Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр"

Транскрипт

1 КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Россия, 25993, ГСП-3, г. Москва, Ленинградский пр-т, д. 49 E-ail: Получено 9 апреля 202 г., после доработки 0 июля 202 г. Рассматривается задача определения ситуации равновесия по Нэшу в биматричной игре. Поиск решения связывается с задачей нелинейного программирования. Исследуются применение метода возможных направлений для решения такой задачи. Ключевые слова: биматричная игра, ситуация равновесия по Нэшу, задача нелинейного программирования, метод возможных направлений The ethod of feasible directios i probles oliear prograig for biatrix gaes D. S. Nabatova Fiacial uiversity at the goveret of the Russia Federatio, 49 Leigradsiy prospect, Moscow, 25993, Russia Abstract. The proble of the Nash equilibriu i biatrix gae is cosidered. The search for a solutio is associated with a proble of oliear prograig. Applicatio of the ethod of feasible directios for the solutio of such a proble is ivestigated. Keywords: biatrix gae, the Nash equilibriu, a proble of oliear prograig, the ethod of feasible directios Citatio: Coputer Research ad Modelig, 202, vol. 4, o. 3, pp (Russia). 202 Дария Сергеевна Набатова

2 476 Введение Исследование прикладных аспектов игровых моделей для различных областей, в которых существуют конфликты, показывает, что традиционно применяемые антагонистические игры не всегда адекватно отражают реальную ситуацию. Для такого круга задач в качестве математической модели могут быть использованы биматричные игры. Как понятно из названия, биматричные игры описываются двумя платежными матрицами. Это говорит о том, что для любой ситуации в игре каждая сторона получает свой выигрыш. Сумма выигрышей не является постоянной величиной. Для определения всех ситуаций в игре при выборе игроками своих чистых стратегий используются две матрицы, А и В, размерность которых определяется числом чистых стратегий у игроков: у первого игрока, у второго. В основе принципа оптимальности для таких игр лежит понятие ситуации равновесия по Нэшу. Модель Рассмотрим биматричную игру, описываемую платежными матрицами А и В: a a... a b b... b 2 2 a2 a22... a2 b2 b22... b2 A=, B= a a... a b b... b 2 2 Целью игры для каждого игрока является достижение наибольшего выигрыша. Рассмотрим смешанное расширение биматричной игры. Пусть x и y вероятностные векторы такие, что X = x = ( x, x2,..., x), xi 0,..., xi =, () Y = y = ( y, y2,..., y), y 0, =..., y =. (2) Выигрыши игроков на смешанном расширении определяются следующим образом: H ( xy, ) a x y для первого игрока, (3) 2 = i i H ( xy, ) b x y для второго игрока. (4) = i i Ситуация равновесия по Нэшу в биматричной игре это векторы из смешанного расширения x и y, для которых справедливы соотношения H ( x, y ) H ( x, y ) для любого x X, (5) H ( x, y ) H ( x, y ) для любого y Y. (6) 2 2 Будем полагать, что элементы платежных матриц не являются отрицательными. Если это не так, то нужно рассматривать игру, стратегически эквивалентную исходной игре, для которой условие неотрицательности выполнено [Воробьев, 984]. Покажем, что решение игры с неотрицательными матрицами связано с задачей нелинейного программирования с помощью доказательства двух теорем [Партсахаратхи, 974]. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

3 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования 477 Теорема. Для того чтобы пара векторов ( x, y ) из смешанного расширения биматричной игры являлась ситуацией равновесия по Нэшу, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа p и q, для которых выполнялись бы соотношения ai y p, i... ; bx i i q,... ; i i i = (7) = (8) x y ( a + b ) = p+ q. (9) Доказательство. Если пара ( x, y ) ситуация равновесия по Нэшу, то эти соотношения выполнены, а p и q значения цены игры для первого и второго игроков ситуации равновесия. p= xi yai = H( x, y ), q= xi ybi = H2( x, y ). Неравенства (7) (8) можно получить, если в соотношения (5) (6), определяющие ситуацию равновесия по Нэшу, вместо произвольных векторов подставить в неравенство (7) последовательно векторов из ортонормированного базиса R, а в неравенство (8) векторов из базиса R. Достаточность. Пусть ( x, y ), p, q удовлетворяют условиям (7) (9). Выберем пару векторов ( xy, ) из смешанного расширения. Умножим первые неравенств на компоненты вектора х и, сложив их, получим x ay xp, учитывая () и (3) Аналогично для неравенств (8): учитывая (2) и (4), получим i i i H ( xy, ) p. i i y b x y q, H ( x, y ) q. 2 Если вместо произвольных векторов (х, y) выбрать пару ( x, y ), то H ( x, y ) p и H ( x, y ) q, 2 и для последнего соотношения (9) из теоремы: H ( x, y ) = p и H ( x, y ) = q. 2 Пара ( x, y ) удовлетворяет определению ситуации равновесия по Нэшу. А p и q значения цены игры для каждого игрока. Теорема 2. Для того чтобы пара ( x, y ) являлась ситуацией равновесия биматричной игры, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых неотрицательных чисел p и q набор ( x, y ), p, q представлял собой решение следующей задачи нелинейного программирования: 202, Т. 4, 3, С

4 478 максимизировать xiy( ai + bi) p q при ограничениях ai y p, y 0,..., () bx i i q, i 0, x =..., (2) x =, i y =. (3) Доказательство. Для любой пары векторов ( xy, ), удовлетворяющих ограничениям () (3), значения целевой функции будут неположительными. Необходимость. Пусть ( x, y ) ситуация равновесия. Положим p = xya и i i q = x y b. i i Очевидно, что p и q определяют значения цены игры ситуации равновесия. Рассмотрим пару ( xy, ) векторов, удовлетворяющих неравенствам () (2). Выберем в качестве х для неравенств () векторов из базиса R, получим ai y p, i =. Для неравенств (2) выберем векторов из базиса R : bx i i q, =. Ограничения, связанные с условиями неотрицательности и нормирования, выполняются для всех векторов смешанного расширения. Очевидно, что набор ( x, y ), p, q является допустимым и при этом значение целевой функции равно нулю, т. е. функция достигает своего максимума и ( x, y ), p, q решение задачи. Достаточность. Пусть ( x, y ), p, q решение задачи нелинейного программирования (3). На этих значениях целевая функция достигает своего максимума, ее значение равно нулю: xy( a + b) p q= 0. i i i Умножим неравенств () на компоненты i i x ya p. x и, сложив их, получим КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

5 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования 479 Пара ( x, y ) является решением, и функция достигает максимума, следовательно, Аналогично для y : x ya i i x yb i i Таким образом, для того чтобы определить ситуацию равновесия в биматричной игре, необходимо и достаточно решить задачу нелинейного программирования, поставленную в теореме 2. Этот результат аналогичен теореме для антагонистических игр, но с одним принципиальным отличием: получившаяся задача является нелинейной. Целевая функция в полученной задаче является квадратичной, а система ограничений линейной. Рассмотрим применение метода возможных направлений для решения. Идея метода: необходимо определить вектор возможного направления d такой, что значение целевой функции в направлении этого вектора не ухудшается и оно не выводит за пределы допустимой области [Базара, Шетти, 982]. Пусть общая постановка задачи имеет вид = p. = q. f ( z) ax, z = ( z, z2,..., zt ), Cz s, Ez = e, где С матрица порядка r t, E матрица порядка l t, s r-мерный вектор, а е l-мерный T T T вектор. Пусть задана точка z, C = ( C, C2 ) и s T = ( s T, s T 2), так что C z = s и C ; 2z < s 2 иначе говоря, матрица C состоит из ограничений-неравенств, которые в точке z являются активными. Тогда такой вектор d можно получить из решения следующей задачи. Задача Р: T f ( z) d ax, C d 0, Ed = 0. Задача P является задачей линейного программирования, и ее решение может быть получено с помощью симплекс-метода. После того как возможное направление d определено, вычисляется следующая точка: x = x + λ d ( + ) ( ) где λ оптимальное значение шага. В общем случае шаг вычисляется аналогично методу наискорейшего спуска. Вычисления проводятся до тех пор, пока целевая функция в текущей точке не обратится в ноль. Вычислим градиент целевой функции и матрицы ограничений для задачи нелинейного программирования определения ситуации равновесия в биматричной игре. Целевая функция зависит от переменных. Это компоненты векторов х и у, а также p и q., 202, Т. 4, 3, С

6 480 Вычислим градиент: ( a + b) y + ( a2 + b2) y ( a + b ) y ( a2 + b2) y + ( a22 + b22) y ( a2 + b2 ) y... ( a + b ) y + ( a + b ) y ( a + b ) y ( a + b) x + ( a2 + b2) x ( a + b ) x f = ( a2 + b2 ) x + ( a22 + b22 ) x ( a2 + b2 ) x... ( a + b ) x + ( a2 + b2 ) x ( a + b ) x Или в матричной форме: ( A+ B) y T ( A B) f + x =. Система ограничений-неравенств выглядит так: ax + a2x a x q 0; a2x + a22x a2x q 0;... ax+ a2x ax q 0; by + b2 y b y p 0; b2y + b22 y b2 y p 0;... by+ b2y by p 0. Или в матричной форме: T A B 0 0 A =, A квадратная матрица размера ( + + 2) ( + + 2). Ограничения-равенства для векторов х и у имеют вид x =, y =. i Матрица Е для ограничений-равенств состоит из двух строк: E = КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

7 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования 48 Напомним, что рассматриваемая игра должна иметь неотрицательные элементы платежных матриц. Если это не так, то необходимо найти такое число, α чтобы a + α 0, b + α 0 для..., =..... i i Новые платежные матрицы с элементами a i = ai + α, b i = bi + α будут стратегически эквивалентными исходным матрицам, т. е. ситуации равновесия для них будут равными, а цены игры ситуации равновесия отличаться на величину α. Результаты Более подробно последовательность шагов для вычисления пары ( x, y ) векторов, определяющих ситуацию равновесия в биматричной игре с платежными матрицами А и В, рассмотрим на примере. Пример вычислений. Найти ситуацию равновесия по Нэшу для игры с платежными матрицами А и В. Формат игры 3 4: A = 3 8 6, B = Сформулируем задачу нелинейного программирования: xy( a + b) p q ax, i i i xb q,...4, i i ya p,...3, i x 0, y 0, 3 4 x =, y =. i Зададим начальное приближение. Рассмотрим первый столбец матрицы А и найдем максимальный элемент a 3 = 7: y = (;0;0;0). x должна быть отлична от нуля тре- Чтобы начальная точка удовлетворяла ограничениям, у тья координата: тогда p = 7 и q = 3. Вычислим компоненты градиента x = (0;0;), T f = (7;4;0;0;8;4;0; ; ), составим задачу Р: 7d + 4d + 0d + 0d + 8d + 4d + 0d d d ax , Т. 4, 3, С

8 482 Активное ограничение для вектора x = (0;0;) соответствует первому столбцу матрицы А: 7d 4d Активное ограничение для вектора y = (;0;0;0) соответствует третьей строке матрицы В: 3d 4d Ограничения равенства для компонент d составляются так, чтобы не выйти за границы допустимой области: d + d2 + d3 = 0, d + d + d + d = Окончательно получим задачу линейного программирования для определения вектора d: 7d + 4d + 0d + 0d + 8d + 4d + 0d d d ax, d 4d 0, 3 9 3d4 4d8 0, d + d2 + d3 = 0, d + d + d + d = Отметим, что для вектора d нет ограничений неотрицательности. Используя двойственный симплекс-метод, найдем решение задачи T d = (0;0.364; 0.364; 0.364;0.364;0;0;2.82;.88), λ ax =. () () () () Вычислим x = (0;0.364;0.636), y = (0.636;0.364;0;0), p = 4.88, q = Значение целевой функции для таких значений равно нулю. Получено решение: ситуация равновесия в биматричной игре. Заключение Биматричные игры имеют более широкий круг практического применения. В литературе мало представлено идей и методов их решения. Между тем алгоритмов решения задач квадратичного программирования существует достаточно. Их использование позволяет обеспечить сходимость с одной сторон, и сравнивать решения, полученные разными способами с другой. Таким образом, можно получить гарантированный результат. Список литературы Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 982. Воробьев Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 984. Партсахаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. М.: Мир, 974. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

2. Методы решения общей задачи линейного программирования

2. Методы решения общей задачи линейного программирования . Методы решения общей задачи линейного программирования Современные методы ЛП делятся на две большие группы: - координатные методы и итерационные, позволяющие находить приближенные решения задач ЛП. Наиболее

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Занятие НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Постановка задачи Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f ( ), определенная на множестве X R Требуется исследовать

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ НА СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ НА СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДК (78) МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ НА СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВА Талызин Казанский (Приволжский) федеральный университет Россия г Казань Ключевые слова: оценка параметры

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а 3 Р Г Р. б) Найти максимум и минимум в задаче. симплекс-методом. = 4, проходящей через точки:

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а 3 Р Г Р. б) Найти максимум и минимум в задаче. симплекс-методом. = 4, проходящей через точки: Задание: Вариант # f (X) = x + x extr x + x x + x 4 x, x Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 4-6 Иванов И.И. Вариант Этап. Тема: Методы

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

2. Симметричная каноническая форма

2. Симметричная каноническая форма 2. Симметричная каноническая форма... Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2).... 3 Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2)... 3 Основное

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ УДК 58 9 ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ ВВ ОСТАПЕНКО ОС ОСТАПЕНКО ТВ ПОДЛАДЧИКОВА Предложена теоретико-игровая модель борьбы двух крупных партий за электорат в ходе

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи.

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи. Математическое программирование. 1) Решить графически следующие задачи линейного программирования. 2) Решить обе задачи перебором базисных решений. 3) Решить первую задачу симплекс методом. 1-я задача:

Подробнее

Решение задач квадратичного программирования онлайн

Решение задач квадратичного программирования онлайн Решение задач квадратичного программирования онлайн >>> Решение задач квадратичного программирования онлайн Решение задач квадратичного программирования онлайн Условия Куна-Таккера записываются в виде

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП 3 Симплекс-метод Поиск оптимального решения ЗЛП путем простого перебора крайних точек допустимого множества возможен, но совершенно непрактичен с вычислительной точки зрения. Неэффективность такого подхода

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 )

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 ) Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения

Подробнее

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи n = Постановка задачи n f ( x)

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

Методы решения задачи линейного программирования

Методы решения задачи линейного программирования 1 Методы решения задачи линейного программирования 1. Опорные решения задачи линейного программирования Пусть дана задача линейного программирования в канонической форме записи при условиях ma c, (1) A

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Занятие. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи Постановка задачи f ( x) c j x j x ij j bi, i,, m; m j j, x

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 20 ноября 2010 г. Симплекс-метод решения задач линейного программирования является одним из выдающихся математических достижений 20-го

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования Лекция Задачи нелинейного и квадратичного программирования Нелинейное программирование (НЛП). НЛП это такая задача математического программирования, F когда-либо целевая функция, либо ограничения, либо

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана ЛЕКЦИЯ 4 Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана Необходимые условия экстремума 2. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 3. Критерий оптимальности (выпуклый

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Реализация смешанно-целочисленных отсечений Гомори

Реализация смешанно-целочисленных отсечений Гомори Реализация смешанно-целочисленных отсечений Гомори А. О. Махорин Декабрь 2007 г. 1 Математическое обоснование Рассмотрим смешанно-целочисленную задачу: min{c T x : x X}, (1) X = {x Z p + R n p + : Ax =

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай)

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) ЛЕКЦИЯ 5 Необходимые условия экстремума 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) -1- Лекция 4: Теорема 7 (Фаркаша Минковского). Система уравнений Ax

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ТЕОРЕМА КУНА ТАККЕРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

ТЕОРЕМА КУНА ТАККЕРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ ТЕОРЕМА КУНА ТАККЕРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 27 февраля 2010 г. 1. Рассмотрим гладкую задачу нелинейного программирования: при ограничениях минимизировать f(x) (1) a

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х Постановка задачи Для перевозки изделий, состоящи из дву контейнеров А и В, у компании «Транзит» имеются три транспортны средства разны типов, возможности которы приведены в таблице. Перевозка дву различны

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................... 5 Глава 1 Декомпозиция Данцига Вулфа......................... 7 1. Метод декомпозиции Данцига Вулфа................. 7 2. Двойственный подход

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

UNIQUENESS AND STABILITY OF SOLUTIONS SYSTEMS OF THE LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES IN UNLIMITED AREAS Z.

UNIQUENESS AND STABILITY OF SOLUTIONS SYSTEMS OF THE LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES IN UNLIMITED AREAS Z. УДК 517.968.8 ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ З.А. Каденова Исследована единственность

Подробнее

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи ЗАДАНИЕ.. Найти целочисленное решение задачи линейного программирования..составить двойственную задачу и решить

Подробнее