РЯДЫ. Учебное пособие

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ. Учебное пособие"

Транскрипт

1 РЯДЫ Учебное пособие

2

3 Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям Екатеринбург Издательство Уральского университета 6

4 УДК 57583(758) ББК я73 Р98 Р98 Авторы: Н В Гредасова, Н И Желонкина, М А Корешникова, Е Г Полищук, И Ю Андреева Рецензенты: кафедра прикладной математики УрГЭУ (завкафедрой, канд физ- мат наук, доц Ю Б Мельников); д р физ-мат наук, вед науч сотр ИММ УрО РАН Ю И Бердышев Научный редактор д р физ-мат наук, проф А Н Сесекин Ряды : учебное пособие / Н В Гредасова, Н И Желонкина, М А Корешникова, Е Г Полищук, И Ю Андреева Екатеринбург : Изд-во Урал ун-та, 6 6 с ISBN В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории рядов Рассмотрены решения типовых задач Приведены задания к расчетной работе и указания для ее решения Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям Библиогр: 6 назв Рис 9 УДК 57583(758) ББК я73 ISBN Уральский федеральный университет, 6

5 Оглавление Числовые ряды5 Основные понятия и теоремы о сходимости5 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами3 3 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница5 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость8 Функциональные ряды34 Определение функционального ряда Область сходимости функционального ряда34 Равномерная сходимость функционального ряда36 3 Свойства функциональных рядов39 3 Степенные ряды4 3 Определение степенного ряда Теорема Абеля4 3 Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда43 33 Дифференцирование и интегрирование степенных рядов46 34 Разложение функций в степенные ряды47 3

6 Оглавление 4 Приложения степенных рядов55 4 Приближенные вычисления значений функции55 4 Приближенные вычисления определенных интегралов56 43 Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов57 5 Ряды Фурье6 5 Тригонометрические ряды Теорема Дирихле6 5 Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье67 53 Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом7 6 Решение типового варианта расчетной работы8 7 Расчетная работа9 Библиографический список5 4

7 Числовые ряды Основные понятия и теоремы о сходимости Числовой ряд это выражение вида е = u = u+ u + + u +, где члены ряда u, u,, u, действительные или комплексные числа, u общий член ряда Ряд задан, если известен общий член ряда u, выраженный как функция его номера : u = f( ) я частичная сумма ряда это сумма первых членов ряда S = u+ u + + u Рассмотрим следующие суммы: S = u, S = u + u, S = u + u + u, 3 3 Ряд сходится, если существует конечный предел S = последовательности частичных сумм ряда Предел () называется суммой ряда S = не существует или равен беско- 5 Ряд расходится, если lims нечности lim S () еu =

8 Числовые ряды Примеры Ряд сходится, его сумма равна нулю (S = ) Ряд расходится, его сумма равна бесконечности (S =) 3 Ряд ++ расходится, так как предела частичных сумм не существует 4 Ряд Ч 3 Ч 34 + Ч ( + ) + сходится, его сумма равна единице Покажем, что сумма данного ряда равна единице Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей: A B = + ( + ) + Вычислим коэффициенты А и В: = A + A+ B, мa+ B =, мb =-, н н оa = ; оa = ; = - ( + ) + Составим ю частичную сумму ряда: S = = - + Вычислим предел последовательности частичных сумм: ж lim з - и ц ч + ш = 6

9 Основные понятия и теоремы о сходимости Свойства рядов Свойство Если ряд е = сходится и его сумма равна S, то ряд u = u+ u + + u + () е cu = cu+ cu + + cu +, (3) = где с произвольное число, также сходится и его сумма равна cs Если же ряд () расходится и c, то и ряд (3) расходится Доказательство ( u Пусть S ) я частичная сумма ряда (3) Тогда ( u) S = cu + cu + + cu = cu ( + u + + u ) = cs Ч, ( u) lims = limcч S = clim S = cчs Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (3) сходится и имеет сумму cs Покажем, что если ряд () расходится, c, то и ряд (3) расходится Допустим противное: ряд (3) сходится и имеет сумму S Тогда S = ( u) lims = limc Ч S = c Ч lim S, откуда S lim S =, c т е ряд () сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда 7

10 Числовые ряды 8 Свойство Если сходится ряд () и сходится ряд е v = v+ v + + v +, (4) = а их суммы соответственно равны S и S, то сходятся и ряды е = ( u ± v ), (5) причем сумма каждого равна S± S Доказательство ( u) ( v) Пусть S, S, S е частичные суммы рядов (), (4), (5) соответственно Тогда ( u) ( v) ( u) ( v) lims = lim( S ± S ) = lims ± lims = S ± S, т е каждый из рядов (5) сходится и сумма его равна S± S Следствие Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд Замечание Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом Свойство 3 Если к ряду () прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд () сходятся или расходятся одновременно Доказательство Пусть S сумма отброшенных членов ряда, k наибольший из этих номеров Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули Тогда при > k будет выполняться равенство S - Sў = S, где S ў я частичная сумма ряда, полученного из ряда () путем отбрасывания конечного числа членов Поэтому lims = S + lim S ў

11 Основные понятия и теоремы о сходимости Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т е ряд () сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов Ряд вида u+ + u+ + = е uk k= + называется м остатком ряда (), который получается из ряда () отбрасыванием его первых членов Согласно свойству 3: ) ряд () и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся; ) если ряд () сходится, то его остаток r при стремится к нулю, то есть lim = r Ряд геометрической прогрессии Ряд вида a + aq + aq aq + ( a ) (6) называется рядом геометрической прогрессии Исследуем данный ряд на сходимость Сумма первых первых членов прогрессии находится по формуле a q S = ( - ), q - q Найдем предел этой суммы: lim lim ( ) a- q S lim q aq a q = = q 9

12 Числовые ряды Рассмотрим следующие случаи: a Если q <, то q при и lims =, т е ряд (6) - q a сходится и его сумма равна - q Если q >, то q при и lims =, т е ряд (6) расходится 3 Если q =, получаем ряд a + a+ a+, который расходится, так как S = a Ч, lim S = Если q =-, получаем ряд a - a+ a- a+, который расходится, так как lim не существует S Ряд (6) при q = расходится Таким образом, ряд (6) сходится при q < и расходится при q і Пример Исследовать на сходимость ряд ж и з ц ч + ш Решение Данный ряд представляет собой ряд геометрической прогрессии с q = < и S = = -, то есть ряд сходится Необходимый признак сходимости Теорема Если ряд сходится, то его общий член u стремится к нулю при, то есть limu =

13 Основные понятия и теоремы о сходимости Доказательство Пусть ряд u = u+ u + + u + сходится и lims е = = S Тогда lims = - S при и ( - ) Учитывая, что u = S -S - при >, получим limu = lim( S - S ) = lims - lims = S - S = - - Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если limu или не существует, то ряд расходится Доказательство Если бы ряд сходился, то по теореме limu =, но это противоречит условию, поэтому ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд - 3 е = 5 + Решение Данный ряд расходится, так как выполняется достаточное условие расходимости ряда: - 3 lim + = 5 5 Гармонический ряд Ряд вида е = = 3 называется гармоническим рядом У данного ряда каждый член является средним гармоническим для двух соседних членов

14 Числовые ряды Гармоническое среднее чисел x, x, x число h, обратное которому есть среднее арифметическое чисел, обратных данным числам: h = x x x Очевидно, что limu = lim = Однако гармонический ряд расходится Доказательство Рассмотрим два ряда (а) (б) () Пусть S сумма первых членов гармонического ряда (а), ( S ) сумма первых членов ряда (б) Так как каждый член ряда (а) больше соответствующего члена ряда (б) или равен ему, то для > получаем S > S (7) () ( ) Подсчитаем частичные суммы ряда (б) для значений, равных,,,,,, : S 3 = + =, S 4 ж ц 4 = + + з + ч и 4 4 ш = + + =,

15 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами S 8 ж ц 5 = + + з + и 4 4 ш ч + ж ц з 8 ч и ш = =, S 6 ж ц = + + з + и 4 4 ш ч + ж ц з ч и 8 ш + ж 6 + ц з + ч и 6 ш = 6, Таким образом, S 5 7 =, S 6 4слагаемых 8 =, S 7 9 = 8слагаемых k k S k = + = + Вычислим предел частичных сумм ряда (б): lim S (б) = Из соотношения (7) следует, что и lim (а) =, то есть гармонический ряд расходится S Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признаки сравнения Теорема Пусть даны два знакоположительных ряда: еu = еv =, (8) (9) 3

16 Числовые ряды 4 Если для всех выполняется неравенство u Ј v, () тогда ) если сходится ряд (9), то сходится и ряд (8); ) ели расходится ряд (8), то расходится и ряд (9) Доказательство ( u Пусть S ) ( и S ) е частичные суммы рядов (8) и (9) соответственно Из () следует, что ( u) ( v) S Ј S () Докажем, что если сходится ряд (9), то сходится и ряд (8) Пусть ряд (9) сходится и его сумма равна S Тогда lim ( S ) = S Члены ряда (9) положительны, поэтому а с учетом неравенства (): ( S ) < S, ( u S ) < S ( u) ( u) ( u) Таким образом, последовательность S, S,, S монотонно возрастает и ограничена сверху числом S По признаку существования предела последовательности, ( u) последовательность { S } имеет предел lim S ( u) = S, т е ряд (8) сходится Пусть теперь ряд (8) расходится Так как члены ряда неотрицательны, то lim ( u S ) = Тогда с учетом неравенства (): lim ( v S ) =, то есть ряд (9) расходится

17 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Замечание Теорема справедлива и в том случае, когда неравенство () выполняется не для всех членов ряда (8) и (9), а начиная с некоторого номера Пример Исследовать на сходимость ряд е = Решение Сравним данный ряд с рядом е, = 3 который сходится (ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) Так как < 3, то по Теореме данный по условию ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд е = Решение Сравним данный ряд с рядом е, = который расходится (гармонический ряд) Так как, начиная со второго элемента, выполняется неравенство >, то по Теореме данный по условию ряд расходится 5

18 Числовые ряды Теорема (предельный признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных ряда (8) и (9) Если существует конечный, отличный от нуля предел u lim = A ( < A<), v то ряды (8) и (9) сходятся или расходятся одновременно Доказательство По определению предела последовательности для всех, кроме, возможно, их конечного числа, для любого e>: 6 u v - A <e, ( A- e) v < u < ( A+ e ) v () Если ряд (8) сходится, то из левого неравенства () и Теоремы вытекает, что ряд ( A- e) е = v также сходится Тогда, согласно свойству числовых рядов, ряд (9) также сходится Если ряд (8) расходится, то из правого неравенства (), Теоремы и свойства числовых рядов ряд (9) также расходится Аналогично, если ряд (9) сходится (расходится), то будет сходиться (расходиться) и ряд (8) Пример Исследовать на сходимость ряд + е = Решение Сравним данный ряд с рядом е, = который расходится (гармонический ряд) Вычислим предел

19 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами ж + ц lim з : и + - ч 3 5 ш = 3 Так как > 3, то по Теореме оба ряда одновременно расходятся Таким образом, данный по условию ряд расходится Признак Даламбера Теорема Пусть дан ряда еu = с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел u lim + = l u Тогда ряд сходится при l < и расходится при l > Доказательство u Так как lim + = l, то по определению предела для любого u e> существует номер N такой, что для всех > N будет выполняться неравенство u + - l < e u или u + l - e< < l + e (3) u Пусть l < Можно подобрать e так, что l + e < Обозначим l + e = q, q< Тогда из правой части неравенства (3): u + < q u 7

20 Числовые ряды или u < + qu >, N В силу свойства числовых рядов (если к ряду прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и исходный сходятся или расходятся одновременно): 8 u quдля всех =3,,, < + Построим серию неравенств: То есть члены ряда u < qu, u3 < qu < q u, 3 u4 < qu3 < q u, - < qu < q u u -, u + u 3 + u u + меньше соответствующих членов ряда 3 - qu + q u + q u + + q u +, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем < q < На основании признака сравнения сходится ряд u + u 3 + u u +, следовательно, сходится и исходный ряд u Пусть l > В этом случае lim + = l > Тогда с некоторого номера N будет выполняться u неравенство u u + >

21 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами или u > + u, то есть члены ряда возрастают с увеличением номера Поэтому значит ряд еu = расходится limu, Замечание Если l =, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Вычислим предел 5 е = lim lim ( ) u ж + + ц жж + ц ц = з : lim u + ч = з ч и ш з ии ш ч = ш Так как <, то по признаку Даламбера данный по условию ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Вычислим предел! е 5 = lim lim ( )!! : lim ( )! u + ж + ц = з u + ч и ш = ж + Ч Ч5 ц з 5 5 и 5 + ч = Ч! ш 9

22 Числовые ряды Так как предел равен бесконечности, то по признаку Даламбера данный по условию ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд, используя признак Даламбера: е = + Решение Вычислим предел u + ж ц lim = lim : lim u з + + ч + и ш = ж + ц з и + 3 ч ш = Так как предел равен, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает Радикальный признак Коши Теорема Пусть дан ряда еu = с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim u = l Тогда ряд сходится при l < и расходится при l > Доказательство Так как lim u = l, то по определению предела для любого e> существует номер N такой, что для всех > N будет выполняться неравенство u - l <e или l - e< u < l + e (4)

23 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Пусть l < Можно подобрать e так, что l + e < Обозначим l + e = qq, < Тогда из правой части неравенства (4) имеем Рассмотрим два ряда: u < q, u < q, іn u + u + u + + u + u + u +, (5) 3 N N+ N + N N+ N q + q + + q + (6) Ряд (6) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию Члены ряда (5), начиная с u N, меньше членов ряда (6) u В силу свойства числовых рядов и признака сравнения ряд = сходится Пусть l > Начиная с некоторого номера = N, будем иметь u > или u >, то есть все члены рассматриваемого ряда, начиная с u N, больше Тогда ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю еu = е Пример Исследовать на сходимость ряд ж ц е з и 3 + ч = ш Решение Вычислим предел ж ц lim u = lim з lim + и 3 ч ш = 3 + = 3

24 Числовые ряды Так как < 3, то по радикальному признаку Коши данный по условию ряд сходится Интегральный признак сходимости Коши Теорема Пусть члены ряда еu = положительны и не возрастают, то есть uіu іu3 і, и пусть f ( x) такая непрерывная невозрастающая функция, что f () = u, f( ) = u, f( ) = u Тогда справедливы следующие утверждения: ) если несобственный интеграл т f( x) dx сходится, то сходится и ряд; ) если несобственный интеграл т f( x) dx расходится, то расходится и ряд Доказательство Изобразим члены ряда геометрически (рис ) y y = f ( x) - x Рис

25 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис : Q= т f ( xdx ) Возьмем ю частичную сумму ряда е = f( ) : S = f() + f() + f() f( ) Тогда площадь Q + выступающей фигуры будет Q + = f() + f() + f() f( - ) = S -, а площадь Q - входящей фигуры Q = f() + f() f( ) = S - f () - Из построения и свойств функции f ( x) следует, что Так как S Q Q Q - < < +, S - f() < f( xdx ) < S S, то < - т - S - f() < f( xdx ) < S, =,, т (7) Пусть несобственный интеграл т f( x) dx сходится Тогда существует предел Так как т = т lim f( x) dx A + f( x) dx Ј A= f( xdx ) т 3

26 Числовые ряды (в силу условия f ( x)> для x О [, +) ), то из неравенства (7) следует, что S < f() + f( xdx ) < f() + A= M = cost, т < S < M, =,, Последовательность { S } ограничена и при возрастании сумма S возрастает Поэтому последовательность имеет предел Следовательно, ряд е = lims = S f( ) сходится Пусть несобственный интеграл т f( x) dx расходится Так как по условию f ( x)> для x і, то Из неравенства следует, что то есть ряд е = Замечание т f( x) dx = lim f( x) dx =+ S т і т f ( x ) dx, =,, lims f( ) расходится т + =+, Вместо интеграла f( x) dx можно брать интеграл т f( x) dx, k>, kо k 4

27 3 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница Пример Исследовать на сходимость ряд е = ( + )l ( + ) Решение Вычислим несобственный интеграл a dx ж ц = lim - lim ( x + )l ( x + ) a з l( x + ) ч = ж - ц т з ч a и ш l и l ( a + ) ш = l, следовательно, интеграл сходится, значит и ряд сходится Обобщенный гармонический ряд Ряд вида е = = 3 называется обобщенным гармоническим рядом Исследуем его на сходимость, используя интегральный признак Коши dx Если >, то ряд сходится, так как т x = - где u Если <, то ряд расходится, так как dx x 3 Если =, то ряд расходится, так как т т dx x = = 3 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница Знакочередующийся ряд это ряд вида > u - u + u - u + (- ) + u + = (-) + u, (8) 3 4 " О е = 5

28 Числовые ряды Теорема Лейбница (признак Лейбница) Знакочередующийся ряд сходится, если: ) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает: u > u > u 3 > > u > ; (9) ) общий член ряда стремится к нулю, то есть limu = () При этом сумма S ряда: < S < a Доказательство Рассмотрим сумму = m первых членов ряда (8): S = ( u - u ) + ( u - u ) + + ( u - u ) m 3 4 m- m Из (9) следует, что выражение в каждой скобке положительно, значит S m положительна (S m > ) и возрастает с увеличением m Запишем эту же сумму по-другому: S = u -( u -u )-( u -u )--( u -u )- u m m- m- m В силу (9) каждая из скобок положительна, поэтому в результате вычитания этих скобок из и мы получим число, меньшее чем и, то есть S < u m Таким образом, S m при увеличении m возрастает и ограничена сверху, следовательно, S m имеет предел lim S = S, < S < u m Мы доказали, что последовательность «четных» частичных сумм имеет предел S 6

29 3 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S Рассмотрим сумму = m + первых членов ряда (8): то Так как по условию S = S + u m+ m m+ u = m + m lim, lims = lims + limu = lim S = S m m+ m m+ m m m m Итак, последовательность «нечетных» частичных сумм имеет предел S Таким образом, ряд (8) сходится Замечания Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (9) выполняются, начиная с некоторого номера N Теорема Лейбница геометрически иллюстрируется следующим образом Будем на числовой прямой откладывать частичные суммы: S = u, S = u - u = S - u, S = S + u, S = S - u, S = S + u, Точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке S, которая изображает сумму ряда 3 Оценка ошибки Заменим S частичной суммой S Оценим ошибку, которую мы допускаем при данной замене Отброшенный ряд (остаток) представляет собой знакочередующийся ряд (- ) + ( u - u + ), + + сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (то есть меньше u + ) 7

30 Числовые ряды Значит, ошибка, совершаемая при замене S на S, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов Пример Проверить, что знакочередующийся ряд сходится и вычислить его сумму с точностью до,: (- ) Решение Проверим условия (9) и (): ) u > u + ; ) lim = 4 Так как оба условия выполняются, то ряд сходится Четвертый член ряда будет первым, меньшим,: a = », <, Поэтому, для выполнения заданной точности достаточно взять первых три слагаемых: S = - +» 3,», Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные так и отрицательные члены Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов 8

31 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда) Пусть дан знакопеременный ряд u + u + + u () Если сходится ряд u + u + + u +, () составленный из абсолютных величин данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд Доказательство Пусть S и G суммы первых членов ряда () и (); S ў сумма всех положительных членов ряда (); S ўў сумма абсолютных величин всех отрицательных первых членов ряда () Тогда S = S ў - S ўў G = S ў + S ўў По условию G имеет предел G S ў, S ўў положительные возрастающие величины, меньшие G, следовательно, они имеют пределы Sў, Sўў Из соотношения S = S ў - S ўў следует, что S имеет предел и он равен Sў - S ўў, то есть знакопеременный ряд () сходится Пример Исследовать на сходимость ряд sia sia si3a sia , 3 где a любое число Решение Рассмотрим ряд sia sia si3a

32 Числовые ряды Так как si a = Ј и ряд е сходится, то данный по усло- вию ряд сходится Данный признак является достаточным, но не необходимым Абсолютная и условная сходимость Знакопеременный ряд u + u + u u + (3) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: u + u + u u + (4) Если же знакопеременный ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно сходящимся Пример Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд + е( -) = Решение Данный ряд сходится по признаку Лейбница Ряд, составленный из абсолютных величин е = расходится (как гармоничный) Данный по условию ряд является условно сходящимся 3

33 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость Пример Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд - + е( -) = Решение Трудно проверить условия теоремы Лейбница Исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин - е = Используем признак Даламбера: u + ж ц lim = lim = lim ( ) u + - з + и ч + ш + = Ч = < e Значит ряд, составленный из абсолютных величин, сходится Поэтому данный по условию ряд сходится, причем абсолютно Свойства абсолютно сходящихся рядов Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из данного ряда перестановкой членов, так же сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S и S можно почленно складывать (вычитать) В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S+ S ( S-S) 3 Под произведением двух рядов понимают ряд вида u + u + u + и v + v + v uv + ( uv + uv) + ( uv + uv + uv) + + ( uv + uv + + uv )

34 Числовые ряды Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S и S есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S S Замечание В случае условно сходящихся рядов соответствующие свойства не имеют места Задачи для самостоятельного решения Исследовать на сходимость и установить сумму ряда Ч 35 Ч 57 Ч 79 Ч Ответ Ряд сходится, S = Исследовать сходимость ряда е 3 = - Ответ Ряд расходится 3 3 Исследовать сходимость ряда е 5 = 5 - Ответ Ряд сходится ж 3 -ц 4 Исследовать сходимость ряда е з ч = и + ш Ответ Ряд расходится - 5 Исследовать числовой ряд на сходимость е! Ответ Ряд сходится = 3

35 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость (- ) 6 Исследовать на сходимость ряд е 4 - Ответ Ряд расходится = ж + ц 7 Исследовать на сходимость ряд е( -) з ч = и + ш Ответ Ряд сходится абсолютно 8 Исследовать на сходимость ряд е( -) + Ответ Ряд сходится условно = 33

36 Функциональные ряды Определение функционального ряда Область сходимости функционального ряда Ряд u( x) + u( x) + + u3( x) + + u ( x) +, члены которого есть функции от х, называется функциональным рядом Придавая х определенные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться Область сходимости функционального ряда это совокупность значений х, при которых функции е u( x), u ( x),, u ( x), определены и ряд u ( x) сходится = Областью сходимости чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси OX Каждому значению из области сходимости соответствует определенное значение величины lim е u ( x) = Sx ( ) = S( x) называется суммой функционального ряда 34

37 Определение функционального ряда Область сходимости функционального ряда Представим S( x) в виде S( x) = S ( x) + R ( x), где S( x) = u( x) + + u( x), R( x) = u+ ( x) + R ( x) называется остатком функционального ряда Пример Исследовать сходимость ряда ж 3x + ц е з ч в точках x=, x= 3 = и x + x+ ш Решение ж 4 ц Пусть x = Получим числовой ряд е з ч По признаку Даламбера данный ряд расходится = и 3 ш ж ц Пусть x = 3 Получим числовой ряд ез и3 ч По признаку Даламбера данный ряд = ш сходится Пример Найти область сходимости функционального ряда е = x ( + ) Решение Используем признак Даламбера: u lim u + x ( + ) = lim = lim = + ( + )( x+ ) ( + ) x+ x + < Ю x + > Решим неравенство x + > Получим x О-- ( ; 3) И- ( ; +) Исследуем точки: x=-, x=-3 Пусть x =- Получим гармонический ряд е Данный ряд расходится = 35

38 Функциональные ряды (- ) Пусть x =-3 Получим знакочередующийся ряд е = По признаку Лейбница данный ряд сходится Таким образом, область сходимости данного по условию ряда (-;-3]И(- ; +) Пример Найти область сходимости функционального ряда - (- ) е x!( -) = Решение Используем признак Даламбера: u lim u + + x!( -) = lim ( + )!( + ) x - Поэтому область сходимости (-; + ) - = x lim = < ( + )( + ) Равномерная сходимость функционального ряда Сходящийся функциональный ряд е = u ( x) называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого e> найдется такое N О, что при і N R ( x ) < e " x О X 36

39 Равномерная сходимость функционального ряда При этом сумма S( x) равномерно сходящегося ряда u ( x) в области X, где u ( x)( =,,) непрерывные функции, есть непрерывная функция е = Признаки равномерной сходимости рядов Признак Вейерштрасса Если функции u( x), u( x),, u ( x), по абсолютной величине не превосходят в некоторой области X положительных чисел a, a,, a,, причем числовой ряд a + a + a + + a + 3 сходится, то функциональный ряд u( x) + u ( x) + + u ( x) + в этой области сходится равномерно Признак Абеля Рассмотрим ряд е = a( x) b( x) = a( x) b( x) + a( x) b ( x) + + a( x) b( x) + () Пусть ряд е = b ( x) сходится равномерно в области D, а функции a ( x) (при каждом х) образуют монотонную последовательность и в совокупности (при любых x, ) ограничены: a x K ( ) Ј Тогда ряд () сходится равномерно в области D 37

40 Функциональные ряды 38 3 Признак Дирихле Пусть частичные суммы B ( x ) ряда (при любом x, ) ограничены: B ( x ) Ј M, е = b ( x ) в совокупности а функции a ( x) (при каждом x) образуют монотонную последовательность, которая сходится к равномерно в области D Тогда и ряд () сходится равномерно в этой области Пример С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд е si x = = сходится равномерно на промежутке (-; + ) Решение Так как si x Ј и ряд е сходится, то данный по условию ряд сходится равномерно при любых значениях x Мажорируемые ряды Функциональный ряд е = u ( x) () называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд a + a + + a + = a (3) е =

41 3 Свойства функциональных рядов с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения u( x) Јa, u ( x) Јa,, u ( x) Ј a Говорят, что ряд () мажорируется рядом (3), или ряд (3) служит мажорантным для ряда () Теорема Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [ ab, ], есть функция непрерывная на этом отрезке 3 Свойства функциональных рядов Теорема Если ряд u ( x), е = где u( x), u( x), u3( x) непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области X и имеет сумму S x ( ), то ряд b a b т т т u( x) dx + u ( x) dx + + u ( x) dx + a b т [ ]О сходится и имеет сумму Sxdx ( ), ab, X a Теорема Пусть функции u( x), u( x),, u ( x), определены в некоторой области X и имеют в этой области непрерывные производные uў( x), uў( x),, uў( x), Если в этой области ряд е = = u ( x) сходится и ряд еuў ( x) сходится равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда ў = м ьў u ( x) н u ( x) эю о е е = = b a 39

42 Функциональные ряды Задачи для самостоятельного решения Найти область сходимости ряда е = ( x+ ) Ответ x О-- ( ; 3]И( ; ) Найти область сходимости ряда е 5 x Ответ x О ж з - и ц ; ч 5 5 ш 3 Найти область сходимости ряда [ ) Ответ x О-, = е = x cosx 4 Проверить, что ряд е равномерно сходится на всей числовой прямой = 4

43 3 Степенные ряды 3 Определение степенного ряда Теорема Абеля Степенным рядом называется функциональный ряд вида или вида е = ax = a + ax+ a x + + a x + ; (3) е = a ( x- x ) = a + a( x- x ) + a ( x- x ) +, (3) где x, a, a, a, действительные числа Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку Теорема Абеля Если степенной ряд (3) сходится при x= x, то он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству x < x Если ряд (3) расходится при некотором значении x ў, то он расходится при всяком x, для которого x x > ў 4

44 3 Степенные ряды = Доказательство Так как ряд е ax сходится, то limax = Следовательно, $ M > такое, что все члены ряда по абсолютной величине меньше M, то есть ax Ј M Перепишем равенство (3) в виде ж x ц ж x ц ж x ц a + ax з ч + ax з ч + + ax з ч + (33) и x ш и x ш и x ш и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов: x x x a + ax + ax + + ax + (34) x x x Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда При x M + M x + M x + + M x + (35) x x x < x ряд (35) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем x < и, следовательно, сходится x Так как члены ряда (34) меньше соответствующих членов ряда (35), то ряд (34) сходится Значит ряд (33) или (3) сходится (сходится абсолютно) Если бы в какой-то точке x, удовлетворяющей условию x > x ў, ряд сходился, то в силу () он должен был бы сходиться и в точке x ў, так как x ў < x Но это противоречит условию, что в точке x ў ряд расходится Следовательно, ряд расходится и в точке x 4

45 3 Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда Если x точка сходимости, то весь интервал (- x ; x ) заполнен точками абсолютной сходимости Обозначим x = R радиус сходимости, (-R; R ) интервал сходимости степенного ряда Пусть R > Если x < R, то при всех x ряд сходится абсолютно Если x > R, то при всех x ряд расходится Пусть R = Ряд сходится только в точке (или x ) 3 Пусть R = Ряд сходится на всей числовой оси ОХ На концах интервала вопрос о сходимости (расходимости) решается индивидуально для каждого конкретного ряда Рассмотрим ряд (3) Если x =, то получим ряд (3) Определим область сходимости ряда (3) Пусть x- x = X, тогда X 3 a + ax+ ax + ax + < R интервал сходимости ряда (3) Получим x- x < R, x - R< x< x + R Точки x= x ± R исследуются на сходимость отдельно 3 3 Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда Если ai ( i =,,, ), то есть ряд содержит все целые положительные степени разности x- x, то a R = lim a + 43

46 3 Степенные ряды при условии, что этот предел существует (конечный или бесконечный) Пример Исследовать на сходимость ряд е( x - ) = Решение a =, a+ = ( + ) Найдем радиус сходимости + R = lim ( ) = Решим неравенство Получим интервал x - < < x < 3 Исследуем отдельно точки x=, x= 3 Пусть x = Получим знакочередующийся ряд е( -) =, который сходится по признаку Лейбница Пусть x = 3 Получим числовой ряд е, = который сходится (по интегральному признаку Коши) Таким образом, данный по условию ряд сходится в области Јx Ј3 44

47 3 Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда Если исходный ряд имеет вид a + a( x- x ) + a ( x- x ) + + a ( x- x ) + ( некоторое определенное целое положительное число,3 ), то a R = lim a + 3 Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю, и последовательность оставшихся в ряду показателей степеней разности x- x любая (то есть не образует арифметическую прогрессию), то радиус сходимости равен R =, a lim a 4 Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда: u + lim <, lim u < u Пример Исследовать на сходимость ряд ( x + ) е = Ч5 Решение Применяем признак Даламбера: lim lim ( ) + u + x+ Ч5 Ч = u + ( + ) Ч5 Ч ( x+ ) = x + < 5 Решим неравенство x + < 5 Получим - 6< x < 4 45

48 3 Степенные ряды Исследуем отдельно точки x=- 6, x= 4 Пусть x =-6 Получим знакочередующийся ряд е( -) =, который сходится по признаку Лейбница Пусть x = 4 Получим гармонический ряд который расходится е, = Таким образом, данный по условию ряд сходится в области -6Ј x < 4 33 Дифференцирование и интегрирование степенных рядов Ряд, полученный почленным дифференцированием (интегрированием) степенного ряда, имеет тот же интервал сходимости и его сумма внутри интервала сходимости равна производной (интегралу) от суммы первоначального ряда е = x + - a ( x- x) е т е = = + a Если S( x) = a ( x-x ), то Sў ( x) = a ( x- x ), S( x) =, - R< x- x < R 46

49 34 Разложение функций в степенные ряды 34 Разложение функций в степенные ряды Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале x- x < R, то есть x - R< x< x + R может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора f ( x ) f ( x ) f f ( x) = f( x ) + ў ( x- x ) + ўў ( x- x) +!! если в этом интервале выполняется условие ( ) ( x ) ( x - x +! ), ( + ) f () c lim ( ) lim ( )! ( ) + R x = x- x =, + где R ( x) остаточный член формулы Тейлора (остаток ряда), c = x + Q( x- x), < Q< При x = получим ряд Маклорена f () f () f () f ( x) = f() + ў x + ўў x + + x +!!! Теорема Для того чтобы ряд Тейлора функции f ( x) сходился к f ( x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член R ( x) удовлетворял условию: lim R ( x) = 47

50 3 Степенные ряды Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора) Если в некотором интервале, содержащем точку x, при любом выполняется неравенство 48 ( f ) ( x) < M, где М положительная постоянная, то limr = и f ( x) разложима в ряд Тейлора Разложение элементарных функций в ряд Тейлора Рассмотрим разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций f ( x) = si x Данная функция имеет производные любого порядка, причем ( ) ж ц (si x) = si з x+ ч,,,,, x ( ; ) и ш Ј = О-+ f( x) = si x, f() =, ж ц fў ( x) = cosx= si з x+ ч, f ў ( ) =, и ш ж ц fўў ( x) =-six= si з x+ Ч ч, f ўў ( ) =, и ш ж ц fўўў ( x) =- cosx=- siз x+ ч и ш = ж з и + Ч ц si x 3 ч, fўўў () =-, ш ( ) ж ц ( f ( x) = si з x+ Ч ч, f ) () = si и ш

51 34 Разложение функций в степенные ряды Ряд будет иметь вид x x - x si x= x (-) +, -< x <+ (36) 3! 5! ( -)! f ( x) = cos x Заметим, что cos x= (si x) ў Продифференцируем ряд (36) и получим 4 6 ( -) x x x - x cos x = (-), x!!! [ ( - )]! + -< < f ( x)= e x Данная функция имеет производные всех порядков на интервале (-a; a, ) где a > любое число, причем f ) ( x) = e x < e a (, ( =,,,) Так как f ( ) () = e =, то получаем ряд e x 3 x x x = + x , -< x <+! 3!! 4 f ( x) = arctg x Данную функцию можно представить следующим образом dt arctg x = т + t По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем 4 6 = - t + t - t + + t Тогда x x x x arctg x= т( t + t - t + ) dt = x x 49

52 3 Степенные ряды 5 Область сходимости: -Јx Ј Итак, x x x - x arctg x= x (-), x Ј Ј 5 f ( x) = l x Разложим в ряд по степеням ( x -) = ( l x) ў Заметим, что x = сумма бесконечно убывающей геометриче- x + ( x - ) ской прогрессии со знаменателем q =-( x -) x x x 3 x = -( - ) + ( - ) -( - ) + + (- ) ( - ) + (37) x Область сходимости: q < Ю x- < Ю < x < Интегрируем почленно ряд (37) x 3 dt t t t т = t й ( ) ( ) - щ к - + (-) ( ) + ъ t 3 + л ы Итак, 3 - l x ( x ) ( x ) ( x ) ( ) ( ), x = < x Ј 3 6 f ( x) = l( x+ ) Заметим, что 3 (l( x + )) ў = = - x+ x - x +, - < x< + x Проинтегрируем x x 3 4 dt x x x t t t dt x t + = т т( + ) = x

53 34 Разложение функций в степенные ряды Итак, 3 4 x x x + x l( x+ ) = x (- ) +, - < x Ј 3 4 m 7 f ( x) = ( + x), m любое действительное число Вычислим производные: m f( x) = ( + x), ( ) =, m- fў ( x) = m( + x), fў ( ) = m, m- fўў ( x) = mm ( - )( + x), f() = mm ( -), ( ) m- f ( x) = m( m-)( m-( - ))( + x), f ( ) () = m ( m- )( m- ( - )) Составим ряд ( -) ( -)( -) 3 ( -( -)) ( + x) = + mx + mm m mm m m m x + x + + x +! 3!! Найдем область сходимости по признаку Даламбера u lim lim ( )( ) + mm- m- x = u ( + )! + mm ( -)( m-( -)) : x! x- = lim ( m ) = x +, При m і - < x < ; при - < m< - < x Ј; при m Ј- - < x < 8 f( x) = shx, f( x) = ch x x < Ю - < x< x -x sh x e - e x x x = = x !! ( )!, -< x < x -x 4 6 ( -) e + e x x x x ch x = = , -< x <! 4! 6! (( - ))! 5

54 3 Степенные ряды Пример Разложить функцию f ( x)= в ряд Тейлора x - 5 по степеням ( x - 6 ) Решение Разложить в ряд Тейлора это значит: Составить формально этот ряд Найти его область сходимости 3 Доказать, что для всех x из области сходимости lim R ( x) = Вычислим производные y y =, y( 6) =, x - 5 yў =- yў 6 =- ( x - 5), ( ), yўў = yўў 6 = 3 ( x - 5), ( )!, 3 Ч yўўў =- yўўў 6 =-3 4 ( x - 5), ( )!, = - ( )!, y ( 6) = (-)! + ( x - 5) ( ) ( ) Составим формально ряд x 6 x 6 x 6 x 6 x - = = е - -! ( )!! ( )! 3! ( ) ( ) ( ) Остаточный член будет иметь вид R ( x) = ( + ) f () c x x c x x x ( )! ( ) + - +, = + ( - ), < < ; q q ( ) ( )! x R ( x) x ( c ) ( )! ( ) ( ) ( ) = = ( c - 5) + +, c= 6+ q( x- 6) 5

55 34 Разложение функций в степенные ряды Найдем область сходимости ряда Используем признак Даламбера lim lim ( ) u + x - 6 = u ( x - 6) + = x- 6 <, 5< x < 7 Пусть x = 5, тогда получим ряд е( -) (- ) = + +, который = = расходится Пусть x = 7, тогда получим ряд е( -), который также расходится Область сходимости ряда: x О( ; ) 57 3 Докажем, что для всех x из области сходимости lim R ( x) = Для всех x О( 57 ; ) имеем с - 5>, x - 6 <, lim lim ( ) - ( x -6 R ) = + ( c - 5) + + Итак, x 6 x 57 x - 5 = е( - ) ( - ), О ( ; ) = lim ( ) + - = c ж x - 6 ц з и c - ч = 5 ш Задачи для самостоятельного решения Найти область и радиус сходимости степенного ряда ( x + ) е - = Ч Ответ На промежутке -4 ; заданный ряд сходится, радиус сходимости R = [ ) 53

56 3 Степенные ряды Найти область и радиус сходимости степенного ряда x ( ) Ответ Область сходимости степенного ряда - ;, радиус сходимости R = 3 Найти область и радиус сходимости степенного ряда е = е = x Ответ Ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой -; ( ) 4 Разложить функцию f ( x)= + x в степенной ряд с центром в точке x = x + 35 Ч Ч Ч Ч( -3) Ответ + + е( -) x!! = ( ) 5 Разложить функцию f ( x)= si x в степенной ряд Ответ е - = ( ) + - Ч x! ( ) 6 Разложить функцию f ( x)= l( 3 -x) в ряд Маклорена + Ответ l 3-е x + 3 Ч + = ( ) 54

57 4 Приложения степенных рядов 4 Приближенные вычисления значений функции Для вычисления приближенного значения функции f ( x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые членов ( конечная величина), а остальные члены отбрасывают Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка R < u+, где u + первый из отброшенных членов ряда Приближенное вычисление значения функции в точке Пример Вычислить cos с точностью до, Решение Используем разложение функции cos x в ряд 4 6 ( -) x x x - x cos x = (-), x!!! [ ( - )]! + -< <+ 4 6 Переведем градусы в радианы Ч =» 7453,

58 4 Приложения степенных рядов Подставим в разложение cos x вместо x число,7453, получим 4 (, 7453) (, 7453) cos = - + +! 4! Третий член ряда меньше заданной точности, то есть 4 (, 7453) <, 4! Так как ряд знакочередующийся, то R < u3 <,, то есть погрешность от отбрасывания всех членов ряда, начиная с третьего, меньше, Таким образом, cos» -, 53; cos» 9848, 4 Приближенные вычисления определенных интегралов Ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной затруднительно - x Пример Вычислить интеграл J = e dx с точностью до, Решение Используем разложение функции e x в ряд 56 e x 5, 3 x x x = + x , -< x <+! 3!! т

59 43 Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Подставим в разложение e x вместо x выражение -x, получим x x x x e = , -< x <+!! 3! Вычислим интеграл 5, т 5, 5, x x x 5, x x x e dx= т ( - x ) dx = x =! 3! 3 4 = Ч Ч 3 34 Ч 5 Ч 5!! 4 Так как <, 5,! Ч5Ч4 то 5, - x т e dx» - = 4 9, 45 5, 5, 43 Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора Рассмотрим на примерах два метода решения дифференциальных уравнений с помощью рядов Метод неопределенных коэффициентов Данный метод наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами 57

60 4 Приложения степенных рядов 58 Пример Найти решение дифференциального уравнения, yў = x + y, y( ) =, используя метод неопределенных коэффициентов Решение Решение будем искать в виде ряда: 3 yx ( ) = c + c x+ c x + c x + Продифференцируем последнее равенство по x yў ( x) = c + c x+ 3 c x + 3 Подставим y( x), yў ( x) в данное по условию уравнение и затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: 3 c + cx+ 3cx + = x + c + cx+ cx + cx +, 3 x : c = c, 3 x : c = c, x : 3c = c +, 3 3 x : 4c4 = c3, Определяем коэффициенты: c = y() =, c =, c =, c3 =, c4 = 8 Таким образом, 3 4 x x x yx ( ) = + x Метод последовательного дифференцирования Метод последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка 3

61 43 Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Пример Найти решение дифференциального уравнения yў = x y -, y( ) =, используя метод последовательного дифференцирования Решение Решение будем искать в виде ( ) y () y () y () yx ( ) = y() + ў x + ўў x + + x +!!! Вычислим значения производных yў(), yўў( ), yўўў(), : yў ( x) = xy -, yў ( ) =-; yўў ( x) = xy + xyyў, yўў ( ) = ; yўўў = y + 4xyyў + 4xyyў + x ( yyўў= ) = y + 4xyyў + 4xyyў + x yў + x yyўў, y ўўў () =, Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим 3 yx ( ) = + (- x) + x - 3 Задачи для самостоятельного решения Используя соответствующий ряд, вычислить cos8 с точностью до - 4 Ответ,95 с точ- 4 Используя соответствующий ряд, вычислить 63 ностью до - 4 Ответ 5, 59

62 4 Приложения степенных рядов 3 Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной - cos x функции, вычислить т dx x Ответ,483 с точностью до 4 4 Взяв шесть членов разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить e т - x dx Ответ,747 с точностью до 3 5 Найти первые четыре члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения - - yў = x + 3x+ y y ( )= Ответ y( x)= + 4x+ x + x Найти первые три члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения x ўў = ў - + ( )= ў( )= y xy y e y, y Ответ y( x)= + 3 x + x

63 5 Ряды Фурье 5 Тригонометрические ряды Теорема Дирихле При изучении периодических процессов, то есть процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд Функциональный ряд вида a a x b x a x b x + cos + si + + cos + si + = a = + е( acosx+ bsi x) (5) = называется тригонометрическим рядом Действительные числа a, a, b( =,, ) называются коэффициентами тригонометрического ряда Запишем формулы, которые в дальнейшем понадобятся Пусть m и являются целыми положительными числами, тогда имеют место следующие формулы т - мsix п =,( ), cos xdx = н - п оп x = ( = ); - (5) 6

64 5 Ряды Фурье т - т - т sixdx = при любом ; (53) - м,( m ), cosmx Ч cos xdx = (cos( m+ ) x+ cos( m- xdx ) ) = т н (54) о,( m= ); т - simx Ч cos xdx = т(si( m+ ) x+ si( m- xdx ) ) = ; - - (55) м,( m ), simx Ч si xdx = (cos( m-) x- cos( m+ xdx ) ) = т н (56) о,( m= ) - Формулы (5)- (56) показывают, что семейство функций,cos x,si x,cos x,si x,cos 3x,si 3x,,cos x,si x, обладают свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину, равен нулю Формулы (5) (56) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок [ ; ] Пусть функция f ( x) произвольная периодическая функция с периодом Предположим, что функция f ( x) разлагается в тригонометрический ряд: a f ( x) = + е( acosx+ bsi x) (57) = Так как функция f ( x) (и сумма ряда) имеет период, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины В качестве основного промежутка возьмем отрезок [-; ](можно взять отрезок [ ; ]) Предположим, что ряд (57) на этом отрезке можно почленно интегрировать Найдем коэффициенты a и b, проинтегрировав обе части равенства (57) в пределах от - до : 6

65 5 Тригонометрические ряды Теорема Дирихле Итак, a ж ц f( x) dx = dx + е з a cos xdx + b si xdx ч = = и ш т т т т = т a dx = a a - = т - f( x) dx (58) Умножим обе части равенства (57) на cosmx и проинтегрируем полученный ряд в пределах от - до : т - f( x)cos mxdx = a ж ц = т cosmxdx + е aт cosmxч cosxdx+ b cosmxч xdx з т si ч - = и - - ш Пусть m =, тогда Получаем, что т f( x)cos xdx = a - a = f( x)cos xdx, = 3,,, (59) т - Аналогично, умножив, равенство (57) на simx и проинтегрировав полученный ряд в пределах от - до, найдем: b = f( x)si xdx, = 3,,, (5) т - Тригонометрический ряд (5), коэффициенты которого вычисляются по формулам (58) (5), называется рядом Фурье функции f ( x) 63

66 5 Ряды Фурье Числа a, a, b( =,,), определяемые по формулам (58) (5), называются коэффициентами Фурье функции f ( x) Для функции f ( x) интегрируемой на отрезке [-; ] записывают: a f ( x) ( acosx bsi x) + е + = и говорят: функции f ( x) соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд Фурье Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S( x) Рассмотрим условия, при которых ряд Фурье функции f ( x) сходится и имеет своей суммой функцию f ( x) Функции, которые имеют период Т = называют -периодическими функциями Теорема Дирихле Пусть -периодическая функция f ( x) на отрезке [-; ] удовлетворяет условиям: f ( x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; f ( x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна Тогда соответствующий функции f ( x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом: В точках непрерывности функции сумма ряда S( x) совпадает с самой функцией: S( x) = f ( x) ; В каждой точке x разрыва функции сумма ряда равна: f( x - ) + f( x + ) S( x) =, 64

67 5 Тригонометрические ряды Теорема Дирихле то есть равна среднему арифметическому пределов функции f x ( ) справа и слева; 3 В точках x =- и x = (на концах отрезка) сумма ряда равна f( - + ) + f( -) S( - ) = S( ) = Условия и Теоремы Дирихле называются условиями Дирихле Итак, если функция f ( x) удовлетворяет условиям Дирихле, то на отрезке [-; ] имеет место разложение (57): a f ( x) = + е( acosx+ bsi x), = где коэффициенты вычисляются по формулам (58)- (5) Равенство (57) может нарушаться только в точках разрыва функции f ( x) и на концах отрезка [-; ] В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции Замечания Если функция f ( x) с периодом на отрезке [ ; ] удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (57), где коэффициенты определяются по формулам a = т f( x) dx, a = т f( x)cos xdx, = 3,,,, b = т f( x)si xdx, = 3,,, 65

68 5 Ряды Фурье Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, то есть теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое Пример Разложить в ряд Фурье на отрезке [-; ] функцию м-x, - ЈxЈ, п f ( x) = н x п, < x Ј о Решение Построим график функции f ( x) с ее периодическим продолжением (рис 5) y O 3 x 66 Рис 5 Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье Вычислим коэффициенты Фурье x 5 a = т f( x) dx = т - xdx + т dx = ; a = f( x)cos xdx = - т = ж ц з т - + т ч = 3 - x ( ) xcosxdx cosxdx - ; и - ш

69 5 Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье b = f( x)sixdx = т - = ж ц з - + ч = й л - - щ ы т т x ( ) xsixdx sixdx 3, и - ш м, если четное, b = п н 4 - о п, если нечетное 3 Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид: f ( x) = 5 + ж 3( -) - 4 з cos x - x ( - ) si( - ) ц е 3 ч = и ш 5 Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье Если разлагаемая в ряд Фурье на отрезке [-; ] функция f ( x) является четной (или нечетной), то вычисление коэффициентов Фурье упрощается Пусть функция f ( x) четная Ряд Фурье будет иметь вид где a f ( x) = + еa cos x, (5) = a = т f( x) dx, a = т f( x)cos xdx, О (5) Пусть функция f ( x) нечетная Ряд Фурье будет иметь вид е f ( x) = b six, (53) = 67

70 5 Ряды Фурье где b = т f( x)si xdx, О (54) Ряды (5) и (53) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно Пример Разложить в ряд Фурье функцию f ( x) = x, - < x < Построим график функции f ( x) с ее периодическим продолжением (рис 5) y O 3 x Рис 5 Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье На интервале (-; ) функция f ( x)= x нечетная Отсюда следует, что ряд Фурье этой функции будет содержать только синусы, а при косинусах все коэффициенты a = ( =,,,) Вычислим коэффициенты b по формуле (54) + b = т xsi xdx = (-) Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид: 68


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

f ( x) g( x) dx 0. Конечная или бесконечная

f ( x) g( x) dx 0. Конечная или бесконечная Вопрос. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва).. Тригонометрическая система функций Определение.. Две интегрируемые функции b f x и gx называются ортогональными на отрезке b,,

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее