ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE"

Транскрипт

1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической), если A = A T. Действительная матрица Q M n n называется ортогональной, если Q Q T = I n. Обозначим через S n множество симметрических матриц, а через O n - множество ортогональных матриц, S n = {A M n n A = A T }, O n = {A M n n A A T = I n } Легко устанавливаются следующие утверждения. 1. Если A O n, то det(a) = ±1.. Если A O n, B S n, то A B A T S n. 3. Если A O n, B O n, то A B O n, A 1 O n. 1. Самосопряженные преобразования Евклидова пространства Линейное преобразование называется самосопряженным, если для любых векторов X, Y E n (ϕ(x), Y ) = (X, ϕ(y )). Если матрица A симметрическая, то преобразование ϕ A : E n E n, заданное правилом ϕ A (X) = X A, в естественном ортонормированном базисе, является самосопряженным. Действительно, в этом случае скалярное произведение (X, Y ) представимо в виде произведения матриц, вектора строки на вектор столбец Следовательно и Справедлива также следующая Теорема 1 Если преобразование (X, Y ) = X Y T. (ϕ A (X), Y ) = X A Y T, (X, ϕ A (Y )) = X (Y A) T = X A T Y T = X A Y T. является самосопряженным, то его матрица [ϕ] F F является симметрической. F = f 1, f,..., f n в произвольном ортонормированном базисе 1

2 Доказательство. Действительно, пусть A = [ϕ] F F = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn. В этом случае Поэтому ϕ(f i ) = n a ij f j, где i = 1..n. j=1 (ϕ(f i ), f j ) = a ij, (f i, ϕ(f j ) = a ji Из условия самосопряженности (ϕ(f i ), f j ) = (f i, ϕ(f j )) получаем a ij = a ji. Следовательно A = A T Геометрическое строение самосопряженного преобразования Самосопряженные преобразования устроены довольно просто. Лемма 1 Собственные числа самосопряженного преобразования евклидова пространства вещественны. Лемма Пусть е - собственный вектор самосопряженного преобразования Тогда множество, ϕ(e) = λ e. T (e) = {X E n (X, e) = 0}, является инвариантным подпространством преобразования ϕ. Доказательство. Ясно, что T (e) является подпространством E n размерности (n 1). Покажем его инвариантность относительно ϕ. Итак, пусть X -произвольный вектор из T (e). Тогда (X, e) = 0. Покажем, что ϕ(x) T (e). Имеем (ϕ(x), e) = (X, ϕ(e)) = (X, λ e) = λ (X, e) = 0. Теорема Пусть - самосопряженное преобразование евклидова пространства. Тогда можно построить ортонормированный базис пространства E n, состоящий из собственных векторов преобразования ϕ. Доказательство.Действительно, пусть λ 1 λ... λ n -собственные числа преобразования ϕ. Найдем единичный собственный вектор e 1 соответствующий собственному значению λ 1. Дополним этот вектор до базиса всего пространства E n векторами из EF = e 1, f 1,..., f n 1 T (e 1 ) = {X E n (X, e 1 ) = 0}. Тогда матрица [ϕ] EF EF примет следующий блочный вид: ( [ϕ] EF λ1 0 EF = 0 [ψ] F F ), где ψ = ϕ T (e1), F = f 1,..., f n 1. Ограничение преобразования ϕ на подпространство T (e 1 ), ψ : T (e 1 ) T (e 1 ),

3 очевидно, является самосопряженным преобразованием, с собственными числами λ... λ n. Поэтому к нему применима лемма и т.д. Теорема доказана. Следствие 1. Собственные векторы самосопряженного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Следствие. Если - характеристический многочлен самосопряженного преобразования, то пространство E n представимо в виде прямой суммы E n = Ker(ϕ λ 1 ) Ker(ϕ λ ) Ker(ϕ λ k ). 1.. Алгоритм приведения симметрической матрицы к главным осям Задача. Для симметрической матрицы A M n требуется найти такую ортогональную матрицу Q, чтобы матрица Q A Q T приняла диагональный вид. Решение. 1. Вычисляем характеристический многочлен χ A (λ) = det(a λ I n ).. Находим корни многочлена χ A (λ) и представляем его в виде χ A (λ) = m (λ i λ) ki, λ 1 < λ <... < λ m. i=1 3. Находим базисы ядер F i = f i1, f i,..., f iki Ker(A λ i I n ), i = 1..m. 4. Ортогонализируем и затем нормируем каждый из базисов F i, i = 1..m. В результате получаем базисы E i = e i1, e i,..., e iki, i = 1..m. 5. Строками матрицы Q являются векторы базисов E i, i = 1..m, первые k 1 строк векторы e 11, e 1,..., e 1k1, следующие k строк векторы и т.д. e 1, e,..., e k, 1.3 Ортогональные преобразования Евклидова пространства Линейное преобразование называется ортогональным, если для любых векторов X, Y E n (ϕ(x), ϕ(y )) = (X, Y ). Если матрица A ортогональная, то преобразование ϕ A : E n E n, 3

4 заданное правилом ϕ A (X) = X A, в естественном ортонормированном базисе, является ортогональным. Действительно, в этом случае скалярное произведение (X, Y ) представимо в виде произведения матриц, вектора строки на вектор столбец Следовательно (X, Y ) = X Y T. (ϕ A (X), ϕ A (Y )) = X A (Y A) T = X A A T Y T = X I n Y T = X Y T. Справедлива также следующая Теорема 3 Если преобразование является ортогональным, то его матрица [ϕ] F F является оргогональной матрицей. в произвольном ортонормированном базисе F = f 1, f,..., f n Доказательство. Действительно, пусть A = [ϕ] F F = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn. В этом случае Поэтому Из условия ортогональности n ϕ(f i ) = a ij f k, где i = 1..n. k=1 n (ϕ(f i ), ϕ(f j )) = a ik a jk. k=1 Следовательно или в матричном виде A A T = I n. (ϕ(f i ), ϕ(f j )) = (f i, f j ) = n a ik a jk = k=1 { 1, если i = j 0, если i j { 1, если i = j 0, если i j Продолжение ортогонального преобразования на комплексное евклидово (унитарное) пространство Арифметическое комплексное пространство C n определяется как множество упорядоченных n ок комплексных чисел C n = {(x 1, x,..., x n ) : x 1 C, x C,..., x n C}. В пространстве C n операции сложения и умножения на скаляр задаются следующим образом: если X C n, Y C n то X = (x 1, x,..., x n ), Y = (y 1, y,..., y n ), α C, X + Y = (x 1 + y 1, x + y,..., x n + y n ) и αx = (αx 1, αx,..., αx n ). Отметим свойства введенных операций (в дальнейшем эти свойства превращаются в аксиомы линейного пространства над полем С). Пусть X C n, Y C n,z C n, α C, β C тогда 1. X + Y = Y + X, коммутативность операции сложения. (X + Y ) + Z = X + (Y + Z), ассоциативность 3. α(x + Y ) = αx + αy, дистрибутивность 4

5 4. (αβ)x = α (βx) 5. 1X = X Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x,..., x n ), Y = (y 1, y,..., y n ) пространства C n определяется следующим (каноническим) способом (X, Y ) = x 1 y 1 + x y x n y n Отметим важнейшие свойства скалярного произведения: 1. (X, Y ) = (Y, X) квазикоммутативность. (α X + β Z, Y ) = α (X, Y ) + β (Z, Y ) линейность 3. (X, X) 0, (X, X) = 0 X = 0 невырожденность В дальнейшем элементы пространства называем векторами. Вектор X = (x 1, x,..., x n ), у которого все x i = 0, i = 1..n называется нулевым вектором и в дальнейшем обозначается так 0. Пространство C n со скалярным произведением называется унитарным n-мерным пространством и обозначается через U n. Ясно, что любой вектор Z C n однозначно представим в виде Продолжением преобразования Z = X + i Y, где X R n, Y R n ϕ : R n R n на пространство на C n называется преобразование определенное правилом Легко проверяется ϕ : C n C n ϕ(x + iy ) = ϕ(x) + i ϕ(y ), гдеx R n, Y R n. Лемма 3 Продолжение ортогонального преобразования на пространство U n сохраняет скалярное произведение Геометрическое строение ортогонального преобразования Пусть ортогональное преобразование евклидова пространства. Лемма 4 Если Z - собственный вектор продолжения ϕ : C n C n ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, ϕ(z) = λ Z, λ C, то множество T (Z) = {X U n (X, Z) = 0}, является инвариантным подпространством преобразования ϕ. Лемма 5 Если λ собственное число ортогонального преобразования то λ = 1., 5

6 Поскольку характеристический многочлен преобразования ϕ имеет действительные коэффициенты, то он представим в виде χ(ϕ, t) = m l (λ i t) ki [(z j t)(z j t)] sj, i=1 где λ i = ±1, i = 1..m, вещественные корни,z j, z j, j = 1..l, пары сопряженных комплексных корней, при этом z j = a j + i b j, a j + b j = 1, a j, b j R, j = 1..l. Лемма 6 Если Z = X + i Y, X E n, Y E n, - собственный вектор продолжения j=1 ϕ : C n C n ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, ϕ(z) = λ Z, λ = a + i b, b 0, то Z = X i Y также является собственным вектором с собственным значением λ = a i b. При этом X = Y и (X, Y ) = 0. Лемма 7 Пусть E = e x + i e y, e x E n, e y E n, - собственный вектор продолжения ортогонального преобразования ϕ на пространство U n, c собственным значением λ = cos(α) + i sin(α). Тогда ϕ(e x ) = cos(α) e x sin(α) e y, Теорема 4 Пусть ϕ(e y ) = sin(α) e x + cos(α) e y. ортогональное преобразование евклидова пространства. Тогда его характеристический многочлен представим в виде χ(ϕ, t) = l (ε i t) ki [(z j t)(z j t)] sj, где ε 1 = +1, ε = 1, а z j, z j, j = 1..l различные комплексные корни, i=1 j=1 z j = cos(α j ) + i sin(α j ), k 1 + k + (s 1 + s s l ) = n. При этом пространство E n распадается в прямую сумму попарно ортогональных инвариантных подпространств E n = E +1 E 1 E 1 E E l, E +1 = Ker(ϕ I n ), dim(e 1 ) = k1, E k = Ker(ϕ + I n ), dim(e k ) = k E j = Ker(ϕ cos(α j ) ϕ + I n ), dim(e j ) = s j, j = 1..l. В каждом из подпространств E j = Ker(ϕ cos(α j ) ϕ + I n ), dim(e j ) = s j, j = 1..l можно построить такой ортонормированный базис F j = ex 1, ey 1,..., ex sj, ey sj, что ϕ(ex i ) = cos(α j ) ex i sin(α j ) ey i, ϕ(ey i ) = sin(α j ) ex i + cos(α j ) ey i. 6

7 1.3.3 Ортогональные преобразования трехмерного пространства Используя теорему о геометрическом строении ортогонального преобразования, мы получаем, что в трехмерном пространстве существуют только три типа ортогональных преобразований: 1. отражение относительно некоторой плоскости;. вращение вокруг вектора; 3. вращение вокруг вектора с одновременным отражением относительно плоскости вращения. Отметим, что преобразования, которые соответствуют движению твердого тела вокруг неподвижной точки (начало координат, вектор (0, 0, 0)), имеют определитель 1. Построим матрицу вращения вокруг единичного вектора n на угол ϕ. Рассмотрим произвольную точку пространства представленную вектором X. Разложим вектор X на две составляющих X = [X (X, n)n] + (X, n)n. При вращении вторая составляющая остается неизменной, а чтобы поучить выражение для первой после вращения, достаточно повернуть на угол ϕ вектор [X (X, n)n] в плоскости, натянутой на векторы E 1 = [X (X, n)n] и E = n E 1 = n X. Отметим, что векторы E 1 и E имеют одинаковые длины и система ортогональных векторов (E 1, E, n) образует правую тройку. Следовательно, вектор Rot(n, ϕ)(e 1 ), полученный вращением вектора E 1 вокруг оси с направляющим единичным вектором n, выражается так: Поэтому Rot(n, ϕ)(e 1 ) = E 1 cos ϕ + E sin ϕ. Rot(n, ϕ)(x) = [X (X, n)n] cos ϕ + (n X) sin ϕ + (X, n)n (1) Пусть L = e 1, e, e 3 канонический базис пространства, [Rot(n, ϕ)(x)] L = (x, y, z ), [X] L = (x, y, z), [n] L = (α, β, γ). Переходя к координатам относительно базиса L из (1) получаем x = [( 1 α ) cos ϕ + α ] x + [(1 cos ϕ)αβ γ sin ϕ]y + [(1 cos ϕ)αγ + β sin ϕ]z, y = [(1 cos ϕ)αβ + γ sin ϕ]x + [( 1 β ) cos ϕ + β ] y + [(1 cos ϕ)βγ α sin ϕ]z, z = [(1 cos ϕ)αγ β sin ϕ]x + [(1 cos ϕ)βγ + α sin ϕ]y + [( 1 γ ) cos ϕ + γ ] z. Следовательно, ( ) 1 α cos ϕ + α (1( cos ϕ)αβ + γ sin ϕ (1 cos ϕ)αγ β sin ϕ [Rot(n, ϕ)] L L = (1 cos ϕ)αβ + γ sin ϕ ) 1 β cos ϕ + β (1( cos ϕ)βγ α sin ϕ (1 cos ϕ)αγ + β sin ϕ (1 cos ϕ)βγ α sin ϕ ) 1 γ cos ϕ + γ 1.4 Симметрические матрицы и квадратичные формы Определение. Матричная запись Квадратичной формой n-переменных называется функция n n f : R n R, f(x 1, x,..., x n ) = a i,j x i x j, i=1 j=1 7

8 где a i,j = a j,i. Полагая a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A f =......, a n1 a n a nn X = (x 1, x,..., x n ), квадратичную форму можно записать в матричном виде f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T. Если определить самосопряженное преобразование ϕ Af : E n E n, правилом ϕ Af (X) = X A f, в естественном ортонормированном базисе, то квадратичную форму можно представить в виде скалярного произведения f(x 1, x,..., x n ) = (ϕ Af (X), X) Замена переменных. Эквивалентные квадратичные формы Произведем в квадратичной форме f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T. линейную замену переменных. Положим, что x 1 = q 11 y 1 + q 1 y + + q 1n y n x = q 1 y 1 + q y + + q n y n x n = q n1 y 1 + q n y + + q nn y n Записав систему соотношений в матричной форме и подставив вместо переменных их выражения через получим Если матрица Q невырождена, то отображение взаимнооднозначно и при этом Квадратичные формы и матрицы которых связаны равенством X = Y Q, где Q j i = q ji x 1, x,..., x n y 1, y,..., y n f(x 1, x,..., x n ) = Y Q A f Q T Y T. ϕ Q : R n R n, ϕ Q (X) = X Q A f = Q 1 A g (Q 1 ) T g(y 1, y,..., y n ) = Y Q A f Q T Y T = Y A g Y T f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T g(x 1, x,..., x n ) = X A g X T, A g = Q A f Q T, с помощью невырожденной матрицы Q, называются эквивалентными. Если в качестве матрицы Q, можно взять ортогональную матрицу, то квадратичные формы f, g называются ортогональноэквивалентными. 8

9 1.4.3 Главные оси квадратичной формы Пусть f(x 1, x,..., x n ) = X A f X T квадратичная форма. Используя результаты о самосопряженных преобразованиях ( симметрических матрицах) Евклидова пространства получаем, что квадратичная форма f ортогонально эквивалентна квадратичной форме g вида где - собственные числа преобразования g(x 1, x,..., x n ) = λ 1 x 1 + λ x λ n x n, λ 1 λ... λ n ϕ Af : E n E n, ϕ Af (X) = X A f. При этом матрицы квадратичных форм f и g связаны равенством A g = Q A f Q T, где Q матрица, строками которой являются попарно ортогональные единичные собственные векторы преобразования ϕ Af, Отметим здесь, что векторы e 1, e,..., e n ϕ Af (e i ) = λ i e i, i = 1..n. e 1, e,..., e n являются точками условных локальных экстремумов функции f на единичной сфере S n 1 = {X R n X = 1}. Упражнение 1 Каждую из квадратичных форм, записать в матричном виде и найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду (главным осям), и записать полученный канонический вид f(x, y) = x xy + 4y f(x, y) = 5x 4xy + 5y f(x, y, z) = 6x + 5y + 7z 4xy + 4xz f(x, y, z) = 11x + 5y + z + 16xy + 4xz 0yz f(x, y, z) = x 5y + z + 4xy + xz + 4yz Упражнение Для следующих матриц найти ортогональную матрицу Q и диагональную матрицу B такие, что данная матрица представляется в виде Q 1 BQ : ( ) A = 1 3 ( ) 1. A = A = A =

10 1.4.4 Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы Квадратичная форма где f(x) = X A X T, a 11 a 1n X = (x 1, x,, x n ), A =....., A = A T a n1 a nn называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого X 0 справедливо неравенство f(x) > 0 (f(x) < 0) Теорема 5 (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма где f(x) = X A X T, a 11 a 1n X = (x 1, x,, x n ), A =....., A = A T a n1 a nn а) положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные (угловые) миноры i положительны Главными (угловые) миноры матрицы A это определители вида 1 = a 11 = a 11, = a 11 a 1 a 11 a 1n a 1 a,, n =..... ; a n1 a nn b) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все знаки её главных (угловые) миноров i чередуются, начиная с отрицательного, Доказательство. Заметим, сначала, что если то 1 < 0, > 0,, n = ( 1) n n. f(x) = X A X T > 0, f(x) = X ( A) X T < 0. Следовательно из утверждения а) вытекает утверждение b). Докажем а). Предположим, что f(x) > 0 для любого вектора X R n не равного нулевому вектору. Тогда формула (X, Y ) = X A X T задает скалярное произведение в пространстве R n. При этом матрица A является матрицей Грама базисных векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1). Как мы знаем, все угловые миноры матрицы Грама линейно независимой системы векторов положительны. Обратное утверждение столь же очевидно.теорема доказана. Упражнение 3 Определить, какие из квадратичных форм положительно определены 1. 5x + y + 4z + 4xy xz yz. x + y + 5z + xy xz + 4yz Кривые второго порядка.1 Многочлен двух переменных степени два Многочлен двух переменных степени два является функцией, которая имеет следующую форму f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, Наша цель понять как геометрически устроены графики таких функций, и соответственно их линии уровня. 10

11 .1.1 Геометрическое строение графика многочлена Будем считать, что график функция задан в декартовой системе координат OXY Z, где OXY плоскость переменных (x, y), а ость OZ ось значений функции. Таким образом, графиком функции f является множество Γ(f) = {(x, y, z) R 3 z = f(x, y)}. При исследовании формы графика функции мы будем использовать преобразования переменных, которые не меняют расстояния между соответствующими точками графика, тем самым сохраняют его форму. Такими преобразованиями являются параллельный перенос осей и поворот осей на заданный угол. Параллельный перенос на вектор c = (α, β) задается преобразованием координат x = x + α y = y + β. При (x, y ) = (0, 0) мы получаем значение функции в точке (α, β). Таким образом новые координатные оси O X Y оказываются параллельными осям OXY и имеют начало в точке (α, β). Поворот осей на угол ϕ задается преобразованием координат x = x cos ϕ y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ. В этом случае точка (x, y ) = (1, 0) соответствует точке (x, y) = (cosϕ, sin ϕ), а точка (x, y ) = (0, 1) соответствует точке (x, y) = ( sin ϕ, cosϕ). Таким образом новые координатные оси O X Y получаются из старых осей OXY поворотом осей OXY на угол (ϕ) против часовой стрелки. Отметим, что это преобразование координат можно записать в матричной форме ( ) (x, y) = (x, y cos ϕ sin ϕ ) sin ϕ cos ϕ и матрица этого преобразования является ортогональной матрицей с определителем +1. Приведение графика функции f(x,y) к главным осям Запишем функцию в матричной форме f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, ( ) ( ) ( a1 a11 a f(x, y) = a 0 + (x, y) + (x, y) 1 x a a 1 a y ) Или более кратко Возможны два случая: 1.. f (X) = a 0 + X A + X B X T. det(b) 0 det(b) = 0 Рассмотрим сначала случай, когда матрица B имеет определитель отличный от нуля. Тогда f(x ) = f (X + c) = a 0 + (X + c) A + (X + c) B (X + c) T Используя симметричность матрицы B, функцию f(x ) перепишем в виде f(x ) = a 0 + c A + X (A + B c T ) + X B (X ) T Теперь мы можем легко видеть, что справедлива 11

12 Лемма 8 Если матрица невырождена, то переносом осей в точку c, которая однозначно определяется из уравнения A = B c T, функция f(x) приводится к виду Если матрица B имеет диагональную форму, то функция f(x ) принимает вид f(x ) = a 0 + c A + X B (X ) T a 1 = 0, f(x, y ) = ā 0 + a 11 (x ) + a (y ). Это как раз тот вид к которому мы стремимся, поскольку график такой функции нетрудно представить. Если же матрица a 1 0, то мы поворотом осей O X Y вокруг точки O на некоторый угол ϕ получим функцию, которая в новых осях O XỸ, примет вид f( x, ỹ) = ã 0 + ã 11 x + ã ỹ Для этого воспользуемся алгоритмом приведения квадратичной формы к главным осям. Найдем корни λ 1, λ характеристического многочлена матрицы ( ) a11 a B = 1 a 1 a В нашем случае корни будут различны (почему?). Найдем собственные векторы матрицы X 1, X соответствующие корням λ 1, λ, Векторы X 1, X нормируем, полагая Пусть Составим матрицу X 1 B = λ 1 X 1, X B = λ 1 X. e 1 = X 1 X 1, e = X X. e 1 = (e 11, e 1 ), e = (e 1, e ). ( e11 e Q = 1 e 1 e Матрица Q ортогональна, следовательно её определитель может быть равен как +1 так и 1. Если det(q) = +1, то искомая матрица поворота на угол ϕ ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ e11 e = 1, sin ϕ cos ϕ e 1 e ). если же det(q) = 1, то ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( e1 e = e 11 e 1 ). Предположим теперь, что матрица B имеет определитель равный нулю.. В этом случае один корень характеристического многочлена ненулевой матрицы B равен нулю, а другой пусть равен λ 0. Поэтому, сначала найдем такой поворот осей, чтобы от функции перейти к функции вида a f(x, y ) = ā 0 + ā 1 x + ā y + λ(x ), b f(x, y ) = ā 0 + ā 1 x + ā y + λ(y ), f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, 1

13 Дополнительным поворотом осей на 90 градусов случай а) сводим к случаю б) Теперь, если заменой y = y + α, с подходящим числом α, получим функцию f(x, y ) = a 0 + a 1x + λ(y ). Наконец, при a 1 0, заменой x = x + β, с подходящим числом β, приходим к функции Подведем итоги. f( x, ỹ) = ã 1 x + λỹ. Теорема 6 (О канонической форме многочлена второго порядка) Функция f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y, в случае ненулевой матрицы ( ) a11 a B = 1 a 1 a с определителем det(b) 0 поворотом и сдвигом координатных осей приводится к форме f( x, ỹ) = ã 0 + λ 1 x + λ ỹ, где λ 1, λ корни характеристического уравнения матрицы B. Если det(b) = 0, то поворотом и сдвигом координатных осей функция f(x, y)приводится к к одной из форм 1. f(x, y ) = a 0 + λ(y ). f( x, ỹ) = ã1 x + λỹ, где λ ненулевой корень характеристического уравнения матрицы B.. Классификация кривых второго порядка..1 Общее уравнение кривой второго порядка Уравнение вида a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y = 0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Очевидно, кривая второго порядка является линией уровня 0 функции f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y + a 11 x + a 1 xy + a y... Канонические формы кривых второго порядка Из теоремы о канонической форме многочлена второго порядка следует, что уравнение кривой второго порядка поворотом и сдвигом осей координат может быть преобразовано к виду ( a11 a если det 1 a 1 a ) 0 и ã 0 + λ 1 x + λ ỹ = 0, ã 1 x + λỹ = 0, ( ) a11 a когда det 1 = 0. a 1 a Анализируя возможные значения коэффициентов ã 0, λ 1, λ, ã 1, λ, получаем, что кривая второго порядка может быть одной из кривых, записанных в канонической форме: x 1. a + y b = 1 эллипс с полуосями a, b. 13

14 x. a + y b = 1 мнимый эллипс с полуосями a, b. x 3. a + y b = 0 точка x 4. a y b = 1 гипербола x 5. a y b = 0 пара пересекающихся прямых 6. x = p y парабопа 7. a = y пара параллельных прямых 8. a = y пара мнимых параллельных прямых 9. 0 = y пара совпадающих прямых 14

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко Квадратичные

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - - Нижегородский Государственный Университет им Н И Лобачевского Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики http://vmucozet/ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автор: профессор В Н Шевченко (Copght

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство . ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 1. Арифметическое пространство 1. Понятие арифметического пространства Из школьного курса математики известно, что если на плоскости или в пространстве задана система декартовых координат,

Подробнее

Центр кривой второго порядка

Центр кривой второго порядка Центр кривой второго порядка Определение Точка M 0 ( 0, 0 ) называется центром симметрии множества точек {M} (например, линии), если вместе с каждой точкой M множеству {M} принадлежит точка M : M 0 M =

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Место дисциплины в структуре образовательной программы Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Теорема 3. - инъекция Ker = {0}. Ker - мера неинъективности отображения Теорема 4 (структура Im ). Im = < е 1,, е n >, ee,

Теорема 3. - инъекция Ker = {0}. Ker - мера неинъективности отображения Теорема 4 (структура Im ). Im = < е 1,, е n >, ee, 2-й семестр 8. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. 8.1. Построение поля отношений. Поле рациональных чисел Q. Поле рациональных функций P(x). 8.2. Поле рациональных функций. Простейшая дробь. Теорема о разложении

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа Квадратичные формы Пример Пример Пример 6 Пример Пример Пример 6 Пример 7 Пример 8 8 Пример 9 Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование: 8 Пример Методом Лагранжа найти

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

«Кемеровский государственный университет»

«Кемеровский государственный университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Кинематика Лекция 4 ЛЕКЦИЯ 4

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Кинематика Лекция 4 ЛЕКЦИЯ 4 1 ЛЕКЦИЯ 4 Сложение поворотов. Векторы. Преобразование векторов. Матрица направляющих косинусов. Полярные и аксиальные векторы. Инвариантность физических законов по отношению к преобразованию координатных

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. Электронные материалы для промежуточного и итогового тестирования

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. Электронные материалы для промежуточного и итогового тестирования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра алгебры и геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии И.В. КУЛАГИНА, А. Н. ПАНОВ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Учебное

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. 30. Линейные преобразования

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. 30. Линейные преобразования Г л а в а 4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 30. Линейные преобразования 30.1. Определения и примеры. Пусть V векторное пространство над полем P. Отображение ϕ : V V называется линейным преобразованием

Подробнее