( e ) arcsi 3 ~ 3 si ~ tg7 ~ 7 при e ~ lim ( 3) Непрерывные функции 5 Непрерывность функции в точке и на множестве Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой непрерывная линия Рассмотрим функцию f ( ), заданную на множестве D ( f ), которое состоит из одного или нескольких промежутков Приведем несколько определений непрерывности функции в данной точке Определение Функция f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия: ) функция f ( ) определена в точке и некоторой ее окрестности, которая содержит точку ; lim f ) существует конечный ( ) 3) lim f ( ) f ( ), ; или символически: для ε > δ() ε > :, < δ f ( ) f ( ) < ε Так как приращение аргумента, а f ( ) f ( ) y приращение функции в точке, то определение можно сформулировать следующим образом: функция f ( ) непрерывна в точке, если для ε > δ > < δ y < ε, это значит, y при Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности Определение Функция f ( ) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции y, это значит, lim y Геометрический смысл непрерывности: какую бы горизонтальную ε - полосу вдоль прямой y ( ) f ни взять, всегда найдется вертикальная δ- полоса вокруг прямой, такая, что все точки графика, находящиеся в 9

30 вертикальной полосе, обязательно попадут во взятую горизонтальную полосу (рис 5) f f y ( ) + ε f ( ) ( ) ε y f ( ) δ + δ Рис 5 Если в точке функция f ( ) непрерывна, то точка называется точкой непрерывности данной функции В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности Определение 3 Функция f ( ), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки, называется непрерывной слева (справа) в точке, если существует предел слева (справа) функции y f ( ) и он равен f ( ) Другими словами: lim f f ; ) f ( ) непрерывна слева в точке ( ) ( ) ) f ( ) непрерывна справа в точке lim f ( ) f ( ) + На практике часто используют следующее определение непрерывности функции в точке Определение 4 Функция f ( ) называется непрерывной в точке, если: ) f ( ) определена в точке и ее окрестности; ) существуют конечные односторонние пределы, это значит, f ( ) и f ( + ) ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке, это значит, f ( ) ( ) ( ) f + f Если в точке нарушается хотя бы одно из условий 3 определения 3, то функция f ( ) называется разрывной в точке, а точка точкой разрыва Определение 5 Функция f ( ), непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве 3

31 Если X [ a, b], то для непрерывности функции f ( ) на [ a, b] потребуется, чтобы функция f ( ) была непрерывной во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, это значит, в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, это значит в точке b 5 Точки разрыва и их классификация Точка называется точкой разрыва, если нарушается хотя бы одно из четырех условий, которые усиливаются: ) f ( ), ( ) f + существуют; ) f ( ), ( ) f + конечны; 3) f ( ) ( ) f + ; 4) f ( ) f ( + ) f ( ) При нарушении этих требований точка называется соответственно точкой: ) неопределенности; ) бесконечного скачка; 3) конечного скачка; 4) устранимого разрыва (изменение значения функции f ( ) в единственной точке приводит к непрерывности функции ( ) f при При нарушении условий, точка называется точкой разрыва второго рода, а при нарушении условий 3,4 точка называется точкой разрыва первого рода Пример Исследовать на непрерывность функции: а) y arctg ; б) y lg Решение В точке функция не определена, следовательно, точка разрыва Найдем π f ( ) limarctg arctg( ) ; π f ( + ) limarctg arctg( + ) + Так как f ( + ), f ( ) существуют, конечны, но не равны между собой, то в данном случае нарушается требование 3, и точка является точкой разрыва первого рода (конечного скачка) График данной функции изображен на рис 5 При построении графика учитывали то, что lim arctg ± и что функция нечетная ± 3

32 y π π Рис 5 б) В точках, ± функция не определена, поэтому данные точки являются точками разрыва Имеем f ( + ) lim ; f ( ) lim, + lg lg откуда следует, что в данном случае нарушается требование 4 и точка является точкой разрыва первого рода (устранимого разрыва) Разрыв в точке можно устранить, если доопределить данную функцию следующим образом:, ; lg lg, Находим f ( ) lim ; f ( + ) lim + + lg lg Учитывая четность данной функции, имеем f ( ) + ; f ( + ) Таким образом, в точках ± нарушается требование, поэтому данные точки являются точками разрыва второго рода (бесконечного скачка) График данной функции изображен на рис 53 При этом учтено то, что lim ± lg 3

33 y Рис Действия над непрерывными функциями Непрерывность сложной функции Непрерывность элементарных функций Теорема Если функции f ( ) и ( ) функции f ( ) f ( ) ±, ( ) ( ) f f f ( ) ( ) f, функция f ( ) f непрерывны в точке, то и непрерывны в точке Если, кроме того, является также непрерывной в точке Доказательство Докажем, например, непрерывность функции ϕ ( ) f ( ) f ( ) в точке В точке функция ϕ ( ) f ( ) f ( ) определена, причем ϕ ( ) ( ) ( ) f f Из непрерывности в точке функций f ( ) и f ( ) следует lim f f lim f f ( ) ( ), ( ) ( ) Используя теорему о пределе произведения имеем lim f f lim f lim f f f Таким образом, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ϕ( ), что и доказывает непрерывность функции ( ) f ( ) f ( ) ϕ в точке Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы Теорему можно обобщить на случай конечного числа функций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных в точке, непрерывны в точке Теорема Пусть функция u ϕ( ) непрерывна в точке, а функция y f ( ) непрерывна в точке u ( ) ϕ Поэтому сложная функция y f ( ϕ( ) ) непрерывна в точке 33

34 , тогда на основании определения сложной функции y f ϕ y f ( ϕ( ) ) F( ) Теорема утверждает, что если функция ϕ ( ) непрерывна в точке, а функция f ( ) непрерывна в точке u ( ) ϕ, то сложная функция F ( ) непрерывна в точке Действительно, пусть Тогда из lim ϕ ϕ u, это значит, Доказательство Пусть y f ( u), u ϕ( ) непрерывности функции ϕ ( ) следует, что ( ) ( ) что u u Так как ( u) ( ) f непрерывна в точке u, то lim f ( u) f ( u ) u u u ϕ, то последнее равенство можно записать в виде lim f ϕ f (limϕ ( ( )) ( )) или в частном случае lim f ( ) f ( lim ) Но, так как, это значит, символы предела и непрерывной функции перестановочные Приведем без доказательства теорему о непрерывности обратной функции определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y множество ее значений Тогда на множестве Y обратная функция f ( y) является монотонной и непрерывной Теорема 4 Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, которые принадлежат области их определения Приведем доказательство только для квадратной функции Теорема 3 Пусть функция y ϕ( ) y a + b + c При этом будем пользоваться определением п 5 непрерывности функции в точке Имеем f + f a + + b + + c a + b + c a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + y ( ) + b + a Переходя к пределу в этом равенстве при, получаем lim y lim a + a + b ( ( ) ) Непрерывность логарифмической функции и обратных тригонометрических функций вытекает из теоремы 3 или из непрерывности обратной функции Так как основные элементарные функции непрерывны в натуральных областях определения, то из теорем 4 вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, которые принадлежат ее натуральной области определения 54 Свойства функций, непрерывных на отрезке 34

35 Приведем без доказательства несколько теорем, которые характеризуют свойства непрерывных на отрезке функций Теорема (Вейерштрасса) Если функция f ( ) непрерывна на отрезке [ a, b], то на этом отрезке она ограниченная и достигает своих нижней и верхней границ, это значит, на отрезке [ a, b] существуют, по крайней мере, две точки c и c (рис 54) такие, что f ( c ) f ( ) if ; f ( c ) f ( ) [ ] sup a,b Заметим, что непрерывная функция на открытом промежутке может быть неограниченной и, следовательно, не иметь своих точных верхней и нижней границ Такой функцией является, например, функция tg на π π интервале, Теорема Если функция f ( ) непрерывна в точке и f ( ), то существует такая окрестность точки, в которой знак функции совпадает со знаком f ( ) Геометрическая интерпретация теоремы дана на рис 55 y y [ a,b] y f ( ) f ( ) ( ) O δ a c b c Рис 54 Рис 55 Теорема 3 (Больцано-Коши) Если функция f ( ) непрерывна на отрезке [ a, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка, в которой значение функции равно нулю, f ( ) : f ( a) f ( b) < (, ): ( ) a b f Геометрический смысл теоремы заключается в следующим: если точки A ( a, f ( a) ) и B ( b, f ( b) ) графика функции f ( ), которые соответствуют концам отрезка [ a, b], находятся по разные стороны от оси O (рис 56), то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось O Теорема 4 (о промежуточных значениях) Если функция f ( ) a, b и f ( a) A, f ( b) B Тогда для произвольного непрерывна на отрезке [ ] 35

36 числа P, заключенного между A и B, существует такая точка c, что f c (рис 57) () P y ( b f ( b) ) B, y B a b P A ( a f ( a) ) A, a c b Рис 56 Рис 57 В курсе математического анализа встречаются кусочно-непрерывные на отрезке [ a, b] функции Функция f ( ) называется кусочно-непрерывной на отрезке [ a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках [ a, b], за исключением, возможно, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв и, кроме того, она имеет конечные односторонние пределы в точках a и b Функция f ( ) называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой 36

37 СОДЕРЖАНИЕ I Множества Основные понятия Отображение множеств Понятие функции 3 Числовая последовательность 3 Числовая последовательность и ее предел 33 Признаки сходимости числовых последовательностей 33 Последовательность ( ) + Число e Натуральные логарифмы 4 Предел числовой функции 4 Предел функции Основные понятия и определения 4 Односторонние пределы функции 43 Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними 44 Теоремы о бесконечно малых функциях 45 Разложение функции, имеющей предел на константу и бесконечно малую функции 46 Основные теоремы о пределах 47 Первый замечательный предел 48 Второй замечательный предел 49 Сравнение бесконечно малых функцпй 5 Непрерывные функции 5 Непрерывность функции в точке и на множестве 5 Точки разрыва и их классификация 53 Действия над непрерывными функциями Непрерывность сложной функции Непрерывность элементарных функций 54 Свойства функций, непрерывных на отрезке 37


y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Е. А. ТРОФИМОВА С. В. ПЛОТНИКОВ Д. В. ГИЛËВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее