ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE"

Транскрипт

1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической), если A = A T. Действительная матрица Q M n n называется ортогональной, если Q Q T = I n. Обозначим через S n множество симметрических матриц, а через O n - множество ортогональных матриц, S n = {A M n n A = A T }, O n = {A M n n A A T = I n } Легко устанавливаются следующие утверждения. 1. Если A O n, то det(a) = ±1.. Если A O n, B S n, то A B A T S n. 3. Если A O n, B O n, то A B O n, A 1 O n. 1. Самосопряженные преобразования Евклидова пространства Линейное преобразование называется самосопряженным, если для любых векторов X, Y E n (ϕ(x), Y ) = (X, ϕ(y )). Если матрица A симметрическая, то преобразование ϕ A : E n E n, заданное правилом ϕ A (X) = X A, в естественном ортонормированном базисе, является самосопряженным. Действительно, в этом случае скалярное произведение (X, Y ) представимо в виде произведения матриц, вектора строки на вектор столбец Следовательно и Справедлива также следующая Теорема 1 Если преобразование (X, Y ) = X Y T. (ϕ A (X), Y ) = X A Y T, (X, ϕ A (Y )) = X (Y A) T = X A T Y T = X A Y T. является самосопряженным, то его матрица [ϕ] F F является симметрической. F = f 1, f,..., f n в произвольном ортонормированном базисе 1

2 Доказательство. Действительно, пусть A = [ϕ] F F = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn. В этом случае Поэтому ϕ(f i ) = n a ij f j, где i = 1..n. j=1 (ϕ(f i ), f j ) = a ij, (f i, ϕ(f j ) = a ji Из условия самосопряженности (ϕ(f i ), f j ) = (f i, ϕ(f j )) получаем a ij = a ji. Следовательно A = A T Геометрическое строение самосопряженного преобразования Самосопряженные преобразования устроены довольно просто. Лемма 1 Собственные числа самосопряженного преобразования евклидова пространства вещественны. Лемма Пусть е - собственный вектор самосопряженного преобразования Тогда множество, ϕ(e) = λ e. T (e) = {X E n (X, e) = 0}, является инвариантным подпространством преобразования ϕ. Доказательство. Ясно, что T (e) является подпространством E n размерности (n 1). Покажем его инвариантность относительно ϕ. Итак, пусть X -произвольный вектор из T (e). Тогда (X, e) = 0. Покажем, что ϕ(x) T (e). Имеем (ϕ(x), e) = (X, ϕ(e)) = (X, λ e) = λ (X, e) = 0. Теорема Пусть - самосопряженное преобразование евклидова пространства. Тогда можно построить ортонормированный базис пространства E n, состоящий из собственных векторов преобразования ϕ. Доказательство.Действительно, пусть λ 1 λ... λ n -собственные числа преобразования ϕ. Найдем единичный собственный вектор e 1 соответствующий собственному значению λ 1. Дополним этот вектор до базиса всего пространства E n векторами из EF = e 1, f 1,..., f n 1 T (e 1 ) = {X E n (X, e 1 ) = 0}. Тогда матрица [ϕ] EF EF примет следующий блочный вид: ( [ϕ] EF λ1 0 EF = 0 [ψ] F F ), где ψ = ϕ T (e1), F = f 1,..., f n 1. Ограничение преобразования ϕ на подпространство T (e 1 ), ψ : T (e 1 ) T (e 1 ),

3 очевидно, является самосопряженным преобразованием, с собственными числами λ... λ n. Поэтому к нему применима лемма и т.д. Теорема доказана. Следствие 1. Собственные векторы самосопряженного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Следствие. Если - характеристический многочлен самосопряженного преобразования, то пространство E n представимо в виде прямой суммы E n = Ker(ϕ λ 1 ) Ker(ϕ λ ) Ker(ϕ λ k ). 1.. Алгоритм приведения симметрической матрицы к главным осям Задача. Для симметрической матрицы A M n требуется найти такую ортогональную матрицу Q, чтобы матрица Q A Q T приняла диагональный вид. Решение. 1. Вычисляем характеристический многочлен χ A (λ) = det(a λ I n ).. Находим корни многочлена χ A (λ) и представляем его в виде χ A (λ) = m (λ i λ) ki, λ 1 < λ <... < λ m. i=1 3. Находим базисы ядер F i = f i1, f i,..., f iki Ker(A λ i I n ), i = 1..m. 4. Ортогонализируем и затем нормируем каждый из базисов F i, i = 1..m. В результате получаем базисы E i = e i1, e i,..., e iki, i = 1..m. 5. Строками матрицы Q являются векторы базисов E i, i = 1..m, первые k 1 строк векторы e 11, e 1,..., e 1k1, следующие k строк векторы и т.д. e 1, e,..., e k, 1.3 Ортогональные преобразования Евклидова пространства Линейное преобразование называется ортогональным, если для любых векторов X, Y E n (ϕ(x), ϕ(y )) = (X, Y ). Если матрица A ортогональная, то преобразование ϕ A : E n E n, 3

4 заданное правилом ϕ A (X) = X A, в естественном ортонормированном базисе, является ортогональным. Действительно, в этом случае скалярное произведение (X, Y ) представимо в виде произведения матриц, вектора строки на вектор столбец Следовательно (X, Y ) = X Y T. (ϕ A (X), ϕ A (Y )) = X A (Y A) T = X A A T Y T = X I n Y T = X Y T. Справедлива также следующая Теорема 3 Если преобразование является ортогональным, то его матрица [ϕ] F F является оргогональной матрицей. в произвольном ортонормированном базисе F = f 1, f,..., f n Доказательство. Действительно, пусть A = [ϕ] F F = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn. В этом случае Поэтому Из условия ортогональности n ϕ(f i ) = a ij f k, где i = 1..n. k=1 n (ϕ(f i ), ϕ(f j )) = a ik a jk. k=1 Следовательно или в матричном виде A A T = I n. (ϕ(f i ), ϕ(f j )) = (f i, f j ) = n a ik a jk = k=1 { 1, если i = j 0, если i j { 1, если i = j 0, если i j Продолжение ортогонального преобразования на комплексное евклидово (унитарное) пространство Арифметическое комплексное пространство C n определяется как множество упорядоченных n ок комплексных чисел C n = {(x 1, x,..., x n ) : x 1 C, x C,..., x n C}. В пространстве C n операции сложения и умножения на скаляр задаются следующим образом: если X C n, Y C n то X = (x 1, x,..., x n ), Y = (y 1, y,..., y n ), α C, X + Y = (x 1 + y 1, x + y,..., x n + y n ) и αx = (αx 1, αx,..., αx n ). Отметим свойства введенных операций (в дальнейшем эти свойства превращаются в аксиомы линейного пространства над полем С). Пусть X C n, Y C n,z C n, α C, β C тогда 1. X + Y = Y + X, коммутативность операции сложения. (X + Y ) + Z = X + (Y + Z), ассоциативность 3. α(x + Y ) = αx + αy, дистрибутивность 4

5 4. (αβ)x = α (βx) 5. 1X = X Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x,..., x n ), Y = (y 1, y,..., y n ) пространства C n определяется следующим (каноническим) способом (X, Y ) = x 1 y 1 + x y x n y n Отметим важнейшие свойства скалярного произведения: 1. (X, Y ) = (Y, X) квазикоммутативность. (α X + β Z, Y ) = α (X, Y ) + β (Z, Y ) линейность 3. (X, X) 0, (X, X) = 0 X = 0 невырожденность В дальнейшем элементы пространства называем векторами. Вектор X = (x 1, x,..., x n ), у которого все x i = 0, i = 1..n называется нулевым вектором и в дальнейшем обозначается так 0. Пространство C n со скалярным произведением называется унитарным n-мерным пространством и обозначается через U n. Ясно, что любой вектор Z C n однозначно представим в виде Продолжением преобразования Z = X + i Y, где X R n, Y R n ϕ : R n R n на пространство на C n называется преобразование определенное правилом Легко проверяется ϕ : C n C n ϕ(x + iy ) = ϕ(x) + i ϕ(y ), гдеx R n, Y R n. Лемма 3 Продолжение ортогонального преобразования на пространство U n сохраняет скалярное произведение Геометрическое строение ортогонального преобразования Пусть ортогональное преобразование евклидова пространства. Лемма 4 Если Z - собственный вектор продолжения ϕ : C n C n ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, ϕ(z) = λ Z, λ C, то множество T (Z) = {X U n (X, Z) = 0}, является инвариантным подпространством преобразования ϕ. Лемма 5 Если λ собственное число ортогонального преобразования то λ = 1., 5

6 Поскольку характеристический многочлен преобразования ϕ имеет действительные коэффициенты, то он представим в виде χ(ϕ, t) = m l (λ i t) ki [(z j t)(z j t)] sj, i=1 где λ i = ±1, i = 1..m, вещественные корни,z j, z j, j = 1..l, пары сопряженных комплексных корней, при этом z j = a j + i b j, a j + b j = 1, a j, b j R, j = 1..l. Лемма 6 Если Z = X + i Y, X E n, Y E n, - собственный вектор продолжения j=1 ϕ : C n C n ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, ϕ(z) = λ Z, λ = a + i b, b 0, то Z = X i Y также является собственным вектором с собственным значением λ = a i b. При этом X = Y и (X, Y ) = 0. Лемма 7 Пусть E = e x + i e y, e x E n, e y E n, - собственный вектор продолжения ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, c собственным значением λ = cos(α) + i sin(α). Тогда ϕ(e x ) = cos(α) e x sin(α) e y, Теорема 4 Пусть ϕ(e y ) = sin(α) e x + cos(α) e y. ортогональное преобразование евклидова пространства. Тогда его характеристический многочлен представим в виде χ(ϕ, t) = l (ε i t) ki [(z j t)(z j t)] sj, где ε 1 = +1, ε = 1, а z j, z j, j = 1..l различные комплексные корни, i=1 j=1 z j = cos(α j ) + i sin(α j ), k 1 + k + (s 1 + s s l ) = n. При этом пространство E n распадается в прямую сумму попарно ортогональных инвариантных подпространств E n = E +1 E 1 E 1 E E l, E +1 = Ker(ϕ I n ), dim(e 1 ) = k1, E k = Ker(ϕ + I n ), dim(e k ) = k E j = Ker(ϕ cos(α j ) ϕ + I n ), dim(e j ) = s j, j = 1..l. В каждом из подпространств E j = Ker(ϕ cos(α j ) ϕ + I n ), dim(e j ) = s j, j = 1..l можно построить такой ортонормированный базис F j = ex 1, ey 1,..., ex sj, ey sj, что ϕ(ex i ) = cos(α j ) ex i sin(α j ) ey i, ϕ(ey i ) = sin(α j ) ex i + cos(α j ) ey i. 6

7 1.3.3 Ортогональные преобразования трехмерного пространства Используя теорему о геометрическом строении ортогонального преобразования, мы получаем, что в трехмерном пространстве существуют только три типа ортогональных преобразований: 1. отражение относительно некоторой плоскости;. вращение вокруг вектора; 3. вращение вокруг вектора с одновременным отражением относительно плоскости вращения. Отметим, что преобразования, которые соответствуют движению твердого тела вокруг неподвижной точки (начало координат, вектор (0, 0, 0)), имеют определитель 1. Построим матрицу вращения вокруг единичного вектора n на угол ϕ. Рассмотрим произвольную точку пространства представленную вектором X. Разложим вектор X на две составляющих X = [X (X, n)n] + (X, n)n. При вращении вторая составляющая остается неизменной, а чтобы поучить выражение для первой после вращения, достаточно повернуть на угол ϕ вектор [X (X, n)n] в плоскости, натянутой на векторы E 1 = [X (X, n)n] и E = n E 1 = n X. Отметим, что векторы E 1 и E имеют одинаковые длины и система ортогональных векторов (E 1, E, n) образует правую тройку. Следовательно, вектор Rot(n, ϕ)(e 1 ), полученный вращением вектора E 1 вокруг оси с направляющим единичным вектором n, выражается так: Поэтому Rot(n, ϕ)(e 1 ) = E 1 cos ϕ + E sin ϕ. Rot(n, ϕ)(x) = [X (X, n)n] cos ϕ + (n X) sin ϕ + (X, n)n (1) Пусть L = e 1, e, e 3 канонический базис пространства, [Rot(n, ϕ)(x)] L = (x, y, z ), [X] L = (x, y, z), [n] L = (α, β, γ). Переходя к координатам относительно базиса L из (1) получаем x = [( 1 α ) cos ϕ + α ] x + [(1 cos ϕ)αβ γ sin ϕ]y + [(1 cos ϕ)αγ + β sin ϕ]z, y = [(1 cos ϕ)αβ + γ sin ϕ]x + [( 1 β ) cos ϕ + β ] y + [(1 cos ϕ)βγ α sin ϕ]z, z = [(1 cos ϕ)αγ β sin ϕ]x + [(1 cos ϕ)βγ + α sin ϕ]y + [( 1 γ ) cos ϕ + γ ] z. Следовательно, ( ) 1 α cos ϕ + α (1( cos ϕ)αβ + γ sin ϕ (1 cos ϕ)αγ β sin ϕ [Rot(n, ϕ)] L L = (1 cos ϕ)αβ + γ sin ϕ ) 1 β cos ϕ + β (1( cos ϕ)βγ α sin ϕ (1 cos ϕ)αγ + β sin ϕ (1 cos ϕ)βγ α sin ϕ ) 1 γ cos ϕ + γ 1.4 Симметрические матрицы и квадратичные формы Определение. Матричная запись Квадратичной формой n-переменных называется функция n n f : R n R, f(x 1, x,..., x n ) = a i,j x i x j, i=1 j=1 7

8 где a i,j = a j,i. Полагая a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A f =......, a n1 a n a nn X = (x 1, x,..., x n ), квадратичную форму можно записать в матричном виде f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T. Если определить самосопряженное преобразование ϕ Af : E n E n, правилом ϕ Af (X) = X A f, в естественном ортонормированном базисе, то квадратичную форму можно представить в виде скалярного произведения f(x 1, x,..., x n ) = (ϕ Af (X), X) Замена переменных. Эквивалентные квадратичные формы Произведем в квадратичной форме f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T. линейную замену переменных. Положим, что x 1 = q 11 y 1 + q 1 y + + q 1n y n x = q 1 y 1 + q y + + q n y n x n = q n1 y 1 + q n y + + q nn y n Записав систему соотношений в матричной форме и подставив вместо переменных их выражения через получим Если матрица Q невырождена, то отображение взаимнооднозначно и при этом Квадратичные формы и матрицы которых связаны равенством X = Y Q, где Q j i = q ji x 1, x,..., x n y 1, y,..., y n f(x 1, x,..., x n ) = Y Q A f Q T Y T. ϕ Q : R n R n, ϕ Q (X) = X Q A f = Q 1 A g (Q 1 ) T g(y 1, y,..., y n ) = Y Q A f Q T Y T = Y A g Y T f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T g(x 1, x,..., x n ) = X A g X T, A g = Q A f Q T, с помощью невырожденной матрицы Q, называются эквивалентными. Если в качестве матрицы Q, можно взять ортогональную матрицу, то квадратичные формы f, g называются ортогональноэквивалентными. 8

9 1.4.3 Главные оси квадратичной формы Пусть f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T квадратичная форма. Используя результаты о самосопряженных преобразованиях ( симметрических матрицах) Евклидова пространства получаем, что квадратичная форма f ортогонально эквивалентна квадратичной форме g вида где - собственные числа преобразования g(x 1, x,..., x n ) = λ 1 x 1 + λ x λ n x n, λ 1 λ... λ n ϕ Af : E n E n, ϕ Af (X) = X A f. При этом матрицы квадратичных форм f и g связаны равенством A g = Q A f Q T, где Q матрица, строками которой являются попарно ортогональные единичные собственные векторы преобразования ϕ Af, Отметим здесь, что векторы e 1, e,..., e n ϕ Af (e i ) = λ i e i, i = 1..n. e 1, e,..., e n являются точками условных локальных экстремумов функции f на единичной сфере S n 1 = {X R n X = 1}. Упражнение 1 Каждую из квадратичных форм, записать в матричном виде и найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду (главным осям), и записать полученный канонический вид f(x, y) = x xy + 4y f(x, y) = 5x 4xy + 5y f(x, y, z) = 6x + 5y + 7z 4xy + 4xz f(x, y, z) = 11x + 5y + z + 16xy + 4xz 0yz f(x, y, z) = x 5y + z + 4xy + xz + 4yz Упражнение Для следующих матриц найти ортогональную матрицу Q и диагональную матрицу B такие, что данная матрица представляется в виде Q 1 BQ : ( ) A = 1 3 ( ) 1. A = A = A =

10 1.4.4 Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы Квадратичная форма где f(x) = X A X T, a 11 a 1n X = (x 1, x,, x n ), A =....., A = A T a n1 a nn называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого X 0 справедливо неравенство f(x) > 0 (f(x) < 0) Теорема 5 (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма где f(x) = X A X T, a 11 a 1n X = (x 1, x,, x n ), A =....., A = A T a n1 a nn а) положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные (угловые) миноры i положительны Главными (угловые) миноры матрицы A это определители вида 1 = a 11 = a 11, = a 11 a 1 a 11 a 1n a 1 a,, n =..... ; a n1 a nn b) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все знаки её главных (угловые) миноров i чередуются, начиная с отрицательного, Доказательство. Заметим, сначала, что если то 1 < 0, > 0,, n = ( 1) n n. f(x) = X A X T > 0, f(x) = X ( A) X T < 0. Следовательно из утверждения а) вытекает утверждение b). Докажем а). Предположим, что f(x) > 0 для любого вектора X R n не равного нулевому вектору. Тогда формула (X, Y ) = X A X T задает скалярное произведение в пространстве R n. При этом матрица A является матрицей Грама базисных векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1). Как мы знаем, все угловые миноры матрицы Грама линейно независимой системы векторов положительны. Обратное утверждение столь же очевидно.теорема доказана. Упражнение 3 Определить, какие из квадратичных форм положительно определены 1. 5x + y + 4z + 4xy xz yz. x + y + 5z + xy xz + 4yz Кривые второго порядка.1 Многочлен двух переменных степени два Многочлен двух переменных степени два является функцией, которая имеет следующую форму f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, Наша цель понять как геометрически устроены графики таких функций, и соответственно их линии уровня. 10

11 .1.1 Геометрическое строение графика многочлена Будем считать, что график функция задан в декартовой системе координат OXY Z, где OXY плоскость переменных (x, y), а ость OZ ось значений функции. Таким образом, графиком функции f является множество Γ(f) = {(x, y, z) R 3 z = f(x, y)}. При исследовании формы графика функции мы будем использовать преобразования переменных, которые не меняют расстояния между соответствующими точками графика, тем самым сохраняют его форму. Такими преобразованиями являются параллельный перенос осей и поворот осей на заданный угол. Параллельный перенос на вектор c = (α, β) задается преобразованием координат x = x + α y = y + β. При (x, y ) = (0, 0) мы получаем значение функции в точке (α, β). Таким образом новые координатные оси O X Y оказываются параллельными осям OXY и имеют начало в точке (α, β). Поворот осей на угол ϕ задается преобразованием координат x = x cos ϕ y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ. В этом случае точка (x, y ) = (1, 0) соответствует точке (x, y) = (cosϕ, sin ϕ), а точка (x, y ) = (0, 1) соответствует точке (x, y) = ( sin ϕ, cosϕ). Таким образом новые координатные оси O X Y получаются из старых осей OXY поворотом осей OXY на угол (ϕ) против часовой стрелки. Отметим, что это преобразование координат можно записать в матричной форме ( ) (x, y) = (x, y cos ϕ sin ϕ ) sin ϕ cos ϕ и матрица этого преобразования является ортогональной матрицей с определителем +1. Приведение графика функции f(x,y) к главным осям Запишем функцию в матричной форме f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, ( ) ( ) ( a1 a11 a f(x, y) = a 0 + (x, y) + (x, y) 1 x a a 1 a y ) Или более кратко Возможны два случая: 1.. f (X) = a 0 + X A + X B X T. det(b) 0 det(b) = 0 Рассмотрим сначала случай, когда матрица B имеет определитель отличный от нуля. Тогда f(x ) = f (X + c) = a 0 + (X + c) A + (X + c) B (X + c) T Используя симметричность матрицы B, функцию f(x ) перепишем в виде f(x ) = a 0 + c A + X (A + B c T ) + X B (X ) T Теперь мы можем легко видеть, что справедлива 11

12 Лемма 8 Если матрица невырождена, то переносом осей в точку c, которая однозначно определяется из уравнения A = B c T, функция f(x) приводится к виду Если матрица B имеет диагональную форму, то функция f(x ) принимает вид f(x ) = a 0 + c A + X B (X ) T a 1 = 0, f(x, y ) = ā 0 + a 11 (x ) + a (y ). Это как раз тот вид к которому мы стремимся, поскольку график такой функции нетрудно представить. Если же матрица a 1 0, то мы поворотом осей O X Y вокруг точки O на некоторый угол ϕ получим функцию, которая в новых осях O XỸ, примет вид f( x, ỹ) = ã 0 + ã 11 x + ã ỹ Для этого воспользуемся алгоритмом приведения квадратичной формы к главным осям. Найдем корни λ 1, λ характеристического многочлена матрицы ( ) a11 a B = 1 a 1 a В нашем случае корни будут различны (почему?). Найдем собственные векторы матрицы X 1, X соответствующие корням λ 1, λ, Векторы X 1, X нормируем, полагая Пусть Составим матрицу X 1 B = λ 1 X 1, X B = λ 1 X. e 1 = X 1 X 1, e = X X. e 1 = (e 11, e 1 ), e = (e 1, e ). ( e11 e Q = 1 e 1 e Матрица Q ортогональна, следовательно её определитель может быть равен как +1 так и 1. Если det(q) = +1, то искомая матрица поворота на угол ϕ ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ e11 e = 1, sin ϕ cos ϕ e 1 e ). если же det(q) = 1, то ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( e1 e = e 11 e 1 ). Предположим теперь, что матрица B имеет определитель равный нулю.. В этом случае один корень характеристического многочлена ненулевой матрицы B равен нулю, а другой пусть равен λ 0. Поэтому, сначала найдем такой поворот осей, чтобы от функции перейти к функции вида a f(x, y ) = ā 0 + ā 1 x + ā y + λ(x ), b f(x, y ) = ā 0 + ā 1 x + ā y + λ(y ), f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, 1

13 Дополнительным поворотом осей на 90 градусов случай а) сводим к случаю б) Теперь, если заменой y = y + α, с подходящим числом α, получим функцию f(x, y ) = a 0 + a 1x + λ(y ). Наконец, при a 1 0, заменой x = x + β, с подходящим числом β, приходим к функции Подведем итоги. f( x, ỹ) = ã 1 x + λỹ. Теорема 6 (О канонической форме многочлена второго порядка) Функция f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, в случае ненулевой матрицы ( ) a11 a B = 1 a 1 a с определителем det(b) 0 поворотом и сдвигом координатных осей приводится к форме f( x, ỹ) = ã 0 + λ 1 x + λ ỹ, где λ 1, λ корни характеристического уравнения матрицы B. Если det(b) = 0, то поворотом и сдвигом координатных осей функция f(x, y)приводится к к одной из форм 1. f(x, y ) = a 0 + λ(y ). f( x, ỹ) = ã1 x + λỹ, где λ ненулевой корень характеристического уравнения матрицы B.. Классификация кривых второго порядка..1 Общее уравнение кривой второго порядка Уравнение вида a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y = 0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Очевидно, кривая второго порядка является линией уровня 0 функции f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y... Канонические формы кривых второго порядка Из теоремы о канонической форме многочлена второго порядка следует, что уравнение кривой второго порядка поворотом и сдвигом осей координат может быть преобразовано к виду ( a11 a если det 1 a 1 a ) 0 и ã 0 + λ 1 x + λ ỹ = 0, ã 1 x + λỹ = 0, ( ) a11 a когда det 1 = 0. a 1 a Анализируя возможные значения коэффициентов ã 0, λ 1, λ, ã 1, λ, получаем, что кривая второго порядка может быть одной из кривых, записанных в канонической форме: x 1. a + y b = 1 эллипс с полуосями a, b. 13

14 x. a + y b = 1 мнимый эллипс с полуосями a, b. x 3. a + y b = 0 точка x 4. a y b = 1 гипербола x 5. a y b = 0 пара пересекающихся прямых 6. x = p y парабопа 7. a = y пара параллельных прямых 8. a = y пара мнимых параллельных прямых 9. 0 = y пара совпадающих прямых 14


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Аннотация Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Подробнее

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов 1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.3

Линейная алгебра. Лекция 2.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Аннотация Квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичная

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgry0 0.5 setgry1 1 Лекция 10 ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Определение 1. Линией второго порядка на плоскости называется

Подробнее

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости Лекция 7 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Преобразование базисов и координат на плоскости Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом:

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств

Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств Глава 5 Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств Рекомендованные задачи:,, 4, 40, 4, 47, 49, 4, 5, 77 79, 85, 9, 08 0, 7, 8, 9, 4, 44, 49 Для задач, отмеченных знаком (р), приведены полные

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

Подробнее

Задачи. Алгебра.2 семестр.ртс. векторов заданного вида линейным подпространством в. образуют базис пространства P 2

Задачи. Алгебра.2 семестр.ртс. векторов заданного вида линейным подпространством в. образуют базис пространства P 2 Задачи Алгебра семестрртс I Комплексные числа 8 Вычислить ( i), ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости Вычислить Ответ представить в алгебраической форме и изобразить

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.2

Линейная алгебра. Лекция 2.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Свойства собственных векторов линейного оператора.

Свойства собственных векторов линейного оператора. Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O(3) И SO(3) В. М. Гордиенко

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O(3) И SO(3) В. М. Гордиенко Сибирский математический журнал Январь февраль, Том 43, 1 УДК 515471 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O3 И SO3 В М Гордиенко Аннотация: Для спинорных представлений групп O3, SO3 и SU

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1 Аннотация Сопряженные и самосопряженные операторы, их свойства и примеры. Ортогональная матрица и

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям для студентов

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А И МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

2 1) (x, x) 0 для любого x R n, равенства (x, x) = 0 и x = 0 эквивалентны;

2 1) (x, x) 0 для любого x R n, равенства (x, x) = 0 и x = 0 эквивалентны; ГЛАВА 7. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Евклидовы пространства R n и C n Говорят, что на пространстве R n задано скалярное произведение, если каждой паре векторов x, y R n поставлено в соответствие вещественное

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее