1. Поверхности второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Поверхности второго порядка"

Транскрипт

1 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L = 0, где хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D, E, F отличен от нуля. Наша цель решение двух основных задач аналитической геометрии: 1) зная поверхность как множество точек, удовлетворяющих некоторому условию, написать ее уравнение; 2) зная уравнение множества точек, исследовать свойства этого множества. Чтобы упростить решение этих задач, сначала интересующие нас поверхности будем рассматривать как результат вращения знакомых нам линий вокруг некоторой оси. Научимся находить уравнения таких поверхностей вращения по уравнениям заданных линий и оси вращения. Выполняя несложные преобразования (преобразования координат), придем к так называемым каноническим уравнениям поверхностей второго порядка и, наконец, изучим геометрические свойства таких поверхностей по их каноническим уравнениям Сфера Сферой называется поверхность, все точки которой расположены на одном расстоянии от заданной точки, называемой центром. Уравнение сферы с центром в точке с координатами (a, b, c) и радиусом r (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r Цилиндрические поверхности Цилиндрической L поверхностью называется поверхность, образованная n движением образующей l, l параллельной данному вектору n по направляющей кривой L. Рассмотрим только такие цилиндрические поверхности, у которых образующие Рис. 1. параллельны одной из координатных осей, а направляющей является плоская кривая, лежащая в одной из координатных плоскостей. Уравнения таких цилиндрических поверхностей содержат только две переменные величины. В

2 2 них будет отсутствовать переменная, одноименная с той координатной осью, которой параллельны образующие цилиндрической поверхности. Так, всякое уравнение вида F (, ) = 0 или = f(), содержащее только две переменные и, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны координатной оси, а направляющая лежит в плоскости. Всякое уравнение F (, ) = 0 или = f(), содержащее только две переменные и и не содержащее переменной, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси, а направляющей является линия, лежащая в плоскости. Точно так же всякое уравнение вида F (, ) = 0 определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующая параллельна оси, а направляющей служит линия, лежащая в плоскости. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей: l L Рис Поверхность, определяемая уравнением = 1, (1) 2 b2 является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 2). Ее образующие параллельны оси, а направляющей Рис. 3. является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости. Если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение + = a 2.

3 2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением 3 a y2 = 1, (2) 2 b2 называется гиперболическим цилиндром (рис. 2). Образующие этой поверхности параллельны оси, а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b. 3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением = 2pz, называется параболическим цилиндром (рис. 3). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости, а образующие параллельны оси Поверхности вращения Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Выведем уравнение поверхности S, образованной вращением вокруг оси линии L, лежащей в плоскости и заданной в ней уравнением F (, ) = 0. Пусть M(x, y, z) произвольная точка поверхности S (рис. 4). Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную оси вращения. В сечении получим окружность, которая называется параллелью. Секущая плоскость пересекает ось в точке K, а линию L в точке N. Так как KH = KN (как радиусы параллели) и KH = +, то K N KN = +. Обозначим H l координаты точки N(, ). Так как KN = = +, = z и координаты точки N( +, z) удовлетворяют уравнению кривой F (, ) = 0, Рис. 4. получим уравнение поверхности F (± + ; z) = 0. (3) Итак, чтобы получить уравнение поверхности S, образованной вращением линии L (лежащей в плоскости ) вокруг оси, нужно в уравнении этой линии заменить y на ± +, а z, то есть координату, одноименную оси вращения оставить без изменения. Аналогично можно вывести уравнения поверхностей вращения, получающихся вращением линий вокруг других координатных осей.

4 Конические поверхности Конической поверхностью называется поверхность, образованная движением образующей l через точку M (вершину) по направляющей L. (рис. 5). M l L Рис. 5. Например, если направляющая является эллипсом, а вершина совпадает с началом координат, то такая поверхность называется прямым круговым конусом (рис. 5) и имеет уравнение 1.5. Эллипсоид z 2 c 2 = x2 a 2 + y2 b 2 (4) Задание 3.1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси эллипса b + z2 2 c = 1, 2 расположенного в плоскости. Решение. Воспользуемся правилом составления уравнения поверхности вращения, тогда получим: (± + ) 2 + z2 b 2 c = 1; + + z2 2 b 2 c = 1; 2 b + y2 2 b + z2 = 1. (5) 2 c2 Такая поверхность называется эллипсоидом вращения (рис. 6). Если b > c, то уравнение описывает сжатый эллипсоид вращения, если же b < c, то это уравнение представляет собой удлиненный эллипсоид вращения (рис. 6). Если b = c, получим сферу, уравнение которой будет иметь вид + + z 2 = b 2.

5 5 c c b b b b Рис. 6. Если эллипсоид вращения (5) сжать или растянуть вдоль оси получим 2 b + z2 = 1. (6) 2 c2 При a b, b c, c a поверхность называется трехосным эллипсоидом, а уравнение (6) его каноническим. Рассмотрим геометрические свойства эллипсоида. 1. Эллипсоид не проходит через начало координат, так как координаты точки (0, 0, 0) не удовлетворяют каноническому уравнению. 2. Найдем точки пересечения эллипсоида с осью x 2 2 a + 2 b + z2 2 c = 1, x = a x = a 2 y = 0 y = 0 или y = 0 z = 0 z = 0 z = 0 Получим две точки пересечения A 1 (a, 0, 0) и A 2 ( a, 0, 0). Аналогично получим точки пересечения с осями и : B 1 (0, b, 0), B 2 (0, b, 0), C 1 (0, 0, c), C 2 (0, 0, c). Эти точки называются вершинами эллипсоида. 3. Так как переменные x, y, z содержатся в уравнении эллипсоида только в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называется центром эллипсоида. 4. Определим теперь область изменения переменных, входящих в уравнение эллипсоида. Из уравнения (6) следует, что { } x 2 y2 z2 1; 1; a2 b2 c 1 ( 2 ; b 2 ; z 2 2 ) 2

6 6 ( a x a; b y b; c z c). Отсюда следует, что все точки эллипсоида лежат внутри прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого соответственно равны 2a, 2b, 2c. 5. Форму эллипсоида изучим методом сечений. Пересечем эллипсоид плоскостью = h, параллельной плоскости. Тогда в сечении получим 2 b = 1 h2 2 c ; 2 z = h. Возможны три случая: 1. Пусть c < h < c, в этом случае получаем эллипсы, центры которых лежат на оси. 2. Пусть h = c или h = c, тогда в сечении получим вершину эллипсоида C 1 или C Пусть h > c и h < c, тогда в сечении получаем мнимые эллипсы, т.е. плоскость = h с эллипсоидом общих точек не имеет. Рассуждая точно так же, то есть проводя сечения, параллельные другим координатным плоскостям, получим аналогичные результаты Однополостный гиперболоид Задание 3.2. Написать уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси гиперболы Рис. 7. b 2 z2 c 2 = 1, расположенной в плоскости. Решение. Воспользуемся правилом составления уравнения поверхности вращения. Тогда получим: Отсюда (± + ) 2 b 2 z2 c 2 = 1, b + y2 2 b z2 = 1. (7) 2 c2

7 7 Поверхность (7) называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 7). Если однополостный гиперболоид вращения сжать или растянуть вдоль оси, получим 2 b z2 = 1. (8) 2 c2 Полученная поверхность называется однополостным гиперболоидом, а уравнение (8) каноническим Двуполостной гиперболоид Задание 3.3. Написать уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси гиперболы b z2 2 c = 1, 2 расположенной в плоскости. Решение. Для составления уравнения поверхности вращения в данном случае нужно заменить переменную z в уравнении гиперболы на выражение ± + z 2. Тогда получим b (± x2 + z 2 ) 2 = 1, 2 c 2 отсюда b x2 2 c z2 = 1. (9) 2 c2 Поверхность (9) называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 8). Выполняя сжатие или растяжение вдоль оси, получим уравнение (10) поверхности, называемой двуполостным гиперболоидом b x2 2 a z2 = 1. (10) 2 c2 Рис. 8.

8 Эллиптический параболоид Задание 3.4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси параболы = 2pz, расположенной в плоскости. Решение. Воспользуемся правилом составления уравнения поверхности вращения. Тогда получим (± + ) 2 = 2pz или + = 2pz. (11) Эта поверхность называется параболоидом вращения. Выполняя сжатие или растяжение к плоскости или, можно сказать, вдоль оси, получим уравнение Рис. 9. поверхности, называемой эллиптическим параболоидом. Уравнение = 2z (12) 2 b2 называется каноническим уравнением эллиптического параболоида (рис. 9) Гиперболический параболоид Гиперболический параболоид определяется уравнением p y2 q = 2z, где p > 0, q > 0. (13) Исследуем его форму при помощи сечений плоскостями: 1. y = 0, = 2pz парабола в плоскости ; 2. x = 0, = 2qz парабола в плоскости ; 3. x = ±h, = 2q(x h2 ) параболы соответственно с вершинами 2p (±h, 0, h2 ) и ветви направлены вниз. Можно заметить, что эти параболы 2p скользят своими вершинами вдоль параболы = 2pz, так как координаты вершин (±h, 0, h2 2p ) удовлетворяют уравнению x2 = 2pz;

9 9 4. z = h, 2ph y2 = 1 гипербола, действительная ось которой совпадает 2qh с осью. Совокупность этих линий пересечения позволяет определить вид поверхности, то есть построить ее. Рис. 10. Задание 3.5. Какие поверхности определяют уравнения + z 2 = 16; x = 2z 2 z 2 ; 5 x2 7 = 1. Решение. Каждое из этих уравнений содержит только две переменные и и определяет на плоскости кривые: 1) окружность; 2) параболу; 3) гиперболу. В пространстве же каждое из них определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси, так как эти уравнения не содержат переменной. Направляющими этих цилиндрических поверхностей служат указанные кривые: 1. + z 2 = 16 уравнение прямого кругового цилиндра; 2. x = 2z 2 уравнение параболического цилиндра; 3. z2 5 x2 7 = 1 уравнение гиперболического цилиндра. Задание 3.6. Прямая x = z вращается вокруг оси. Найти уравнение поверхности вращения. Решение. Так как в уравнение линии входят только переменные x и z, то линия лежит в плоскости.

10 10 Воспользуемся правилом составления уравнения поверхности вращения. Тогда получим ± + = z. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим окончательно уравнение поверхности вращения в виде + z 2 = 0. Полученная поверхность является круговым конусом (4). Задание 3.7. Определить уравнение поверхности вращения образованной вращением эллипса 2 b = вокруг оси ; 2. вокруг оси. Решение. 1. Уравнение кривой содержит координаты x и y, значит, кривая лежит в плоскости. Для определения уравнения поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси, надо в уравнении эллипса переменную x, соответствующую оси вращения, оставить без изменения, а вторую переменную y в уравнении эллипса заменить на ± + z 2 : a 2 + (± y2 + z 2 ) 2 = 1 b 2 a 2 + y2 b 2 + z2 b 2 = 1. Эта поверхность является эллипсоидом вращения (5). 2. Если же вращать данный эллипс вокруг оси, то переменную y, соответствующую оси вращения, в уравнении эллипса следует оставить без изменения, а переменную x заменить на ± + z 2 : (± + z 2 ) 2 a 2 + y2 b 2 = 1 a 2 + y2 b 2 + z2 a 2 = 1. Эта поверхность является эллипсоидом вращения (5). Задание 3.8. Найти линии пересечения поверхности гиперболоида 27 + y2 18 z2 9 = 1 с координатными плоскостями и с плоскостями z = 2, x = 3.

11 11 Решение. а) Линия пересечения данного гиперболоида с координатной плоскостью является эллипсом 27 + y2 18 = 1, z = 0. б) С плоскостью гиперболоид пересекается по линии 18 z2 9 = 1, x = 0, которая представляет собой гиперболу. в) С плоскостью пересекается по линии 27 z2 9 = 1, y = 0, гипербола. г) Уравнение линии пересечения гиперболоида с плоскостью z = y2 26 = 1, z = 2, эллипс, лежащий в плоскости z = 2. д) Уравнение линии пересечения с плоскостью x = 3 12 z2 6 = 1, x = 3, гипербола, лежащая в плоскости x = 3.

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции

Подробнее

РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ в 1 и 2 случаях Пример 1. I ГПЗ (1 случай). Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью. Σ - цилиндрическая повер

РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ в 1 и 2 случаях Пример 1. I ГПЗ (1 случай). Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью. Σ - цилиндрическая повер ЛЕКЦИИ 8 Классификация позиционных задач и выбор алгоритма решения. Примеры решения позиционных задач, если оба геометрических образа или один из геометрических образов занимают проецирующее положение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Подробнее

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью Пересечение поверхности плоскостью При пересечении любой поверхности плоскостью получается некоторая плоская фигура, которая называется сечением. Плоскости, с помощью которых получается сечение, называются

Подробнее

Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи

Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи 2868 Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи Методические указания для студентов всех специальностей Иваново 2009 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Методическое пособие для студентов (курсантов) первого курса

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс : 0- Количество

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курский государственный технический университет» Кафедра начертательной геометрии

Подробнее

Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях. Методические указания по выполнению контрольных заданий.

Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях. Методические указания по выполнению контрольных заданий. Министерство путей сообщения Российской Федерации Департамент кадров и учебных заведений САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Инженерной графики Построение линии пересечения двух

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра высшей

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Степенная функция Степенн ыми называют функции вида x α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩ ЕНИЯ (МИИТ) Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» Н. П. ГОРБАЧЕВА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ

В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего

Подробнее

V. <Г> АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

V. <Г> АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по педагогическому образованию УТВЕРЖДАЮ Первый заместитель Министра образования

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Инженерная и компьютерная графика

Инженерная и компьютерная графика ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ В.Н. Быкова Г.Д. Мефодьева

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Просвещение, 2010 г. Просвещение, 2010г.

Просвещение, 2010 г. Просвещение, 2010г. 1 Аннотация к рабочей программе по предмету «Геометрия» 10-11 Данная рабочая программа по геометрии для 10-11 классов составлена на основе: Федерального компонента Государственного образовательного стандарта

Подробнее

Е.В. Белоенко, Т.Ю. Дайнатович ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Е.В. Белоенко, Т.Ю. Дайнатович ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т Калашникова (ФГБОУ ВПО

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 3 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Хабаровск 4 2004 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный

Подробнее

ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии

ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» Деветериков Ю.Л ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии Тольятти 2006 УДК

Подробнее

Фаткуллина А.А. Для студентов Направления подготовки Архитектура; Дизайн архитектурной среды Уровень подготовки: бакалавриат

Фаткуллина А.А. Для студентов Направления подготовки Архитектура; Дизайн архитектурной среды Уровень подготовки: бакалавриат МИНОБРНАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский архитектурный институт (государственная академия)» (МАРХИ) Кафедра «Начертательной

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61» Рабочая программа принята решением Педагогического совета МБУ «Школа

Подробнее

ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КУРСКИЙ МОНТАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ» ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КУРСКИЙ МОНТАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ» ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КУРСКИЙ МОНТАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ» ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Методические рекомендации по изучению темы «Проекционное черчение. Геометрические тела» Курск

Подробнее

Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина. Рецензент

Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина. Рецензент УДК 621.882.(083.131) Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина Рецензент Кандидат технических наук, доцент В.В. Кривошеев ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ: методические указания

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания к выполнению эпюра 3 по дисциплине «Начертательная

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

METOAEIECKHE YICA3AHEDI K BMIIOJIHEHHIO. AOMAIIIHErO 3mAHliW IIO HAYEPTATEJI~HOB reometphh

METOAEIECKHE YICA3AHEDI K BMIIOJIHEHHIO. AOMAIIIHErO 3mAHliW IIO HAYEPTATEJI~HOB reometphh METOAEIECKHE YICA3AHEDI K BMIIOJIHEHHIO AOMAIIIHErO 3mAHliW IIO HAYEPTATEJI~HOB reometphh Юрий Этумович Шарикян Алла Евграфовна Одинцова Анна Анатольевна Кашу Методические указания к выполнению домашнего

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой b Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

ТЕСТ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ

ТЕСТ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ ТЕСТ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ 60 1. Какой разрез целесообразно выполнить для детали, изображенной на комплексном чертеже? простой ступенчатый поперечный ломаный 2. Сколько секущих плоскостей использовано

Подробнее

Пояснительная записка Цели программы : Основные задачи курса:

Пояснительная записка Цели программы : Основные задачи курса: Пояснительная записка Рабочая программа учебного предмета «Геометрия» составлена на основании следующих нормативно-правовых документов:. Федерального Закона от 9.. 73-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия С. С. Красовский, В. В. Хорошайло, Д. Б. Козоброд, В. С.Урусова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Подробнее

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

Подробнее

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет 515(07) Д817 В.С. Дукмасова, В.А. Краснов МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Издание шестое

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

1. ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. 4 1. ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 5 1.1. Построение характерных точек..... 5 1.2. Построение промежуточных точек линий взаимного пересечения заданных поверхностей...

Подробнее

2 УДК Д 82 Думицкая Н.Г. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел: Метод. указания / Н.Г.Думицкая. - Ухта: УГТУ, с., ил.

2 УДК Д 82 Думицкая Н.Г. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел: Метод. указания / Н.Г.Думицкая. - Ухта: УГТУ, с., ил. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Методические указания по начертательной геометрии для

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ПО ГЕОДЕЗИИ ДЛЯ СОБ-11

ЛЕКЦИЯ 1 ПО ГЕОДЕЗИИ ДЛЯ СОБ-11 ЛЕКЦИЯ 1 ПО ГЕОДЕЗИИ ДЛЯ СОБ-11 Геодезия наука, изучающая форму и размеры поверхности Земли или отдельных ее участков путем измерений, вычислительной обработки их, построения, карт, планов, профилей, которые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по геометрии для 11 класса (профильный уровень) на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по геометрии для 11 класса (профильный уровень) на учебный год Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 1» Согласовано: Утверждаю: Заместитель директора по УВР Директор школы Верхотурова Н.А. Л.Б.Огурцова «28» _августа

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО- НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН, ВИ ИВАНОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Внецентренное действие продольных сил

Внецентренное действие продольных сил Внецентренное действие продольных сил C C Центральное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) это случай нагружения, когда линия действия сжимающей (растягивающей

Подробнее

ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Пояснительная записка Целью задачи имеет представление о умеет

Пояснительная записка Целью задачи имеет представление о умеет Пояснительная записка Данная рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по математике (геометрия), авторской программы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов,

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p.

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим круглую трубку длины l, радиуса а, и толщиной h Приложим к ней следующие нагрузки: растягивающую силу Р, крутящий момент М и внутреннее давление р Мысленно вырежем малый

Подробнее

Введение. Часть 1. Применение операции По сечениям к эскизам, расположенным в параллельных смещенных плоскостях

Введение. Часть 1. Применение операции По сечениям к эскизам, расположенным в параллельных смещенных плоскостях Знакомство с операциями твердотельного моделирования: 1 Работа 5 ЗНАКОМСТВО С ОПЕРАЦИЯМИ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ: ОПЕРАЦИЯ ПО СЕЧЕНИЯМ Цель работы: Изучение операции По сечениям для создания трехмерной

Подробнее

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов 218 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2014. Т. 55, N- 1 УДК 531.45 ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА Г. П. Черепанов Нью-Йоркская академия наук, Нью-Йорк, США E-mail: genacherepanov@hotmail.com

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ПРОФИЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПРОФИЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРОФИЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по использованию учебника «ГЕОМЕТРИЯ» автор И.М. Смирнова при изучении геометрии в 10-11 классах на базовом уровне Издательство «МНЕМОЗИНА» 004 г. 1 В учебно-методический

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Пояснительная записка. Данная рабочая программа по геометрии для 11 социально-гуманитарного класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего

Подробнее

Зависимость скорости от времени

Зависимость скорости от времени И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Равноускоренное движение Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

Содержание. Тематическое планирование... 4

Содержание. Тематическое планирование... 4 Содержание Тематическое планирование......................... 4 Методические указания............................. 1 Глава 1. Преобразования пространства............. 1 Глава. Многогранники.........................

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Тематическое планирование. по геометрии. для учащихся заочной формы обучения. 11 класс

Тематическое планирование. по геометрии. для учащихся заочной формы обучения. 11 класс Министерство иностранных дел Российской Федерации Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением иностранного языка при постоянном представительстве России при ООН в Нью-Йорке, США Рассмотрено:

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ. 1. Линейно-выпуклые множества Е. Г. БЕЛОВ

ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ. 1. Линейно-выпуклые множества Е. Г. БЕЛОВ Е. Г. БЕЛОВ ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ В работе рассматривается обобщение с помощью линейной нормы понятия выпуклого множества, которое затем переносится на конечные графы.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА «СТАТИКА» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения)

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» Рабочая тетрадь для решения задач

Подробнее

Пояснительная записка к рабочей программе. по геометрии в 10 классе

Пояснительная записка к рабочей программе. по геометрии в 10 классе Пояснительная записка к рабочей программе по геометрии в 0 классе Всего 2 часа в неделю 72 часа в год. Рабочая программа составлена на основе следующих документов: o Федерального компонента государственного

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета. «Геометрия» классов. Срок реализации:10 класс учебный год

Рабочая программа учебного предмета. «Геометрия» классов. Срок реализации:10 класс учебный год Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования МБОУ «Сергачская СОШ 1» утвержденной приказом директора 27.08.2015 г. 64-о Рабочая программа учебного предмета «Геометрия» 10-11

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Учебное пособие для студентов направления «Строительство» дневной и вечерней формы обучения

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Учебное пособие для студентов направления «Строительство» дневной и вечерней формы обучения МИНИТЕРТО ОБРЗОНИЯ И НУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРЦИИ НООИБИРКИЙ ГОУДРТЕННЫЙ РХИТЕКТУРНО-ТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИЕРИТЕТ (ИБТРИН) И.. убботина, Т.Ю. иговская, Ю.Г. Горбачев РБОЧЯ ТЕТРДЬ ПО НЧЕРТТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР. МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР. МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Утверждено учебным управлением МЭИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ в качестве учебного

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Определенный интеграл и его приложения Комплект ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Определенный интеграл и его приложения Комплект Вариант Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из ямы,

Подробнее

Методическое пособие по начертательной геометрии и инженерной графике. «Словарь терминов»

Методическое пособие по начертательной геометрии и инженерной графике. «Словарь терминов» ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «СМОЛЕНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ КОЛЛЕДЖ имени Е. Г. Трубицына» Методическое пособие по начертательной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие

Подробнее