РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"

Транскрипт

1 В высшей степени наивно думать, что все физические распределения соответствуют идеальным. Несмотря на то что при некоторых условиях идеальные распределения встречаются в физике, реальная жизнь, к несчастью, не столь проста, и часто приходится иметь дело с комбинацией этих идеальных распределений либо с распределениями, получающимися в результате искажений идеальных распределений. Покажем, как нужно работать с некоторыми типичными реальными распределениями, используя методику, разработанную ранее для идеальных распределений.

2 Применимость нормального распределения в общем случае. Нормальное распределение считается одним из самых распространенных в физике и технике. Однако возникает вопрос, с какой степенью веры последовательность измерений априори можно считать распределенной нормально. Например, предполагается, что человек, проводящий повторные измерения расстояния между двумя фиксированными точками, получит набор измерений, которые распределены нормально со средним, равным «истинному» расстоянию, и шириной, определяемой точностью используемого метода.

3 Математики считают, что именно практика доказывает нормальность распределения измерительных ошибок. Экспериментаторы же считают, что это обстоятельство доказано математически, и не проверяют выполнимость условий центральной предельной теоремы. Действительно, с обеих сторон (математической и экспериментальной) имеются подтверждения того, что нормальное распределение служит по меньшей мере хорошим приближением для реального распределения.

4 Поэтому распределение считается нормальным потому, что с ним удобно работать (многие математически простые свойства присущи только нормальным распределениям), а также потому, что это обстоятельство до некоторой степени подтверждается на практике. Рассмотрим два примера, в одном из которых предположение о нормальности распределения верно, в другом нет.

5 1. Сумма или среднее значение многих независимых наблюдений. В этом случае может быть применима центральная предельная теорема, из которой следует, что сумма или среднее различных измерений будут (асимптотически) распределены по нормальному закону, даже если распределение генеральной совокупности не является нормальным (они даже не обязательно должны иметь одинаковые распределения генеральной совокупности).

6 Предположим, например, что требуется измерить среднее значение импульса π -мезонов, вылетающих из мишени, бомбардируемой пучком высокоэнергетичных частиц. Известно, что импульсный спектр π -мезонов, рождающихся в данной реакции, не является гауссовским и, более того, общий импульсный спектр π -мезонов, рождающихся в любых реакциях, также не является нормальным. Однако, если рассматривать среднее значение импульса N следующих друг за другом π - мезонов как случайную переменную, то при больших N повторные наблюдения такого типа будут распределены по нормальному закону.

7 2. Совокупность измерений, каждое из которых распределено по нормальному закону, имеет одинаковое среднее, но различные дисперсии. В этом случае, даже несмотря на то, что каждое отдельное измерение нормально распределенная случайная переменная, распределение суммы нормальных распределений с различными ширинами никогда не является нормальным. В качестве примера рассмотрим массы узкого резонанса или стабильной частицы в эксперименте на пузырьковой камере.

8 Если измеренные значения массы распределены по нормальному закону со стандартной ошибкой DM то результирующий спектр масс будет иметь вид нормального распределения только если выбранные события имеют одинаковые DM. В общем случае, когда имеется разброс значений DM (зачастую большой), результирующее распределение может быть очень далеким от нормального. Таким образом, при некоторых условиях распределение суммы независимых случайных переменных нормально, но сумма нормально распределенных переменных с различными дисперсиями (идеограмма) распределена не по нормальному закону.

9 Эмпирические распределения Джонсона. Иногда полезно представлять данные эмпирическим распределением. Это можно проделать вручную, но аппроксимация наблюденных данных некоторой математической формой предпочтительнее тем, что она более объективна, выполняется автоматически и в результате получается математическое выражение, удобное для последующего использования. Джонсоновские семейства распределений обладают довольно большим разнообразием форм. По своему назначению они служат преобразованиями нормального распределения.

10 Пусть X случайная переменная, чье распределение должно быть получено эмпирически. Тогда в общем случае преобразование имеет вид: Z = γ + ηg X; ε, λ. Здесь Z переменная стандартного нормального закона; g, e действительные числа; h, l положительные действительные числа; g произвольная функция. Джонсон предложил три различных типа функции g, соответствующие случаям, когда переменная X не ограничена, когда она ограничена снизу и когда ограничена и сверху и снизу:

11 1) g 1 X; ε; λ = arcsin h X ε, < X <, λ называемый джонсоновским S U семейством распределений; 2) g 2 X; ε; λ = ln X ε λ, X ε,, называемый джонсоновским S L семейством распределений; 3) g 3 X; ε; λ = ln РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ X ε λ X ε, ε < X < λ + ε, называемый S B джонсоновским семейством распределений.

12 Функции плотностей этих распределений имеют вид: 1) f 1 X = = η 1 2π X ε 2 + λ 2 exp 1 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ γ + η ln X ε λ + X ε λ ; 2) f 2 X = η 2π X ε exp 1 2 γ + η ln X ε λ 2 ;

13 3) f 3 X = = η 2π РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ λ X ε λ X + ε exp 1 2 γ + η ln X ε λ X + ε 2.

14 Обрезание. Возможность простейшей модификации идеальных распределений обусловлена тем фактом, что область возможных значений измерений никогда не является бесконечной. Обычно значения переменной X лежат внутри конечных пределов А и В, поэтому ф.п.в. приобретает вид: f X dx РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ f X dx B A f X dx = f X dx F B F(A).

15 Хотя такая процедура обычно усложняет выражение, она иногда бывает полезной. Это имеет место, например, для распределения Коши или Брейта-Вигнера. Как было уже сказано ранее, это распределение не имеет моментов, если область определения не ограничена, но если она ограничена значениями A и B, то нормировка, среднее и дисперсия становятся конечными: g X = РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ A A 1 π f(x) X 2 dx = 1 2arctgA X 2 ;

16 D X = E X = РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 2arctgA 1 2arctgA A A A A X 1 + X 2 dx X X 2 dx = 0 ; = A arctga 1. Понятно, что при A, математическое ожидание не существует: limd(x) =.

17 Сравнение хвостов распределения Коши (1) и стандартного нормального распределения N(0,1) (2) Хвосты распределения Коши падают настолько медленно, что дисперсия может быть произвольно большой, если А достаточно велико. (Это не случается с гауссовским распределением).

18 Обрезание является всего лишь частным случаем более общего класса искажений, совокупность которых приводит к задаче определения эффективности регистрации. Если события регистрируются аппаратурой с различной вероятностью, то идеальная ф.п.в. f(x) искажается и приобретает вид: g X = РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ω X Ω Y Ω Y f X P Y X f X P Y X e X, Y dy e X, Y dy dx где Y обозначает набор вспомогательных переменных, а е(x,y) имеет смысл плотности вероятности наблюдения события в точке (X,Y).,

19 Экспериментальное разрешение. Другим довольно частым источником искажений идеальных распределений служит экспериментальная неточность измерений, т. е. событие с истинным значением X будет измерено в некоторой другой точке X'. Распределение измеряемых значений X' относительно истинного X определяется плотностью вероятности, иногда называемой функцией разрешения: r(x, X'). Тогда, если истинная плотность распределения X равна f(x), то плотность распределения измеряемых величин будет иметь вид: g X = r X, X f X dx. (83) Ω

20 Это искажение принципиально отличается от всех тех, которые приводят к задаче определения эффективности регистрации, поскольку по «истинной» переменной было проведено интегрирование, и в результате осталась только измеряемая переменная X'. Это может привести, например, к тому, что измеряемая переменная принимает такие значения, для которых функция плотности идеального распределения равна нулю. Как указывалось ранее, часто предполагается, что функция разрешения r(x,x') имеет вид нормального распределения

21 r X, X = 1 2πσ exp X X 2 2σ 2. (84) Легко получить два важных следствия, обусловленные применением этой идеальной функции разрешений. Если истинное распределение равно N(m,t 2 ), а функция разрешения имеет вид (84), то результирующее измеряемое распределение таково: g X = 1 exp X μ 2π σ 2 +τ σ 2 +τ 2 = N(μ, σ 2 + τ 2 ).

22 Т.е. дисперсия результирующего гауссовского распределения равна сумме дисперсий первоначального гауссовского распределения и гауссовской функции разрешения. Часто встречается случай, когда первоначальное распределение f(x) является распределением Коши или Брейта Вигнера, а функция разрешения нормальна. Тогда интеграл (83) может быть выражен в виде функции ошибок комплексного аргумента.

23 Пусть r(x, X ) задана уравнением (84) и f(x) распределением Брейта Вигнера: f X = 1 Γ X 0 π X X Γ 2. X 0 Сделаем подстановки: x = X X 0 σ 2 ; y = Γ X 0σ 2; z = x + iy; t = X X σ 2, тогда интеграл (83) может быть записан в виде: g X = y π РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ dt y exp ( t2 ) x t 2 + y 2 = y π Re w z,

24 В этой формуле w(z) функция ошибок комплексного аргумента w(z) = 2ехр( z 2 )Φ( i 2 z). В предельном случае, когда s 2 мало по сравнению с Г, форма результирующего распределения определяется только брейт-вигнеровским распределением. Когда верно обратное, то результирующее распределение почти совпадает с N(μ, σ 2 ), где m ожидание обрезанного брейт-вигнеровского распределения.

25 Примеры переменного экспериментального разрешения. Если данное измерение имеет гауссовскую функцию разрешения, но дисперсия s 2 неодинакова для всех измерений, полученных в эксперименте, то общая функция разрешения эксперимента не гауссовская. Рассмотрим три примера переменного разрешения. 1. Если истинное распределение f(x) равномерное или медленно изменяющееся, то наличие переменного разрешения приведет к возникновению пиков в тех точках, где разрешение наилучшее.

26 Несмотря на то что этот факт очевиден, о нем часто забывают, поскольку обычно искажения делают измеренное распределение более широким или гладким по сравнению с истинным распределением. 2. Предположим, что s зависит от некоторых вспомогательных переменных (например, от расположения события в трековой камере) и ее распределение может быть описано функцией плотности q(s 2 ). Тогда функция разрешения будет равна r X, X = q(σ 2 ) 0 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 2πσ exp X X 2 2σ 2 dσ. (85)

27 В этом случае r будет гауссовской, только если q(s 2 ) является d-функцией (т.е. s 2 постоянно). Обычно измерение событий, регистрируемых с помощью соответствующей аппаратуры, осуществляется с различной точностью. Эта точность зависит, например, от такой величины, как длина трека, которая может быть почти независима от интересующей физика характеристики. Рассмотрим сначала функциональную форму: 2 q σ = 2πτσ exp 1 2 2τ 2 σ 2. (86)

28 Функция q(s) с t = 1 При больших значениях s это распределение стремится к нулю как 1 σ2, а при малых значениях s наблюдается довольно резкий обрыв (q(s) и все ее производные равны нулю при s = 0).

29 Функция распределения, соответствующая такому распределению ошибок, рассчитывается следующим образом: r X, X = 1 πτσ 3 exp 1 2τ 2 σ 2 0 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ exp 1 2 X X 2 σ 2 dσ = = 1 τ π 1 + τ 2 X X 2. В результате мы приходим к распределению Коши или Брейта Вигнера, которое, как мы уже видели, не имеет среднего и дисперсии, если оно не обрезано.

30 Поскольку на практике это распределение всегда обрезано, не следует беспокоиться о длинных хвостах, которые приводят к бесконечной дисперсии. Достаточно проверить, верно ли поведение q(s) при малых значениях s. Если это поведение приблизительно верно, то функция распределения имеет форму Брейта Вигнера, и это позволяет описывать как широкие, так и узкие резонансы, используя одну и ту же общую форму. Напротив, если при описании резонанса, ширина которого уже по сравнению с экспериментальным разрешением, используется формула Брейта Вигнера, это эквивалентно предположению о том, что q(s) верна при малых s.

31 3. Предположим, что q(s 2 ) в (85) соответствует равномерному распределению по переменной 1 / s в интервале A 1 B. В некоторых случаях такая σ формула является хорошим приближением к действительности, например, если точность зависит от длины трека в пузырьковой камере, а все длины треков равновероятно распределены между двумя конечными значениями. Пусть t = 1 1, тогда q(t) = σ B A РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ B A и

32 r X, X = РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 2π(B A) A B t exp X X 2 t 2 2 dt = 1 = 2π(B A) X X exp X X 2 A exp X X 2 B 2. 2 Полагая X'=0, можно найти ожидание и дисперсию r(x, 0): E(Х) = 0; D(X) = 1 AB.

33 Таким образом, дисперсия этой функции разрешения может быть произвольно большой, если нижняя граница интервала становится произвольно малой. Предположим, что нужно оценить Е(X) путем усреднения различных наблюдений, соответствующих этому распределению, с фиксированной максимальной точностью В. Очевидно, дисперсия будет меньше, если выбросить события с наихудшей точностью, но это также уменьшает объем выборки n.

34 Выбрасывая все события с дисперсией между минимумом A и некоторым значением А', будем иметь дисперсию среднего: D X = 1 n D X ~ 1 A. B B A Дисперсия минимальна, когда A = B. Таким образом, 2 при такой функции ошибок, если оценка среднего определяется как невзвешенное среднее, то минимум дисперсии получается в том случае, если не используются события с точностью 1 / s, меньшей половины максимальной точности.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) Информация План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера... 2.1. Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция

Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция Основные положения квантовой теории. Состояние квантовой частицы. В квантовой механике состояние частицы или системы частиц задается волновой

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений Приложения Обработка результатов измерений 1. Введение Величины, измеряемые в эксперименте, по своему характеру случайны, и это обусловлено либо статистической природой самого исследуемого явления, либо

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями УДК 59. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями С. Н. Воробьев, канд. техн. наук, доцент Н. В. Гирина, аспирант Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ НА ПРАКТИКЕ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ НА ПРАКТИКЕ ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ НА ПРАКТИКЕ 1 Сегодня мы обсудим различные требования, которым должна отвечать хорошая оценка. Многие из них уже обсуждались в лекциях по теории оценок; другие по своему характеру

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Зачастую плотности вероятностей и функции распределения, встречающиеся в практической деятельности, с хорошей точностью могут быть приближены некоторыми математическими функциями

Подробнее

Учебно-методические материалы

Учебно-методические материалы http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 4. Идентификация формы распределений

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 4. Идентификация формы распределений Курс: Статистические Методы Обработки Данных Лекция 4. Идентификация формы распределений Специальность: 1-53 01 0 Автоматизированные системы обработки информации УО «ГГУ им. Ф. Скорины» Преподаватель:

Подробнее

Раздел 2. Компьютерное моделирование и оптимизация в инфокоммуникационных системах и сетях. Лекция 3. Статистическое моделирование на ЭВМ

Раздел 2. Компьютерное моделирование и оптимизация в инфокоммуникационных системах и сетях. Лекция 3. Статистическое моделирование на ЭВМ Раздел 2. Компьютерное моделирование и оптимизация в инфокоммуникационных системах и сетях Лекция 3. Статистическое моделирование на ЭВМ Статистическое моделирование на ЭВМ Компьютерное моделирование деятельность

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

на произведение вероятностей d P dp

на произведение вероятностей d P dp .. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.... Функция распределения по скоростям. Разбиение вероятности dp на произведение вероятностей d P dp U позволяет найти распределение молекул

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Курсовая работа Выполнил: студент 331 группы Борис Агафонцев

Подробнее

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория молекулярной физики Лабораторная работа 5 Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Подробнее

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Теория погрешностей При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений. Истинные значения физических

Подробнее

Методы Монте Карло в байесовском подходе

Методы Монте Карло в байесовском подходе Курс: Байесовские методы машинного обучения, 20 Методы Монте Карло по схеме марковских цепей (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Дата: 9 ноября 20 Методы Монте Карло в байесовском подходе Рассмотрим вероятностное

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ Цель и содержание работы Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи машины Атвуда. Содержание работы состоит в определении

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Найти общее решение уравнения u tt a u xx..) Шаг. Находим замену переменных Способ через

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Нижние оценки трудоемкости одного класса марковских алгоритмов случайного поиска

Нижние оценки трудоемкости одного класса марковских алгоритмов случайного поиска Нижние оценки трудоемкости одного класса марковских алгоритмов случайного поиска Тихомиров Алексей Сергеевич Новгородский государственный университет 56-я научная конференция МФТИ 1/15 Тихомиров Алексей

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Лекция 2 Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Доверительный интервал Задача на практике - при ограниченной выборке оценить точность и надежность вычисления

Подробнее

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции.

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции. Лекция 5. Преобразование Фурье.. Определение и основные результаты. Пусть f L 2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция f(α) = f(x)t iαx dx () Нормированным преобразованием Фурье функции

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

Изучение распределения Гаусса и двумерного распределения Максвелла на механической модели

Изучение распределения Гаусса и двумерного распределения Максвелла на механической модели Изучение распределения Гаусса и двумерного распределения Максвелла на механической модели Вывод формулы и свойства распределения Получим распределение некоторой случайной величины. В качестве примера рассмотрим

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Математическое ожидание Материал из Википедии свободной энциклопедии У этого термина существуют и другие значения см среднее значение Математи ческое ожида ние мера среднего значения случайной величины

Подробнее

5-6: СДУ. 9 ноября 2009 г. 1 с-к: сильные и слабые решения. 1.1 Сильные решения: преобразование фазового пространства

5-6: СДУ. 9 ноября 2009 г. 1 с-к: сильные и слабые решения. 1.1 Сильные решения: преобразование фазового пространства 5-6: СДУ lect56_sol_sde.tex 9 ноября 29 г. 1 с-к: сильные и слабые решения 1.1 Сильные решения: преобразование фазового пространства Рассматривается одномерное СДУ с ограниченным непрерывным сносом: dx

Подробнее

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии Элементы математической статистики. Пример. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равно нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Вероятностное моделирование надежности машин и систем на основе логарифмически равномерного распределения

Вероятностное моделирование надежности машин и систем на основе логарифмически равномерного распределения Труды четвертой международной научной школы «Современные фундаментальные проблемы и прикладные задачи теории точности и качества машин, приборов и систем», 3-7 июня 000 г., СПб, 00 9 стр. 09-8) Вероятностное

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

на произведение вероятностей d P dp i T 1 T N . Итак, функция распределения вероятностей по кинетическим энергиям для одной молекулы имеет вид:

на произведение вероятностей d P dp i T 1 T N . Итак, функция распределения вероятностей по кинетическим энергиям для одной молекулы имеет вид: .. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.... Функция распределения по скоростям. Разбиение вероятности dp на произведение вероятностей d P dp U позволяет найти распределение молекул

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА Министерство образования и науки Российской федерации Национальный исследовательский Томский государственный университет Физико-технический факультет В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора

Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора Q D k k k з з a Запишем многогрупповое уравнение в следующем виде где m k k f k f v k Q Рассмотрим критический эквивалентный реактор, для которого

Подробнее

13. Теория Хаузера-Фешбаха.

13. Теория Хаузера-Фешбаха. 3. Теория Хаузера-Фешбаха.. Следуя Хаузеру и Фешбаху выразим сечения компаунд-процессов через средние значения ширин. Будем исходить из формализма Брейта-Вигнера. Для элемента S-матрицы при наличии прямого

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера.

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее